Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0."

Ellen Linnéa Andreasson
för 7 år sedan
Visningar:

1 Vektorrum Denna kurs handlar till stor del om s k linjära rum eller vektorrum. Dessa kan ses som generaliseringar av R n. Skillnaden består främst i att teorin nu blir mer abstrakt. Detta är själva poängen; vi skapar en formalism som kan tillämpas i många olika situationer. Men det är också viktigt att inte låta det abstrakta ta överhanden. Vår intuition för det vanliga Euklidiska rummet R n fungerar oftast mycket väl i det allmänna fallet. De flesta beräkningar som vi kommer att göra bygger på teorin för Gauss-elimination. Grovt talat är ett linjärt rum en mängd på vilken vi definierat addition och multiplikation med skalärer på så sätt att alla de vanliga räknelagarna är giltiga. EX. Mängden M m,n av matriser av format m n. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0. EX. Mängden P n av alla polynom av grad n. EX. Mängden av lösningar till en homogen differentialekvation.

2 Definition 1 Ett vektorrum V kan vara antingen reellt och komplext men det måste uppfylla följande axiom: 1. u + v = v + u 2. (u + v)+w = u +(v + w), (c 1 c 2 )u = c 1 (c 2 u) 3. c(u + v) =cu + cv, (c 1 + c 2 )u = c 1 u + c 2 u 4. Det finns 0 V så att 0 + u = u + 0 = u för alla u V. 5. Varje ekvation x + u = v in V har en lösning (som betecknas x = v u). Definition 2 Ett delvektorrum U V ä r e n delmängd som är sluten under addition och multiplikation med skalärer. EX. Mänden av övertriangulära matriser är ett delrum M n,n. EX. Mängden P m P n är ett delrum om m n. Mängden {x 1 v 1 + x 2 v x n v n } av alla linjärkombinationer kallas för den linjära höljet av v 1,v 2,...,v n och betecknas [v 1,v 2,...,v n ]. Vektorerna säges spänna upp V om deras linjära hölje är V. Vektorerna kallas linjärt oberoende om x 1 v x n v n = 0 x 1 =... =

3 x n = 0, annars kallas de linjärt beroende. Om V kan spännas upp av ändligt många element så säger vi att V är ändligtdimensionellt. Definition 3 En bas i ett vektorrum V ä r e n uppsättning element v 1,v 2,...,v n sådan att varje element v V på ett unikt sätt kan skrivas som v = x 1 v 1 + x 2 v x n v n. Talen x 1,x 2,...,x n kallas för v:s koordinater. En uppsättning vektorer är en bas i V om och endast om dom är linjärt oberoende och deras linjära hölje är hela V.Detärlättattvisaatt varje ändligtdimensionellt vektorrum har en bas (genom att successivt plocka bort element ur en ändlig mängd som spänner upp rummet). Man kan även tala om oändligtdimensionella vektorrum, men det gör vi endast i undantagsfall i denna kurs. Exempel på sådana är P (alla polynom av godtyckligt hög grad) och C([a, b]) (mängden av kontinuerliga funktioner på [a, b]).

4 Sats 1 Om u 1,u 2,...,u m och v 1,v 2,...,v n ä r två olika baser i V så måste gälla att m = n. Detta följer från teorin för ekvationssystem som medför att om u 1,u 2,...,u m [v 1,v 2,...,v n ] och m>nså är u 1,u 2,...,u m linjärt beroende. Definition 4 Ett ändligdimensionellt vektorrums dimension är lika med antalet element i en bas. Ändligtdimensionella vektorrum kan se mycket olika ut vid första anblicken, men dom kan i viss mening alltid identifieras med R n genom att man väljer en bas. Genom detta val kan man identifiera varje vektor v med sin koordinatvektor X (den kolonnvektor som består av v:s koordinater). När man gjort denna identifiering kan nästan alla problem i vektorrummet omvandlas till problem med matrisräkning. Låt X 1,...,X n spänna upp U R m. Hur väljer vi ut en delmängd som utgör en bas för U? Sätt upp vektorernas koordinatvektorer (m a p någon bas) som kolonner i en matris A och

5 utför Gauss-elimination. Kolonn-index för dom kolonner som innehåller pivot-element ger index för en uppsättning vektorer X j som utgör en bas för U! (Följer av LU-faktorisering.) EX. Välj ut en bas för R 3 bland vektorerna (1, 0, 2),(2, 1, 0),(1, 1, 2),(1, 0, 1),(1, 1, 1),(0, 2, 0). Identifieringen av ett godtyckligt vektorrum V med det vanliga R n via ett val av en bas löser många problem. Men det finns inget entydigt sätt att göra identifikationen på eftersom det finns många baser; olika baser kan vara naturliga i olika sammanhang. Det är därför viktigt att kunna omvandla resultat från en bas till en annan. Låt e 1,...e n och e 1,...e n vara två olika baser i V. På grund av bas-egenskapen kan varje e j uttryckas som e j = i s ij e i. n n-matrisen S =(s ij ) kallas för basbytets övergångsmatris. Kolonnerna i S ger e j -vektorernas koordinatvektorer m a p basen e 1,...,e n. Sats 2 Sambandet mellan koordinatvektorerna X och X för en given vektor ges av X = S X X = S 1 X.

Relevanta dokument

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =