Inversa matriser och determinanter.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Inversa matriser och determinanter."

Charlotta Sandström
för 5 år sedan
Visningar:

1 rmn Halloc: EXTR ÖVNINGR a TILLÄMPNINGR V DETERMINNTER Tllämpnngar a determnanter Inersa matrser och determnanter. En adrats matrs är nerterbar om och endast om det Eftersom matrsen är nerterbar om och endast om rang n har fölande sats: det är nerterbar rang n har n oberoende rader har n oberoende olonner Oanstående påstående an anändes för att bestämma om n etorer R n är lnärt beroende eller oberoende. Man an sra etorerna som rader eller olonner och blda en adrats matrs a tp n n. Då är raderna är oberoende om och endast om det. Uppgft. För la ärden på den reella parametern a är matrsen nerterbar om a a a a a a 4 Lösnng: det a 6. Hära det a 6 a ± 6. Matrsen är nerterbar om a ± 6. det a. Hära det a sanar reella lösnngar Matrsen är nerterbar för alla reella a. det a 7a 6. det a eller a /. Matrsen är nerterbar om a och a /. Uppgft. För la ärden på den reella parametern a är etorerna a a 556 beroende. Lösnng: V bldar matrsen a tp a a det 6a a 4 det om a eller a 7/.

2 rmn Halloc: EXTR ÖVNINGR a Sar: etorerna beroende om a eller a 7/. Tllämpnngar a determnanter Beränng a nersen för en "ofator -matrsen". n n matrs med hälp a Låt ara en nerterbar adrats matrs det a tp n n och D det tllhörande determnant Låt dare D ara den sbdetermnanten som fås då rad och olonn strs r D Determnanten D allas ofatorn tll elementet a eller ofatorn tll platsen Låt ara en matrs som består a alla ofatorer ds... n Då gäller... n det T n n... nn där T betecnar transponat tll Uppgft. Beräna nersen tll. 5 Lösnng: Eftersom det är matrsen nerterbar. Först beränar alla ofatorer ds sbdetermnanter med motsarande tecen N bldar en "ofator - matrs" 5 6 T Hära 5 6 Tll slt

3 rmn Halloc: EXTR ÖVNINGR a Tllämpnngar a determnanter det T 5 / 6 / / /5 / 5 BERÄKNING V VEKTORPRODUKTEN I ETT ON-KOORDINTSYSTEM För ortonormerade basetorer som betecnar eller e e e defntonen O. V an anända oanstående resltat för att beräna för tå etorer och ars oordnater är gna ett ON-ordnatsstem. V har: V anänder... F gäller enlgt Formeln F är sårt att omma håg. Man an anända fölande smbolsa determnant för att beräna. nmärnng: V får samma resltat b om beränar fölande determnant: Uppgft 4. V an anända oanstående resltat för att beräna för tå etorer Låt och 5 ars oordnater är gna ett ON-ordnatsstem. Beräna. Lösnng:

4 4 a rmn Halloc: EXTR ÖVNINGR Tllämpnngar a determnanter lltså 4. Sar: 4 Uppgft 5. Beräna etorprodten då a 4 och b Lösnng: a b nmärnng: V får samma resltat b om beränar fölande determnant: SKLÄR TRIPPELPRODUKT Låt och w ara tre etorer. Salär trppelprodt defneras som talet w och an beränas dret enlgt defntonen [först etorprodt och därefter w ]. Ett enelt sätt att beräna salära trppelprodten är beränng med hälp a fälande determnant: w Geometrsa tllämpnngar: Låt och w ara tre etorer rmmet.

5 rmn Halloc: EXTR ÖVNINGR Då gäller : 5 a Tllämpnngar a determnanter B. Den parallellepped som bestäms späns pp a och w har olmen V w V om w bldar högersstem. w V om w bldar änstersstem om och endast om w är omplana etorer. 4. w w 5. Om betecnar ortare [ w] w då har fölande relatoner beroende på ordnngen mellan etorerna. [ w] [ w ] [ w ] [ w] [ w ] [ w ] 6. Den pramd som bestäms späns pp a och w har olmen V w 6 B Uppgft 7. Beräna arean a den parallellogram som späns pp a etorerna a och Lösnng: Parallellogrammens area är

6 6 a rmn Halloc: EXTR ÖVNINGR Först -4 Hära arean Sar: Parallellogrammens area är 9 a.e. Tllämpnngar a determnanter Uppgft 8. a Beräna arean a trangeln B då B4 och 6. b Beräna längden a höden trangeln B som går från pnten tll sdan B. Lösnng: B 4 B 4 B reanb B b Först B och därför B 5 V har redan beränat arean a trangeln arean. Eftersom arean an beränas med hälp a formeln B hc arean basen * höden / arean har h c B 5 5 Sar: a arean a e. b höden h c 5 nmärnng: Vetorprodt är defnerad för etorer D rmmet. Några problem D omandlar tll D genom att lägga tll som trede oordnat. Därefter an anända formler som nlderar etorprodt. Uppgft 9. Beräna arean a trangeln PQR som lgger - planet då P Q och R 4. Lösnng: V nför trede oordnat och beränar arean a trangeln med hörnen pnterna

7 rmn Halloc: EXTR ÖVNINGR B och R 4. V har B B och därför B reanb B 7 a Tllämpnngar a determnanter Uppgft. Vsa att arean a den parallellogram som späns pp a tådmensonella etorer och är la med. oordnater är ett ON sstem. Lösnng: V lägger tll trede oordnaten och öerför frågan tll ett ealent problem D. V betecnar U V och beränar etorprodten U V Lägg märe tll att λ λ λ λ Därför blr arean a parallellogrammen U V Vad slle besas Uppgft. V betratar tre pnter ett -plan P Q och R. Vsa att arean a arean a trangeln PQR är la med är la med. oordnater är ett ON sstem. Lösnng: Låt PQ och PR Enlgt föregående ppgft är arean den parallellogram som späns a PQ och PR la med. Därmed blr arean a trangeln PQR

8 rmn Halloc: EXTR ÖVNINGR 8 a Tllämpnngar a determnanter ad slle sas. rean a trangeln PQR är la med en hal a arean den paralellogram som späns a och Uppgft. Beräna olmen a den parallellepped som spänns pp a etorerna a b och c 4. Lösnng: a b c Volmen a b c 5 5 Sar: 5 e. Uppgft. nänd trppelprodten för att sa att a b och c 68 är omplana etorer. a b c a b och c är omplana etorer V.S.B. 6 8 Uppgft 4. Låt a och b ara tå etorer rmmet. Beräna a b c om c a c 5 b c a b Lösnng. Saret är för alla tre fall eftersom a b och c är lnärt beroende och därmed omplana etorer. Uppgft 5. Besa a b a b a b Lösnng: Enlgt prodternas defntoner har för änsterledet VL: VL a b a b a b snθ a b cosθ a b sn θ cos θ trgonometrsa ettan a b HL lltså a b a b a b V.S.B. Uppgft 6. Låt och w ara tre etorer rmmet som satsferar w 8 w.

9 rmn Halloc: EXTR ÖVNINGR 9 a Vsa att och w är omplana etorer. Tps: salärmltplcera relatonen med en a etorerna Tllämpnngar a determnanter Lösnng: V salärmltplcerar w 8 w med w och får w w w 8 w w Eftersom w w och w w har w ds w som mplcerar att och w är omplana etorer V.S.B Salär trppelprodt defneras som talet w och an beränas dret enlgt defntonen [först etorprodt och därefter w ]. Uppgft 7. Ett oordnatsstem O är defnerat ett rm rät bloc med dmensoner 8m6m m enlgt blden nedan. Desstom gäller Gm F6m DEm. Beräna olmen a pramden OGEF. Lösnng: Volmen a parallelleppeden som späns pp a etorerna OG OF 66 och OE 68 är V Volmen a pramden OGEF är. 6 Sar: Volmen a pramden OGEF m. Uppgft 8. Låt Besa formeln och w ara tre etorer rmmet.

10 a rmn Halloc: EXTR ÖVNINGR Tllämpnngar a determnanter w Lösnng: Vänsterledet: Först etorprodten enlgt formeln F Därför w * Högerledet: V teclar determnanten efter trede raden och får ** Från * och ** har w ad slle besas. reasala d lnärabldnng : R R L. Låt : R R L ar en lnär abldnng ars abldnngsmatrs är. Betrata en parallellogram M som spänns pp a etorerna och. Enlgt oan gäller rean M. Låt M ara den parallellogram som spänns pp a L och L. För arean a M gäller på samma sätt : rean M ] ; det[ ] ; [ det[ enlgt regeln för beränng a determnanten tll en matrsprodt ] ; det[[ det. lltså gäller: rean M det rean M.

11 a rmn Halloc: EXTR ÖVNINGR Volmsala d lnärabldnng L : R R. Tllämpnngar a determnanter Låt L : R R ar en lnär abldnng ars abldnngsmatrs är. Låt M ara en parallellepped som spänns pp a och w. Låt M ara den parallellepped som spänns pp a L och L och L w w. Med samma resonemang som oan drar sltsats att Volmen M det VolmenM. Uppgft 9. Beräna olmen a parallelleppeden som späns pp a etorerna a b och c 54. Låt L ara en lnärabldnng med matrsen. Beräna olmen a parallelleppeden som späns pp a etorerna La Lb och Lc om Lösnng. V Enlgt oan gäller Volmen det V det Volmen 4 det Volmen 4 Den här gången är La Lb och Lc omplana etorer.

Relevanta dokument

1 av 13. Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

1 av 13. Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Armn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR Vetorprodt VEKTORPRODUKT OCH TILLÄMPNINGAR Kompln etorer. Defnton: V säger tt... n är ompln etorer om etorern lgger ett pln när de stts från smm pnt. Med ndr ord ompln etorer