+ + om systemet har M transversalkonstanter

Transkript

1 9 Vi har tidigare ett att polera placerig har törre ivera på frevegåge ä vad olltällea placerig har, vilet gör att reuriva filter är effetivare ä traveralfilter. Vi a därför apa reuriva filter om a geerera liade, doc ite amma, filterurvor om traveralfiltre me med mycet färre filtertermer, vilet gör att vi a omma till rätta med de ova agiva acdelara ho traveralfilter. Traveralfilter och reuriva filter är doc om agt var två ilda filtertyper vilet gör att vi ite a räa med att ua åtadomma exat amma freveurvor i de två falle. ger o ocå möjlighet att realiera filtertyper om ite a realiera med FIR-filter tac vare att vi u ocå har polera ivera att tillgå. De reuriva filtre har ite bara fördelar uta äve ågra acdelar olijär fagåg poler ilda frå origo gör att vi a få ett itabilt ytem, peciellt om ytemet har ort ordlägd å att avrudigfele a bli tora Det fi ädå måga ammahag där vi a acceptera e olijär fagåg och via oggra dimeioerig och imulerig a vi ta häy till avrudigfel och udvia itabilitet. alla ocå Ifiite Ipule Repoe Filter, IIR efterom dom i ormalfallet har impulvar om teoretit aldrig tar lut, dv de fortätter i i oädlig tid. Stabila ytem måte doc ha impulvar om går mot oll då tide växer, vilet i pratie iebär att impulvare ommer att bli oll då tide har gått å lågt att impulvartermera har blivit å må att vi har ått gräe för ytemet beräigupplöig. Det fi doc i pratie fall där detta ite iträffar, feomeet alla limit cycle om uppommer på grud av avrudigfel. Vi ommer ite att behadla detta i dea ur. Ett reurivt ytem beriv av differeevatioe y [ ] t x[ ] t x[ ] K t x[ ( M ) ] r y[ ] K r y ( ) [ ] M N N M t x N [ ] rl y[ l] l om ytemet har M traveralotater och N reuriva otater. Lägg märe till att umma för traveralotatera börjar med idex oll ( ) meda umma för de reuriva otatera börjar med idex ett ( l ). Detta beror aturligtvi på att de förta umma iehåller amplet x [ ] meda y[ ] -terme ite fi med i de adra umma efterom dea term tår på adra ida lihettecet om beräigreultat. x[] τ τ τ t t t t 3 Figur 9. Blocchema, reurivt filter r r r 3 τ τ τ y[] ida 9.

2 Sytemet illutrera av blocchemat i Figur 9.. Vi a överätta dea differeevatio till e överförigfutio ( ) t t r K t K r M N ( ) ( ) K( M ) ( p ) ( p ) K ( p ) M ( M ) ( ) N N M K K N N t l l r l ( ) ( p l ) l Lägg märe till att de reuriva termera har olia tece i differeevatioe och i överförigfutioe, var ma väljer att defiiera otatera om poitiva är e maa. I de ita två uttryce har täljare och ämare omvadlat till e olltälleprodut repetive e polprodut. Överförigfutioe beriv alltå av ett atal poler och olltälle om ommer att bidra till de totala freveurva, till detta ommer förtärigotate K. Exempel på poler och olltälle ivera, Bilaga Dimeioerig med hjälp av pol/olltälleplacerig Låt o börja med att e på metoder för att dimeioera ela reuriva filter med hjälp av pol/olltälleplacerig, dv vi föröer uppå öade egeaper geom att placera ut poler och olltälle på lämpliga tälle i -plaet pol/olltällediagram. Om vi fuderar på poler och olltälle ivera på freveurva å mi vi att poler har mycet raftigare ivera ä vad olltälle har och därför borde vi ha tört möjlighet att tyra freveurva geom att placera våra poler på lämpliga tälle. Ett udatag frå detta är om vi öar utläcig vid ågo freve efterom dea puter ge av våra olltälle. Ett olltälle på ehetcirel ger ju utläcig vid motvarade freve. För att vi all ha ågo rimlig möjlighet att göra ågo avädbar dimeioerig med eel pol/olltälleplacerig å måte vi e till att det är ett fåtal poler och olltälle om iverar på frevepetrat, helt bara e pol och/eller ett olltälle, aar blir iteratioe mella de olia polera och olltällea för tor. Vi vet doc ocå att befier vi o ite på reella f axel, dv vid frevee eller vid frevee å måte alla poler och olltälle föreomma i omplexojugata par för att ge reella otater, dv vill vi ha ivera vid f ågo aa freve ä eller å måte vi blada i mit två poler och/eller olltälle. Kravet på få poler och olltälle gör att vi bara a dimeioera ågra ela filter- typer med dea metod. ida 9.

3 9.. Smala badpafilter Vi mi frå tidigare att verliga freveer motvara av ehetcirel i -plaet och det är avtådet frå poler och olltälle till de put på ehetcirel om motvarar atuell freve om avgör torlee på beloppet vid dea freve. Pute på ehetcirel ge av viel Ω π f f de ormerade vielfrevee. För att få ett pabad å ulle vi ua placera våra olltälle å att avtådet till dea blir å tort om möjligt vid pabadet mittfreve f å att överförigfutioe täljare och därmed hela överförigfutioe ulle få ett maximum vid dea freve. Me då olltällea ivera ite är å raftig å ulle detta ite ge ågot malt pabad. Vi ulle få ett flact filter med gaa dåliga filtrerigegeaper. För att få ett pabad a vi i tället e till att vi har e pol ågota på e radie vid de atuella frevee (viel) å att avtådet till pole blir om mit där och därmed överförigfutioe belopp om tört, Figur 9.. Lägger vi pole ära ehetcirel å får vi tor illad mella beloppet vid dea freve och vid adra freveer och därmed ett malt pabad. Detta får deutom till följd att det häder mycet med beloppet då vi rör o i ett litet freveområde rut mittfrevee. Ett litet vielområde ger alltå e tor avtådädrig, vilet betyder att vi a betrata avtåde till poler och olltälle om ligger lägre bort om i tort ett otata då vi rör o i detta mala område varför vi bara behöver behadla vår etaa pol ära ehetcirel i dimeioerige. ade vi öat tor badbredd på badpafiltret å hade vi varit tvuga att röra o i ett törre freveområde och då hade vi ite uat betrata avtåde till de adra polera och olltällea om otata. Vi a doc otatera att det måte fia mit e pol till efterom vi vill apa ett badpafilter och de atuella viel ligger då ite på de reella axel i -plaet och då måte de atuella pole ha e omplexojugerad pol för att ge reella otater i differeevatioe. Ligger de atuella pole ära ehetcirel å a vi doc betrata avtådet till pole omplexojugat om otat då vi rör o i ett litet freveområde rut mittfrevee. Mer ä två poler är doc om agt var i detta fall ite övärt efterom flera poler då ulle ivera på freveurva vilet ulle förvåra dimeioerige. Vi har deutom tidigare ett att vi bör ha lia måga olltälle om poler för att få ett aualt ytem uta oödig fördröjig, dv vi bör äve ha två ida 9.3 r r r Ω Ω Ω Figur 9. Pol vid viel Ω på radie r Figur 9.3 Smalt badpafilter, pol/olltällediagram Dubbelt olltälle

4 tyce olltälle. För att dea ite all påvera frevegåge å a vi placera olltällea i origo, Figur 9.3. Vi a tillämpa motvarade reoemag för att dimeioera låg- och högpafilter med lite badbredd me då räcer det med e eda pol ära ehetcirel på reella axel, dv ära repetive oxh därmed ocå bara ett oltälle i origo. Vi får alltå ett malt pabad geom att lägga e pol ära ehetcirel vid atuell freve (viel) och deutom e pol om är de förta pole omplexojugat (om det behöv för att få reella otater). Kompletterig med två olltälle i origo ger ett aualt ytem uta extra fördröjig uta att olltällea ommer att påvera beloppurva, dera avtåd till ehetcirel är ju alltid ett () oberoede av freve (viel). Vi iför filtret mittfreve f om ger viel till pole om Ω π f f Låt o detaljtudera området ära ehetcirel vid de atuella viel. I Figur 9. iför vi d om avtådet till pole vid viel Ω. Gräfrevee defiiera om de put där beloppet har juit till av beloppet vid mittfrevee f. Efterom avtådet till pole är det eda avtåd om förädra marat då vi rör o i ett litet itervall rut Ω å betyder detta att vid de vilar Ω u och Ω ö om motvarar udre gräfrevee f u repetive övre gräfrevee f ö å måte avtådet till pole vara gåger å lågt om avtådet är vid mittfrevee, dv avtådet måte vara d. Vi er i figure att vi får e libet rätvilig triagel om vi approximerar de orta bite av ehetcirel mella f u och f med e rät lije, vilet vi a tillåta o om badbredde, och därmed viel mella Ω u repetive Ω ö och Ω, är lite. Dea orta bit av ehetcirel motvarar halva badbredde och efterom hela ehetcirel har omrete π och detta motvarar ampligfrevee f å får vi f d d f u d r-d Figur 9. Detaljbild av pol/olltällediagram vid filtret mittfreve d B π f Ω B där Ω B π B f Vi får pole radie ida 9.

5 r Ω d B Vårt mala badpafilter får alltå överförigfutioe ( ) ( ) ( ) A A Ω j Ω j Ω j Ω j ( r e ) ( r e ) r ( e e ) r A r co ( Ω ) r r co( Ω ) r A Vi mi frå tidigare att pol/olltälleplacerige ger e överförigfutio om bara ger det relativa förhålladet mella uppföradet vid olia freveer. Vi har därför ifört förtärigotate A för att få öad förtärig. Vi a ie att det orta avtådet till pole vid filtret mittfreve ommer att ge e lite ämare vid dea viel och pabadförtärige ommer att bli tor om vi ite dämpar de med hjälp av förtärigotate A, Figur 9.5. Vi får alltå i de fleta fall välja e förtärigotat om är midre ä ett (). Ju malare filtret badbredd är, deto mer öar förtärige om vi all dämpa, dv deto midre måte förtärigotate vara. Ofta är pabadförtärig ett () övärd och för att ua orrigera pabadförtärige till detta värde å får vi betämma förtärige vid badet mittfreve f och orrigera med de iver. Vi får Smalt badpafilter Figur 9.5 Smalt badpafilter, frevepetra, belopp, lijär ala A j Ω j Ω ( Ω ) j Ω ( e ) j Ω j Ω ( e ) r e co( Ω ) r e r e co ( Ω ) r [ co( Ω ) r co ( Ω ) r ] [ i( Ω ) i( Ω ) ( Ω )] r co Till lut får vi differeevatioe y [ ] A x[ ] r co( Ω ) y[ ] r y[ ] ida 9.5

6 Lägg märe till att dimeioerige blir midre exat om vi vill ha ett pabad ära, f me ite vid, freveera eller efterom de omplexojugerade pole då ligger ära de pol vi dimeioerar för och vi a ite påtå att avtådet till de omplexojugerade pole är otat då vi rör o e lite viel rut Ω. Exempel, Bilaga Smala badpafilter med utläcig vid DC och halva ampligfrevee Vi åg ova att det mala badpafiltret gav ett malt pabad meda beloppurva plaade ut mot låga ivåer vid frevee och vid f. Det a ofta vara övärt att få utläcig vid dea freveer. Vi a utgå frå frå ovatåede härledig och uppår detta geom att flytta de två olltälle frå origo till de puter på ehetcirel om motvarar dea freveer för att där ge utläcig, dv till repetive, Figur 9.6. Vi får r r ( ) ( ) [ ( ) ] A Ω ( ) ( ) j Ω j r e r e A r co r ( Ω ) Figur 9.6 Smalt badpafilter med utläcig vid och vid f, pol/olltällediagram A r co ( Ω ) r 3 5 Smalt badpafilter med utläcig Som ger belopppetrat i Figur Figur 9.7 Smalt badpafilter med ut- Pabadförtärig ett () ger här läcig vid och vid, belopppetra, lijär ala f ida 9.6

7 j Ω j e r e A j e Ω ( Ω ) j Ω ( e ) j Ω j Ω ( e ) r e co( Ω ) r Ω co ( Ω ) r [ co( Ω ) r co ( Ω ) r ] [ i( Ω ) r i( Ω ) co( Ω )] [ co( Ω ) ] i ( Ω ) [ co( Ω ) r co ( Ω ) r ] [ i( Ω ) r i( Ω ) co( Ω )] co( Ω ) är blir det äu tydligare att dimeioerige fugerar dåligt ära och ära efterom vi ite heller a påtå att avtåde till olltällea är otata i dea regioer. Vi får differeevatioe y [ ] A{ x[ ] x[ ] } r co( Ω ) y[ ] r y[ ] Exempel, Bilaga Smala badpärrfilter (otchfilter) E mal otch iebär att vi all ha ett filter om läpper igeom alla freveer lia bra, ofta pabadförtärig ett (), utom i ett malt område där vi all få raftig dämpig och vid detta område mittfreve all vi ha utläcig. E mal otch låter ju om motate till malt badpafilter och vi all e att vi a reoera ugefär om ova. Vi får utläcig vid mittfrevee f geom att lägga ett olltälle på ehetcirel vid motvarade viel Ω. f Ω π f f För att få reella termer i deiffereevatioe får vi deutom ta med oltället omplexojugat (om vi ite befier o på reella axel). För att läppa igeom adra freveer lia bra å måte vi e till att för dea freveer är avtådet till igåede poler och olltälle ugefär otata eller ocå all de förädra lia mycet. Sall vi ha e mal otch å a vi i området rut olltället betrata avtådet till olltället ojugat om otat. Vi ulle ua få otata avtåd till polera geom att placera dom i origo, Figur 9.8, me då ulle de ite ivera på beloppurva och efterom vi då bara ulle ha olltäl- ida 9.7

8 le om iverar på beloppurva å ulle vi ite få e arp otch, olltälle ger ju ite å raftig ivera på beloppurva, e Figur 9.9. Nolltälle på ehetcirel 3.5 Dubbel pol Ω r 3.5 Ω r.5.5 Figur 9.8 Nolltälle på ehetcirel, pol/olltällediagram Figur 9.9 Nolltälle på ehetcirel, belopppetra, lijär ala I Figur 9.9 ommer ig beloppurva oymmetri av att de atuella viel ite ligger f vid. Låt o i tället föröa att få avtåde till polera och olltällea att ädra ugefär lia mycet för alla freveer då vi förflyttar o utefter ehetcirel, utom då för freveer om ligger ära f. Vi a ie att om vi lägger e pol ära det tidigare placerade olltället på ehetcirel å uppfyller vi detta, för tabilitet å måte pole ligga iaför ehetcirel och för att få ymmetri ivera rut otche mittfreve å placerar vi pole på amma radie om olltället, dv vid amma viel Ω me alltå e bit iaför ehetcirel, Figur 9.. Avtådet till pole och olltället blir ugefär lia tort för alla freveer utom för freveer ära f där avtådet till olltället går mot oll meda avtådet till pole är törre ä oll. Samtidigt blir avtådet till pole och olltället omplexojugat alltid ugefär lia tora efterom de ligger relativt lågt borta och ära varadra och det gäller vid alla freveer, äve f. Att e pol och ett olltälle hela tide, utom ära f uppväger varadra iebär att vi får e pabadförtärig på ugefär ett () uta att orrigera förtärige. Defiitioe av badbredd är ugefär liada om för badpafilter, förtärige vid badgräe all vara av vad de är i pabadet. är a vi uppfatta freveer lågt frå otche om pabad. Detta betyder här att vid badgräe all avtådet till pole vara gåger å lågt om avtådet till olltället. Ω Ω Figur 9. Notchfilter, pol/olltällediagram r r ida 9.8

9 Låt o detaljtudera området ära pol/olltälleparet, Figur 9.. Vi får amma libeta, rätviliga triagel om i badpafallet och amma reoemag ger d B π f Ω B r-d d d r Ω d B d Figur 9. Detaljbild av pol/olltällediagram vid filtret otchfreve Vi får alltå överförigfutioe j Ω j Ω ( ) ( e ) ( e ) A j Ω j Ω ( r e ) ( r e ) jω j Ω ( e e ) jω j ( e e ) A r Ω r co A r co ( Ω ) ( Ω ) r A r co co ( Ω ) ( Ω ) r om ger belopppetrat i Figur 9.. Notchfilter Figur 9. Notchfilter, belopppetra, lijär ala Defiitioe på pabad är i detta fall lite diffu me vi a e vile förtärig vi får vid och vid f ( ) ( ) co A r co ( Ω ) ( Ω ) r co A r co ( Ω ) ( Ω ) r ida 9.9

10 ( ) ( ) co( Ω ) ( ) r ( ) co( Ω ) ( Ω ) ( Ω ) f co ( ) A A co r r r I båda uttryce blir bråe ugefär lia med ett () och vi gör må fel om vi atar att A ger pabadförtärige ett (). Vi får differeevatioe y [ ] A{ x[ ] co( Ω ) x[ ] x[ ] } r co( Ω ) y[ ] r y[ ] Exempel, Bilaga Reuriva amfilter Vi mi frå Kapitel 8 Traverella filter hur vi ude apa traverella amfilter om gav utläcigar vid ett atal jämt fördelade freveer geom att placera olltälle på ehetcirel. Låt o e om vi a göra ågot liade med hjälp av poler. Vi ämde i Kapitel 8 Traverella filter att de traverella amfiltre hade gaa peciella freveegeaper om gör att dom ite har å tor prati avädig. Det amma gäller de reuriva amfiltre, me återige har vi filtertyper om är lätta att tola och om a vara lämpliga att ileda med. Låt o på motvarade ätt om med olltällea placera ett atal poler vid jämt fördelade freveer, dv vid jämt fördelade vilar. För tabilitet måte vi placera polera iaför och ite på ehetcirel, låt o placera dom på radie r <. Vi elimierar till att börja med olltällea ivera geom att placera dea i origo. Vi har på amma ätt om för traverella amfilter två olia typer av reuriva amfilter Typ Ovatåede reoemag ger tillamma med öemålet om aualitet och miimal fördröjig överförigfutioe ( ) A r A r e π ( ) j A r dv polera ligger på radie r och vid vilara π ( ),, L,, Figur 9.3 ida 9.

11 Reurivt amtilter typ I, r.9 N8.8 Åtta olltälle Figur 9.3 Reurivt amfilter typ I, 8, r,9, pol/olltällediagram Figur 9. Reurivt amfilter typ I, 8, r,9, belopppetra, lijär ala Liom för de mala badpafiltre får vi pabadförtärig törre ä ett () om vi ite orrigerar dea geom förtärigotate A, Figur 9.. Geom att flytta polera ärmare ehetcirel å a vi få malare och högre toppar, Figur För att få ett tabilt ytem å måte vi doc e till att polera ligger iaför ehetcirel. Reurivt amtilter typ I, r.99 N8 Åtta olltälle 8 6 Figur 9.5 Reurivt amfilter typ I, 8, r,99, pol/olltällediagram Figur 9.6 Reurivt amfilter typ I, 8, r,99, belopppeta, lijär ala Vi er att beloppurva ite är peciellt jäm. Vi får differeevatioe y [ ] A x[ ] r [ ] y ida 9.

12 Vi er att vi får e erie med tyce malare toppar till illad mot motvarade traverella amfilter där e erie olltälle gav lia måga utläcigar eller dippar beroede på otate t : värde. Vårt reuriva filter a vara lämpligt för att filtrera fram e igal grudto med övertoer, övertoer ligger alltid vid heltalmultiplar av grudtoe freve. Vi får doc bara med dom udda övertoera (3, 5, 7 etc gåger grudfrevee). Exempel, Bilaga Typ är byter vi tece i differeevatioe y [ ] A x[ ] r [ ] y och får överförigfutioe ( ) A r A r A r e π j dv vi har poler på radie r vid vilara π,, L,, Figur Reurivt amtilter typ II, r.9 N8 Åtta olltälle Figur 9.7 Reurivt amfilter typ II, 8, r,9, pol/olltällediagram Figur 9.8 Reurivt amfilter typ II, 8, r,9, belopppetra, lijär ala Exempel, Bilaga 9.5 Filtret avädigområde a vara amma om för filter av typ me här får vi med alla övertoer (, 3, etc gåger grudfrevee) amt lipäigompoete. ida 9.

13 9..5 Reurivt amfilter med utläcig mella ammara Vi a på liade ätt om för mala badpafilter med utläcig vid DC och vid förtära ovatåede filter badpaaratär geom att placera olltälle på ehetcirel vid de freveer om ligger mitt emella de freveer där vi har poler. Vi har äve här två typer och a utyttja tidigare uaper om traverella och reuriva amfilter Typ f ( ) A r A e r e π j π ( ) j A r dv vi har poler vid vilara π ( ),, L,, och olltälle vid vilara π,, L,, Figur Reurivt amtilter med utläcig typ I, r.9 N Figur 9.9 Reurivt amfilter med olltälle typ I, 8, r,9, pol/olltällediagram Figur 9. Reurivt amfilter med olltälle typ I, 8, r,9, belopppetra, lijär ala ida 9.3

14 Vi har differeevatioe y [] A{ x[] x[ ]} r [ ] y o Typ Vi byter tece i täljare och ämare i typ : överförigfutioe ( ) A r A e r e π ( ) j π j A r Nu får vi poler vid vilara π,, L,, och olltälle vid vilara π ( ),, L,, Figur 9. - Reurivt amtilter med utläcig typ II, r.9 N Figur 9. Reurivt amfilter med olltälle typ II, 8, r,9, pol/olltällediagram Figur 9. Reurivt amfilter med olltälle typ II, 8, r,9, belopppetra, lijär ala Differeevatioe blir y [] A{ x[] x[ ]} r y[ ] ida 9.

15 Exempel, Bilaga Reuriva amfilter med otchar Vi åg ova att de reuriva amfiltre har egeaper om är arlia egeapera ho det tidigare mala badpafiltret. Vi a med amma reoemag om för det tidigare otchfiltret apa amfilter om ger otchar vid jämt fördelade freveer geom att placera olltälle på ehetcirel vid motvarade vilar och placera poler vid amma vilar me trax iaför ehetcirel. Äve här får vi två typer Typ ( ) A r A e r e π ( ) j π ( ) j A r Vi har alltå poler och olltälle vid vilara π ( ),, L,, Figur Reurivt amtilter med otch typ I, r.9 N8.5.5 Figur 9.3 Reurivt amfilter med otchar typ I, 8, r,9, pol/olltällediagram Figur 9. Reurivt amfilter med otchar typ I, 8, r,9, belopppetra, lijär ala Vi har då ett filter om a aväda för att filtrera bort e törade igal med övertoer om ocå är törade uta att för de ull påvera det övriga frevepetrat peciellt mycet. Obervera åter att vi bara får med dom udda övertoera (3, 5, 7 etc gåger grudfrevee). Vi har differeevatioe ida 9.5

16 y [] A{ x[] x[ ]} r y[ ] På amma ätt om vid otchfiltre ommer pabadförtärige att bli ugefär ett () om vi väljer A. Geom att flytta polera ärmare ehetcirel ommer vi att å malare otchar och plaare pabad däremella, Figur Reurivt amtilter med otch typ I, r.99 N8.5.5 Figur 9.5 Reurivt amfilter med otchar typ I, 8, r,99, pol/olltällediagram Figur 9.6 Reurivt amfilter med otchar typ I, 8, r,99, belopppetra, lijär ala Typ Vi byter tece i överförigfutioe ( ) A A A π r e r e π j j dv vi har poler och olltälle vid vilara r π,, L,, Figur ida 9.6

17 Reurivt amtilter med otch typ II, r.9 N8.5.5 Figur 9.7 Reurivt amfilter med otchar typ II, 8, r,9, pol/olltällediagram Figur 9.8 Reurivt amfilter med otchar typ II, 8, r,9, belopppetra, lijär ala Differeevatioe blir y [] A{ x[] x[ ]} r y[ ] Filtret har amma egeaper om vi a e ho typ me aturligtvi vid adra freveer vilet gör att filtret a aväda för att filtrera fram e grudto och alla de övertoer, amt lipäigompoete. Exempel, Bilaga Freveamplade reuriva filter De filter vi dimeioerar med hjälp av de metod vi u all tudera alla för freveamplade filter efterom metode går ut på att dela i freveitervallet i ett atal mala delar (bad) och eda bygga upp filtret av delompoeter (taplar) i de olia itervalle. De olia itervalle mittfreveer a e om e amplig av frevepetrat på liade ätt om för freveamplade traverella filter, Figur 9.9. Dimeioerigmetode här är doc e helt aa. Låt o e på ett medelvärdebildade filter, me vi borter frå fator har. Vi N Butterworthfilter,LP,6,f,5 f Figur 9.9 I freveplaet amplat Butter- f worthfilter, lågpa, 6, f g, N 3, belopppetra, lijär ala ida 9.7

18 y N [ ] x[ ] vilet gav överförigfutioe i -plaet N N ( ) N om ger N poler i origo och olltälle vid π, L, N, N N Figur Medelvärdebildade filter, N8 8 7 Sju poler Figur 9.3 Medelvärdebildade filter N 8, pol/olltällediagram Figur 9.3 Medelvärdebildade filter N 8, belopppetra, lijär ala Vi er att filtret har e mal topp vid frevee ert och a vi fia ågo metod för att flytta dea topp i freve å ulle vi ua ombiera ett atal parallella läar med toppar vid olia freveer och få ett filter om totalt ett läpper igeom igaler vid alla dea toppar. Vi ulle totalt ua få e freveurva om vi modellerar fram frå de olia toppara och toppara a ge olia höjd geom att vi lägger i olia tora förtärigotater i de olia bade. Låt o ocå erira o hur ett traverellt amfilter åg ut. Vi hade två typer varav de ea (typ ) hade differeevatioe y [ ] x[ ] x[ ] om i -plaet hade överförigfutioe ( ) ida 9.8

19 vilet ger poler i origo och olltälle på ehetcirel vid vilara π,, L,, Figur Kamfilter, N8.8.6 Åtta poler Figur 9.3 Traverellt amfiiter, 8, pol/olltällediagram Figur 9.33 Traverellt amfiiter, 8, belopppetra, lijär ala Vi er att det traverella amfiltret och det medelvärdebildade filtret har amma pol/olltällediagram förutom att det medelvärdebildade filtret aar ett olltälle vid och motvarade pol i origo. Låt o e vad om häder om vi ompletterar det medelvärdebildade filtret med ett olltälle i och e pol i origo. Vi väljer figurera exempel med N ' 7 ( ) Kompletterar vi det medelvärdebildade filtret med ett olltälle i och e pol i origo å får vi alltå ett amfilter med motvarade olltälleplacerigar. Vi a väda på reoemaget och i tället äga att vi får det medelvärdebildade filtret om vi a elimiera amfiltret olltälle i och e pol i origo. Lyca vi med detta å ulle vi ua aväda amma metod för att elimiera ågot aat olltälle i tället och därmed få e topp om ligger vid ågo aa freve ä och vi börjar ärma o de efterträvade futioe. Vi a elimiera pole i origo geom att omplettera med ett olltälle i amma put och vi a elimiera olltället i geom att placera e pol i amma put, Figur 9.3. De om har hägt med hittill i ompediet bör u protetera mot att vi lägger e pol i, dv på ehetcirel. Det a vi väl ite göra? Det ulle ju ge ett itabilt ytem. ida 9.9

20 Jo, vi a tilllåta o detta i det här fallet efterom vi har ett olltälle i amma put om läcer ut pole ivera. Åtta poler Ett olltälle Figur 9.3 Elimierig av olltälle i, pol/oltällediagram Vi får alltå '' ( ) ( ) Vi a få amma a med ett aat reoemag '' ( ) { Geometri erie} ( ) ( ) ( ) Vi har alltå lycat elimiera ett olltälle vid och e pol i origo. ur elimierar vi u ågot aat pol/olltällepar? Efterom alla poler ligger i origo å är tillvägagågättet i alla fall att elimiera pole geom att placera ett olltälle i origo. Nolltället elimierar vi på amma ätt om ova me de put vi u all elimiera ommer att ligga på ehetcirel och vid viel Ω π, L,, Detta ommer u då att vara omplexa olltälle (om ite viel är π ) och vi måte elimiera båda de omplexojugata olltällea om vi all få reella otater. Vi får alltå elimiera olltälle vid vilara ± Ω med poler i amma puter på ehetcirel och måte då aturligtvi deutom aväda två olltälle i origo för att elimiera motvarade poler. Module med ett polpar på ehetcirel och två olltälle i origo, Figur Två olltälle Figur 9.35 Reoator, pol/olltällediagram ida 9.

21 ( ) ( ) ( ) j Ω j Ω e e j Ω j Ω ( e e ) co( Ω ) alla för e reoator (reoaret) med reoa vid frevee f om liom tidigare ge av Ω π f f Vi får alltå för ombiatioe amfilter och reoator Figur ( ) ( ) ( ) am reoator Åtta poler co ( Ω ) Två olltälle [ co( Ω ) ] Figur 9.36 Kamfilter med elimierade olltälle vid vilara ± Ω,, pol/olltällediagram om ger belopppetrat i Figur Kamfilter med elimierade olltälle, N Figur 9.37 Kamfilter med elimierade olltälle vid vilara ± Ω,, belopppetra, lijär ala ida 9.

22 Vi a ie att vi a utyttja amma reoemag om vi utgår frå de adra amfiltervariate (typ ) y [ ] x[ ] x[ ] om i -plaet har överförigfutioe ( ) och vi får då elimiera olltälle på ehetcirel vid vilara Ω π ( ), L,, Figur Åtta poler Två olltälle Kamfilter med elimierade olltälle, N8 Figur 9.38 Kamfilter med elimierade olltälle vid vilara ± Ω,, pol/olltällediagram Figur 9.39 Kamfilter med elimierade olltälle vid vilara ± Ω,, belopppetra, lijär ala Figurera eda, Figur viar ett amfilter med e diret igal adderad till e fördröjd igal med och reultatet då vi elimierar olltället vid. ida 9.

23 Kamfilter, N.8 poler Figur 9. Kamfilter,, pol/olltällediagram Figur 9. Kamfilter,, belopppetra, lijär ala 6 Kamfilter med elimierade olltälle, N poler Två olltälle 8 6 Figur 9. Kamfilter och reoator vid olltälle, pol/olltällediagram Figur 9.3 Kamfilter och reoator vid olltälle, belopppetra, lijär ala Om vi ritar upp filterurvora för de två filter om elimierar olltälle repetive 5 i amma diagram å får vi Figur 9.5. Sillade i höjd på de två toppara beror på de ilda avtåde till ert. ida 9.3

24 6 Kamfilter med elimierade olltälle, N poler Fyra olltälle Figur 9. Kamfilter och reoatorer vid olltälle och 5, pol/olltällediagram Figur 9.5 Kamfilter och reoator vid olltälle repetive 5, belopppetra, lijär ala Om vi u adderar ihop dea reultat frå ett filter om elimierar olltället vid och ett filter om elimierar olltället vid 5 å borde dea amvera å att dale mella de två urvora fyll ut. Figur 9.6 viar reultatet om vi adderar de två beloppurvora i Figur Kamfilter med elimierade olltälle, N Figur 9.6 Kamfilter och reoatorer vid olltälle och 5, förvätat belopppetra, lijär ala ida 9.

25 Sapar vi u ett filter efter dea idéer å blir de reulterade beloppurva eligt vidtåede figur, Figur 9.7. Vi får alltå ite all de vädade utfyllade uta i tället e djup dal. Vi måte ha miat ågot Kamfilter med elimierade olltälle, N Figur 9.7 Verligt amfilter och reoatorer vid olltälle och 5, verligt belopppetra, lijär ala Vi har glömt att täa på de två filtre fagåg och a väl mitäa att dea täller till det för för o. Om vi tuderar fagåge ho jälva amfiltret å har vi Figur 9.8. Faviel (relativt pi) Kamfilter, N Figur 9.8 Kamfilter, fapetra ida 9.5

26 Om vi tuderar fae ho det filter om elimierar olltället för å får vi vidtåede figur, Figur 9.9, där de trecade lije marerar frevee för det elimierade olltället. Som ye har vi e övergåg frå poitiv till egativ favridig vid det elimierade olltället. Vi går er till N och tar bort olltället vid för att e lite tydligare vad om häder, Figur Faviel (relativt pi) Kamfilter, N Figur 9.9 Kamfilter och reoator vid olltälle, fapetra.5 Kamfilter, N Kamfilter, N Faviel (relativt pi) Faviel (relativt pi) Figur 9.5 Kamfilter,, fapetra Figur 9.5 Kamfilter och reoator vid olltälle, belopppetra, lijär ala I Figur 9.5 marerar de trecade lije åter det elimierade olltället. ida 9.6

27 Vi er på faurvora för de två filter om tar bort olltället vid och olltället vid 3 i amma diagram, Figur 9.5. De trecade lije ligger u mitt emella de två elimierade olltällea. Vi er att de två faurvora ligger i motfa i området mella de två toppara om vi vill fylla ut. De två freveurvora (belopp) ommer då att mer eller midre läca ut varadra då de ummera. Faviel (relativt pi) Kamfilter, N Figur 9.5 Kamfilter och reoator vid olltälle repetive 3, fapetra Vi lägger dom i fa i detta freveområde geom att byta tece ho det ea filtret ( 3), Figur Kamfilter, N Faviel (relativt pi) Figur 9.53 Kamfilter och reoator vid olltälle repetive 3 med teceorretio på filtret med 3, fapetra ida 9.7

28 Går vi tillbaa till att tudera beloppurva för filtret med N och tar miutece på filtret om elimierar olltället vid 3 meda vi behåller poitivt tece ho filtret om tar bort olltället vid å får vi beloppurva i Figur 9.5. Som ye får vi u amvera mella urvora. Vi återgår till fallet med och termera och 5, Figur Kamfilter, N Figur 9.5 Kamfilter och reoator vid olltälle repetive 3 med teceorretio på filtret med 3, belopppetra, lijär ala Kamfilter, N 8 poler Fyra olltälle Figur 9.55 Kamfilter och reoatorer vid olltälle och 5, pol/olltällediagram Figur 9.56 Kamfilter och reoatorer vid olltälle och 5 då reoator vid 5 är teceorrigerad, belopppetra, lijär ala Som ye ger äve detta fall u ett bättre reultat me ite amma reultat om då vi adderade beloppe i Figur 9.6, fae pelar fortfarade i. I edatåede figurer, Figur är olltällea, 5 och 6 elimierade. Vi har då poitivt tece på filtre för olltälle och 6 och egativt tece för filtret för olltälle 5 för att få amvera i övergåge mella det förta och adra repetive mella det adra och tredje filtret. ida 9.8

29 Kamfilter, N poler Sex olltälle 8 6 Figur 9.57 Kamfilter och reoatorer vid olltälle, 5 och 6, pol/olltällediagram Figur 9.58 Kamfilter och reoatorer vid olltälle, 5 och 6 då reoator vid 5 är teceorrigerad, belopppetra, lijär ala Som ye får vi iföra orretioer ho de eilda ompoetera om vi vill ha flat frevegåg i pabadet. Deutom får vi e pabadförtärig om blir rätt tor å äve dea får orrigera. Det a tyca om om vi ulle ua ha ett eda amfilter följt av ett atal parallella reoatorer för att realiera det totala filtret, Figur Täer vi efter å ier vi doc att det eda amfiltret ulle dämpa ut igale vid de öade freveera och då hjälper det ite att vi efteråt iför e reoator med oädlig förtärig vid de öade frevee. ar vi e gåg dämpat ut igale å är de borta. Omväd ordig, att placera reoatorera före ett x[] Kamfilter Reoator -A Reoator A Reoator -A 3 Reoator 3 gemeamt amfilter ulle ite heller fugera då reoatorera ulle botta ytemet. Vi måte alltå låta både amfilter och reoator itegrera i ett eda filter i varje parallell lä, Figur 9.6. Vi bygger alltå upp vårt totala filter om ett atal parallellopplade läar var och e betåede av ett amfilter och e reoator där olia grear läcer ut olia olltälle. Deutom lägger vi i förtärigotater i de parallella greara för att ua apaa urva bättre. Om vi fullföljer reoemaget ova å ger faförhålladea mella de olia läara att vi måte ha omväxlade tece på de olia läara. A Figur 9.59 Kamfilter följt av parallellopplade reoatorer, blocchema y[] ida 9.9

30 Vila är u våra dimeioerigriterier. Vi utgår frå e öad freveurva, Figur 9.6, och repreeterar dea med hjälp av ett atal taplar vila all bli de parallella filterläara i vårt freveamplade filter. Noggrahete i dea berivig, dv hur tätt taplara ligger avgör atalet olltälle ho amfiltret och därmed de fördröjig. Vi har x[] A Filterlä -A Filterlä A Filterlä -A 3 Filterlä 3 y[] f f f Om vi all välja plu eller miutece i vårt amfilter avgör av var vi vill ha de frevetaplar om vi aväder i dimeioerige. Miutece ger frevetaplar vid meda plutece f ger frevetaplar vid (,5) f Figur 9.6 Freveamplade filter, blocchema.8.6 Butterworthfilter,LP,6,f,5 f Figur 9.6 I freveplaet amplat Butterworthfilter, lågpa, 6, belopppetra, lijär ala f f g, Som avlutig på detta avitt viar vi i Figur 9.6 ett filter med där olltällea har elimierat. Vi har alfator ett () på termera 6 och alfator,5 på termera 7. Som ye blir ite beloppurva å bra uta det räv gaa mycet apaig av aligotatera för att orrigera beloppurva. Detta är iget om vi gör mauellt uta det räver e iterativ apaigruti i dator. Exempel, Bilaga 9.8 ida 9.3

31 9 8 7 Kamfilter med elimierade olltälle, N Figur 9.6 Freveamplade filter,,, A, A A ala 7 A 6,5, belopppetra, lijär 9. Tidotiuerlig-tiddiret avbildig Vi har ett hur vi med hjälp av polera och olltällea placerig i -plaet a dimeioera reuriva filter. Flera av de filtertyper vi har ett på hittill har doc varit gaa peciella (mala badpafilter, otchfilter amt amfilter) filtertyper om ite är avädbara om vi vill dimeioera filter med adra, mer valiga freveegeaper om lågpa-, högpafilter till exempel. För dea typer av filter a vi aväda de freveamplade filtre, me dea är doc om vi ett gaa våra att dimeioera efterom de olia frevetaplara påverar varadra och förädrig av e frevetapel ommer att ivera äve på adra taplar. Vi all u gå över till att tudera metoder för att överätta tidotiuerliga filter egeaper till de tiddireta världe. De förta metode, bilijär traform, aväd för att överätta e överförigfutio i det tidotiuerliga laplaceplaet till det tiddireta -plaet meda de adra metode, impulivariat avbildig, överätter ett tidotiuerligt impulvar till i tiddireta motvarighet. Det a ofta fia aledig att efterlia valiga tidotiuerliga filter om Butterworth-, Tjebytjev- och Beelfilter med hjälp av avbildigar i de tiddireta världe. Dea filtertyper är ju väl beprövade och vi äer dera egeaper väl. Vi har i de tidotiuerliga världe ret allmät överförigfutioe () K ( ) ( ) K ( p ) ( p )K Obervera att a och p b här är olltälle och poler i -plaet och ite i -plaet, dv det är ite amma olltälle och poler om vi ett på tidigare. ida 9.3

32 E metod om föröer åtadomma dea överättig frå Laplace- till -plaet är de bilijära traforme. 9.. Bilijär traform Efterom geomgåge av de bilijära traforme är ort å a ma förleda att tro att dea metod ite är å vitig, det är doc arare å att de är mycet vitig. De är e av de effetivate metodera för att överätta egeapera ho aaloga filter till ia tiddireta morvarigheter, ågot om ofta är efterträvavärt. Själva metode är doc eel och räver ige lägre geomgåg. Det vitiga är i tället hur metode tillämpa och det viar vi med exempel i tillhörade bilagor. Vi får i -plaet freveurva geom att låta j ω, dv vi betratar de imagiära axel i plaet, på amma ätt om vi i -plaet tuderar ehetcirel e j då vi betratar Ω verliga freveer. För att överätta frå det tidotiuerliga filtret i -plaet till det tiddireta filtret i -plaet måte vi alltå avbilda de imagiära axel i -plaet på ehetcirel i -plaet. Vi a omedelbart ie att avbildige ite a bli exat efterom e avbildig av e axel, e lije med e oädlig utträcig på e cirel med ädlig lägd ite är möjlig, me det är ju ocå vätat efterom vi vet att vi i de tiddireta världe f ommer att få peglig ovaför och ett upprepade, cylit förlopp meda imagiäraxel i -plaet ger ett ice-upprepade förlopp. För att uppfylla våra öemål all vi avbilda de poitiva imagiära axel ω < i -plaet på de poitiva halva av ehetcirel Ω < π i -plaet, amtidigt måte de egativa imagiära axel i - plaet avbilda på de egativa dele av ehetcirel i -plaet om motvarar π Ω <, vilet via peglig motvarar itervallet π Ω < π. Som vi ämt ova är detta ite möjligt att göra för alla freveer me vi all öa e metod om fugerar i de fleta fall. Vi måte alltå hitta ågo form av futio (överättig) om omtolar ω i -plaet till Ω i -plaet. Låt o betrata futioe F ( ) på ehetcirel, dv de frevepetra då F e e j Ω Ω j e Ω e j Ω j i Ω co Ω ( Ω) j ta j Ω e e Ω j e Ω j Ω j e e Ω j Ω j Då Ω varierar i itervallet Ω < π F Ω att variera i itervallet F <. Vi har alltå de ritiga gräera på itervalle me vi er ur Figur 9.63 att väge däremella ite är å lijär. För låga freveer är mappige gaa lijär me då Ω ärmar ig π å blir avviele frå de räta lije allt törre. å ommer ( ) ida 9.3

33 Metode är doc lart avädbar om vi är föritiga med dimeioerigar för gräfreveer och liade i itervallet ära f ära om ju motvarar viel Ω π. ta(omega/) Tage för Omega/ Viel (relativt pi) Ω Figur 9.63 ta, belopppetra, lijär ala Vår traformatio går u ut på att amtidigt göra två amtidiga traformerigar (mappigar) j ω ω Ω ta De förta mappige gör för att överätta vielfrevevariabel j ω i -plaet till viel j Ω i -plaet, dv vi traformerar imagiäraxel i -plaet till ehetcirel i - plaet. De adra mappige överätter freveotater, brytfreveer, t ex gräfreveer i överförigfutioe, till -plaet, dv vi placerar dea freveer på rätt tälle på ehetcirel i -plaet. Det är vitigt att betoa att båda övergågara måte utföra, dv de ea traformerige får ite göra uta att de adra traformerige ocå gör. Metodie illutrera bät via exempel och det er i Bilaga Impulivariat avbildig I det föregåede viade vi att vi med hjälp av bilijär traform ude avbilda ett tidotiuerligt ytem överförigfutio ( ) i -plaet på de tiddireta överförigfutioe ( ) i -plaet. Efterom både -plaet och -plaet beriver ytemet freveegeaper, i tidotiuerliga repetive tiddireta ytem, å var det ytemet freveegeaper om vi ville avbilda frå de tidotiuerliga till de tiddireta världe med hjälp av de bilijära traforme. ida 9.33

34 Vi a ocå täa o att göra e avbildig i tidplaet där det tidotiuerliga ytemet beriv av itt tidotiuerliga impulvar h ( t) och vi öer då avbilda de på de tiddireta, amplade motvarighete, impulvaret h [ ]. Detta har vi reda gjort då vi åg att traveralfiltret filterotater diret motvarade värdea i ytemet impulvar. Problemet var bara att vi i de fleta fall var tvuga att begräa (truera) atalet termer för att få ett ädligt, realierbart ytem och iföra e (gaa tor) fördröjig för att få ett aualt ytem. Vi all u e att vi a hitta e reuriv filterberivig om är mer ompat och därmed ger midre fördröjig och amtidigt iehåller e återopplig om gör att vi a udvia truerige. Återopplige är e reuriv lä och vi ommer ite att ua åtadomma falijaritet. Vi ommer i och med detta i på impulivariat avbildig och impulivariata filter. Ordet ivariat (oförädrad, liada) iebär att impulvaret all vara oförädrat (bortett frå amplige, tiddiretierige) då vi går frå det tidotiuerliga till det tiddireta ytemet. h t och amplar detta för att få det Vi tar alltå det tidotiuerliga ytemet impulvar ( ) tiddireta impulvaret h [ ], Figur 9.6 repetive Figur () t h[ T ] h[ ] h Det amplade filtret petra ommer då att vara e avbildig av det tidotiuerliga filtret petra me med de illade att det tiddireta filtret petra är cylit, med f peglig i och upprepig ovaför f, Figur 9.65 repetive Figur Tidotiuerligt impulvar Tidotiuerligt belopppetra Amplitud Tid Figur 9.6 Tidotiuerligt ytem, impulvar Figur 9.65 Tidotiuerligt ytem, belopppetra, lijär ala ida 9.3

35 Impulvar, hög ampligfreve peta hög ampligfreve Impulivariat Tidotiuerligt Amplitud Tid Figur 9.66 Tiddiret ytem med tillräcligt hög ampligfreve, impulvar Figur 9.67 Tiddiret ytem med tillräcligt hög ampligfreve, belopppetra, lijär ala Viigditorioe ommer då att bli marat om vi väljer för låg ampligfeve i förhållade till impulvaret freveiehåll, dv om petrat tydligt går i i området ovaför f, Figur Impulvar, låg ampligfreve peta låg ampligfreve Impulivariat Tidotiuerligt. Amplitud Tid Figur 9.68 Tiddiret ytem med för låg ampligfreve, impulvar Figur 9.69 Tiddiret ytem med för låg ampligfreve, belopppetra, lijär ala Detta gör att metode ite fugerar för filter om läpper igeom höga freveer i förhållade till ampligfrevee. Metode är alltå ite avädbar för högpafilter och adra freveorretiourvor om ite har tillräclig dämpig över ritmäre är att ( ) <, max Ω då Ω π dv då vi är över f. f. Ett valigt ida 9.35

36 ur hittar vi u det aaloga filtret impulvar? I de fleta fall har vi ite diret tillgåg till detta. Då vi öer löige i divere filterdimeioerighadböcer å hittar vi för det meta ite ytemet impulvar h ( t) uta ytemet överförigfutio () eller ( ω ) och vi måte utgå frå dea för att hitta impulvaret. I -plaet a det aaloga filtret beriva om a a Ka () K l l bl bl ( ) ( ) ( p ) ( p ) Kb K K K p a b K p K i är futioe olltälle i -plaet meda p i är futioe poler i amma pla. Vi partialbråuppdelar alltå vårt uttryc, Figur 9.7. Ovatåede evatio gäller om futioe har eelpoler och förutätter deutom att täljare gradtal är lägre ä ämare gradtal vilet vi har om vi har lågpaläar. Är täljare och ämare gradtal lia å får vi e eligt otat term i överförigfutioe ( ) x[] K -p K -p K 3 -p 3 K -p Figur 9.7 Partialbråuppdelade impulvar i -plaet y[] K p K () K K p Är täljare gradtal högre ä ämare gradtal å får vi e erie expoeter i och e otat term. Är täljare gradtal två teg högre ä ämare gradtal å får vi t ex K p K p () K K K K B A Vi går ite i på detta då metode lämpar ig bät för lågpafilter där täljare gradtal är lägre ä ämare gradtal. ar vi dubbelpoler i överförigfutioe å får vi termer av type A B ( ) p Obervera att olltällea i, polera p i och otatera K i a vara omplexa värde. Summa viar att vi har delat upp filtret i ett atal parallella läar. Om vi er på e lä för e eelpol i () Ki p i ida 9.36

37 å ger de ivera laplacetraforme av detta uttryc impulvaret h i () t K i e p t i t t < Vi er att p i måte vara egativ för tabilitet då detta ju räver avtagade impulvar. Pole ligger alltå i egativa halvplaet vilet är det vätade -plaravet för tabilitet. Låt o u ampla detta tidotiuerliga impulvar för att få de tiddireta motvarighet h i pi T () t h [ T ] h [ ] K e om har -traforme i i i i pi T pi T ( ) K e K [ e ] { Geometri erie} i i K e i pi T K e i pi T Vi har alltå lycat få e ompat, reuriv form ho överförigfutioe där vi a udvia truerig. Vi får differeevatioe y i pi T [] K x[] e y [ ] i i dv vi a bygga upp det totala filtret om ett atal parallella förtagradläar, e för varje brå i umma () och dea ger då var i term i umma ( ) och var och e av dea läar beriv av i differeevatioera y i [ ]. Vi får alltå de totala utigale geom att ummera dea delutigaler frå repetive lä, Figur 9.7. Exempel, Bilaga 9.3 x[] K -e p T K -e p T K 3 -e p3 T y[] K -e p T Figur 9.7 Partialbråuppdelade impulvar i -plaet ar vi omplexa poler i -plaet å måte dea betå av ett omplexojugat polpar för att ge reella otater i totaluttrycet, vilet gör att vi har ida 9.37

38 ida 9.38 () ( ) ( ) b j a B b j a A b j a b j a L K om ger () ( ) ( ) ( ) T a T a T a T a e T b e T b e b a K L T b e K K co i co ärledig, Bilaga 9. Exempel, Bilaga 9.5 Vi a ocå ha e dubbelpol, där pole måte vara reell för att ge reella otater och vi har då () ( ) ( ) p B p A p L K om ger () ( ) [ ] { } T p T p T p e e e T L K T p K ärledig, Bilaga 9.6 Exempel, Bilaga Itegratorer E tiddiret itegrator föröer efterlia e tidotiuerlig itegrerade ret och dea följer idealt uttrycet ( ) ( ) t d t ω ω ω ω i co dv uttrycet är omvät proportioellt mot frevee och ger favridige π och vi har belopppetra eligt edatåede figurer, Figur

39 9 Ideal itegrator Ideal itegrator Figur 9.7 Ideal itegrator, belopppetra, lijär ala Figur 9.73 Ideal itegrator, belopppetra, db-ala De elate forme av tiddiret itegrator är e löpade umma y [] x[] y[ ] Vid varje ampligtillfälle lägger vi alltå till ett ytt ampel till de tidigare umma. Vi har överförigfutioe ( ) Pol/olltällediagrammet, Figur 9.7, viar e pol på ehetcirel för om motvarar frevee f, dv itabilitet. Detta är om det all vara efterom äve de tidotiuerliga ideala itegrator ger oädligt reultat för lipäig. Vi har belopppetrat, Figur Figur 9.7 Löpade medelvärde, pol/oltällediagram ida 9.39

40 9 Itegrator, löpade umma Itegrator, löpade umma , db relativt max Figur 9.75 Löpade medelvärde, belopppetra, lijär ala Figur 9.76 Löpade medelvärde, belopppetra, db-ala De löpade umma atar att igale är otat uder varje ampligitervall, Figur Figur 9.77 :e ordige iterpolerig Om vi i tället drar e rät lije mella varje ampligvärde för att få e lijär övergåg, Figur 9.78, å får vi differeevatioe y [] { x[] x[ ] } y[ ] Figur 9.78 :a ordige iterpolerig dv vi lägger till medelvärdet mitt mella två ampel. Metode alla trapetregel och ger -traforme () ( ) ( ) ( ) med poler och olltälle eligt Figur 9.79, och belopppetra eligt Figur Figur 9.79 Itegrator, :a ordige iterpolerig, pol/olltällediagram ida 9.

41 9 Itegrator, trapetregel Itegrator, trapetregel , db relativt max Figur 9.8 Iitegrator, :a ordige iterpolerig, belopppetra, lijär ala Figur 9.8 Iitegrator, :a ordige iterpolerig, belopppetra, db-ala Med hjälp av Simpo regel, Figur 9.8, får vi y 3 [] { x[] x[ ] x[ ] } y[ ] ( ) Y X ( ) ( ) 3 ( ) ( 3) ( 3) 3 ( ) ( ) Med poler och olltälle eligt Figur 9.83 amt belopppetra eligt Figur ( ) ( 3,73) (,7) 3( ) ( ) Figur 9.8 Iterpolerig via Simpo regel Figur 9.83 Itegrator, iterpolerig via Simpo regel, pol/olltällediagram ida 9.

42 Itegrator, Simpo regel Itegrator, Simpo regel , db relativt max Figur 9.8 Itegrator, iterpolerig via Simpo regel, belopppetra, lijär ala Figur 9.85 Itegrator, iterpolerig via Simpo regel, belopppetra, dbala Vi jämför de olia futioera belopppetra 9 Itegratorer, jämförele Itegratorer, jämförele Simpo regel Löpade umma Trapetregel Ideal Simpo regel Löpade umma Ideal Trapetregel Figur 9.86 Ideal itegrator amt itegrator med iterpolerig via löpade medelvärde, trapetregel och Simpo regel, belopppetra, lijär ala Figur 9.87 Ideal itegrator amt itegrator med iterpolerig via löpade medelvärde, trapetregel och Simpo regel, belopppetra, db-ala Vi er att uder Ω, π är de tre variatera gaa lia me eda dämpar trapetregel bät. Exempel, Bilaga 9.8 ida 9.