AB2.9: Heavisides stegfunktion. Diracs deltafunktion

Transkript

1 AB29: Heaviide tegfunktion Dirac deltafunktion Heaviide tegfunktion Heaviide tegfunktion definiera ut a) = { if t < a, if t > a Betrakta via exempel: ft) = 5 in t ft)ut 2) ft 2)ut 2) k[ut ) 2ut 4) + ut 5)] 4 in 5πt)[ut) ut 2) + ut 4) ] SATS 53 Fördröjningaten) Låt F ) vara Laplacetranformen av ft) Då är e a F ) Laplacetranformen av avkärningfunktionen ft) = ft a)ut a) = { if t < a, ft a) if t > a, eller L [ft a)ut a)] = e a F ), ft a)ut a) = L {e a F )} Bevi Av Laplacetranformen definition följer att Variabelubtitutionen t + a = t ger e a F ) = e a e t ft)dt = e a F ) = a e t ft a)dt e t+a) ft)dt För att få Laplacetranformen, måte man integrera över intervallet, ) Vi gör det genom att använda definitionen av Heaviide tegfunktion avkärningfunktionen erätter ft a) med ft a)ut a) påminn att ft) = för negativa t) e a F ) = e t ft a)ut a)dt = L [ft a)ut a)]

2 Betäm Laplacetranformen av tegfunktionen ut a) L [ut a)] = Laplacetranformen är e t ut a)dt = L [ut a)] = e a a e t dt = e t t=a EXEMPEL Fördröjningaten Betrakta originalfunktionen 2 if < t < π, ft) = if π < t < 2π, in t if t > 2π, ) Betäm Laplacetranformen F ) Löning Skriv ft) i ) med häjlp av Heaviide tegfunktion, dv, använd avkärning: ft) ft)ut) fördröjning: ft)ut) ft a)ut a) 2ut) if < t < π, ft) = 2ut) 2ut π) = if π < t, 2ut) 2ut π) + ut 2π) in t = ft) for all t > Då ft) = 2ut) 2ut π) + ut 2π) in t t >, vi kriv den ita termen om ut 2π) in t 2π) efterom in x är en periodik funktion), F ) = 2 2 e π e 2π efterom Laplacetranformen av ft) = in ωt är Laplacetranformen av in t är L f) = ω 2 + ω 2 L in t) = 2 +

3 EXEMPEL 2 Betrakta Laplacetranformen F ) = e 2 4 e 2 + Betäm originalfunktionen ft) Löning Utan exponentialfunktioner, har fyra termer 2, 2 2, 4 2, e π 2) i 2) originalfunktioner 2t, 2t, 4 co t efterom Laplacetranformen av co ωt är L co ωt) = 2 + ω 2 L co t) = ω = ) 2 + Enligt SATS, kan man kriva originalfunktionen ft) om har Laplacetranformen F ) 2) med häjlp av Heaviide tegfunktion: Då ft) = 2t 2t 2)ut 2) 4ut 2) + ut π) co t π) = 2t 2tut 2) 4ut 2) co tut π) 2t if < t < 2, ft) = 2t 2t = if 2 < t < π, 2t 2t co t = co t if t > π, 3) Dirac deltafunktion Betrakta impulfunktionen f k t a) = { /k if a t a + k, otherwie, 4) De impul I k definiera om integralen I k = f k t a)dt = a+k a k dt =

4 Man kan kriva impulfunktionen ft) 4) med häjlp av Heaviide tegfunktion ft) Laplacetranformen är f k t a) = [ut a) ut a + k))] k L f k t a)) = k [e a e a+k) a e k ] = e k Skriv en formell definition en formell gränpul) δt a) = lim k f k t a) δt a) kalla Dirac deltafunktion Laplacetranformen av Dirac deltafunktion definiera om ett gränvärde Vi har a e k L {δt a)} = lim L f k t a)) = lim e k k k e a lim k k + Ok) 2 ) k Derivator till Laplaceintegraler Betrakta Laplacetranformen L {δt a)} = e a, F ) = L f) = L {δt)} = = = e a lim k [ + Ok)] = e a, De derivata få genom derivering under integraltecknet Vi har F ) = e t ft)dt e t [tft)]dt L [tft)] = F ), man kan kriva det om en originalfunktion EXEMPEL tft) = L [F )] Via att F ) = F ) = F ) = ft) = in βt βt co βt) 2 + β 2 ) 2 2β3 5) 2 + β 2 ) 2 ft) = t in βt 2β 6) β 2 ) 2 ft) = in βt + βt co βt) 2β 7)

5 Löning Vi har Vidare, L in βt) = Dividiera den genom 2β få 6) Då L L co βt) = L t in βt) = ) t in βt = 2β PROBLEM 522a ger Laplacetranformen L e t in ωtdt = 2 + β 2 2β 2 + β 2 ) 2 L t co βt) = 2 β β 2 ) 2 t co βt ± t ) in βt β 2 β β 2 ) 2 ± 2 + β β 2 ) 2 = β 2 + β 2, 2 + β 2 ) 2 8) = 2 β β 2 ) ± β = 2 { 2 2 2β 2 } 2 + β 2 ) β 2 ) 2 vi får 7) plu, förta termen) 5) minu, andra termen) Integration av Laplaceintegraler Om ft) har Laplacetranform gränvärdet lim t + ft)/t exiterar, då { } ft) L = t originalfunktionen få genom integration Bevi ft) t F )d = Genom att byta integrationordning, får vi F )d = [ = L { [ e t ft)d ] dt = F )d, F )d } { t ft) ft) e dt = L t t ] e t ft)dt d } [ ] ft) e t d dt = > k)

6 EXEMPEL 2 Betäm originalfunktionen till Laplacetranformen Löning Vi har F ) = d d ln ) + ω2 2 Tabellen för Laplacetranformation ger Vidare, ft) t F ) = ln = + ω2 2 + ω2 2 ) 2) ω2 = 2ω ω 2 ) = 2 2 { } 2 ft) = L [ F )] = L 2 = 2 2 co ωt 2 + ω 2 = L F ) = L {ln vi får originalfunktionen L {ln + ω2 2 + ω2 2 )} )} = L { = 2 co ωt) t 2 + ω ) } d, ) 2 + ω 2

7 PROBLEM 533 Betäm Laplacetranformen av ft) = t )ut ) Löning Enligt SATS 53, avkärningfunktionen ft) = t )ut ) = { if t <, t ) if t > har tranformen e F ), där F ) är tranformen av ft) = t: L [t )ut )] = e L t) = e 2 PROBLEM 534 Betäm Laplacetranformen av ft) = t ) 2 ut ) Löning Vi har F ) = L [t 2 ] = 2 3, L [t ) 2 ut )] = e L t 2 ) = 2e 3 PROBLEM 535 Betäm Laplacetranformen av Löning Vi har ft) = t 2 ut ) ft) = [t ) + ] 2 ut ) = t ) 2 ut ) + 2t )ut ) + ut ) L f) = 2e 3 + 2e 2 + e = e PROBLEM 539 Betäm Laplacetranformen av ft) = in ωt < t < π/ω) Löning Vi har ft) = [ut) ut π/ω)] in ωt = ut) in ωt + ut π/ω) in ωt π/ω)

8 ω L f) = L ut) in ωt) + L ut π/ω) in ωt π/ω)) = 2 + ω + ω 2 e π/ω 2 + ω 2 PROBLEM 544 Antag att Laplacetranformen är F ) = 4 e 2 2e 5 Finn originalfunktionen ft) Löning Utan exponentialfunktionen, har Laplacetranformen originalfunktionen 4ut) efterom Laplacetranformen av ut) är 4 L u) = Genom SATS, ft) = 4ut 2) 8ut 5) PROBLEM 545 Antag att Laplacetranformen är F ) = e 3 9) 3 Finn originalfunktionen ft) Löning Utan exponentialfunktionen, har Laplacetranformen originalfunktionen 5t 2 efterom Laplacetranformen av t 2 är 3 ) L t 2 ) = 2 3 Enligt SATS, kan man kriva originalfunktionen ft) om har Laplacetranformen F ) 9) med häjlp av Heaviide tegfunktion: ft) = 5ut 3)t 3) 2 PROBLEM 532 Lö begynnelevärdeproblemet y + 6y + 8y = e 3t e 5t, y) =, y ) = ) Löning Vi löer begynnelevärdeproblemet med hjälp av Laplace metod

9 Steg Sätt Y = L y), rt) = e 3t e 5t, R = L r) = L e 3t ) L e 5t ) = , Laplacetranformera båda leden i y + 6y + 8y = rt) få idoekvationen eller Steg 2 L y ) + 6L y ) + 8L y) = , [ 2 Y y) y )] + 6[Y y)] + 8Y = )Y = Lö ekvationen genom att använda tranferfunktionen Vi får Y ) = Partialbråkuppdelning ger Då Steg 3 Q = Q) = = + 2) + 4), Q) = 2Y ) = ) Q) = + 3 ) = 2 ) = + 3 ) ) + 2) + 5) + 2) + 3) + 4) + + 5) + 4) = Y ) = Beräkna löningen PROBLEM 5323 Lö begynnelevärdeproblemet yt) = L Y ) = 3 e 2t e 3t + e 4t 3 e 5t = 3 e 5t e 3t 3e 2t + 3e t ) = 3 e 5t e t ) 3 y + 9y = rt), rt) = 8 in t, < t < π,, t > π; y) =, y ) = 4 ),

10 Löning Vi löer begynnelevärdeproblemet med hjälp av Laplace metod Steg Sätt Y = L y), rt) = 8[ut) ut π)] in t = 8ut) in t 8ut π) int π) R) = L r) = 8L ut) in t) 8L ut π) int π)) = e π 2 + Laplacetranformera båda leden i differentialekvationen y + 9y = rt) få idoekvationen eller Vi får Steg 2 Steg 3 L y ) + 9L y) = R), [ 2 Y y) y )] + 9Y = R), 2 + 9)Y = 4 + R) Lö ekvationen genom att använda tranferfunktionen Y ) = Q = Q) = e π e π = 2 + ) = e π e π Beräkna löningen yt) = L Y ) = in 3t + in t ut π) in t + ut π) in 3t 3 Då man kan kriva yt) = in 3t + in t, < t < π, yt) = in 3t + in t in t + 3 in 3t = 4 in 3t, t > π 3 PROBLEM 54 Betäm Laplacetranformen av gt) = te t Löning Laplacetranformen av derivatan L [tft)] = F ), där F ) = L f), ger tft) = L [F )]

11 Sätt Vidare, ft) = e t L [ft)] = F ) =, ) gt) = tft) = L [F )] = L ) 2 PROBLEM 542 Betäm Laplacetranformen av Löning Laplacetranformen av derivatan där F ) = L f), ger Sätt Då PROBLEM 543 Betäm Laplacetranformen av gt) = 3t inh 4t L [tft)] = F ), tft) = L [F )] ft) = 3 inh 4t 4 L [ft)] = 3L inh 4t) = F ) = 3 2 6, ) gt) = tft) = L [F )] = 24)L 2 6) 2 gt) = t 2 coh πt Löning Löningen till PROBLEM 522e ger L t coh πt) = F ) = 2 + π 2 reultatet få genom inveretranformering 2 π 2 ) 2 gt) = tt coh πt) = L [F )] = 2L 3 + 3π 2 ) 2 π 2 ) 3

12 PROBLEM 549 Betäm originalfunktionen till Laplacetranformen Löning Tabellen ger Betrakta originalfunktionen Enligt dämpningat 52, eller å får vi e 3t Inveretranformation av derivatan ger F ) = 3) 3 F ) = d d F ), F ) = 2 3) 2 ft) = 2 t : F ) = L f) = 2 2 L e at ft)) = F a), e at ft) = L F a)), ) t = L 2 F 3)) = L 2 t[e 3t Nu kan vi kriva originalfunktionen ft) till ) 3) 2 ) t] = L [ 2 F )] = L [F )] F ) = L f) = ft) = t[e 3t 3) 3, ) t] = 2 2 t2 e 3t PROBLEM 54 Betäm originalfunktionen till F ) = 2 9) 2 Löning Vi betraktar tranformparet f, F från EXEMPEL ft) = t 2β in βt : F ) = 2 + β 2 ) 2 2) Tabellen ger L inh βt) = β 2 β 2,

13 Använd löningen till PROBLEM 522f, L coh βt) = L t inh βt) = Dividiera den ita likheten med 2β kriv L ) t inh βt = 2β 2 β 2, 2β 2 β 2 ) 2 2 β 2 ) 2 För β = 3, får vi 2) F ) = ) t 2 9) = L 2 6 inh 3t PROBLEM 54 Betäm originalfunktionen ft) till F ) = 2 π π 2 ) 2 Löning Från EXEMPEL, får vi Laplacetranformerna F ) = F 2 ) = f 2 + π 2 ) 2 t) = in πt πt co πt) 2π3 2 f 2 + π 2 ) 2 2 t) = in πt + πt co πt) 2π Nu kan vi betämma originalfunktionen ft) genom linearitet { L [F 2 ) π 2 F )] = L 2 π 2 } = 2 + π 2 ) 2 in πt + πt co πt) π2 in πt πt co πt) = 2πt co πt) = t co πt, 2π 2π3 2π om ammanfaller med Laplacetranformen i PROBLEM 522a ätt β = π) L t co βt) = 2 β β 2 ) 2