ÖVN 15 - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll. Inofficiella mål

Transkript

1 ÖVN 5 - DIFFTRANS - DEL - SF683 KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Laplacetranformen Differentialekvationer med dikontinuerlig drivande term g(t) Heaviide och δ-funktionen Tabulera L-tranformer och invertranformer Det är bra om du (M) vet att ekvationen Inofficiella mål my (t) + cy (t) + ky(t) = g(t) Faltning av två funktioner och produkt av L- tranformer Integro-differentialekvation med m, c, k > kan tolka fyikalikt om en vängning med maa m, dämpning c, fjäderkontant k och drivande kraft g(t). (M) kan definitionen av Laplacetranformen utantill och kan genomföra beräkningar med denna, L(f(t))() F () ˆ (M3) kan definitionen av Heaviidefunktionen, t < c u c (t) H(t c), t c, e t f(t) dt. () amt veta att derivatan av denna funktion är δ c (t)-funktionen (Dirac delta-funktion) om uppfyller att δ c (t) = för t c, δ c (c) = på ett ådant ätt att ˆ δ c (t) dt = och om även uppfyller att ˆ R R f(t)δ c (t) dt = f(c). Deltafunktionen δ c (t) placerar en punktmaa av torlek i punkten t = c. Integrerar man den mot en funktion f å plocka värdet av funktionen ut där punktmaan är placerad, f(c). (M4) kan beräkna L-tranformen av funktionerna, u c (t), e at, t n, co(t), in(t), δ(t) genom direkt beräkning från definitionen. (M5) kan kriva om tyckvi definierade funktioner mha Heaviidefunktionen. (M6) kan definitionen av faltningen mellan två funktioner, (f g)(t) = Intitutionen för matematik, KTH, SE- 44, Stockholm, Sweden addre: karljo@kth.e. Date: 3 december 8. f(t τ)g(τ) dτ. ()

2 ÖVN 5 - DIFFTRANS - DEL - SF683 (M7) kan minneregeln derivata på tididan blir algebraikt uttryck med begynnelvärden på L-idan, L(f (t))() = F () f(), L(f (t))() = F () f() f (), L(f (t))() = 3 F () f() f () f (), (M8) kan använda amt bevia följande regler för L-tranformen (a) delay med 7 på tididan blir faktor e 7 på L-idan, L(u c (t)f(t c))() = e c L(f)(), (3) (b) faktor e 3t på tididan blir förkjutning med 3 till höger på L-idan, L(e ct f(t))() = L(f)( c), (4) (c) produkt på L-idan är faltning på tididan, ( ) L f(t τ)g(τ) dτ () = L(f)()L(g)(), (5) (d) kalning på tididan blir omvänd kalning på L-idan, för a >, L(f(at))() = a L(f(t))( ). (6) a (e) multiplikation med t på tididan ger derivation på Laplaceidan L(tf(t))() = d d L(f(t))(). (7) (M9) kan reonera varför och när L-tranformen är lämplig vid löandet av linjära differentialekvationer, Ob! Detta är ett förök att bryta ned kurmålen i mindre och mer konkreta bitar. Målen ovan är inte officiella för kuren, utan ett förlag till hur man kan tänka.

3 ÖVN 5 - DIFFTRANS - DEL - SF Exempel och uppgifter (U) Avgör om följande funktioner är kontinuerliga, tyckvi kontinuerliga eller varken eller på intervallet [, 3]. t 3, t [, ] f (t) = + t, t (, ] 6 t, t (, 3] t, t [, ] f (t) = (t ), t (, ], t (, 3] t/, t [, ] f 4 (t) = 3 t, t (, ], t (, 3] Skia gärna graferna. Vad har detta med L-tranformen att göra? Skriv även om funktionerna med hjälp av Heaviidefunktioner. Ett hett tip är att rita upp dea för dig jälv. Förta funktionen är inte kontinuerlig i t = ty väntergränvärdet är och högergränvärdet är 3. Däremot kontinuerlig i t =. Kan kriva med Heaviidefunktioner på följande ätt f (t) = t 3 (u (t) u (t)) + ( + t)(u (t) u (t)) + (6 t)(u (t) u 3 (t)). (8) OBS! Notera följande i omkrivningen mha Heaviidefunktioner å tämmer inte värdet för f (). I urprungdefinitionen å är detta värde lika med men i vår omkrivning å blir detta värde lika med 3. Beroende på i vilken tillämpning om denna omkrivning ker å kan detta vara av törre eller mindre bekymmer. Säg att vi ka integrera f, då pelar inte funktion f värde i enkilda punkter någon roll, å i ett ådant ammanhang kan vi argumentera för att felet i omkrivningen inte vållar någon törre kada. (U) Finn Laplacetranformen av funktionen f(t) = (t ) för t > och f(t) = för alla andra t.

4 4 ÖVN 5 - DIFFTRANS - DEL - SF683 (U3) Fyll i nedantående tabell f(t) F () / t / t / 3 t n n!/ n+ co(t) co(at) in(t) t in(t) e 3t co(t) te 3t in(t) in(at) + + a + ( + ) 3 ( 3) + ( 3) (( 3) + ) a + a H(t c) = u c (t) e c / u c (t)f(t c) e c F () (U4) Vilka funktioner ger följande L-tranformer? F () = 5 + +, Vi gjorde F ordentligt på övningen. Sammanfattningvi å kulle jag kriva å här } 5 tänk co/in F () = kvadratkompl. nämnare} = ( + ) + 9 = pga nämnare } tänk att ( + ) inte täller till = med problem, exponential på tididan ( + ) 7 ( + ) + 9 = ( + ) ( + ) } 3 3 ( + ) + 3 = co förta, in andra fixa till med e t för att komp. för ( + ) = f(t) = e t co(3t) 7 3 e t in(3t). 3 F () = + 3 4, 3! F 3 () = ( 5) 4 F 4 () = ( )e +,

5 ÖVN 5 - DIFFTRANS - DEL - SF Vi gör nr 4 ockå, F 4 (). Börja med att tänka bort e, denna kommer att ge o en delay på tididan vilket vi fixar till i ita teget. Börja därför att betrakta ( ) ( ) + = ( ) ( ) = L() (9) + Här identifierar vi uteendet för något om har med co att göra ih () + men vi har itället, om kommer att generera multiplikation med exponential e t på tididan, L ( ) ( ( ) + )(t) = et co(t) g(t). () Men vi kulle beräkna L (e ()L()) vilket ger, enligt regel M8,(a) att vi ka införa en delay på tididan, L (L()) = L (e ( ) ( ) + ) = u (t)g(t ) = u (t)e t co(t ) () vilket är en funktion om är noll fram till t = och edan börjar vänga med exponentiellt abolutbelopp. ( )e F 5 () = e 3 F 6 () = + F 7 () = ( + ) F 8 () = ( + ) (U5) Lö begynnelevärdeproblemet: y y + y = co(t) (3) y() =, y () = (4) Teta att löa detta problem på två olika ätt, fört på det vanliga viet med att finna allmänna löningen och edan en partikulärlöning. Sedan betämma kontanterna mha begynnelevärdena. Det andra ättet är att använda Laplace-tranformen. Tranformera hela ekvationen och få Y () y() y () (Y () y()) + Y () = +. (5) Lö ut Y (). Och förök edan betämma y(t) från y(). amt y, t < π + 4y = g(t) (6), π t < Laplacetranformera hela ekvationen och få y() =, y () = (7) Y () y() y () + 4Y () = e π. (8)

6 6 ÖVN 5 - DIFFTRANS - DEL - SF683 där Laplacetranformen av g(t) beräknade direkt från definitionen av Laplace-tranformen (detta kan du repetera jälv, enkel beräkning). Omkrivning ger ( ) Y () = ( e π ) ( + + 4) + 4. (9) Vi identifierar att det är problem med gör en partialbråkuppdelning: ( +4) vilket ger att A = /4, B = /4 och C =. Vilket ger Y () = ( 4 ( e π ) ( 4 ) + 4. ( 4 e π, om vi inte direkt har tabulerade världen för. Vi ( + 4) = A + B + C + 4. () ) = () ) + () + 4 = y(t) = 4 ( co(t)) u π(t) ( co((t π)) + co(t) = (3) 4 Den explicita löningen kan kriva = co(t) u π(t) ( co((t π)) (4) 4 = co(t) u π(t) ( co(t)). (5) 4 y(t) = co(t), t [, π) co(t), t [π, ). (6) Rimlighetkontroll. Vi er att begynnelevärdena är uppfyllda. Vi kulle ockå vilja veta hur funktionen beter ig vid t = π. Gör den ett hopp (kontinuerlig)? Är den deriverbar? Är derivatan kontinuerlig? Är den två gånger deriverbar? Är andraderivatan kontinuerlig? I denna punkt t = π å er vi att funktionen är kontinuerlig, deutom y 3 (t) = in(t), t [, π) (7) in(t), t [π, ). där vi er att derivatan ockå är kontinuerlig. Men när vi betraktar andraderivatan å får vi y 3 co(t), t [, π) (t) = (8) 4 co(t), t (π, ). där vi er att denna funktion varken är definierad eller kontinuerlig för t = π. Alltå andraderivatan finn inte i punkten π. Här kan det finna orak att tanna upp och tänka lite. Är detta rimligt? Har vi inte löt en andra ordningen differentialekvation? Där vi borde få ut löningar om är två gånger kontinuerligt deriverbara? Efterom den drivande termen g(t) i ig är dikontinuerlig i t = π å måte vi kanke förvänta o att även funktion har någon typ av dikontinuitet, vilken i detta fall hamnade i andraderivatan. amt y t, t < 3 + y = (9), 3 t < y() =, y () = (3)

7 ÖVN 5 - DIFFTRANS - DEL - SF amt y + 4y = in t u π (t) in(t π) (3) y() =, y () = (3) och y + y = u 3π (t) (33) y() =, y () = (34) En vagn om börjar med poitivt utlag. Ingen dämpning. Ingen pålagd kraft de förta 9.4 ek. Borde vänga harmonikt. Som co(t) i början borde det vara. Därefter å lägger någon på en kraft vid tiden 9.4ek, dv efter en och en halv period av vängning. Så vi borde då vara tillbaka vid y(3π) =, y (π) =. Då lägger någon på en kraft med torlek. Så vi kan förvänta o ett var till denna uppgift om er ut å här y(t) = co(t) + u 3π (t)f(t 3π). Ta reda på reten jälv. till it y + y + y = δ(t π) (35) y() =, y () = (36) Igen å kan vi tänka i termer av den fyikalika modellen. Maan, dämpning och fjäderkontant. Vad betyder δ(t π)-funktionen i detta fall? Fört, tänk på π om en centreringpunkt i detta fall. Företäll dig nu att vi har en funktion är poitiv, på något ätt centrerad runt punkten t = π och har area. För enkelhet kull tänk på detta om en funktion om er ut om en liten kulle / ett tält / en låda (beroende på tycke och mak). Så, nu är denna funktion den funktion om är den pålagda kraften g(t). Jaha, ja då kommer ju vagnen att röra ig på något ätt om vi kanke kulle kunna räkna ut mha Laplace-tranformen. Kalla detta var för y a (t). Säg nu att vi tar din funktion om du jut ritade, och å kalar vi om den, å att den blir hälften å bred (fortfarande centrerad kring t = π) men dubbelt å hög. Då kommer arean fortfarande att vara =. Jaha, å använder vi denna om pålagd kraft. Och då kommer vagnen att röra ig på något ätt. Kalla detta var för y b (t). Vad har dea röreler y a (t) och y b (t) gemenamt? Om man integrerar en kraft över tid ( g(t) dt) å kommer detta att ge o den överförda impulen till ytemet. Ett ätt att tänka på det är att efterom arean under grafen för g(t) är amma för båda dea fallen å borde rörelerna ha något gemenamt. Det om är gemenamt är att den till ytemet överförda impulen är denamma. Men rörelerna y a och y b kommer inte vara deamma efterom de drivande funktionerna ej var identika. Nu täller vi o frågan: vad händer då vi föröker kapa en ideal drivande funktion om överför impulen = men om gör det på oändligt kort tid. Detta kulle motvara δ-funktionen, om är en funktion om är δ π (t), δ π (π) = och R δ π(t) dt =. Dv, en funktion om gör å att all impul överför momentant i tidpunkten t = π. Vi kan väl göra detta reonemang explicit å er ni vad om händer. Vi tar och gör om högerledet i vår ekvation till en funktion om är ett fönter med bredd d placerad runt t = π och om har area. Alltå vi betraktar g d (t) = d (u π d(t) u π+d ). Där vi delar med d för att få area. Vi tittar på ekvationen om vi hade använt detta om HL, y + y + y = d (u π d(t) u π+d (t)) (37) y() =, y () = (38)

8 8 ÖVN 5 - DIFFTRANS - DEL - SF683 och föröker löa med Laplace tranformen. Vi får Y () + Y () + Y () = d ekvivalent med Y () = ( + 4) ˆ e t (u π d (t) u π+d (t)) dt (39) = d (e (π d) e (π+d) ) (4) d (e (π d) e (π+d) ) (4) partialbråkuppdelning ger Y () = ( ( + 4) ) 8d (e (π d) e (π+d) ) (4) och tar vi invertranformen å får vi y(t) = co(t) + 3 in(t) + 8d u π d(t)( co((t + d))) u π+d (t)( co((t d))). (43) Det är det enare uttrycket om är av intree. För t mindre än π d å förvinner båda dea termer. Vad händer för t mellan π d och π + d? Då är endat det förta uttrycket på vilket blir co(t + d). (44) 8d Vårt mål är ju att låta d. Vad kommer hända med detta uttryck då? Direkt gränövergång ger /, vi använder l Hopital regel och får co(t + d) in(t + d) lim = lim = in(π) =, (45) d 8d d 8 4 efterom t π då d. Alltå, vi kan alltå ta d väldigt litet utan att det händer något kontigt i intervallet [π d, π + d]. Vi tittar nu på värden då t > π + d. Då får vi när d att co(t + d) + co(t d) in(t + d) + in(t d) lim = lim d 8d d 8 Alltå, när d å får vi uttrycket = in(t). (46) y(t) = co(t) + 3 in(t) + u π(t) in(t). (47) Detta är alltå det om kalla för impulvaret, och är löningen på det problemet vi hade ovan. Frågan är nu om vi hade kunnat komma fram till detta var på ett midigare ätt. Ja, det går om vi använder räkneregeln att ˆ Vid Laplace-tranformering av vår urprungekvation å hade vi fått omkrivning ger Y () + Y () + Y () = vilket ger invertranformen Y () = f(t)δ π (t) dt = f(π). (48) y + y + y = δ(t π) (49) ˆ e t δ(t π) dt = e π, (5) + 4 e π (5) y(t) = co(t) + 3 in(t) + u π(t) in((t π)) = co(t) + 3 in(t) + u π(t) in(t) (5)

9 ÖVN 5 - DIFFTRANS - DEL - SF vilket är preci amma var om ovan. Senmoral: vet du hur du ka räkna med δ-funktionen om kommer räkningarna i detta fall bli mycket enklare än i andra fall. och även Vad är tolkningen i termer av den fyikalika modellen? y + y = e t, y() = y () =. (53) (U6) Lö initialvärdeproblemet y y + y = te t in(t) med värdena y() = y () =. (U7) Betäm L-tranformen av och f(t) = g(t) = e (t τ) in τ dτ (54) in(t τ) co τ dτ. (55) I dea exempel gäller det att känna igen att dea uttryck är å kallade faltningar. Det förta uttrycket är preci faltningen mellan funktionen e t och funktionen in(t). Enligt teorin om vi har å kommer ålede Laplace-tranformen av denna faltning att bli produkten av lalpacetranformen av de ingående funktionerna. Alltå L( e (t τ) in τ dτ) = L(e t )()L(in(t))() = (56) Näta uppgift är väldigt liknande. (U8) Lö begynnelevärdeproblemet y + ω y = g(t) med y() =, y () =. På vilket ätt kan vi ge varet? (U9) Lö integro-differentialekvationen y (t) + (t ξ)y(ξ) dξ = t, med y() =. Förök att löa på två olika ätt, : L-tranform, : derivera ekvationen två gånger map t. Med Laplace-tranformen. Vi er att vi har en faltning i VL mellan t och y(t), å vi får Y () + Y () =, (57) vilket vi kriver om om om har inver-tranform Y () = ( + ) = +, (58) y(t) = co(t). (59)