Digital signalbehandling Föreläsningsanteckningar Uppdateringar, vecka 7

Transkript

1 Itittioe r data- oc elektrotekik Freläiateckiar Uppdateriar, vecka 7 -- CALERS LINDOLEN Sida Itittioe r data- oc elektrotekik Sve Kto Box Gtebor Bekdre: relåe 4 Teleo: Fax: vek@cl.calmer.e Web: vek

2 Vi kall r rta åe å i på metoder där vi ar bättre kotroll ver iltret rekvekrva oc där vi detom ka välja rekvekrva aka ritt. Vi kall dock bara e på de yra rdtypera låpa-, badpa- pa oc badpärrilter. Vi kall e på traveralilterdimeioeri via iver oriertraorm. Låt o brja med att deiiera dea rdktioer. Ett idealt låpailter läpper ieom alla ialer pp till e vi rekve me pärrar alla ialer med re rekveer. På rd av pelieekapera i amplade ytem å kommer vi ockå att läppa ieom ett rekvebad ovar oc på rd av de amplade yteme cyklika eekaper å ka vi lika ära rita detta bad vid eativa rekveer, vilket vi kommer att ra i ortättie. Filtret ar e rärekve om eparerar pa- oc pärrbad oc pabadet ar åo pabadrtärki, om ota är ett. - / - Fir 3 Ett idealt badpailter läpper ieom iaeler i ett rekvebad mella dre rärekvee oc vre rärekvee oc pärrar ialer med adra rekveer. -( - ) - / - / - Fir 33 Ett idealt pailter läpper ieom ialer med rekveer om är re ä rärekvee (oc pp till rtå) oc pärrar ialer med läre rekve. - / - - / - - Fir 34 Ett idealt badpärrilter läpper ieom ialer med rekveer läre ä dre rärekvee, pärrar ialer med rekveer därver, pp till vre rärekvee vareter iltret läpper ieom ialer med rekveer re ä dea. reläiateckiar Sida

3 - / / - - Fir 35 Vi r e bekrivi av det kade iltret rekveeekaper eom att ae iltret verriktio i rekveplaet ( ) oc eda beräka iltret implvar via iver oriertraorm [] ( ) e j d I de leta all atar vi att verriktioe akar avridi, dv ( ) ( ) oc vi jer o med att peciicera iltert beloppkrva. De ivera oriertraorme er iltret implvar [] me r traveralilter e ilterkotatera av implvaret, elit y N N [] tk x[ k] [] tk δ [ k] k k Fr att de ivera orriertraorme kall ka bekriva verriktioe lltädit å måte vi a med alla termer i implvaret, dv [] r, det ka vi ite a i ilterekvatioe ta är ka vi bara ta med ett beräat atal termer, ormalt t k, k N, dv vi tar med N termer. Detta r att vårt ilter ite år de ideala orme me tar vi med tillräcklit måa termer å kommer vi aka ära. I irera er vi låpailter med rärekve termer., pabadrtärki ett oc reepektive 4. Symmetrikt iv orier,lp,/4, pb N Symmetrikt iv orier,db,lp,/4, pb N (db) Normerad rekve (relativt ) Fir Normerad rekve (relativt ) Fir 37 reläiateckiar Sida 3

4 . Symmetrikt iv orier,lp,/4, pb N Symmetrikt iv orier,db,lp,/4, pb N (db) Normerad rekve (relativt ) Fir Normerad rekve (relativt ) Fir 39 7Som ye år vi, trot ett t radtal, ett aka kratit rippel (väi) i pabadet, peciellt ära rärekvee: Oberoede av radtal å år vi e väi, där de trta toppe, om lier ärmat rärekvee ar e jd av c:a 9 % av pabadrtärkie. Feomeet kalla Gibb eome oc vi kall eare e r vi ka aväda terktioer r att komma till rätta med detta. Vi er ockå ett rippel i pärrbadet om ockå dämpa av terktioer. Överåe mella pabad oc pärrbad blir ite oädlit brat, om de är o det ideala iltret, bratete kar dock med iltret radtal. E mal badbredd o iltret rvårar dimeioerie. Vi a ova att vi bara kde ta med ett ädlit atal av implvaret termer, N tycke, r att å kad krva å måte vi ta med ymmetrika termer, dv [] r, där N Gr vi detta å år vi traveraliltret y [] tk x[ k] k dv ett icke-kaalt ilter om akar avridi. Fr att ra iltret kaalt å rdrjer vi te å att vi år y N k k [] t x[ k] Vi år då ett ilter med lijär avridi, oc vi ar i Bilaa 3 ett att lijär avridi är llt acceptabel. Vi ar i ovatåede text ite tait pp att det rariätt vi där bekriver rtätter att iltret ar dda atal termer. Det år ockå att kapa ilter med jämt atal termer (olämplit reläiateckiar Sida 4

5 reläiateckiar Sida 5 r pa- oc bapärrilter), e bilaor, me det blir åot mer komplicerat varr det ite rekommedera. Vi ammaattar beräkie av olika typer av ilter via iver oriertraorm. Sammaattiara äller ilter med dda atal termer. Fr jämt atal termer, e reererade bilaor. Låpailter. [] ( ) ( ) [] c, i i Bilaa 34. Exempel dda atal termer Bilaa 35. Exempel jämt atal termer Bilaa 36. Övria typer av ilter ka kapa eom rekvetrapoeri av låpailter eller via direkt itereri av verriktioe. Vi brjar med de rta metode. Badpa-, pa- oc badpärrilter via rekvetrapoeri Badpailter [] ( ) ( ) [] + LP pb LP BP LP,,,,, co i

6 reläiateckiar Sida 6 pailter [] ( ) ( ) ( )( ) [] LP P LP, i co i,,, Badpärrilter Bilaa 37 Exempel badpailter Bilaa 39 Exempel pailter Bilaa 4 Exempel badpärrilter Bilaa 4 Badpa-, pa- oc badpärrilter ka ockå dimeioera via direkt itereri av verriktioe oc vi ammaattar äve detta. Sammaattie äller åter ie ilter med dda atal termer. [] ( ) ( ) ( ) [] + +, i i

7 reläiateckiar Sida 7 Badpailter [] ( ) ( ) [ ] [] [ ] pb pb, i i pailter [] ( ) [] [ ] pb pb, i Badpärrilter [] ( ) ( ) [ ] [] [ ] + pb, i i

8 Vi å tidiare att våra traveralilter dimeioerade via iver oriertyraorm ar ett aka tort rippel i både pa- oc pärrbad om ite blir midre då vi kar radtalet. Det eda om äder är att ripplet kryper ärmare veråe mella pa- oc pärrbad. Fr att dämpa detta rippel ka vi aväda amma typ av terktioer om vi aväde i ambad med DFT- oc FFT-beräkiar. Vi mi att dea terktioer var ymmetrika på amma ätt om våra dimeioerittryck r iver oriertraorm är ymmetrika (re kaalitetrdrji). Detta r att vi aväder amma idex då vi beräkar terkompoetera om då vi beräkade ilterkoeicietera, dv vi beräkar terktioe w [] oc mltiplicerar iop ilterkotatera [] med terktioe w [] aktor r aktor, dv vi tar [] w[] oc år vårt trade icke-kaala ilter y w [] tk x[ k] w[] k k om vi rdrjer till det kaala iltret y w N k k [] t x[ k] w[] k Firera eda viar exempel på atrade ilterktioer med olika ilterradtal oc olika terktioer. Iv orier,lp,trialärt,/4, pb N Iv orier,db,lp,trialärt,/4, pb N (db) Normerad rekve (relativt ) Fir Normerad rekve (relativt ) Fir 4 reläiateckiar Sida 8

9 . Iv orier,lp,trialärt,/4, pb N Iv orier,db,lp,trialärt,/4, pb N (db) Normerad rekve (relativt ) Fir Normerad rekve (relativt ) Fir 43. Iv orier,lp,bartlett,/4, pb N Iv orier,db,lp,bartlett,/4, pb N (db) Normerad rekve (relativt ) Fir Normerad rekve (relativt ) Fir 45. Iv orier,lp,ai,/4, pb N Iv orier,db,lp,ai,/4, pb N (db) Normerad rekve (relativt ) Fir Normerad rekve (relativt ) Fir 47 reläiateckiar Sida 9

10 . Iv orier,lp,ammi,/4, pb N Iv orier,db,lp,ammi,/4, pb N (db) Normerad rekve (relativt ) Normerad rekve (relativt ) Fir 48 Fir 49. Iv orier,lp,blackma,/4, pb N Iv orier,db,lp,blackma,/4, pb N (db) Normerad rekve (relativt ) Fir Normerad rekve (relativt ) Fir 5. Iv orier,lp,kaier,beta4,/4, pb N Iv orier,db,lp,kaier,beta4,/4, pb N (db) Normerad rekve (relativt ) Normerad rekve (relativt ) Fir 5 Fir 53 reläiateckiar Sida

11 . Iv orier,lp,kaier,beta8,/4, pb N Iv orier,db,lp,kaier,beta8,/4, pb N (db) Normerad rekve (relativt ) Fir Normerad rekve (relativt ) Fir 55 De rda lije i diarammet viar iltret av amma radtal med rektalärt ater (ta ter). Vi er att tret er ett aka dålit reltat då vi ar bara termer. I allmäet br ma aväda ter rt vid re radtal oc vi er att vid termer blir reltatet rätt bra. Om vi jämr de trade ilterktioera ibrde å er de lite olika tjämi i olika delar av rekvepektrat oc applikatioe år avra vilke terktio om är lämpli. Jämr vi det trade iltret med iltret ta ter å jämar alla ter t krva me de r amtidit att veråe mella pabad oc pärrbad blir midre brat (lackare) oc rärekvee blir ite riktit de kade. Vill vi vi a det trade iltret tjämi me å amma bratet om det otarde iltret ar å måte vi aväda ett re radtal på det trade iltret. Exempel trat låpailter, dda radtal Bilaa 4. Exempel trat låpailter, jämt radtal Bilaa 43. Exempel badpailter med aiter, dda radtal Bilaa 44. Exempel pailter med ammiter, dda radtal Bilaa 45. Exempel badpärrilter med Blackmater, dda radtal Bilaa 46. Vi å ova r traveralilter dimeierade via iver oriertraorm av rippel i paoc pärrbad, ett rippel var torlek ite rädrade av iltret radtal me ripplet rkjt ärmare veråe mella pa- oc pärrbad då radtalet kade. Vi klle å e bättre rippelrdeli om vi kde itta e metod r att rdela ripplet jämt ver pabadet oc jämt ver pärrbadet. Dea typ av ilter kalla eqrippleilter oc de met käda beräkimetode kalla Park-cClella metod oc dea byer i i tr på e beräkialoritm ramtae av Remez. Dea dimeioerimetod byer på e aka bevärli optimerimetod om kräver att ma pprepade (iterativt) beräkar ya ilterkotater oc rker å dea att ppylla ilterkrave. Vi kommer ite att å ärmare i på dea beräki, de i att tillå i de leta ilterdimeioeriproram. Vi deiierar iltret eom att ae ett atal kade eekaper, ämlie radtal N rippel i pabadet δ p reläiateckiar Sida

12 rippel i pärrbadet δ pabadet rärekve p pärrbadet rärekve.4. + δ -δ Park-cClella-peciikatio Fir 5. ida 57 Fir 5. ida 59 Aer vi r årda krav å ka vi atrlitvi ite ppylla dea ta år mika på åot krav. Vi er att krave ieåller både e pabadrekve p oc e pärrbadrekve oc dea år ite ammaalla, vi ka ite kapa ett ilter med oädlit abb verå mella de två bade oc j bredare detta veråbad (om vi talar om ett låpailter) är. etode r p amtidit att vi ka å kad pabadrekve, vid dimeioeri via iver oriertraorm med ter ädrade j tret rärekvee, det ker ite är om vi ite ar r årda krav på iltret. Kaier ar aivit e eärli metod r att beräka dvädit ilterradtal pärr pa lo p N 4,6 ( δ δ ) 3 + E åot mera ora beräki ar ivit av errma pa pärr Normerad rekve (relativt ) Fir 56 δ reläiateckiar Sida

13 x lo x lo N ( δ ) ( δ ) ( δ, δ ) [,539 x +,74 x,476] [,66 x +,594 x +,478] ( δ, δ ), +,544( x x ) ( δ, δ ) ( δ, δ ) ( ) x Park-cClella,N5 Park-cClella,N Normerad rekve (relativt ) Normerad rekve (relativt ) Fir 57 Fir 58 Park-cClella,dB,N5 Park-cClella,dB,N (db) -8 - (db) Normerad rekve (relativt ) Normerad rekve (relativt ) Fir 59 Fir 6 reläiateckiar Sida 3

14 Park- cclella,db,n5 Park- cclella,db,n (db). -. (db) Normerad rekve (relativt ) Fir Normerad rekve (relativt ) Fir 6 Bilaa 47 Bilaa 48 Exempel Bilaa 49 Dieretiator E dieretiator är de tiddikreta motvariete till e deriverade kret oc beräkar atieträdrie, dv ltie, o e ial. De eklate variate beräkar killade mella två eterljade ampel, dv y [] x[] x[ ] vilket är ett ekelt, rta ordie pailter med pektrat j ( ) e co( ) + j i ( ) om ar beloppet ( ) [ co( ) ] + i ( ) co( ) + [ co( ) ] i Dieretiator ar reella termer 4 Ideal dieretiator 3.5 E ideal dieretiator kall a ett belopp om är proportioellt mot eterom vi ka 3 derivera ram ltikoeiciete om d d [ i ( ) ] co( ) reläiateckiar Sida Normerad rekve (relativt ) Fir 63

15 Fr må å ar vi ( ) i dv de ekla dieretiator ppyller kemåle me då blir reltatet ämre oc ( ), ir 5.3 ida Reell dieetiator Normerad rekve (relativt ) Fir 64 Vi ka alltid dela pp ett pektra i real- oc imaiärdel ( ) R( ) + j I( ) där realdele repreeterar coiterme i [], dv de är jäm meda imaiärdele repreeterar iterme i [], dv de är dda, vilket är vad e ideal dieretiator kall vara (proportioell mot ), ir 5.3 ida 6. Vi br alltå r kad diertiatorkrva aväda dimeioerie ( ) j I( ) j < < Vi år via iver oriertraorm implvaret j e d j e [] ( ) j d ±, ± 3, ± 5! ±, ± 4, ± 6! Bilaa 5 Trkeri er rippel i rekvepektrat. Vi ka mika ripplet i rekvepektrat med jälp av terktioer, t ex ett aiter reläiateckiar Sida 5

16 4 Imaiär dieretiator,n5 4 Imaiär dieretiator,ai,n Normerad rekve (relativt ) Normerad rekve (relativt ) Fir 65 Fir 66 Nedatåede ir ammaattar de yra dikterade typera av dieretiator 4 Sammaatti dieretiatorer,n5 3.5 Imaiär 3 Imaiär med ter.5 Ideal.5 Reell Normerad rekve (relativt ) Fir 67 reläiateckiar Sida 6