4. Laplacetransformmetoder

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "4. Laplacetransformmetoder"

Transkript

1 4. Laplacetransformmetoder 4. Laplacetransformmetoder 4.1 Differentialekvationer Differentialekvationer utgör grunden för en matematisk beskrivning av dynamiska system i kontinuerlig tid beskriver hur en viss variabel, utsignalen, beror av en eller flera andra variabler, insignaler Eftersom insignaler är oberoende av varandra kan vi för ett system med flera insignaler normalt betrakta en insignal i taget. Ett system med koncentrerade parametrar kan då allmänt beskrivas med en ordinär differentialekvation av formen n n1 m m1 d y d y dy d u d u du g,,,, y,,,,, u 0 n n1 m m1 (4.1) dt dt dt dt dt dt där u = insignal, y = utsignal, g() = godtycklig analytisk funktion. Storheten n = ordningen på högsta utsignalderivatan = systemets ordningstal. Normalt är n m. Ett sådant system är propert; motsatsen är ett icke-propert system. Reglerteknik I Grundkurs (419300) 4 1

2 4.1 Differentialekvationer Om funktionen g() är linjär, kan DE:n skrivas på formen n n1 m m1 d y d y dy d u d u du a0 a1 a 1 n 1 an y b n n 0 b m 1 b m 1 m 1 bmu dt dt dt dt dt dt (4.2), b m är systemparametrar som karakteriserar egen- Koefficienterna a 0, a 1,, a n, b 0, skaperna hos det linjära systemet. Parametrarna kan (om så önskas) omskalas med en godtycklig faktor olik noll: a0 1 alltid möjligt eftersom n:te ordningens DE har a0 0 an 1 möjligt om an 0 Om icke-propra system uteslutes, kan man alltid välja m n; icke-förekommande insignalderivator får då en b-koefficient = noll. I praktiken gäller ofta b 0 0, vilket är ett strikt propert system. Om man väljer skalning så att a0 1, kan DE:n då skrivas n n1 n1 d y d y dy d u du a1 a 1 n 1 an y b n n 1 b n 1 n 1 bnu dt dt dt dt dt (4.3) Obs. hur koefficienternas nedre index är förknippade med derivatornas ordningstal. 4. Laplacetransformmetoder 4 2

3 4.1 Differentialekvationer För linjära system gäller superpositionsprincipen: Om funktionsparen u1( t), y1( t ) och u2( t), y2( t ) är lösningar till (4.2) så är även funktionsparet u( t), y( t ) en lösning, som fås genom en godtycklig linjär kombination u( t) a u ( t) b u ( t) y( t) a y ( t) b y ( t) 1 2, 1 2 Grundläggande matematik gör det möjligt att lösa den linjära DE:n (4.2) eller (4.3) om systemparametrarna är konstanta och insignalen ut () har en någorlunda enkel form. Lösningen, dvs utsignalen yt, () erhålles då som summan av en partikulärlösning och den allmänna lösningen till motsvarande autonoma system, som fås när DE:ns högerled sätter = 0 (dvs ett system utan insignal!). 4. Laplacetransformmetoder 4 3

4 4.1 Differentialekvationer Att lösa linjära DE:r med denna metod är dock komplicerat: Det matematiska arbetet blir besvärligt vid system av högre ordningstal. Metoden erbjuder inga bekväma genvägar för att behandla sammansatta system, uppbyggda av enklare linjära delsystem. För praktisk hantering av system baserade på linjära DE:r kommer vi att utnyttja Laplacetransformen Den har en central roll i grundläggande analys- och syntesmetoder för linjära system. Den är speciellt lämplig för system med en insignal och en utsignal (SISO-system). Metoder baserade på tillståndsbegreppet är ofta lämpligare för system med flera insignaler och flera utsignaler (MIMO-system). Tillståndsmetoder behandlas närmare i kursen Reglerteknik II. 4. Laplacetransformmetoder 4 4

5 4.1 Differentialekvationer För att motivera användningen av Laplacetransformmetoder skall vi först studera ett system beskrivet av en enkel linjär DE med hjälp av traditionella lösningsmetoder. Exempel 4.1. Stegsvaret för en kvicksilvertermometer. Dynamiken för en kvicksilvertermometer beskrivs av differentialekvationen d2 T 2 1 (1) dt där 2 = kvicksilvrets temperatur och 1 = omgivningens temperatur. Antag att termometern finns utomhus och att jämviktsläge råder. Då är 2 1 1, där 1 betecknar den konstanta utetemperaturen.. Antag nu att termometern förs inomhus, där temperaturen är lika med 1 1 Hur förändras kvicksilvrets temperatur i termometern som funktion av tiden? 4. Laplacetransformmetoder 4 5

6 4.1 Differentialekvationer Det förefaller rimligt att anta att temperaturen förändras exponentiellt från 2 1 till enligt figur 4.1. Vi kan kontrollera detta antagande samt bestämma hur snabbt förändringen av 2 sker genom att lösa DE:n (1). Enligt vår hypotes skulle förändringen ha formen 2 ( t ) a e bt c, b 0 (2) där villkoret b 0 förhindrar att 2 när t. Kan differentialekvationen ge upphov till en lösning av denna typ? t Figur 4.1. Stegsvar för Hg-termometer. 4. Laplacetransformmetoder 4 6

7 4.1 Differentialekvationer Vi kontrollerar genom att derivera ovanstående uttryck, vilket ger d2 bt abe (3) dt Insättning i differentialekvationen ger bt bt Tabe a e c (4) Eftersom högra ledet är en konstant, måste också vänstra ledet vara lika med samma konstant för alla t. Detta är endast möjligt om dvs om Insättning i (2) ger då bt bt bt Tabe a e (1 Tb) a e 0 (5) b 1/ T, c 1 1 (6) / 2( t) ae t T 1 1 (7) 4. Laplacetransformmetoder 4 7

8 4.1 Differentialekvationer (0) (0) a, dvs Ytterligare vet vi att 2 1. Detta ger a 1 (8) Vi får då att 2 förändras exponentiellt enligt / 2( t) 1e t T 1 (9) ( t) ( t). där Obs. att (9) inte är en allmän modell för termometern utan en lösning som gäller för en specifik förändring av insignalen. 4. Laplacetransformmetoder 4 8

9 4. Laplacetransformmetoder 4.2 Laplacetransformen Definition De signaler som uppträder i dynamiska system är funktioner av tiden. Betrakta en tämligen godtycklig signal f() t med den egenskapen att f( t) 0 för t 0, integrerbar för t 0 Laplacetransformen F( s) f ( t) för tidsfunktionen f() t definieras då av integraluttrycket F( s) f ( t) e f ( t)dt Reglerteknik I Grundkurs (419300) st (4.4) där s är en komplex variabel, vars realdel är (minst) så stor att integralen konvergerar. Man säger att Fs () är definierad i Laplaceplanet eller s-planet medan f() t är definierad i tidsplanet. Rekommenderas att man betecknar tidsfunktioner med små bokstäver (gemena) och deras Laplacetransformer med motsvarande stora bokstäver (versaler).

10 4.2.1 Definition För att Laplacetransformen skall kunna utnyttjas praktiskt krävs att man också kan beräkna den tidsfunktion f() t som motsvarar Laplacetransformuttrycket Fs (). Denna operation, dvs övergången från Fs () till f() t, kallas inverstransformering. 1 Inverstransformen f ( t) F( s) ges av uttrycket j 1 1 st f ( t) F( s) e F( s)ds 2 j (4.5) j där j 1 är den imaginära enheten och är ett reellt tal, som bör vara så stort att Fs () saknar singulariteter (dvs är begränsad) för alla s med större realdel än. Vid praktisk räkning med Laplacetransformen klarar man sig utan ekvation (4.5) behöver man sällan använda definitionen (4.4) 4.2 Laplacetransformen 4 10

11 4.2.1 Definition I stället utnyttjar man formelsamlingar (t.ex. T. Gustafssons Ingenjörsmatematisk formelsamling ) där vanligen förekommande tidsfunktioner och deras Laplacetransformer finns tabellerade. Med hjälp av en sådan tabell kan man transformera båda vägarna. Funktioner, som inte finns tabellerade, kan så gott som alltid erhållas som någon kombination av tabellerade funktioner. Eftersom Laplacetransformuttrycken är algebraiska uttryck, medför dylika kombinationer och motsvarande uppdelningar inga större beräkningsmässiga problem. Laplacetransformen kan användas för lösning av differentialekvationer. Avancerade metoder för analys av modeller uttryckta med hjälp av Laplacetransformen existerar (stabilitetsanalys, frekvensanalys). Design av reglersystem med frekvensplansmetoder. 4.2 Laplacetransformen 4 11

12 4.2 Laplacetransformen Beräkning av Laplacetransformen för några enkla funktioner Pulsfunktionen En ideal puls som startar vid t 0 karakteriseras av en konstant amplitud a och en varaktighet (pulslängd) T, se figur 4.2. Med hjälp av f(t) Laplacetransformens definition (4.4) fås a T T st st 1 st 1 e F( s) e a dt a e a s 0 0 s (4.6) T t Figur 4.2. Pulsfunktion. 4. Laplacetransformmetoder 4 12

13 4.2.2 Beräkning av Laplacetransformen för några enkla funktioner Enhetsimpulsen (t) Diracs deltafunktion Vi kan definiera en impuls som en puls vars varaktighet T går mot noll, amplitud a går mot oändligheten pulsarea at har ett ändligt värde olika noll För enhetsimpulsen () t gäller att at 1 (uttryckt i någon lämplig enhet). Laplacetransformen för en enhetsimpuls vid t 0 kan erhållas genom Taylorserieutveckling och gränsvärdesberäkning med a 1/ i ekvation (4.6). Vi får st 1 1 e st ( st ) 2 F( s) ( t) lim lim 1 (4.7) T0 st T0 st Räknande med impulser har praktisk innebörd på många områden, såsom elektriska, mekaniska och processtekniska områden. Alla kortvariga insignaler kan normalt behandlas som impulser karakteriserade enbart av pulsarean oberoende av pulsens exakta form. Typiska exempel är spännings- och strömpulser i elektriska system stötkrafter i mekaniska system injicering av spårämnen i medicinska och processtekniska tillämpningar 4.2 Laplacetransformen 4 13 T 2

14 4.2.2 Beräkning av Laplacetransformen för några enkla funktioner Enhetssteget (t) En stegfunktion kan betraktas som en puls med oändlig varaktighet T. Laplacetransformen för enhetssteget () t, som har a 1, fås genom en gränsvärdesbetraktelse: Enhetsrampen (t) st 1 e 1 F( s) ( t) lim (4.8) T s s En ramp är en funktion vars värde förändras linjärt med tiden. Enhetsrampen () t är en ramp med lutningskoefficienten 1, dvs () t t, t 0. Med hjälp av partiell integration fås st e st e 1 st e 1 F( s) ( t) te dt t 1 dt 0 s s s s s st (4.9) 4.2 Laplacetransformen 4 14

15 4.2.2 Beräkning av Laplacetransformen för några enkla funktioner Ett samband mellan de enkla enhetsfunktionerna Figur 4.3 illustrerar utseendet hos enhetsimpulsen, enhetssteget och enhetsrampen. impulsen kan betraktas som derivatan av steget steget är derivatan av rampen Omvänt gäller att steget är integralen av impulsen rampen är integralen av steget Notera de tre funktionernas Laplacetransformer, dvs 1, 1/ s resp. 2 1/ s. () t () t () t t t t Figur 4.3. Enhetsimpulsen () t, enhetssteget () t och enhetsrampen () t. 4.2 Laplacetransformen 4 15

16 4.2.2 Beräkning av Laplacetransformen för några enkla funktioner Exponentiellt avklingande funktion En exponentiellt avklingande funktion definieras f( t) e at, t Laplacetransformen: at st at ( sa) t 1 ( sa) t 1 F( s) e e e dt e dt e s a s a Sinus- och cosinusfunktioner (4.10) För härledning av Laplacetransformer för sinus- och cosinusfunktioner behövs superpositionssatsen (4.13), som ges i nästa avsnitt. Därutöver kan vi utnyttja (4.10) genom att låta parametern a vara imaginär. Vi utnyttjar Eulers identitet för sinbt, som ger sinbt där j 1 betecknar den imaginära enheten. e jbt e 2j jbt Laplacetransformen 4 16

17 4.2.2 Beräkning av Laplacetransformen för några enkla funktioner Tillämpning av ekvation (4.10) ger 1 j 1 j F( s) sinbt e e 2j 2j 2j s jb s jb s b För cosbt gäller enligt Eulers identitet bt bt b 2 2 cosbt och analogt med härledningen av (4.11) fås 1 j 1 j F( s) cosbt e e s jb s jb s b e jbt e 2 jbt bt bt s 2 2 (4.11) (4.12) 4.2 Laplacetransformen 4 17

18 4.2 Laplacetransformen Räkneregler för Laplacetransformer Superpositionssatsen F s och F 2 () s är Laplacetransformerna för tidsfunktionerna f 1 () t och f 2 () Om 1 () gäller för en linjär kombination av dessa där A och B är godtyckliga konstanter. Bevis: t så A f ( t) B f ( t) AF ( s) B F ( s) (4.13) st A f ( t) B f ( t) e A f ( t) B f ( t) dt st st A e f ( t)dt B e f ( t)d t A F ( s) B F ( s) Inverstransformen uppfyller samma egenskap, dvs 1 AF ( s) BF ( s) A f ( t) B f ( t) (4.14) Laplacetransformmetoder 4 18

19 4.2.3 Räkneregler för Laplacetransformer Deriveringssatsen Om Fs () är -transformen för f() t så ges -transformen för derivatan f d f / dt av där f (0 ) f ( t) sf( s) f (0 ) (4.15) är tidsfunktionen f() t :s värde när man närmar sig t 0 från negativa sidan. Bevis: Med partiell integration fås st st st 0 f ( t) e f ( t)dt e f ( t) ( s)e f ( t)d t sf( s) f (0 ) 0 0 Ett successivt utnyttjande av deriveringssatsen ger följande uttryck för Laplacetransformen för n:te derivatan f n d n f / dt n av funktionen f() t ( ) : ( n) n n1 n2 ( n2) ( n1) 4.2 Laplacetransformen 4 19 f s F( s) s f (0 ) s f (0 ) s f (0 ) f (0 ) (4.16) Bortsett från begynnelsevärdena f (0 ), (0 ) f, etc., så motsvaras en derivering av en tidsfunktion av en multiplikation med Laplacevariabeln s i Laplaceplanet. Laplacevariabeln s har således stora likheter med differentialoperatorn p d /t d.

20 4.2.3 Räkneregler för Laplacetransformer Integrationssatsen Om Fs () är -transformen för f() t så ges -transformen för tidsfunktionens integral av t 1 f ( )d F( s) s (4.17) 0 Bevis: Vi utnyttjar beteckningen t g( t) f ( )d som ger g( t) f ( t) 0. Tillämpning av deriveringssatsen (4.15) på funktionen gt () ger då t F( s) f ( t) g( t) s g( t) g(0 ) s g( t) s f ( )d 0 där g(0 ) 0 följer av definitionen på gt. () Genom successiv tillämpning av (4.17) fås Laplacetransformen för en n-faldig integral: t t t n 1 f ( )d F( s) n s (4.18) 4.2 Laplacetransformen 4 20

21 4.2.3 Räkneregler för Laplacetransformer Dämpningssatsen Om Fs () är Laplacetransformen för f() t så ges Laplacetransformen för den exponentiellt dämpade tidsfunktion e at f( t) av e at f ( t) F( s a) (4.19) Bevis: at st at s a t ( ) e f ( t) e e f ( t)dt e f ( t)d t F( s a) Laplacetransformen 4 21

22 4.2.3 Räkneregler för Laplacetransformer Förskjutningssatsen Om Fs () är Laplacetransformen för f() t så ges Laplacetransformen för funktionen f ( t L), dvs funktionen f() t fördröjd med L tidsenheter, se figur 4.4, av sl f ( t L) e F( s) (4.20) Bevis: Med variabelsubstitutionen t L samt genom att f( t) 0 för t 0 fås f() t f ( t L) t Figur 4.4. Ofördröjd och fördröjd tidsfunktion f() t. st s( L) sl s sl f ( t L) e f ( t L)dt e f ( )d e e f ( )d e F( s) 0 L Laplacetransformen 4 22 L t

23 4.2.3 Räkneregler för Laplacetransformer Gränsvärdessatser För en tidsfunktion f() t och dess Laplacetransform Fs () gäller att små värden på tiden t motsvaras av stora värden på Laplacevariabeln s, och vice versa. De s.k. gränsvärdessatserna ger konkreta uttryck för detta samband. Begynnelsevärdessatsen För en tidsfunktion f() t och dess Laplacetransform Fs () gäller, under förutsättning att Fs () är strikt proper, f t (4.21) lim ( ) lim sf( s) t0 s Slutvärdessatsen För en tidsfunktion f() t och dess Laplacetransform Fs () gäller, under förutsättning att sf() s saknar singulariteter (dvs är begränsad) för alla s med icke-negativ realdel lim f ( t) lim sf( s) t (4.22) s0 4.2 Laplacetransformen 4 23

24 4.2.3 Räkneregler för Laplacetransformer Övning 4.1. Beräkna Laplacetransformen för tidsfunktionen f t resultatet med begynnelse- och slutvärdessatserna. t 2t ( ) 6 8e 5e. Kontrollera Övning 4.2. Bestäm den tidsfunktion som har Laplacetransformen 0,8s 2,4e 2s 3,6. Övning 4.3. Härled Laplacetransformen för en fördröjd sågtandspuls enligt figuren. 3 f() t 3 5 t Figur 4.5. Sågtandspuls. 4.2 Laplacetransformen 4 24

25 Laplacetransformtabell 4.2 Laplacetransformen 4 25

26 Laplacetransformtabell 4.2 Laplacetransformen 4 26

27 Laplacetransformtabell 4.2 Laplacetransformen 4 27

28 Laplacetransformtabell 4.2 Laplacetransformen 4 28

29 4. Laplacetransformmetoder 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet Överföringsfunktionen Antag att DE:n (4.2) satisfieras av variabelvärdena dvs detta är en lösning till DE:n. ( n) ( n1) ( m) ( m1) y, y,, y, y, u, u,, u, u Om detta tillstånd är av speciell betydelse kan vi kalla det för ett referenstillstånd eller en arbetspunkt. Ofta är denna punkt ett stationärtillstånd, även kallat fortfarighetstillstånd eller jämviktsläge, där alla derivator är noll (men detta behöver inte alltid vara fallet). ( n) ( n1) ( m) ( m1) Ett tillstånd y, y,, y, y, u, u,, u, u, som satisfierar DE:n, kan relateras till ett referenstillstånd enligt ( n) ( n) ( n) y y y, ( m) ( m) ( m) u u u, ( n1) ( n1) ( n1) Reglerteknik I Grundkurs (419300) 4 29 y y y,, y y y, y y y ( m1) ( m1) ( m1) u u u,, u u u, u u u där Δ-variablerna anger avvikelser från referenstillståndet.

30 4.3.1 Överföringsfunktionen Insättning av dessa variabler i DE:n (4.2) ger efter bortförkortning av referenstillståndet och valet a0 1 n n1 m m1 d y d y dy d u d u du a1 a n n 1 n1 any b0 b m 1 b m m1 bm u dt dt dt dt dt dt (4.23) Laplacetransformering av (4.23) ger, med beaktande av att alla begynnelsevärden för Δ- variablerna är noll, n n1 1 n1 s Y ( s) a s Y ( s) a sy ( s) a Y ( s) m m1 0 1 m1 b s U ( s) b s U ( s) b s U ( s) b U ( s) där Ys () och Us () är Laplacetransformerna av yt () resp. ut (). En n:te derivata ger således vid Laplacetransformering upphov till en faktor begynnelsetillståndet är noll. n m n s när (4.24) 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4 30

31 4.3.1 Överföringsfunktionen Ekvation (4.24) kan även skrivas ( ) ( ) n n1 m m1 1 n1 n 0 1 m1 m s a s a s a Y ( s) b s b s b s b U ( s) (4.25) eller kompaktare där Gs () är systemets överföringsfunktion. Y ( s) G( s) U( s) (4.26) m m1 0 1 m1 n n1 1 n1 b s b s b s bm Bs () s a s a s a As () Ibland talas även om överföringsoperator, men denna benämning är missvisande eftersom både s och Gs () är variabler. G (p), där p d / dt, är en överföringsoperator. n (4.27) Vi ser att vid beräkningar i Laplaceplanet fås systemets utsignal genom multiplicering av dess insignal med systemets överföringsfunktion. 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4 31

32 4.3.1 Överföringsfunktionen I ekvation (4.27) betecknar As () överföringsfunktionens nämnare och Bs () dess täljare. Ekvationen As ( ) 0 är systemets karakteristiska ekvation; rötterna till As ( ) 0 kallas systemets poler; rötterna till Bs ( ) 0 kallas systemets nollställen. Betydelsen av poler och nollställen behandlas närmare i kapitlen 5 och 6. Ifall systemet innehåller en ren tidsfördröjning, även kallad dödtid (se kapitel 5), så att det tar en tid L innan en insignal börjar påverka systemet, kan i ekvation (4.24) göras substitutionen u( t) v( t L), där v är den verkliga insignalen. Användning av -variabler samt Laplacetransformering ger Ls U ( s)=e V ( s) (4.28) där V() s är Laplacetransformen av vt (). Överföringsfunktionen från V() s till Ys () är då Gs ( )e Ls. Vid Laplacetransformering av ett system med dödtid kan vi således först transformera systemet utan dödtid, och därefter beakta dödtiden enligt (4.28). 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4 32

33 4.3.1 Överföringsfunktionen Exempel 4.2. Härledning av överföringsfunktionen för en kvicksilvertermometer. Enligt exempel 4.1 kan en kvicksilvertermometer beskrivas med DE:n d2 T 2 1 (1) d t där 1 är omgivningens temperatur och 2 är kvicksilvrets temperatur. Vi inför Δ-variabler, som avvikelser från ett jämviktsläge 1 1 och 2 2, dvs 1 1 1, (2) där 1 och 2 anger avvikelsernas storlek. Insättning i ekvation (1) ger d( 2 2) T (3) dt Eftersom 2 1 och d 2 / dt 0 är en konstant, fås, då 2 d 2 ( t) T 2( t) 1( t) (4) dt där vi för tydlighets skull infört tidsargumentet t. 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4 33

34 4.3.1 Överföringsfunktionen Laplacetransformering av denna modell ger T s ( s) (0 ) ( s) ( s) (5). där 1 () s och 2 () s är Laplacetransformerna av 1 () t resp. 2 () t Eftersom vi använder Δ-variabler, som anger avvikelser från begynnelsetillståndet, är 2 (0 ) 0. Vi får då eller där är systemets överföringsfunktion. Ts ( s) ( s) ( s) (6) ( s) G( s) ( s) (7) Gs () Ts 1 (8) 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4 34

35 4.3.1 Överföringsfunktionen Övning 4.4. Ett system beskrivs av differentialekvationen 2 d y dy 5 6y u 2 dt dt där u och y anger avvikelser från ett jämviktsläge. Bestäm systemets överföringsfunktion. 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4 35

36 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet Några konventioner rörande in- och utsignaler Såsom tidigare konstaterats fås vid beräkningar i Laplaceplanet systemets utsignal genom multiplicering av dess insignal med systemets överföringsfunktion inga andra termer kan ingå i uttrycket (om man har en insignal). Vid Laplacetransformering erhålles ett sådant linjärt uttryck endast om signalernas begynnelsevärden, dvs deras värden vid t 0, är noll. Detta villkor uppfylls automatiskt när man använder Δ-variabler, vilka anger avvikelser från ett referenstillstånd som gäller vid tidpunkten t 0, dvs när man närmar sig noll från negativa sidan. 0 har betydelse ifall funktionen är diskontinuerlig vid t 0. Eftersom det är ett ofrånkomligt krav vid beräkningar med överföringsfunktioner att signalerna har ovannämnda egenskap, anses det vara underförstått att så är fallet även om det inte skulle omnämnas. Därmed kan man, som i övning 4.4, utelämna symbolen Δ för att förenkla beteckningarna. Om Δ-variabler med symbolen Δ används, är det ofta för att betona signalernas fysikaliska anknytning. I sådana fall är symbolen utan Δ ofta upptagen för att beteckna verkliga fysikaliska variabler, t.ex. mätvärden i processen. 4. Laplacetransformmetoder 4 36

37 4.3.2 Några konventioner rörande inoch utsignaler Det rekommenderas att man betecknar tidsfunktioner med små bokstäver (gemena) och deras Laplacetransformer med motsvarande stora bokstäver (versaler). I brist på lediga symboler är det dock inte ovanligt att man slarvar med detta och använder samma symbol både för tidsfunktionen och dess Laplacetransform. Detta är möjligt för att det vanligtvis är klart av sammanhanget vilken funktionstyp det är frågan om. Till exempel vid beräkningar med överföringsfunktioner är det klart att signalernas Laplacetransformer används. Om risk för missförstånd föreligger, kan man inkludera argumentet t eller s för att ange funktionstypen. När man t.ex. gör en Laplacetransformering kan denna distinktion behövas om man använder samma symbol för tidsfunktionen och dess Laplacetransform. Det bör även observeras att både signalernas tidsfunktioner och deras Laplacetransformer i allmänhet har en enhet. Operationer både i tids- och Laplaceplanet bör därmed vara dimensionsriktiga. Speciellt bör observeras att förstärkningen för ett system inte är dimensionslös om in- och utsignalen har olika enheter. 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4 37

38 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet Blockscheman Vi har redan kommit i kontakt med reglertekniska blockscheman i kapitel 2. I detta avsnitt ges en utförligare behandling av typiska blockschemakomponenter och - konfigurationer samt vilka räkneoperationer de motsvarar i Laplaceplanet. Ett linjärt dynamiskt system med insignalen ut, () utsignalen yt () och överföringsfunktionen Gs () kan representeras grafiskt med hjälp av ett blockschema enligt figur 4.6. Figur 4.6. Blockscheman för dynamiskt system. Om man namnger signalerna i blockschemat kan man använda signalernas tidsplanssymboler, såsom till vänster i figuren, eller symboler för signalernas Laplacetransformer, såsom till höger i figuren. Oberoende av vilken form som används, gäller sambandet Y( s) G( s) U( s) (4.29) dvs överföringsfunktionen opererar på signalernas Laplacetransformer, inte på deras tidsfunktioner (såsom överföringsoperatorn G (p)). 4. Laplacetransformmetoder 4 38

39 4.3.3 Blockscheman Man kan med ett blockschema åskådligt visa hur ett dynamiskt system byggs upp av mindre delsystem. Viktiga element i sådana blockscheman är konstruktioner som beskriver summation, jämförelse och förgrening av signaler. Såsom framgår innebär en jämförelse en subtraktion. Obs. att en förgrening endast flerfaldigar en signal, den förändrar inte signalen. Figur 4.7. Tre olika sätt att beteckna summation. Figur 4.8. Tre olika sätt att beteckna jämförelse. I figurerna används signalernas tidsfunktioner, men samma räkneregler gäller för signalernas Laplacetransformer. Konstruktionerna kan givetvis generaliseras så att fler än två signaler beaktas. Figur 4.9. Förgrening. 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4 39

40 4.3.3 Blockscheman Seriekoppling Ett ofta förekommande arrangemang av delsystem är seriekoppling eller kaskadkoppling, som illustreras i figur Av ekvation (4.29) följer dvs Y( s) G ( s) X ( s) G ( s) G ( s) U( s) G( s) G ( s) G ( s) (4.30) 2 1 som är överföringsfunktionen för det sammansatta systemet inom den streckade konturen i figur Figur Seriekoppling. 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4 40

41 4.3.3 Blockscheman Parallellkoppling En annan systemstruktur är parallellkoppling, som illustreras i figur Denna innehåller både en förgrening och en summation. Elementär algebra ger dvs Y( s) Y ( s) Y ( s) G ( s) U( s) G ( s) U( s) G ( s) G ( s) U( s) som är överföringsfunktionen för en parallellkoppling. G( s) G ( s) G ( s) (4.31) Figur Parallellkoppling. 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4 41

42 4.3.3 Blockscheman Återkoppling Den mest fundamentala systemstrukturen inom en är (negativ) återkoppling, som illustreras i figur När överföringsfunktionen i framriktningen betecknas Gs () och överföringsfunktionen i återkopplingen betecknas Hs () fås dvs Gs () Y( s) G( s) E( s) G( s) R( s) H( s) Y( s) R( s) 1 G ( s ) H ( s ) som är det slutna systemets överföringsfunktion. Produkten G( s) H( s ) kallas systemets kretsöverföring. Ekvationen 1 G( s) H( s) 0 är systemets karakteristiska ekvation. Gs () Gs () s (4.32) 1 G( s) H ( s) Figur Återkoppling. 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4 42

43 4.3.3 Blockscheman Övning 4.5. Härled överföringsfunktionen från u till y i nedanstående blockschema. Figur Blockschema för sammansatt system. 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4 43

44 4. Laplacetransformmetoder 4.4 Lösning av differentialekvationer Ett behändigt sätt att lösa linjära ordinära differentialekvationer är att använda Laplacetransformmetoder. När differentialekvationen Laplacetransformerats term för term, med beaktande av initialtillstånd, kan Laplacetransformen för den beroende variabeln, dvs utsignalen, enkelt lösas ut med rent algebraiska metoder. Om differentialekvationen beskriver ett dynamiskt system, har den en insignal som också transformeras. Tidsfunktionen för den beroende variabeln kan sedan erhållas genom inverstransformering av dess Laplacetransform. Figur Arbetsgång vid lösning av differentialekvationer via Laplacetransformering. Reglerteknik I Grundkurs (419300) 4 44

45 4.4 Lösning av differentialekvationer Tabeller över Laplacetransformer och motsvarande tidsfunktioner kan utnyttjas såväl vid själva Laplacetransformeringen som vid inverstransformeringen. Ifall tabellen inte upptar Laplacetransformen ifråga, kan man genom partialbråksuppdelning vanligtvis skriva den som en summa av enklare transformer vars tidsfunktioner finns i tabellen. Enligt superpositionssatsen (se avsnitt 4.2.3) fås den sökta tidsfunktionen då som summan av de enklare Laplacetransformernas tidsfunktioner. 4. Laplacetransformmetoder 4 45

46 4.4 Lösning av differentialekvationer Begynnelsevärdesproblem Eftersom Laplacetransformen av en tidsfunktion innehåller tidsfunktionens begynnelsevärde, är Laplacetransformen speciellt lämpad för lösning av begynnelsevärdesproblem (initialvärdesproblem). Exempel 4.3. Lösning av linjär differentialekvation med begynnelsevillkor. Lös differentialekvationen y 5y 6y 1 med begynnelsevillkoren y(0 ) 0, y(0 ) 1. Laplacetransformering ger med uttnyttjande av deriveringssatserna (4.15) och (4.16) 2 1 s Y( s) sy(0 ) y(0 ) 5 sy ( s) y(0 ) 6 Y( s) (1) s Insättning av begynnelsevillkoren ger efter hyfsning Ys () s1 s1 2 s ( s 5s 6) s ( s 2)( s 3) (2) 4. Laplacetransformmetoder 4 46

47 4.4.1 Begynnelsevärdesproblem Detta uttryck finns inte i kompendiets Laplacetransformtabell, men vi kan separera täljarens termer och efter hyfsning skriva Ys () 1 1 ( s 2)( s 3) s ( s 2)( s 3) (3) Dessa termer finns som punkt 17 och 18 i tabellen med a 2 och b 3. I enlighet med superpositionssatsen kan vi inverstransformera termerna var för sig och summera resultatet för att få tidsfunktionen yt. () Resultatet blir 1 2t 3t 1 1 2t 1 3t 1 2t 2 3t 1 yt ( ) e e e e e e (2 3) 3(2 3) (4) Kontroll genom derivering och insättning i differentialekvationen och begynnelsevillkoren visar att lösningen är korrekt. 4.4 Lösning av differentialekvationer 4 47

48 4.4 Lösning av differentialekvationer Tidssvaret för ett dynamiskt system Tidssvaret för ett dynamiskt system kan bestämmas genom inverstransformering när systemets överföringsfunktion och insignalens Laplacetransform är kända. Exempel 4.4. Stegsvaret för ett första ordningens system. Ett linjärt första ordningens system med insignalen u och utsignalen y kan beskrivas med differentialekvationen dy T y Ku dt (1) där K är systemets (statiska) förstärkning och T dess tidskonstant. Om u 0 så är y 0 en lösning till DE:n. Vi kan anta att detta tillstånd råder vid t 0. Laplacetransformering ger då Y( s) G( s) U( s) (2) där Gs () är systemets överföringsfunktion. K Ts1 (3) 4. Laplacetransformmetoder 4 48

49 4.4.2 Tidssvaret för ett dynamiskt system Om insignalen förändras stegformigt från 0 till steg u vid t 0, dvs om u( t) 0, t 0; u( t) usteg, t 0 (4) så är detta steg u steg gånger så stort som ett enhetssteg och har enligt avsnitt (eller punkt 1 i kompendiets Laplacetransformtabell) Laplacetransformen U() s Insättning av Gs () och Us () i ekvation (2) ger Ys () u steg (5) s Kusteg Kusteg / T s ( T s 1) s ( s 1/ T) Enligt punkt 9 eller 26 i Laplacetransformtabellen är motsvarande tidsfunktion / y( t) Ku steg 1 e t T (6) (7) Det härledda stegsvaret har givetvis samma form som stegsvaret för kvicksilvertermometern som härleddes genom direkt lösning av differentialekvationen i exempel Lösning av differentialekvationer 4 49

50 4.4.2 Tidssvaret för ett dynamiskt system Övning 4.6. Bestäm enhetsstegsvaret (dvs svaret när insignalen är en stegförändring av storleken 1) för systemet i övning Lösning av differentialekvationer 4 50

51 Reglerteknik I/ KEH 4.4 Lösning av differentialekvationer Partialbråksuppdelning Laplacetransformen för en tidsfunktion f() t, t.ex. den beroende variabeln i en differentialekvation med given insignal och givna begynnelsevärden, kan vanligtvis skrivas i formen m m1 b0s b1 s bm1s bm Bs () Fs () n n1 s a s a s a As () 1 n1 Ys innehållande en dödtid L, så att Y( s) F( s)e Ls För en Laplacetransform (), kan man först bestämma f() t från Fs () och därefter y( t) f ( t L) enligt förskjutningssatsen. n (4.33) Den mot Laplacetransformen Fs () svarande tidsfunktionen f() t kan man ofta finna direkt i tabellverk eller, som i exempel 4.3, efter en enkel separering av täljarens termer i enlighet med superpositionsprincipen. Om detta inte hjälper, kan man göra en partialbråksuppdelning. 4. Laplacetransformmetoder 4 51

52 4.4.3 Partialbråksuppdelning Vid partialbråksuppdelning av ekvation (4.33) gör man på följande sätt: Först undersöks om täljarens gradtal m är mindre än nämnarens gradtal n. I praktiken gäller så gott som alltid att m n, dvs att systemet är strikt propert. Skulle så inte vara fallet divideras täljarpolynomet med nämnarpolynomet så att ett nytt täljarpolynom erhålles med lägre gradtal än nämnarens. Genom en sådan polynomdivision kan Laplacetransformen skrivas B0 () s F( s) F0 ( s) (4.34) As () där As () är samma nämnarpolynom som i ekvation (4.33) och B 0 () s är ett polynom med lägre gradtal än As (). I fortsättningen antas därför m0 n. Enligt superpositionssatsen kan polynomet 0 () den resulterande tidsfunktionen f 0 () t adderas till resten av lösningen. Eftersom F 0 () s saknar nämnare, kommer f 0 () t att bestå av en eller flera termer motsvarande en impuls och tidsderivator av impulser. Speciellt det senare är ovanligt i praktiken. F s inverstransformeras skilt för sig och 4.4 Lösning av differentialekvationer 4 52

53 4.4.3 Partialbråksuppdelning Exempel 4.5. Polynomdivision. Betraka den rationella funktionen s Fs () 3 2 2s 4 s 3. (1) Den kan med hjälp av polynomdivision skrivas på formen (4.34). Om vi använder den klassiska divisionsuppställningen (andra uppställningar är liggande stolen och trappan ) ser proceduren ut på följande sätt. 3 2 B( s) s 2s 4 s 3 A( s) s 3s s s 3 F ( s) s s s 3s 4 3s 9 5 B ( s) 4.4 Lösning av differentialekvationer

54 4.4.3 Partialbråksuppdelning Resultatet är således 2 5 F( s) s s 3 (2) s 3 Ekvationerna (4.15) och (4.16) samt punkterna 6 och 8 i Laplacetransformtabellen ger tidsfunktionen 2 d ( t) d ( t) 3t f ( t) 3 ( t) 5e (3) 2 dt dt där () t är enhetsimpulsen. 4.4 Lösning av differentialekvationer 4 54

55 4.4.3 Partialbråksuppdelning Faktorisering Nästa steg är att faktorisera polynomet As () enligt A s s p1 s p2 s p n ( ) ( )( ) ( ) (4.35) där p k, k 1,2,, n, är de n stycken reella och komplexa rötterna till den karakteristiska ekvationen As ( ) 0. Om rötterna p k är distinkta (alla rötter är olika stora) och reella kan Fs () skrivas som n Ck F( s) F0 ( s) (4.36) s p där C k, k 1,2,, n, är konstanter som bör bestämmas. Ifall karakteristiska ekvationen har multipla (lika stora) reella rötter kan Fs () skrivas 0 k 1 F( s) F ( s) k r n Ck Ck k k1 ( s pr ) kr1 s p (4.37) k där pr pk, k 1,2,, r, är r stycken lika stora rötter. I praktiken förekommer dock sällan multipla rötter. 4.4 Lösning av differentialekvationer 4 55

56 4.4.3 Partialbråksuppdelning Ifall komplexa rötter förekommer uppträder dessa som komplexkonjugerade rotpar j, där j 1 är den imaginära enheten. Vid faktoriseringen av As () kan p ett sådant rotpar sammanslås till faktorn C s C ( s ) s 2 s. En term ( s ) bör då inkluderas i partialbråksuppdelningen av Fs (). Ifall pn 1 och p n är ett komplexkonjugerat rotpar och rötterna p k, k 1,, r, är multipla och reella ( ) samt resten av rötterna är distinkta och reella, fås p r r n2 Ck Ck Cn1s Cn 0 k 2 2 k1 ( s pr ) kr1 s pk ( s ) (4.38) F( s) F ( s) Multipla komplexa rötter kan även hanteras, men kommer inte att behandlas. Alla termer i partialbråksuppdelningen (4.38) är sådana att deras inverstransformer enkelt hittas i kursens Laplacetransformtabell. Enligt superpositionssatsen är den sökta funktionen f() t summan av de enskilda inverstransformerna. 4.4 Lösning av differentialekvationer 4 56

57 4.4.3 Partialbråksuppdelning Bestämning av konstanterna Konstanterna C k C k kan bestämmas på flera olika sätt. Eftersom partialbråksuppdelningen bör gälla för godtyckliga värden på variabeln s, kan man substituera n stycken lämpligt valda olika värden på s i partialbråksuppdelningen och bestämma C, k 1,2,, n, ur de n ekvationer som uppstår. k En annan mera allmän metod är att förlänga partialbråksuppdelningen (dvs multiplicera båda leden) med As () och därefter förkorta bort nämnaruttrycken. Det så erhållna uttrycket skall vara lika med B 0 () s. Konstanterna C k kan då bestämmas ur de n ekvationer som uppstår när man kräver att partialbråksuppdelningen skall gälla skilt för varje potens av s. Ifall rötterna är distinkta och reella bestäms C k enklast enligt B0 lim ( ) () s Ck s pk (4.39) s p As () k Observera att faktorn ( s p k ) kan förkortas bort mot motsvarande faktor i As (). 4.4 Lösning av differentialekvationer 4 57

58 4.4.3 Partialbråksuppdelning Exempel 4.6. Rampsvaret för ett första ordningens system. Vi skall bestämma det så kallade rampsvaret för ett första ordningens system. Insignalen u är en ramp, vilket innebär att den förändras linjärt med tiden enligt sambandet u() t bt, där b är en konstant. Enligt exempel 4.4 har ett första ordningens system överföringsfunktionen Gs () K (1) Ts 1 För en ramp med lutningskoefficienten b gäller i enlighet med ekvation (4.9) att den har Laplacetransformen b U() s (2) 2 s Utsignalen ges då av Y( s) G( s) U( s) Kb ( Ts 1) s 2 (3) 4.4 Lösning av differentialekvationer 4 58

59 4.4.3 Partialbråksuppdelning Denna Laplacetransform finns i kursens Laplacetransformtabell, men vi skall här illustrera hur vi kan finna lösningen genom partialbråksuppdelning och inverstransformering av redan kända Laplacetransformer. Nämnaren i ekvation (3) är färdigt faktoriserad; vi har en enkel rot 1/ T och en dubbelrot s 0. I enlighet med ekvation (4.37) gör vi då partialbråksuppdelningen Kb C1 C2 C3 2 2 ( Ts 1) s s s Ts 1 Förlängning med ( Ts 1) s 2 ger Kb C ( Ts 1) s C ( Ts 1) C s (5) Detta uttryck måste gälla skilt för varje potens av s, vilket ger 0 s : Kb C2 C2 Kb 1 s : 0 C1 C2T C1 KbT s : C1T C3 C3 KbT 2 s (4) (6) 4.4 Lösning av differentialekvationer 4 59

60 4.4.3 Partialbråksuppdelning Insättning i ekvation (4) och vidare insättning i ekvation (3) ger Ys () KbT Kb KbT 2 s s Ts 1 Men hjälp av punkterna 1, 2 och 25 i Laplacetransformtabellen fås då t / T t / T y( t) KbT Kbt KbTe Kb( t T Te ) (8) Efter att initialeffekterna dött ut, närmar sig utsignalen en ramp med lutningskoefficienten Kb. 2 (7) Direkt tillämpning av punkt 27 i Laplacetransformtabellen ger givetvis samma svar. Övning 4.7. Inverstransformera följande funktioner med hjälp av partialbråksuppdelning: F () s s 3 a) a 2 2 ss ( 4) F () s, b) b 2 3s 5 s( s 6s 25). 4.4 Lösning av differentialekvationer 4 60

4. Laplacetransformmetoder

4. Laplacetransformmetoder 4. Laplacetransformmetoder 4. Laplacetransformmetoder 4.1 Differentialekvationer Differentialekvationer utgör grunden för en matematisk beskrivning av dynamiska system i kontinuerlig tid beskriver hur

Läs mer

6. Stabilitet. 6. Stabilitet

6. Stabilitet. 6. Stabilitet 6. Stabilitet 6. Stabilitet Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt

Läs mer

Laplacetransform, poler och nollställen

Laplacetransform, poler och nollställen Innehåll föreläsning 2 2 Reglerteknik, föreläsning 2 Laplacetransform, poler och nollställen Fredrik Lindsten fredrik.lindsten@liu.se Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik Institutionen för systemteknik (ISY)

Läs mer

Övningar i Reglerteknik. Differentialekvationer kan lösas med de metoder som behandlades i kurserna i matematisk analys. y(0) = 2,

Övningar i Reglerteknik. Differentialekvationer kan lösas med de metoder som behandlades i kurserna i matematisk analys. y(0) = 2, Differentialekvationer Övningar i Reglerteknik Differentialekvationer kan lösas med de metoder som behandlades i kurserna i matematisk analys.. Lös följande begynnelsevärdesproblem dy dt y =, t > 0 y(0)

Läs mer

6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner. 6. Stabilitet. 6.2 Poler och stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner

6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner. 6. Stabilitet. 6.2 Poler och stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt kan bli instabilt genom för

Läs mer

6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner. 6. Stabilitet. 6.2 Poler och stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner

6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner. 6. Stabilitet. 6.2 Poler och stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt kan bli instabilt genom för

Läs mer

Välkomna till Reglerteknik Föreläsning 2

Välkomna till Reglerteknik Föreläsning 2 Välkomna till Reglerteknik Föreläsning 2 Sammanfattning av föreläsning 1 Lösningar till differentialekvationer Karakteristiska ekvationen Laplacetransformer Överföringsfunktioner Poler Stegsvarsspecifikationer

Läs mer

Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 2

Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 2 Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 2 Sammanfattning av föreläsning 1 Lösningar till differentialekvationer Karakteristiska ekvationen Laplacetransformer Överföringsfunktioner Poler Stegsvarsspecifikationer

Läs mer

TSIU61: Reglerteknik. Poler och nollställen Stabilitet Blockschema. Gustaf Hendeby.

TSIU61: Reglerteknik. Poler och nollställen Stabilitet Blockschema. Gustaf Hendeby. TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 3 Poler och nollställen Stabilitet Blockschema Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se TSIU61 Föreläsning 3 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 26 Innehåll föreläsning 3 ˆ Sammanfattning

Läs mer

Kap 3 - Tidskontinuerliga LTI-system. Användning av Laplacetransformen för att beskriva LTI-system: Samband poler - respons i tidsplanet

Kap 3 - Tidskontinuerliga LTI-system. Användning av Laplacetransformen för att beskriva LTI-system: Samband poler - respons i tidsplanet Kap 3 - Tidskontinuerliga LTI-system Användning av Laplacetransformen för att beskriva LTI-system: Överföringsfunktion Poler, nollställen, stabilitet Samband poler - respons i tidsplanet Slut- och begynnelsevärdesteoremen

Läs mer

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3. Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3. Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3 Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula Sammanfattning av förra föreläsningen 2 Vi modellerar system

Läs mer

TSIU61: Reglerteknik. Matematiska modeller Laplacetransformen. Gustaf Hendeby.

TSIU61: Reglerteknik. Matematiska modeller Laplacetransformen. Gustaf Hendeby. TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 2 Matematiska modeller Laplacetransformen Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se TSIU61 Föreläsning 2 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 21 Innehåll föreläsning 2 ˆ Sammanfattning

Läs mer

AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET. M. Enqvist TTIT62: Föreläsning 3 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET

AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET. M. Enqvist TTIT62: Föreläsning 3 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Martin Enqvist Överföringsfunktioner, poler och stegsvar Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Repetition: Reglerproblemet 3(8) Repetition: Öppen styrning & återkoppling 4(8)

Läs mer

Reglerteknik I: F2. Överföringsfunktionen, poler och stabilitet. Dave Zachariah. Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik

Reglerteknik I: F2. Överföringsfunktionen, poler och stabilitet. Dave Zachariah. Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik Reglerteknik I: F2 Överföringsfunktionen, poler och stabilitet Dave Zachariah Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik 1 / 16 Linjära systemmodeller Linjära tidsinvarianta modeller är användbara

Läs mer

Föreläsning 8, Introduktion till tidsdiskret reglering, Z-transfomer, Överföringsfunktioner

Föreläsning 8, Introduktion till tidsdiskret reglering, Z-transfomer, Överföringsfunktioner Föreläsning 8, Introduktion till tidsdiskret reglering, Z-transfomer, Överföringsfunktioner Reglerteknik, IE1304 1 / 24 Innehåll 1 2 3 4 2 / 24 Innehåll 1 2 3 4 3 / 24 Vad är tidsdiskret reglering? Regulatorn

Läs mer

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 2

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 2 Föreläsningar / TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning 2 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.

Läs mer

Föreläsning 1 Reglerteknik AK

Föreläsning 1 Reglerteknik AK Föreläsning 1 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för Reglerteknik, KTH 29 augusti, 2016 2 Introduktion Example (Temperaturreglering) Hur reglerar vi temperaturen i ett hus? u Modell: Betrakta en

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 15-18, 30/11-12/

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 15-18, 30/11-12/ Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp ES, gyl, Q, W 0-0-9 Sammanfattning av föreläsningarna 5-8, 30/ - / 0. Z-transformen ska avslutas och sedan blir det tentaförberedelser.

Läs mer

Crash Course Envarre2- Differentialekvationer

Crash Course Envarre2- Differentialekvationer Crash Course Envarre2- Differentialekvationer Mattehjälpen Maj 2018 Contents 1 Introduktion 2 2 Integrerande faktor 2 3 Separabla diffekvationer 3 4 Linjära diffekvationer 4 4.1 Homogena lösningar till

Läs mer

ÅBO AKADEMI REGLERTEKNIK I

ÅBO AKADEMI REGLERTEKNIK I INSTITUTIONEN FÖR KEMITEKNIK Laboratoriet för reglerteknik ÅBO AKADEMI DEPARTMENT OF CHEMICAL ENGINEERING Process Control Laboratory REGLERTEKNIK I Grundkurs Kurt-Erik Häggblom Biskopsgatan 8 FIN-20500

Läs mer

Kan vi beskriva ett system utan någon fysikalisk kännedom om systemet?

Kan vi beskriva ett system utan någon fysikalisk kännedom om systemet? Kan vi beskriva ett system utan någon fysikalisk kännedom om systemet? 1 Om svaret på frågan är ja så öppnar sig möjligheten att skapa en generell verktygslåda som fungerar för analys och manipulering

Läs mer

Formalia. Reglerteknik, TSRT12. Föreläsning 1. Första föreläsningen. Vad är reglerteknik?

Formalia. Reglerteknik, TSRT12. Föreläsning 1. Första föreläsningen. Vad är reglerteknik? Formalia Reglerteknik, TSRT12 Föreläsning 1 Hemsida. http://www.control.isy.liu.se/student/tsrt12/ Föreläsnings-oh läggs ut ca en dag i förväg. Lablistor på första lektionen. Läroboken tillåten på tentan

Läs mer

AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer

AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer Laplacetransformen som an analytisk funktion SATS 1 Om Laplaceintegralen F (s) = L (f) = e st f(t)dt är konvergent för s

Läs mer

Transformer och differentialekvationer (MVE100)

Transformer och differentialekvationer (MVE100) Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet Matematik 19 januari 211 Transformer och differentialekvationer (MVE1) Styckvis definierade funktioner forts. Laplacetransformen Som nämnts i inledningen

Läs mer

Övningar i Reglerteknik

Övningar i Reglerteknik Övningar i Reglerteknik Stabilitet hos återkopplade system Ett system är stabilt om utsignalen alltid är begränsad om insignalen är begränsad. Linjära tidsinvarianta system är stabila precis då alla poler

Läs mer

TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning

TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning Johan Thim 23 april 2018 1 Differentialoperatorer För att underlätta notation och visa på underliggande struktur introducerar vi begreppet

Läs mer

Reglerteknik, TSIU61. Föreläsning 2: Laplacetransformen

Reglerteknik, TSIU61. Föreläsning 2: Laplacetransformen Reglerteknik, TSIU61 Föreläsning 2: Laplacetransformen Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Innehåll 2(13) 1. Sammanfattning av föreläsning 1 2. Hur löser man differentialekvationer på ett arbetsbesparande

Läs mer

System. Z-transformen. Staffan Grundberg. 8 februari 2016

System. Z-transformen. Staffan Grundberg. 8 februari 2016 Z-transformen 8 februari 2016 Innehåll Z-transformen Tidsdiskreta LTI-system Överföringsfunktioner Frekvensegenskaper Z-transformen Z-transformen av en tidsdiskret signal y[n] ges av Y (z) = Z[y] = y[n]z

Läs mer

Formelsamling i Reglerteknik

Formelsamling i Reglerteknik Formelsamling i Reglerteknik Laplacetransformation Antag att f : IR IR är en styckvis kontinuerlig funktion. Laplacetransformen av f definieras av Slutvärdesteoremet F(s) = L(f)(s) = 0 e st f(t)dt lim

Läs mer

ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683. Inofficiella mål

ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683. Inofficiella mål ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683 KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Andra ordningens linjära differentialekvationer Homogena ekvationen Fundamental lösningsmängd, y 1 (t),

Läs mer

Veckans teman. Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3

Veckans teman. Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3 Veckans teman Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3 Ekvationstyper Första ordningen Separabla Högre ordning System Autonoma Linjära med konstanta koefficienter

Läs mer

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1 SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT19)

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT19) Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT9) 26-3-6. (a) Systemet är stabilt och linjärt. Därmed kan principen sinus in, sinus ut tillämpas. Givet insignalen u(t) sin (t) sin ( t) har vi G(i )

Läs mer

Reglerteknik AK. Tentamen 24 oktober 2016 kl 8-13

Reglerteknik AK. Tentamen 24 oktober 2016 kl 8-13 Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 24 oktober 26 kl 8-3 Poängberäkning och betygsättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt

Läs mer

TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning

TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning Johan Thim 4 mars 2018 1 Linjära DE av godtycklig ordning med konstanta koefficienter Vi kommer nu att betrakta linjära differentialekvationer

Läs mer

A

A Lunds Universitet LTH Ingenjorshogskolan i Helsingborg Tentamen i Reglerteknik 2008{05{29. Ett system beskrivs av foljande in-utsignalsamband: dar u(t) ar insignal och y(t) utsignal. d 2 y dt 2 + dy du

Läs mer

Implementering av digitala filter

Implementering av digitala filter Kapitel 9 Implementering av digitala filter Som vi sett i kapitel 8 kan det behövas ett mycket stort antal koefficienter för att representera ett digitalt filter. Detta gäller i synnerhet FIR filter. Det

Läs mer

5. Enkla dynamiska system

5. Enkla dynamiska system I kapitel 3 härleddes modeller för ett antal dynamiska system från olika teknikområden. Gemensamt för systemen var att de kunde beskrivas med ordinära differentialekvationer av låg ordning. I flera fall

Läs mer

Laboration 2 M0039M, VT2016

Laboration 2 M0039M, VT2016 Laboration 2 M0039M, VT2016 Ove Edlund, Staffan Lundberg, TVM 24 februari 2016 1 Teoridel 1.1 Serielösningar till differentialekvationer Den grundläggande idén (se t.ex. utdelat material, Lektion 18) är

Läs mer

= = i K = 0, K =

= = i K = 0, K = ösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633, Differentialekvationer I Tisdagen den 14 augusti 212, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar

Läs mer

2. Reglertekniska grunder

2. Reglertekniska grunder 2.1 Signaler och system 2.1 Signaler och system Ett system växelverkar med sin omgivning via insignaler, som påverkar systemets beteende utsignaler, som beskriver dess beteende Beroende på sammanhanget

Läs mer

8.3 Variabeltransformationer Frånkoppling. Betrakta ett 2x2-system, som beskrivs med modellen (8.3.1)

8.3 Variabeltransformationer Frånkoppling. Betrakta ett 2x2-system, som beskrivs med modellen (8.3.1) 8.3 Variabeltransformationer Betrakta ett 2x2-system, som beskrivs med modellen y () s G () s G () s u () s 1 11 12 1 y2() s = G21() s G22() s u2() s (8.3.1) Figuren till höger visar ett blockschema över

Läs mer

TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal

TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig

Läs mer

AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET. M. Enqvist TTIT62: Föreläsning 2. Här är

AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET. M. Enqvist TTIT62: Föreläsning 2. Här är Martin Enqvist Återkoppling, PID-reglering, specifikationer Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Repetition: Reglerproblemet 3(21) Exempel: Farthållare i en bil 4(21) Välj

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007

Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007 Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 7. Låt Y (s beteckna Laplacetransformen till funktionen y. Laplacetransformering av den givna ekvationen ger: varav följer att. (a För s > a är Y (s + s Y

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

TSRT21 Dynamiska system och reglering Välkomna till Föreläsning 10

TSRT21 Dynamiska system och reglering Välkomna till Föreläsning 10 TSRT21 Dynamiska system och reglering Välkomna till Föreläsning 10 Johan Löfberg Avdelningen för Reglerteknik Institutionen för systemteknik johan.lofberg@liu.se Kontor: B-huset, mellan ingång 27 och 29

Läs mer

ger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.

ger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0. KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 2.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 2 handlar om den enklaste typen av algebraiska uttryck, polynomen. Eftersom polynom i princip

Läs mer

SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I

SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari 26 Lösningsförslag Del I Moduluppgift En liter av lösningen som innehåller 2 gram av kemiska

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014 SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra

Läs mer

För att förenkla presentationen antas inledningsvis att förstärkningen K 0, och vi återkommer till negativt K senare.

För att förenkla presentationen antas inledningsvis att förstärkningen K 0, och vi återkommer till negativt K senare. 8. Frekvensanalys För att förenkla presentationen antas inledningsvis att förstärkningen K 0, oh vi återkommer till negativt K senare. 8.1. Första ordningens system K y( s u( s Ts 1 Om vi antar att insignalen

Läs mer

1 Primitiva funktioner

1 Primitiva funktioner Primitiva funktioner Definition. F ( är en primitiv funktion till f( om F ( f(. Antag att vi har hittat en primitiv funktion F ( till f(. Finnsdetflerprimitivafunktionerochvilken form har de i så fall?

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är

Läs mer

Avsnitt 1, introduktion.

Avsnitt 1, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på

Läs mer

Studietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23

Studietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23 Studietips info r kommande tentamen TEN inom kursen TNIU3 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande

Läs mer

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633.

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633. KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633. Måndagen den 17 oktober 11, kl 8-13. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar

Läs mer

Laplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer?

Laplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer? Laplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer? 1 Bakgrund till transformer i kontinuerlig tid Idé 1: Representera in- och utsignaler till LTI-system i samma basfunktion Förenklad analys! Idé

Läs mer

TENTAMEN Reglerteknik 4.5hp X3

TENTAMEN Reglerteknik 4.5hp X3 OBS: Kontrollera att du har fått rätt tentamen! Denna tentamen gäller i första hand för Reglerteknik 4.5hp. På sista sidan av tentamen finns ett försättsblad, som ska fyllas i och lämnas in tillsammans

Läs mer

Föreläsning 14-16, Tillståndsmodeller för kontinuerliga system

Föreläsning 14-16, Tillståndsmodeller för kontinuerliga system Föreläsning 14-16, Tillståndsmodeller för kontinuerliga system Reglerteknik, IE1304 1 / 50 Innehåll Kapitel 141 Introduktion till tillståndsmodeller 1 Kapitel 141 Introduktion till tillståndsmodeller 2

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER

Läs mer

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt. Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa

Läs mer

Teori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter

Teori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016/2017 Teori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter 1. FÖRSTA ORDNINGEN Homogena fallet. En homogen linjär

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00.

Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00. Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00. Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Bonus

Läs mer

Föreläsning 2. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 3 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik

Föreläsning 2. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 3 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik Föreläsning 2 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 3 september 2013 Introduktion Förra gången: Dynamiska system = Differentialekvationer Återkoppling

Läs mer

Moment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.

Moment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1. Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n

Läs mer

Reglerteknik AK, FRT010

Reglerteknik AK, FRT010 Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK, FRT Tentamen januari 27 kl 8 3 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt

Läs mer

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant. Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att

Läs mer

} + t { z t -1 - z t (16-8)t t = 4. d dt. (5 + t) da dt. {(5 + t)a} = 4(5 + t) + A = 4(5 + t),

} + t { z t -1 - z t (16-8)t t = 4. d dt. (5 + t) da dt. {(5 + t)a} = 4(5 + t) + A = 4(5 + t), Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B110 Måndagen den 1 oktober 005, kl 1400-1900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta

Läs mer

Transformer och differentialekvationer M3, 2010/2011 Ett par tillämpningar av Fourieranalys.

Transformer och differentialekvationer M3, 2010/2011 Ett par tillämpningar av Fourieranalys. Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet Matematik februari 0 Transformer och differentialekvationer M3, 00/0 Ett par tillämpningar av Fourieranalys. Design av system, filter Som en intressant

Läs mer

5. Enkla dynamiska system

5. Enkla dynamiska system 5. Enkla dynamiska system I kapitel 3 härleddes modeller för ett antal dynamiska system från olika teknikområden. Gemensamt för systemen var att de kunde beskrivas med ordinära differentialekvationer av

Läs mer

TENTAMEN Reglerteknik 3p, X3

TENTAMEN Reglerteknik 3p, X3 OBS: Kontrollera att du har fått rätt tentamen! Denna tentamen gäller i första hand för Reglerteknik 3p. På sista sidan av tentamen finns ett försättsblad, som ska fyllas i och lämnas in tillsammans med

Läs mer

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

SVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius.

SVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius. Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I Onsdagen den maj 03, kl 0800-300 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas

Läs mer

3 differensekvationer med konstanta koefficienter.

3 differensekvationer med konstanta koefficienter. Matematiska institutionen Carl-Henrik Fant 17 november 2000 3 differensekvationer med konstanta koefficienter 31 T Med en menar vi en av rella eller komplexa tal varje heltal ges ett reellt eller komplext

Läs mer

Planering för Matematik kurs E

Planering för Matematik kurs E Planering för Matematik kurs E Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs E Antal timmar: 60 (0 + 0) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att E-kursen studeras på 60 klocktimmar.

Läs mer

1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y

1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y 1 Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 18 december 2017 kl 08.00-13.00. Examinator: Pär Kurlberg. Betygsgränser: A: 85%. B: 75%. C: 65%. D: 55%. E: 45%. Fx: 42%.

Läs mer

x(t) I elimeringsmetoden deriverar vi den första ekvationen och sätter in x 2(t) från den andra ekvationen:

x(t) I elimeringsmetoden deriverar vi den första ekvationen och sätter in x 2(t) från den andra ekvationen: Differentialekvationer II Modellsvar: Räkneövning 6 1. Lös det icke-homogena linjära DE-systemet ( ( 0 e x t (t = x(t + 1 3 e t med elimineringsmetoden. Lösning: den explicita formen av DE-systemet är

Läs mer

Reglerteknik AK. Tentamen 9 maj 2015 kl 08 13

Reglerteknik AK. Tentamen 9 maj 2015 kl 08 13 Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 9 maj 5 kl 8 3 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt 5 poäng.

Läs mer

Gränsvärden. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003

Gränsvärden. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003 Gränsvärden Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003 Innehåll Introduktion 3 2 Gränsvärden 4 2. Gränsvärden då går mot.................... 4 2.2 Gränsvärden då går mot a.....................

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 2 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-01-10 Skrivtid: 8.00 1.00. Hjälpmedel:

Läs mer

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 23 2 5 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

Kryssproblem (redovisningsuppgifter).

Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp ES, gyl, Q, W 212-1-29 Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Till var och en av de tio lektionerna hör två problem som du ska

Läs mer

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med

Läs mer

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x = UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I. Tisdagen den 7 januari 2014, kl

Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I. Tisdagen den 7 januari 2014, kl Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I Tisdagen den 7 januari 14, kl 8-13 Del 1 Modul 1 Befolkningen i en liten stad växer med en hastighet som är proportionell mot befolkningsmängden

Läs mer

TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp

TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp Tid: Fredag 8 mars 0, kl. 4.00-9.00 Plats: Gimogatan 4 sal Ansvarig lärare: Hans Norlander, tel. 08-473070. Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl 5.30 och kl 7.30.

Läs mer

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)), Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver

Läs mer

x2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4)

x2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4) Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Måndagen den 5:e november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. För vilka reella tal x gäller olikheten x 6x + 14? Lösningsalternativ 1: Den

Läs mer