Här är ett antal uppgifter, en del tagna från gamla tentamina, som handlar om basbyte. respektive B = uttryckta i basen A

Transkript

1 Problem om asbyte Mikael Forsberg, 8 februari 0 Här är ett antal uppgifter, en del tagna från gamla tentamina, som handlar om basbyte.. Vi har baserna A och, givna som kolonnerna till matriserna T-00 A = respektive = eräkna matrisen P som överför vektorer uttryckta i basen A till vektorer uttryckta i basen. Vad blir vektorn [v A = [,, T A uttryckt i basen?. eräkna den matris som överför koordinatvektorer uttryckta i basen T-000 A = {(,, ), (,, ), (,, )} till koordinatvektorer uttryckta i basen = {(,, )(,,, ), (,, )}.. Givet en matrisekvation AX = där alla matriser är kvadratiska och har samma format så kan vi tänka oss att lösa denna genom att först beräkna inversen till A och sedan multiplicera båda led med denna från vänster. Men på samma sätt som vi beräknar inversen kan vi använda oss av Gauss-Jordan elimination av den utvidgade matrisen (A ). När vi utfört Gauss-Jordan har vi den utvidgade matrisen (I A ). Om vi kontemplerar detta kan vi se att detta leder till en arbetsbesparing. Med samma operationer som vi beräknar A får vi här den ihopmultiplicerade matrisen vilket är färre operationer än att först beräkna inversen och sedan utföra ihopmultiplikationen. Och detta kan användas i varje situation där vi har matriser A och och är intresserade av produkten A. Känn efter själva. Nedan ges två matriser A och. eräkna A genom (a) att först beräkna A och sedan utföra matrismultiplikationen (b) Genom att Gauss-Jordaneliminera den utvidgade matrisen (A ) A = 0, = 0. Låt T A = {[ [, vara två baser för R och låt [v = basen. eräkna } [ och = {[ [, } vara koordinaterna för en vektor uttryckta i (a) basbytesmatrisen som överför koordinatvektorer med avseende på basen till koordinatvektorer uttryckta i basen A (b) v s koordinatvektor [v A med avseende på basen A

2 (c) eräkna även matrisen som som överför koordinatvektorer med avseende på basen A till koordinatvektorer uttryckta i basen. Låt T-0089 A =,, och =,, vara två baser för R och låt [v = vara koordinaterna för en vektor uttryckta i basen. (a) eräkna basbytesmatrisen som överför koordinatvektorer med avseende på basen till koordinatvektorer uttryckta i basen A (b) eräkna v s koordinatvektor [v A med avseende på basen A 6. Kolonnerna i matriserna A och är två baser i R T-0006 A = = eräkna matrisen som överför koordinatvektorer uttryckta i basen till koordinatvektorer uttryckta i basen A. Speciellt: Uttryck koordinatvektorn [,, med hjälp av basen A. ; index indikerar att vektorn är uttryckt i basen

3 Svar till tentamen i,..... (a) (b) (c). (a) (b) (c) 6., [v = [ A [ A P = [ A A 0 [v A =

4 Lösningar till tentamen i,.. asbytesmatrisen P fås som produkten A. Denna produkt beräknas genom vilket alltså ger oss ( A) = Koordinaterna för v m.a.p. basen blir [v = P [v A = =. Vektorerna i de båda baserna är uttryckta i standardbasen och därför blir matriserna A = och = Matriser som byter från A repektive till standardbasen. Om vi ska överföra en vektor [v A uttryckt i basen A till en koordinatvektor m.a.p. basen så kan vi först byta från A till standardbasen och sedan använda för att byta från standardbasen till. Vi får då [v = A[v A och detta gör att vi ser att det är produktmatrisen A vi ska räkna ut. Denna kan räknas ut genom att (likt det vi gör för att beräkna inversen) ställa upp det utvidgade systemet [ A och Gauss-Jordaneliminera tills vi har identitetsmatrisen till vänster. Produkten vi söker står då till höger. Vi får asbytesmatrisen vi söker blir alltså (a) [ S [, S A A P A S, P = A S S A [ S [

5 (b) (c) [v A = P [v = [ A [ P = [ A = [ A. (a) Eftersom alla vektorer i uppgiften är uttryckta med standardbasen så får vi att basbyte från dessa baser till standardbasen ges av följande matriser, S A S asbyte från till A får vi genom följande räkningar P P A A SS S A S S 0 = där P = S A 0 (b) [v A = P [v = A = (c) asbytesmatrisen P som överför koordinatvektorer uttryckta i basen A till koordinatvektorer uttryckta i basen ges av inversen till P : A 6. Matriserna A och är båda uttryckta i standardbasen (eftersom inget annat sägs så får vi anta det) och detta innebär att de utgör basbytesmatriserna från basen A respektive till standardbasen. Situationen är som i figur M.h.a. figuren kan vi se hur vi överför från basen till basen A, vilket ges av följande kedja: x x = x S A x S = A x = x A Matrisen A överför alltså koordinatvektorer m.a.p. till koordinatvektorer m.a.p. A! Denna matrisprodukt får vi fram genom att Radreducera den utvidgade matrisen (A ):

6 Figur : asbytessituationen i uppgift. Genom att följa vektorn x (koordinaterna m.a.p. för en vektor) så ser vi hur vi får fram dess koordinater m.a.p. först standardbasen S och till sist m.a.p. basen A. Från detta ser man att den sökta matrisen X måste vara A! vilket ger oss att vår basbytesmatris X blir X = Genom att använda denna så får vi att koordinatvektorn x = [,, m.a.p. A ges av x A = Xx = Vår koordinatvektor blir alltså x A = [,, = A 6