3. Matematisk modellering

Transkript

1 3. Matematisk modellering 3. Modelleringsprinciper 3.. Modelltyper För att knna göra design och analys av reglersystem behöver man en matematisk modell, som beskriver systemets dynamiska beteende. Vi kan skilja på två hvyper av modeller: Dierentialekvationer, som beskriver kontinerliga örlopp. Dierensekvationer, som beskriver systemegenskaper endast vid diskreta ögonblick. Ett motiv ör användning av tidsdiskreta modeller också ör beskrivning av kontinerliga system är att det kan nderlätta konstrktionen av tidsdiskreta reglatorer, som är den orm som vanligtvis behövs ör praktisk implementering av ett reglersystem. Om önskvärt, kan man i alla all tgå rån en systembeskrivning med dierentialekvationer, etersom sådana kan transormeras till dierensekvationer genom s.k. sampling. Dierensekvationer kan i allmänhet, men inte alltid, transormeras till dierentialekvationer. I denna krs behandlas tidskontinerliga modeller. Tidsdiskreta modeller behandlas bl.a. i krserna Processreglering och Modellering och reglering av stokastiska system. 3.. Modellkonstrktion Det inns två grndprinciper ör konstrktion av matematiska modeller: ysikaliskt modellbygge och systemidentiiering. Fysikaliskt modellbygge innebär att man återör systemets egenskaper på delsystem, vilkas egenskaper är kända. För tekniska system betyder detta vanligtvis att man använder de natrlagar som beskriver delsystemen. För icke-tekniska system (ekonomiska, sociologiska, biologiska, o.dyl.) har man i regel inga säkra natrlagar ens ör enkla delsystem. Man måste då i stället använda hypoteser eller allmänt vedertagna samband. Systemidentiiering, eller kortare, identiiering, innebär att man använder observationer (mätningar) rån systemet ör att anpassa en modell till systemets beteende. Vanligtvis gör man speciella experiment ör att erhålla lämpliga data ör identiieringen. Identiiering används ota som komplement till ysikaliskt modellbygge, t.ex. ör att bestämma någon osäker parameter. Några enkla identiieringsmetoder tas pp vid behandlingen av dynamiska system i kapitel 5. Det är viktigt att observera att alla modeller har ett begränsat giltighetsområde. Detta gäller till och med de s.k. natrlagarna. Newtons rörelselagar gäller t.ex. inte ör hastigheter nära ljsets. Speciellt ör modeller bestämda genom identiiering är det viktigt att inte (tan vägande skäl) använda dem i ett område som identiieringsexperimenten inte ger någon inormation om Fysikaliskt modellbygge I ortsättningen av detta kapitel skall vi behandla modellering tgående rån ysikaliska samband. Etersom verkliga system tenderar vara rätt komplexa, kan eller vill man i allmänhet inte beakta alla detaljer. Man örsöker dock tillgodose öljande något motstridiga krav: Modellen skall vara tillräckligt noggrann ör sitt ändamål, vilket betyder att avvikelsen rån systemets verkliga beteende inte år vara ör stor. Modellen skall vara tillräckligt enkel att använda, t.ex. ör systemanalys och konstrktion av reglersystem. 3-

2 3. Matematisk modellering 3. Modelleringsprinciper Vid ysikaliskt modellbygge används två typer av matematiska samband: balansekvationer och konstittiva relationer. Balansekvationer Balansekvationer relaterar additiva storheter av samma slag i ett avgränsat system. Man kan säga att det inns två generella typer av balansekvationer: lödesbalanser och intensitetsbalanser. Allmänt har en lödesbalans ör en storhet ormen pplagring per tidsenhet = inlöde tlöde + generering per tidsenhet där pplagring och generering sker inne i systemet medan inlödet och tlödet anger det som passerar systemgränsen. När storheten i råga inte deltar i kemiska eller atomära reaktioner saknas genereringsterm. Exempel på lödesbalanser (här tan genereringsterm) är Massbalans: pplagrad massa per tidsenhet = masslöde in masslöde t Partikelbalans: pplagrat antal partiklar per tidsenhet = partikellöde in partikellöde t Energibalans: pplagrad energi per tidsenhet = energilöde in energilöde t Strömbalans (Kirchos :a lag): ström t rån kntpnkt = ström in till kntpnkt En partikelbalans är ota en s.k. ämnesmängdbalans där storheten är antalet molekyler eller atomer. Härvid är den använda mängdenheten ota mol, som j ttrycker ett visst antal. Som av exemplen ramgår ttrycker lödesbalanserna ysikaliska konserveringslagar där storheten (nder normala betingelser) är oörstörbar. Därör bör man ndvika volymbalanser, etersom volym inte är en oörstörbar storhet och därmed inte additiv. Endast om densiteten ör det strömmande mediet är konstant, som t.ex. en inkompressibel vätska vid konstant temperatr, kan man tänka sig att använda volymbalanser. En intensitetsbalans har allmänt ormen ändring per tidsenhet = drivande storhet belastande storhet där ändringen per tidsenhet avser en systemegenskap, som genom systemets växelverkan med omgivningen påverkas av drivande och belastande storheter. Allmänt kan man säga att det är rågan om tillämpningar på Newtons rörelselagar samt Kirchos :a lag. Exempel på intensitetsbalanser är Kratbalans: ändring av rörelsemängd per tidsenhet = drivande krat belastande krat Momentbalans: ändr. av rörelsemängdmoment per tidsenhet = drivande belastande moment Spänningsbalans (Kirchos :a lag): smman av spänningarna rnt en krets = noll Konstittiva relationer Konstittiva relationer relaterar storheter av olika slag. Dessa ttryck har ota karaktären av materialsamband, som beskriver egenskapen hos en viss komponent eller ett visst delsystem. Dessa samband är statiska i motsats till balansekvationerna, som normalt ttrycker dynamiska samband. Exempel på konstittiva relationer är Ohms lag: sambandet mellan spänning över och strömstyrka genom ett motstånd Ventilkarakteristika: sambandet mellan tryckall över och löde genom en ventil Bernollis lag: sambandet mellan vätskenivån i en tank och vätskans tströmningshastighet Allmänna gaslagen: sambandet mellan temperatr och tryck i en gastank 3-

3 3. Matematisk modellering 3. Modelleringsprinciper Arbetsgången vid ysikaliskt modellbygge Följande arbetsgång vid ysikaliskt modellbygge rekommenderas:. Ställ pp aktella balansekvationer.. Använd konstittiva relationer ör att relatera variabler till varandra samt ör att introdcera lämpliga nya variabler i modellen. 3. Gör dimensionsanalys, dvs kontrollera åtminstone att alla additiva termer i en ekvation har precis samma enhet! 3. Modeller ör tekniska system I detta avsnitt härleds modeller ör några typiska processer inom ett antal olika tekniska tillämpningsområden. Formlerna täcker de viktigaste samband man har anledning att använda i ysikaliskt modellbygge. 3.. Elektriska system Vi skall börja med att rekapitlera grndkomponenterna i elektriska system i(t) i(t) i(t) (t) (t) (t) R C L motstånd kondensator spole Figr 3.. Grndkomponenter i ett elektriskt nät. I igr 3. och i nedanstående ekvationer betecknar spänning och i strömstyrka. Det elektriska motståndet karakteriseras av ett linjärt statiskt samband mellan ström och spänning, nämligen Ohms lag: R i( t) (3.) För en kondensator med kapacitansen C gäller t (0) i( )d (3.) C 0 För en spole med indktansen L gäller di L (3.3) 3-3

4 3. Matematisk modellering 3. Modeller ör tekniska system Exempel 3.. Ett passivt analogt lågpassilter. R ( ) C ( ) in t t t Figr 3.. Ett passivt lågpassilter. Figr 3. visar ett passivt analogt lågpassilter. Vi skall härleda hr spänningen t på tgångssidan varierar som nktion av spänningen in ( t ) på ingångssidan nder antagande att kretsen är obelastad på tgången. Vi betecknar spänningen över motståndet med R (t), spänningen över kondensatorn med C (t), strömmen genom motståndet med i R (t) och strömmen genom kondensatorn med i C (t). Om vi räknar alla spänningar (spänningsall) som positiva, ger Kirchos andra lag ör ett varv rnt vänstra respektive högra slingan in R C () t C Då tgången är obelastad läcker ingen ström t och vi har ir ic Kombinering av () och och insättning av (3.) ger t) R i (4) t ( in Vidare ger kombinering av och (3.) t t C C (0) ic ( ) d (5) C Derivering av båda leden i (5) m.a.p. tiden ger d t ic ir (6) C C där sista likheten ås rån. Kombinering av (4) och (6) ger sltligen dt RC t in (7) Detta är en dierentialekvation av örsta ordningen. Kretsen är ett lågpassilter, som iltrerar bort höga rekvenser i in ( t ). I praktiken har man också en örstärkare på tgångssidan, som gör att man kan belasta kretsen tan att sltar gälla. R 0 3-4

5 3. Matematisk modellering 3. Modeller ör tekniska system Exempel 3.. Enkel RLC-krets. i R C L Vi skall härleda hr spänningen över kondensatorn, C (t), beror av strömmen i (t) rån strömkällan i kretsen som visas i igr 3.3. Analogt med exempel 3. betecknar vi spänningen över och strömmen genom elementen R, L och C med R (t), i R (t), L (t), i L (t), C (t) och i C (t). Figr 3.3. Enkel RLC-krets driven av en strömkälla. Kirchos lagar ger ekvationerna C R L () i ir ic ir il Insättning av (3.) och (3.3) i () ger dil C R ir L (4) vareter eliminering av i R (t) och i L (t) med och ger d i( t) ic C R i( t) ic L (5) Enligt ekvation (6) i exempel 3. gäller dc ic C (6) vilket insatt i (5) ger dc d i( t) C d C C R i( t) C L eller eter hysning d C dc di LC RC C R i( t) L (7) där i(t) är insignal och C (t) är tsignal. Detta är en dierentialekvation av andra ordningen. 3-5

6 3. Matematisk modellering 3. Modeller ör tekniska system 3.. Mekaniska system Modelleringen av mekaniska system baserar sig i hvdsak på Newtons andra lag F ma (3.4) där F är den krat som påverkar massan m och a är massans acceleration. Exempel 3.3. Odämpad pendel. Figr 3.4 visar en svängande pendel. Vi skall härleda sambandet mellan pendelns nedre position y och dess pphängningsposition, båda räknade horisontellt rån det vertikala planet till vänster i igren. Pendeln kan röra sig endast i ett vertikalt plan vinkelrätt mot det vertikala F planet till vänster (dvs endast i den -dimensionella igrens plan). Vi betecknar pendelns massa med m, pendelns längd med l, pendelns nedre vertikala position med h, kraten som påverkar pendeln i pphängningspnkten med F samt vinkeln l mellan pendeln och en vertikal linje med. h Vi tänker oss ett koordinatsystem placerat med m origo i pphängningspnkten så att horisontalaxelns värde växer mot höger och vertikal- y axelns nedåt. Värdet ör alla variabler (eller variabelkomponenter) växer i nämnda riktningar. Figr 3.4. En svängande odämpad pendel. Då pendeln påverkas av pphängingskraten F (som verkar ppåt, dvs i negativ riktning enligt det pålagda koordinatsystemet) och gravitationskraten mg (som verkar nedåt, dvs i positiv riktning i koordinatsystemet), ger Newtons andra lag (3.4) ekvationerna my F sin () mh F cos mg där ekvation () anger den horisontella kratkomponenten och den vertikala. Här betecknar y och h andra tidsderivatan av y resp. h, dvs accelerationen i respektive riktningar. Antag att pendelns svängning är måttlig så att vinkeln alltid är liten. Då rör sig pendeln knappast alls i vertikal riktning och vi kan anta att h 0. Ekvation örenklas då och ger genom kombinering med (), så att F elimineras, y gtan 0 Vinkeln ges av det trigonometriska sambandet y y tan (4) h l där sista ledet öljer av att h l när är liten. Kombinering av och (4) ger modellen y ( g / l) y ( g / l) (5) Märk väl att approximationerna h 0 och liten begränsar modellens giltighet. 3-6

7 3. Matematisk modellering 3. Modeller ör tekniska system Exempel 3.4. Fjädringssystemet ör en bil. a) b) m y ( ) t k b y(t) k b m (t) m y ( ) t k (t) Figr 3.5. a) Fjäderpphängd massa med dämpning; b) bilstötdämpare. a) Vi skall bestämma hr positionsavvikelsen rån ett jämviktsläge, y (t), beror av kraten (t) ör den jäderpphängda massan m i igr 3.5a. I jämviktsläge gäller m.a.o. y 0 (rånsett enheterna). Om den positiva vertikala riktningen räknas nedåt, ger Newtons andra lag (3.4) ör jädern, dämpningen och kraten (t), m y ky by (t) dvs m y by ky (t) () där b och k är konstanter. Gravitationskraten mg ingår inte etersom den även påverkar jämviktsläget och därör elimineras när positionens avvikelse rån jämviktsläget modelleras. b) Vi skall bestämma hr positionsavvikelserna y ( t ) och y i en bilstötdämpare, illstrerad av igr 3.5b, beror av (t), som betecknar vertikala ojämnheter i nderlaget. I jämviktsläget är y y 0. Massan m är bilens hvdmassa, m är massan hos hjl och axel, b och k beskriver bilstötdämparens dynamik och k beskriver däckets elasticitet. Då den positiva riktningen räknas ppåt, ger Newtons andra lag (3.4) m y k y y ) b ( y ) ( y ( y m y k y y ) b ( y y ) k ( ) Detta är två kopplade andra ordningens dierentialekvationer, som beskriver den vertikala rörelsen hos bilkarossen och bilens hjl som nktion av vertikala ojämnheter i nderlaget. 3-7

8 3. Matematisk modellering 3. Modeller ör tekniska system 3..3 Processtekniska system Gemensamt ör exemplen i detta avsnitt är att de baserar sig på lödesbalanser (mass- och energibalanser) och konstittiva relationer. Exempel 3.5. Vätskebehållare med ritt tlöde. h A a{ q Figr 3.6. Vätskebehållare med ritt tlöde. Betrakta vätskebehållaren i igr 3.6. En volymström tillörs (kontinerligt) behållaren och en volymström q strömmar ritt t genom självtryck, örorsakat av vätskehöjden h i behållaren. Behållaren har en konstant tvärarea A och tloppsröret har eektiva tvärarean a. Vi skall härleda en modell, som beskriver hr vätskenivån h beror av inlödet. Vi börjar med att ställa pp en massbalans, som säger att massökningen per tidsenhet i behållaren är lika med masslödet in mins masslödet t. Om vätskans densitet, som antas vara konstant, betecknas, ås då massbalansen d ( Ah) q () Etersom densiteten och tvärarean är konstanta, kan detta örenklas till dh A q Enligt Bernollis lag gäller ör tströmningen av vätska rån behållaren den konstittiva relationen v gh där v är tströmningshastigheten och g är tyngdkratsaccelerationen. På grnd av kontraktion ( vena contracta ) i början av tströmningsröret, ås volymströmmen q enligt q av a gh (4) där a är tströmningsrörets eektiva tvärarea, som är något mindre än den verkliga tvärarean. Kombinering av och (4) ger sltligen dh a g h A A (5) dvs en olinjär dierentialekvation som beskriver hr nivån h beror av inlödet. 3-8

9 3. Matematisk modellering 3. Modeller ör tekniska system Exempel 3.6. Blandningstank. Flöde Flöde F, c F, c c h Flöde 3 F 3, c 3 Figr 3.7. Blandningstank. Figr 3.7 illstrerar en blandningstank. Två volymströmmar F och F, med koncentrationerna (massa/volym) c resp. c av någon i vätskan ingående komponent X (t.ex. en kemisk komponent), blandas kontinerligt i behållaren och en volymström F 3, med koncentrationen c 3, tas t. Vätskemängden i behållaren, som antas ha en konstant tvärarea A, når höjden h. Koncentrationen i behållaren av komponent X är c. Omrörningen i behållaren antas vara perekt. Vi skall härleda en modell som beskriver hr nivån h och koncentrationen c (och c 3 ) beror av övriga variabler. Vi börjar med att ställa pp en massbalans ör vätskan inklsive alla ingående komponenter, dvs en total massbalans. Det är rimligt att anta att vätskans densitet i de olika strömmarna är konstant och lika om vätskans temperatr är konstant och koncentrationen av komponenter är måttlig. Då ås analogt med härledningen av ekvation i exempel 3.5 dh A F F F3 () Etersom vi inte vet vad som bestämmer storleken på tströmmen F 3, kan vi inte eliminera den. Vi kan också ställa pp en massbalans ör varje ingående komponent i inströmmarna, en s.k. partiell massbalans. En partiell massbalans ör komponent X ger d ( Ahc) Fc Fc F3c3 Om omrörningen i behållaren är perekt har vi llständig omblandning, vilket betyder att koncentrationen överallt i behållaren är lika. Detta betyder också att koncentrationen i tströmmen måste vara lika den i behållaren, dvs vi år den konstittiva relationen c3 c Utveckling av derivatan i enligt prodktregeln samt beaktande av ger dh dc Ac Ah Fc Fc F3c3 (4) vareter kombinering med () ger dc Ah F ( c c) F ( c c) (5) Detta är en linjär dierentialekvation med (i allmänhet) icke-konstanta parametrar. 3-9

10 3. Matematisk modellering 3. Modeller ör tekniska system Exempel 3.7. Varmvattenberedare. Flöde m F,, T Q M h T Flöde Figr 3.8. Varmvattenberedare. Figr 3.8 illstrerar en varmvattenberedare. Inströmmen vatten är ett masslöde m med temperatren T och tströmmen ett masslöde m med temperatren T. Vattnet, med massan M, ppvärms i varmvattenberedaren till en temperatr T genom tillörsel av en eekt Q. Omrörningen i varmvattenberedaren antas vara perekt. Vi skall ställa pp en modell som beskriver hr vattenmängden och temperatren i varmvattenberedaren beror av övriga variabler. Som vanligt börjar vi med att ställa pp en massbalans ör systemet, som här blir dm m m () En energibalans ör varmvattenberedaren kan ormellt skrivas de E E där E och E är energiströmmarna som öljer med inströmmen respektive tströmmen. Energin i en sbstans är givetvis proportionell mot dess massa eller masslöde och ör vätskor gäller med god noggrannhet att den även är proportionell mot temperatren. Detta ger de konstittiva relationerna E c TM, E cptm, E cptm p där c p är den speciika värmekapaciteten ör (i detta all) vatten. Denna storhet anger hr mycket energi som måste tillöras ör att värma pp kg av sbstansen med C. Kombinering av och samt tveckling av den erhållna derivatan enligt kedjeregeln ger, nder antagande av att c p är konstant, dm dt Q T M Tm Tm (4) cp Antagandet om perekt omrörning innebär att även den konstittiva relationen T T gäller. Eliminering av d M / med () ger då dt M Q p m F,, T Q m ( T T ) (5) c 3-0

11 3. Matematisk modellering 3. Modeller ör tekniska system Ekvation () och (5) anger hr massan och temperatren i varmvattenberedaren beror av inströmmen och ppvärmningseekten Q. Om man i stället ör massenheter önskar använda volymenheter blir motsvarigheten till (5) dt Q Ah F ( T T ) (6) cp där F betecknar inströmmens volymström, h betecknar vätskenivån i beredaren nder antagande av konstant tvärarea A och betecknat densiteten. Observera att ekvation (6) inte örtsätter att densiteten är konstant. En varierande densitet örealler dock göra () mer komplicerad ttryckt i volymenheter. Man kan emellertid visa att även om densitetens beroende av temperatren inte är örsmbar, är eekterna i () sådana att de tenderar ta t varandra. En helt adekvat orm ör () ttryckt i volymenheter är därör Exempel 3.8. Gas i slten tank. dh A F F (7) n, p n, p V, n, p,t ventil ventil Figr 3.9. Gas i slten tank. Figr 3.9 illstrerar en slten gastank med volymen V, ämnesmängden (molmängden) n, trycket p och temperatren T. Inströmmen till tanken har mollödet n och trycket p medan tströmmen har mollödet n och trycket p. Ventil kan användas ör reglering genom jstering av ventilläget. En ämnesmängdbalans ör tanken ger dn n n () Mollödet genom en ventil i konstant läge är proportionellt mot kvadratroten av tryckdierensen över ventilen. Desstom kan man anta att proportionalitetsaktorn är proportionell mot kvadraten på ventilläget. Molströmmarna ges då av de konstittiva relationerna n k p p, n k p p Vidare kan man anta att idealgaslagen pv nrt gäller. Här är R den allmänna gaskonstanten och T är temperatren ttryckt i Kelvin. Om temperatren T är konstant, ger insättning av och i () d p RT dn RT k p p k p p (4) V V som, även om den är av örsta ordningen, är en relativt komplicerad olinjär dierentialekvation. 3-

12 3. Matematisk modellering 3.3 Linjärisering 3.3 Linjärisering Ovan har vi i ett antal exempel härlett dierentialekvationer som beskriver beteendet hos typiska tekniska (del)system. De erhållna dierentialekvationerna är i lera all olinjära och även då de är linjära, har de i allmänhet icke-konstanta koeicienter, etersom dessa vanligtvis är beroende av någon ysikalisk storhet. Därmed är det svårt, kanske omöjligt, att inna generella lösningar till dierentialekvationerna. Man är då tvngen att stdera specialall och/eller göra örenklande antaganden. Vanliga örenklingar är att anta att vissa storheter är konstanta, trots att de i verkligheten kanske varierar något, och att insignaler som örändras gör det på något idealt men rimligt sätt, som gör att man kan lösa modellekvationerna. I praktiken är det desstom ota tillräckligt att känna till systemets beteende inom något begränsat operationsområde, dvs i närheten av en given arbetspnkt. Den örenkling man då ota kan göra är att linjärisera modellekvationerna kring denna arbetspnkt. Det är i själva verket så, att de eektiva analys-, syntes- och designmetoder som tnyttjas både i den klassiska och den moderna reglertekniken i allmänhet örtsätter att systemmodellen är linjär. Denna begränsning anses vara acceptabel när reglersystemets ppgit är att hålla systemet vid eller i närheten av en önskad arbetspnkt. Om systemet är så olinjärt, eller dess operationsområde så stort, att dess beteende inte kan beskrivas med en linjär modell, kan man ota tnyttja lera linjära modeller som linjäriserats kring olika arbetspnkter. Av ovan nämnda orsaker eteröljs ett ysikaliskt modellbygge vanligtvis av en linjärisering av den härledda modellen, bestående av en eller lera olinjära dierentialekvationer. Vi skall här begränsa oss till system som kan beskrivas med ordinära dierentialekvationer; partiella dierentialekvationer behandlas således inte Allmän ODE Betrakta en n:te ordningens ordinär dierentialekvation skriven på ormen ( y,, y, y, ) 0 (3.5) Här har ör enkelhets skll inte inklderats eventella derivator av insignalen, men dylika kan behandlas helt analogt med derivatorna av tsignalen y. Vanligtvis ingår derivatorna linjärt i nktionen, men vår härledning örtsätter inte detta. Fnktionen kan linjäriseras genom en ( ) Taylorserietveckling av örsta ordningen kring en arbetspnkt ( y n,, y, y, ), som satisierar ekvation (3.5). Ota är arbetspnkten ett stationärtillstånd där derivatorna är noll, men det behöver inte alltid vara så. T.ex. ör en kropp i rörelse, är positionsderivatan olika noll även om kroppens hastighet är konstant. Linjärisering av (3.5) genom Taylorserietveckling ger ( y,, y, y, ) ( y y y y,,,, ) ( y y n) y y y y y y ( ) där anger att partialderivatorna bestäms vid arbetspnkten ( y n,, y, y, ). Märk att vi (3.6) 3-

13 3. Matematisk modellering 3.3 Linjärisering behandlar derivatorna i (3.5) som separata variabler vid partialderiveringen. Vi introdcerar n variablerna y y y,, y y y, y y y, (3.7) som anger storheternas avvikelser rån deras värden i arbetspnkten. Vi kan kalla dylika variabler ör avvikelsevariabler, eller helt enkelt -variabler. Kombinering av (3.5), (3.6) och (3.7) samt beaktande av att arbetspnkten satisierar (3.5) ger y y y y 0 (3.8) y y där vi ör enkelhets skll använder likhet i stället ör approximativ likhet. Detta är en linjär n:te ordningens ordinär dierentialekvation med konstanta koeicienter. Om derivator av insignalen inns i den rsprngliga olinjära ekvationen, kommer dessa att ingå i (3.8) på motsvarande sätt som derivatorna av tsignalen y. Anmärkning. Om arbetspnkten inte är ett stationärtillstånd så att t.ex. y 0, är örstås y inte en konstant tan en nktion av tiden. Därmed ger derivering av y i deinitionen y y y inte y y tan y y y y i enlighet med deinitionen av y i ekvation (3.7) ODE med linjärt ingående tidsderivator Som nämndes, ingår derivatorna ota linjärt i ekvation (3.5). Det är då inte nödvändigt att vid linjäriseringen använda det implicita ttrycket (3.5), tan man kan i stället tgå irån ormen 0 ( y, ) y ( y, ) y ( y, ) 0 (3.9) n där i, i,, n, är goyckliga deriverbara nktioner av y och. Linjärisering av dessa enligt ekv. (3.6) ger ör den derivataria termen 0 0 0( y, ) 0( y, ) y y 0 0 och ör de andra termerna y y y y yy y y y () i () i () i i () i i () i i(, ) i(, ) i(, ) y Insättning i ekv. (3.9) ger eter hysning i i (3.0) (3.) där n( y, ) y ( y, ) y y (3.) 0 0 y y y i i 0 n () i i i i y (3.3) 0 Märk att 0 om arbetspnkten är ett stationärtillstånd med alla derivator lika med noll. 3-3

14 3. Matematisk modellering 3.3 Linjärisering Konstittiva relationer Antag att vi har ett olinjärt statiskt samband, dvs en olinjär konstittiv relation, som vi önskar linjärisera. En sådan relation kan allmänt skrivas gzy (,, ) 0 (3.4) där z är en ny variabel som relateras till y och/eller enligt ekv. (3.4). Linjärisering med örsta ordningens Taylorserietveckling enligt ekv. (3.6) ger g g g z y 0 z g y (3.5) g g Om den nominella arbetspnkten är ett stationärtillstånd med alla tidsderivator lika med noll, ger derivering av ekv. (3.5) m.a.p. tiden ör den i :te tidsderivatan g () i g () i g () i z y 0 z g y (3.6) g g Om y ingår i ekv. (3.5), kan ekv. (3.5) och (3.6) användas ör att ersätta y i ekv. (3.8) eller (3.) med z. Exempel 3.9. Linjärisering av dierentialekvation. Linjärisera den i exempel 3.5 härledda dierentialekvationen kring en arbetspnkt ( h, ). eller 3-4 Tillämpning av ekvation (3.9) och (3.0) ger dh a h g A a g h A h dh a g h () A A h A h h, a h h A d h a g h A h A Övning 3.. En reglerventil har vid ett givet tryck ventilkarakteristikan g A h A h, a g h A h A F C( ) /( ) där F är volymströmmen vätska genom ventilen, x är ventilens läge (mellan 0 och ), C och är konstanter. Reglerventilens läge x påverkas av en styrsignal enligt sambandet Tx x K där T och K är konstanta parametrar. Bestäm en linjär dynamikmodell, som anger hr volymströmmen F beror av styrsignalen i närheten av en arbetspnkt ( F, ). x