VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion"

Transkript

1 VEKTORRUMMET R n RYSZARD RUBINSZTEIN Introdktion Låt n vara ett heltal. Med R n kommer vi att beteckna mängden vars element är alla n-tipplar av reella tal (a, a 2,..., a n ), R n = { (a, a 2,..., a n ) a, a 2,..., a n R }. Sådana n-tipplar a = (a, a 2,..., a n ) R n kommer vi att kalla för vektorer i R n. Om a = (a, a 2,..., a n ) och b = (b, b 2,..., b n ) är vektorer r R n och λ är ett reellt tal definieras vektorernas smma a + b R n genom komponentvis addition a + b = (a + b, a 2 + b 2,..., a n + b n ) R n. (.) Prodkten λ a R n definieras genom komponentvis mltiplikation λ a = (λa, λa 2,..., λa n ) R n. (.2) Vektorn (,,..., ) R n betecknas med och kallas for nollvektorn i R n. Given en vektor = (, 2,..., n ) R n betecknar vi med vektorn = (, 2,..., n ) = ( ). Addition av vektorer och mltiplikation av vektorer med reella tal ppfyller följande Sats.. Egenskaper av vektorer i R n Om = (, 2,..., n ), v = (v, v 2,..., v n ) och w = (w, w 2,..., w n ) är vektorer i R n och λ och µ är reella tal, gäller följande: () + v = v +, (5) λ(µ ) = (λµ) (2) + ( v + w) = ( + v) + w, (6) λ( + v) = λ + λ v, (3) + =, (7) (λ + µ) = λ + µ, (4) + ( ) =, (8) =. Bevis. Egenskaperna ()-(8) följer direkt från definitionerna (.) och (.2) och lämnas åt läsaren att kontrollera. Observera att om man har valt ett koordinatsystem i rmmet representeras varje rymdvektor med sina tre koordinater (a, a 2, a 3 ). På så sätt identifieras varje rymdvektor med ett element r R 3 och mängden av alla rymdvektorer med hela R 3. Additionen av rymdvektorer och deras prodkter med reella tal motsvarar då operationerna (.) respektive (.2). På samma sätt tillåter oss ett val av ett koordinatsystem i planet att identifiera mängden av alla vektorer i planet med R 2. Författaren tackar Jörgen Östensson för språklig hjälp vid förberedelsen av detta manskript.

2 2 2. Linjärt beroende och oberoende Låt, 2,..., k vara vektorer i R n och låt c, c 2,..., c k vara reella tal. En vektor i R n på formen c + c c k k (2.) kallas en linjärkombination av vektorerna, 2,..., k. Definition 2.. En ppsättning av vektorer, 2,..., k i R n kallas linjärt oberoende om c + c c k k = c = c 2 =... = c k =. I motsatt fall kallas vektorerna, 2,..., k linjärt beroende. Det finns en enkel metod för att avgöra om en godtycklig ppsättning av vektorer i R n är linjärt beroende eller oberoende. Denna metod demonstreras i exempelet nedan. Exempel 2.: Avgör om = (,,, ), 2 = (, 2,, 3), 3 = (2,,, ) är linjärt beroende eller linjärt oberoende vektorer i R 4. Lösning: För reella tal c, c 2, c 3 R är villkoret detsamma som c + c 2 c + c c 3 3 = (2.2) c 3 2 =. (2.3) Detta innebär att talen c, c 2, c 3 ppfyller likheten (2.2) om och endast om (c, c 2, c 3 ) är en lösning till det homogena linjära ekvationssystemet med totalmatrisen 2 2. (2.4) 3 (Observera att koefficientmatrisens kolonner är lika med vektorerna, 2, 3. Detta är en omedelbar följd av (2.3).) Vi löser ekvationssystemet (2.4) med Gasselimination:

3 Den sista matrisen visar att ekvationssystemet (2.4) har enbart den triviala lösningen (c, c 2, c 3 ) = (,, ). Enligt (2.2) betyder det att den linjära kombinationen c + c c 3 3 är lika med nollvektorn enbart då c =, c 2 =, c 3 =. Enligt Definitionen 2. innebär det att vektorerna, 2, 3 är linjärt oberoende. Den metod som vi använde i Exempel 2. kan tillämpas i varje R n och för en godtycklig ppsättning av vektorer,..., k R n. Anmärkning 2.2. Vektorerna,..., k R n är linjärt beroende om och endast om någon av dessa vektorer kan ttryckas som en linjärkombination av de övriga. Bevis. ( ) Om vektorerna,..., k R n är linjärt beroende finns det koefficienter c,..., c k R, ej alla lika med noll, sådana att c + c c k k =. Om t.ex. c kan vi skriva om det till c = c c k k. Det följer att = ( c 2 ) 2 + ( c 3 ) ( c k ) k, c c c vilket visar att är en linjärkombination av de övriga vektorerna 2, 3,..., k. ( ) Antag n att någon av vektorerna,..., k, t.ex. är en linjärkombination av de övriga, = b b k k, b 2,..., b k R. Detta kan skrivas om som ( ) + b b k k =, vilket visar att det finns en linjärkombination av vektorerna,..., k, som ger nollvektorn fast inte alla koefficienterna är lika med noll. Det innebär, enligt Definition 2., att vektorerna,..., k, är linjärt beroende. Exempel 2.2: Geometrisk tolkning. Låt oss analysera den geometriska innebörden av de nya begreppen linjärt beroende och linjärt oberoende av vektorer i rmmet R 3. (i) Låt och 2 vara två vektorer i R 3. Enligt Anmärkning 2.2 är vektorerna, 2 linjärt beroende om och endast om en av dem är en linjärkombination av den andra, t.ex. 2 = c (eller tvärt om). Detta innebär att vektorerna, 2 är parallella. (Se Figr 2..). 2 = c Fig. 2.

4 4 Sltsats: två vektorer, 2 är linjärt beroende om och endast om de är parallella. Det följer att (ii) två icke-parallella vektorer, 2 är linjärt oberoende (Figr 2.2) 2 π Fig. 2.2 (iii) Låt, 2 och 3 vara tre vektorer i R 3. Enligt Anmärkning 2.2 är vektorerna, 2, 3 linjärt beroende om och endast om en av dem är en linjärkombination av dem övriga, t.ex. 3 = c + c 2 2. Det betyder att 3 ligger i det plan som spänns pp av vektorerna och 2 och att alla tre vektorerna ligger i detta plan. (Figr 2.3) 2 3 π Fig. 2.3 Sltsats: tre vektorer, 2, 3 är linjärt beroende om och endast om de ligger i ett och samma plan. Det följer att (iv) tre vektorer, 2, 3 som inte ligger i ett och samma plan är linjärt oberoende. (Figr 2.4) 3 2 Fig. 2.4

5 5 (v) Varje ppsättning av fyra eller fler vektorer i R 3 är linjärt beroende. Detta är ett speciellt fall av ett mer generellt resltat, se Sats 2.3 nedan. Därvid avsltar vi disktionen av den geometriska tolkningen av begreppen linjärt beroende och oberoende av vektorer i R 2 och R 3. Sats 2.3. Om, 2,..., k är vektorer r R n och k > n, så är vektorerna, 2,..., k linjärt beroende. Bevis. Vektorerna, 2,..., k är linjärt beroende omm det finns reella tal c, c 2,......, c k R, ej alla lika med noll, sådana att c + c c k k =. Detta är ekvivalent med likheten c + c c k k = (2.5) Vi betraktar n (2.5) som ett homogent linjärt ekvationssystem i k obekanta c, c 2,..., c k och med n ekvationer. Notera att eftersom enligt antagandet k > n, är antalet obekanta k större än antalet ekvationer n. Enligt en tidigare bevisad sats följer det att det homogena ekvationssystemet (2.5) har någon icketrivial lösning (c, c 2,..., c k ) (,,..., ). Enligt Definition 2. betyder det att vektorerna, 2,..., k är linjärt beroende. 3. Det linjära höljet Låt, 2,..., k vara vektorer i R n. Definition 3.. Det linjära höljet span{, 2,..., k } R n är mängden av dessa vektorer i R n som kan framställas som linjära kombinationer av vektorerna, 2,..., k, span{, 2,..., k } = {c + c c k k c,..., c k R } R n. Exempel 3.: Avgör om vektorn v = (2, 8, 5, 9) tillhör det linjära höljet av vektorerna = (,,, ), 2 = (, 2,, 3) och 3 = (2,,, ) i R 4. Lösning. Enligt Definitionen 3. tillhör vektorn v = (2, 8, 5, 9) det linjära höljet span{, 2, 3 } om och endast om v = (2, 8, 5, 9) är en linjär kombination av vektorerna, 2, 3 dvs. om det finns reella tal c, c 2, c 3 R sådana att c + c c 3 3 = v. (3.) Detta är ekvivalent med kravet att det linjära ekvationssystemet i obekanta c, c 2 och c 3, 2 2 c + c c 3 = 8 5 (3.2) 3 9 har någon lösning.

6 6 Vi löser ekvationssystemet (3.2) med Gasselimination Det följer att ekvationssystemet (3.2) har en nik lösning (c, c 2, c 3 ) = (, 3, ). (Kontroll: ( ) 3 = (,,, )+ 3 (, 2,, 3) (2,,, ) = (2, 8, 5, 9) = v. Det stämmer!) Eftersom v = ( ) 3 får vi att v är en linjärkombination av vektorerna, 2, 3 och därmed att v tillhör det linjära höljet av, 2, 3, v span{, 2, 3 }. (Vi rekommenderar att läsaren, med hjälp av samma metod, visar att vektorn w = (2, 8, 5, ) inte tillhör span{, 2, 3 }.) Exempel 3.2: Geometrisk tolkning. Vi skall n geometriskt beskriva linjära höljet av olika ppsättningar av vektorer i R 3. (i) Om är en vektor i R 3 består span{ } av alla vektorer på formen c, där c R är ett godtyckligt reellt tal. Låt l vara den räta linje genom origo som har som riktningsvektor. Det linjära höljet span{ } består av alla vektorer parallella med linjen l. (Figr 3.) l Fig. 3. (ii) Om, 2 är två parallella vektorer i R 3 har vi 2 = b för något b R (eller tvärt om). Varje element v r span{, 2 } är på formen v = c +c 2 2 = c + c 2 (b ) = (c + c 2 b) med c, c 2 R. Detta visar att alla element r span{, 2 } är parallella med den linje l som spänns pp av (förtsätt att. ) (Figr 3.2)

7 7 2 l 2 Fig. 3.2 (iii) Låt, 2 vara två icke-parallella vektorer i R 3. Alla element v r span{, 2 } är på formen v = c + c 2 2 med c, c 2 R. Vektorerna, 2 spänner pp ett plan π genom origo i R 3 och, som vi vet från krsens geometriavsnitt, tgör de en bas i detta plan. Varje vektor parallell med π kan skrivas på formen c + c 2 2 med c, c 2 R och varje vektor skriven på denna form är parallell med π. Det följer att span{, 2 } består av alla vektorer i R 3 parallella med planet π. 2 π Fig. 3.3 (iv) Låt, 2, 3 vara tre vektorer i R 3 som inte ligger i ett och samma plan. Som vi vet från krsens geometriavsnitt kan dessa vektorer väljas som en bas i R 3 och, följaktligen, kan varje vektor v r R 3 skrivas som en linjärkombination v = c + c c 2 3 med c, c 2, c 3 R. Detta visar att span{, 2, 3 } är lika med hela R 3. Sltligen (v) låt, 2, 3 vara tre vektorer i R 3 som ligger i ett och samma plan. Om alla dessa vektorer är parallella (och inte alla lika med ) visar man på samma sätt som i del (ii) att span{, 2, 3 } består av alla vektorer parallella med den linje genom origo som, 2, 3 är riktningsvektorer till. Om däremot t.ex. och 2 inte är parallella, spänner de pp ett plan π genom origo och alla tre vektorer, 2, 3 ligger i detta plan. (Figr 3.4) 2 3 π Fig. 3.4

8 8 Vektorerna och 2 kan väljas som en bas för planet π och 3 = b + b 2 2 för några b, b 2 R. Det följer att varje linjärkombination av, 2, 3 är på formen c + c c 3 3 = c + c c 3 (b + b 2 2 ) = = (c + c 3 b ) + (c 2 + c 3 b 2 ) 2 dvs. är en linjärkombination av vektorerna och 2. Detta visar att span{, 2, 3 } = span{, 2 } vilken enligt del (iii) består av alla vektorer parallella med planet π. Låt, 2,..., k vara vektorer i R n. 4. Bas Definition 4.. Vektorerna, 2,..., k tgör en bas i R n om ), 2,..., k är linjärt oberoende och 2) span{, 2,..., k } = R n. Exempel 4.: Vektorerna e = (,,,..., ), e 2 = (,,,..., ), e 3 = (,,,...),..., e n = (,,,..., ) tgör en bas i R n. (Varje vektor e j har som j-te komponenten och alla andra komponenter lika med.) Denna bas kallas för standardbasen i R n. Bevis. För varje vektor a = (a, a 2,..., a n ) R n har vi a = (a, a 2,..., a n ) = a (,,,..., ) + a 2 (,,,..., ) a n (,,,..., ) = = a e + a 2 e a n e n. (4.) Detta visar att varje vektor a R n är en linjärkombination av vektorerna e, e 2,..., e n och därmed är span{ e, e 2,..., e k } = R n. Desstom visar (4.) att likheten a e +a 2 e a n e n = = (,,,..., ) medför a = a 2 =... = a n =, vilket visar att vektorerna e, e 2,..., e n är linjärt oberoende. Därmed tgör vektorerna e, e 2,..., e n en bas i R n. Vi har en grndläggande Sats 4.2. Varje bas i R n innehåller n vektorer. Bevis. Ett fllständigt bevis för satsen (i ett större sammanhang) kommer att genomföras i en senare krs. Tillsvidare vill vi bara påpeka följande: om en ppsättning vektorer, 2,..., k tgör en bas i R n, är dessa vektorer linjärt oberoende. Det följer då från sats 2.3 att k n. Anmärkning 4.3. Vektorerna, 2,..., n R n tgör en bas i R n För varje vektor v R n finns det nika reella tal c, c 2,..., c n R sådana att v = c + c c n n. (*) Den nika n-tippeln av talen (c, c 2,..., c n ) kallas för v:s koordinater i basen (, 2,..., n ).

9 9 Bevis. ( ) Låt oss anta att vektorerna, 2,..., n tgör en bas i R n. Låt v R n. Eftersom span{, 2,..., n } = R n finns det reella tal c, c 2,..., c n R sådana att c + c c n n = v. () För att visa att dessa tal c, c 2,..., c n R är nika låt oss anta att även reella tal d, d 2,..., d n R ppfyller Om vi sbtraherar likheten (2) från () får vi d + d d n n = v. (2) (c d ) + (c 2 d 2 ) (c n d n ) n =. (3) Eftersom vektorerna, 2,..., n är linjärt oberoende (som basvektorer i en bas) medför (3) att c d = c 2 d 2 =... = c n d n =. Vi får c = d, c 2 = d 2,..., c n = d n vilket visar att talen c, c 2,..., c n som ppfyller () är nika. ( ) Låt oss anta n att en ppsättning vektorer, 2,..., n R n ppfyller villkoret (*). Eftersom för varje vektor v R n gäller v = c + c c n n, får vi att span{, 2,..., n } = R n. Eftersom för varje vektor v är likheten (*) ppfylld med en nik ppsättning av koefficienterna c, c 2,..., c n, gäller det i synnerhet för nollvektorn. Det betyder att likheten = c + c c n n, (4) kan vara ppfylld med endast en ppsättning av koefficienter c, c 2,..., c n. Eftersom (4) är ppfylld med koefficienterna c = c 2 =... = c n =, är det den enda möjligheten. Vi får då c + c c n n = c = c 2 =... = c n =, vilket innebär att vektorerna, 2,..., n är linjärt oberoende. Därmed tgör vektorerna, 2,..., n en bas i R n. Exempel 4. (igen) Låt e,..., e n vara standardbasen i R n, dvs. e = (,,,..., ), e 2 = (,,,..., ) osv. Som vi har sett tidigare, för varje vektor v = (v, v 2,..., v n ) R n har vi v = (v, v 2,..., v n ) = v e + v 2 e v n e n. Det betyder att n-tippeln (v, v 2,..., v n ) samtidigt tgör vektorn v :s koordinater i standardbasen. Exempel 4.2: Visa att vektorerna = (, 2, ), 2 = (,, ), 3 = (,, ) tgör en bas i R 3 och finn koordinaterna för v = (, 3, ) i denna bas. Lösning. Vi skall använda Anmärkning 4.3 för att lösa ppgiften. Låt w = (b, b 2, b 3 ) vara en godtycklig vektor i R 3. Finns det reella tal c, c 2, c 3 R sådana att c + c c 3 3 = w? (4.2) Är en sådan ppsättning av reella tal (c, c 2, c 3 ) nik?

10 Likheten (4.2) kan skrivas som c 2 + c 2 + c 3 = b b 2 b 3. (4.3) Vi betraktar (4.3) som ett linjärt ekvationssystem i obekanta c, c 2, c 3 med ett givet högerled (b, b 2, b 3 ) (givet av vektorn w ). Ekvationsystemet löses med Gasselimination: b 2 b 2 b b 3 b + b 2 + b 3 b + b 3 b 2b + b 2 b + b b + b 2 b + b 3 b + b 2 + b 3 Den sista matrisen visar att ekvationssystemet (4.3) har en nik lösning (c, c 2, c 3 ) = ( b + b 2, b + b 3, b + b 2 + b 3 ) för varje val av högerled w = (b, b 2, b 3 ). Detta betyder i sin tr att för varje vektor w = (b, b 2, b 3 ) R 3 finns det en nik ppsättning av reella tal (c, c 2, c 3 ) som ppfyller (4.2). Enligt Anmärkning 4.3 innebär det att vektorerna, 2, 3 tgör en bas i R 3 och att (c, c 2, c 3 ) = ( b + b 2, b + b 3, b + b 2 + b 3 ) är w :s koordinater i denna bas. Låt oss beteckna denna bas med = (, 2, 3 ). Det följer att för vektorn v = (, 3, ) = (b, b 2, b 3 ) är v :s koordinater i basen lika med (c, c 2, c 3 ) = ( b + b 2, b + b 3, b + b 2 + b 3 ) = ( 4, 2, 3). Vi skriver v = ( 4, 2, 3) ( v :s koordinater i basen ). (Kontroll: = 4(, 2, ) + 2(,, ) 3(,, ) = (, 3, ) = v. Det stämmer!). 5. Ett exempel Exempel 5.: Låt = (,,,, ), 2 = (2,,,, 2), 3 = (,,,, ), 4 = (,,,, ), 5 = (, 2, 2,, ) vara vektorer i R 5. Visa att vektorerna, 2, 3, 4, 5 är linjärt beroende. Finn bland dem en ppsättning av linjärt oberoende vektorer som spänner pp samma linjära hölje som, 2, 3, 4, 5. Lösning. Vi börjar med att ndersöka för vilka reella tal c, c 2, c 3, c 4, c 5 R det gäller att c + c c c c 5 5 =. (5.) Detta är ekvivalent med 2 c + c 2 + c c 4 + c =. (5.2)

11 Vi betraktar (5.2) som ett linjärt ekvationssystem i obekanta c,..., c 5 och löser systemet med Gasselimination: ( ) (5.3) Den sista matrisen är en radkanonisk matris och har pivotelement i kolonn, 2 och 4. Vi väljer c 3 = s, c 5 = t som parametrar (kolonner tan pivotelement!) och får lösningarna (c, c 2, c 3, c 4, c 5 ) = (s, s t, s, t, t), s, t R. (5.4) Detta visar att det finns reella tal c,..., c 5, ej alla lika med, som ppfyller (5.). Det innebär att vektorerna, 2, 3, 4, 5 är linjärt beroende. Om vi i (5.4) väljer t = och s = får vi lösningen (c, c 2, c 3, c 4, c 5 ) = (,,,, ) vilket visar att och därmed = 5 = 2 4. Eftersom 5 är en linjärkombination av de övriga vektorerna får vi span{, 2, 3, 4, 5 } = span{, 2, 3, 4 }. (5.5) Om vi i (5.4) väljer t = och s = får vi lösningen (c, c 2, c 3, c 4, c 5 ) = (,,,, ) vilket visar att = och därmed Från detta följer att 3 = + 2. span{, 2, 3, 4 } = span{, 2, 4 }. (5.6)

12 2 Till slt, om vi sätter c 3 = och c 5 = dvs. s = t = får vi enbart lösningen c =, c 2 =, c 4 = vilket visar att det enda fallet när c + c c 4 4 = är då c = c 2 = c 4 =. Det visar att vektorerna, 2, 4 är linjärt oberoende. Vi har desstom span{, 2, 3, 4, 5 } = span{, 2, 3, 4 } = span{, 2, 4 }. Svar: span{, 2, 3, 4, 5 } = span{, 2, 4 } och vektorerna, 2, 4 är linjärt oberoende. Obs : Detta är inte den enda möjliga lösningen till ppgiften. Ett annat val av parametrar i Gasseliminationen sklle ha givit en annan lösning. Obs 2: De linjärt oberoende vektorerna, 2, 4 i vår lösning motsvarar de kolonner i den radkanoniska matrisen (5.3) som innehåller pivotelement (kolonnerna, 2 och 4). Den lösningsmetod som vi har valt fngerar alltid på detta sätt (och leder alltid till en lösning).

13 Blandade övningar i Linjär Algebra: linjärt oberoende, linjärt hölje, bas.. Låt = (,,, 2), 2 = (2,, 3, ), 3 = (, 2, 3, ), 4 = (,, 2, ) vara vektorer i R 4. (a) Avgör om vektorerna, 2, 3, 4 är linjärt beroende eller oberoende. (b) Avgör om vektorerna v = (, 3,, 4) och w = (2,,, 2) tillhör det linjära höljet span{, 2, 3, 4 }. Om vektorn v resp. w tillhör det linjära höljet, framställ den som en linjärkombination av vektorerna, 2, 3, För vilka värden av konstanten a R tillhör vektorn v = (, a, 4, a) det linjära höljet av vektorerna = (,,, ), 2 = (2,, 2, ) och 3 = (, 3,, ) i R 4? 3. Avgör om vektorerna = (,, 2), 2 = (,, ), 3 = (, 2, ) i R 3 är linjärt beroende eller oberoende. I fall de är linjärt beroende, finn bland, 2, 3 en ppsättning vektorer som är linjärt oberoende och som spänner samma linjära hölje som, 2, Visa att vektorerna v = (,, 2, ), v 2 = (,,, 2), v 3 = (, 2,, 3), v 4 = (2,,, 3) är linjärt beroende. Uttryck en av dem som en linjär kombination av de övriga. Finn bland dem en ppsättning av linjärt oberoende vektorer som har samma linjära hölje som vektorerna v, v 2, v 3, v Låt = (, 2, ), 2 = (,, ) vara två vektorer i R 3. Finn en ekvation som komponenterna x, x 2, x 3 måste ppfylla för att vektorn v = (x, x 2, x 3 ) R 3 skall tillhöra det linjära höljet span{, 2 }. Tolka resltatet geometriskt. För vektorer v som ppfyller ekvationen finn en framställning av v som en linjärkombination av och (a) Avgör om vektorerna v = (, 2), v 2 = (2, ) tgör en bas i R 2. Om så är fallet finn koordinaterna i denna bas för vektorn F = (, ) och för vektorn w = (x, x 2 ). (b) Använd resltaten i del (a) för att dela pp kraftvektorn F = (, ) i R 2 i komposanter parallella med vektorerna v och v 2 (dvs. finn F, F 2 sådana att F = F + F 2 med F v och F 2 v 2 ). 7. (a) Avgör om vektorerna = (,, ), 2 = (2,, ), 3 = (,, 2) tgör en bas i R 3. Om så är fallet finn koordinaterna i denna bas för vektorn F = (,, ) och för vektorn w = (x, x 2, x 3 ). (b) Vektorerna 2 = (2,, ), 3 = (,, 2) spänner pp ett plan π genom origo i R 3. Använd resltaten i del (a) av ppgiften för att framställa kraftvektorn F = (,, ) som smma av två komposanter F och F 2, F = F + F 2, där komposanten F är parallell med vektorn = (,, ) och komposanten F 2 är parallell med planet π. 8. Avgör om vektorerna = (,,, ), 2 = (,,, ), 3 = (,,, ), 4 = (2,, 3, 3) tgör en bas i R 4. Om så är fallet finn koordinaterna i denna bas för vektorn F = (,, 2, ) och för vektorn w = (x, x 2, x 3, x 4 ). 3

14 4 Facit:. (a) Vektorerna, 2, 3, 4 är linjärt beroende. (b) v span{, 2, 3, 4 }, v = ( 2 3 ) , w / span{, 2, 3, 4 }. 2. a = Vektorerna, 2, 3 är linjärt beroende. Vidare är t.ex. span{, 2, 3 } = = span{, 2 } och, 2 är linjärt oberoende. 4. T.ex. v 3 = v + 2 v 2. span{ v, v 2, v 4 } = span{ v, v 2, v 3, v 4 }. 5. Ekvationen är x x 2 + x 3 =. Geometrisk tolkning: vektorerna, 2 spänner pp ett plan π genom origo i R 3. Planet π har ekvationen x x 2 +x 3 =. Vektorn v = (x, x 2, x 3 ) tillhör det linjära höljet span{, 2 } omm v ligger i (= är parallell med) detta plan. Om v = (x, x 2, x 3 ) med x x 2 + x 3 = blir v = c + c 2 2 med c = 2 x 2, c 2 = x + 2 x (a) Ja, v, v 2 tgör en bas i R 2. F = 3 5 v + 5 v 2. w = (x, x 2 ) = ( 5 x x 2) v + ( 2 5 x 5 x 2) v 2. (b) F = 3 5 v = 3 5 (, 2) och F 2 = 5 v 2 = 5 (2, ). 7. (a) Ja,, 2, 3 tgör en bas i R 3. F = ( 2) w = ( 2 x 3 2 x 2 x 3 ) + ( 2 x + 2 x 2) 2 + ( 2 x + 2 x 2 + x 3 ) 3. (b) F = 2 = ( 2, 2, 2) och F 2 = = (3,, 3). 8. Ja,, 2, 3, 4 tgör en bas i R 4, F = , w = (2x + x 2 + 3x 3 4x 4 ) + ( x 3 + x 4 ) 2 + +(x x 2 x 4 ) 3 + ( x x 3 + 2x 4 ) 4.

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 6 Institutionen för matematik KTH 11 november 2016 Feedback Innan vi börjar: En liten feedback-övning Vad menas med rangen av en matris? Vad menas med ett homogent linjärt ekvationssystem?

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2 . Tisdagen 35 Igår visade vi att lösningsmängden W R 5 till ekvationssystemet 3x + x 2 + 3x 3 + 2x 4 x 5 = (..) 2x 2 + x 3 + 4x 4 + 2x 5 = 3x 3x 2 + x 3 6x 4 5x 5 = har bas u och u 2 och u 3 där 5 2 6

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Linjär Algebra, Föreläsning 8 Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Geometriska vektorer

Geometriska vektorer Föreläsning 1, Linjär algebra IT VT2008 1 Geometriska vektorer De begrepp som linjär algebra kretsar kring är vektorer och matriser Dessa svarar mot datorernas fält (`arra') av dimension ett respektive

Läs mer

Objective:: Linjärt beroende och oberoende version 1.0

Objective:: Linjärt beroende och oberoende version 1.0 DEFINITIONEN AV LINJÄRT BEROENDE MED EXEMPEL Objective:: Linjärt beroende och oberoende version. Definitionen av linjärt beroende med exempel Vi börjar med ett inledande exempel för att motivera definitionen

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 1 Institutionen för matematik KTH 31 oktober 2016 Kurstart för Algebra och geometri Välkomen till kursen, CELTE och CMETE och COPEN!, kursansvarig LFN@KTH.SE Idag ska vi se hur kursen funkar

Läs mer

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma

Läs mer

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift Vecka ALA-c 6 Innehåll Linearization and Stability RÄKNEÖVNING VECKA. Uppgift 9........................................ Uppgift 9.5...................................... 5 Egenvärdesproblemet 9. Uppgift

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

Tentamen i Linjär algebra , 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: ETE5 Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra 5 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker

Läs mer

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga . Lösningsmängden till homogena ekvationssystem I denna första föreläsning börjar vi med att repetera det grunnläggande begreppet inom linjär algebran. Linjär algebra är studiet av lösningsmängden till

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra 1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013 2 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41

Läs mer

(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8)

(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8) 1 Matematiska Institutionen KTH Tentamen på kursen SF1604 (och B1109, för D1, Mars 9, 008, kl: 9:00-14:00 Inga hjälpmedel ät tillåtna 1 poäng totalt eller mer ger minst omdömet Fx 1 poäng totalt eller

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Kapitel 2 och 3 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) I detta avsnitt

Läs mer

Algebrans fundamentalsats

Algebrans fundamentalsats School of Science and Technology SE-701 8 Örebro, Sweden Algebrans fundamentalsats Ett linjäralgebraiskt bevis Andreas Thore Örebro Universitet Akademin för naturvetenskap och teknik Matematik C, 61 75

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A 1 a Bestäm de komplexa koefficienterna a, b och c så att polynomet Pz z 3 + az 2 + bz + c har nollställena

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0 Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen

Läs mer

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013 TILLÄMPAD LINJÄR ALGEBRA, DN123 1 DN123 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 213 Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Anna-Karin Tornberg Betygsgränser: Betyg A B C D E

Läs mer

1 Duala problem vid linjär optimering

1 Duala problem vid linjär optimering Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi

Läs mer

1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor

1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor Krister Svanberg, april 0 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor I detta kapitel behandlas följande kvadratiska optimeringsproblem under linjära likhetsbivillkor: xt Hx + c T x + c 0 då Ax

Läs mer

Basbyte (variabelbyte)

Basbyte (variabelbyte) Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F.

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algebra Datum: 7 januari 04 Skrivtid:

Läs mer

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma04a 0 0 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta? ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta kompendie är främst avsett som ett komplement till Tengstrands Linjär algebra med vektorgeometri, [Ten05]. Materialet innehåller

Läs mer

Omtentamen i DV & TDV

Omtentamen i DV & TDV Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga

Läs mer

Anmärkning: Härledning av ovanstående formel finns i slutet av stencilen.

Anmärkning: Härledning av ovanstående formel finns i slutet av stencilen. VSTÅNDSERÄKNING I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERT KOORDINTSYSTEM ) vstånet mellan två punkter Låt = x, och = x, y, z ) vara två punkter i rummet vstånet mellan och är x) + y y) + z ) = = x z ===================================================

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs

Läs mer

DIGITAL KOMMUNIKATION

DIGITAL KOMMUNIKATION EN KOR SAMMANFANING AV EORIN INOM DIGIAL KOMMUNIKAION Linjär kod En binär linjär kod kännetecknas av att summan av två kodord också är ett kodord. Ett specialfall är summan av ett kodord med sig själv

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 3-II

Mat Grundkurs i matematik 3-II Mat-53 Grundkurs i matematik 3-II G Gripenberg Aalto-universitetet december Ekvationssytem och matrisräkning 3 Gauss metod, LU-uppdelning 3 Egenvärden 4 Projektioner 9 Principalkomponenter Differentialekvationssystem

Läs mer

Linjär algebra. Lars-Åke Lindahl

Linjär algebra. Lars-Åke Lindahl Linjär algebra Lars-Åke Lindahl 2009 Fjärde upplagan c 2009 Lars-Åke Lindahl, Matematiska institutionen, Uppsala universitet Innehåll Förord................................. v 1 Linjära ekvationssystem

Läs mer

Vektorer. 1. Vektorer - definition och räkneoperationer F H

Vektorer. 1. Vektorer - definition och räkneoperationer F H Vektorer Detta material bygger på valda och delvis omarbetade delar av kompendiet Vektoralgebra av Hasse Carlsson. Dessutom har ett helt nyskrivet avsnitt om strömtriangeln lagts in. Inledning Du är säkert

Läs mer

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0). TM-Matematik Mikael Forsberg Linjär algebra mk4a Övningstenta LA-. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, ), x = (,, ) och x = (,, ).. För alla värden på parametern

Läs mer

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Fredrik Strömberg och Leo Larsson Prov i matematik Fristående kurs Matematik MN 00-0-0 Skrivtid: 9.00 4.00 Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel:

Läs mer

Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden

Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 359 Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden - En inledning Ekvationssystem - matrisformulering Vi såg att

Läs mer

Att beräkna:: Avstånd

Att beräkna:: Avstånd Att beräkna:: Avstånd Mikael Forsberg :: 27 november 205 Innehåll Punkter, linjer och plan, en sammanställning 2. Punkter i två och tre dimensioner....................... 2.2 Räta linjer i två och tre

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

1. Ekvationer 1.1. Ekvationer och lösningar. En linjär ekvation i n variabler x 1,..., x n är en ekvation på formen. 2x y + z = 3 x + 2y = 0

1. Ekvationer 1.1. Ekvationer och lösningar. En linjär ekvation i n variabler x 1,..., x n är en ekvation på formen. 2x y + z = 3 x + 2y = 0 1. Ekvationer 1.1. Ekvationer och lösningar. En linjär ekvation i n variabler x 1,..., x n är en ekvation på formen a 1 x 1 + a 2 x 2 + a n x n = b, med givna tal a 1,..., a n och b. Ett linjärt ekvationssystem

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 --4 DAG: Måndag 4 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 (ankn. 94) Förfrågningar:

Läs mer

TENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Onsdagen 17 november 2010. Tentamen består av 3 sidor

TENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Onsdagen 17 november 2010. Tentamen består av 3 sidor TENTAMEN Linjär algebra och analys Kurskod HF1006 Skrivtid 8:15-13:00 Onsdagen 17 november 2010 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Mathematica samt allt tryckt material Tentamen består av 12 uppgifter,

Läs mer

Lösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003.

Lösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003. Lösningar till tentan i 5B7 Linjär och kvadratisk optimering, 7 december 3 Uppgift (a) 3 Vi använder Gauss-Jordans metod för att överföra A 3 5 till trappstegsform 3 7 Addition av ( ) gånger första raden

Läs mer

4.2. Vektorprodukt i koordinater

4.2. Vektorprodukt i koordinater 4 Vektorprodukt i koordinater 5 4 Vektorprodukt i koordinater Nästa sats visar hur vi kan räkna med vektorprodukt i en ON-bas Satsen följer av Definition 4 samt räknelagrna i Sats 44 Sats 45 Låt e = {e,

Läs mer

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Vektoralgebra. En inledning Hasse Carlsson

Vektoralgebra. En inledning Hasse Carlsson Vektoralgebra En inledning Hasse Carlsson Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 2005 Innehåll 1 Inledning 2 2 Geometriska vektorer 2 2.1 Definition av vektorer.......................

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll 5 komplexa tal 150 5.1 Inledning................................ 150 5. Geometrisk definition av de komplexa talen..............

Läs mer

VEKTORGEOMETRI. och ANDRAGRADSYTOR

VEKTORGEOMETRI. och ANDRAGRADSYTOR VEKTORGEOMETRI och ANDRAGRADSYTOR Lars-Åke Lindahl c Lars-Åke Lindahl Matematiska institutionen, Uppsala universitet 000 Innehåll Del 1 Vektorgeometri 1 1 Inledning 1 Vektorer Baser, koordinater och koordinatsystem

Läs mer

INFÖR TENTAN (Av Göran Rundqvist, goranr@math.kth.se) Allmänna råd: Gör inte för mycket av dina räkningar i huvudet, skriv ner dem istället!

INFÖR TENTAN (Av Göran Rundqvist, goranr@math.kth.se) Allmänna råd: Gör inte för mycket av dina räkningar i huvudet, skriv ner dem istället! INFÖR TENTAN (Av Göran Rundqvist, goranr@math.kth.se) Allmänna råd: Gör inte för mycket av dina räkningar i huvudet, skriv ner dem istället! Ska du t ex förenkla 2(a + b) 2 3(b a) 2 utför först kvadreringarna

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) 2013 08 24, 14 19.

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) 2013 08 24, 14 19. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN 8, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter

Läs mer

Moment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så

Moment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så Tisdagen september kl 10:15, Sal 093, Moment 4.3.1 Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.5, 4.55 Räta linjen i rummet En rät linje l i rummet är bestämd då en punkt P 0 på linjen och en riktningsvektor

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra 1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö högskola Malmö 2014 2 Kapitel 1 Linjära ekvationssystem Att lösa ekvationer Vi vill lösa ekvationen 2x 6 = 0 Att lösa

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR ABSOLUTBELOPP Några eempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) b) c) 5 5 Alltså et av ett tal är lika med själva talet om talet är positivt eller lika med et av är lika med det motsatta talet om är negativt

Läs mer

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra TEN4 Datum:

Läs mer

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende. Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga

Läs mer

Kontrollskrivning i Linjär algebra 2014 10 30, 14 18.

Kontrollskrivning i Linjär algebra 2014 10 30, 14 18. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: KTR Kontrollskrivning i Linjär algebra, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. På uppgift skall endast svar ges. Varje rätt

Läs mer

Extraövningar, linjär algebra

Extraövningar, linjär algebra Extraövningar, linjär algebra Uppgifter markerade med * kan innehålla något moment som är kursivt, medan uppgifter markerade med ** kan vara av det svårare slaget och innehålla något moment som inte ingår

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare Karlstads universitet 19-0 april Exempel på elevaktiviteter framtagna i skolutvecklingsprojektet IKT och lärande i matematik 1

Läs mer

Geometriska vektorer. Vektorräkning utan koordinater. Vektorer och riktade sträckor

Geometriska vektorer. Vektorräkning utan koordinater. Vektorer och riktade sträckor Geometriska vektorer Läs Sparr, avsn. 2.1-2.2 Vektorer och riktade sträckor Vektorer förhåller sig till riktade sträckor som tal till bråk: På samma sätt som olika bråk som 2 3, 4 6, 6 9, 8 12, 1 15,...

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Lösningar till linjära problem med MATLAB

Lösningar till linjära problem med MATLAB 5B1146 - Geometri och algebra Mikrolelektronik, TH ista ösningar till linjära problem med MATAB Av: oel Nilsson, alikzus@home.se atrik osonen, pkosonen@kth.se 26-12-4 roblem 1 Man ska bestämma ett tredjegradspolynom:

Läs mer

Abstrakt algebra för gymnasister

Abstrakt algebra för gymnasister Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler

Läs mer

Linjär algebra med MATLAB

Linjär algebra med MATLAB INGENJÖRSHÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson, Anders Andersson Innehåll Linjär algebra med MATLAB 1 Grundläggande begrepp 1 1.1 Introduktion...................................... 1 1.2 Genomförande

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc) 1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab

Läs mer

y z 3 = 0 z 5 16 1 i )

y z 3 = 0 z 5 16 1 i ) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-433 Sören Hector 7-46686 Rolf Källström 7-6939 Ingenjörer, Lantmätare och Distansstuderande, mfl. Linjär Algebra ma4a 4 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

1 Euklidisk geometri.

1 Euklidisk geometri. 1 Euklidisk geometri. Pythagoras (ca 570 497 f. kr.) grundade i Kroton i nuvarande södra Italien en skola vars motto var Allt är tal. Skolans medlemmar, pytagoreerna, försökte visa att allt i deras omvärld

Läs mer

Begrepp:: Kort om Kryssprodukt

Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Introduktion till kryssprodukten Namnet kryssprodukt kommer av att produktsymbolen skrivs som ett kryss. Kryssprodukten av två vektorer u och v skrivs då u v. input = vektorer

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 5-4-8 DAG: Lördag 8 april 5 TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 5-8-6 DAG: Fredag 6 augusti 5 TID: 8.3-.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 3-II

Mat Grundkurs i matematik 3-II Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II G. Gripenberg Aalto-universitetet 23 november 2010 1 Matriser....................... 4 Grundläggande definitioner.............. 4 LU-uppdelningen..................

Läs mer

Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5.

Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5. Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5. H.7 a) Antag att p är ett polynom med grad p < n. Då kan p skrivas som en linjärkombination av ortogonalpolynomen p k, där k < n. Alltså är p c k p k, m

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

DEL I. Matematiska Institutionen KTH 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL2 och Media 1, SF1610 och 5B1118, tisdagen den 21 oktober 2008, kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden.

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

Linjär algebra förel. 10 Minsta kvadratmetoden

Linjär algebra förel. 10 Minsta kvadratmetoden Linjär algebra förel. 10 Minsta kvadratmetoden Niels Chr. Overgaard 015-09- c N. Chr. Overgaard Förel. 9 015-09- logoonly 1 / 17 Data från 1 vuxna män vikt (kg) längd (m) 58 1,69 83 1,77 80 1,79 77 1,80

Läs mer

Linjära ekvationssystem i Matlab

Linjära ekvationssystem i Matlab CTH/GU LABORATION 2 MVE11-212/213 Matematiska vetenskaper Linjära ekvationssystem i Matlab 1 Inledning Först skall vi se lite på matriser, vilket är den grundläggande datatypen i Matlab, sedan skall vi

Läs mer

LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA Matematiska institutionen Ulf Janfalk 18 september 2014

LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA Matematiska institutionen Ulf Janfalk 18 september 2014 LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA Matematiska institutionen 18 september 2014 Kursinformation Linjär Algebra för I1 och Ii1. Examinator: Kurslitteratur: Janfalk, Ulf: Linjär algebra, 2014 Examination: Efter

Läs mer