VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion"

Transkript

1 VEKTORRUMMET R n RYSZARD RUBINSZTEIN Introdktion Låt n vara ett heltal. Med R n kommer vi att beteckna mängden vars element är alla n-tipplar av reella tal (a, a 2,..., a n ), R n = { (a, a 2,..., a n ) a, a 2,..., a n R }. Sådana n-tipplar a = (a, a 2,..., a n ) R n kommer vi att kalla för vektorer i R n. Om a = (a, a 2,..., a n ) och b = (b, b 2,..., b n ) är vektorer r R n och λ är ett reellt tal definieras vektorernas smma a + b R n genom komponentvis addition a + b = (a + b, a 2 + b 2,..., a n + b n ) R n. (.) Prodkten λ a R n definieras genom komponentvis mltiplikation λ a = (λa, λa 2,..., λa n ) R n. (.2) Vektorn (,,..., ) R n betecknas med och kallas for nollvektorn i R n. Given en vektor = (, 2,..., n ) R n betecknar vi med vektorn = (, 2,..., n ) = ( ). Addition av vektorer och mltiplikation av vektorer med reella tal ppfyller följande Sats.. Egenskaper av vektorer i R n Om = (, 2,..., n ), v = (v, v 2,..., v n ) och w = (w, w 2,..., w n ) är vektorer i R n och λ och µ är reella tal, gäller följande: () + v = v +, (5) λ(µ ) = (λµ) (2) + ( v + w) = ( + v) + w, (6) λ( + v) = λ + λ v, (3) + =, (7) (λ + µ) = λ + µ, (4) + ( ) =, (8) =. Bevis. Egenskaperna ()-(8) följer direkt från definitionerna (.) och (.2) och lämnas åt läsaren att kontrollera. Observera att om man har valt ett koordinatsystem i rmmet representeras varje rymdvektor med sina tre koordinater (a, a 2, a 3 ). På så sätt identifieras varje rymdvektor med ett element r R 3 och mängden av alla rymdvektorer med hela R 3. Additionen av rymdvektorer och deras prodkter med reella tal motsvarar då operationerna (.) respektive (.2). På samma sätt tillåter oss ett val av ett koordinatsystem i planet att identifiera mängden av alla vektorer i planet med R 2. Författaren tackar Jörgen Östensson för språklig hjälp vid förberedelsen av detta manskript.

2 2 2. Linjärt beroende och oberoende Låt, 2,..., k vara vektorer i R n och låt c, c 2,..., c k vara reella tal. En vektor i R n på formen c + c c k k (2.) kallas en linjärkombination av vektorerna, 2,..., k. Definition 2.. En ppsättning av vektorer, 2,..., k i R n kallas linjärt oberoende om c + c c k k = c = c 2 =... = c k =. I motsatt fall kallas vektorerna, 2,..., k linjärt beroende. Det finns en enkel metod för att avgöra om en godtycklig ppsättning av vektorer i R n är linjärt beroende eller oberoende. Denna metod demonstreras i exempelet nedan. Exempel 2.: Avgör om = (,,, ), 2 = (, 2,, 3), 3 = (2,,, ) är linjärt beroende eller linjärt oberoende vektorer i R 4. Lösning: För reella tal c, c 2, c 3 R är villkoret detsamma som c + c 2 c + c c 3 3 = (2.2) c 3 2 =. (2.3) Detta innebär att talen c, c 2, c 3 ppfyller likheten (2.2) om och endast om (c, c 2, c 3 ) är en lösning till det homogena linjära ekvationssystemet med totalmatrisen 2 2. (2.4) 3 (Observera att koefficientmatrisens kolonner är lika med vektorerna, 2, 3. Detta är en omedelbar följd av (2.3).) Vi löser ekvationssystemet (2.4) med Gasselimination:

3 Den sista matrisen visar att ekvationssystemet (2.4) har enbart den triviala lösningen (c, c 2, c 3 ) = (,, ). Enligt (2.2) betyder det att den linjära kombinationen c + c c 3 3 är lika med nollvektorn enbart då c =, c 2 =, c 3 =. Enligt Definitionen 2. innebär det att vektorerna, 2, 3 är linjärt oberoende. Den metod som vi använde i Exempel 2. kan tillämpas i varje R n och för en godtycklig ppsättning av vektorer,..., k R n. Anmärkning 2.2. Vektorerna,..., k R n är linjärt beroende om och endast om någon av dessa vektorer kan ttryckas som en linjärkombination av de övriga. Bevis. ( ) Om vektorerna,..., k R n är linjärt beroende finns det koefficienter c,..., c k R, ej alla lika med noll, sådana att c + c c k k =. Om t.ex. c kan vi skriva om det till c = c c k k. Det följer att = ( c 2 ) 2 + ( c 3 ) ( c k ) k, c c c vilket visar att är en linjärkombination av de övriga vektorerna 2, 3,..., k. ( ) Antag n att någon av vektorerna,..., k, t.ex. är en linjärkombination av de övriga, = b b k k, b 2,..., b k R. Detta kan skrivas om som ( ) + b b k k =, vilket visar att det finns en linjärkombination av vektorerna,..., k, som ger nollvektorn fast inte alla koefficienterna är lika med noll. Det innebär, enligt Definition 2., att vektorerna,..., k, är linjärt beroende. Exempel 2.2: Geometrisk tolkning. Låt oss analysera den geometriska innebörden av de nya begreppen linjärt beroende och linjärt oberoende av vektorer i rmmet R 3. (i) Låt och 2 vara två vektorer i R 3. Enligt Anmärkning 2.2 är vektorerna, 2 linjärt beroende om och endast om en av dem är en linjärkombination av den andra, t.ex. 2 = c (eller tvärt om). Detta innebär att vektorerna, 2 är parallella. (Se Figr 2..). 2 = c Fig. 2.

4 4 Sltsats: två vektorer, 2 är linjärt beroende om och endast om de är parallella. Det följer att (ii) två icke-parallella vektorer, 2 är linjärt oberoende (Figr 2.2) 2 π Fig. 2.2 (iii) Låt, 2 och 3 vara tre vektorer i R 3. Enligt Anmärkning 2.2 är vektorerna, 2, 3 linjärt beroende om och endast om en av dem är en linjärkombination av dem övriga, t.ex. 3 = c + c 2 2. Det betyder att 3 ligger i det plan som spänns pp av vektorerna och 2 och att alla tre vektorerna ligger i detta plan. (Figr 2.3) 2 3 π Fig. 2.3 Sltsats: tre vektorer, 2, 3 är linjärt beroende om och endast om de ligger i ett och samma plan. Det följer att (iv) tre vektorer, 2, 3 som inte ligger i ett och samma plan är linjärt oberoende. (Figr 2.4) 3 2 Fig. 2.4

5 5 (v) Varje ppsättning av fyra eller fler vektorer i R 3 är linjärt beroende. Detta är ett speciellt fall av ett mer generellt resltat, se Sats 2.3 nedan. Därvid avsltar vi disktionen av den geometriska tolkningen av begreppen linjärt beroende och oberoende av vektorer i R 2 och R 3. Sats 2.3. Om, 2,..., k är vektorer r R n och k > n, så är vektorerna, 2,..., k linjärt beroende. Bevis. Vektorerna, 2,..., k är linjärt beroende omm det finns reella tal c, c 2,......, c k R, ej alla lika med noll, sådana att c + c c k k =. Detta är ekvivalent med likheten c + c c k k = (2.5) Vi betraktar n (2.5) som ett homogent linjärt ekvationssystem i k obekanta c, c 2,..., c k och med n ekvationer. Notera att eftersom enligt antagandet k > n, är antalet obekanta k större än antalet ekvationer n. Enligt en tidigare bevisad sats följer det att det homogena ekvationssystemet (2.5) har någon icketrivial lösning (c, c 2,..., c k ) (,,..., ). Enligt Definition 2. betyder det att vektorerna, 2,..., k är linjärt beroende. 3. Det linjära höljet Låt, 2,..., k vara vektorer i R n. Definition 3.. Det linjära höljet span{, 2,..., k } R n är mängden av dessa vektorer i R n som kan framställas som linjära kombinationer av vektorerna, 2,..., k, span{, 2,..., k } = {c + c c k k c,..., c k R } R n. Exempel 3.: Avgör om vektorn v = (2, 8, 5, 9) tillhör det linjära höljet av vektorerna = (,,, ), 2 = (, 2,, 3) och 3 = (2,,, ) i R 4. Lösning. Enligt Definitionen 3. tillhör vektorn v = (2, 8, 5, 9) det linjära höljet span{, 2, 3 } om och endast om v = (2, 8, 5, 9) är en linjär kombination av vektorerna, 2, 3 dvs. om det finns reella tal c, c 2, c 3 R sådana att c + c c 3 3 = v. (3.) Detta är ekvivalent med kravet att det linjära ekvationssystemet i obekanta c, c 2 och c 3, 2 2 c + c c 3 = 8 5 (3.2) 3 9 har någon lösning.

6 6 Vi löser ekvationssystemet (3.2) med Gasselimination Det följer att ekvationssystemet (3.2) har en nik lösning (c, c 2, c 3 ) = (, 3, ). (Kontroll: ( ) 3 = (,,, )+ 3 (, 2,, 3) (2,,, ) = (2, 8, 5, 9) = v. Det stämmer!) Eftersom v = ( ) 3 får vi att v är en linjärkombination av vektorerna, 2, 3 och därmed att v tillhör det linjära höljet av, 2, 3, v span{, 2, 3 }. (Vi rekommenderar att läsaren, med hjälp av samma metod, visar att vektorn w = (2, 8, 5, ) inte tillhör span{, 2, 3 }.) Exempel 3.2: Geometrisk tolkning. Vi skall n geometriskt beskriva linjära höljet av olika ppsättningar av vektorer i R 3. (i) Om är en vektor i R 3 består span{ } av alla vektorer på formen c, där c R är ett godtyckligt reellt tal. Låt l vara den räta linje genom origo som har som riktningsvektor. Det linjära höljet span{ } består av alla vektorer parallella med linjen l. (Figr 3.) l Fig. 3. (ii) Om, 2 är två parallella vektorer i R 3 har vi 2 = b för något b R (eller tvärt om). Varje element v r span{, 2 } är på formen v = c +c 2 2 = c + c 2 (b ) = (c + c 2 b) med c, c 2 R. Detta visar att alla element r span{, 2 } är parallella med den linje l som spänns pp av (förtsätt att. ) (Figr 3.2)

7 7 2 l 2 Fig. 3.2 (iii) Låt, 2 vara två icke-parallella vektorer i R 3. Alla element v r span{, 2 } är på formen v = c + c 2 2 med c, c 2 R. Vektorerna, 2 spänner pp ett plan π genom origo i R 3 och, som vi vet från krsens geometriavsnitt, tgör de en bas i detta plan. Varje vektor parallell med π kan skrivas på formen c + c 2 2 med c, c 2 R och varje vektor skriven på denna form är parallell med π. Det följer att span{, 2 } består av alla vektorer i R 3 parallella med planet π. 2 π Fig. 3.3 (iv) Låt, 2, 3 vara tre vektorer i R 3 som inte ligger i ett och samma plan. Som vi vet från krsens geometriavsnitt kan dessa vektorer väljas som en bas i R 3 och, följaktligen, kan varje vektor v r R 3 skrivas som en linjärkombination v = c + c c 2 3 med c, c 2, c 3 R. Detta visar att span{, 2, 3 } är lika med hela R 3. Sltligen (v) låt, 2, 3 vara tre vektorer i R 3 som ligger i ett och samma plan. Om alla dessa vektorer är parallella (och inte alla lika med ) visar man på samma sätt som i del (ii) att span{, 2, 3 } består av alla vektorer parallella med den linje genom origo som, 2, 3 är riktningsvektorer till. Om däremot t.ex. och 2 inte är parallella, spänner de pp ett plan π genom origo och alla tre vektorer, 2, 3 ligger i detta plan. (Figr 3.4) 2 3 π Fig. 3.4

8 8 Vektorerna och 2 kan väljas som en bas för planet π och 3 = b + b 2 2 för några b, b 2 R. Det följer att varje linjärkombination av, 2, 3 är på formen c + c c 3 3 = c + c c 3 (b + b 2 2 ) = = (c + c 3 b ) + (c 2 + c 3 b 2 ) 2 dvs. är en linjärkombination av vektorerna och 2. Detta visar att span{, 2, 3 } = span{, 2 } vilken enligt del (iii) består av alla vektorer parallella med planet π. Låt, 2,..., k vara vektorer i R n. 4. Bas Definition 4.. Vektorerna, 2,..., k tgör en bas i R n om ), 2,..., k är linjärt oberoende och 2) span{, 2,..., k } = R n. Exempel 4.: Vektorerna e = (,,,..., ), e 2 = (,,,..., ), e 3 = (,,,...),..., e n = (,,,..., ) tgör en bas i R n. (Varje vektor e j har som j-te komponenten och alla andra komponenter lika med.) Denna bas kallas för standardbasen i R n. Bevis. För varje vektor a = (a, a 2,..., a n ) R n har vi a = (a, a 2,..., a n ) = a (,,,..., ) + a 2 (,,,..., ) a n (,,,..., ) = = a e + a 2 e a n e n. (4.) Detta visar att varje vektor a R n är en linjärkombination av vektorerna e, e 2,..., e n och därmed är span{ e, e 2,..., e k } = R n. Desstom visar (4.) att likheten a e +a 2 e a n e n = = (,,,..., ) medför a = a 2 =... = a n =, vilket visar att vektorerna e, e 2,..., e n är linjärt oberoende. Därmed tgör vektorerna e, e 2,..., e n en bas i R n. Vi har en grndläggande Sats 4.2. Varje bas i R n innehåller n vektorer. Bevis. Ett fllständigt bevis för satsen (i ett större sammanhang) kommer att genomföras i en senare krs. Tillsvidare vill vi bara påpeka följande: om en ppsättning vektorer, 2,..., k tgör en bas i R n, är dessa vektorer linjärt oberoende. Det följer då från sats 2.3 att k n. Anmärkning 4.3. Vektorerna, 2,..., n R n tgör en bas i R n För varje vektor v R n finns det nika reella tal c, c 2,..., c n R sådana att v = c + c c n n. (*) Den nika n-tippeln av talen (c, c 2,..., c n ) kallas för v:s koordinater i basen (, 2,..., n ).

9 9 Bevis. ( ) Låt oss anta att vektorerna, 2,..., n tgör en bas i R n. Låt v R n. Eftersom span{, 2,..., n } = R n finns det reella tal c, c 2,..., c n R sådana att c + c c n n = v. () För att visa att dessa tal c, c 2,..., c n R är nika låt oss anta att även reella tal d, d 2,..., d n R ppfyller Om vi sbtraherar likheten (2) från () får vi d + d d n n = v. (2) (c d ) + (c 2 d 2 ) (c n d n ) n =. (3) Eftersom vektorerna, 2,..., n är linjärt oberoende (som basvektorer i en bas) medför (3) att c d = c 2 d 2 =... = c n d n =. Vi får c = d, c 2 = d 2,..., c n = d n vilket visar att talen c, c 2,..., c n som ppfyller () är nika. ( ) Låt oss anta n att en ppsättning vektorer, 2,..., n R n ppfyller villkoret (*). Eftersom för varje vektor v R n gäller v = c + c c n n, får vi att span{, 2,..., n } = R n. Eftersom för varje vektor v är likheten (*) ppfylld med en nik ppsättning av koefficienterna c, c 2,..., c n, gäller det i synnerhet för nollvektorn. Det betyder att likheten = c + c c n n, (4) kan vara ppfylld med endast en ppsättning av koefficienter c, c 2,..., c n. Eftersom (4) är ppfylld med koefficienterna c = c 2 =... = c n =, är det den enda möjligheten. Vi får då c + c c n n = c = c 2 =... = c n =, vilket innebär att vektorerna, 2,..., n är linjärt oberoende. Därmed tgör vektorerna, 2,..., n en bas i R n. Exempel 4. (igen) Låt e,..., e n vara standardbasen i R n, dvs. e = (,,,..., ), e 2 = (,,,..., ) osv. Som vi har sett tidigare, för varje vektor v = (v, v 2,..., v n ) R n har vi v = (v, v 2,..., v n ) = v e + v 2 e v n e n. Det betyder att n-tippeln (v, v 2,..., v n ) samtidigt tgör vektorn v :s koordinater i standardbasen. Exempel 4.2: Visa att vektorerna = (, 2, ), 2 = (,, ), 3 = (,, ) tgör en bas i R 3 och finn koordinaterna för v = (, 3, ) i denna bas. Lösning. Vi skall använda Anmärkning 4.3 för att lösa ppgiften. Låt w = (b, b 2, b 3 ) vara en godtycklig vektor i R 3. Finns det reella tal c, c 2, c 3 R sådana att c + c c 3 3 = w? (4.2) Är en sådan ppsättning av reella tal (c, c 2, c 3 ) nik?

10 Likheten (4.2) kan skrivas som c 2 + c 2 + c 3 = b b 2 b 3. (4.3) Vi betraktar (4.3) som ett linjärt ekvationssystem i obekanta c, c 2, c 3 med ett givet högerled (b, b 2, b 3 ) (givet av vektorn w ). Ekvationsystemet löses med Gasselimination: b 2 b 2 b b 3 b + b 2 + b 3 b + b 3 b 2b + b 2 b + b b + b 2 b + b 3 b + b 2 + b 3 Den sista matrisen visar att ekvationssystemet (4.3) har en nik lösning (c, c 2, c 3 ) = ( b + b 2, b + b 3, b + b 2 + b 3 ) för varje val av högerled w = (b, b 2, b 3 ). Detta betyder i sin tr att för varje vektor w = (b, b 2, b 3 ) R 3 finns det en nik ppsättning av reella tal (c, c 2, c 3 ) som ppfyller (4.2). Enligt Anmärkning 4.3 innebär det att vektorerna, 2, 3 tgör en bas i R 3 och att (c, c 2, c 3 ) = ( b + b 2, b + b 3, b + b 2 + b 3 ) är w :s koordinater i denna bas. Låt oss beteckna denna bas med = (, 2, 3 ). Det följer att för vektorn v = (, 3, ) = (b, b 2, b 3 ) är v :s koordinater i basen lika med (c, c 2, c 3 ) = ( b + b 2, b + b 3, b + b 2 + b 3 ) = ( 4, 2, 3). Vi skriver v = ( 4, 2, 3) ( v :s koordinater i basen ). (Kontroll: = 4(, 2, ) + 2(,, ) 3(,, ) = (, 3, ) = v. Det stämmer!). 5. Ett exempel Exempel 5.: Låt = (,,,, ), 2 = (2,,,, 2), 3 = (,,,, ), 4 = (,,,, ), 5 = (, 2, 2,, ) vara vektorer i R 5. Visa att vektorerna, 2, 3, 4, 5 är linjärt beroende. Finn bland dem en ppsättning av linjärt oberoende vektorer som spänner pp samma linjära hölje som, 2, 3, 4, 5. Lösning. Vi börjar med att ndersöka för vilka reella tal c, c 2, c 3, c 4, c 5 R det gäller att c + c c c c 5 5 =. (5.) Detta är ekvivalent med 2 c + c 2 + c c 4 + c =. (5.2)

11 Vi betraktar (5.2) som ett linjärt ekvationssystem i obekanta c,..., c 5 och löser systemet med Gasselimination: ( ) (5.3) Den sista matrisen är en radkanonisk matris och har pivotelement i kolonn, 2 och 4. Vi väljer c 3 = s, c 5 = t som parametrar (kolonner tan pivotelement!) och får lösningarna (c, c 2, c 3, c 4, c 5 ) = (s, s t, s, t, t), s, t R. (5.4) Detta visar att det finns reella tal c,..., c 5, ej alla lika med, som ppfyller (5.). Det innebär att vektorerna, 2, 3, 4, 5 är linjärt beroende. Om vi i (5.4) väljer t = och s = får vi lösningen (c, c 2, c 3, c 4, c 5 ) = (,,,, ) vilket visar att och därmed = 5 = 2 4. Eftersom 5 är en linjärkombination av de övriga vektorerna får vi span{, 2, 3, 4, 5 } = span{, 2, 3, 4 }. (5.5) Om vi i (5.4) väljer t = och s = får vi lösningen (c, c 2, c 3, c 4, c 5 ) = (,,,, ) vilket visar att = och därmed Från detta följer att 3 = + 2. span{, 2, 3, 4 } = span{, 2, 4 }. (5.6)

12 2 Till slt, om vi sätter c 3 = och c 5 = dvs. s = t = får vi enbart lösningen c =, c 2 =, c 4 = vilket visar att det enda fallet när c + c c 4 4 = är då c = c 2 = c 4 =. Det visar att vektorerna, 2, 4 är linjärt oberoende. Vi har desstom span{, 2, 3, 4, 5 } = span{, 2, 3, 4 } = span{, 2, 4 }. Svar: span{, 2, 3, 4, 5 } = span{, 2, 4 } och vektorerna, 2, 4 är linjärt oberoende. Obs : Detta är inte den enda möjliga lösningen till ppgiften. Ett annat val av parametrar i Gasseliminationen sklle ha givit en annan lösning. Obs 2: De linjärt oberoende vektorerna, 2, 4 i vår lösning motsvarar de kolonner i den radkanoniska matrisen (5.3) som innehåller pivotelement (kolonnerna, 2 och 4). Den lösningsmetod som vi har valt fngerar alltid på detta sätt (och leder alltid till en lösning).

13 Blandade övningar i Linjär Algebra: linjärt oberoende, linjärt hölje, bas.. Låt = (,,, 2), 2 = (2,, 3, ), 3 = (, 2, 3, ), 4 = (,, 2, ) vara vektorer i R 4. (a) Avgör om vektorerna, 2, 3, 4 är linjärt beroende eller oberoende. (b) Avgör om vektorerna v = (, 3,, 4) och w = (2,,, 2) tillhör det linjära höljet span{, 2, 3, 4 }. Om vektorn v resp. w tillhör det linjära höljet, framställ den som en linjärkombination av vektorerna, 2, 3, För vilka värden av konstanten a R tillhör vektorn v = (, a, 4, a) det linjära höljet av vektorerna = (,,, ), 2 = (2,, 2, ) och 3 = (, 3,, ) i R 4? 3. Avgör om vektorerna = (,, 2), 2 = (,, ), 3 = (, 2, ) i R 3 är linjärt beroende eller oberoende. I fall de är linjärt beroende, finn bland, 2, 3 en ppsättning vektorer som är linjärt oberoende och som spänner samma linjära hölje som, 2, Visa att vektorerna v = (,, 2, ), v 2 = (,,, 2), v 3 = (, 2,, 3), v 4 = (2,,, 3) är linjärt beroende. Uttryck en av dem som en linjär kombination av de övriga. Finn bland dem en ppsättning av linjärt oberoende vektorer som har samma linjära hölje som vektorerna v, v 2, v 3, v Låt = (, 2, ), 2 = (,, ) vara två vektorer i R 3. Finn en ekvation som komponenterna x, x 2, x 3 måste ppfylla för att vektorn v = (x, x 2, x 3 ) R 3 skall tillhöra det linjära höljet span{, 2 }. Tolka resltatet geometriskt. För vektorer v som ppfyller ekvationen finn en framställning av v som en linjärkombination av och (a) Avgör om vektorerna v = (, 2), v 2 = (2, ) tgör en bas i R 2. Om så är fallet finn koordinaterna i denna bas för vektorn F = (, ) och för vektorn w = (x, x 2 ). (b) Använd resltaten i del (a) för att dela pp kraftvektorn F = (, ) i R 2 i komposanter parallella med vektorerna v och v 2 (dvs. finn F, F 2 sådana att F = F + F 2 med F v och F 2 v 2 ). 7. (a) Avgör om vektorerna = (,, ), 2 = (2,, ), 3 = (,, 2) tgör en bas i R 3. Om så är fallet finn koordinaterna i denna bas för vektorn F = (,, ) och för vektorn w = (x, x 2, x 3 ). (b) Vektorerna 2 = (2,, ), 3 = (,, 2) spänner pp ett plan π genom origo i R 3. Använd resltaten i del (a) av ppgiften för att framställa kraftvektorn F = (,, ) som smma av två komposanter F och F 2, F = F + F 2, där komposanten F är parallell med vektorn = (,, ) och komposanten F 2 är parallell med planet π. 8. Avgör om vektorerna = (,,, ), 2 = (,,, ), 3 = (,,, ), 4 = (2,, 3, 3) tgör en bas i R 4. Om så är fallet finn koordinaterna i denna bas för vektorn F = (,, 2, ) och för vektorn w = (x, x 2, x 3, x 4 ). 3

14 4 Facit:. (a) Vektorerna, 2, 3, 4 är linjärt beroende. (b) v span{, 2, 3, 4 }, v = ( 2 3 ) , w / span{, 2, 3, 4 }. 2. a = Vektorerna, 2, 3 är linjärt beroende. Vidare är t.ex. span{, 2, 3 } = = span{, 2 } och, 2 är linjärt oberoende. 4. T.ex. v 3 = v + 2 v 2. span{ v, v 2, v 4 } = span{ v, v 2, v 3, v 4 }. 5. Ekvationen är x x 2 + x 3 =. Geometrisk tolkning: vektorerna, 2 spänner pp ett plan π genom origo i R 3. Planet π har ekvationen x x 2 +x 3 =. Vektorn v = (x, x 2, x 3 ) tillhör det linjära höljet span{, 2 } omm v ligger i (= är parallell med) detta plan. Om v = (x, x 2, x 3 ) med x x 2 + x 3 = blir v = c + c 2 2 med c = 2 x 2, c 2 = x + 2 x (a) Ja, v, v 2 tgör en bas i R 2. F = 3 5 v + 5 v 2. w = (x, x 2 ) = ( 5 x x 2) v + ( 2 5 x 5 x 2) v 2. (b) F = 3 5 v = 3 5 (, 2) och F 2 = 5 v 2 = 5 (2, ). 7. (a) Ja,, 2, 3 tgör en bas i R 3. F = ( 2) w = ( 2 x 3 2 x 2 x 3 ) + ( 2 x + 2 x 2) 2 + ( 2 x + 2 x 2 + x 3 ) 3. (b) F = 2 = ( 2, 2, 2) och F 2 = = (3,, 3). 8. Ja,, 2, 3, 4 tgör en bas i R 4, F = , w = (2x + x 2 + 3x 3 4x 4 ) + ( x 3 + x 4 ) 2 + +(x x 2 x 4 ) 3 + ( x x 3 + 2x 4 ) 4.

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 6 Institutionen för matematik KTH 11 november 2016 Feedback Innan vi börjar: En liten feedback-övning Vad menas med rangen av en matris? Vad menas med ett homogent linjärt ekvationssystem?

Läs mer

Linjär algebra och geometri 1

Linjär algebra och geometri 1 UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ryszard Rubinsztein Oswald Fogelklou Linjär algebra och geometri 1 för K1, W1, KandKe1 Höstterminen 2008 Kurslitteratur H.Anton, C.Rorres, Elementary Linear

Läs mer

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e . Inledning I Linjär algebra kommer vi att stdera olika objekt samt deras egenskaper. Dessa objekt kan ha geometrisk tolkning såsom geometriska vektorer men också inte som t.e. matriser. Vi har tidigare

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

Linjär algebra och geometri I

Linjär algebra och geometri I UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Anders Johansson Linjär algebra och geometri I för Energi, Ma-kand., Frist. Höstterminen 2010 Kurslitteratur H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra

Läs mer

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2 . Tisdagen 35 Igår visade vi att lösningsmängden W R 5 till ekvationssystemet 3x + x 2 + 3x 3 + 2x 4 x 5 = (..) 2x 2 + x 3 + 4x 4 + 2x 5 = 3x 3x 2 + x 3 6x 4 5x 5 = har bas u och u 2 och u 3 där 5 2 6

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem

Läs mer

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen 86 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 6.36. Låt F : V W vara en linjär avbildning.. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V som avbildas på nollvektorn,

Läs mer

Definition 1 Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller

Definition 1 Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller April 27, 25 Vektorrum Definition Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller. x M och y M = x + y M. 2. x + y = y +

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010 SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning Måndagen den 29 november, 200 UPPGIFT () Betrakta det linjära ekvationssystemet x + x 2 + x 3 = 7, x x 3 + x 4

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan).

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Linjär algebra och geometri I, 5 hp (distans) 2-3-7 Studieanvisningar. Kurslitteratur: H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan.

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Linjär Algebra, Föreläsning 8 Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016 SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM 94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.

Läs mer

Geometriska vektorer

Geometriska vektorer Föreläsning 1, Linjär algebra IT VT2008 1 Geometriska vektorer De begrepp som linjär algebra kretsar kring är vektorer och matriser Dessa svarar mot datorernas fält (`arra') av dimension ett respektive

Läs mer

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0.

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0. Vektorrum Denna kurs handlar till stor del om s k linjära rum eller vektorrum. Dessa kan ses som generaliseringar av R n. Skillnaden består främst i att teorin nu blir mer abstrakt. Detta är själva poängen;

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 8 Institutionen för matematik KTH 16 november 2016 Matriser och linjära avbildningar Dagens ämnen (kap 3.3 och 3.4): Exempel på linjära avbildningar Nollrum och Bildrum Dimensionssatsen / Rangsatsen

Läs mer

Objective:: Linjärt beroende och oberoende version 1.0

Objective:: Linjärt beroende och oberoende version 1.0 DEFINITIONEN AV LINJÄRT BEROENDE MED EXEMPEL Objective:: Linjärt beroende och oberoende version. Definitionen av linjärt beroende med exempel Vi börjar med ett inledande exempel för att motivera definitionen

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

x 1 x 2 T (X) = T ( x 3 x 4 x 5

x 1 x 2 T (X) = T ( x 3 x 4 x 5 Lördagen 6 Nu vill vi fokusera på linjära avbildningar från vektorrum W Om T : R n R n är en linjär avbildning, och W R n ett vektorrum, då har vi en inducerad avbildning T W : W R m Och denna avbildning

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

14. Minsta kvadratmetoden

14. Minsta kvadratmetoden 58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Kapitel 4, 9.2 och 5 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) Välkommen

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

October 9, Innehållsregister

October 9, Innehållsregister October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Innehåll Stabilitet för en kritisk punkt (grundbegrepp) Stabilitet för ett linjärt homogent system

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift Vecka ALA-c 6 Innehåll Linearization and Stability RÄKNEÖVNING VECKA. Uppgift 9........................................ Uppgift 9.5...................................... 5 Egenvärdesproblemet 9. Uppgift

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 1 Institutionen för matematik KTH 31 oktober 2016 Kurstart för Algebra och geometri Välkomen till kursen, CELTE och CMETE och COPEN!, kursansvarig LFN@KTH.SE Idag ska vi se hur kursen funkar

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut. vsnitt 2, Vektorer kan vi uttrycka med a, b och c. W109 är basytan (en kvadrat) i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen. Låt = a, = b och = c. eräkna. Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste

Läs mer

1. Beräkna determinanten

1. Beräkna determinanten MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer. Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product),

Läs mer

1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden

1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden Krister Svanberg, mars 202 LP-problem på standardform och Simplexmetoden I detta avsnitt utgår vi från LP-formuleringen (2.2) från föreläsning. Denna form är den bäst lämpade för en strömlinjeformad implementering

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

Tentamen i Linjär algebra , 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: ETE5 Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra 5 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga . Lösningsmängden till homogena ekvationssystem I denna första föreläsning börjar vi med att repetera det grunnläggande begreppet inom linjär algebran. Linjär algebra är studiet av lösningsmängden till

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8)

(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8) 1 Matematiska Institutionen KTH Tentamen på kursen SF1604 (och B1109, för D1, Mars 9, 008, kl: 9:00-14:00 Inga hjälpmedel ät tillåtna 1 poäng totalt eller mer ger minst omdömet Fx 1 poäng totalt eller

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Kapitel 2 och 3 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) I detta avsnitt

Läs mer

Vektorer En vektor anger en riktning i rummet (eller planet) och en längd (belopp). Vektorer brukar ritas som pilar, Vektoraddition

Vektorer En vektor anger en riktning i rummet (eller planet) och en längd (belopp). Vektorer brukar ritas som pilar, Vektoraddition Vektorer En ektor anger en riktning i rmmet (eller planet) och en längd (belopp). Vektorer brkar ritas som pilar, Vektoraddition Smman a tå ektorer och får i på följande is: lacera i pnkten och placera

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra 1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013 2 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41

Läs mer

Algebrans fundamentalsats

Algebrans fundamentalsats School of Science and Technology SE-701 8 Örebro, Sweden Algebrans fundamentalsats Ett linjäralgebraiskt bevis Andreas Thore Örebro Universitet Akademin för naturvetenskap och teknik Matematik C, 61 75

Läs mer

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3 192 17 ÖVNINGAR 17. Övningar 17.1. Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av F(eX) = ey = e x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3, G(eX) = e x 1 x 2 x 2 2 x 2 + x 3 Undersök

Läs mer

Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av. Vi delar båda led i trig. 1:an med :

Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av. Vi delar båda led i trig. 1:an med : 1 Onsdag v 1 Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av Vi delar båda led i trig 1:an med : Detta ger också att vi kan uttrycka : Formeln ger också en formel

Läs mer

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT2008 1 Skalärprodukt Denition 1 Låt u oh v vara två vektorer oh låt α vara minsta vinkeln mellan dem Då denierar vi skalärprodukten u v genom u v = u v os α Exempel 1

Läs mer

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS. Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A 1 a Bestäm de komplexa koefficienterna a, b och c så att polynomet Pz z 3 + az 2 + bz + c har nollställena

Läs mer

Minsta kvadratmetoden

Minsta kvadratmetoden Minsta kvadratmetoden där Överbestämda ekvationssystem Det är lämpligt att uppfatta matrisen A som bestående av n kolonnvektorer: A a a a n a a a n a n a n a nn a j a j a nj a a a n j n Då kan vi skriva

Läs mer

Digital- och datorteknik

Digital- och datorteknik Digital- och datorteknik Föreläsning #3 Biträdande professor Jan Jonsson Instittionen för data- och informationsteknik Chalmers tekniska högskola Från data till digitala byggblock: Krsens inledande föreläsningarna

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning. Vektorer. 3 / 18 Vektorer är ett mycket viktigt och användbart verktyg för att kunna beskriva sammanhang som innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet. Vektoriella storheter skiljer sig på

Läs mer