Vi kommer också att se på förutsättningarna för att göra dessa omvandlingar utan att förlora information.

Transkript

1 Vi kommer i detta kapitel att tudera de grundblock om inn i ett typikt ytem ör tiddikret ignalbehandling där vi otat antar att ignalerna rån början är analoga, vilket betyder att de öre ignalbehandlingen måte omvandla till digitala ignaler. Vi antar ockå otat att vi eter ignalbehandlingen åter vill ha analoga ignaler varör ignalerna måte återomvandla. Vi kommer ockå att e på örutättningarna ör att göra dea omvandlingar utan att örlora inormation.. Typikt analog/digitalt ytem Låt o e hur ett typikt ytem ör DSP kan e ut om ignalerna rån början är analoga och om vi önkar återkapa analoga ignaler eter DSP-beräkningarna Figur.. Vi kommer att enare i kapitlet örklara de olika blocken unktion och varör de måte ingå i ignalkedjan. Analog inignal LPilter LPilter S/H T/H Digitalt ytem D/Aomv A/Domv Analog utignal Minne Figur. Generellt digitalt ytem ör analoga in-och utignaler Vi kan ockå tänka o att begräna o till delar av detta ytem. Är vi t ex bara intreerade av att analyera ignalen, t ex betämma de rekveninnehåll å kommer vi att göra denna analy i DSP-beräkningarna och reultatet preentera där t ex på en datorkärm. Vi har alltå inget behov av att återkapa en analog ignal, Figur.. Analog inignal S/H T/H Samplingklocka A/Domv LPilter Samplingklocka Digitalt ytem Minne Figur. Digitalt ytem ör analoga inignaler Kapitel ida.

2 På amma ätt kan vi ha ett delytem där vi genererar digitala ignaler och önkar omvandla dea till analoga motvarigheter. Då bortaller den örta omvandlingen rån analog till digital ignal, Figur.3. Denna unktion örekommer till exempel i de leta moderna yntar och andra ljudgenererande apparater. De två delytemen kan inna i amma ytem men använda vid olika tillällen, t ex inläning och lagring vid ett tillälle och utläning vid ett annat. I introduktionen ramhöll vi att det är lätt att byta unktion i ett DSP-ytem bara hårdvarudelarna inn på plat.. Sampling Då vi tuderar en vanlig tidkontinuerlig ignal, t ex med hjälp av ett (analogt) ocillokop, å kan vi vid varje tidpunkt regitrera hur ignalen uppör ig. Vi låter alltå tiden lyta och ur betrakteleynpunkt är ingen tidpunkt kild rån någon annan, bortett rån att ignalen örändrar ig, och vi kan vid vilken tidpunkt om helt ange ignalen värde, å gott vi nu klarar av att mäta den. Analoga ytem, t ex paiva eller aktiva ilter, använder ig ockå av dea tidkontinuerliga ignaler och kan omedelbart reagera på en örändrad inignal. Man kan då tälla ig rågan om det är möjligt att lätta på kraven på att kontinuerligt hålla koll på ignalen och om vi i tället kunde nöja o med att regitrera ignalen värde då och då? Frågan är alltå om detta är möjligt och hur ota vi i å all måte regitrera ignalen. Vi kall e att det aktikt är möjligt att bara mäta då och då utan att örlora inormation. Hur ota bör vi då mäta? Det bör äga ig jälvt att antalet nödvändiga mätningar per tidenhet varierar rån applikation till applikation och är beroende av vilken örändringhatighet (vilket rekveninnehåll) vi kan örvända o i det aktuella allet. Vi behöver rimligen inte kontrollera kuren lika ota då vi ror en eka om då vi kör en nabb motorbåt, den hatighet med vilken det kan gå nett (hamna på ett grund) är ju helt olika. Då vi börjar arbeta med digitala ytem, t ex datorer, var unktion bygger på en ytemklocka om gör att vi bara kan utöra en operation då vi år en pul rån klockan å hamnar vi automatikt i en ituation där klockan har tyckat upp tiden och gjort tidörloppet dikret vilket gör att vi inte kan göra en mätning vid vilken tidpunkt om helt. Önkar vi deutom göra någon orm av ignalbehandling å kräver detta några programater om kommer att ta vi tid och vill vi klara av ignalbehandlingen innan vi tar in näta mätvärde, vilket vi normalt vill, å måte vi ytterligare utträcka tiden mellan två mätningar. I exemplen med båtarna ovan å kontrollerar vi väl kuren då och då men det är inte å viktigt exakt vid vilka tidpunkter kontrollerna ker, bara det ker tillräckligt ota. Vi kommer i detta all örmodligen ockå att kontrollera kuren med ojämna intervall, ute på öppet hav behöver vi inte kolla kuren å ota om i en mal paage. För att kunna räkna på våra ignaler och bygga upp en matematik modell av våra ignaler och ytem å blir det dock mycket enklare om vi gör våra kontroller med jämna tidintervall vilket innebär att om vi tidkontinuerligt kan bekriva vår ignal med unktionen x ( t) å gör vi nu övergången till en tiddikret ignal genom tranormeringen () t x[ n T ] x[ n] x = LPilter Samplingklocka Digitalt ytem Minne D/Aomv Analog utignal Figur.3 Digitalt ytem ör analoga utignaler Kapitel ida.

3 där n är ett heltal och T är tiden mellan två regitreringar av ignalen värde. Vi tar alltå tickprov på ignalen med jämna tidintervall. Vi äger att vi amplar ignalen med amplingperioden, amplingintervallet T, tiden mellan två amplingar är T, vilket gör att vi kan uttrycka amplingrekvenen, antalet amplingar per tidenhet (normalt ekund), om = T dv amplingrekvenen har om andra rekvener enheten Hertz. I ortättningen kommer vi konekvent att låta amplingperioden vara underörtådd i våra uttryck och vi kriver om vi nämnde i Kapitel Introduktion x [ n] i tället ör x[ n T ]. Lägg märke till att vi använder den tidigare angivna konventionen att använda vanliga parenteer ör argumentet ho den tidkontinuerliga ignalen medan vi använder hakparenteer ör den uppräknade, tiddikreta, amplade ignalen argument. Exempel, Bilaga... Sample and Hold Vi kommer alltå att avläa inignalen en gång per amplingperiod. Det gör vi genom att låta inignalen gå genom en elektronikt tyrd brytare, där tyrningen köt av amplingklockan om då luter brytaren under en kort del av varje amplingperiod, Figur.4. De vanligate typerna av A/D-omvandlare måte ha en at nivå på inignalen under den tid då omvandlingen ker. Detta gör att vi måte kunna hålla kvar den avläta ignalnivån under reten av amplingperioden. Det gör vi genom att låta inignalen ladda upp en kondenator. Vi minn rån elläran att denna ker med en tid kontant τ = R C, där C är kondenatorn värde medan R är den reitan om itter i erie med kondenatorn. Har nu objektet om vi mäter på en tor inre reitan å kommer tidkontanten att bli tor och det tar lång tid att ladda upp kondenatorn helt och vi måte vänta innan ignalen blir trovärdig. Vi löer detta genom att ätta en kret med låg utimpedan öre brytaren. Kreten har ockå hög inimpedan å att den inte belatar mätobjektet. Kreten kalla ör en buert. På amma ätt kommer den eteröljande A/D-omvandlaren att ladda ur kondenatorn om den inte har hög inimpedan (återigen tidkontanten τ = R C ). Även här ätter vi in en buert, i detta all ör att kondenatorn kall e en hög impedan och inte ladda ur under amplingperioden, Figur.5. Den kret om vi har kierat kalla ör en Sample and Hold-kret (S/H-kret) och via i Figur Samplad ignal Figur.4 Analog inignal och amplad ignal Kapitel ida.3

4 Samplad ignal med hållkret elektronikt tyrd witch Figur.6 Sample and Hold-kret Figur.5 Analog inignal och amplad ignal rån hållkret Den ideala S/H-kreten kall bara luta brytaren under ett mycket kort ögonblick. I verkligheten kommer den otat att vara luten under en lite längre tid och under denna tid kommer kondenatorn laddning att ölja inpänningen variation (Figur.7). Detta gör att kreten ibland ockå kalla en Track and Hold-kret Samplad ignal med hållkret Figur.7 Analog inignal och ignal rån Track and Hold-kret.. Samplingvillkor Vi måte nu tälla o rågan: Hur ota måte vi mäta på en ignal ör att de tickprov, de ampel vi tar kall ge en korrekt bekrivning av ignalen? Det kan väl yna naturligt att ju otare vi mäter ju bättre bild av ignalen år vi. Deutom måte rimligen de rekvener om ingår i ignalen påverka reultatet korrekthet. Låt o ör enkelheten kull betrakta en ignal om innehåller en enda rekven, dv en inu- eller coinuormad ignal. Det kommer att via ig att den intuitiva behandlingen och tolkningen av en coinuignal är enklare än tolkningen av en inuignal varör vi börjar med den örra. Eterom coinu- och inuunktioner i grunden är amma ak, de kilj bara genom en aörkjutning å kall vi edan å ram ett mer generellt reultat. Kapitel ida.4

5 ... Coinuormad ignal Vi har alltå den tidkontinuerliga ignalen x () t = A co ( ω t) = A co( π t) Signalamplituden har ingen inverkan på tidörloppet å vi kan ör enkelheten kull välja amplituden ett ( A = ). Vi amplar nu denna ignal, dv vi gör ignalen tiddikret genom att ta ignalen värden vid tidpunkterna t = n T = n där n är ett heltal, T är amplingperioden (tiden mellan två amplingtillällen) och är amplingrekvenen. Vi år x [ n T ] = x[ n] = co( π n T ) = co π n Vi har alltå ett uttryck om inte bygger på den verkliga rekvenen utan uttrycket bygger på ignalrekvenen relativt amplingrekvenen, den relativa ignalrekvenen och det är en viktig allmän lärdom att det är den relativa och inte den aboluta, verkliga rekvenen om är viktig i amplade ytem. På amma ätt använder vi inte den aboluta vinkelrekvenen ω utan den relativa vinkelrekvenen ω Ω = = π. Obervera att vi kommer att använda Ω ör att beteckna den relativa vinkelrekvenen medan den verkliga vinkelrekvenen om tidigare beteckna ω. Om amplingrekvenen är hög i örhållande till ignalrekvenen å kommer vi att göra många regitreringar av ignalen under en ignalperiod och vi kan bekriva ignalen noggrannt. Lägg åter märke till att amplingrekvenen i ig inte är viktig utan det viktiga är örhållandet mellan ignalrekven och amplingrekven, den relativa ignalrekvenen, dv kvoten. Coinu, Figur.8 Samplad coinuignal med = ignal Kapitel ida.5

6 Figur.8 viar örloppet då amplingrekvenen är gånger högre än ignalrekvenen. Vi er att det är inga problem att tolka ignalen om en coinukurva. Det är ockå lätt att ine att vi inte kan hitta någon ignal med någon närliggande rekven om kulle gå genom exakt amma amplingpunkter, det är väl dock inte otroligt att det kulle kunna gå att paa in någon högrekvent ignal till amma punkter om den har å pa hög rekven att vi år en eller lera perioder av denna ignal mellan varje amplingpunkt och i Figur.9 er vi ett all då detta är möjligt, här är ignalrekvenen,95. Man kan väl de- utom mitänka att det inn ytterligare ignaler om ger amma amplingpunkter om vi ortätter att öka ignalrekvenen. Vi kan alltå mitänka att det rent generellt gäller att om vi har ör höga ignalrekvener i örhållande till amplingrekvenen å kan mint två olika rekvener (en lågrekvent och en högrekvent) ge amma amplingpunkter vilket gör att vi inte kan äga vilken av rekvenerna om har givit upphov till amplingpunkterna och om är den korrekta, amplade ignalen. Höjer vi ignalrekvenen i örhållande till amplingrekvenen å kommer vi att å ärre amplingpunkter under en ignalperiod men i Figur., där örhållandet mellan ignalrekven och amplingrekven är,35 å är det aktikt ortarande å att vi måte gå en bra bit uppåt i rekven ör att hitta en annan ignalrekven om ger amma amplingpunkter. Lite experimenterande ger att vi år amma amplingpunkter om vi använder ignalrekvenen, Coinu,5 och, Figur.9 Samplad högrekvent coinuignal, rekven törre än, om ger amma amplingpunkter om en coinuignal med med = ignal Coinu,35 och, Figur. Samplade coinuignaler med rekvener,35 och,65 Kapitel ida.6

7 Vi gör ockå ett experiment med ignalrekvenen,45 ör att e om vi utirån dea tre teter kan hitta något amband mellan den höga och den låga rekvenen om ger amma amplingpunkter. Det viar ig då att vi i detta all år amma amplingpunkter ör ignalrekvenen,55, Figur Coinu,45 och, Figur. Samplade coinuignaler med rekvener,45 och,55 Tar vi nu en amplingrekven om är dubbla ignalrekvenen å år vi Figur., dv vår amplade ignal blir alternerande ± ignalamplituden. Låt o här med en gång kontatera att reultatet blir direkt beroende av aläget ho den amplade ignalen, e Figur. 4. Vi er i Figur.4, om viar en inuignal, att vi i detta all alltid år amplingvärdet noll. Slutaten måte bli att reultatet ör detta örhållande mellan ignalrekven och amplingrekven inte är tillörlitligt. Coinu, Figur. Sampling, amplad i aläge radianer =, ignal ignal Kapitel ida.7

8 Coinu,5, a pi/3 Coinu,5, a pi/ Figur.3 Sampling, =, ignal ignal Figur.4 Sampling, =, ignal ignal amplad i aläge π radianer 3 amplad i aläge π radianer Vi ortätter att höja ignalrekvenen och er på reultatet om ignal =, 55 och inner om vi agt tidigare att detta ger amma reultat om vi ick ör ignalen med ignal =, 45 och vid amplingen kommer ignalen då att tolka om om den har den lägre rekvenen, det inn ju ingen anledning ör ytemet att tro att ignalen gör några extra vängar mellan amplingpunkterna. Fortätter vi att höja ignalrekvenen å kall vi inna att det inn ytterligare ignaler om ger amma amplingpunkter. Vi kommer t ex att å amma amplingpunkter om ör ignalerna med rekvenerna ignal =, 45 och ignal =, 55 om vi har ignalrekvenerna ignal =, 45 eller ignal =, 55. Vår lutat måte av detta måte bli att ör att vi kall kunna tolka våra coinuignaler på ett korrekt och unikt ätt å måte dera rekvener vara lägre än.... Sinuormad ignal Vi a ovan att örhållandena blir något mer komplicerade då vi har en inuormad ignal. Låt o ändå e på detta all. Vi har alltå en inuormad ignal x () t = A in ( ω t) = A in( π t) om vi amplar. Vi använder återigen amplituden ( A = ). [] x n = in π n Kapitel ida.8

9 Låt o e på amma ignalrekvener (i örhållande till amplingrekvenen) om i coinuallet. Vi börjar alltå med en inuignal med en rekven om är en tjugondel av amplingrekvenen. Vi er i Figur.5 att det även här är ganka lätt att identiiera ignalrekvenen ur de amplade punkterna Sinu, Figur.5 Samplad inuignal med = ignal Låt o nu öröka hitta den örta högrekventa inuignal om har amma amplingpunkter. Rimligen borde detta vara amma rekven om i coinuallet, dv,95. Vi provar och år Figur.6, dv amplingpunkterna ammanaller inte Sinu,5 och, Figur.6 Samplad högrekvent inuignal, rekven törre än, om borde ge amma amplingpunkter om en inuignal med med = ignal Kapitel ida.9

10 Lite experimenterande viar dock att amplingpunkterna ör dea två kurvor ammanaller om vi avrider en av ignalerna, t ex den högrekventa ignalen, 8, vilket är det amma om att ätta minutecken på ignalen x π o [] n = in n 8 = Sinu,5 och,95 avänd = in π n Vi år Figur Figur.7 Samplad 8 avriden högrekvent inuignal, rekven törre än, om ger amma amplingpunkter om en inuignal med med = ignal Tar vi nu om i coinuallet en ignal med rekvenen,35 å hittar vi även här den örta högrekventa inuignalen med ammanallande amplingpunkter vid rekvenen,65 men denna ignal måte även i detta all ha negativt tecken, Figur Sinu,35 och,65 avänd Figur.8 Samplade inuignaler med rekvener,35 och,65, högrekvent ignal med negativt tecken Kapitel ida.

11 På amma ätt ger ignalrekvenerna,45 och,55 amma amplingpunkter om den högrekventa ignalen ge ombytt tecken, Figur.9. En inuormad ignal med ignalrekven lika med halva amplingrekvenen åg vi i Figur.4. Fortätter vi även här att höja ignalrekvenen å kommer om i coinuallet ignaler med rekvenerna,45 och,55 ge amma amplingpunkter om ignalen med,45 och här behöver den högrekventa ignalen inte avända. Vi kan alltå även ör inuormade ignaler kontatera att amplingrekvenen måte vara mer än dubbelt å hög om ignalrekvenen ör att ignalen kall tolka korrekt. Vi har därmed ormulerat amplingvillkoret Sinu,45 och,55 avänd 3 4 Figur.9 Samplade inuignaler med rekvener,45 och,55, högrekvent ignal med negativt tecken Samplingrekvenen måte vara mer än dubbelt å hög om den högta ignalrekvenen ör att amplingen kall ge ett korrekt reultat > ampling ignal, Teoremet kalla ibland Shannon teorem eter den man om 949 ormulerade villkoret. Villkoret hade dock redan 98 viat av den venkättlade amerikanen Harry Nyquit. Ibland er man i ignalbehandlinglitteraturen villkoret ampling ignal, men likhet i uttrycket örutätter att vi använder oändligt många amplingpunkter ör att deiniera ignalen å i praktiken gäller trikt olikhet. Den högta tillåtna ignalrekvenen (vid given amplingrekven), alltå, kalla ibland vikningrekvenen eller Nyquitrekvenen. Förklaringen till ordet vikning kommer vi trax till...3 Vikning (pegling, aliaing) Vad inn det nu ör amband mellan de rekvener om ger amma amplingpunkter och varör uppör ig inu- och coinuormadeignaler olika? Och varör är örhållandena olika vid olika rekvener (avändning repektive inte avändning av inuignalen)? Kapitel ida.

12 Låt o börja med att tudera ambandet mellan rekvenerna och mer eller minde utelämna aen å länge...3. Vikningrekvener Vi åg tidigare att ignalrekvenerna,35 och,65 gav amma amplingpunkter i coinuallet och även i inuallet om vi bytte tecken på den ena ignalen vilket är det amma om att ge den 8 avridning. På amma ätt ick vi amma amplingpunkter ör ignalrekvenerna,45 och,55. Återigen år vi avända den ena ignalen i inuallet. Lite tankearbete ger att den lågrekventa ignalen ligger lika långt nedanör halva amplingrekvenen om den högrekventa ignalen ligger ovanör. Vi äger att den högrekventa ignalen peglar ig i. Vi kan allternativt äga att den viker ig runt och vi talar om pegling eller vikning (på engelka aliaing). Kan vi ormulera ett generellt amband? Ja det kan vi. Om den verkliga ignalrekvenen ligger i intervallet å kommer den att tolka om om / den har rekvenen - ignal ignal ' ignal = ignal dv den tolka om liggande i intervallet, Figur.. Som vi er av iguren å år vi det märkliga enomenet att då vi i detta högrekventa intervall höjer ignalrekvenen å kommer rekvenen att tolka om en allt lägre rekven till de att allet ignal = gör att ignalen tolka om om den vore en likpänning, Figur.. Vad gäller nu om vi har ignalrekvener högre än amplingrekvenen? Vi kan via att ignalrekvener i intervallet 3 kommer att tolka om ignaler med rekvener givna av ignalrekvenen minu amplingrekvenen ( ignal Figur. Vikning av ignal med rekven i intervallet < < - ignal ) och då har den högrekventa och den lågrekventa ignalen amma aläge, det kräv ingen avändning ör vare ig coinu- eller inuignaler. / ignal Figur. Samplad ignal med ignal = Kapitel ida.

13 ignal Vi kan om i Figur. göra tolkningen att rekvenen vik ner till en negativ rekven i rekvenintervallet till, - / / 3 / ör att edan vika ytterligare en gång till rekvenen - ignal ignal - ignal ignal i intervallet Figur. Vikning av ignal med rekven i intervallet. 3 < < På amma ätt kan vi göra 3 tolkningen att ignaler i intervallet kommer att vika ner till den negativa rekvenen ignal i intervallet till ör att edan vika upp till rekvenen ignal i intervallet ör att lutligen tolka om liggande vid rekvenen nedanör halva amplingrekvenen via ny vikning, Figur.3. ignal - - / - ignal - ignal / 3 / ignal - ignal Figur.3 Vikning av ignal med rekven i intervallet 3 < < Vi kan generellt ormulera ambandet å att om vi har en ignalrekven ignal om är törre än å kommer den att tolka om peglingrekvenen ' ignal enligt r om r,5 ' ignal = r = decimaldelen vid r om r >,5 diviion mellan ignal och Vi er att reonemanget gäller även om ignalrekvenen är lägre än, men då har vi det triviala allet att ignalrekven och peglingrekven är amma ak. Signalen amplitud påverka inte av vikningen. En alternativ tolkning av rekvenpeglingen inner du i Bilaga.. Kapitel ida.3

14 ..3. Favinkel Vi har ett att inu- och coinuunktioner påverkar aen olika vid vikning och måte nu undera över vad detta kan bero på. Vi vet rån matematiken att coinu är en jämn unktion och den brukar bekriva om en unktion om aknar avridning medan inuunktionen är udda med avridning 9, Figur.4. Vi er detta ur att en allmän ignal kan bekriva om A co ( ω t) + j B in ( ω t) B A Figur.4 Allmän ignal dv coinuunktionen är rent reell medan inuunktionen är rent imaginär (avridning 9 ). Vi har alltå ambandet o ( ω t) = A co n( ω t 9 ) A in + Vi åg att då en inuignal med rekven i intervallet amplade å bytte den vikta ignalen tecken, dv den avrid 8. Lite tankearbete gör att vi kan ine att inuunktionen avridning på 9 helt enkelt byter tecken, den totala avridningen är ju då 8. Coinuunktionen år ockå ombytt tecken på aen men här har vi ju avridningen å detta har ingen inverkan. De båda ignaltyperna behandla alltå på amma ätt men på grund av dera olika ainnehåll å blir reultaten olika. Skulle vår ignal, med rekven i intervallet nu ha någon annan avridning x () t = A co ( ω t + Φ) å kommer den amplade ignalen att vika ner till en rekven i intervallet och denna ignal kommer då att ha avridningen Φ. 3 Vad gäller ignaler med rekvener i intervallet å åg vi ovan hur vi kunde göra tolkningen att ignalen vek två gånger vilket betyder att vi år två teckenbyten på aen och vi är tillbaka där vi började och den lågrekventa ignalen i intervallet år amma tecken på aen om den urprungliga ignalen hade Sammanattning Vi kan ammanatta ambanden mellan ignalerna belopp och avinkel enligt Kapitel ida.4

15 vikt ignal vikt ignal = = urprunglig ignal urprunglig ignal urprunglig ignal om r,5 om r >,5 r = decimaldelen vid diviion mellan urprunglig ignal och Dea erarenheter kommer till nytta då vi i näta kapitel tuderar ignaler i rekvenplanet. En mer matematik behandling av ampling och vikning inn i Bilaga.3. Exempel Bilaga Antivikningilter Samplingvillkoret gör att vi måte e till att ignaler med rekvener högre än aldrig kan ta ig in i ytemet, dv de år inte nå S/H-kreten. Det undviker vi genom att placera ett lågpailter öre S/H-kreten (e Figur.). Filtret brukar kalla ör ett antivikningilter. Lägg märke till att iltret ligger öre A/D-omvandlaren, dv där vi har analoga ignaler och vi måte använda ett analogt ilter. Vi bör alltid ha med ett antivikningilter även om vi vet att den aktuella ignalen inte innehåller rekvenkomponenter törre än eterom ignalen trot detta alltid kan innehålla törningar, t ex bru, med högre rekvener och dea kommer då att vika ner till amma rekvenområde om ignalen har, dv rekvener lägre än. Signaler om har drabbat av vikningditorion, dv har amplat med ör låg amplingrekven, kan ALDRIG återtälla eterom det inte inn något ätt att avgöra om delignaler härtammar rån korrekt amplade ignaler eller om de är vikta, alka komponenter och dea två delar, anna och alka delignaler, kommer att addera och ammanblanda. Antivikningiltret måte då ha en gränrekven om är lägre än och eterom ett ilter (peciellt ett analogt ilter) inte på något enkelt ätt Nödvändig H kan ge en brant övergång mellan pa- och dämpning pärrband å måte vi tillåta ett vit övergångband. Deutom är det omöjligt att realiera ett ilter med oändlig dämpning i pärrbandet vilket gör att vi vikning kommer att örekomma. Vi g / år bara e till att iltret är tillräckligt karpt och därmed dämpar tillräckligt mycket i pärrbandet. Figur.5 Antivikningilter Hur mycket om är tillräckligt avgör av applikationen, Figur.5. Kapitel ida.5

16 Det inn möjligheter att via å kallad överampling använda ett enklare analogt ilter och göra en del av iltreringen digitalt. Vi kommer inte att behandla detta i grundkuren. Exempel Bilaga.5..4 Underampling Under peciella örutättningar kan vi tillåta o att använda en amplingrekven om är lägre än ignalrekvenen, vi talar då om underampling. Vilka är då dea örutättningar? Vi har ovan ett att ignaler om ligger i intervallet k till k +, där k är ett heltal, kommer att pegla och tolka på ett ätt medan ignaler i intervallet k + k + kommer att tolka på ett annat ätt. Vet vi nu att det bara inn ignaler i ett till ( ) av dea intervall och i inga andra intervall, inte en i intervallet, å kan vi lätt betämma vilken rekven den regitrerade lågrekventa, peglade ignalen egentligen har och vi kan göra denna omtolkning i vår beräkning. För att vi kall vara äkra på att ignalen bara innehåller rekvenkomponenter i önkat område å år vi erätta antivikningiltret lågpailter med ett bandpailter om bara läpper igenom önkat rekvenband. Metoden är bara användbar då vi amplar ignalen ör att analyera den i den tiddikreta världen. Skulle vi återkapa den analoga ignalen via D/A-omvandling å kulle vi ju inte å rätt rekven utan vi kulle å den lågrekventa peglingrekvenen. Underampling är vanlig i mätintrument om använd ör att mäta på malbandiga högrekventa ignaler, t ex radioignaler runt en bärvåg..3 Talrepreentation Vi börjar nu närma o övergången rån anlog till digital ignal och öre detta kommer vi att tala lite grann om hur tal kan repreentera i digital orm. Vi har här två huvudgrupper av tal nämligen ixtal och lyttal. I de leta all ger lyttal törre talområde och noggrannare reultat men det kräver ockå mer avancerade proceorer och om i å många andra all å år vi väga pretanda mot pri. Lägg märke till att de A/D- och D/A-omvandlare vi enare kommer att tala om använder ig av ixtalrepreentation även om beräkningarna i DSP-ytemet ker med lyttal..3. Ordlängd Oberoende av repreentation å arbetar vårt digitala ytem med någon ytemberoende ordlängd, dv varje värde repreentera av ett vit antal bitar. Vanliga ordlängder är 8 bitar, vanligt i enklare mikroproceorer bitar, ganka vanligt i mätammanhang 6 bitar, mer avancerade mikroproceorer, muik på CD bitar, använd i mer noggranna A/D- och D/A-omvandlare 4 bitar, den törta ordlängd man brukar hitta ho A/D- och D/A-omvandlare 3 bitar, ytterligare mer avancerade mikroproceorer 64 bitar, ännu mer avancerade mikroproceorer Kapitel ida.6

17 Det är vanligt att digitala ytem använder ler bitar ör ina interna beräkningar än vad om inn ho omvandlarna, detta ör att behålla beräkningnoggrannheten genom ytemet. Detta örklarar varör tabellen anger 3 bitar om en använd ordlängd medan A/Doch D/A-omvandlarna om met bara ger 4 bitar..3. Fixtal För ixtal gäller att vi i ytemet har låt var i talet decimalpunkten ligger eller det kanke är bättre att tala om binalpunkt eterom vi här jobbar med binära tal. Vi har två vanliga typer..3.. Heltal Här jobbar vi med heltal och använder vanlig binär räkning. Binalpunkten ligger alltå till höger om LSB (Leat Signiicant Bit, minta igniikanta bit). Vi har då ignalintervallet till antal bitar om vi bara arbetar med poitiva tal medan vi har intervallet antal bitar antal bitar till om vi arbetar med både negativa och poitiva tal. I det enare allet beror gränerna lite av hur vi repreenterar negativa tal. Heltal är inte å vanliga i ignalbehandlingammanhang..3.. Fraktionella tal Då vi arbetar med raktionella tal kan vi bara repreentera tal med torlek mindre än ett. Använder vi bara poitiva tal å ligger binalpunkten till vänter om MSB (Mot Signiicant Bit, met igniikanta bit) i det binära ordet och ör ett yra bitar ord har vi b b b b b + b + b + b ~ 3 Använder vi både poitiva och negativa tal å har vi i tället ör ett yra bitar ord b b b b teckenbit + b + b + b 3 3 ~ Otat använder vi deutom -komplement ör negativa tal, e nedan. Att vi bara kan repreentera tal mindre än ett leder ota till att uttryck måte kala ör att kontanter kall hamna i arbetområdet. Fraktionell repreentation är vanlig i ignalproceorer med ixtalrepreentation..3.3 Flyttal exp onent Flyttal repreentera av mantia och exponent, dv mantia talba. Det gör att vi här kan repreentera ett mycket törre talområde än vad vi kan göra med ixtal men det leder amtidigt till mer komplicerade beräkningenheter (ALU, aritmetik logik enhet) än vad ixtal kräver. Kapitel ida.7

18 .3.4 Negativa tal Det örekommer tre olika metoder ör att repreentera negativa tal och dea kan örekomma både vid ix- och lyttalberäkningar Teckenbit Här låter vi talet met igniikanta bit ange talet tecken (otat nolla ör poitivt tal och etta ör negativt tal) medan reten av bitarna repreenterar amplituden. Grundidén är enkel men kan ibland komplicera våra beräkningunktioner Ett-komplement Här år poitiva tal repreentera av in urprungliga binära orm, MSB måte vara en nolla (), medan negativa tal repreentera genom att alla bitar i talet (om repreenterar talet amplitud) invertera vilket gör att MSB är ett () ör negativa tal. Metoden är inte peciellt vanlig Två-komplement Metoden är narlik ett-komplement med den killnaden att eter att vi har inverterat det negativa talet bitar å adderar vi ett till LSB (leat igniicant bit, mint igniikanta bit). Detta är den helt dominerande metoden att repreentera negativa tal och den har via beräkningmäiga ördelar, bland annat kan vi ubtrahera genom att addera det örta talet och det andra talet tvåkomplement. Vi behöver alltå ingen ubtraherare utan bara en adderare och en kret om kapar två-komplement. Vi går inte in mera på detta. Exempel Bilaga.6.4 Analog/digitalomvandlare (A/D) Vår amplade ignal är nu tiddikret men den har ortarande en analog amplitud eter S/Hkreten, dv kreten kondenator kan anta vilken pänningnivå om helt (inom ytemet arbetområde). För att överöra ignalen till det digitala DSP-ytemet måte vi nu även dikretiera de amplitud, vi måte omvandla den till digital orm. Detta ker i en A/D-omvandlare. Det inn ett antal olika typer av A/D-omvandlare, om integrerande omvandlare och omvandlare med ucceiv approximation, vi kommer inte att gå närmare in på dera uppbyggnad men däremot dikutera en del av dera egenkaper..4. A/D-omvandlaren grundunktion Som namnet äger kall en analog/digitalomvandlare göra omvandlingen mellan en analog och en digital ignal. Detta betyder i praktiken att en analog pänning (A/D-omvandlaren inignalen är normalt ett en pänning även om den via en givare har omvandlat rån någon annan torhet, t ex nivå, tryck etc) kall omvandla till ett binärt ord. Det binära ordet n betår av ett begränat antal bitar, n, vilket innebär att den digitala ignalen har nivåer om kall repreentera olika pänningar ho inignalen. Lägg märke till att vi här arbetar Kapitel ida.8

19 med ixtal och inte lyttal och att våra nivåer är relativt imal pänning i arbetområdet, inte relativt någon pänningkala i volt. Hur tor pänning motvarar då varje nivå ho den digitala ignalen? Vilken upplöning har omvandlaren? Detta beror på inignalen arbetområde och på antalet bitar ho A/Domvandlaren. Vi talar om två olika typer av A/D-omvandlare, unipolära och bipolära omvandlare..4.. Unipolära A/D-omvandlare En unipolär omvandlare kan bara hantera poitiva inignaler (tal utan tecken) och inignalen kan då inna i området U. Omvandlaren år då en upplöning enligt U = n och upplöningen är då den minta pänningkillnaden om vi kan repreentera. Lägg märke till att ett ord med bara nollor motvarar pänningen volt medan ett ord med bara ettor inte repreenterar pänningen U utan pänningen U. Vi kan alltå inte repreentera inignalen törta värde, med ler bitar kommer vi dock närmare denna nivå (i volt) amtidigt om upplöningen blir bättre, Figur.6. Man bör undvika att äga törre upplöning eterom det kan vara vårt att veta vad man menar, ler teg eller törre teg? Unipolära omvandlare är vanliga i tyr- och reglerammanhang då negativa ignaler inte kan örekomma, t ex nivåer i tankar. De kan ockå örekomma i bildammanhang där bildpunkterna ärg- eller gråkala brukar bekriv av poitiva tal (ota heltal)..4.. Bipolära A/D-omvandlare Bipolära omvandlare hanterar både poitiva och negativa ignaler, i de leta all lika tora områden på båda idor om nollan, och vi har arbetområdet U till U, dv totalt, om ger upplöningen U n - Ut -n U (- -n ) U Figur.6 Unipolär A/D-omvandlare n/ - Ut In In U = ( U ) n = U n -U (- -(n-) ) U Samma reonemang om ör den unipolära omvandlaren gör att ett binärt ord med bara nollor repreenterar pänningen U medan ett ord med bara ettor repreenterar pänningen - n/ Figur.7 Bipolär A/D-omvandlare Kapitel ida.9

20 U. Lägg märke till att den negativa nivån är törre (i magnitud) än den poitiva, Figur.7. Bipolära omvandlare använd ör olika typer av växelpänningar, t ex ljudignaler. Exempel Bilaga Codec I kommunikationammanhang använd ganka ota omvandlare om inte har linjär omvandling rån analoga till digitala ignaler och tillbaka igen utan man använder en A/D-omvandlare med logaritmik överöringunktion och en D/A-omvandlare med exponentiell överöringunktion. Metoden ger må upplöningteg vid låga amplituder och törre upplöningteg vid tora ampliduder. Denna ördelning är i en del all bättre än den linjära ördelningen, till exempel då kommunikationen betår av tal eterom vi uppattar ljud med logaritmika kalor. Man äger att ignalen är kompanderad (komprimerad/expanderad). Filter, amplingkret, A/D-omvandlare och D/A-omvandlare amt ett erieinterace brukar vara integrerade i en enda kret om kalla codec (coder/decoder). Vi kommer inte att gå in på denna typ av A/D-, D/A-ytem Omvandlingel Eterom vi omvandlar den analoga ignalen till ett antal dikreta teg, vi kvantierar den, å kommer det alltid att inna analoga ignaler om inte bekriv korrekt eterom de har nivåer om ligger mellan dea teg, vi år alltå el i vår beräkning. Om vi avrundar värdena å kommer vi att å det törta elet om ignalnivån ligger preci mitt emellan två kvantieringteg, dv vi år Fel -U U / n+ U In -U / n+ Figur.8 Omvandlingel ho avrundande A/D-omvandlare Maximalt kvantieringel = Figur.8 Trunkerar vi i tället värdet till närmat underliggande värde (om är vanligat) å blir det imala elet lika med upplöningen och vi år detta el då ignalnivån ligger trax under en nivå ho A/D-omvandlaren, Figur.9. Fel -U (- -n ) U In -U / n Figur.9 Omvandlingel ho trunkerande A/D-omvandlare.4..5 Kvantieringbru Beräkningelet brukar ota kalla kvantieringbru (quantiation noie) och vi brukar ange det via örhållandet mellan imal ignaltorlek och elet torlek. Förhållandet kalla ignal/kvantieringbruörhållande (eller larvigt ignal/bruörhållande, eller på engelka Signal to Quantiation Noie Ratio, SQNR). Kapitel ida.

21 n bitar medan törta e- För en unipolär omvandlare motvara den törta ignalen av let är en halv bit (vid avrundande omvandlare) SQNR unipolär U = = U U n = n = n + ~ log n + ( ) = ( n + ) log ( ) 6 ( n + ) För bipolära omvandlare blir den törta ignalen det amma om den törta poitiva eller negativa amplituden och den motvara då av n bitar och vi år SQNR bipolär U = = U U n = n = n ~ log n ( ) = n log ( ) 6 n n SQNR 4, 48, 7, 96,3,4 44,5 Tabell. Signal/bruörhållanden (SQNR) vid olika ordlängder ör bipolär A/D-omvandlare Lägg märke till att vi har beräknat SQNR vid imal inamplitud. Har vi en lägre inamplitud å kommer elet ortarande att vara lika tort medan ignalamplituden junker vilket innebär att SQNR junker. Exempel Bilaga.9 Ibland använder man i tället ignal- och brueekt ör att beräkna SQNR. För en bipolär omvandlare är brueekten P n = och ignaleekten P = U om ger SQNR Bilaga. = ~ 6, n +, n bipolär,5 76 db Kapitel ida.

22 .4. A/D-omvandlartyper Det inn ett antal olika typer av A/D-omvandlare om vi inte kall går närmare in på men vi kall i alla all nämna dera grundunktioner..4.. Integrerande A/D-omvandlare Funktionen bygger i in enklate orm (enkelramp) på att man räknar hur lång tid det tar ör den analoga pänningen att ladda upp en kondenator. Högre pänning ger längre uppladdningtid och därmed törre räknarvärde. Man kan å bättre reultat genom att räkna tiden ör både en upp- och en urladdning (dubbelramp) och denna metod är vanligat. Omvandlingen tar lång tid men har den örtjänten att den via en integrerande unktion (upp- och urladdning) undertrycker törningar ho ignalen. Den långa omvandlingtiden gör denna typ av omvandlare ovanlig i ignalbehandlingammanhang. Typen är mycket vanlig i digitala multimetrar..4.. Uppräknande A/D-omvandlare Här låter vi en räknare räkna upp inignalen till en D/A-omvandlare var analoga utignal jämör med den analoga inignalen. Då de båda ignalerna blir lika tora toppa uppräkningen och vi har unnit det digitala värde om motvarar inignalen amplitud. Metoden örekommer ällan eterom uppräkningen gör att omvandlingtiden kan variera kratigt (liten inignal ger å teg uppräkning och därmed kort omvandlingtid medan tor inignal ger många teg uppräkning och därmed lång omvandlingtid) vilket gör det vårt att använda den i amplade ammanhang där vi har en betämd tid (amplingperioden) ör omvandling och DSP-beräkning A/D-omvandling via ucceiv approximation Funktionen är ganka lik den uppräknande omvandlaren men i tället ör att tyra D/Aomvandlaren rån en räknare å använder vi logik om tetar bit ör bit, rån MSB till LSB, och ätter bitarna å länge inignalen är törre än D/A-omvandlaren utignal. Här har vi god kontroll över omvandlingtiden, den kommer alltid att ta lika lång tid ör varje bit och den totala omvandlingtiden blir direkt proportionell mot antalet bitar i det digitala ordet. Vi gör ju en jämörele per bit. Denna omvandlartyp är den klart dominerande, peciellt ör omvandlare med bättre upplöning, dv ler bitar och metoden kalla ucceiv approximation Flahomvandlare I lahomvandlaren har vi att upp en kedja av n jämörare (komparatorer) med hjälp av vilka vi jämör inignalen och direkt år ut det digitala ordet via ett logikt nät. Metoden är den nabbate av dem vi bekrivit men det är vårt och dyrt att bygga dea omvandlare ör många bitar, det leder ju till många komparatorer om kräver preciion i uppbyggnad och intrimning av dera jämörelenivåer. Detta leder till att lahomvandlare örkommer upp till - bitar ordlängd. Kapitel ida.

23 .4.3 Omvandlarpeciikationer Vi kall lite kort nämna vilka egenkaper ho en A/D-omvandlare om det kan vara lämpligt att känna till. Egenkaperna ger ig ota till känna om olika typer av el Omvandlingtid en anger hur lång tid en A/D-omvandling tar. Den totala omvandlingtiden beror deutom av den tid om på engelka kalla ettling time (e nedan), vi kan kalla den tabilieringtid Settling time Stabilieringtiden anger den tid om går eter en omvandling innan utignalen har tabilierat ig å att utignalen är korrekt. Omvandling- och tabilieringtiden anger nu den totala omvandlingtiden och kall vi hinna med omvandlingarna å år inte amplingperioden, T, vara kortare än denna tid. I praktiken kommer vi deutom att behöva lite beräkningtid mellan varje amplingtillälle vilket gör att amplingperioden måte vara ytterligare längre, dv imal amplingrekven junker Noggrannhet Noggrannheten anger hur trovärdigt det omvandlade värdet är och ange i upplöningteg, eller i LSB (om är amma ak) om det brukar tå i datablad. Vi kan t ex e noggrannheten ±,5 LSB. ibland ange lera noggrannheter om beror på hur lång tabilieringtid vi anger Oetel Oet innebär att alla pänningar är lite örkjutna med amma (poitiva eller negativa) värde U oet. Vilket ör en bipolär omvandlare innebär att den inte har arbetområdet U till U utan i tället området U + U oet till U + U oet, Figur.3. n - Ut -n U (- -n ) U In Figur.3 Oetel Kapitel ida.3

24 Förtärkningel Med örtärkningel menar vi att upplöningen inte är den önkade upplöningen utan lite törre eller mindre än detta, Figur.3. n - Ut -n U (- -n ) U In Figur.3 Förtärkningel Linjaritet Med linjaritetel menar vi att de olika omvandlingtegen inte är lika tora, Figur.3. n - Ut -n U (- -n ) U In Figur.3 Linjaritetel Kapitel ida.4

25 .5 Digital/analogomvandlare (D/A) D/A-omvandlaren kall omvandla det binära ordet till en analog pänning. Eterom det binära ordet med n bitar bara kan ge n olika nivåer å är utignalen egentligen inte analog (amplitudkontinuerlig) utan den kan bara anta n olika dikreta nivåer, Figur.33. Lägg märke till att vi även här använder ixtal. De leta D/A-omvandlare genererar utpänningen med hjälp av ett nät av reitaner om tyr av de digitala bitarna och av en operationörtärkare. Omvandlingtiden är normalt kort men det kan ta en vi tid innan utignalen har tabilierat ig. Omvandlingproceen bekriv av amma data och el om gällde ör A/Domvandlaren..6 Utjämningilter Vi nämnde ovan att utignalen rån D/A-omvandlaren bara kan anta n dikreta nivåer och vi er i Figur.34 att vi år en kantig utignal med trappteg. Detta är otat inte acceptabelt utan vi vill ha en ignal med mjuka övergångar och inte dea abrupta teg. Vi iner att dikontinuiteterna kommer att ha grundrekvenen lika med amplingrekvenen eterom de kommer en gång per amplingperiod. Samtidigt gäller, om vi uppyller amplingvillkoret, att ignalen bara kan innehålla ignalrekvener upp till (trax under) halva amplingrekvenen och vi kan iltrera bort dikontinuiteterna med ett lågpailter med en gränrekven trax under (- -n ) U -n U n-. Vi kallar iltret ör ett utjämningilter (moothing ilter) Lägg märke till att iltret måte komma eter D/A-omvandlaren när vi har en analog ignal, om än med dikreta nivåer, å vi måte använda ett analogt ilter (Figur.). Vi er att vi har ungeär amma krav om på antivikningiltret öre A/D-omvandlaren och kan utnyttja amma dimenionering även om det i praktiken måte bli två eparata ilter om in- och utmatning kall ke i realtid. Även här kan vi utnyttja överampling ör att lytta över en del av iltreringen till den digitala världen och därmed å enklare analoga ilter. Vi går inte in på detta. Ut Figur.33 D/A-omvandlad utignal D/A-omvandlad ignal Figur.34 D/A-omvandlad ignal In Kapitel ida.5

26 .7 Olika ormer av ignaler Ovantående bekrivningar av olika delar av vårt ytem gör att vi kan ärkilja yra olika varianter av ignaler i vårt ytem amplitud- och tidkontinuerlig (öre S/H-kreten) amplitudkontinuerlig och tiddikret (öre A/D-omvandlaren men eter S/H-kreten) amplitud- och tiddikret (i DSP-ytemet) amplituddikret och tidkontinuerlig (eter D/A-omvandlaren men öre utjämningiltret) När vi talar om en analog ignal menar vi normalt en amplitud- och tidkontinuerlig ignal medan vi med en digital ignal menar en amplitud- och tiddikret ignal. I ortättningen kommer vi nätan utelutande att ägna o åt amplade, dv tiddikreta ignaler och ytem. Vi kommer bara i örbigående att nämna eekter om beror på att våra ignaler och ytem är amplituddikreta i våra dator- eller hårdvaruytem och reonemangen kommer att ke om om vi hade amplitudkontinuerliga ignaler och ytem, dv om om vi hade obegränad noggrannhet i våra beräkningar..8 Typika data ör digitala ytem I Tabell. nedan anger vi data ör ett antal olika örhoppningvi välkända ytem. Exemplen har en tonvikt på ljudytem. Applikation Samplingrekven Ordlängd Teleoni/GSM 8 khz 8 bitar CD 44, khz 6 bitar Digital bandpelare, DAT 48 khz 6 bitar MiniDic 44, khz 6 bitar Enklare ljudkort 44,/48 khz 6/ bitar Bättre ljudkort 88,/96 khz /4 bitar Avancerad tudio 96/9 khz 4 bitar Digital radio, DAB 48 khz 8 bitar Tabell. Data ör typika digitala ytem Exemplen anger de amplinghatigheter och ordlängder om använd vid jälva omvandlingen. I några all (GSM, MiniDic och DAB) använd även olika ormer av komprimering ör att minka antalet överända bitar. Kapitel ida.6