VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

Transkript

1 VEKTORRUMMET R n RYSZARD RUBINSZTEIN Introdktion Låt n vara ett heltal. Med R n kommer vi att beteckna mängden vars element är alla n-tipplar av reella tal (a, a 2,..., a n ), R n = { (a, a 2,..., a n ) a, a 2,..., a n R }. Sådana n-tipplar a = (a, a 2,..., a n ) R n kommer vi att kalla för vektorer i R n. Om a = (a, a 2,..., a n ) och b = (b, b 2,..., b n ) är vektorer r R n och λ är ett reellt tal definieras vektorernas smma a + b R n genom komponentvis addition a + b = (a + b, a 2 + b 2,..., a n + b n ) R n. (.) Prodkten λ a R n definieras genom komponentvis mltiplikation λ a = (λa, λa 2,..., λa n ) R n. (.2) Vektorn (,,..., ) R n betecknas med och kallas for nollvektorn i R n. Given en vektor = (, 2,..., n ) R n betecknar vi med vektorn = (, 2,..., n ) = ( ). Addition av vektorer och mltiplikation av vektorer med reella tal ppfyller följande Sats.. Egenskaper av vektorer i R n Om = (, 2,..., n ), v = (v, v 2,..., v n ) och w = (w, w 2,..., w n ) är vektorer i R n och λ och µ är reella tal, gäller följande: () + v = v +, (5) λ(µ ) = (λµ) (2) + ( v + w) = ( + v) + w, (6) λ( + v) = λ + λ v, (3) + =, (7) (λ + µ) = λ + µ, (4) + ( ) =, (8) =. Bevis. Egenskaperna ()-(8) följer direkt från definitionerna (.) och (.2) och lämnas åt läsaren att kontrollera. Observera att om man har valt ett koordinatsystem i rmmet representeras varje rymdvektor med sina tre koordinater (a, a 2, a 3 ). På så sätt identifieras varje rymdvektor med ett element r R 3 och mängden av alla rymdvektorer med hela R 3. Additionen av rymdvektorer och deras prodkter med reella tal motsvarar då operationerna (.) respektive (.2). På samma sätt tillåter oss ett val av ett koordinatsystem i planet att identifiera mängden av alla vektorer i planet med R 2. Författaren tackar Jörgen Östensson för språklig hjälp vid förberedelsen av detta manskript.

2 2 2. Linjärt beroende och oberoende Låt, 2,..., k vara vektorer i R n och låt c, c 2,..., c k vara reella tal. En vektor i R n på formen c + c c k k (2.) kallas en linjärkombination av vektorerna, 2,..., k. Definition 2.. En ppsättning av vektorer, 2,..., k i R n kallas linjärt oberoende om c + c c k k = c = c 2 =... = c k =. I motsatt fall kallas vektorerna, 2,..., k linjärt beroende. Det finns en enkel metod för att avgöra om en godtycklig ppsättning av vektorer i R n är linjärt beroende eller oberoende. Denna metod demonstreras i exempelet nedan. Exempel 2.: Avgör om = (,,, ), 2 = (, 2,, 3), 3 = (2,,, ) är linjärt beroende eller linjärt oberoende vektorer i R 4. Lösning: För reella tal c, c 2, c 3 R är villkoret detsamma som c + c 2 c + c c 3 3 = (2.2) c 3 2 =. (2.3) Detta innebär att talen c, c 2, c 3 ppfyller likheten (2.2) om och endast om (c, c 2, c 3 ) är en lösning till det homogena linjära ekvationssystemet med totalmatrisen 2 2. (2.4) 3 (Observera att koefficientmatrisens kolonner är lika med vektorerna, 2, 3. Detta är en omedelbar följd av (2.3).) Vi löser ekvationssystemet (2.4) med Gasselimination:

3 Den sista matrisen visar att ekvationssystemet (2.4) har enbart den triviala lösningen (c, c 2, c 3 ) = (,, ). Enligt (2.2) betyder det att den linjära kombinationen c + c c 3 3 är lika med nollvektorn enbart då c =, c 2 =, c 3 =. Enligt Definitionen 2. innebär det att vektorerna, 2, 3 är linjärt oberoende. Den metod som vi använde i Exempel 2. kan tillämpas i varje R n och för en godtycklig ppsättning av vektorer,..., k R n. Anmärkning 2.2. Vektorerna,..., k R n är linjärt beroende om och endast om någon av dessa vektorer kan ttryckas som en linjärkombination av de övriga. Bevis. ( ) Om vektorerna,..., k R n är linjärt beroende finns det koefficienter c,..., c k R, ej alla lika med noll, sådana att c + c c k k =. Om t.ex. c kan vi skriva om det till c = c c k k. Det följer att = ( c 2 ) 2 + ( c 3 ) ( c k ) k, c c c vilket visar att är en linjärkombination av de övriga vektorerna 2, 3,..., k. ( ) Antag n att någon av vektorerna,..., k, t.ex. är en linjärkombination av de övriga, = b b k k, b 2,..., b k R. Detta kan skrivas om som ( ) + b b k k =, vilket visar att det finns en linjärkombination av vektorerna,..., k, som ger nollvektorn fast inte alla koefficienterna är lika med noll. Det innebär, enligt Definition 2., att vektorerna,..., k, är linjärt beroende. Exempel 2.2: Geometrisk tolkning. Låt oss analysera den geometriska innebörden av de nya begreppen linjärt beroende och linjärt oberoende av vektorer i rmmet R 3. (i) Låt och 2 vara två vektorer i R 3. Enligt Anmärkning 2.2 är vektorerna, 2 linjärt beroende om och endast om en av dem är en linjärkombination av den andra, t.ex. 2 = c (eller tvärt om). Detta innebär att vektorerna, 2 är parallella. (Se Figr 2..). 2 = c Fig. 2.

4 4 Sltsats: två vektorer, 2 är linjärt beroende om och endast om de är parallella. Det följer att (ii) två icke-parallella vektorer, 2 är linjärt oberoende (Figr 2.2) 2 π Fig. 2.2 (iii) Låt, 2 och 3 vara tre vektorer i R 3. Enligt Anmärkning 2.2 är vektorerna, 2, 3 linjärt beroende om och endast om en av dem är en linjärkombination av dem övriga, t.ex. 3 = c + c 2 2. Det betyder att 3 ligger i det plan som spänns pp av vektorerna och 2 och att alla tre vektorerna ligger i detta plan. (Figr 2.3) 2 3 π Fig. 2.3 Sltsats: tre vektorer, 2, 3 är linjärt beroende om och endast om de ligger i ett och samma plan. Det följer att (iv) tre vektorer, 2, 3 som inte ligger i ett och samma plan är linjärt oberoende. (Figr 2.4) 3 2 Fig. 2.4

5 5 (v) Varje ppsättning av fyra eller fler vektorer i R 3 är linjärt beroende. Detta är ett speciellt fall av ett mer generellt resltat, se Sats 2.3 nedan. Därvid avsltar vi disktionen av den geometriska tolkningen av begreppen linjärt beroende och oberoende av vektorer i R 2 och R 3. Sats 2.3. Om, 2,..., k är vektorer r R n och k > n, så är vektorerna, 2,..., k linjärt beroende. Bevis. Vektorerna, 2,..., k är linjärt beroende omm det finns reella tal c, c 2,......, c k R, ej alla lika med noll, sådana att c + c c k k =. Detta är ekvivalent med likheten c + c c k k = (2.5) Vi betraktar n (2.5) som ett homogent linjärt ekvationssystem i k obekanta c, c 2,..., c k och med n ekvationer. Notera att eftersom enligt antagandet k > n, är antalet obekanta k större än antalet ekvationer n. Enligt en tidigare bevisad sats följer det att det homogena ekvationssystemet (2.5) har någon icketrivial lösning (c, c 2,..., c k ) (,,..., ). Enligt Definition 2. betyder det att vektorerna, 2,..., k är linjärt beroende. 3. Det linjära höljet Låt, 2,..., k vara vektorer i R n. Definition 3.. Det linjära höljet span{, 2,..., k } R n är mängden av dessa vektorer i R n som kan framställas som linjära kombinationer av vektorerna, 2,..., k, span{, 2,..., k } = {c + c c k k c,..., c k R } R n. Exempel 3.: Avgör om vektorn v = (2, 8, 5, 9) tillhör det linjära höljet av vektorerna = (,,, ), 2 = (, 2,, 3) och 3 = (2,,, ) i R 4. Lösning. Enligt Definitionen 3. tillhör vektorn v = (2, 8, 5, 9) det linjära höljet span{, 2, 3 } om och endast om v = (2, 8, 5, 9) är en linjär kombination av vektorerna, 2, 3 dvs. om det finns reella tal c, c 2, c 3 R sådana att c + c c 3 3 = v. (3.) Detta är ekvivalent med kravet att det linjära ekvationssystemet i obekanta c, c 2 och c 3, 2 2 c + c c 3 = 8 5 (3.2) 3 9 har någon lösning.

6 6 Vi löser ekvationssystemet (3.2) med Gasselimination Det följer att ekvationssystemet (3.2) har en nik lösning (c, c 2, c 3 ) = (, 3, ). (Kontroll: ( ) 3 = (,,, )+ 3 (, 2,, 3) (2,,, ) = (2, 8, 5, 9) = v. Det stämmer!) Eftersom v = ( ) 3 får vi att v är en linjärkombination av vektorerna, 2, 3 och därmed att v tillhör det linjära höljet av, 2, 3, v span{, 2, 3 }. (Vi rekommenderar att läsaren, med hjälp av samma metod, visar att vektorn w = (2, 8, 5, ) inte tillhör span{, 2, 3 }.) Exempel 3.2: Geometrisk tolkning. Vi skall n geometriskt beskriva linjära höljet av olika ppsättningar av vektorer i R 3. (i) Om är en vektor i R 3 består span{ } av alla vektorer på formen c, där c R är ett godtyckligt reellt tal. Låt l vara den räta linje genom origo som har som riktningsvektor. Det linjära höljet span{ } består av alla vektorer parallella med linjen l. (Figr 3.) l Fig. 3. (ii) Om, 2 är två parallella vektorer i R 3 har vi 2 = b för något b R (eller tvärt om). Varje element v r span{, 2 } är på formen v = c +c 2 2 = c + c 2 (b ) = (c + c 2 b) med c, c 2 R. Detta visar att alla element r span{, 2 } är parallella med den linje l som spänns pp av (förtsätt att. ) (Figr 3.2)

7 7 2 l 2 Fig. 3.2 (iii) Låt, 2 vara två icke-parallella vektorer i R 3. Alla element v r span{, 2 } är på formen v = c + c 2 2 med c, c 2 R. Vektorerna, 2 spänner pp ett plan π genom origo i R 3 och, som vi vet från krsens geometriavsnitt, tgör de en bas i detta plan. Varje vektor parallell med π kan skrivas på formen c + c 2 2 med c, c 2 R och varje vektor skriven på denna form är parallell med π. Det följer att span{, 2 } består av alla vektorer i R 3 parallella med planet π. 2 π Fig. 3.3 (iv) Låt, 2, 3 vara tre vektorer i R 3 som inte ligger i ett och samma plan. Som vi vet från krsens geometriavsnitt kan dessa vektorer väljas som en bas i R 3 och, följaktligen, kan varje vektor v r R 3 skrivas som en linjärkombination v = c + c c 2 3 med c, c 2, c 3 R. Detta visar att span{, 2, 3 } är lika med hela R 3. Sltligen (v) låt, 2, 3 vara tre vektorer i R 3 som ligger i ett och samma plan. Om alla dessa vektorer är parallella (och inte alla lika med ) visar man på samma sätt som i del (ii) att span{, 2, 3 } består av alla vektorer parallella med den linje genom origo som, 2, 3 är riktningsvektorer till. Om däremot t.ex. och 2 inte är parallella, spänner de pp ett plan π genom origo och alla tre vektorer, 2, 3 ligger i detta plan. (Figr 3.4) 2 3 π Fig. 3.4

8 8 Vektorerna och 2 kan väljas som en bas för planet π och 3 = b + b 2 2 för några b, b 2 R. Det följer att varje linjärkombination av, 2, 3 är på formen c + c c 3 3 = c + c c 3 (b + b 2 2 ) = = (c + c 3 b ) + (c 2 + c 3 b 2 ) 2 dvs. är en linjärkombination av vektorerna och 2. Detta visar att span{, 2, 3 } = span{, 2 } vilken enligt del (iii) består av alla vektorer parallella med planet π. Låt, 2,..., k vara vektorer i R n. 4. Bas Definition 4.. Vektorerna, 2,..., k tgör en bas i R n om ), 2,..., k är linjärt oberoende och 2) span{, 2,..., k } = R n. Exempel 4.: Vektorerna e = (,,,..., ), e 2 = (,,,..., ), e 3 = (,,,...),..., e n = (,,,..., ) tgör en bas i R n. (Varje vektor e j har som j-te komponenten och alla andra komponenter lika med.) Denna bas kallas för standardbasen i R n. Bevis. För varje vektor a = (a, a 2,..., a n ) R n har vi a = (a, a 2,..., a n ) = a (,,,..., ) + a 2 (,,,..., ) a n (,,,..., ) = = a e + a 2 e a n e n. (4.) Detta visar att varje vektor a R n är en linjärkombination av vektorerna e, e 2,..., e n och därmed är span{ e, e 2,..., e k } = R n. Desstom visar (4.) att likheten a e +a 2 e a n e n = = (,,,..., ) medför a = a 2 =... = a n =, vilket visar att vektorerna e, e 2,..., e n är linjärt oberoende. Därmed tgör vektorerna e, e 2,..., e n en bas i R n. Vi har en grndläggande Sats 4.2. Varje bas i R n innehåller n vektorer. Bevis. Ett fllständigt bevis för satsen (i ett större sammanhang) kommer att genomföras i en senare krs. Tillsvidare vill vi bara påpeka följande: om en ppsättning vektorer, 2,..., k tgör en bas i R n, är dessa vektorer linjärt oberoende. Det följer då från sats 2.3 att k n. Anmärkning 4.3. Vektorerna, 2,..., n R n tgör en bas i R n För varje vektor v R n finns det nika reella tal c, c 2,..., c n R sådana att v = c + c c n n. (*) Den nika n-tippeln av talen (c, c 2,..., c n ) kallas för v:s koordinater i basen (, 2,..., n ).

9 9 Bevis. ( ) Låt oss anta att vektorerna, 2,..., n tgör en bas i R n. Låt v R n. Eftersom span{, 2,..., n } = R n finns det reella tal c, c 2,..., c n R sådana att c + c c n n = v. () För att visa att dessa tal c, c 2,..., c n R är nika låt oss anta att även reella tal d, d 2,..., d n R ppfyller Om vi sbtraherar likheten (2) från () får vi d + d d n n = v. (2) (c d ) + (c 2 d 2 ) (c n d n ) n =. (3) Eftersom vektorerna, 2,..., n är linjärt oberoende (som basvektorer i en bas) medför (3) att c d = c 2 d 2 =... = c n d n =. Vi får c = d, c 2 = d 2,..., c n = d n vilket visar att talen c, c 2,..., c n som ppfyller () är nika. ( ) Låt oss anta n att en ppsättning vektorer, 2,..., n R n ppfyller villkoret (*). Eftersom för varje vektor v R n gäller v = c + c c n n, får vi att span{, 2,..., n } = R n. Eftersom för varje vektor v är likheten (*) ppfylld med en nik ppsättning av koefficienterna c, c 2,..., c n, gäller det i synnerhet för nollvektorn. Det betyder att likheten = c + c c n n, (4) kan vara ppfylld med endast en ppsättning av koefficienter c, c 2,..., c n. Eftersom (4) är ppfylld med koefficienterna c = c 2 =... = c n =, är det den enda möjligheten. Vi får då c + c c n n = c = c 2 =... = c n =, vilket innebär att vektorerna, 2,..., n är linjärt oberoende. Därmed tgör vektorerna, 2,..., n en bas i R n. Exempel 4. (igen) Låt e,..., e n vara standardbasen i R n, dvs. e = (,,,..., ), e 2 = (,,,..., ) osv. Som vi har sett tidigare, för varje vektor v = (v, v 2,..., v n ) R n har vi v = (v, v 2,..., v n ) = v e + v 2 e v n e n. Det betyder att n-tippeln (v, v 2,..., v n ) samtidigt tgör vektorn v :s koordinater i standardbasen. Exempel 4.2: Visa att vektorerna = (, 2, ), 2 = (,, ), 3 = (,, ) tgör en bas i R 3 och finn koordinaterna för v = (, 3, ) i denna bas. Lösning. Vi skall använda Anmärkning 4.3 för att lösa ppgiften. Låt w = (b, b 2, b 3 ) vara en godtycklig vektor i R 3. Finns det reella tal c, c 2, c 3 R sådana att c + c c 3 3 = w? (4.2) Är en sådan ppsättning av reella tal (c, c 2, c 3 ) nik?

10 Likheten (4.2) kan skrivas som c 2 + c 2 + c 3 = b b 2 b 3. (4.3) Vi betraktar (4.3) som ett linjärt ekvationssystem i obekanta c, c 2, c 3 med ett givet högerled (b, b 2, b 3 ) (givet av vektorn w ). Ekvationsystemet löses med Gasselimination: b 2 b 2 b b 3 b + b 2 + b 3 b + b 3 b 2b + b 2 b + b b + b 2 b + b 3 b + b 2 + b 3 Den sista matrisen visar att ekvationssystemet (4.3) har en nik lösning (c, c 2, c 3 ) = ( b + b 2, b + b 3, b + b 2 + b 3 ) för varje val av högerled w = (b, b 2, b 3 ). Detta betyder i sin tr att för varje vektor w = (b, b 2, b 3 ) R 3 finns det en nik ppsättning av reella tal (c, c 2, c 3 ) som ppfyller (4.2). Enligt Anmärkning 4.3 innebär det att vektorerna, 2, 3 tgör en bas i R 3 och att (c, c 2, c 3 ) = ( b + b 2, b + b 3, b + b 2 + b 3 ) är w :s koordinater i denna bas. Låt oss beteckna denna bas med = (, 2, 3 ). Det följer att för vektorn v = (, 3, ) = (b, b 2, b 3 ) är v :s koordinater i basen lika med (c, c 2, c 3 ) = ( b + b 2, b + b 3, b + b 2 + b 3 ) = ( 4, 2, 3). Vi skriver v = ( 4, 2, 3) ( v :s koordinater i basen ). (Kontroll: = 4(, 2, ) + 2(,, ) 3(,, ) = (, 3, ) = v. Det stämmer!). 5. Ett exempel Exempel 5.: Låt = (,,,, ), 2 = (2,,,, 2), 3 = (,,,, ), 4 = (,,,, ), 5 = (, 2, 2,, ) vara vektorer i R 5. Visa att vektorerna, 2, 3, 4, 5 är linjärt beroende. Finn bland dem en ppsättning av linjärt oberoende vektorer som spänner pp samma linjära hölje som, 2, 3, 4, 5. Lösning. Vi börjar med att ndersöka för vilka reella tal c, c 2, c 3, c 4, c 5 R det gäller att c + c c c c 5 5 =. (5.) Detta är ekvivalent med 2 c + c 2 + c c 4 + c =. (5.2)

11 Vi betraktar (5.2) som ett linjärt ekvationssystem i obekanta c,..., c 5 och löser systemet med Gasselimination: ( ) (5.3) Den sista matrisen är en radkanonisk matris och har pivotelement i kolonn, 2 och 4. Vi väljer c 3 = s, c 5 = t som parametrar (kolonner tan pivotelement!) och får lösningarna (c, c 2, c 3, c 4, c 5 ) = (s, s t, s, t, t), s, t R. (5.4) Detta visar att det finns reella tal c,..., c 5, ej alla lika med, som ppfyller (5.). Det innebär att vektorerna, 2, 3, 4, 5 är linjärt beroende. Om vi i (5.4) väljer t = och s = får vi lösningen (c, c 2, c 3, c 4, c 5 ) = (,,,, ) vilket visar att och därmed = 5 = 2 4. Eftersom 5 är en linjärkombination av de övriga vektorerna får vi span{, 2, 3, 4, 5 } = span{, 2, 3, 4 }. (5.5) Om vi i (5.4) väljer t = och s = får vi lösningen (c, c 2, c 3, c 4, c 5 ) = (,,,, ) vilket visar att = och därmed Från detta följer att 3 = + 2. span{, 2, 3, 4 } = span{, 2, 4 }. (5.6)

12 2 Till slt, om vi sätter c 3 = och c 5 = dvs. s = t = får vi enbart lösningen c =, c 2 =, c 4 = vilket visar att det enda fallet när c + c c 4 4 = är då c = c 2 = c 4 =. Det visar att vektorerna, 2, 4 är linjärt oberoende. Vi har desstom span{, 2, 3, 4, 5 } = span{, 2, 3, 4 } = span{, 2, 4 }. Svar: span{, 2, 3, 4, 5 } = span{, 2, 4 } och vektorerna, 2, 4 är linjärt oberoende. Obs : Detta är inte den enda möjliga lösningen till ppgiften. Ett annat val av parametrar i Gasseliminationen sklle ha givit en annan lösning. Obs 2: De linjärt oberoende vektorerna, 2, 4 i vår lösning motsvarar de kolonner i den radkanoniska matrisen (5.3) som innehåller pivotelement (kolonnerna, 2 och 4). Den lösningsmetod som vi har valt fngerar alltid på detta sätt (och leder alltid till en lösning).

13 Blandade övningar i Linjär Algebra: linjärt oberoende, linjärt hölje, bas.. Låt = (,,, 2), 2 = (2,, 3, ), 3 = (, 2, 3, ), 4 = (,, 2, ) vara vektorer i R 4. (a) Avgör om vektorerna, 2, 3, 4 är linjärt beroende eller oberoende. (b) Avgör om vektorerna v = (, 3,, 4) och w = (2,,, 2) tillhör det linjära höljet span{, 2, 3, 4 }. Om vektorn v resp. w tillhör det linjära höljet, framställ den som en linjärkombination av vektorerna, 2, 3, För vilka värden av konstanten a R tillhör vektorn v = (, a, 4, a) det linjära höljet av vektorerna = (,,, ), 2 = (2,, 2, ) och 3 = (, 3,, ) i R 4? 3. Avgör om vektorerna = (,, 2), 2 = (,, ), 3 = (, 2, ) i R 3 är linjärt beroende eller oberoende. I fall de är linjärt beroende, finn bland, 2, 3 en ppsättning vektorer som är linjärt oberoende och som spänner samma linjära hölje som, 2, Visa att vektorerna v = (,, 2, ), v 2 = (,,, 2), v 3 = (, 2,, 3), v 4 = (2,,, 3) är linjärt beroende. Uttryck en av dem som en linjär kombination av de övriga. Finn bland dem en ppsättning av linjärt oberoende vektorer som har samma linjära hölje som vektorerna v, v 2, v 3, v Låt = (, 2, ), 2 = (,, ) vara två vektorer i R 3. Finn en ekvation som komponenterna x, x 2, x 3 måste ppfylla för att vektorn v = (x, x 2, x 3 ) R 3 skall tillhöra det linjära höljet span{, 2 }. Tolka resltatet geometriskt. För vektorer v som ppfyller ekvationen finn en framställning av v som en linjärkombination av och (a) Avgör om vektorerna v = (, 2), v 2 = (2, ) tgör en bas i R 2. Om så är fallet finn koordinaterna i denna bas för vektorn F = (, ) och för vektorn w = (x, x 2 ). (b) Använd resltaten i del (a) för att dela pp kraftvektorn F = (, ) i R 2 i komposanter parallella med vektorerna v och v 2 (dvs. finn F, F 2 sådana att F = F + F 2 med F v och F 2 v 2 ). 7. (a) Avgör om vektorerna = (,, ), 2 = (2,, ), 3 = (,, 2) tgör en bas i R 3. Om så är fallet finn koordinaterna i denna bas för vektorn F = (,, ) och för vektorn w = (x, x 2, x 3 ). (b) Vektorerna 2 = (2,, ), 3 = (,, 2) spänner pp ett plan π genom origo i R 3. Använd resltaten i del (a) av ppgiften för att framställa kraftvektorn F = (,, ) som smma av två komposanter F och F 2, F = F + F 2, där komposanten F är parallell med vektorn = (,, ) och komposanten F 2 är parallell med planet π. 8. Avgör om vektorerna = (,,, ), 2 = (,,, ), 3 = (,,, ), 4 = (2,, 3, 3) tgör en bas i R 4. Om så är fallet finn koordinaterna i denna bas för vektorn F = (,, 2, ) och för vektorn w = (x, x 2, x 3, x 4 ). 3

14 4 Facit:. (a) Vektorerna, 2, 3, 4 är linjärt beroende. (b) v span{, 2, 3, 4 }, v = ( 2 3 ) , w / span{, 2, 3, 4 }. 2. a = Vektorerna, 2, 3 är linjärt beroende. Vidare är t.ex. span{, 2, 3 } = = span{, 2 } och, 2 är linjärt oberoende. 4. T.ex. v 3 = v + 2 v 2. span{ v, v 2, v 4 } = span{ v, v 2, v 3, v 4 }. 5. Ekvationen är x x 2 + x 3 =. Geometrisk tolkning: vektorerna, 2 spänner pp ett plan π genom origo i R 3. Planet π har ekvationen x x 2 +x 3 =. Vektorn v = (x, x 2, x 3 ) tillhör det linjära höljet span{, 2 } omm v ligger i (= är parallell med) detta plan. Om v = (x, x 2, x 3 ) med x x 2 + x 3 = blir v = c + c 2 2 med c = 2 x 2, c 2 = x + 2 x (a) Ja, v, v 2 tgör en bas i R 2. F = 3 5 v + 5 v 2. w = (x, x 2 ) = ( 5 x x 2) v + ( 2 5 x 5 x 2) v 2. (b) F = 3 5 v = 3 5 (, 2) och F 2 = 5 v 2 = 5 (2, ). 7. (a) Ja,, 2, 3 tgör en bas i R 3. F = ( 2) w = ( 2 x 3 2 x 2 x 3 ) + ( 2 x + 2 x 2) 2 + ( 2 x + 2 x 2 + x 3 ) 3. (b) F = 2 = ( 2, 2, 2) och F 2 = = (3,, 3). 8. Ja,, 2, 3, 4 tgör en bas i R 4, F = , w = (2x + x 2 + 3x 3 4x 4 ) + ( x 3 + x 4 ) 2 + +(x x 2 x 4 ) 3 + ( x x 3 + 2x 4 ) 4.