KINESISKA RESTSATSEN OCH STRUKTURSATSER

Transkript

1 Matematsa Insttutonen, KTH Algebra D2, VT 2002 Anders Björner KINESISKA RESTSATSEN OCH STRUKTURSATSER I vssa fall an algebrasa utränngar delas upp på flera mndre utränngar som an utföras parallellt och sedan sättas samman för att ge svaret. V sall här studera några vtga fall av detta.. Knessa Restsatsen. Följande resultat lär ha vart änt Kna på 200-talet (och specalfall redan 000 år tdgare: Sats. Låt m, m 2,..., m vara postva tal så att SGD(m, m j = för alla < j. Då har systemet av ongruenser (där alla a Z x a (mod m x a 2 (mod m 2 ( x a (mod m en lösnng, och denna är un modulo m = m m 2... m. Bevs. Låt M = j m j = m m. Av SGD(M, m = följer exstens av tal b sådana att b M (2 Eftersom följer (mod m,. Låt x = a b M + a 2 b 2 M a b M. b j M j { (mod m j 0 (mod m, j, x = a b M }{{} + + a b M }{{} + + a b M }{{} a (mod m, så x löser systemet (.

2 2 KINESISKA RESTSATSEN OCH STRUKTURSATSER Om även x är en lösnng, så x x a a = 0 (mod m m (x x, för. Men eftersom m är relatvt prma måste då m m 2... m }{{} (x x, d.v.s. x x (mod m. Algortms aspet. Ovanstående bevs ger samtdgt en effetv algortm att pratst lösa system av typ (. Arbetet lgger framför allt att bestämma talen b, de multplatva nverserna tll M modulo m. Detta an göras effetvt med Euldes algortm. Mär att om flera system av typ ( med ola högerled a = (a,..., a sall lösas, så behöver talen b bara bestämmas en gång. Vterna y = b M an sedan lagras datorns mnne och varje ndvduellt system ( har enl. (2 lösnngen x = a y + a 2 y a y Exempel. V löser systemet: x (mod 4 (3 x 2 (mod 3 x 4 (mod 5 (mod m. V har M = 3 5 = 5, M 2 = 4 5 = 20, M 3 = 4 3 = 2, och vll lösa y = 5 b (mod 4 (4 y 2 = 20 b 2 (mod 3 y 3 = 2 b 3 (mod 5 Talen b, b 2, b 3 an som nämnts alltd bestämmas med Euldes algortm, men sådana här enla fall går det regel snabbare att dret htta lösnngen genom tral and error. Genom att söa genom små multpler av 5, 20 resp. 2, httar v följande lösnng y = 5 y 2 = 20 y 3 = 36 varav: x = ( ( = (mod 60. Svar: x 29 (mod 60. Kommentarer:. Talen b, b 2, b 3 och därmed y, y 2, y 3 är nte entydgt bestämda. Exempelvs sulle y = 45, y 2 = 40 och y 3 = 24 la gärna unnat användas. Om b, b 2, b 3 och b, b 2, b 3 båda löser systemet (4 gäller att b b (mod 4, b 2 b 2 (mod 3 och b 3 b 3 (mod 5.

3 KINESISKA RESTSATSEN OCH STRUKTURSATSER 3 2. Mär att lösnngen tll systemet (3 bara an bestämmas modulo 60 = V an alltså nte utan ytterlgare nformaton veta om x = 3, x = 29, x = 89, eller något av oändlgt många andra möjlga x-värden är en något särslt fall avsedd lösnng. 2. Strutursats för Z n. V börjar med att defnera begreppen somorf och dret produt för rngar. Motsvarande begrepp för grupper dsuteras Bggs 3.5 och 3.6. En avbldnng f : R R 2 mellan två rngar allas en rngsomorf om ( f är en bjeton (d.v.s., njeton + surjeton ( f(a + b = f(a + f(b, för a, b R, ( f(ab = f(af(b, för a, b R. Rngarna R och R 2 är då ur matemats synpunt helt dentsa, och allas somorfa. (Övnng: Kontrollera att f(0 = 0, f( =, f( a = f(a, och om a exsterar för a R, så f(a = f(a. Låt R, R 2,..., R vara rngar. Det enlaste sättet att sätta hop dem tll en större rng är att ta den dreta (Cartessa produten som mängder R R 2 R = {(a, a 2,..., a a R, } och på den defnera addton och multplaton oordnatvs (a,..., a + (b,..., b = (a + b,..., a + b (a,..., a (b,..., b = (a b,..., a b. Detta gör R R 2 R tll en rng (Övnng: verfera rngaxomen som allas den dreta produten av rngarna R. Exempel. R = Z 8 Z 9 Z 5 är en rng med = 360 element. Här är två exempel på algebrasa operatoner R : (4, 6, 3 + (6, 6, 2 = (2, 3, 0 (4, 6, 3 (6, 6, 2 = (0, 0, (Obs! I första oordnaten ränar v modulo 8, andra modulo 9, etc. Sats 2. Antag att n = p e p e p e talet n. Då är avbldnngen f : Z n Z e p Z e p 2 2 Z e p defnerad av [a] n ( [a] p e, [a] p e 2 2,..., [a] p e är prmfatorsuppdelnngen av en rngsomorf.

4 4 KINESISKA RESTSATSEN OCH STRUKTURSATSER Bevs. [ a ] = [ b ] a b (mod n n ( n a b mod e p [ a ] p e = [ b ] p e, f ([ a ] ([ ] n = f b n. De framåtrtade mplatonerna vsar att avbldnngen f är väldefnerad. De baåtrtade mplatonerna = vsar att f är njetv. För att vsa att f är en rngsomorf måste v verfera: ( f är en bjeton: Eftersom f är njetv och de två rngarna har samma antal element måste f vara en bjeton. (Kommentar: Detta resonemang är snabbt men dålgt ur den synpunten att det nte ger någon algortm för beränng av den nversa funtonen f. Men en sådan alogrtm har v redan: Knessa restsatsen! Mer om detta strax. ( f respeterar addton: f ( [a] n + [b] n = f ( [a + b]n = ( [a + b] e p,..., [a + b] e p = ( [a] e p + [b] e p,..., [a] e p + [b] e p = ( ( [a] e p,..., [a] e p + [b]p e,..., [b] e p = f ( ( [a] n + f [b]n. ( f respeterar multplaton: Helt analogt. Tllämpad aspet. Om p e är mycet mndre än n så ser beränngar rngen Z e p snabbare än Z n. Eftersom artmeten en dator ser Z n för något mycet stort tal n (och ej Z, av det enla sälet att den oändlga mängden Z ej an representeras en dator, så vsar Sats 2 på en möjlghet att utföra artmeten många små rngar Z e. T.ex. p an n = p e p e p e > väljas så att p e < 00 för. Tll exempel, om a b sall beränas (modulo n så an v använda följande algortm: [a] n [b] n [c] n f ( [a] e p,..., [a] e p f ( [b] e p,..., [b] e p oordnatvs multplaton ger f ( [c ] e p,..., [c ] e p

5 KINESISKA RESTSATSEN OCH STRUKTURSATSER 5 vlet ger a b c (mod n. Beränng av f an se effetvt med dvsonsalgortmen (dvson av a med respetve p e ger som rest te oordnaten av f ( [a] n, och beränng av f ser effetvt med nessa restalgortmen. Om stora mängder addtoner, subtratoner och multplatoner av stora tal sall utföras Z n an avsevärda tdsvnster göras med denna metod. Alla ngående tal överförs va f tll Z e p... Z e p, där sedan alla operatoner görs. Slutlgen överförs svaret va f tllbas tll Z n. Denna metod är snabb av två säl: beränngar Z e p är snabbare än Z n 2 beränngarna de ola små rngarna Z e p parallellt. an eventuellt utföras Lägg märe tll att för fxt n = p e... p e så är modul p e,, ocså fxa, och beränng av f med nessa restalgortmen an göras ytterst snabbt med förlagrade vter y (se ommentaren efter Sats. Det bör påpeas att den ssserade metoden för artmet Z n nte är bra om annat än rngoperatoner ngår, t.ex. vd dvson och storlesjämförelser mellan heltal. För en detaljerad dsusson av denna och andra metoder för så allad snabb artmet, se Knuth (98. Tyvärr är det svårt att exemplfera ovanstående med något realstst exempel. Prncpen framgår ändå av följande (något orealstsa problem. Exempel. Beräna determnanten D = (mod 30 Determnanten beror bara av rngoperatoner (multplatoner och addtoner, tän på defntonen så v an utnyttja rngsomorfn Sats 2 med 30 = : f ( [D ] =,, = ( [] 2, [2] 3, [3] 5. Här har determnanterna beränats med gängse regler från lnjär algebra men modulo 2, 3 resp. 5.

6 6 KINESISKA RESTSATSEN OCH STRUKTURSATSER Exempelvs: = addera olonn tll olonn 2 = = 2( Att beräna f ( [ ], [2], [3] är evvalent med att lösa systemet av ongruenser x (mod 2 x 2 (mod 3 x 3 (mod 5 vlet v an göra med nessa restalgortmen: Systemet y = 5 b (mod 2 y 2 = 0 b 2 (mod 3 y 3 = 6 b 3 (mod 5 har en lösnng y = 5, y 2 = 0, y 3 = 6, så x = = (mod 30 löser systemet (5. Alltså: f ( [] 2, [2] 3, [3] 5 = [23]30, vlet ger svaret: D 23 (mod30. Avslutnngsvs vll v påpea att snabb artmet av detta slag (Sats 2 + Knessa Restsatsen är mycet användbar för exat lösnng av stora lnjära evatonssystem med heltalsoeffcenter. Detta fnns besrvet Kaptel av Macw ( Strutursats för ändlga Abelsa grupper. Om v bara betratar den addtva struturen så säger Sats 2 att Z n = Zp e Z p e som addtva grupper. Därav sluter v att varje ändlg cyls grupp är somorf med en dret produt av cylsa grupper av prmtalspotensordnng. Detsamma gäller själva veret för varje ändlg Abels grupp, enlgt följande strutursats som vart änd sedan slutet av 800-talet. Sats 3. Låt G vara en ändlg Abels grupp. Då exsterar en un multmängd prmtalspotenser {p e, p e 2 2,..., p e } så att (6 G = Z p e Z p e 2 2 Z p e.

7 KINESISKA RESTSATSEN OCH STRUKTURSATSER 7 Bevset för Sats 3 lgger utanför ramen för denna urs. Observera att det här är tllåtet att p = p j och t.o.m. p e = p e j j för j, därför använder v ordet multmängd stället för mängd. Av (6 följer att G = p e p e p e. Av Sats 3 följer därför att man lätt an ange alla tänbara somorftyper för Abelsa grupper av ordnng n (det fnns en sådan typ för varje sätt att srva n som produt av prmtalspotenser. Exempel. ( Varje Abels grupp av ordnng 4 är somorf med Z 4 eller med Z 2 Z 2. (I detta fall an ordet Abels tas bort, se övnng och Bggs. (2 Varje Abels grupp av ordnng 00 är somorf med en av följande fyra grupper: Z 4 Z 25 Z 2 Z 2 Z 25 Z 4 Z 5 Z 5 Z 2 Z 2 Z 5 Z 5. (Vlen av dessa är somorf med Z 00? Svar (enlgt Sats 2: Z 4 Z 25. Avslutande ommentar. Satserna 2 och 3 är exempel på en typ av satser som är mycet vtga matematen. De säger att vssa mer omplcerade struturer på ett onret sätt är uppbyggda av enlare struturer (som moleyler är uppbyggda av atomer. För att förstå de omplcerade struturerna an man då nrta sg på att dels förstå de enlare struturerna (för dessa an det rävas en lassfaton och dels på hur dessa enla struturer sätts samman tll de omplcerade struturerna (besrvet av en strutursats. Sats 3 säger exempelvs att de enla Abelsa grupperna är de cylsa grupperna av prmtalspotensordnng. Andra välända exempel är:. Artmetens Fundamentalsats säger att varje postvt heltal n på ett unt sätt an srvas som produt av prmtal. Denna välända strutursats säger specellt att de enla heltalen är prmtalen. 2. Algebrans Fundamentalsats säger att varje omplext monst polynom p(z på ett unt sätt an srvas som produt av monsa förstagradspolynom p(z = (z a... (z a n, 3. Betrata mängden av alla reella funtoner f : R R med perod 2π (d.v.s. f(x + 2π = f(x, xɛr. Om en sådan funton är tllräclgt välartad (exempelvs om dess dervata exsterar och är

8 8 KINESISKA RESTSATSEN OCH STRUKTURSATSER ontnuerlg överallt så gäller enlgt en sats av Drchlet-Fourer f(x = a 0 + (a cos x + b sn x, = för alla xɛr. Detta an uppfattas som en strutursats som säger att omplcerade perodsa funtoner f (t.ex. vbratoner alltd är uppbyggda av enla harmonsa svängnngar cos x och sn x genom överlagrng. Om nu de Abelsa gruppernas strutur är änd, åtmnstone det ändlga fallet, så är det naturlgt att fråga om något motsvarande resultat fnns det ce-ommutatva fallet. Svaret är stort sett negatvt, nga allmänna strutursatser fnns. Men två fall är stuatonen ändå mycet postv.. För vssa vtga lasser av geometrsa transformatonsgrupper (Le-grupper, Coxeter-grupper fnns detaljerade strutursatser och lassfaton av de enla grupperna nom lasserna. Studet av sådana grupper har vart en mycet vtg gren av 900-talsmatematen. 2. I början av 980-talet fullbordades en lassfaton av alla ändlga enla grupper, som sysselsatt många matemater årtonden. En fullständg utsrft av alla delar av denna lassfaton (med bevs sägs räva sdor. Begreppet enel har här en något svagare nnebörd än Sats 3, och godtyclga ändlga grupper är sammansatta av dessa enla grupper på ett mer omplcerat sätt (nte som dret produt. Referenser. D.E. Knuth, The art of computer programmng, Vol. 2 (Semnumercal algorthms, Addson-Wesley, 969, 98. G. Macw, Applcatons of abstract algebra, Wley & Sons, New Yor, 985.

9 KINESISKA RESTSATSEN OCH STRUKTURSATSER 9 Övnngar:. Bestäm alla tal x sådana att 300 x 600 och x (mod 5 x 3 (mod 6 x 5 (mod 7 2. Bestäm alla tal x sådana att 0 x 2000 och x (mod 7 x 6 (mod x 5 (mod 3 3. Låt f : Z 60 Z 3 Z 4 Z 5 vara avbldnngen Sats 2. (a Bestäm f( och f(0. (b Bestäm f ( (, 0, 0, f ( (0,, 0, f ( (0, 0,. (c Använd den metod för snabb artmet som ssserades att med hjälp av f och f beräna 2( Z Hur många somorftyper av Abelsa grupper av ordnng 24 fnns det? Ge ett exempel av varje typ. 5. Den multplatva gruppen Z 2 av nvertbla element Z 2 är Abels. Bestäm den produt av cylsa grupper (som Sats 3 med vlen den är somorf. 6. Vsa att varje Abels grupp av ordnng 30 är cyls. Svar: och (a (,,, (, 2, 0 (b 40, 45, somorftyper: Z 8 Z 3, Z 4 Z 2 Z 3, Z 2 Z 2 Z 2 Z Z 2 = {[], [5], [7], []} och alla element har ordnng 2, så Z 2 = Z 2 Z = så enlgt Sats 3 exsterar bara en somorflass, nämlgen för den cylsa gruppen Z 30 = Z2 Z 3 Z 5.