Stabilitetsberäkning av höga byggnader enligt andra ordningens teori

Transkript

1 tabltetsberäknng a höga bggnader enlgt andra ordnngens teor Jan tenmark --

2 En balkelare enlgt fgr analseras. n n Fgr. alkelare med frhetsgrader Elementsthetsmatrs för ett element Φ Φ Z (4 µ ) EI ( µ ) ( µ ) 6 ( µ ) (4 µ ) () βei Där µ () GA thetssamband Φ Z () Genom att tntta att och att Φ erhålls fölande ekatoner (4) Z (5) Ur ekaton (4) erhålls som nsatt (5) ger Z ( )

3 Här dentferas balkelarens laterala sthetsmatrs,, som (6) alkelarens laterala sthetsmatrs kan äen erhållas drekt r ekaton () genom att elmnera samtlga termer trede kadranten. De laterala sthetsmatrserna och sätts samman en dagonalmatrs (7) ransformatonsmatrs mellan lokalt och globalt koordnatsstem erhålls som sn sn (8) Där sn (8a) sn (8b) och anger balkelarens koordnater globalt sstem och är det lokala sstemets rotaton relatt globalt sstem. ransformatons matrsen för en balkelare med ånngar blr sn sn sn sn sn sn Eller (9)

4 ransformaton a balkelarnas elementsthetsmatrser tll globalt koordnatsstem sker tå steg. I ett första steg skaas en elementsthetsmatrs med försktnngar globalt sstem. Den saras för att senare knna anändas d beräknng a snttkrafter. () alkelarens sthetsmatrs globalt koordnatsstem blr () Inerkan a andra ordnngens effekter tas hänsn tll genom att sammanfatta alla endelelare tll en endelelare som laceras are lans masscentrm. thetsmatrsen för ett sstem endelelare kan erhållas r en geometrsk betraktelse, se fgr / - / -( )/ ( )/ Fgr. edelelare Genom att smmera lasten å are lan erhålls q da () A och sstemets sthetsmatrs blr:

5 () amtlga dagonaltermer blr negata lket nnebär att elaren har en destablserande effekt å sstemet. endelelarsstemets sthetsmatrser lokalt koordnatsstem laceras en dagonalmatrs å samma sätt som (7). (4) är tå ntllggande lans masscentrm nte sammanfaller, måste elaren komletteras med en stel länk (rgd lnk) lanets nå, se fgr. änken modelleras enklast elarens tranformatonsmatrs.,, lan lan lan - Fgr. endelelare med stel länk Genom att modfera ekaton (8) erhålls transformatons matrsen för endelelarkedan som:

6 (5) För en endelkeda med tre ånngar blr transformatonsmatrsen Eller (6) stemets geometrska sthetsmatrs kan beräknas å samma sätt som ekaton (). G (7) Det kan ara ntressant att notera konsekensen a den förenklade framställnngen ekaton (7). Försktnngsolnom som modellerar geometrska sthetsmatrser brkar ara a trede ordnngen och ger oftast god öerensstämmelse om aallasten nte är för nära den elastska knäcklasten. För att erhålla god assnng a ett tredegradsolnom kräs allmänhet 4 eller 5 nkter. I ekaton (4) är nterolatonsnkterna lokalserade tll ånngslanen och därför kräs mnst 4 eller 5 ånngar för att modellen skall ge korrekta resltat. Om antalet ånngar är mndre kommer andra ordnngens effekter att nderskattas ard resltatet blr å osäker sda. stemsthetsmatrsen för ett sstem med m stcken balkelare erhålls som m G (8) Ur sstemsthetsrelatonen r R (9) erhålls försktnngar, r, globalt sstem. olngskrafterna mellan den :te balkelaren och lan erhålls med häl a ekaton () r H ()

7 Med häl a kolngskrafterna kan sedan tärkraft och moment beräknas. För en balkelare erhålls fölande snttkrafter å lan. V (a) H M V (b)