Diverse underlag för utformning och dimensionering för maskinprogrammet

Transkript

1 009 nov/hjo Dverse underlag för utformnng och dmensonerng för masknprogrammet Hans Johansson 009

2 009 aug./hjo INNHÅ Inlednng... 3 Hållfasthetslära, fasta kroppars beteende vd belastnng... 5 Spännngskomponenter kartesska koordnater... 6 Huvudspännngar... 6 Jämförelsespännng... 6 ateralmodeller... 7 Konsttutva ekvatoner för lnjärt elastskt materal... 8 njär- respektve ckelnjäranals... 9 Säkerhetsfaktor... 0 Vanlga samband för påkännngar och deformatoner vd belastnng av stavformade detaljer... Vrdnng... Böjnng... 4 lastsk energ... 7 Samband mellan förskjutnng och belastnng lnjärt elastskt materal... 8 Krökt balk... 9 Balk sammansatt av olka materal... 0 Bucklng... Vppnng... 4 Utmattnng... 5 Palmgren-ners hpotes... 5 Brottmekank... 7 Dnamskt belastade svetsar... 8 Några regler vd utformnng Sant-Venants prncp Fnta element metoden. F -Kort-kort beskrvnng av metoden Några eempel på vanlga elementtper för strukturanals Randvllkor... 4 Korroson Nötnng... 49

3 009 aug./hjo Inlednng Utformnng av belastade detaljer och produkter måste stras av de prestanda som krävs. För att önskvärda prestanda skall uppnås på ett bra sätt krävs att de påkännngar som kan bl aktuella under produktens hela lvsckel är väl analserade. Detta nnebär också att lämplga val gjorts vad beträffar produktens form, materal och tllverknngssätt. Observera att påkännngarna nte bara behöver gälla själva produkten utan också dess nverkan på omgvnngen. Det är av stor vkt att de som deltar produktutvecklngen är medvetna om den väelverkan som fnns mellan de krav och val som behöver göras för att slutresultatet skall bl bra. Goda kunskaper krävs nte mnst nom grundläggande ngenjörsvetenskaplga ämnesområden som mekank, hållfasthetslära, materallära, tllverknngsteknk m.m. Beslut och val som görs under produktutvecklngsarbetet behöver grundas på analser av sådan art som behandlas nom dessa ämnesområden. Detta för att nte arbetet skall vla på rena gssnngar. Så smånngom kommer också erfarenheter från prototper och användare att ge tterlgare nformaton att beakta under den fortsatta produktutvecklngen. en en god regel är att en produkt bör hålla åtmnstone teorn tll att börja med. Påkännngar? Form? Statska laster ateral? Tllverknng? Dnamska laster ljö FUNKTION Fguren ovan är ett försök att åskådlggöra de frågeställnngar som under produktutvecklngsarbetet väelverkan med varandra leder fram tll produktens funkton. 3

4 009 aug./hjo Konstruktörens tre problem:. Att förstå uppgften och problemet. Att htta en lösnng 3. Att beskrva lösnngen n bra lösnng kännetecknas av: 4. nkelhet (t.e. överskådlg funkton, enkel form, enkel tllverknng, enkelt handhavande o.s.v.) 5. ntdghet (te. lastvägar och deformatoner som orsakas av belastnngar, nötnng, korroson o.dl. är entdga) 6. Säker funkton (t.e. med hänsn tll person, mljö o.s.v.) 7. Genomtänkt desgn som medför att lösnngen kan konkurrera framgångsrkt med lknande produkter och lösnngar vad beträffar t.e. funkton och utseende. I produktutvecklngsarbetet används ngenjörsmässga metoder som vlar på; nergprncpen Newtons lagar för mekank mprska data och teoretska modeller för materalegenskaper som t.e. dragprovkurvor, resultat från utmattnngsprov o.s.v. Geometrska samband som t.e. förhållandet mellan längd, area och volm om storleken på en detalj ändras, olka tvärareors beteende vd böjbelastnng m.m. 4

5 009 aug./hjo Hållfasthetslära, fasta kroppars beteende vd belastnng Tngd Q N Inre övertrck p Q N eller q N/m Utsntt ur detalj Pa S Pa Krafter på tan da da Pa S Pa p S: Kraft per tenhet en punkt, kallas spännng : spännng vnkelrät mot ta. Normalspännng : spännng parallell med ta. Skjuvspännng Förskjutnngar av en punkt från obelastat läge u: förskjutnng -led v: förskjutnng -led w: förskjutnng -led ( kartesska koordnater) Töjnng,, defneras som förskjutnng per längdenhet dervatan av förskjutnngen en punkt med avseende på respektve koordnat u, v och w samt skjuvnngvnkeländrng γ, t.e. -planet fås γ v w Sambanden mellan krafter och förskjutnngar kallas konsttutva samband. För ett lnjärt elastskt sotropt materal kan t.e. sambandet mellan förskjutnng -led och normalspännngarna skrvas [ ( )] αδt Skjuvnngen t.e. -planet blr γ ( υ) eller γ med G G ( υ ) där är materalets s.k. elastctetsmodul, är materalets tvärkontrakton (Posson s tal), G skjuvmodulen, α längdutvdgnngskoeffcenten och ΔT är temperaturöknngen. Hållfasthetslärans tre tper av samband för anals: Kraftanals (mekankens lagar) Förskjutnngsanals ( rörelsevllkor, knematk) Konsttutva samband ( fås med materalprovnng) 5

6 3 Kau/Fakulteten för teknk och naturvetenskap 009 aug./hjo Spännngskomponenter kartesska koordnater,, Huvudspännngar För varje punkt en kropp fnns mnst ett rätvnklgt koordnatsstem sådant att skjuvspännngarna blr noll på de tor som är vnkelräta mot koordnatalarna. Normalspännngarna på sådana plan kallas huvudspännngar. Huvudspännngarna är alltså vnkelräta mot varandra och numreras på följande sätt > > 3 Jämförelsespännng ateralet börjar plastceras plastsk töjnng börjar- om jämförelsespännngen uppnår materalets s.k. sträckgräns. Sträckgränsen bestäms vd ett vanlgt dragprov Jämförelsespännng enlgt: V. ses v.ses [( ) ( ) ( ) ] [ ] enlgt: Tresca Tresca ma, 3, 3 [ ] 3 3 6

7 009 aug./hjo ateralmodeller Några olka eempel arctan njärt elastskt l e Sträckgräns Fltgräns ( s, p,..) njärt elastsktdealplastskt avlastnn e p p Sträckgräns Fltgräns ( s, p,..) njärt elastskt- lnjärt deformatonshårdnande avlastnn p Stelt- dealplastskt materal Sträckgräns Fltgräns ( s, p,..) 7

8 009 aug./hjo 8 Konsttutva ekvatoner för lnjärt elastskt materal ed kända töjnngar kan sedan spännngarna beräknas. För lnjärt elastskt sotropt materal gäller Hookes generalserade lag: [ ] T Δ α ) ( [ ] T ) ( Δ α [ ] T ) ( Δ α ( ) γ, ( ) γ, ( ) γ eller om spännngarna löses ut ur ovanstående ekvatoner ( ) α Δ T ( ) α Δ T ( ) α Δ T γ ) ( γ ) ( γ ) (

9 009 aug./hjo njär- respektve ckelnjäranals njär-anals kan användas när av belastnngarna orsakade förskjutnngar är små förhållande tll detaljens dmensoner och materalet uppför sg lnjärt elastskt. n lnjär anals ger god noggrannhet om geometrn, stort, påverkas försumbart av de förskjutnngar som uppstår som en följd av belastnngarna. Krafternas verknngslnjer påverkas av deformatonerna på ett försumbart sätt Tvärsnttens formändrng kan försummas n lnjär anals medför också att resultatet av samtdgt verkande belastnngar kan beräknas med s.k. superposton: w() w(q) w(f ) (q) (F ).. h, I w() F lastska q( Vd eempelvs balkböjnng krävs att w() << h & om lnjär teor skall vara tllflles. Olnjär-anals kan bl nödvändg om t.e: Deformatonerna blr stora T.e. De av krafterna orsakade deformatonerna ändrar detaljens geometr betdande grad. h, I q( F (q,f F d(f, F Belastnng förskjutnng ateralet är ckelnjärt T.e spännngarna blr så stora att materalets sträckgräns överskrds spännng > p p Randvllkoren förändras med belastnngen T.e. vd kontaktanals F F töjnng c δ c δ 9

10 009 aug./hjo Säkerhetsfaktor ed säkerhetsfaktorn s menar v förhållandet mellan ett materals hållfasthetsvärde (t.e. R e, R m ur.. ) och den tllåtna eller beräknade påkännngen s s Om s ovanstående uttrck betecknar materalets sträckgräns, sägs säkerhetsfaktorn s vara beräknad med avseende på sträckgränsen. Val av säkerhetsfaktor, vd utformnng av detaljer, där nga normer fnns att rätta sg efter, kan vara knepgt. Nedanstående tabell har tll sfte att utgöra en generell väglednng för val av rmlg säkerhetsfaktor. Tabellen bgger huvudsak på förslag av Joseph Vdosc, achne Desgn Projects, Ronald Press, New York, 957 # Säkerhetsfaktor (s), med avseende på (... ) A,5,5 (sträckgränsen) B,5 (sträckgränsen) C,5 (sträckgränsen) D,5 3 (sträckgränsen) 3-4 (sträckgränsen) F 3 4 (sträckgränsen) G 6 (utmattnngsbrottgränsen vd aktuellt antal ckler eller utmattnngsgränsen vd oändlgt antal ckler) H 3 6 (sträckgränsen) I säkerhetsfaktor enlgt någon av fall A tll F ovan multplcerat med Förhållanden vd dmensonerngen cket tllförltlga och välkända materal som används under mcket välkända statska förhållanden vad beträffar mljö och laster. Välkända materal med tllförltlga materalegenskaper som används under väl kända statska förhållanden. Vanlga materal som används under vanlga förhållanden där laster och mljöpåverkan kan uppskattas någorlunda säkert. ndre beprövade materal, eller spröda materal, som används under vanlga förhållanden där laster och mljöpåverkan kan uppskattas någorlunda säkert. Oprövade materal som används under vanlga förhållanden där laster och mljöpåverkan kan uppskattas någorlunda säkert. Beprövade materal som används under förhållanden där lasterna är osäkra. Dnamska laster på materal med känt utmattnngsbeteende. Stötlaster När spröda materal används under förhållanden som motsvarar någon av punkterna A tll F ovan och där materalets statska brottgräns används vd dmensonerngen, dubblas säkerhetsfaktorn. 0

11 009 aug./hjo Vanlga samband för påkännngar och deformatoner vd belastnng av stavformade detaljer. F d Dragen stav F A δ/ δ/ F d F δ om < s A är materalets sträckgräns, s F t Trckt stav Centrskt trck. e Kort längd, slankhetstal λ < 0 ρ δ/ e är den fra knäcklängden som bestäms av knäckformen (eulerfall). uler 3 4 e 0,7 0,5 ρ ρ I A I A δ/ tröghetsrade F t F A cr cr Fcr A Fcr A s δ s 4π π e ρ F A π edellång, 0 < e < ρ s ång, e π > ρ s e ρ

12 009 aug./hjo Vrdnng (enl. Sant-Venant) v r där r är raden tll K v punkten för skjuvspännngen och K v är tvärsnttetsfaktorn vd vrdnng. v θ K G v v θ/ Vrden stav θ/ v r ma v r K v ma W v v CIRKUÄRA TVÄRSNITT assvt K v I p π d 3 4 W v d π π( D d ) π ( D d ) Rör K I v p 3 W v 6 D TUNNVÄGGIGT SUTT TVÄRSNITT t (s edllnje ängd, ds Av medellnjen omskrven area, A s K v 4 A ds t ( s s ) W v As t mn TUNNVÄGGIGT ÖPPT TVÄRSNITT t t b b t b 3 3 b K v b t Wv ( b t ) / tma 3 3 t t 3 b 3

13 009 aug./hjo För öppna tunnväggga tvärsntt är nverkan av förhndrad välvnng ofta stor och medför s.k. olkformg vrdnng (Vlasov-vrdnng). Detta nnebär att de s.k. välvnormalspännngarna kan bl betdande. Fr välvnng Välvnormalspännngar - rktade längs balken- Vrdnng tunnvägggt öppet tvärsntt med förhndrad välvnng vd nfästnngen. 3

14 009 aug./hjo Böjnng Böjd stav T ρ q () T ΔΤ Δ, böjande moment T, tvärkraft q, lastrntenstet, last per längdenhet t.e newton/meter ρ, kröknngsrade orsakad av böjande moment I, ttröghetsmoment med avseende på tvärsnttets neutrallager. A, area A, fktv tvärarea som kan användas för att uppskatta största skjuvspännngen tvärsnttet. c ma c da, statskt moment för area bortom den nvå där beräknas. c, avstånd från tvärsnttets neutrallager tll den nvå där spännngen beräknas. ρ I dt d q d T d I T I b c ma c da ma T A S A da I A d A 4

15 009 aug./hjo empel på spännngsfördelnngar orsakade av böjnng ett plan ett lnjärt elastskt materal. o (drag) c c T (trck) o o o o Böjmomentet är normalspännngarnas resulterande moment. Normalpännngarna ökar lnjärt -led. Tvärkraften T är skjuvspännngarnas resultant. Skjuvspännngarna blr störst balkens lv. Största skjuvspännngen fås vd ael genom tvärsnttets areacentrum vnkelrät mot tvärkraften T. T ma A ed hjälp av detta uttrck och tabellen tll höger, kan största skjuvspännngen uppskattas för några vanlga tvärsnttsformer. A π d 4 b h A 3 A 4 A 3 A lv T 5

16 009 aug./hjo 6 Den lnjärt elastska formändrngen form av utböjnngen δ, vd böjnng av rak jämntjock stav kan prncp tecknas som I l Q C Q 3 δ där Q C beror av lastfördelnngen och l har dmensonen [längd] och är en funkton av a och b. Om lasten Q bts mot en momentbelastnng fås I l C δ empel på några lastfall för frtt upplagd balk med längden mellan upplagen. Postva rktnngar för T resp a b a Q b Q q 0 q 4 b Q Q ma qb qb 0 0 a b a F F F a F ma T 0 0 a 0 b b a 0 T F

17 009 aug./hjo lastsk energ F u, Volm V W njärt elastskt materal: Aalbelastad stav W 0 N d A lastsk energ W d N Om konstanta förhållanden längs staven fås W A V N θ/ N Vrden stav W 0 GK v d v θ/ Om konstanta förhållanden längs staven fås W GK v v Böjd stav W 0 b I d b b Om konstanta förhållanden längs staven fås W b I 7

18 009 aug./hjo Samband mellan förskjutnng och belastnng lnjärt elastskt materal I ett lnjärt elastskt materal blr den elastsk energn W komplementära energn W d V d lka med den s.k. V F u, Volm V d W W d Anta nu att v nu enbart ändrar belastnngen F tll F F och då får förändrngen u förskjutnngen u. Den elastska och den komplementära energn ändras då med W respektve W. Detta resonemanget kan llustreras med följande fgur., Volm V F F u u F F W W W W u V får W F u och W F u För det lnjärt elastska materalet kan v också skrva W F u eller u u W F 8

19 009 aug./hjo Krökt balk Spännngar böjmomentbelastad krökt balk o r rade tll tvärsnttets areacentrum r n rade tll neutrallagret kröken c avstånd från tvärsnttets areacentrum tll nnerkanten r n c K c I o K o c I r c beräknas som om kröken nte fanns. Formfaktorerna I respektve K o se dagrammet nedan. K K 9

20 009 aug./hjo Balk sammansatt av olka materal Fguren vsar en prncpbld av en balk sammansatt av materal med olka elastctetsmoduler och areor A. ateralen antas följa Hooke s lag och vara förenade på ett sätt, så att de på samma avstånd från neutrallagret, töjs lka mcket. Sstemet är smmetrskt med avseende på,-planet. Jämvkt 0 A A N N da da () A A da da () A Kompatbltet A 0 (3) R Konsttutva ekvatoner (4) kv. (3) och (4) ger för spännngen uttrcket 0 (5) R Beräknngsgången effektvseras om man nför en referenselastctetsmodul ref och beskrver materalen och spännngarna med hjälp av en parameter n. n (6) ref n ref 0 (7) R (6) och (7) nsatt jämvktsekvatonerna ger: ref N n ref 0 da ref n A ns,a R 0 (8) R A A n ref ref 0 da ref ns,a n I, R 0 (9) R där S,A och I, är de vanlga statska momenten och tröghetsmomenten för de olka delareorna. 0

21 009 aug./hjo an ser att det är möjlgt att defnera en lämplg geometrsk tngdpunkt för tvärsnttet och lägga koordnatsstemet så att ns,a 0 Koordnatsstemets orga läggs alltså tvärsnttets areacentrum, där areacentrum beräknas med vktade areor n A. Det är också lämplgt att nföra betecknngarna A ref n A ref I n I, -aeln som lgger genom tvärsnttets tngdpunkt lgger således på avstånd 0 från kanten enlgt fguren där n A 0 n A kvatonerna ger då 0 N ( ref A ref N ) ( ref n A ) R Spännngarna erhålls som ( ref I ref ) ( ref n I, ) N ( ) ( ) ref n A ref n I, N n ( ) ( ) n A n I,

22 009 aug./hjo Bucklng Om materalet är lnjärt elastskt betecknas den trckspännng som krävs för bucklng med el el k π ( ) t b Observera att den krtska spännngen är beroende av förhållandet mellan tjockleken t genom bredden b kvadrat. Bucklngskonstanten k beror av randvllkoren, plattans geometr a/b samt hur spännngen varerar över bredden. Nedan vsas några eempel på bucklngskonstanter när spännngen är konstant över bredden. s a >> b Fast nspänt runtom k 6,3 b a Fast nspänt på tre sdor k,6 edat på tre sdor k 0,39 edat runtom k 3,6 För bucklng orsakad av skjuvspännngar gäller el k π ( ) t b k 5,34 4(b/a) för frsdgt ledad kant. k 8,98 5,6(b/a) för frsdg nspännng. b/a <

23 009 aug./hjo Dmensonerande spännng / sträckgräns Slankhetsparameter s el Vd ren normalspännng: Dmensonerande spännng d Vd ren skjuvspännng: Dmensonerande spännng d Interaktonsformel för bucklng. Bucklng när summan blr ett. t b ma tcr bcr cr där t jämnt fördelad trckspännng krtsk trckspännng ( k ) tcr b ma el 4 största spännngen med böjfördelnng bcr krtsk böjspännng el ( k 4 ) jämnt fördelad skjuvspännng cr krtsk skjuvspännng el med k 5,34 4(b/a) (frsdgt ledad b ma t Vd bedömnng av bärförmågan skal vsar det sg att befntlga teorer ofta överskattar bärförmågan kraftgt. Detta beror på att bärförmågan är mcket känslg för avvkelser från de deala former som teorn förutsätter. Som eempel kan nämnas att en lten buckla, orsakad av t.e. ett slag, kan avsevärt sänka bärförmågan t.e. en clnder. Dagrammet nedan är ett eempel på hur tllåten spännng en crkulär tunnväggg pelare har bedömts. Dmensonerande trckspännng clndern har reducerats med följande motverngar: η reducerng med hänsn tll ntalbucklor. α reducerng med hänsn tll egenspännngar orsakade av svetsnng. 0,75; etra reducerng för hänsn tll allmänn osäkerhet förutsättnngarna. ω s reducerng med hänsn tll plastcerng vd lten slankhet r/t. Teoretskt för en aellt trckt clnder gäller: t el 3( ) r t plåttjockleken r raden Fπrt 3

24 009 aug./hjo Vppnng ed vppnng menas vrdnng som följd av böjbelastnng. Vppnng kan bl aktuellt vd böjnng av öppna tvärsntt med lten vrdstvhet GK v och lten böjstvhet I vnkelrät mot böjnngsplanet (-planet). Se fguren nedan. Vd låg belastnng böjs balken -planet. När belastnngen når ett krtskt värde vrds balken krng -aeln och böjer krng -aeln. Bärförmågan ökas om :. asten verkar på underfläns.. Tvärsnttsvälvnngen hndras. ϕ F krt, 57 I GK v F F krt 4, 0 I GK v Q Q krt 3 I GK v krt π I GK v F F krt 7 I GK v Q Q krt 8, 4 I GK v 4

25 009 aug./hjo Utmattnng Varerande belastnng n sprcka väer nom ett område med tllräcklgt hög spännngsvaraton Sprckan når krtsk storlek för aktuell spännngsnvå vlket leder tll brott S u ; Statsk brottgräns (R m ) S us ; Statsk skjuvbrottgräns Dagrammet ovan vsar förhållandet mellan utmattnngsbrottgränsen S n och den statska brottgränsen S n uppmätt vd dragprov Klasssk utmattnngsdmensonerng: Värdet på utmattnngsgränsen för provstav (S n ) korrgeras med faktorn (K r ) beroende på den tjämnhet som detaljen har och eventuellt med hänsn tll detaljens storlek (K d ) om den avvker betdlgt från provstavsdmensonen. S n S n K r K d Palmgren-ners hpotes og a ( r ) n Utmattnngsbrott när N n antal lastckler med spännngsvaraton Utmattnngsbrottgräns (S-N curve) N antal lastckler tll brott om konstant spännngsvaraton spännngsvaraton med hänsn tll materalets kälkänslghet och eventuell spännngskoncentraton (se nästa sda) n n N N og N (antal lastckler tll brott) 5

26 009 aug./hjo Spännngen den punkt av detaljen där utmattnngshållfastheten undersöks beräknas enlgt; nom [(K t -)q] q; Faktor för materalets kälkänslghet K t ; Faktor för spännngskoncentraton (formfaktorn) Parentesen ovanstående uttrck kallas för anvsnngsfaktorn K f Vd mcket skarp anvsnng blr denna metod oanvändbar. Brottmekank måste då användas om teoretska bedömnngar skall göras Crkulärt hål a ellps b sprcka ma K t 3 ma 0 0 a K t ( ) b åt b 0 och a > 0 ma 0 6

27 009 aug./hjo Brottmekank n samlng metoder för att avgöra när en befntlg sprcka en struktur börjar att väa.. Oändlgt stor plåt med genomgående sprcka vd kanten.sprck djup a [m ] 0 Sprc a 0 För ett belastnngsfall av denna tp blr normalsspännngen - led vd sprckspetsen ett lnjärt elastskt materal K I π K I kallas spännngsntenstetsfaktorn. Denna parameter är då ett mått på hur ansträngd sprckan är. För det fall som fguren vsar blr K I 0 πa Uttrck för spännngsntenstetsfaktorer vd olka tper av belastnngar och sprckgeometrer fnns tabellerat Vd en förändrad spännng Δ 0 0ma - 0mn fås motsvarande ΔK I K ma - K mn och genom prov fastställs sprcktllväten per lastckel för olka ΔK I. Om ΔK I < ΔK th väer nte sprckan alls. Detta är materalets tröskelvärde ( th threshold, tröskel). Genom prov fastställs också materalets brottseghet K Ic som är det krtska värdet på spännngsntenstetsfaktorn. Om ΔK I > ΔK Ic väer sprckan mcket snabbt (sprödbrott ). log Δa ΔN Sprcktllvät per ckel. Stabl sprcktllvät. da/dn C Några rmlga värden för stål av vss kvaltet: K Ic 00 [ Pam / ] (temperaturberoende!) 0 ΔK th 5 [ Pam / ] (pulserande belastnng) ΔK th Tröskel. Ingen sprcktllvät under detta värde. K Ic Krtsk sprckstorl og ΔK I C [m/(ckel (Pam / ) n ))] (Stora varatoner mellan olka materal och skftande drftförhållanden. Korroson?!) n 4,5 Anta Δ 0 80 Pa. Hur storär mnsta sprcka som ger stabl sprcktllvät? ( mm) 7

28 009 aug./hjo Dnamskt belastade svetsar Under senare decenner har ett omfattande underlag för dmensonerng av svetsförband stål, utsatta för utmattnngsrsk, tagts fram. Underlaget bgger på mcket omfattande provnngsprogram utförda vd forsknngsnsttut och företag. Utmattnngshållfastheten för svetsförband allmänna konstruktonsstål har vsat sg vara det närmaste oberoende av stålets statska hållfasthetsvärden. edelspännngen hos den varerande påkännngen har också vsat sg vara av rnga betdelse för utmattnngshållfastheten svetsförband. Hållfastheten normala svetsförband kan därför första hand anses bero på svetsförbandets geometr samt spännngsvdden och antalet varatoner denna under förbandets användnngstd. Följand underlag är hämtat från Plåthandboken utgven av SSAB tunnplåt AB. Beroende på resultatet av utmattnngsproven utförda på en vss tp av förband ndelas förbanden olka förbandsklasser C. Förbandsklassen C är lka med den karakterstska utmattnngshållfastheten (f rk ) vd. 0 6 lastckler (n t. 0 6 ) vd fullt s.k. lastkollektv (κ). ed den karakterstska utmattnngshållfastheten (f rk ) menas medelvärdet på utmattnngsbrottgränsen vd en vss lvslängd mnus två standardavvkelser. Detta betder att vd en varerande spännng med spännngsvdden r f rk ( med κ ) klarar ca 98% av förbanden en provsere mer än motsvarande antal spännngsckler n t. Olka lastkollektv tpseras med olka lastkollektvparametrar κ. κ κ < κ 3 r r r Fullt lastkollektv, alla spännngsvdder lka stora κ t astkollektv med κ < då r olka under tden astkollektv med κ 3 < κ (stora r är relatvt sällsnt) 8

29 009 aug./hjo på beräknngsgång: 9

30 009 aug./hjo på beräknngsgång Identfera krtska förband och välj punkt(er) för analsen. Välj svetsklass (SS 0660). Bestäm anvsnngsverkan, dvs. förbandsklass, C, fgur Bestäm r ma. Fastställ lastkollektvparametern, κ, ( fg ) Bestäm karakterstska utmattnngshållfastheten, f rk, för aktuell förbandsklass, C, kollektvparameter, κ, och antal ckler n t. Bestäm partalkoeffcenten för bärförmågan, γ mn, utgående från konsekvensen av ett haver Konsekvens av haver γ mn Ungefärlg brottrsk Försumbar,0 0 - ndre allvarlg, 0-3 Allvarlg, 0-4 cket allvarlg,3 0-5 Om nverkan av materalkvaltet, tjocklek och egenspännngar försummas kan dmensonerngsvllkoret skrvas r ma < f γ rk mn Om lvslängdenn stället skall beräknas sätts f rk r ma. γ mn och n t bestäms enlgt fgur (ev eller ) Beräknng med tllämpnng av Palmgrens delskadehpotes Bestäm en fktv spännngsvdd r för varje spännngsnvå r enlgt r r γ mn Försumma de 00 högsta r och de som lgger under utmattnngsgränsen vd n t 0 8 ckler Tllämpa dmensonerngsvllkoret n n t där n antalet spännngsckler med spännngsvdd r n t lvslängden vd konstant spännngsvdd r f rk enlgt fgur

31 009 aug./hjo 3

32 009 aug./hjo 3

33 009 aug./hjo 33

34 009 aug./hjo 34

35 009 aug./hjo Några regler vd utformnng astvägarna bör vara entdga Skvverkan är ofta att föredra framför plattverkan astpåförng bör ske genom skvverkan 35

36 009 aug./hjo Sant-Venants prncp. Prncpen nnebär att verkan av en koncentrerad last, på ett elastskt materal, påverkar spännngsfördelnngen betdande grad ganska lokalt. Spännngskoncentratonen avtar med avståndet tll den koncentrerade lasten. tt eempel Fguren vsar lasten P form av en punktlast mtt på sdan av en detalj med bredden b och tjockleken t. Trckspännngsfördelnngen materalet vsas fra olka sntt. Omedelbart ntll den koncentrerade lasten är spännngen teoretskt sett oändlgt hög. en ett sntt på ett avstånd ungefär lka med b från lasten ger det enkla uttrcket; lasten delat med tvärarean ett bra värde på spännngstllståndet. I fguren är b ett s.k. karakterstskt mått. På avstånd b från lastpåförngen är spännngsfördelnngen ganska jämn. Den streckade lnjen vsar medelspännngen P/bt. 36

37 009 aug./hjo Fnta element metoden. F -Kort-kort beskrvnng av metoden n numersk metod för lösnng av partella dfferentalekvatoner etoden ger en appromatv lösnng Vd hållfasthetsanals leder metoden tll ekvatonssstem som består av jämvktsekvatoner Grundprncp. Varje kontnuerlg storhet som t.e. deformaton (förskjutnngar en belastad detalj), temperatur eller trck kan appromeras med en dskret modell bestående av en uppsättnng kontnuerlga delfunktoner som är gltga nom begränsade delområden (fnta element). Delfunktonerna N är vanlgen polnom och defneras genom att den kontnuerlga storheten uttrcks ett begränsat antal punkter som kallas noder eller knutpunkter. Platta med fast nspännng längs ena kanten och punktbelastnng F. Geometrn defneras med hjälp av det globala koordnatsstemet X, Y, Z. F empel på F-odell med 74 8 plattelement. lementens stvhet bestäms av materaldata, elastctetsmodul och possons tal samt tjocklek t. Randvllkor. ängs denna kantlnje är samtlga tre förskjutnngar och samtlga tre vnkeländrngar lka med noll F. på ett plattelement med 4 noder,,j,k och l. Se frhetsgrader per nod. Tre translatoner (förskjutnngar) och tre rotatoner (vnkeländrngar). Om nterpolatonspolnomen är av :a graden kan respektve förskjutnng nom ett element (-,-) uttrckas elementets lokala koordnatsstem (ξ,η) med följande nterpolatonspolnom; N N j N k N l ( ξ )( η) 4 ( ξ )( η) 4 ( ξ )( η) 4 ( ξ )( η ) 4 Rotξ Observera att smmetrn geometr och last gör att modellstorleken kan mnskas eemplet med plattan ovan. Rotη Fast nspänt: Trans 0 Trans 0 Trans 0 Rot 0 Rot 0 Rot 0 Trans ζ Transη Transξ Rot ζ (-,) l j l j (,-) Halv modell. k η (,) k ξ w (Trans Z nod ) åt w beteckna förskjutnngen global Z-rktnng. w Trans Z. Förskjutnngen w, vd lokala koordnaten (ξ,η) nom elementet kan då nterpoleras fram enlgt uttrcket w(ξ,η)n w N j w j N k w k N l w l F/ l w j Randvllkor för smmetr längs -aeln Trans0 Rot 0 Rot 0 j w l k w k 37

38 009 aug./hjo För varje element beräknas sambanden mellan samtlga nodlaster och samtlga nodförskjutnngar. För skalelement med se frhetsgrader per nod, fnns för varje frhetsgrad en motsvarande last. Tre krafter F,F och F samt tre moment, och. För ett element med fra noder och se frhetsgrader per nod nnebär det att det fnns 4 4 stvhetskoeffcenter som skall bestämmas. 4 olka nodlaster skall således kopplas samman med 4 olka l förskjutnngar. k F F På matrsform kan man skrva F { F } [ k] { } n u n j Stvhetskoeffcenterna k j kan t.e. bestämmas genom att teckna den elastska energn elementet och sätta denna lka med arbetet som uträttas av belastnngarna på noderna. δ dv F n δu n (vrtuella arbetets prncp) V k en stor modell. När de ensklda elementens stvhetskoeffcenter har bestämts kan sedan hela strukturens stvhet samlas en så kallad strukturstvhetsmatrs [ K ] som nnehåller alla aktuella stvheter för modellen. Om v tttar på våran modell på föregående sda så nnehåller den noder a 6 frhetsgrader varje nod. Således totalt frhetsgrader n,och skulle således leda tll en strukturstvhetsmatrs med stvhetskoeffcenter. Om v utnttjar smmetrn, hur stor blr då strukturstvhetsmatrsen? ( Svar: 0736 stvhetskoeffcenter ) Det krävs, som lätt förstås, en hel del arbete (datorkraft & td) för att utföra beräknngarna och bestämma [ ] Det ekvatonssstem som nu behöver lösas för att bestämma förskjutnngarna samtlga noder blr { F } [ K ] { } I modellen med 8 skalelement betder detta att 40 ekvatoner med 40 olka n u n förskjutnngar skall lösas. Av dessa förskjutnngar är kända vd randen. I modellen där smmetrn utnttjas blr det ett ekvatonssstem med 44 ekvatoner, där förskjutnngar är kända p.g.a. randvllkoren. ed kända laster och kända förskjutnngar kan sedan töjnngarna och därmed också spännngarna beräknas nom varje element. Noggrannheten lösnngen bestäms av bl.a. nterpolatonspolnomens gradtal och antalet noder (element) modellen. Den ovan beskrvna modellen bestod av s.k. plattelement eller skalelement med se frhetsgrader per nod och med utsträcknng ett lokalt två dmensonellt koordnatsstem. Den tredje dmensonen erhölls genom att ange elementens tjocklek. Volmelement, är en annan elementtp, som defneras med hjälp av tre koordnater. Varje nod har då normalt tre frhetsgrader form av de tre translatonerna. Trans Trans Trans 3D element (volmelement) med tre frhetsgrader per nod. 38

39 009 aug./hjo Några eempel på vanlga elementtper för strukturanals. θ ζ ι Stångelement Truss element A,, u u (,,) Nod Balkelement Beam element w u v θ ξ ι θ η ι ξ ζ ξ η A,, Ι η, Ι ζ Κ vξ Tre eempel på s.k. D element (D structural Sold). Dessa element arbetar endast med förskjutnngar planet. lement för plan töjnng, element för plan spännng eller element för aalsmmetr är vanlga. v. 0, plan töjnng (plane stran) med tjocklek längdenhet (eller t),, t u. 0, plan spännng (plane stress) med tjocklek t 3. Aalsmmetrelement som förutsätter rotatonssmmetrsk detalj och belastnng. 4. Aalsmmetrelement som förutsätter rotatonssmmetrsk detalj och belastnng som kan skrvas som en harmonsk sere. v, u Frsdga element med fra noder vsas fgurerna tll vänster θ ι w θ ι w v,, t v u θ ι, u Skalelement (Shell). I fguren med 8 noder. emplet vsar se frhetsgrader per nod. Soldelement (Brck) emplet vsar åtta noder med tre frhetsgrader per nod 39

40 009 aug./hjo F-resultat med aalsmmetrsk modell av vrden ael med två olka tper av ansats. lementtp; ANSYS, PAN 83, A-har 8 node. v 307 Nm φ R 0 φ 5 v 00 Pa R,5 φ 50 v 07 Pa v 33 Pa 40

41 009 aug./hjo Randvllkor Anta att v vll modellera det vsade lastfallet. Böjbelastad skva med hål. Smmetrsk Trans0 Trans0 Trans0 Trans0 Ingen förskjutnng -led empel på två modeller som ger samma nformaton. I den mndre modellen har geometrns smmetr och belastnngens antsmmetr utnttjats. Trans0 Trans0 Trans0 Trans0 4

42 009 aug./hjo RANDVIKOR forts. Ange för respektve randvllkor vlka storheter som är noll. Trans Trans. Balkände. Belastad,-planet (fll tabellen) A B C D Ändpunkt A Ändpunkt B Ändpunkt C Ändpunkt D (Fr) Trans 0 0 Rot 0 0 Rot 0 0 Rot Kraft F Kraft F Kraft F X X oment X X oment X X oment. Ramverk. Belastat, -planet (fll tabellen) a. Smmetrsk belastnng, -planet F F b.antsmmetrsk belastnng, -planet F F/ F Ändpunkt på smmetrlnjen TranslatonT TranslatonT TranslatonT 0 RotatonR 0 RotatonR 0 RotatonR Ändpunkt på antsmmetrlnjen TranslatonT TranslatonT TranslatonT 0 RotatonR 0 RotatonR 0 RotatonR 4

43 009 aug./hjo 3. Skva, -planet med hål. (fll tabellen) odell odell A C B D odell odell Förskjutnngar nje A nje B nje C nje D TranslatonT TranslatonT TranslatonT Skva med böjbelastnng, -planet (fll tabellen) odell odell A C B D D odell odell Förskjutnngar nje A nje B nje C nje D TranslatonT TranslatonT TranslatonT

44 009 aug./hjo 5. Dragbelastad stång φ hål Yta A Yta B Yta C Förskjutnngar Yta A Yta B Yta C TranslatonT TranslatonT TranslatonT 6. Böjbelastad stång T φ hål T Yta A Hörn a Yta B Yta T Area Förskjutnngar Yta A Yta B Yta C hörnlnje a TranslatonT TranslatonT TranslatonT 44

45 009 aug./hjo f f Stångelement Truss element,a,, Nod u δ u f Nod u f δ u Obelastad stång Basfunktoner ( η) Förskljutnng elementet u ( ) N u N u Belastad stång Belastad stång med med vrtuella förskjutnngar N och N η där η e / η u η u η ( ) Töjnng elementet u η η e ( u u ) Konsttutvt samband Vrtuella arbetets prncp δdv δ V f u V u u δu δu δdv f δu dv fδu f δu V u u δu δu A f δu f δu u u ( δu δu )A f δu f δu δ u 0 A f ( u u ) och δu 0 f A ( u u ) eller 45

46 009 aug./hjo u u f A A som kan skrvas på matrsform f A u u A f f lementets stvhetskoeffcenter är alltså A u u k e A, A k e, A och k e k e A För varje förskjutnng fnns en motsvarande kraft enlgt f f f f j j f f f f a b c d d d d d [ k ] [ k ] dessa 4 frhetsgrader som betecknas a, b, c respektve d ) nnebär då totalt 6 k stvhetskoffcenter [ ] e e j j e d d d d a b c d k k k k aa ba ca da k k k k ab bb cb db k k k k ac bc cc dc k k k k ad bd cd dd { Transformaton} c A cs c cs cs s cs s c cs c cs cs s cs s där c cos θ och s sn θ. Observera att matrsen fortfarande är smmetrsk.,a,, d d Nod d d θ Nod 46

47 009 aug./hjo 47 Förskjutnngar, töjnngar och spännngar är de resultat v första hand ntresserar oss för. Förskjutnngarna beräknas alltså baserat på belastnngarna och elementens stvhet Töjnngarna ett kartesskt koordnatsstem beräknas med följande defntoner: u, v och w samt skjuvnngvnkeländrng γ, t.e. -planet fås w v γ ed kända töjnngar kan sedan spännngarna beräknas. För lnjärt elastskt sotropt materal gäller Hookes generalserade lag: ( ) α Δ T ( ) α Δ T ( ) α Δ T γ ) ( γ ) ( γ ) (

48 009 aug./hjo Korroson Olämplg kombnaton av metaller kan ge galvansk korroson. n bedömnng kan göras med hjälp av dagrammet: 48

49 009 aug./hjo Nötnng δ försltnng [mm] t td [sek.] K nötnngskoeffcent H hårdhet [Pa] (Hårdhet enl. Brnell kp/cm räknas om tll Pa genom multpl. med 9800) F belastnng [N] p trck [Pa] v tornas relatva rörelsehastghet s tornas relatva rörelsesträcka Nötnngshastghet & K δ K δ p v Bortnött volm V W F s t H H Wear coeffcent, K 49