En komparativ studie av ODE-lösare
|
|
- Charlotta Svensson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 En omparatv stude av ODE-lösare Per-Olo Nlsson U.U.D.M. Proect Report 5:9 Eamensarbete matemat, poän Handledare och eamnator: Warwc Tucer Jun 5 Department o Mathematcs Uppsala Unverst
2
3 Innehåll Innehåll... Inlednn... Talors metod ör lösnn av ODE:er.... Lte hstor om Talor.... Talorartmet.... ODE:er... 7 Rune-Kuttas metod.... Lte hstor om Rune och Kutta.... Besrvnn... Jämörelsestude av ODE-lösare.... Vlen metod är bllast?... 5 Slutsatser... 6 Reerenser...
4 Inlednn Anta att v vll lösa en ordnär derentalevaton ODE med ölande utseende:,,. Fnns det nen analts metod är v tvunna att örlta oss på en numers metod som det nns det en uppsö av och där valet är beroende på vlen norannhet, etc. man vll åstadomma [6]. Denna uppsats handlar om ODE-lösnn va Talors metod. Stet är att örsta hand besrva sälva metoden, men även att belsa att den an vara ett bllt sätt att lösa ODE:er. Talorartmeten örlaras aptel. och läer runden ör hur man sall lösa ODE:er. Specellt ntressant är hur man an srva om standarduntoner de mest spetaulära ormatonerna tll reursva ormler och räna ut Taloroecenterna av odtcl ordnn. Detta räver örvsso att man srver en Talorlass t.e. C, men det torde nte vara svårt ör en prorammernsunn person []. I aptel. besrver v hur v enom att sätta n Taloroecenter potensserer år ram lösnnar tll ordnära derentalevatoner. Rune-Kuttas metod av ordnn är den metod v sall ämöra Talors metod med när det äller att räna antal operatoner. V ommer att aptel att besrva alortmen och specellt dén baom härlednnen av metoden som man av nåon anlednn hoppar över rundböcerna numersa metoder. Kaptel har v döpt tll Vlen metod är bllast?, vlet nnebär att v ommer att räna ut det antal operatoner som rävs ör respetve metod ör nåra ordnära derentalevatoner. Grundurser anals och numersa metoder, samt ännedom om att man an srva en lösnn tll en ordnär derentalevaton som en potenssere ör att det utan nåra svårheter år att örstå nnehållet denna uppsats. Tac tll mn handledare Warwc Tucer ör hans stöd och att han av m mölheten att srva denna uppsats.. Per-Olo Nlsson, Uppsala Ma 5
5 Talors metod ör lösnn av ODE:er. Lte hstor om Talor Broo Talor öddes den 8/8 685 Edmonton, Mddlese, Enland och do den 9/ 7 Somerset House, London, Enland. Broo väte upp en välbärad aml och c prvatundervsnn hemmet nnan han börade på St John's Collee Cambrde den aprl 7, där Broo c en eden rund matemat. Den aprl 7 blev han nvald Roal Socet, mer på andra matematers reommendatoner än ena publcerade resultat. Broo Talor bdro med en n ren nom matematen allad nta derensall, stcvs nteraton och upptäcte den berömda Talorsereutveclnen. Första omnämnandet Broo orde anående vad v da allar Talors sats, var ett brev tll en annan matemater, Machn, där han örlarar var han ått dén rån. Det var, srev Broo tll Machn, då han på ett aé ommenterade användnnen av "Sr Isaac Newtons serer" ör att lösa Keplers problem och användnnen av "Dr Halles metod att etrahera rötter" ur polnomevatoner.. Talorartmet Anta att untonen är analts en öppen mänd Talorsere en omvnn av punten D D R. Då an v blda en! där d d år ocså att srva som där! Låt och vara Taloroecenter av untonerna och respetve. Då har v ölande reler ör artmeten:
6 v, Bevs Koecenten blr bestämd enom att samla hop alla potenser vänsterled. Bevs v de. / Multplcera båda sdorna med Talorseren och v öler. och öler av
7 ... ± ± ± enlt. För att unna öra berännar m.h.a. Talorartmet denerar v varabler och onstanter som: c c Man an utvecla Talorartmeten ör standarduntoner. Om man sätter som en änd Talor- sere, vad blr då? e 7 8 e e e e d d 9 7, 8 och 9 e e Multplcera båda sdorna med e e > e e e e och e e >.
8 5 Taloroecenterna ör sn och cos måste beränas parallellt och blr bestämda ur relatonerna cos sn och sn cos sn cos cos sn Se vdare [] ör ler standarduntoner. Den vanlaste sättet att använda dessa reler är att enerera en odlsta av uttrcet. Eempel på hur en odlsta an se ut []: Talorutvecla untonen sn V börar örst med att blda en odlsta och sen ränar v ut Taloroecenterna ör T, T T och tll sst ör.,, 5, 6, och T T snt T T T cost T T t T En vt relaton mellan Taloroecenten ör och Taloroecenten ör är d d! d d.
9 6 Detta öler av:! d d d d d d d d d d och! d! d d d 5 d d d och 6! d! d d 5 och 6 Ur öler att. 7
10 7. ODE:er En annan vt tllämpnn av Talorutvecln är utveclnen av untonen, som är ven mplct som en lösnn tll en ordnär derentalevaton. Betrata ODE:n. 8 För små har 8 en potensserelösnn av ormen n a n En potensserelösnn an derveras termvs 9, och 8 n na n n n n n a n n 9 n Med samma oecenter 9 och n n n a n a n n n a n a, n,,,... n a a n, n,,,... n! n och 9 a......!! n! En potenssere är net annat än en Talorsere där oecenterna 9 är la med oecenterna, d.v.s. Se bevs []. a 5! Om v sätter blr beränn av dervatorna: d d [ ],,,... 6
11 8 6 medör att...! 7 För ler detaler se []. Tttar v på 8 en och använder 6 år v med, nre dervatan :,,, Med bennelsevärdet medör 7 n......!!!! n! vlet är samma som lösnnen.... Den avörande sllnaden mellan 9 och 7 är att värden på oecenterna spottas ut dret 7 m.h.a. 6. Med h, 7 och 7 och tdare resoneman når v äntlen vårt mål, d.v.s. en sere som löser ODE:er m.h.a. Talorartmet: N h h 8 Eempel [5] ρ Lös,,,,,..., m.h.a. Talors metod av ordnn : 7 [ ] [ ] [ ],,,, M.h.a. den reursva ormeln ovan aar v rätt på Taloroecenterna.
12 9 [ ] [ ] [ ] [ ] M.h.a. dom utränade Taloroecenterna ovan beränar v sedan Talorsereutveclnen ör lösnnen h., 8 och Horner s schema h h h h h h 9 När v sall lösa en ODE med 9 ommer det vare ste h bl en lten N störnn, ett loalt trunernsel O h. När man steat s ram tll slutpunten har dom loala elen samlats tll ett lobalt el. Talors metod av ordnnen N har eensapen att det lobala elet är av ordnnen O h N. N an välas stort så att elet blr ltet och är ordnnen, bestämmer man steländen h så att det lobala elet blr så ltet som önsas.
13 Rune-Kuttas metod. Lte hstor om Rune och Kutta. Martn Kutta öddes den / 867, Ptchen, Polen och do den 5/ 9, Fursteneldbruc, Tsland. Han studerade Munchen och blev däreter assstent. Eter ola poster Munchen, Jena and Aachen blev han proessor Stuttart 9 och blev var där tll pensonen 95. Han är mest änd ör Rune-Kuttas metod 9 ör lösnn av ordnära derentalevatoner. Carle Rune öddes den /8 856, Bremen, Tsland och do den / 97, Göttnen, Tsland. Eter att ha lämnat solan vd 9 års ålder, tllbrnade han 6 månader Italen. När han återvände tll Tsland, börade han studera ltteratur vd unverstetet Munchen, men eter 6 vecor btte han tll matemat och s. Carle c på Ma Planc s öreläsnnar och dom blev nära vänner. 877 återvände han tll Berln och eter att ha lssnat på Weerstrass öreläsnnar änade han s åt den rena matematen, men blev även nluerad av Kronecer. Carle Rune obbade ocså med numersa lösnnar av alebrasa evatoner där rötterna uttrctes oändla serer av oecenter bestående av ratonella untoner.. Besrvnn V börar med en allmän besrvnn av alortmen:,,, steländ h. Alortmen ör Rune-Kuttas metod av :e ordnnen: h h 6 där [, ] h, h h, h [ h h ], 5
14 tll 5 an srvas som ett schema. Om v t.e. studerar allet, erhålls rännarna ör och h : v v medör att det appromatva värdet ör, h och utrännen schemat blr: h h. 7 6 Nedan vsar v runderna tll härlednnen ör att omma man ram tll -5: Ansätt [6]: [, ] [ mh mh ], [ nh h r n r ] 6, [ ph h t s p s t ], a b c d Konstanterna sall bestämmas s.a. h blr en od appromaton tll Genom sereutvecln, se [7], uppstår ölande evatonssstem:.
15 a b c d bm cn dp bm bm cn dp cn dp cmr d nt ms 6 cmnr dp nt ms 8 cm r d n t m s dmrt V har 8 evatoner med obeanta och om v antar att m n år v: m n, p, a d, b c, s t, cr, rt. 6 6 Väler v sen b c, år v b c vlet medör att: m n, s, a d, p, t, b c, r. 7 6 Sätter v sedan n där. 6 Rune-Kuttas metod unerar så att man ör ra appromatva lutnnsberännar m.h.a. untonsvärdena -6 ändpunterna och h, samt mtten vd h och däreter beränar det vtade medelvärdet, varvd öler. Jämör med Talors metod som beränar höre ordnnens lutnnar punten och låter den vara onstanta ett ste h ramåt. Se även raerna på nästa sda., Precs som Talors metod ommer det vare ste h bl en lten störnn ett N loalt trunernsel O h. När man steat s ram tll slutpunten har dom loala elen samlats tll ett lobalt el. Rune-Kuttas metod av ordnnen N har eensapen att det lobala elet är av ordnnen O h N. N an välas stort så att elet blr ltet och är ordnnen, bestämmer man steländen h så att det lobala elet blr så ltet som önsas.
16 8 Talorsereutveclnen t.o.m. ordnn punten. ep 7 6 N N 5 N N Euler Lutnnsvärdena - som beränas Rune-Kuttas metod ep
17 Jämörelsestude av ODE-lösare. Vlen metod är bllast? V sall nu lösa tre ODE:er m.h.a. av dom två metoder av ordnn v besrvt tdare så att v an undersöa vlen metod som är bllast, d.v.s. räver mnst operatoner ör att lösas. Det år att räna på ola sätt. Ja ommer att använda tenen Ramon E. Moores Mathematcal Elements o Scentc Computn, d.v.s. örenla örst och däreter räna operatonerna [5]. E. V börar med, Talors metod: [ ] [ ],,...,,, [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] h h h h h h Antal operatoner: - er addtoner och 9 multplaton. er multplatoner och addtoner. h Summan av antalet operatoner blr 6 addtoner och multplatoner ör att lösa ODE:n och vd vare halvern av h öar summan av antalet operatoner med atorn. h
18 5 Rune-Kuttas metod: h h 6 där, ] [ h, h h, h [ h, h ] Antal operatoner: Rune-Kuttas metod räver evaluernar av plus 7 addtoner och 6 multplatoner ör att evaluera h. Vare evaluern av det här allet blr multplaton eller sammantaet multplatoner. Summan av antalet operatoner blr 7 addtoner och multplatoner ör att lösa ODE:n h. Detta nnebär att det rävs addton mndre, men multplatoner mer Talors metod, vlet ör att Rune-Kuttas metod vnner det här allet.
19 6 E. Beränn av sn, Talors metod: [ ],,,,,... och sn cos cos sn 5 ρ,,,...,,,,... V börar med att örst beräna, då sn sn cos cos 5 och 7 sn cos cos sn
20 7 sn cos cos cos sn sn sn cos cos cos cos - sn sn sn sn cos cos cos cos behöver v e räna ut. cos h h h h h h Antal operatoner: er addtoner och 8 multplatoner. er trometrs operaton, 6 addtoner och 6 multplatoner. cos cos er trometrs operaton, addtoner och 9 multplatoner. h er multplatoner och addtoner. Summan av antalet operatoner blr trometrsa operatoner, 7 addtoner och multplatoner ör att lösa ODE:n h.
21 8 Rune-Kuttas metod: h h 6 där, ] [ h, h h, h [ h, h ] Antal operatoner: Rune-Kuttas metod räver evaluernar av plus 9 addtoner och 7 multplatoner ör att evaluera h. Vare evaluern av det här allet blr multplaton och trometrs operaton eller sammantaet multplatoner och trometrsa operatoner. Summan av antalet operatoner blr 9 addtoner, multplatoner och trometrsa operatoner ör att lösa ODE:n h. Detta nnebär att det rävs 8 addtoner och 9 multplatoner mer, men trometrsa operatoner mndre Talors metod, vlet ör att v nte an avöra vlen metod som vnner det här allet då v nte undersöt hur måna artmetsa operatoner sn och cos räver sn tur.
22 9 E. ρ Beräna,,,,,..., Talors metod: [ ] [ ] [,,,, ] [ ] [ ] [ ] [ ] h h h h{ h[ h ] } Antal operatoner: - er 5 addtoner och multplatoner. h er multplatoner och addtoner. Summan av antalet operatoner blr 9 addtoner och multplatoner ör att lösa ODE:n h.
23 Rune-Kuttas metod: h h 6 där, ] [ h, h h, h [ h, h ] Antal operatoner: Rune-Kuttas metod räver evaluernar av plus 9 addtoner och 7 multplatoner ör att evaluera h. Vare evaluern av det här allet blr addton och multplatoner eller sammantaet addtoner och 8 multplatoner. Summan av antalet operatoner blr addtoner och 5 multplatoner ör att lösa ODE:n h. Detta nnebär att det rävs addtoner och multplaton mndre Talors metod, vlet ör att Talors metod vnner det här allet.
24 5 Slutsatser V har den här uppsatsen löst nåra ordnära derentalevatoner m.h.a. Talors metod och Rune-Kuttas metod ör att undersöa vlen metod som rävt mnst antal operatoner ör en lösnn. Då an man undra varör man vll veta det. När man sall väla en numers stemetod är det nåra rterer man vll sall beatas: Enelhet Norannhet Stabltet Talors metod och Rune-Kuttas metod är lvärda på dom här punterna om dom har samma ordnn och då an ocså ostnaden ör att lösa problemet vara av ntresse. Förvsso an Talors metod lätt es en höre/läre ordnn, då Rune-Kuttas metod är ör vare ordnn, men detta blr tll en höre ostnad u höre ordnn man väler Talors metod. Utrån våra eperment har v vsat att vlen metod som blr bllast beror på hur den ordnära derentalevatonen är onstruerad och detta er upphov tll ett antal ortsättnnsvs ntressanta undersönnar: Konstruera en Talorlass med lopränn ör att undersöa ett större urval av ordnära derentalevatoner. Specellt epermentera med ola ordnnstal..undersöa vad elementära untoner ostar multplatoner och addtoner då de är mcet dra ämörelse. Är det så att en ce-autonom ordnär derentalevaton &, alltd är bllare med Talors metod?, där
25 6 Reerenser [] W. Tucer. Auto-valderande numersa metoder, Lecture notes. Uppsala,. [] Bendtsen/Staunn. Tad, A leble C pacae or automatc derentaton, Techncal report, IMM-REP-977-7, Lunb, 997. [] Persson/Böers. Anals en varabel. Studentltteratur, 99. [] Mathews/Fn. Numercal methods usn matlab. Pearson Prentce Hall,. [5] Ramon E. Moore. Mathematcal Elements o Scentc Computn. Holt, Rnehart & Wnston Inc, 975. [6] C-E Fröber. Lärobo numers anals. Bonners, 96. [7] J. Todd. Surve o numercal analss. McGraw-Hll, 96.
DEL I. Matematiska Institutionen KTH
1 Matematsa Insttutonen KTH Lösnngar tll tentamenssrvnng på ursen Dsret Matemat, moment A, för D och F, SF1631 och SF1630, den 4 jun 009 l 08.00-13.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tllåtna på tentamenssrvnngen.
Läs merThomas Macks beräkning av standardfelet för reservavsättningar
Thomas Macs beränng av standardfelet för reservavsättnngar Eva-Lena Tolstoy Rauto 008-05-09 1 Innehållsförtecnng 1. Inlednng...5. Teor...5.1 Resdualplottar...6. Thomas Macs modell...6.3 Svansfator...8.4
Läs merVeckoblad 2. Kapitel 2 i Matematisk statistik, Blomqvist U.
Vecoblad 2 Kaptel 2 Matemats statst, Blomqvst U. ya begrepp: oberoende händelser, betngad sannolhet, Bayes formel.. är man sall lösa problem, där sntt mellan händelser ngår, an det ofta vara tll hjälp
Läs merTentamen i FEM för ingenjörstillämpningar (SE1025) den 5 juni 2009 kl
KH HÅFASHESÄRA entamen FE för ngenjörstllämpnngar (SE5) den 5 jun 9 l. 8-. Resultat ommer att fnnas tllgänglgt senast den jun. Klagomål på rättnngen sall vara framförda senast en månad därefter. OBS! entand
Läs merbetecknas = ( ) Symmetriska egenskaper hos derivator av andra ordningen. (Schwarzs sats)
PARTIELLA DERIVATOR Partiella derivator deinieras enom ränsvärden Deinition Låt vara en reellvärd untion deinierad på en öppen mänd n n Ω R Den partiella derivatan av i punten Aa a n Ω med avseende på
Läs merKINESISKA RESTSATSEN OCH STRUKTURSATSER
Matematsa Insttutonen, KTH Algebra D2, VT 2002 Anders Björner KINESISKA RESTSATSEN OCH STRUKTURSATSER I vssa fall an algebrasa utränngar delas upp på flera mndre utränngar som an utföras parallellt och
Läs merTENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN
TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF00 TEN 0-0- Hjälpmedel: Formelblad och ränedosa Fullständga lösnngar erfordras tll samtlga uppgfter Lösnngarna sall vara väl motverade och så utförlga att
Läs merKarlstads Universitet Maskinteknik /HJo
Karlstads Unverstet asnten 9-4-7/Ho orsonssvängnngar I roterande masner nns rs ör torsonnvängnngar, dvs vrdsvängnngar som överlagras på rotatonen. Perodsa störnngar som excterar dessa svängnngar an t.ex.
Läs merTrafikljus utvidgat med stresstest för försäkrings- och driftskostnadsrisker inom livförsäkring
PROMEMORIA Datum 007-03-01 FI Dnr 07-1171-30 Fnansnspetonen Författare Bengt von Bahr, Göran Ronge P.O. Box 6750 SE-113 85 Stocholm [Sveavägen 167] Tel +46 8 787 80 00 Fax +46 8 4 13 35 fnansnspetonen@f.se
Läs merTrafikljus stresstest för försäkrings- och driftskostnadsrisker inom livförsäkring
PROMEMORIA Datum 007-07-0 FI Dnr 07-1171-30 Fnansnspetonen Författare Bengt von Bahr, Göran Ronge P.O. Box 6750 SE-113 85 Stocholm [Sveavägen 167] Tel +46 8 787 80 00 Fax +46 8 4 13 35 fnansnspetonen@f.se
Läs merBeräkna standardavvikelser för efterfrågevariationer
Handbok materalstyrnng - Del B Parametrar och varabler B 41 Beräkna standardavvkelser för efterfrågevaratoner och prognosfel En standardavvkelse är ett sprdnngsmått som anger hur mycket en storhet varerar.
Läs merTentamen i Dataanalys och statistik för I den 5 jan 2016
Tentamen Dataanalys och statstk för I den 5 jan 06 Tentamen består av åtta uppgfter om totalt 50 poäng. Det krävs mnst 0 poäng för betyg, mnst 0 poäng för och mnst 0 för 5. Eamnator: Ulla Blomqvst Hjälpmedel:
Läs merKombinatoriska nät. Kombinatoriska nät. Kodomvandlare - 1/2 binäravkodare. Kodomvandlare - 2/4 binäravkodare
Grndläande datorteknk Komnatorka nät Daen örelänn: Lärooken kaptel 4 Aretoken kaptel 4-7 Ur nnehållet: Kodomvandlare Don t are vd mnmern Väljare (Mltpleer Fördelare (Demltpleer Sktoperatoner Adderare n
Läs merpå fråga 6 i tävlingen för matematiklärare. 'l.
påståendet nte gäller för alla Betrakta sdan AB och dagonalen D ;~var på fråga 6 tävlngen för matematklärare. 'l. Jag böjar med att vsa att antalet dagonaler en n-hömng är n(n-3)/2.. 2..j ' :., Bevs: Frän
Läs merVariansanalys ANOVA. Idé. Experiment med flera populationer. Beteckningar. Beteckningar. ANOVA - ANalysis
Varansanalys ANOVA ANOVA - ANalyss Of VArance Stcprov från flera populatoner ( ) analyserar varansen (sprdnngen) varje stcprov för att dra slutsatser om medelvärden Har alla populatoner samma medelvärden?
Läs merProv i matematik Fristående kurs Analys MN1 distans UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström
UPPSALA UNIVERSITET Matematisa institutionen Anders Källström Prov i matemati Fristående urs Analys MN1 distans 6 11 Srivtid: 1-15. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna sall åtföljas av förlarande
Läs merLösningar modul 3 - Lokala nätverk
3. Lokala nätverk 3.1 TOPOLOGIER a) Stjärna, rng och buss. b) Nät kopplas ofta fysskt som en stjärna, där tll exempel kablar dras tll varje kontorsrum från en gemensam central. I centralen kan man sedan
Läs merF & 34 ø øl ø øl ø V. ø øl ø. &øl ø# øl ø øl ø ? F. &speg - lar Hår - ga - ber - get. ? ú ø ú ø ú ø. Hårga-Låten. som - mar - nat - ten, i
L L L L V Hm l är blek VSpel man n är HårgaLåt L L L mar nat t, n g matt, L Text: Carl Peter Wckström Sats: Robert Sund (.2) L L # Ljus L nans vat t sg be satt L # Hm l är blek Spel man L n L är V mar
Läs merSammanfattning, Dag 1
Sammanfattnng, Dag 1 V började med en sammanfattnng om vad v redan hade lärt oss från Matematk I Sedan fortsatte v (nästan punkt för punkt) resonera vad v skulle kunna göra mer och vsade vart v kunde komma
Läs mer1. Inledning s Teori bakom reversionspendeln s. 3
Abstract In ths master's thess the problem of determnn the uncertanty for an estmator of an unknown parameter s consdered. The case we study s the estmaton of ravty usn a reversble pendulum. Ths nvolves
Läs merBlixtkurs i komplex integration
Blxtkurs komplex ntegraton Sven Spanne 7 oktober 998 Komplex ntegraton Vad är en komplex kurvntegral? Antag att f z är en komplex funkton och att är en kurva det komplexa talplanet. Man kan då beräkna
Läs merKapitel 3 Jämvikt Referensramar. Euler s ekvationer. Hastighet och referensram
aptel Jämvkt Referensramar Hasthet och referensram uler s ekvatoner a a a () t x () t j () t k z () t k O r Referensram j v r r () t x () t j () t kz () t v v () t x () t j () t kz () t a a () t x () t
Läs merDeltentamen. TMA044 Flervariabelanalys E2
Deltentamen godäntdelen, del TMA44 Flervariabelanalys E 4-9-7 l. 8:3-:3 Eaminator: Peter Hegarty, Matematisa vetensaper, Chalmers Telefonvat: Åse Fahlander, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad,
Läs mer2 Jämvikt. snitt. R f. R n. Yttre krafter. Inre krafter. F =mg. F =mg
Jämvkt Jämvkt. Inlednng I detta kaptel skall v studera jämvkten för s.k. materella sstem. I ett materellt sstem kan varje del, partkel eller materalpunkt beskrvas med hjälp av dess koordnater. Koordnatsstemet
Läs mer2B1115 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 2004 Omtentamen Måndagen den 23:e aug, 2005, kl. 9:00-14:00
(4) B Ingenjörsmetodk för IT och ME, HT 004 Omtentamen Måndagen den :e aug, 00, kl. 9:00-4:00 Namn: Personnummer: Skrv tydlgt! Skrv namn och personnummer på alla nlämnade papper! Ma ett tal per papper.
Läs merVäxelström = kapitel 1.4 Sinusformade växelstorheter
Växelström = kaptel 1.4 Snusformade växelstorheter Toppvärde, effektvvärde, frekvens, perodtd. Kretsens mpedans och kretsens fasvnkel. Vsardagram. Effekt och effektfaktor. Effektvvärde och effekt vd fasvnkeln
Läs merAnalys av polynomfunktioner
Anals av polnomfuntioner Anals360 (Grundurs) Blandade uppgifter När du har löst dessa övningar, ta dig tid att gå igenom vad du gjort. Tän igenom att dina argument inte bara är rätt, utan att du tdligt
Läs merJämviktsvillkor för en kropp
Jämvktsvllkor för en kropp Det förekommer ofta stuatoner där man önskar bestämma vlka vllkor som måste uppfyllas för att en fast kropp skall förbl stllastående, dvs. befnna sg jämvkt. Den här delen av
Läs merEn studiecirkel om Stockholms katolska stifts församlingsordning
En studecrkel om Stockholms katolska stfts församlngsordnng Studeplan STO CK HOLM S K AT O L S K A S T I F T 1234 D I OECE S I S HOL M I ENS IS En studecrkel om Stockholm katolska stfts församlngsordnng
Läs merProjekt i transformetoder. Rikke Apelfröjd Signaler och System rikke.apelfrojd@signal.uu.se Rum 72126
Projekt transformetoder Rkke Apelfröjd Sgnaler och System rkke.apelfrojd@sgnal.uu.se Rum 72126 Målsättnng Ur kursplanen: För godkänt betyg på kursen skall studenten kunna använda transformmetoder nom något
Läs merVäntevärde för stokastiska variabler (Blom Kapitel 6 och 7)
Matemats statst för STS vt 004 004-04 - 0 Begt Rosé Vätevärde för stoastsa varabler (Blom Kaptel 6 och 7 1 Vätevärde för e dsret stoasts varabel Låt vara e dsret s.v. med saolhetsfuto p ( elgt eda. Saolhetera
Läs merSlumpvariabler (Stokastiska variabler)
Slumpvarabler Väntevärden F0 Slutsatser från urval tll populaton Slumpvarabler (Stokastska varabler) En slumpvarabel är en funkton från utfallsrummet tll tallnjen Ex kast med ett mynt ggr =antalet krona
Läs merStela kroppars rörelse i ett plan Ulf Torkelsson
Föreläsnng /10 Stela kroppars rörelse ett plan Ulf Torkelsson 1 Allmän stelkroppsrörelse ett plan Den allmänna stelkroppsrörelsen ett plan kan delas upp den stela kroppens rotaton krng en axel och axelns
Läs merPrimär- och sekundärdata. Undersökningsmetodik. Olika slag av undersökningar. Beskrivande forts. Beskrivande forts. 2012-11-08
Prmär- och sekundärdata Undersöknngsmetodk Prmärdataundersöknng: användnng av data som samlas n för första gången Sekundärdata: användnng av redan nsamlad data Termeh Shafe ht01 F1-F KD kap 1-3 Olka slag
Läs merPPU207 HT15. Skruvförband. Lars Bark MdH/IDT 2015-12-08
Sruvörband ar Bar MdH/IDT 1 Innebär att: - olla att ruvarna håller - olla att örbandet håller hop vd pålagd lat ar Bar MdH/IDT 2 Sruven - σ = a / A - a : p.g.a. lat och örpännng - A E : pännngarea nn bland
Läs merUpphandlingsbarometern
Upphandlngsbarometern 2017 www.opc.com/upphandlngsbarometer Vsma Upphandlngsbarometern 2017 Sd 1 Förord Som Nordens största leverantör av nöps-, upphandlngs- och anbudstjänster änner v ansvar att vera
Läs mer6.2 Transitionselement
-- FEM för Ingenjörstllämpnngar, SE5 rshen@kth.se 6. Transtonselement Den här tpen av element används för förbnda ett lnjärt och ett kvadratskt element. Gvet: Sökt: Bestäm formfunktonen för nod. Vsa att
Läs mer2B1116 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 2006 Omtentamen Måndagen den 15:e jan, 2007, kl. 15:00-20:00
(5) B6 Ingenjörsetod för IT och ME, HT 006 Otentaen Måndagen den 5:e jan, 007, l. 5:00-0:00 Nan: Personnuer: Srv tdlgt! Srv nan och ersonnuer å alla nlänade aer! Ma ett tal er aer. Ansvarg lärare: Gunnar
Läs merStressbegreppet. Stressnivån stiger t ex. Stress och risken för stressrelaterade sjukdomar Sjukgymnastutbildningen KI, T2
Stress och rsken för stressrelaterade sjukdomar Sjukgymnastutbldnngen KI, T2 Ala Collns Department of Clncal Neuroscence Karolnska Insttute Stockholm, Sweden Stressbegreppet Evolutonsperspektv: Männskan
Läs mer1. Anpassningstest. Chi-Square test. Multinomial experiment. Multinomial experiment. Vad gör g r ett anpassningstest?
Ch-Square test 1. Anpassnngstest 1. Anpassnngstest (Goodness of Ft). Oberoendetest (Independence Test) uwe.menzel@genpat.uu.se Vad gör g r ett anpassnngstest? Hur bra passar en statsts modell tll observerade
Läs merTolkningen av normalfördelningsfunktionen. Felfortplantningsformeln Felet i medelvärdet Acceptans av data Felpropagering Relativa fel
Tolknngen av normalördelnngsunktonen Felortplantnngsormeln Felet medelvärdet cceptans av data Felpropagerng Relatva el 00-09-06 Fskeperment, 7.5 hp ormalördelnngsunktonen (; µ, ) ( µ ) ep π.5.5 0.5 sgma
Läs merCentrala Gränsvärdessatsen:
Föreläsnng V såg föreläsnng ett, att om v känner den förväntade asymptotska fördelnngen en gven stuaton så kan v med utgångspunkt från våra mätdata med hjälp av mnsta kvadrat-metoden fnna vlka parametrar
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
160819 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 160819 Svar och anvsnngar Uppgft 1 a) Svar: A(1 Bt)e Bt v = dx dt = d dt (Ate Bt ) = Ae Bt ABte Bt = A(1 Bt)e Bt b) Då partkeln byter rktnng har v v = 0, dvs (1 t) = 0. Svar:
Läs merFaradays lag. ger. Låt oss nu bestämma den magnetiska energin för N st kopplade kretsar. Arbetet som kretsarnas batterier utför är
9. Magnetsk energ Faradays lag [RM] ger E dφ dt (9.5) dw k IdΦ + RI dt (9.6) Batterets arbete går alltså tll att bygga upp ett magnetskt flöde Φ och därmed motverka den bromsande nducerade spännngen, och
Läs merNär vi räknade ut regressionsekvationen sa vi att denna beskriver förhållandet mellan flera variabler. Man försöker hitta det bästa möjliga sättet
Korrelaton När v räknade ut regressonsekvatonen sa v att denna beskrver förhållandet mellan flera varabler. Man försöker htta det bästa möjlga sättet att med en formel beskrva hur x och y förhåller sg
Läs merUtbildningsavkastning i Sverige
NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala Unverstet Examensarbete D Författare: Markus Barth Handledare: Bertl Holmlund Vårtermnen 2006 Utbldnngsavkastnng Sverge Sammandrag I denna uppsats kommer två olka
Läs merOpp, Amaryllis (Fredmans sång nr 31)
Opp, marylls (Fredmans sång nr 1) Text musk: Carl Mchael Bellman rr: Eva Toller 05 Tenor 1 1Opp, Tag - ma - ryl - ls, vak - na mn ll -! äd - ret stl -, d re - var dra-gen; bör - jar -gen, Tenor 2 Basso
Läs merFlervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar läsvecka 2
Flervariabelanals I Vintern Översikt öreläsningar läsvecka Denna vecka ägnas nästan uteslutande åt problemet att hitta största och minsta värden till en unktion av lera variabler. Vi kommer att studera
Läs merTillämpningar av dekomposition: Flervaruflödesproblemet. Flervaruflödesproblemet: Lagrangeheuristik
Tllämpnngar av dekomposton: Flervaruflödesproblemet v = mn j: x k c k x k xj k = r k för alla N, k C (1) x k b för alla (, j) A (2) j:(j,) A x k 0 för alla (, j) A, k (3) Struktur: Om man relaxerar kapactetsbvllkoren
Läs meri = 1. (1.2) (1.3) eller som z = x + yi
Särttrck ur "Dfferentalekvatoner och komplea tal" av Tore Gustafsson, 9.8.03 KOMPLEXA TAL Uppfattnngen om komplea tal uppstod samband med upptäckten av enkla ekvatoner som nte har reella lösnngar, t.e.
Läs merSpänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C är lika med q ( t)
Tllämnngar av dfferentalekvatoner, LR kretsar TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER LR KRETSAR Låt vara strömmen nedanstående LR krets (som nnehåller element en sole med nduktansen L henry, en motstånd
Läs merÖvervakad inlärning Översikt. Exempel. Återblick. Testning av nätet. Styrning av aktivering i nätet
Överst Övervaad nlärnng Hebbans nlärnng (CPCA) an nte lära sg vad som helst Deltaregeln och bacpropagaton sulle vara en lösnng, men E bologst trovärdg Bologst plausbel motsvarghet tll bacprop (CHL) Kombnaton
Läs merLösningsförslag, v0.4
, v.4 Preliinär version, 6 februari 28, reservation för fel! Högsolan i Sövde Tentaen i ateati Kurs: MA52G Mateatis analys MA23G Mateatis analys för ingenjörer Tentaensdag: 27-5-2 l 8:3-3:3 Hjälpedel :
Läs merFlygburen passiv lägesbestämning baserad på noggrann frekvensmätning
FOI-R--9--SE December ISSN 65-94 Metodrapport Böre Anderon, Danel Henron, Börn Lndgren Flygburen pav lägebetämnng baerad på noggrann revenmätnng Lednngytemten 58 Lnöpng TOTALFÖRSVARETS FORSKNINGSINSTITUT
Läs merNEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod ör umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder
Läs merModell-anpassning: Minstakvadrat-polynom Polynom: interpolation Kurvor: styckevis polynom, Hermite, spline Bézier-kurvor
F4 Modell-anpassnng: Mnsavadra-polno olno: nerpolaon Kurvor: scevs polno, Here, splne Bézer-urvor 0-08-06 DN40 nu3 HT Eepel: Mnsavadraeoden V Mnsavadra-approaon ed polno f, [0,] 0.4 f s poler lgger vd
Läs merSammanfattning. Härledning av LM - kurvan. Efterfrågan, Z. Produktion, Y. M s. M d inkomst = Y >Y. M d inkomst = Y
F12: sd. 1 Föreläsnng 12 Sammanfattnng V har studerat ekonomn påp olka skt, eller mer exakt, under olka antaganden om vad som kan ändra sg. 1. IS-LM, Mundell Flemmng. Prser är r konstanta, växelkurs v
Läs merAVTAL AV5EENDE FLYTNING AV 130 KV LEDN1NG ML1 561 KATRINEH02M\s KOMMUN
Kommunstyrelsens handl~ nr 4J2Q08~~ VATENFALL ~ AvtallD: VN-D-Av-1977-2007., AVTAL AV5EENDE FLYTNNG AV 130 KV LEDN1NG ML1 561 KATRNEH02Ms KOMMUN Mellan kv VATTENFALL lednng. ELDSTRBUTON AB, (org.nr. 556417-0800),
Läs merBeställningsintervall i periodbeställningssystem
Handbok materalstyrnng - Del D Bestämnng av orderkvantteter D 41 Beställnngsntervall perodbeställnngssystem Ett perodbeställnngssystem är ett med beställnngspunktssystem besläktat system för materalstyrnng.
Läs merTentamen i mekanik TFYA16
TEKNSKA HÖGSKOLAN LNKÖPNG nsttutonen ör Fysk, Kem och Bolog Gala Pozna Tentamen mekank TFYA6 Tllåtna Hjälpmedel: Physcs Handbook utan egna antecknngar, aprogrammerad räknedosa enlgt F:s regler. Formelsamlngen
Läs merL HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER.
L HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER Läs avsnitten 73 och 8-82 Lös övningarna 78-75, 82, 84a,b, 85a,c, 89, 80 samt 8 Avsnitt 73 L Hospitals regel an ibland vara till en viss nytta, men de flesta gränsvärden
Läs merStrömning och varmetransport/ varmeoverføring
Leton 6: Vämevälae onduton o onveton Gas IN Gas U Vatten U Vatten IN KP400/M406 Stömnng o vametanspot/ vameoveføng Vämevälaö ä en vtg del av vämevälaen, som sn tu ä en enet som används fö effetv vämeöveföng
Läs merSAMMANFATTNING OM GRADIENT, DIVERGENS, ROTATION, NABLAOPERATOR
Amn Hallovc: EXTA ÖVNINGA Nablaopeato SAMMANATTNING OM GADIENT DIVEGENS OTATION NABLAOEATO Ofta föeomande uttc och opeatoe 3 : GADIENT DIVEGENS OTATION V betata funtone med etanguläa oodnate Låt f vaa
Läs merMoment 2 - Digital elektronik. Föreläsning 2 Sekvenskretsar och byggblock
Moment 2 - gtal elektronk Föreläsnng 2 Sekvenskretsar och byggblock Jan Thm 29-3-5 Jan Thm F2: Sekvenskretsar och byggblock Innehåll: Sekvenser Latchar och vppor Regster Introdukton - byggblock Kodare
Läs merHandlingsplan. Grön Flagg. I Ur och Skur Pinneman
Handlngsplan Grön Flagg I Ur och Skur Pnneman Kommentar från Håll Sverge Rent 2013-09-23 12:55: N har fna och ntressanta utvecklngsområden med aktvteter som anpassas efter barnens förmågor. Se er själva
Läs merdt = x 2 + 4y 1 typ(nod, sadelpunkt, spiral, centrum) och avgöra huruvida de är stabila eller instabila. Lösning.
Lösningsförslag till tentamenssrivning i SF633 Differentialevationer I Måndagen den 5 otober 0, l 0800-300 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handboo Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräningar och
Läs merCome on children! Volym 1 av Karin Runow. Copyright Runow Media AB Tel:
Come on chldren Volym 1 av Karn Runo Copyrght Runo Meda B Tel: 08730 24 02 runomedase 1 VIKTI INORMTION Tack för att du valt att köpa detta not och textmateral u som köpt detta häfte äger rätt att kopera
Läs merodeller och storlekarw
odeller och storlekarw Bras-Spsen, ett bra val tll dn öppna sps! Bras-Spsen nsats var före sn td när den kom ut på marknaden mtten av 80-talet Eldnngsteknken och rökkanalsystemet skyddades under många
Läs merBiomekanik, 5 poäng Kinetik
Teori: F = ma Dessutom gäller, som i statien, Newtons 3: lag! Newtons lagar 1. Tröghetslagen: En ropp utan yttre raftpåveran förblir i sitt tillstånd av vila eller liformig, rätlinjig rörelse.. Accelerationslagen:
Läs merPartikeldynamik. Fjädervåg. Balansvåg. Dynamik är läran om rörelsers orsak.
Dynamk är läran om rörelsers orsak. Partkeldynamk En partkel är en kropp där utsträcknngen saknar betydelse för dess rörelse. Den kan betraktas som en punktmassa utan rotaton. Massa kan defneras på två
Läs merTest av anpassning, homogenitet och oberoende med χ 2 - metod
Matematsk statstk för STS vt 00 00-05 - Bengt Rosén Test av anpassnng, homogentet och oberoende med χ - metod Det stoff som behandlas det fölande återfnns Blom Avsntt 7 b sdorna 6-9 och Avsntt 85 sdorna
Läs merSamtidighet. Föreläsning 2: Relativitetsteori fortsättning
Föreläsning : Relativitetsteori ortsättning Samtidighet Samtidighet i ett system innebär inte samtidighet i ett annat med likormig rörelse relativt varandra Eempel: Per Person provkör sin nya 4 m långa
Läs merSVÄNGNINGAR Odämpad svängning för ett diskret system med en frihetsgrad.
SVÄNGNINGA Odäpad svängnng för e dsre sse ed en frhesgrad. r svängnng jäder [N/] Sas jävsläge. [g ] [ ] & & : & & & So har lösnngen; Bsn C cos Lösnngen nnebär; Vnelhasgheen rad/s och svängnngsfrevensen
Läs merPartikeldynamik. Dynamik är läran om rörelsers orsak.
Partkeldynamk Dynamk är läran om rörelsers orsak. Tung och trög massa Massa kan defneras på två sätt. Den ena baserar sg på att olka massor attraheras olka starkt av jordens gravtaton. Att två massor är
Läs merTENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 29 okt 2015 Skrivtid 8:15 12:15
TENTMEN Kurs: HF9 Matematik moment TEN anals Datum: 9 okt 5 Skrivtid 8:5 :5 Eaminator: rmin Halilovic Rättande lärare: Fredrik Bergholm Elias Said Jonas Stenholm För godkänt betg krävs av ma poäng Betgsgränser:
Läs merStelkroppsdynamik i tre dimensioner Ulf Torkelsson. 1 Tröghetsmoment, rörelsemängdsmoment och kinetisk energi
Föreläsnng 4/10 Stelkroppsdynamk tre dmensoner Ulf Torkelsson 1 Tröghetsmoment, rörelsemängdsmoment och knetsk energ Låt oss beräkna tröghetsmomentet för en goycklg axel som går genom en fx punkt O en
Läs merwww.olr.ccli.com Introduktion Online Rapport Din steg-för-steg guide till den nya Online Rapporten (OLR) Online Rapport
Onlne Rapport Introdukton Onlne Rapport www.olr.ccl.com Dn steg-för-steg gude tll den nya Onlne Rapporten (OLR) Vktg nformaton tll alla kyrkor och organsatoner som har en CCLI-lcens Inga mer program som
Läs mer1 Föreläsning II, Vecka I, 21/1-25/11, 2019, avsnitt
1 Föreläsning II, Veca I, 1/1-5/11, 019, avsnitt.3 1.1 Kombinatori Exempel 1.1 I ett rutnät går man åt höger eller uppåt. Hur många vägar finns det mellan A och B? B A Vi har 8 (del-)sträcor att välja
Läs merBarn i Guds tid. Nattvardsmässa för barnkör, diskantkör och instrument. Församlingsagenda
Barn Guds td Nattvardsmässa för barnkör dskantkör och nstrument Församlngsagenda Barn Guds td Nattvardsmässa för barn Text: Eyvnd Skee Sv. text: Chrstna Lövestam Musk: Johan Varen Ugland 1. Processon med
Läs merx(t) =A cos(!t) sin(!t)
Lösningsförslag. Rörelseevationen för roen ger som vanligt ẍ +! =,! = som tillsamman med begynnelsevilloren () = A, ẋ() = ger a) Så varför mavärdet av hastighetens belo är!a. q m A (t) =A cos(!t) ẋ(t)
Läs merPerformansanalys LHS/Tvåspråkighet och andraspråksinlärning Madeleine Midenstrand 2004-04-17
1 Inlednng Jag undervsar tyskar på folkhögskolan Nürnberg med omgvnngar. Inför uppgften att utföra en perforsanalys av en elevtext lät mna mest avancerade elever skrva en uppsats om vad de tyckte var svårt
Läs merTENTAMEN Datum: 28 maj 08 TEN1: Differentialekvationer, komplexa tal och Taylors formel
TENTAMEN Datum: 8 maj 08 TEN: Dffrntalkvatonr, kompla tal och Talors forml Kursr: Matmatk och matmatsk statstk, Matmatk TEN: Dffrntalkvatonr, kompla tal och Talors forml Kurskod HF000, HF00, H0, H000,
Läs mersaknar reella lösningar. Om vi försöker formellt lösa ekvationen x 1 skriver vi x 1
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR KOMPLEXA TAL Inlednng Ekvatonen x 1 har två reella lösnngar, x 1, dvs x 1, medan ekvatonen x 1 saknar reella lösnngar Om v försöker formellt lösa ekvatonen x 1 skrver v x 1
Läs merBilligaste väg: Matematisk modell i vektor/matrisform. Billigaste väg: Matematisk modell i vektor/matrisform
Vägar: Bllgaste väg Bllgaste väg s t Indata: Rktad graf med bågkostnader c, start/slutnod s, t. Bllgaste väg-problemet: Fnn en väg från s tll t med mnmal kostnad. Kostnaden för en väg är summan av kostnaderna
Läs merVarumarknaden och IS-kurvan
Blanchard Kaptel 5 Varu och pennngmarknaderna tllsammans -L modellen IDAG: Varumarknaden balans + pennngmarknaden balans. Smultan bestämnng av både ränta och produkton. Hur påverkas ränta och produkton
Läs mer6.4 Svängningsrörelse Ledningar
6.4 Svängningsrörelse Ledningar 6.166 b) Krafterna i de båda fjädrarna är lia stora och lia med raften på roppen (inses genom att man frilägger roppen och de två fjädrarna var för sig). Kroppens förflyttning
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på sammandragningarna.
Uppsala Universitet Matematisa Institutionen Bo Styf Basurs, 5 hp Distans 0-0-3 Genomgånget på sammandragningarna. Sammandragning, 5/ 0: Handlade om ombinatori multipliationsprincipen, permutationer, ombinationer,
Läs merExperimentella metoder 2014, Räkneövning 5
Expermentella metoder 04, Räkneövnng 5 Problem : Två stokastska varabler, x och y, är defnerade som x = u + z y = v + z, där u, v och z är tre oberoende stokastska varabler med varanserna σ u, σ v och
Läs merBEREDSKAP MOT ATOMOLYCKOR I SVERIGE
SSI:1';74-O15 BEREDSKAP MOT ATOMOLYCKOR I SVERIGE John-Chrster Lndll Pack, 104 01 STOCKHOIJ! ;4 aprl 1974 BEREDSOP TJÖT ATOMOLYCKOR I SVERIGE Manuskrpt grundat på ett föredrag vd kärnkraftmötot Köpenhamn,
Läs merElektromagnetisk strålning (ljus) och materia har både våg- och partikelegenskaper
Föreläsnng 5: Förra gången: Eleromagnes srålnng (ljus) oc maera ar både åg- oc arelegensaer Fooelers ee E E nma = φ m c Comonsrdnng ' 1 cos Parbldnng e + Z e + + e - + Z där Z är en aomärna som ar u reylen
Läs merY=konstant V 1. x=konstant. TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN.
Tangentplan Linjära approimationer TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z LINEARISERING NORMALVEKTOR NORMALRIKTNING TILL YTAN Låt z vara en dierentierbar unktion i punkten a b Då är N a b a b en normalvektor
Läs merGrön Flagg-rapport Berga förskola 2 jun 2015
Illustratoner: Anders Worm Grön Flagg-rapport Berga förskola 2 jun 2015 Kommentar från Håll Sverge Rent 2015-06-02 13:53: Vlken jättebra rapport n skckat n tll oss. Det är härlgt att läsa hur n utvecklat
Läs merLösningar till Matematisk analys
Lösningar till Matematis analys 0820. Stationära punter. f (x, y) = 8x(x 2 y), f 2(x, y) = 4(y x 2 )). Vi ar alltså att f (x, y) = f 2(x, y) = 0 { x(x 2 y) = 0 y x 2 = 0. Första evationen ovan är uppfylld
Läs merAPPROXIMATION AV SERIENS SUMMA MED EN DELSUMMA OCH EN INTEGRAL
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Approimatio av erie umma med e delumma APPROXIMATION AV SERIENS SUMMA MED EN DELSUMMA OCH EN INTEGRAL Låt vara e poitiv och avtagade utio ör åda att erie overgerar. Vi a
Läs merEtt bidrag till frågan om gånggriftstidens havsnivå vid Östergötland Nerman, Birger Fornvännen 22, 247-250
Ett bdrag tll frågan om gånggrftstdens havsnvå vd Östergötland Nerman, Brger Fornvännen 22, 247-250 http://kulturarvsdata.se/raa/fornvannen/html/1927_247 Ingår : samla.raa.se Smärre meddelanden. Ett bdrag
Läs merKomplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).
TENTAMEN 9 jan 01, HF1006 och HF1008 Moment: TEN1 (Lnjär algebra), hp, skrftlg tentamen Kurser: Analys och lnjär algebra, HF1008, Lnjär algebra och analys HF1006 Klasser: TIELA1, TIMEL1, TIDAA1 Td: 115-1715,
Läs merBras-Spisen, ett bra val till din öppna spis!
Bras-Spsen, ett bra val tll dn öppna sps! Bras-Spsen nsats var före sn td när den kom ut på marknaden mtten av 80-talet. Eldnngsteknken och rökkanalsystemet skyddades under många år av tre olka patent.
Läs merHur har Grön Flagg-rådet/elevrådet arbetat och varit organiserat? Hur har rådet nått ut till resten av skolan?
I er rapport dokumenterar n kontnuerlgt och laddar upp blder. N beskrver vad n har gjort, hur n har gått tllväga arbetsprocessen och hur eleverna fått nflytande. Här fnns utrymme för reflektoner från elever
Läs mer1974 Nr 622. Bilaga 1. Indelning i försäkringskategorier som ska tillämpas vid beräkning av de storheter som följer av de försäkringstekniska riskerna
1974 Nr 622 Bilaga 1 Indelning i försäringsategorier som sa tillämpas vid beräning av de storheter som följer av de försäringstenisa riserna Försäringsategori Försäringslasser Diretförsäring Lagstadgad
Läs merDödlighetsundersökningar på KPA:s
Matematsk statstk Stockholms unverstet Dödlghetsundersöknngar på KPA:s bestånd av förmånsbestämda pensoner Sven-Erk Larsson Eamensarbete 6: Postal address: Matematsk statstk Dept. of Mathematcs Stockholms
Läs mer