Kapitel 3 Jämvikt Referensramar. Euler s ekvationer. Hastighet och referensram

Transkript

1 aptel Jämvkt Referensramar Hasthet och referensram uler s ekvatoner a a a () t x () t j () t k z () t k O r Referensram j v r r () t x () t j () t kz () t v v () t x () t j () t kz () t a a () t x () t j () t k z () t O Inertalram r dm r M F F n n F M ( r F M ) O O F adm M r a dm O eonard uler (707 78) n av hstorens mest produktva matematker Jämvkt För alla kroppar äller: a a () 0 t F 0 MO 0 För stel kropp äller omvändnnen men ej för flexbel kropp e Motu (om rörelsen) 775 F 0 a MO 0 a () t 0 5 6

2 tatskt bestämt Frlad kropp xempel.: tatskt bestämt sstem: lanka på två stöd. n homoen planka med massan m och länden vlar mot två stöd enlt nedanstående fur. estäm stödreaktonerna, d v s krafterna från stöden på plankan! m, j N j N j j ( m) Fur.5 lanka på två stöd. Fur.6 Frlad planka. 7 8 tatskt obestämt Frlad kropp xempel.: tatskt obestämt sstem: lanka på tre stöd. n homoen planka med massan m och länden vlar mot tre stöd enlt nedanstående fur. et tredje stödet placeras mtt under plankan. estäm stödreaktonerna! j ( m) j N j N j N j Fur.7 lanka på tre stöd. Fur.8 Frlad planka. 9 0 ammanfattnn ammanfattnn (Jämvkt) n kropp påverkas av ett sstem av ttre krafter F. å äller uler s rörelselaar Nollsstem bestående av två punktkrafter F : ( F, ), ( F, ) F a dm M r a dm, O Jämvkt medför ( a 0, ) vlket är ekvvalent med F 0, M 0 O F 0 M 0 x F 0 och M 0 Ox, O, Fz 0 M 0 Oz, F F ( r r ) F 0r F och nnebär att F utör ett nollsstem.

3 Nollsstem bestående av tre punktkrafter F : ( F, ), ( F, ), ( F, ) F F F F F F Verknnslnjerna ler ett emensamt plan, antnen skär de varandra en punkt eller också är de parallella. Frlänn xempel.: etrakta en kropp som består av fra delkroppar,, och. elkroppen påverkas av en ttre anbrnad kraft ( G, ). elkropparna är kontakt och delkroppen stöder mot ett fundament 0 och delkropp är kopplad tll 0 va en axel enom punkten. Frlä delkropparna och ställ upp jämvktsvllkor för delkropp. G Frlad delkropp Frlada delkroppar F ( ) : ( G, ), (, ), (, ), ( m, ) G m 0 m 0 m G m m 7 8

4 xempel. ösnn. 9 0 xempel. ösnn. m N f V H r h h d Frlad kranarm F : ( R, ), ( m, G), ( F, ), ( m, ) a l R H j V m j ( m ) F F cos jf sn ml j( ml) a a

5 roblem /77 ösnn /77 F : (, ), (, ), (, ), ( m, G) Frlad bom F : (, ), (, ), ( R, O), ( k( F), ) ammanfattnn (Frlänn) Vlken är fråeställnnen? Frlä en för fråeställnnen lämpl delkropp och rta en frkroppsfur. eskrv det sstem av ttre krafter och moment som verkar på delkroppen. täll upp jämvktsvllkoren. ontrollera antalet ekvatoner och antalet obekanta. ös ekvatonssstemet, om möjlt. Om antalet obekanta är fler än antalet ekvatoner tvnas man frläa tterlare en delkropp. Välj en n delkropp. etta bör vara en kropp som står mekansk kontakt med den förra. Genomför ovanstående punkter för denna delkropp. Om nu antalet obekanta och antalet ekvatoner överensstämmer kan ekvatonssstemet ha en entd lösnn. Om nte så fortsätter man proceduren enlt ovan! Observera att man under ovanstående process kan komma fram tll att de kraftsstem som uppträder är statskt obestämda. roblemet har då nen entd lösnn! 9 0 5

6 trukturer, fackverk och ramar Fackverk (Trusses) Fackverk bs upp av följande element Fackverk () Raka stånelement som karakterseras av sn länd. Man försummar stånelementets massa. () nutpunkter, som betraktas som punktforma. xempel. xempel. tt fackverk består av sju lkadana stäner (stånelement) vardera med länden. et stöder mot ett fundament enlt nedanstående fur. Fackverket belastas med punktkrafterna ( e ( ), ) och ( e ( ), ). estäm krafterna stänerna, och. () I knutpunkterna kopplas stånelementen hop va latta leder. elastnnen på ett fackverk es av ett sstem av ttre krafter bestående av (v) unktkrafter som anrper fackverkets knutpunkter. Ina ttre krafter verkar på stånelementen. j tllåten kraft Frlat fackverk tånkrafter m m H V V n n ( ) r 5 tånkraften säs vara trckande om 0 och draande om

7 Nollsstem bestående av två punktkrafter Frlada knutpunkter F : ( F, ), ( F, ) 0 F F ( r r ) F 0r F V raande eller trckande med vektorer raande eller trckande med referensrktnnar n ( ) 0 draande 0 trckande 0 trckande 0 draande xempel. Frlat fackverk 7

8 Frlad höer del av fackverket ammanfattnn fackverk tt fackverk består av raka, lätta stånelement som kopplas samman sna ändpunkter va frktonsfra leder (knutpunkter). Fackverket belastas med ttre krafter som anrper knutpunkterna. tt fackverk kan analseras med a) nutpunktsmetoden som nnebär () Frlänn av hela fackverket för bestämnn av stödreaktonerna () Frlänn av lämpl knutpunkt (knutpunkter) för bestämnn av efterfråade stånkrafter. b) nttmetoden som nnebär () Frlänn av hela fackverket för bestämnn av stödreaktonerna () Frlänn av en del av fackverket enom att sntta lämpla stäner. xempel. Frlat ramverk xempel.: tt ramverk, enlt nedanstående fur, belastas med en tnd med massan m 00k. et antas att hjulen vd och F är frktonsfrtt larat på axlar. Hjulet vd F har raden r 05m.. estäm de krafter som verkar som verkar mellan balkelementen punkterna,,,, och F. 98ms Frlada delar ramverket ammanfattnn ramverk n ett ramverk består av stela, lätta, ej nödvändtvs raka, balkelement som förenas med frktonsfra (latta) leder. Förennen behöver ej ske balkarnas ändpunkter och den ttre lasten är ej nödvändtvs anbrnad balkarnas ändpunkter. tt ramverk analseras enom () () () (v) Frlänn av hela fackverket för bestämnn av stödreaktonerna. Frlänn av delkroppar för bestämnn av nre reaktonskrafter. ösnn av jämvktsekvatonerna. ontroll av lösnnen tll ekvatonssstemet. Utförs på den ssta delkroppen