Lösningsförslag till tentamen i TSRT19 Reglerteknik Tentamensdatum: Svante Gunnarsson

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Lösningsförslag till tentamen i TSRT19 Reglerteknik Tentamensdatum: Svante Gunnarsson"

Agneta Olofsson
för 7 år sedan
Visningar:

1 Löningförlag till tentamen i TSRT9 Reglerteknik Tentamendatum: Svante Gunnaron. (a) Styrignaler: Gapådrag, rattvinkel Utignaler: Hatighet, poition på vägbanan Störignaler: Vind, uppför-/nedförbackar (b) Sytem III är intabilt, vilket gör att ytemet kan uteluta. Sytem VII har negativ tatik förtärkning G(0) vilket gör att ytemet kan uteluta. Sytem VIII har tatik förtärkning /0 vilket gör att ytemet kan uteluta. För ytemet I ingår faktorn (+) även i nämnaren vilket gör att faktorn kan förkorta bort, vilket innebär att ytem I och ytem IV är amma. Sytem II och VI har komplexa poler, men polerna ho ytem VI har törre imaginärdel relativt realdelen än ytem II, vilket motvarar ett mera ocillativt tegvar. Det medför att II hör ihop med B och VI hör ihop med D. Sytem I (och IV) amt ytem V har en reell pol, vilket motvarar ett monotont tegvar. För ytem V ligger polen längre till vänter utmed negativa realaxeln, vilket motvarar ett nabbare tegvar. Detta gör att V hör amman med C och I (och IV) hör amman med A. Svar: A - I och IV, B - II, C - V, D - VI (c) Egenkaperna uppfyll t ex med överföringfunktionen G() = där G(0) = k = 4 och tidkontanten τ = 0.5. k τ + Ver: 2 januari 207

2 2. (a) De tre grundläggande begränningarna är: Oäkerheter i den matematika modellen av det ytem om ka tyra Begränningar ho tyrignalen Oäkerheter i mätningen av utignalen (b) Känlighetfunktionen ge av vilket i detta fall innebär S() = S() = + F ()G() ( + )2 ( + ) 2 + K Kravet på förtärkningen vid frekvenen ω = ger S(i ) = K 2 0. d v K (c) Det återkopplade ytemet karakteritika ekvation ge av det(λ I (A BL)) = 0 d v λ 2 + (2 + l )λ + ( + l + l 2 ) = 0 I del fyra fallen ger detta polerna (i) λ =, (ii) λ = ± 2i (iii) λ = ± 8 (iv) λ = 5, I fall (iii) ligger en av polerna i höger halvplan, d v ytemet är intabilt. Detta fall hör ihop med B. I fall (ii) är polerna komplexa, d v ytemet är ocillativt. Detta hör ihop med C. I fall (iv) är en pol nabbare. Detta hör ihop med A. Detta ger lutligen (i) D. Svar: A - iv, B - iii, C - ii, D - i 2 Ver: 2 januari 207

3 3. (a) Det återkopplade ytemet överföringfunktion ge av I detta fall är G C () = G() = F ()G() + F ()G() ( + 2) och F () = K P + K I = K P + K I Den karakteritika ekvationen, d v nämnaren ho G C () ge av 2 ( + 2) + (K P + K I ) = 0 (b) Det återkopplade ytemet är tabilt när amtliga poler (rötter till den karakteritika ekvationen) har trikt negativ realdel. Detta gäller enligt figuren för K I < 3. (c) Den relativa dämpningen är törre än 0.7 om abolutbeloppet för polerna realdel är törre än imaginärdelen, d v när vinkeln mellan polerna lägen och negativa realaxeln än mindre än 45. Se figur 2.6 i läroboken. Enligt Figur 5 gäller detta för K I < 0.5. (d) De komplexa polerna har relativ dämpning 0.7 när polerna ligger i = 0.5 ± i0.5. En jämförele med tandardpolynoment 2 + 2ζω 0 + ω 2 0 = 0 ger att polerna avtånd till origo ge av ω 0 = 0.7. Uttrycken för tigtid och överläng, e exempel 3.3 i läroboken, ger att T r 3. och M 0.05, d v 5 procent. 3 Ver: 2 januari 207

4 4. (a) När inignalen (momentet) är kontant kommer motorn och laten att, efter en tid, rotera med kontant hatighet, d v vinkeln växer hela tiden, d v θ a (t) växer obegränat. Vinkelhatigheten θ a (t) kommer att gå mot ett kontant värde, vilket kan betämma med hjälp av G() på följande ätt. Överföringfunktionen äger att Θ a () = G()U() vilket innebär att vinkelhatigheten Laplacetranform ge av G()U() och vinkelhatigheten lutvärde kan beräkna enligt lim θ a (t) = lim G() t 0 = 40 (b) Vid ω = 0 rad/ gäller arg G 0 (iω) = 78 och G 0 (iω) 0.2. Detta medför önkad faökning på = 54, vilket få med β = 0.. Faökningen placera i rätt frekvenintervall med τ D = /(0 0.) = Den önkade kärfrekvenen erhåll genom att välja K = d v K = 2.6. Förtärkning och lead-kompeneringen blir alltå F lead () = Överföringfunktionen från törningen W till reglerfel ge (i likhet med Lab 2) av E() = + F ()G() R() G() + F ()G() W () Vid en kontant referenignal r(t) = B, d v R() = B/ och en kontant törning w(t) = A, d v W () = A/ ger lutvärdeteoremet lim t = lim E() = 0 A 0 F (0) = Aγ K =. Lag- För att eliminera reglerfelet fulltändigt välj γ = 0. Tumregelen ger vidare τ I kompeneringen blir alltå F lag () = + Svar: F () = Ver: 2 januari 207

5 5. (a) Med de givna tilltåndvariablerna få ẋ = θ = x 2 ẋ 2 = θ = u vilket ger ẋ = ( ) ( 0 0 x + u 0 0 ) (b) Tilltåndåterkopplingen u = Lx ger att det återkopplade ytemet får den karakteritika ekvationen λ 2 + l 2 λ + l = 0 Polplacering i a motvarar den önkade ekvationen (λ + a) 2 = λ 2 + 2aλ + a 2 = 0 Jämförele ger l = a 2 l 2 = 2a (c) Styrignalen har en extrempunkt ( u(t) = 0) vid t = 2/a med värdet u(2/a) = a 2 e 2 θ 0. Vidare gäller att u(t) 0 då t amt u(0) = a 2 θ 0. Styrignalen abolutbelopp är alltå tört vid t = 0. Villkoret ger a 2 θ 0 0 d v 0 a En tor förflyttning (θ 0 tor) medför att a måte välja litet (långamt ytem) för att momentgränen ej kall överkrida. (d) Den karakteritika ekvationen för allmänt J är θ 0 λ 2 + J 2a + J a2 = 0 Jämförele med ekvationen ger 2 + 2ζω 0 + ω 2 0 = 0 ζ = J Större tröghetmoment J > medför att den relativa dämpningen minkar, d v ytemet blir ocillativt. Om kravet är att armen kall tyra utan överlängar är det alltå allvarligare om det verkliga tröghetmomentet är törre än det om antagit. 5 Ver: 2 januari 207

Relevanta dokument

Lösningar till tentamen i Reglerteknik

Lösningar till tentamen i Reglerteknik Löningar till tentamen i Reglerteknik Tentamendatum: 8 Juni 205. (a) Välj t.ex. tyrbar kanonik form 5 4 3 ẋ(t) = 0 0 x(t) + 0 u(t) 0 0 0 y(t) = ( 0 ) x(t) (b) Stabilt ytem och tationär förtärkning G(0)