Implementering av ett magnetlager MADELEINE YMERSON

Transkript

1 Implementering av ett magnetlager MADELEINE YMERSON Examenarbete Stockholm, Sverige 2007

2 Implementering av ett magnetlager av Madeleine Ymeron Examenarbete MMK 2007:0 MDA 293 KTH Indutriell teknik och management Makinkontruktion SE STOCKHOLM

3 Examenarbete MMK 2007:0 MDA 293 Implementering av ett magnetlager Madeleine Ymeron Godkänt Examinator Jan Wikander Uppdraggivare Lembke Innovation Handledare Bengt Erikon Kontaktperon Torbjörn Lembke Sammanfattning Magnetlager bygger på att med magnetik kraft få rotorn att väva å att den aldrig kommer i kontakt med tatorn. Minimalt litage och oberoende av mörjmedel hör till de törta fördelarna med magnetlager. Marcu Grantröm har i ett pågående examenarbete viat att det är teoretikt möjligt att bygga ett magnetlager. Marcu Grantröm har tagit fram en Simulinkmodell över proceen inkluive regulator. Vidare finn flera olika tänkbara regulatorer förelagna. Detta examenarbete är en fortättning på Marcu Grantröm examenarbete och utgår från de modeller om tagit fram. I denna avhandling underök möjligheten att realiera teorierna om ett magnetlager. Fört analyera modellen för att ta reda på vilka eventuella approximationer och antaganden om gjort och hur hänyn till detta ka kunna ta. Sedan ta hårdvarukrav och mjukvarukrav fram för att i lutänden mynna ut i en utredning om det idag finn komponenter på marknaden om klarar kraven. Den magnetlagermodell om i huvudak har analyerat är en trömtyrd modell. Regulator har dikretierat och förett med antialiafilter. Simuleringar har viat att den PWM-ignal om tyr trömmen till elektromagneterna och därmed tyr magnetfältet tyrka måte kunna ändra med mint khz. Samplingfrekvenen är det främta kravet för val av proceor. Den tröm om måte kunna leverera är i genomnitt 2 A under de förta 0.5 ekunderna (upptarttiden). Vid kontinuerlig drift kommer lagret att kräva betydligt mindre tröm. Maximala trömpikar om kommer att kräva är enligt imuleringar 23A. Även en pänningtyrd modell har tagit fram och analyerat. Slutligen jämförde en alternativ regulator, PID_I, med PID-regulatorn. Båda regulatorerna var förelagna av Marcu Grantröm. Simuleringreultat viade att PID_I-regulatorn är överlägen vad beträffar låg trömförbrukning. PID_I-regulatorn förutätter att trömmen kan mäta till killnad från PID-regulatorn. Regulatorerna om jämförde dikretierade inte innan imuleringana gjorde. I reultatet måte därför beakta att proportionerna kan komma att ändra vid en dikretiering.

4 Mater of Science Thei MMK 2007:0 MDA 293 Implementation of a magnetic bearing Madeleine Ymeron Approved Examiner Jan Wikander Commiioner Lemke Innovation Supervior Bengt Erikon Contact peron Torbjörn Lembke Abtract The idea of a magnetic bearing i to make the rotating part hover o that it won t touch the tator part. Minimal friction and wear and independence of lubrication are among the larget advantage. Marcu Grantröm ha in a preent Mater of Science Thei howed that it i theoretical poible to build a magnetic bearing. Marcu Grantröm ha made a Simulinkmodel over the proce, the controller included. Further Marcu Grantröm ha uggeted ome alternative controller. Thi Mater of Science Thei i to continue at Marcu Grantröm examine work and aume from the model that he ha built. In thi report the poibility to implement a magnetic bearing i examined. Firt the model i analyzed to find out what approximation and aumption that have been made and how conideration to it could be taken. Further hardware pecification and oftware pecification have been made. The pecification are ued to find out if there are component on the market that atifie all the demand. The magnetic bearing model that ha been previouly analyzed i the current controlled model. The model of the controller ha been dicretizied and an antialiafilter ha been added to the model. Simulation ha howed that the PWM-ignal that control the current to the electromagnet and indirect the magnetic field mut be able to been changed at leat with KHz. The frequency i the premier requirement for the choice of proceor. The current that ha to be able to be delivered i 2A during the fir 0.5 econd, the tarting proce. At continue operation the bearing will need le current. The maximum needed current i 23A. A voltagecontrolled bearing model ha been made and analyzed. Finally an alternative controller which Marcu Grantröm had uggeted were evaluated. By far the bet reult concerning the current conumption gave the PID_I-controller, a cacadecontroller. The PID_I-controller preuppoe that the current can be meaured. The controller that wa compared wan t dicretizied. The reult therefore ha to be taken into account that the proportion can be changed after a dicretization.

5 Innehåll. Nomenklatur Inledning Bakgrund Problembekrivning Metodbekrivning Litteraturtudie Reglering av intabila ytem Exempel på intabila ytem Reglerytemet uppgifter Vilka ignaler ka behandla i ytemet? Den enklate tyrignalen Hur bra regulator kan man göra? Olika typer av regulatorer för att reglera den inverterade pendeln poition Rate limiter controller Reference governor Cacade aturation controller Sammanfattning och dikuion kring de olika regulatorerna Rate limiter controller Reference governor Cacade aturation controller Alternativa reglertrukturer Framkoppling Kakadreglering Otto-Smith-Regulatorn Lågpafilter Hur verkar ett lågpafilter? Val av amplingintervall Vilken ordning och typ av filter bör använda? Vilken brytfrekven bör välja? Kontruktion av lågpafilter Bekrivning av befintlig magnetlagermodell Strömförtärkare eller pänningförtärkare? Strömtyrd lagermodell Regulator Poitionmätare Magnetlagermodellen överföringfunktion Reglerkontruktion Polplacering Polerna inverkan på trömmen, poitionen och nabbheten Analy av ingående komponenter Hur ytemet är tänkt att fungera Analy av magnetlagret komponenter Regulatorn begränningar Poitionmätaren begränningar Sampelet mellan proceorn och poitionmätaren Lagret begränningar Strömförtärkaren begränningar Verklighetanpaning av modellen Verklighetanpaning av proceor Verklighetanpaning av lagermodellen (=pänningtyrd lagermodell) Verklighetanpaning av poitionmätaren Hårdvarukrav...36

6 9.. Proceor Filter Lager Drivkret Strömförtärkare Spänningförtärkare Poitionmätare Utvärdering av befintlig utrutning Mjukvara, utvärdering av LabVIEW och dspace Poitionmätare Strömförtärkare Bekrivning av en alternativ regulator Modell PID_I Jämförele av de olika regulatorerna Förlag till fortatt arbete Slutat Referenlita litteraturtudie intabila ytem och reglertrukturer...45 Bilaga A Maplekod för polplacering av modell PID Bilaga B Matlabkod för imulering av modell PID Bilaga C Maplekod för polplacering för den pänningtyrda magnetlagermodellen...50 Bilaga D Matlabkod för imulering av den pänningtyrda magnetlagermodellen...53 Bilaga E Maplekod för polplacering av modell PID_I...55 Bilaga F Matlabkod för imulering av modell PID_I...57

7 .Nomenklatur Nedan ange de beteckningar om använt i amband med modellering och imulering av magnetlgaret. Övriga beteckningar finn förklarade i den löpande texten. u y r G ry G pid G pid_filter G alm G lm P pol P2 pol 2 P3 pol 3 inignal till magnetlagret utignal från magnetlagret referenignal för hela proceen överföringfunktion för magnetlagret överföringfunktion för PID-regulatorn överföringfunktionen för PID-regulatorn med filterdel på D-delen överföringfunktion för den approximativa lagermodellen överföringfunktion för lagermodell inkluive reitan och induktan K pm kalfaktor för omvandling av poition till pänning för poitionmätaren K trömförtärkare K u pänning -hatighetkoefficient K i kraft -trömfaktor K kraft -poitionfaktor m rotorn maa P regulatorn P-del I regulatorn I-del D regulatorn D-del N filterkontant R reitan i polen lindning L induktan i polen i lagret F magnetik kraft ζ, ω, α parametrar för att bekriva den generella karaktäritika ekvationen

8 2. Inledning 2.. Bakgrund Ett lager är ett element om kall bära en makindel om rör ig i förhållande till en annan och ta upp de krafter om kräv. Ett lager har ockå till uppgift att minka friktionen mellan de två rörliga delarna. Ett magnetlager bygger på att utnyttja magnetik kraft för att de rörliga delarna aldrig ka komma i kontakt med varandra. Magnetlager kan betå av elektromagneter eller en kombination av permanentmagneter och elektromagneter. De viktigate komponenterna i ett magnetlager är regulator, lager (mekaniken) och poitiongivare för rotorn. Principen är följande: en regulator beräknar med hjälp av en poitionangivele av rotorn en tyrtröm till elektromagneterna. Strömmen i polen gör att det altra ett magnetfält om ger upphov till magnetika krafter. Krafterna vill påverka rotorn att flytta till den av regulatorn beräknade önkad poitionen. De törta fördelarna med magnetlager är att de ger minimalt med litage på rotor och tator och att de inte kräver något mörjmedel. Nackdelen är att det är dyra. Användningområdet för magnetlager är idag främt inom rymdindutrin och kärnkraftverk där fördelarna väger tyngre än priet. Tron på att marknaden börjar bli redo för magnetlager även inom andra arbetområden om t.ex. fordonindutrin gav uppdraggivaren Torbjörn Lembke, VD för Lembke Innovation, idén till detta examenarbete. Marcu Grantröm [] påbörjade utvecklingen av ett magnetlager för 2V-applikationer genom att kontruera lagerdelen och göra modeller över magnetlagret. Grantröm har även förelagit olika regulatorer. Detta examenarbete är en fortättning på Marcu Grantröm pågående examenarbete. Det lager om denna rapport handlar om är ett lager om är paivt radiallagrat med aktiv axialtyrning. Permanentmagneter tabilierar rotorn i radialled vilket medför att lagret blir intabilt i axialled och vill kjuta iväg i denna riktning. Önkvärt vore att även tabiliera magnetlagret med permanentmagneter i axialled. Men efterom detta inte är möjligt måte lagret itället tyra aktivt av elektromagneter i axialled. Slutmålet är en prototyp av magnetlagret där en poitionignal kicka till en proceor om beräknar den tyrignal till elektromagneterna om kräv för att hålla rotorn vävande i en fix poition. För att förtärka ignalen från proceorn å att lagret kan driva behöv även en drivkret. Lagret kan vara trömtyrt alternativ pänningtyrt. I det pänningtyrda fallet kräv en drivkret i form av en pänningförtärkare. Den modell om Marcu Grantröm tagit fram är en trömtyrd modell. Drivkreten är en trömförtärkare om omvandlar tyrignalen från proceorn till en tillräckligt hög tröm för att driva lagret. Nedan via en principki på hur ett magnetlager om är trömtyrt generellt fungerar. 2

9 pänning pänning tyrignal pänning tröm Proceor Strömförtärkare Poitionignal om motvarar rotorn poition. Ström till polen om ger upphov till magnetika krafter i lagret pänning poition Rotorn poition läe in av poitionmätaren. poition tröm Poitionmätare Lager Figur. Bilden viar en principki över ett trömtyrt magnetlager. Proceorn beräknar m.h.a. en poitionignal från poitionmätaren en tyrtröm. Strömmen får magnetlagret att altra ett magnetfält. De magnetika krafterna om uppkommer p.g.a. magnetfältet påverkar rotorn poition. Efterom proceorn inte kan ge å höga trömmar om kräv för att driva lagret kräv även en trömförtärkare Problembekrivning Modellen ka analyera för att ta reda på vad om kiljer verkligheten och modellen åt. Därefter ka modellen anpaa till verkligheten för att påvia om det är möjligt att bygga en fungerande prototyp. Vidare ka hårdvarukrav och mjukvarukrav ta fram för magnetlagret om ka tå till grund för val av proceor och övrig hårdvara. Två befintliga regulatorer om Marcu Grantröm förelagit i itt pågående examenarbete ka jämföra i fråga om trömförbrukning och nabbhet. I mån av tid ka en prototyp bygga och tetköra Metodbekrivning Matlab använd för att imulera modellen vid olika tegvar och inverkan av törignaler. För att ta reda på om det går att realiera magnetlagret modifiera modellen i Simulink å att den blir mer lik verkligheten. Därefter imulera den nya modellen och lutater dra av reultaten. LabVIEW alternativt dspace är tänkta att använda för att läa in inignaler och kicka ut en tyrignal om indirekt ka tyra magnetfältet tyrka. 3

10 3.Litteraturtudie Reglering av intabila ytem Denna litteraturtudie yftar till att underöka vilka regulatorer om idag använd vid reglering av intabila ytem och pecifikt för magnetlager. Syftet med litteraturtudien är att få nya upplag till regulatorer om kan implementera för att e om dea förbättrar ytemet egenkaper. P.g.a. att författaren till detta arbete inte hittat/lyckat få tillgång till litteratur om reglering av magnetlager pecifikt, underök itället vilka orter regulatorer om tidigare använt för att reglera intabila ytem i allmänhet. 3.. Exempel på intabila ytem Intabila ytem karaktäriera av att de divergerar från itt begynneletilltånd om de lämna åt ig jälva. Ett enkelt exempel på ett intabilt ytem är en inverterad pendel. Om den inte hela tiden balanera å faller den. Andra exempel på intabila ytem är att föröka backa en bil med ett läp. Minta avvikele i kuren kan få läpet att driva rejält åt idan. Det enda ättet att hålla ett intabilt ytem vid itt börvärde är genom att använda återkoppling [6] och [] Reglerytemet uppgifter Alla reglerytem kan äga ha två viktiga uppgifter oavett applikation. Del ka regulatorn klara av att kompenera för törningar å att det inte får för tor inverkan på ytemet. Regulatorn ka nabbt upptäcka och jutera för tora killnader mellan referenignalen (det önkade värdet) och den reglerade torheten (det verkliga värdet). Den andra viktiga funktionen om ett reglerytem ka ha är att nabbt kunna följa förändringar i referenvärdet [] och [6]. För att göra en å bra regulator om möjligt kräv att man analyerar det pecifika reglerproblemet för att e vilken egenkap om är viktigat. Tag om exempel fallet med den inverterade pendeln. Önka tabilitet av en vi poition är det kompenering av törningar om är viktigat. Ligger intreet itället i att röra pendeln enligt ett givet mönter är det följamhet av referenignalen om är viktigat []. I fallet med magnetlagret är referenignalen kontant, varför det endat är den förta uppgiften om är av intree. I [7] underök vilken typ av reglering om kräv för ett intabilt ytem där tyrignalen aturerar. Stabiliteten har högta prioritet. I andra hand kommer följamheten av en föränderlig referenignal. Referenignalen kan ibland förtöra den rådande tabiliteten, t.ex. om ignalen har för hög amplitud. Referenignalen betydele bör därför begräna å att tabiliteten kan garantera Vilka ignaler ka behandla i ytemet? Vilka ignaler om mät och återkoppla i ett ytem beror på vad om ka reglera och tyra. I fallet med den inverterade pendeln mät poitionen när man önkar tabilitet av en vi poition. Önka däremot att pendeln ka förflytta ig från ett horiontalläge till ett vertikalt läge kan det vara fördelaktigt att tyra vinkelhatigheten itället. Detta för att pendeln inte ka ha någon hatighet kvar (lå över) när den nått itt vertikala läge [7]. 4

11 3.3. Den enklate tyrignalen Antag att ytemet om ka reglera ge av Ekvation. Ekvationen är en rad differentialekvationer om är kriven på matriform,.k. tilltåndform. x är tilltåndvektorn (utignalerna) och u är inignalerna []. Om alla ingående delar av x inte kan mäta, kan de värden itället katta. Antag att tyrlagen är Då ge det lutna ytemet av Ekvation 3. x = A x + B u Ekvation u = L x Ekvation 2 x = ( A B L) x Ekvation 3 Vektorn L kan ta fram på många olika ätt, bl.a. med hjälp av LQ-optimalreglering. Metoden ger en bra intuitiv tolkning av ytemet. LQ-deignen ger två viktningmatrier Q och R. Q använd för att lokaliera traffvikten för de olika tilltånden och R använd för att vikta tyrignalen [2] Hur bra regulator kan man göra? Innan man ätter igång och beräknar en regulator med god följamhet av referenignalen kan det vara en god idé att ta reda på vad man kan förvänta ig av det linjära lutna ytemet. Hur väl ytemet fungerar kan mäta genom att titta på bandbredden för det lutna ytemet givet en vi famarginal eller åtmintone acceptabel famarginal. Antag ett reglerat linjärt ytem med överföringfunktionen G() och regulatorn C(). Då ge kreten överföringfunktion av Ekvation 4. L( ) = G( ) C( ) Ekvation 4 Kreten är luten med negativ återkoppling. Genom att göra en bodeplot över L() kan man ta reda på information om det lutna ytemet egenkaper [7] Olika typer av regulatorer för att reglera den inverterade pendeln poition 3.5..Rate limiter controller Nedan ge två metoder för att löa ervoproblemet, båda är varianter av Rate limiter controller(=frekvenbegränande regulator). Metod 5

12 Styrignalen ge av en faktor multiplicerat med killnaden mellan referenignalen och den reglerade torheten. u = L( r x) Ekvation 5 u=tyrignal, r =referenignal, x = den reglerade torheten och L är en kontant. Den törta tyrkan för denna metod är enkelheten. Den är lätt att förtå och implementera och metoden är därför mycket använd. En nackdel med metoden är att det inte går att avgöra om det är referenignalen eller den återkopplade ignalen om ändrat. Det går heller inte att e om törignalerna kom från referenignalen eller den återkopplade ignalen. Metod 2 En annan metod för att löa ervoproblemet är en kombination av framkoppling och återkoppling, [7] refererar till Åtröm och Wittenmark (997). Strukturen kalla two degree of freedom controller och är en regulator med två frihetgrader. Den betår av en framkoppling och en återkoppling. Återkopplingen har till uppgift att ta bort effekterna av törningar, oäkerheter i modellen, procevariationer etc. Det är ockå återkopplingen om betämmer ytemet robuthet [7]. Framkopplingen är ämnad för att ytemet bättre ka kunna följa en referenignal. Framkopplingen har två uppgifter. Del ka den generera en framkopplingignal och del ka den generera ett förväntat tilltåndvar för den givna referenbanan. Framkopplingignalen driver ytemet till den betämda poitionen. Om modellen var identik med det verkliga ytemet kulle det räcka med framkoppling. Efterom det aldrig är fallet återkoppla ignalen å att killnaden mellan den förväntade poitionen och den verkliga poitionen ka minka. Återkopplingen löer problemet med att verkligheten och modellen kiljer ig åt [7]. Sådana här trukturer har fördelarna att de kiljer på ervoproblemet och tabilitetproblemet. Detta möjliggör att regulatorerna för att löa de båda problemen kan få olika egenkaper. Framkoppling är till för att kunna följa referenignalen och återkopplingen är en föräkring för att erhålla robuthet även då oäkerheter och törningar råder [7]. Den här modellen kanke inte följer referenignalen på bäta ätt. Modellen tyrka är itället att de två olika reglerproblemen eparera[7]. Stabilitet är en egenkap av löningarna till en differentialekvation eller en mängd differentialekvationer. Det har två viktiga konekvener. Ett ytem kan generellt inte klaificera om tabilt eller intabilt. För det andra måte ekvationerna beakta i amband med initialvärdena. Linjära ytem är dock ett undantag. För linjära ytem är tabilitet en egenkap av ytemet jälvt amt de löningar. Den här utmärkelen är kritik. I fallet med pendeln betyder det att referenignalen kan göra ytemet intabilt [7]. Med en alltför tor referenignal kommer inignalen att aturera vilket gör ytemet intabilt. Ett ätt att föröka löa detta på är genom att filtrera referenignalen. Sammanfattningvi kan äga att fördelarna med denna regulator är att den är enkel och känn intuitiv. Regulatorn kräver heller inte mycket kunkap om ytemet, vilket ockå kan vara en fördel. Nackdelen är att den inte nödvändigtvi ger en global tabiliering. Regulatorn kan tälla in å att den följer en referenignal med en peciell torlek på tegen bra. Men regulatorn milycka då att tabiliera ytemet för törre teg [7]. 6

13 De ny nämnda regulatorerna löer inte problemet med aturerande inignal. Ett tort teg i referenignalen kommer leda till intabilitet. Ett ätt att komma tillrätta med problemet är enligt [7] att införa ett filter för referenignalen. En (rate limiter= frekvenbegränare) preentera enligt [7] av Rundquit (997). Den begränar inte bara frekvenen utan filtrerar ockå referenignalen. Strategin kan implementera genom att ätta maxfrekvenen tillräckligt låg. Enligt [7] är en bättre idé att låta frekvenbegränningarna ändra med pendeln tilltånd Reference governor Ett annat ätt att komma runt problemet med aturering är att filtrera referenignalen värde baerat på maximal tillåten utignal. Denna regulatortyp kalla the reference governor, [7] refererar till Tan(99)och Gilbert(994) Cacade aturation controller Strategierna innan har alla gått ut på att undvika aturering. Så en intreant fråga är därför vad om händer om man tillåter aturering? Cacade aturation controller är en regulator om tillåter aturering av inignalen. [7] har underökt hur denna regulator klarar att reglera den inverterade pendeln. Det viade ig att tabila och intabila regioner i faplanet erhöll. Obervationer har gjort om viat att en aturerande inignal inte nödvändigtvi leder till intabilitet. Det viade ig ockå att de tabila regionerna var betydligt törre för ytemet när det tillät aturerande inignaler mot när ytemet hade atureringgräner Sammanfattning och dikuion kring de olika regulatorerna 3.6..Rate limiter controller Denna regulator baera på ett heuritikt reonemang. Fördelarna är att den är enkel och känn intuitiv. Regulatorn kräver heller inte mycket kunkap om ytemet, vilket ockå kan vara en fördel. Nackdelen är att den inte nödvändigtvi ger en global tabiliering. Regulatorn kan tälla in å att den följer en referenignal med en peciell torlek på tegen bra. Men regulatorn milycka då att tabiliera ytemet för törre teg [7] Reference governor Denna regulator trävar efter att undvika aturering genom att filtrera referenignalen. Denna regulator ger global tabilitet vilket gör den mycket intreant. Teorin om tillåten aturering är ockå attraktiv efterom den är å generell. Den är applicerbar på många olika begränade linjära ytem. Simuleringar om [7] har gjort viar att regulatorn klarar av att följa referenignalen mycket väl. Nackdelen är att den bygger på att man kan förute ytemet beteende långt fram i tiden. Det blir ett tort problem om modellen och verkligheten kiljer ig mycket åt Cacade aturation controller Denna metod underöker ytemet egenkaper när det har en aturerande inignal. Denna regulator ger ett globalt tabilt ytem för det lutna ytemet. Denna regulator har mint två nackdelar. Del kräver den mycket kännedom om ytemet. För det andra är den inte generell. En viktig del av deignandet av en ådan regulator är analy av faplanet av det begränade ytemet. Denna analy måte göra för varje ytem om ka reglera. Den fungerar dåligt på ytem av högre ordningen [7]. 7

14 3.7. Alternativa reglertrukturer P.g.a. att författaren till detta examenarbete inte hittade å mycket fakta om olika regulatorer för intabila ytem underökte även reglertrukturer rent allmänt för att e om detta kan ge några nya upplag. Nedan följer några vanliga typer av reglertrukturer om alla är hämtade ur []. Ofta finn det fler ignaler i ett ytem om går att mäta än utignalen. Om man gör mätningar av dea ignaler bör regleringen kunna bli bättre. Kakadreglering och framkoppling är två exempel på detta. Även Otto-Smith-regulatorn för ytem med tidfördröjningar ta upp Framkoppling Itället för att föröka eliminera effekten av törningar kan en idé itället vara att mäta dea och dra nytta av den erhållna informationen. Antag att en proce är törd av en törignal, e 2 törignal v Inignal Utignal modell av delproceen G H delproce G delproce G2 referenignal r Inignal Utignal Inignal Utignal utignal y Figur 2 nedan. 2 törignal v Inignal Utignal modell av delproceen G H delproce G delproce G2 referenignal r Inignal Utignal Inignal Utignal utignal y Figur 2 viar en modell över en proce om tör av en törignal. Genom att framkoppla ytemet kan inverkan av törignalen helt eliminera förutatt att regulatorn kontruera rätt. Nedan via ett blockchema för framkoppling. v är törignal och F f är regulatorn framkopplingdel. G och G 2 är delproceer och H är en modell av delproceen G. 8

15 törignal v Utignal Inignal framkoppling Ff Inignal Utignal modell av delproceen G H delproce G delproce G2 Inignal Utignal Inignal Utignal utignal y Figur 3 viar ett ytem med framkoppling. Tanken är att vetkap om törignalen utnyttja för att kompenera för törignalen å att de inverkan kan eliminera. Den nya utignalen blir y = G F f G H ) V 2 ( + Om F f Ekvation 6 G + H = 0 Ekvation 7 å eliminera inverkan av törningarna helt. Detta ger att H F f = Ekvation 8 En nackdel med framkoppling är att det framräknade F f kan vara vårt att implementera. Skillnader mellan det verkliga ytemet (G ) och modellen av det (H) gör att törignalen inte helt kan eliminera. Ett annat problem kan vara att om F f innebär en derivering å kanke detta bara kan göra approximativt, törningen eliminera inte helt. Framkopplingen är känlig för parametervariationer i ytemet och kräver god kunkap om ytemet. Fördelen med framkoppling är att den börjar motverka effekten av törningarna innan de fått utlag i ytemet. Efterom framkoppling inte kan göra perfekt i praktiken måte den komplettera med återkoppling [] Kakadreglering Antag att vattennivån i en tank önka reglera. Vattentanken kan dela in i två delproceer, del inflödet i tanken om kan reglera och del vattennivån i tanken om kan reglera, e Figur 4. G 9

16 inflöde till en vattentank G vattennivån i en vattentank G2 önkad vattennivå r Inignal Utignal z Inignal Utignal vattennivån y Figur 4 viar en modell över en vattentank var vattennivå önka reglera. Genom att inte bara mäta vattennivån i tanken utan ockå inflödet till tanken kan en truktur bygga upp där båda utignalerna använd för att reglera vattennivån, e Figur 5. Kakadregleringen bygger på att den inre kreten (Regulator R tillamman med delproceen G ) är mycket nabbare än den yttre kreten (delproceen G 2 och Regulator R 2 ). I vattentankanalogin motvara detta av att flödet i inloppet går att reglera mycket nabbare än vattennivån i tanken []. regulator om reglerar vattennivån i tanken R2 regulator om reglerar inflödet i vattentanken R inflödet till en vattentank G Inignal r Utignal Inignal önkad Inignal R_ref Utignal Inignal Utignal vattennivå Inignal u z vattennivå i en tank G2 Inignal Utignal vattennivån i tanken y Figur 5 viar en modell över en vattentank där vattennivån reglera med hjälp av kakadreglering. I fallet med magnetlagret går trömmen att reglera betydligt nabbare än poitionen. Kakadreglering kulle därför kunna vara en tänkbar reglertruktur. Nackdelen är att både tröm och poition måte mäta itället för att bara mäta poition Otto-Smith-Regulatorn Otto-Smith-regulatorn är pecialdeignad för ytem med tidfördröjningar. Antag att det ytem T om ka reglera har formen G( ). Tillvägagångättet är att fört kontruera en fungerande regulator om ka fungera om ytemet inte har några tidfördröjningar, e Figur 6. regulator F proce G r referenignal Inignal Utignal Inignal Utignal y utignal Figur 6 viar ett ytem med regulator om fungerar utan tidfördröjningar Lägg därefter till en kompenering för tidfördröjningen i regulatorn, e Figur 7. 0

17 referennignal r In Out del av Otto-Smith-regulatorn F In Out proce med tidfördröjning G*e^-T y utignal Out In del av Otto-Smith-regulatorn -G Out In del av Otto-Smith-regulatorn G*e^-T Figur 7 viar ett ytem med tidfördröjning om reglera m.h.a. en Otto-Smith-regulator. Överföringfunktionen för Otto-Smith-regulatorn blir: F T + ( e ) F G Överföringfunktionen från r till y blir: Ekvation 9 F G e + F G Ekvation 0 Sytemet får amma dynamik om ytemet i Figur 6. Däremot kan känlighetegenkaper och robuthet ändra. En nackdel är att man måte känna till G för att kunna bygga regulatorn []. T

18 4.Lågpafilter Mätignalen från poitiongivaren ka ta in i mikrokontrollern för att använda i beräkningarna för tyrignalen. Men mikrokontrollern kan inte ta in ignalen kontinuerligt utan läer in mätignalen med ett vit tidintervall. Signalen måte edan A/D-omvandla för att mikrokontrollerna ka kunna använda ignalen i beräkningarna. Av detta kommer följdfrågan: hur ofta måte mikrokontrollern läa in värdena för att inte för mycket information om mätignalen ka gå förlorad? Kombinationen mätbru och ampling gör att mätignalen ofta måte filtrera (genom ett lågpafilter) innan den ta in i mikrokontrollern. 4.. Hur verkar ett lågpafilter? Mätbru kommer p.g.a. aliaeffekten att felaktigt att tolka om låga frekvener. De måte därför eliminera före ampling. Det exakta värdet i amplingögonblicket är lumpmäigt (beroende på mätbruet variation) och kanke inte repreentativt för mätignalen. För att reducera denna lumpmäiga variation medelvärdebildar lågpafiltret ignalen å att det inte pelar å tor roll när värdena ampla [] Val av amplingintervall Vid amplad reglering förämra tabilitetmarginalen. Stabilitetmarginalerna blir ockå ämre ju törre amplingintervallet är. Ur reglerteknik ynpunkt är det m.a.o. bra att ampla å ofta om möjligt. Detta leder dock till praktika problem åom belatning på datorn och litage på tälldonen. Även numerika problem kan uppkomma vid alltför nabb ampling. A/Domvandlaren har begränad upplöning, det går inte att mäta hur må killnader om helt, å det är inte meningfullt att ampla alltför ofta. Sammanfattningvi kan äga att en å långam ampling om möjligt önka utan att tabilitetmarginalen förämra alltför mycket []. Om den nominella kärfrekvenen är ω c blir förämringen i famarginalen maximalt ω c T radianer enligt tumregeln. Om man vid deignen tagit till en marginal å att man kan tåla 20 grader faförämring (0.35 rad) får man följande riktmärke vid val av amplingtiden (T) []. ω T = 0.35 c Samplingfrekvenen ge av: Ekvation 2 inatt i Ekvation 3 ger: Vilket ger att: Ekvation T = 0.35 ω c Ekvation 2 π ω = 2 T Ekvation 3 ω = c 0.35ω 2 π Ekvation 4 2

19 ω 20 c ω Ekvation 5 Samplingfrekvenen är ca 20ggr nabbare än kärfrekvenen d.v.. ca 20 ggr bandbredden ho det lutna ytemet. Nyquitfrekvenen ge av: ω ω n = 2 Ekvation 6 Alla frekvener om är nabbare än Nyquitfrekvenen ω n (halva amplingfrekvenen) kan uppfatta om (d.v.. kan inte kilja från) en långammare frekven om tillhör intervallet [0, ω n ]. Detta fenomen brukar kalla aliaeffekten efterom frekvenen uppträder under falkt namn [] och [2]. Alternativt reonemang: Sampling innebär genomnittlig extra fördröjning på T/2. Sytemet ge av: G( ) = e T 2 Ekvation 7 Där T är intervallet om mätignalen ampla med. Vid kärfrekvenen gäller att: iω T c ω 2 c T arg G( i ωc ) = arg e = 2 Ekvation 8 Antag att vi kan tolerera 0 grader (=0.7 rad ) minkad famarginal. Då få ω c T=0.34. En vanlig tumregel är enligt [2]: 0.5 < ω T < 0.5 c Ekvation 9 Vikning En analog ignal med frekvenen ±ω ger efter ampling med frekvenen ω upphov till aliafrekvenerna ±ω + k ω där k är ett heltal. Aliafrekvenen i intervallet [0,ω n ] kalla den fundamentala aliafrekvenen. Signalpektrat vik över nyquitfrekvenen [2] Vilken ordning och typ av filter bör använda? Det finn olika tandardierade filter av lågpatyp t.ex. Butterworth, Beel och Chebyhev. Ibland kan ett förta ordningen filter vara tillräckligt []och [5]. De olika filterna har olika egenkaper och därför olika användningområden. Beelfilter använd för att filtrera bort en ignal utan att kada vågformen. Beelfiltret är bra på det därför att filtret inte ger några pikar i utignalen. Chebyhev filtret är bra om ett brantare filter än Beel önka. Nackdelen är att Chebyhevfiltret har en ojämn amplitud innan brytfrekvenen. Butterworth filtret använd när en jämn pänning för alla frekvener är önkvärd [4]och [5]. Nedan via de olika filterna. 3

20 Figur 8 viar de olika filterna brytförmåga för olika amplituder och frekvener. Chebyhev motvara av den vängiga kurvan. Beel motvara av den kurva om lutar längt bort till höger. Butterworthfiltret motvara av den mellerta kurvan. En annan enkel löning är ett femte ordningen filter betående av två andra ordningen aktiva filter i erie och ett paivt RC-filter. Om de två aktiva filterna utforma om Butterworth-filter få en lät frekvenkaraktäritik och ett enkelt komponentval [3] Vilken brytfrekven bör välja? Figur 9 viar vilka frekvener ett idealt filter (kurva B) kan bryta amt vilka frekvener ett vanligt filter brukar kunna bryta i verkligheten (kurva A). Det gäller att alla frekvener över f /2 (Nyquitfrekvenen) ka dämpa å att de blir mindre än /2 LSB(leat ignificant bit or leat ignificant byte (computing)) i A/D-omvandlaren reultat, d.v.. /2 2 -N, där N är antalet bitar i A/D-omvandlaren. Idealt är brytfrekvenen exakt lika med halva amplingfrekvenen (kurva B i Figur 9), men det kräver ett filter av oändligt hög ordning. I verkligheten får man nöja ig med ett filter mer likt kuva A i Figur 9. Frekvener mellan f c och f /2 kommer fortfarande att märka, men de kommer att vara dämpade och faförkjutna. Denna del av kurvan är inte å användbar och önka därför göra kort [3]. Ju brantare filter om önka ju högre ordningen filter kräv. Ett andra ordningen filter kan få genom att eriekoppla två tycken filter av förta ordningen, ett tredje ordningen filter kan erhålla genom att eriekoppla 3 tycken RC-filter o..v. Om ett filter har en branthet på 20 db/dekad (0ggr förtärkning av frekvenen) å får en eriekoppling av två ådana filter en branthet på 40 db/dekad. Tre eriekopplade filter ger ålede 60 db/dekad o..v. [5]. 4

21 Nedan följer beräkninggången för att ta reda på vilket ordningen filter om behöv. Antag att filtret ordning är n. Då kan vi approximativt beräkna brytfrekvenen f c ur nedantående ekvation. n f c f 2 = 2 N Ekvation 20 Om f c löe ut ur Ekvation 20 erhåll Ekvation 2. f c = f 2 ( N + + n) n Ekvation 2 [3] förelår en arbetgång enligt följande för att ta fram ett aliafilter: Betäm önkad amplingfrekven f. Välj filterordning n. Välj RC. Simulera filtret och e på Bode-diagrammet å att dämpningen uppfyller f /2 2 -N-.. Jutera RC till kravet är uppfyllt. Om f c blir för liten, välj högre filterordning eller högre amplingfrekven. Paiva filter betår av erie och/eller parallellkopplade reitorer, polar och kondenatorer. RCfilter är filter om är byggda med reitorer och kondenatorer och RL-filter är byggda med reitorer och polar. RC-filter är mer noggranna och tar mindre plat enligt [5] Brytfrekvenen (f c ) för ett lågpa RC-filter beräkna genom Ekvation 5 [5]. f c = 2π RC Ekvation Kontruktion av lågpafilter Den önkade amplingfrekvenen är ca KHz (f =000), e vidare kap 8.. Filterordningen välj till förta ordningen filter efterom det är den enklate formen av filter. Antalet bitar i A/D omvandlaren beror på proceorn men anta här till 0 bitar i brit på fakta. Dea värden inatta i Ekvation 2 ger att brytfrekvenen f c kan beräkna till f c =0.244 inatt i Ekvation 22 ger att RC= Reitanen kan t.ex. välja till M ohm och kapacitanen till.53 µ farad. 5

22 5.Bekrivning av befintlig magnetlagermodell I litteraturen är det inte entydigt vad orden lager och magnetlager yftar på. Magnetlager yftar oftat till hela ytemet medan lager kan använda lite larvigt itället för magnetlager eller för att bekriva mekaniken. I denna rapport yftar lager endat till rotor, tator och elektromagneter, medan magnetlager yftar till hela ytemet, d.v.. lager, regulator, drivkret och poitionmätare. En av magnetlagermodellerna om Marcu Grantröm tagit fram är modell PID3. PID3 är den enklate modellen och författaren har därför valt att utgå ifrån denna modell. Magnetlagermodellen är trömtyrd och den förelagna regulatorn är en PID-regulator. Modellen betår av regulator, lager, drivkret och poitionmätare. Hur de olika delarna är ammankopplade via nedan i Figur 0. I kap och 2 behandla en alternativ regulator till PID-regulatorn, även denna är förelagen av Marcu Grantröm. referenignal r PID tyrignal i po rotorn poiton po y Step t=0. =>4 PIDregulator G_pid trömförtärkare Approximativ lagermodell G_alm Poitionmätare Kpm pänning om motvarar rotorn poition y Figur 0 viar den befintliga modellen över magnetlagret, modell PID3, om Marcu Grantröm tagit fram. Regulatorn beräknar en tyrignal om gör att lagret altrar ett magnetfält om i in tur får rotorn att röra ig. Styrignalen baera på referenvärdet och poitionignalen från poitionmätaren. Strömförtärkaren omvandlar tyrignalen från regulatorn till tröm. Magnetlagret kan bekriva av följande överföringfunktion, e bilaga A för Maplekod. G ry G = + G pid G pid alm G K alm pm K pm Ekvation 23 Nedan bekriv de ingående delarna var och en för ig. 6

23 5.. Strömförtärkare eller pänningförtärkare? Lagret kan antingen vara trömtyrt eller pänningtyrt. Om lagret är trömtyrt kräv en trömförtärkare för att omvandla tyrignalen till en tillräckligt kraftig tröm för att driva lagret. För det trömtyrda fallet kan lagret modellera enligt Figur [8]. Om lagret är pänningtyrt kräv itället en pänningförtärkare för att omvandla tyrignalen till en pänning. Lagret kan i pänningfallet modellera enligt Ku Spänning-hatighetkoefficient v pänning till polen /L Integrering det inverterade värdet av induktanen Ki Kraft-trömfaktor F /m m = rotorn maa a v Integrering Integrering z rotorn poition R K Reitan Kraft-poitonfaktor Figur 20 [8]. Induktanen i den magnetika polen kommer bibehålla under nabba förändringar av trömmen. Detta leder till att förtärkaren måte kunna ge höga pänningar när trömmen ändra nabbt. I det pänningtyrda fallet inkludera polen induktan L och reitan R i modellen vilket leder till en bättre modell av verkligheten. Spänningfallet om oraka av induktanen ge av Ekvation 24. di u L = L dt Ekvation 24 Spänningfallet om oraka av lindningen reitan ge av Ekvation 25. di u R = R i + L + K u x dt Ekvation 25 Den totala pänningen ge av Ekvation 26. x är lagret poition och K u är pänninghatighetkoefficienten, e vidare kap 8.2. di u = R i + L + K u x dt Ekvation 26 Fördelarna med ett pänningtyrt ytem är att det är en bättre modell av verkligheten vilket leder till högre robuthet. En av nackdelarna med det pänningtyrda ytemet är att det är ett ytem av åtmintone andra ordningen. Detta betyder att en PD-regulator inte räcker. Strömtyrt ytem har fördelarna att det är en enklare modell om oftat är tillräckligt noggrann. Regulatorn kan vara en enkel PD eller PID-regulator [8]. I denna rapport behandla i huvudak det trömtyrda fallet efterom de modeller om författaren erhållit från Marcu Grantröm varit trömtyrda. I kap 8 behandla även det pänningtyrda fallet i yfte att underöka hur en bättre modell av verkligheten påverkar ytemet egenkaper. 7

24 5.2. Strömtyrd lagermodell Lagret betår av rotor, tator, permanentmagneter och elektromagneter. Inignalen till lagret är trömmen till polen. Deto högre tröm deto tarkare magnetfält bilda i polen. Arbetpunkten A för magnetlagret definiera om den punkt där rotorn poition är kontant lika med det önkade värdet. F ge av tangenten av den magnetika kraften om funktion av trömmen vid arbetpunkten A. K i är kraft-trömfaktorn och i är trömmen. Sambandet mellan F, i och K i ge av Ekvation 27, [8]. F ( i, x = kont.) = K Ekvation 27 Magnetfältet ger upphov till en kraft om vill påverka rotorn poition. Om F är tangenten av den magnetika kraften om funktion av en kontant tröm vid arbetpunkten A å få Ekvation 28 [8]. F ( x, i = kont.) = K x Ekvation 28 K är kraft-poitionfaktorn, även kallad negativa lagertyvheten. Förhållandet mellan K och lagertyvheten betämmer ytemet robuthet. x är poitionen. Integrera magnetlagerkraften två gånger få rotorn poition. Nedan via modellen över lagret, e Figur. i i törignal v i Kraft-trömfaktorn Ki Ki magnetik kraft om beror på trömmen i polen och rotorn poition F /m /(rotorn maa) rotorn acceleration a Integrering rotorn hatighet v Integrering po K K Kraft-poitionfaktorn Figur viar en modell över lagret. Strömmen i polen gör att det altra ett magnetfält om påverkar rotorn poition. Rotorn poition ger ockå upphov till en magnetik kraft Den ovan bekrivna modellen är en approximativ modell över lagret om inte tar hänyn till reitanen eller induktanen i elektromagneterna i lagret. Sytemet kan bekriva med följande ekvation y = ( u K i + v + y K ) m Ekvation 29 Ekvation 29 ger att överföringfunktionen för den approximativa lagermodellen ge av Ekvation 30. 8

25 G i alm = 2 m K Ekvation 30 Polerna ge av nämnaren till Ekvation 30, d.v.. Ekvation 3 vilket ger Ekvation 32 och Ekvation m = 0 pol pol 2 K Ekvation 3 = = + Ekvation 32 = 2 = Ekvation 33 K K m K m 5.3. Regulator Den av Marcu Grantröm förelagna regulatorn är en PID-regulator, e Figur 2. Inignalen till regulatorn är killnaden mellan referenignalen och poitionignalen. Utignalen är trömmen om ka altra magnetfältet i polen. P P-del Skillnaden mellan önkad pänning och verklig pänning. Spänningarna motvara i båda fallen av en poition. D I I-del du/dt D-del Summering tyrignalen är en tröm om ka få elektromagneterna att altra ett lagom tarkt magnetflt u Figur 2 viar en modell över regulatorn. Regulatorn beräknar m.h.a. killnaden mellan poitionignalen och referenvärdet en tyrignal till elektromagneterna i lagret. Strömmen ka få elektromagneterna att altra ett lagom tarkt magnetfält för att få rotorn att flytta eller tanna i önkad poition. Regulatorn överföringfunktion ge av nedantående ekvation I G pid = P + + D Ekvation Poitionmätare I Figur 3 via hur poitionmätaren är modellerad. Poitionmätaren motvara av en kontant om kalar om poitionen till en pänning och kan bekriva av nedantående ekvation. K = ( 8000 ( 8000)) 2.5 = pm Ekvation 35 9

26 8000 pänning 2.5 kontant Prob poition Prob2 Figur 3 viar modellen över poitionmätaren Magnetlagermodellen överföringfunktion Utveckla överföringfunktionen för magnetlagret (Ekvation 23) få Ekvation 36, e bilaga A för Mapleberäkningar. 2 ( P + I + D ) K i K pm Gry = 3 2 m K + K K P + K K I + K K D ) i pm i pm i pm Ekvation 36 20

27 6.Reglerkontruktion 6.. Polplacering Polplacering innebär att regulatorn parametrar P, I och D överätt om funktion av alfa, omega och zeta, tre parametrar om direkt kan relatera till polerna placering. Nedan bekriv polplaceringen för modell PID3 utförd med ledning av [9]. Den karaktäritika ekvationen för ett tredje ordningen lutna ytem ge av nedantående ekvation. 2 2 ( + α ω)( + 2 ζ ω + ω ) = 0 Ekvation 37 Polerna till ytemet ge av Ekvation 38 till Ekvation 40. pol = ( ς + ς 2 ) ω Ekvation 38 pol 2 = ( ς ς 2 ) ω Ekvation 39 pol 3 = α ω Ekvation 40 Zeta betämmer vinkeln till origo för pol2 och pol3. Z välj till ett. Detta medför att avtåndet till polerna ge av Ekvation 4 och Ekvation 42. pol ω = ζ Ekvation 4 Den tredje polen välj dubbelt å nabb om pol och pol2. 2 pol3 α = ω Ekvation 42 Den karaktäritika ekvationen för magnetlagermodellen ge av Ekvation 43: 0 = 3 K + i K m pm D ( K + + K i m K pm P) K + i K m pm I Ekvation 43 Ekvation 37 är lika med ekvation Ekvation 43. Detta ger att regulatorn parametrar kan bekriva med Ekvation 44 - Ekvation 46, e bilaga A för Maplekod. 2 2 K + 2 α ω ζ m + ω m P = K K i pm Ekvation 44 I 3 α ω m = K i K pm Ekvation 45 2

28 ω( α + 2 ζ ) m D = K i K pm Ekvation Polerna inverkan på trömmen, poitionen och nabbheten För att ta reda på hur polerna placering påverkar trömförbrukning, poitionavvikele, trömpikar och nabbhet imulerade modellerna med varierad polplacering. De två polerna om beror av zeta och omega varierade mellan -00 och Den tredje polen om beror av alfa och omega valde dubbelt å nabb om de andra två polerna. Referenignalen var ett tegvar om ökade från 0 till 4 volt (pänning motvarande 0 till 0. mm) efter 0. ekund. Efter 0.3 ekunder lade en törignal på med förtärkningen 0. Simuleringtiden var 0.5 ekunder. Det maximala abolutbeloppet av trömmen mätte om ett mått på trömpikarna. Överlängen på poitionen mätte om ett mått på poitionavvikelen. Som mått på trömförbrukningen beräknade integralen av trömmen under imuleringtiden. Som ett mått på ytemet nabbhet valde att titta på kärfrekvenen. Skärfrekvenen läte ut ur bodeplotten för det öppna ytemet. Nedan via reultatet från imuleringarna och kärfrekvenen avlät ur bodeplotten för det öppna ytemet. Se bilaga A för polplaceringberäkningar och bilaga B för Matlabkod för imuleringförfarande mm. 22

29 P,P2= -00 P3 =-200 P,P2= -200 P3 =-400 P,P2= -500 P3=-000 P,P2= -000 P3=-2000 Maximal poitionavvikele [%] Max i [A] Integral av trömmen [A] Skärfrekven [rad/] Bandbredd [rad/] Tabell viar reultat från imuleringarna med varierade poler för modell PID3. Tid då poitionen uppnått tabilitet [] Av ovantående tabell kan utläa att ju nabbare poler deto nabbare ytem och deto mindre poitionavvikele. Strömpikarna blir högre ju nabbare ytemet är. Den lutat om kan dra av detta är att det inte går att hitta några poler om är optimala ur alla ynvinklar. Höga trömpikar måte väga mot ett nabbt och noggrant ytem. Tittar man på trömförbrukningen er man att det går att hitta ett optimum för poler någontan runt I Tabell 2 och Tabell 3 via reultatet från imuleringar med poler optimerade på låg trömförbrukningen repektive låga trömpikar. Poler P,P2= -57 P3=-34 Maximal poitionavvikele [%] Max i [A] Integral av trömmen [A] Skärfrekven [rad/] Bandbredd [rad/] Tid då poitionen uppnått tabilitet [] Tabell 2. Reultatet av imulering av modell PID3 med poler optimerade för å låga trömpikar om möjligt. Poler P,P2= -25 P3=-430 Maximal poitionavvikele [%] Max i [A] Integral av trömmen [A] Skärfrekven [rad/] Bandbredd [rad/] Tid då poitionen uppnått tabilitet [] Tabell 3. Reultatet av imulering av modell PID3 med poler optimerade på låg trömförbrukning. 23

30 7. Analy av ingående komponenter Modellen om Marcu Grantröm tagit fram är teoretik och kiljer ig mycket från verkligheten. I detta kapitel kartlägg vilka killnaderna är och om de är relevanta eller om de kan förumma. För att ta reda på vilka killnaderna är mellan modellen och verkligheten analyera alla komponenterna om magnetlagret är tänkt att betå av. Därefter anpaa modellen i olika teg för att efterlikna verkligheten. Slutligen imulera modellerna med och utan förändring för att e hur förändringen påverkat ytemet. 7.. Hur ytemet är tänkt att fungera Avtåndmätaren läer av rotorn poition i förhållande till tator i y-led. Poitionen omvandla till en pänning om läe av i mikrokontrollern. Innan ignalen A/D-omvandla måte den paera ett lågpafilter för att förhindra aliaeffekter. Proceorn beräknar utifrån poitionignalen och det önkade värdet(referenignalen) en tyrignal. Styrignalen är en referentröm om omvandla till tröm av en trömförtärkare. Strömförtärkaren driver elektromagneterna. Strömmen genom polen får magnetfältet att ändra i tyrka och får ålede rotorn att flytta till önkad poition. Nedan via en figur över ytemet. Förutom ovan nämnd hårdvara kräv även en pänningkälla för att driva mikrokontroller, poitionmätare och drivkret. Det hela illutrera i Figur 4 nedan. pänning pänning pänning Proceor Batteri Spännigkälla pänning om motvarar rotorn poition beräknad tyrignal Antialiafilter Batteri Spännigkälla filtrerad tyrignal pänning pänning tröm Strömförtärkare trömmen i polen ger upphov till en magnetik kraft om vill påverka rotorn poition poition pänning pänning Poitionmätare rotorn poition läe in av poitionmätaren Batteri poition Lager tröm Spännigkälla Figur 4 viar hårdvaran om magnetlagret är tänkt att betå av och hur magnetlagret är tänkt att fungera Analy av magnetlagret komponenter 7.2..Regulatorn begränningar Regulatorn motvara i verkligheten av en proceor. Den kräver en vi tid för att behandla och kicka in och ut data. I de imuleringar om har gjort har allting kett kontinuerligt. Detta motvara av att allting kan ke oändligt nabbt och utan tidfördröjningar. Men hur nabbt behöver allting ke i verkligheten för att tabiliteten ka kunna bibehålla? En tumregel äger att amplingfrekvenen är ca 0-30 ggr kärfrekvenen eller 0-30 ggr nabbare än de lutna polerna. Skärfrekvenen uppmätte till 0 rad/ för poler optimerade på låga trömpikar 24

31 repektive 50 rad/ för poler optimerade på låg trömförbrukning, e Tabell 2 och Tabell 3. Detta motvarar ca 690 Hz repektive 940 Hz och ger amplingfrekvener på ca 7-2 khz repektive 9-27kHz. För att verifiera detta ka regulatorn dikretiera och nya imuleringar göra. För att proceorn ka hinna kicka ut en ny tyrignal tillräckligt ofta kräv ockå att exekveringtiden, tiden det tar att beräkna en ny tyrignal, är kortare än amplingtiden. Exekveringtiden beror på proceorn pretanda och kan mäta upp fört när proceorn är vald. Exekveringtiden kommer inte att behandla vidare i denna rapport Poitionmätaren begränningar Poitionmätaren omvandlar poitionen till en pänning, vilket ker med en vi tidfördröjning. Signalen läe edan in med en vi frekven av mikrokontrollern. Om poitionignalen varierar med en frekven om är högre än amplingfrekvenen är riken tor att ytemet blir intabilt. Mätbru med högre frekvener än amplingfrekvenen kan ockå inverka på poitionignalen å att ytemet blir intabilt. Detta kan avhjälpa med ett RC-filter, e vidare kap 6 Lågpafilter Sampelet mellan proceorn och poitionmätaren Poitionmätaren har begränningar i form av noggrannhet och upplöning. Poitionmätaren upplöning ge av: ΔU poitionmäatre upplönig poitionmätare = ΔX Ekvation 47 Där U poitionmätare är hur mycket utpänningen från poitionmätaren kan variera och X är killnaden mellan den törta och den minta poitionen om avtåndmätaren kan mäta. Vidare måte poitionignalen variera mellan ådana värden att den kan läa in av en mikroproceor. Proceorn A/D-omvandlare upplöning ge av: ΔU proceor ΔU proceor upplöning proceor = = antal _ bitar 2 antal _ teg Ekvation 48 U proceor är killnaden mellan den maximala och den minimala pänningen om kan läa in av proceorn. Med antal_bitar ave hur många bitar A/D-omvandlaren har. Proceorn upplöning mät i enheten V/teg. Den totala upplöningen när proceorn ka läa in en poitionignal ge av nedantående ekvation. ΔU proceor upplöning proceor antal _ teg ΔX ΔU proceor upplöning tot = = = upplönig ΔU poitionmätare poitionmätare antal _ teg ΔU poitionmäatare ΔX Ekvation 49 Detta förutätter att proceorn klara av att läa in de pänningnivåer om poitionignalen har. Den totala upplöningen har enheten meter/teg. Om upplöningen är för låg kan det leda till att ytemet blir intabilt. Efterom varken proceorn eller poitionmätaren är vald uppkatta amtliga värden för att få en uppfattning om upplöningen ungefärliga värde. 25

32 Antag att poitionmätaren kan mäta 0- mm och att poitionignalen då kommer att variera mellan 0-5 volt. Då blir poitionmätaren upplöning enligt Ekvation 47 5V/mm. Antag vidare att proceorn har en 0-bitar A/D-omvandlare och kan läa in en ignal om varierar mellan 0-5V. 0 bitar motvara av 2 0 =024 teg. Ekvation 48 ger att proceorn upplöning blir 5/024 V/teg = V/teg. Den totala upplöningen blir 0.98mikrometer/teg, e nedantående ekvation upplöning tot = V 5 mm V teg = Ekvation 50 4 mm teg μm = 0.98 teg Lagret begränningar Lagret betår av rotor, tator, permanentmagneter och elektromagneter. Elektromagneterna har en vi reitan och en vi induktan om inte tagit med i modellen. Genom att utöka modellen å att även dea parametrar påverkar ytemet få en bättre modell av verkligheten, e vidare kap Strömförtärkaren begränningar Styrtrömmen beräkna i verkligheten av en proceor. Den kan inte ge å mycket tröm om kräv för att altra ett tillräckligt tarkt magnetfält i lagret. Därför behöv en trömförtärkare om köter detta. Strömförtärkaren viktigate egenkaper är hur tora trömpikar den kan ge, hur mycket tröm den kan ge kontinuerligt och hur nabbt pänningen kan ändra. Av ovantående imuleringar kan utläa att trömpikarna om kommer att kräva måte vara mint ca 23 A. Den kontinuerliga trömmen om kommer kräva är under upptarttiden ca 2A. Upptarttiden är den met kritika delen. Vid kontinuerlig drift förvänta trömförbrukningen vara lägre än under upptarttiden. En hypote om hur nabbt trömmen måte kunna ändra är att den måte ändra nabbare än proceorn amplingfrekven, annar får tyrignalen förämrad inverkan på ytemet. Hur mycket nabbare är lättat att imulera eller experimentellt pröva ig fram till. 26

33 8.Verklighetanpaning av modellen Fört anpaa modellen till proceorn förutättningar, regulatorn dikretiera och före med ett lågpafilter för att förhindra mätbruinverkan. Hänyn till poitionmätaren ta genom att dikretiera poitionmätaren. Slutligen addera lagret induktan och reitan till modellen för att få en lagermodell om är mer lik verkligheten. 8.. Verklighetanpaning av proceor Modellen är tidkontinuerlig. Detta innebär att proceorn kan läa in och beräkna en ny tyrignal oändligt nabbt. I verkligheten ker detta med ett vit tidintervall. Den amplingtid om kräv beräknade i kap 7.2. till ca 0KHz. För att verifiera att ytemet förblir tabilt med denna inkränkning ka regulatorn dikretiera och ytemet edan imulera med den nya regulatorn. Åtröm och Hägglund [9] bekriver hur en PID-regulator kan dikretiera. Med handledning av detta följer här en dikretiering av PID-regulatorn. PID-regulatorn ge av Ekvation 5. de( t) u( t) = P e( t) + I e( ) d + D dt Ekvation 5 P-del P-delen dikretiera genom att P e(t) erätt med P e(t). I-del I-delen ge av: y del I ( t) = I e( ) d vilket ger att: Ekvation 52 dy I del dt = I e Ekvation 53 Denna ekvation kan approximera på många olika ätt, framåtdifferen, bakåtdifferen, Tutin approximation och rampekvivalen. Framåtdifferen ge av Ekvation 54: y I del ( n + ) yi T del Ekvation 54 ( n) = I e( n) Vilket ger följande uttryck för parametern I: y ( n ) = y ( n) + I T e( n) I del + I del Bakåtdifferen ge av Ekvation 56. y I del ( n) y Ekvation 55 T I del ( n ) = I e( n) 27

34 Vilket ger y I del Ekvation 56 ( n ) = y ( n) + I T e( n + ) + I del Ekvation 57 Tutin approximationformel är medelvärdet av bakåtdifferen och framåtdifferen. I-delen får följande approximationformel med tutin approximation: e( n + ) + e( n) yi del ( n + ) = y I del ( n) + I 2 Ekvation 58 Tutin approximationformel är den bäta men den kräver törre beräkningar, mer minne och längre beräkningtid. Bakåtdifferen är bättre än framåtdifferen. Bakåtdifferen ger ett ampel fördröjning enligt Ekvation 57 och ger en tillräckligt god approximation. Därför välj bakåtdifferen i min modell. D-delen Enligt Wittenmark, Åtröm och Årzén[0] å bör en ren deriveringdel inte implementera då den kulle ge en mycket hög förtärkning av mätbru. Simuleringreultat nedan viar att filterdelen är nödvändig vid digital implementering, e Figur 8 och Figur 9. För att förhindra detta inför en begränning av förtärkningen av derivatordelen. Överföringfunktionen approximera enligt Ekvation 59: D D D N = D D + N + N Ekvation 59 Nedan via modellen av PID-regulatorn med den nya D-delen. P P-del u_r D. D/N.+ D-del y_r I I-del Figur 5 viar den modifierade regulatorn om ka förhindra förtärkning av mätbru. Överföringfunktionen för den nya regulatorn blir: I D Gpid _ filter = P + + D + N Ekvation 60 Överföringfunktionen för magnetlagret ge av nedantående ekvation. 28

35 G ry G = + K pid _ filter pm G K pm pid _ filter G alm G alm Ekvation 6 För att e om denna nya regulator medförde någon förbättring imulerade magnetlagermodellen med den gamla och den nya regulatorn, nedan via reultatet. Enligt [0] kan N=20 e om ett riktmärke, varför filterkontanten valde till 20 för denna imulering. Regulatorn parametrar valde i båda fallen till de parametrar om beräknat fram då polerna optimerat på låg trömförbrukning för modellen med regulator utan filterdel. 00 tröm om funktion av tiden 50 [A] [] x 0-4 poitionen om funktion av tiden [m] [] Figur 6 viar reultatet av imuleringar för magnetlagermodellen med kontinuerlig regulator med och utan filter. Efter 0. ekund ker en förändring av referenvärdet och efter 0.3 ekunder å addera en tröignal till ytemet. De ljua kurvorna motvarar regulatorn utan filter och den varta med filter. Strömpikarna blir högre för regulatorn med filtret men ytemet blir å andra idan nabbare på att följa en föränderlig referenignal. I grafen yn däremot ingen törre killnad att bemöta en törignal. I den överta grafen yn trömmen om funktion av tiden. Regulatorn med filter kräver högre trömpikar än regulatorn utan trömpikar. I den undre grafen yn poitionen om funktion av tiden. Sytemet med regulatorn med filtret blir nabbare på att följa en föränderlig referenignal. Däremot yn ingen törre killnad när det gäller att bemöta en törignal. Filterkontanten varierade för att e hur detta inverkade på tegvaren. Ju lägre filterkontanten valde ju vängigare blev trömkurvan och poitionkurvan. För högre filterkontanter än den valda krävde högre och högre trömpikar medan ytemet blev obetydligt nabbare. 29

36 D-delen ge av y r _ d del D = e( ) = D + N Ekvation 62 D N e( ) D + N Dikretieringen av D-delen gjorde i Matlab med hjälp av kommandot c2d (continou to dicrete). Tutin approximation valde amt amplingtiden m, e bilaga D. =tf( ); a=((d**n)/((d*)+n)); b=c2d(a, e-3,tutin); Nedan yn modellen för den dikretierade PID-regulatorn. I-delen har approximerat med Euler bakåt, D-delen har approximerat med Tutin. u_r(n) P P-del u_r(n) pänning u_r(n)??? tyrignal y_r D-del y_r(n-) z tidfördröjning y_r(n) y_r(n) I I-del u_r(n) T Samplingtid Figur 7 viar modellen över den dikretierade regulatorn med filter om ka motverka mätbru. D-delen om motvara av en ruta med frågetecken läer in D-delen om motvara av b, e Matlabkod ovan. Modellen imulerade före och efter dikretieringen med varierade amplingfrekvener. För långamma amplingfrekvener blev ytemet intabilt. Ju nabbare amplingfrekvener deto bättre överrentämde tröm och poitionkurvorna. Nedan yn reultatet av en imulering där amplingfrekvenen har valt å låg om möjligt utan att ytemet blev intabilt. Samplingfrekvenen valde till khz. 30

37 00 tröm om funktion av tiden 50 [A] [] x 0-4 poitionen om funktion av tiden [m] [] Figur 8 viar reultatet av magnetlagerimuleringar med dikret repektive kontinuerlig regulator. Båda regulatorerna har filter i D-delen i regulatorerna. Samplingfrekvenen valde å låg om möjligt utan att ytemet blev intabilt. Den ljua kurvan motvarar magnetlagermodellen med den dikreta regulatorn och den varta motvarar magnetlagermodellen med den kontinuerliga regulatorn Strömkurvorna och poitionkurvorna före och efter dikretieringen följer varandra mycket bra, tabiliteten kan bibehålla även för ett tiddikret ytem. Samplingfrekvenen måte dock vara mint khz. Modellen med den dikreta regulatorn imulerade både med och utan filter, reultatet via i Figur 9. 3

38 200 tröm om funktion av tiden 00 [A] [] x 0-4 poitionen om funktion av tiden [m] [] Figur 9 viar imuleringreultatet från magnetlagermodellen med dikretierad regulator med och utan filter. Den ljua kurvan motvarar magnetlagermodellen med regulatorn med filter och den varta är utan filter. För det dikreta ytemet är filtret ett måte, annar vänger trömkurvan i det oändliga vilket leder till en mycket hög trömförbrukning och litage på komponenter och lager. Även poitionkurvan blir mycket vängig utan filter Verklighetanpaning av lagermodellen (=pänningtyrd lagermodell) I den urprungliga trömtyrda lagermodellen har det antagit att trömförtärkaren är ideal, därför har inte reitanen och induktanen tagit med i modellen. För att underöka trömförtärkaren egenkaper addera nu reitanen och induktanen till den urprungliga lagermodellen. I [8] bekriv hur reitanen och induktanen i lagret pole kan modellera i ett magnetlager. Modellen har modellerat efter denna bekrivning. Nedan via modellen över lagret inkluive induktan och reitan. 32

39 Ku Spänning-hatighetkoefficient v pänning till polen /L Integrering det inverterade värdet av induktanen Ki Kraft-trömfaktor F a z v /m m = rotorn maa Integrering Integrering rotorn poition R K Reitan Kraft-poitonfaktor Figur 20. Modell över lagret där inverkan av polen induktan och reitan har tillkommit. Överföringfunktionen för den nya modellen över lagret ge av Ekvation 63, e bilaga C för beräkningar. K i G = lm 2 m R K L + m 3 L K R + K K Ekvation 63 Regulatorn ge av: 2 I D + P + I G pid = P + + D = Ekvation 64 Överföringfunktionen för hela ytemet ge av: G pid Glm K pm Gtot = + K G G pm pid lm u i Utveckla detta få: 2 G = K K ( P + I + D ) / tot ( R m i 3 pm R K + K u K i 2 + L 4 Ekvation 65 m L 2 K + K i K pm P + K K i pm D 2 + K i K pm I) Ekvation 66 Den karaktäritika ekvationen har fyra poler. Antag att L=0 och R=0 för att kunna göra en polplacering. Då få 2 2 R ( K + 2 ω m α ζ + ω m) P = K K i pm Ekvation 67 I 3 α ω m R = K i K pm Ekvation 68 33

40 D = K u K i + 2 ω m ζ R + ω m α R K K i pm Ekvation 69 L och R återfick ina värden. Därefter imulerade modellen med varierande poler om beräknade m.h.a. ovantående polplacering. Nedan via den modell om imulerade. pänning tröm u pänning po po pänning Step t=0. =>4 r Dikret PID-regultor med filter G_pid_filter Lagermodell med reitan och induktan G_lm Spänningförtärkare Poiitonmätare Kpm y Figur 2 viar den pänningtyrda magnetlagermodellen om imulerade. Den lägta amplingfrekven om bibehöll ytemet tabilitet var khz. Polerna optimerade på låg trömförbrukning, nedan yn reultatet av imuleringarna. Marcu Grantröm har tagit fram värden på K i och K vid de tidigare imuleringarna. Vid denna tidpunkt då denna nya modell kulle imulera hade en prototyp hunnit bygga, varför den nya modellen imulera med de nya verkliga värdena på K i, K, L och R. Detta medför tyvärr att det inte går att e hur den nya modellen av lagret påverkar ytemet. Men å andra idan få mer relevanta värden inför tetkörning av prototypen. Samplingtid [] Poler P,P2= -200 P3=-400 T=0.00 Maximal poitionavvikele [%] Max u [V] Integral av pänningen [V] Skärfrekven [rad/] Går ej entydigt att avläa Bandbredd [rad/] Tid då poitionen uppnått tabilitet [] Tabell 4 viar reultatet av imulering av magnetlagermodellen där polerna optimerat på låg trömförbrukning och låg amplingfrekven. Efterom inga värden på L och R motvarande kontanterna K i och K kunde erhålla kan inga lutater dra beträffande hur denna nya lagermodell påverkar ytemet. Däremot kan lutaten dra att det går att dikretiera regulatorn även för ett ytem med den nya lagermodellen och fortfarande uppnå tabilitet. Filterdelen i regulatorn är med i modellen om imulera. 34

41 8.3. Verklighetanpaning av poitionmätaren Poitionmätaren kan inte läa in värden och kicka ut värden kontinuerligt. I verkligheten ker allt med en vi tidfördröjning. För at underöka hur nabbt poitionmätaren måte kunna läa in och kicka ut nya värden adderade ett zero-order-hold block efter poitionmätaren i Simulinkmodellen. Simuleringar viade att om poitionmätaren ger upphov till fördröjningar mindre än proceorn amplingtid å inverkar detta inte på ytemet. Slutaten blir därför att poitionmätaren måte kunna kicka ut en uppdaterad poitionignal med KHz. 35

42 9.Hårdvarukrav 9.. Proceor Proceorn lägta möjliga amplingfrekven har experimentellt tagit fram genom att imulera modellen med olika amplingfrekvener. Lägta amplingfrekven om bibehöll tabilitet var KHz, e vidare kap 8.. Andra krav är att pänningnivåerna från poitionmätaren måte vara ådana att de kan läa in av proceorn och att exekveringtiden måte vara mindre än amplingtiden Filter Ett RC filter har kontruerat för en amplingfrekven på KHz för en proceor med 0 bitar A/D-omvandlare, e vidare kap 4.5 Kontruktion av lågpafilter. R beräknade till Mohm och L beräknade till.53 µ farad. Filtret yftar till att förhindra antialiaeffekter Lager Det lager om har byggt har följande parametrar K i = K =34069 L= R=.945 Rotorn poition kan variera mellan ±0.5mm. Lagret fyika kontruktion ätter begränningarna. Lagret är tillverkat för att driva på 48V Drivkret Beroende på om proceen är trömtyrd eller pänningtyrd å behöv en trömförtärkare eller en pänningförtärkare Strömförtärkare Simuleringar har viat att trömpikarna kommer att uppgå till ca 23 A. Den tröm om måte kunna leverera kontinuerligt är ca 2A, e vidare kap 8.2 Verklighetanpaning av lagermodellen, pecifikt Tabell 4. Proceorn amplingfrekven är KHz vilket medför att pänningen måte kunna ändra till det nya beräknade värdet från proceorn mint lika nabbt Spänningförtärkare Spänningförtärkaren måte kunna leverera pänningar på upp till 3 volt. Under upptarttiden fodra en pänning på i genomnitt 0.6 V, e vidare kap Poitionmätare Simuleringarna viar att poitionmätaren måte kunna ge ifrån ig ett nytt värde med en frekven mint lika nabb om amplingfrekvenen, d.v.. KHz. 36

43 0. Utvärdering av befintlig utrutning 0.. Mjukvara, utvärdering av LabVIEW och dspace Från Marcu Grantröm erhöll Simulinkmodeller över magnetlagret. I utvecklingtadiet, innan en proceor koda till en lutprodukt å önkade ett verktyg om kunde utnyttja modellerna för att imulera modellen och kicka in och ut ignaler. Två tänkbara verktyg var LabVIEW och dspace om båda kan länka amman Simulinkmodeller med verkliga in och utportar. Proceen tyr i realtid från Labview repektive dspace. För att kunna imulera i realtid i LabVIEW bildade fört en DLL-fil av modellen med hjälp av Matlab. I LabVIEW kunde modellen parametrar edan ändra under exekveringen. Kopplingen mellan modellen och LabVIEW kedde i SIT-conection-manager om ockå automatgenererade ett blockchema utifrån DLL-filen. Det viade ig devärre att den kod om automatgenerera endat tödjer analoga ignaler. Den tilltänkta trömförtärkaren ka mata med en PWM-ignal och ett krav från uppdraggivaren var därför digitala ignaler. Att gå in och ändra i de automatgenererade filerna viade ig vara alltför tidkrävande att ätta ig in i. Därför påbörjade itället en proce att bygga om modellen i LabVIEW. Ett förta teg var att bygga om regulatorn i LabVIEW med hjälp av imulation module. I Figur 22 via Simulinkmodellen över regulatorn och i Figur 23 via den ekvivalenta LabVIEW-modellen. P Gain2 Step Zero-Order Hold b LTI Sytem po_dikret To Workpace2 y(n-) y(n) z Unit Delay T u()*t y(n) I Gain I Figur 22. Ovan via Simulinkmodellen över regulatorn med ett tegvar om inignal och ett To workpace - block om parar alla värden i en vektor å att e edan kan plotta. 37

44 Figur 23. Figuren viar den ekvivalenta LabVIEW-modellen. För att verifiera att modellerna över regulatorn är ekvivalenta parade alla värden från en imulering på ekund från båda modellerna och plottade edan i matlab. De båda graferna viade ig överrentämma perfekt och kan därför anta vara ekvivalenta. Näta teg vara att addera in och utignaler. Ett exempel på en PWM-ignal var frekven och dutycykle kan tyra manuellt hittade på National Intrument hemida, e Figur 24. Figur 24. LabVIEW-modell över en PWM-ignal var frekven och dutycykle kan ändra från frontpanelen i LabVIEW. PWM-ignalen viade ig kunna ända med mycket höga frekvener, upp till MHz. Devärre räcker det inte med att kontinuerligt kicka ut mycket höga frekvener. Frekvenen måte även kunna ändra mycket nabbt, nabbare än amplingfrekvenen om måte vara mint KHz. En tetmodell byggde för att ta reda på hur nabb frekvenen kunde ändra. Den nabbate förändring av dutycykeln om kunde uppmäta var 6 m, vilket är för långamt. Ju långammare frekven om valde deto längre tid tog det för frekvenen att ändra. National Intrument upport kontaktade för att ta reda på om frekvenen kunde ändra nabbare än vad jag lyckat uppmäta. Devärre lyckade varken författaren till detta arbete eller National Intrument upport finna en löning för detta. dspace tödjer både analoga och digitala ignaler och är därför troligen ett lämpligare verktyg för ignalbehandlingen än LabVIEW. 38