Konstruktion av kvantfältteori i diskretiserad form med tillämpning på universums inflationsfas

Transkript

1 Kanddatarbete Konstrukton av kvantfältteor dskretserad form med tllämpnng på unversums nflatonsfas Författare: Jmmy Ljungberg Handledare: Conny Sjögren Examnator: Magnus Paulsson Datum: Kurskod: FY8E, 15hp Ämne: Fysk vå: Kanddatnvå Insttutonen för fysk och elektroteknk

2 Konstrukton av kvantfältteor dskretserad form med tllämpnng på unversums nflatonsfas Jmmy Ljungberg Abstract Ths paper descrbes how one can construct a quantum feld theory n a dscrete form. The startng pont s a descrpton of a classcal mechancal feld wth non-relatvstc quantum mechancs. The constructon s made n a mathematcally rgorous manner, where each step s carefully descrbed. The theory wll be used n order to see what knd of predctons t wll result n. Ths paper wll show n what way a Hggs feld n ts potental mnmum can effect other felds. The cosmcal nflaton s also gong to be studed. It wll be shown how the theory predcts that a Hggs feld can ncrease the mass of partcles. And that nflaton leads to a partcle producton where the number of partcles and ther energy are dependng on the accurate appearance of the nflaton. Sammandrag Denna uppsats beskrver hur man utfrån klasssk och relatvstsk mekank samt ckerelatvstsk kvantmekank kan konstruera en kvantfältteor dskretserad form. Konstruktonen görs på ett matematskt rgoröst sätt där varje steg beskrvs noggrant. Teorn kommer att tllämpas för att se vad den ger för förutsägelser. Dels för vad ett Hggsfält stt potentalmnmum har för effekt på andra fält. Dels genom ett studum för vad som händer när unversum genomgår en epok av nflaton. Uppsatsen kommer att vsa hur teorn förutsäger att ett Hggsfält kan öka massan på partklar. Samt att nflaton leder tll en partkelprodukton där antalet partklar och deras energ beror på nflatonens exakta förlopp. 1 Introdukton 1.1 Beskrvnng av uppsatsens syfte och nnehåll Målet med denna uppsats är att vsa hur man kan bygga upp en kvantfältteor dskretserad form och tllämpa den på en specfk stuaton. ämlgen på den hypotetska nflatonsfasen som unversum kan ha genomgått. Det fnns också ett syfte att testa metoden sg. Är sättet som teorn byggs upp på lämplgt? Blr teorn användbar? Det vanlga sättet att konstruera en kvantfältteor är att använda sg av en Lagrangefunkton på ett kontnuerlgt fält. Utfrån detta fnns det två konventonella sätt att kvantsera fältet. De två sätten blr tll den kanonska formen och vägntegralformen [1]. Enlgt samma prncper är också den ovanlgare vågfunktonalformen [] härledd. V ska stället utgå från ett dskret mekanskt fält (ett system av kulor och fjädrar) för att nå samma mål. Prset v får betala är att fältet blr just dskret stället för kontnuerlgt. 1

3 Varför är det menngsfullt att konstruera en dskret kvantfältteor? Svaret är matematsk enkelhet. Det gör den relatvt enkel att härleda och den får en lösbarhet som är användbar tll att testa modeller och erhålla kvaltatva resultat. Den dskreta teorn är också lättförståelg som gör det enkelt att se den kvantfält-teoretska blden av en partkel. Blden av en partkel som en fältexctaton vars massa orsakas av kopplngar tll Hggsfält. Kvantfältteorer dskretserad form är ngen nyhet. Det enda kända sättet att beräkna t.ex protonens massa utfån fundamentala prncper är med just dskreta fältteorer. Ansatser tll en dskret fältteor kan spåras tllbaka tll 5-talet ett arbete av Schff [3]. Där var utgångspunkten en kontnuerlg kvantfältteor som sedan dskretseras. I denna uppsats är utgångspunkten stället ett från början dskretserat klassskt system som sedan beskrvs med kvantmekank. Dskreta kvantfältteorer tllämpas bäst på system som är starkt begränsade utsträcknng och har en övre gräns för energn. Därför passar de så bra för hadroner. V ska tllämpa en dskretserad teor på unversum som helhet. Det går egentlgen utanför teorns ramar men den gör det möjlgt att på ett enkelt sätt undersöka vlka effekter en nflatonsfas kan ha för materan unversum. I avsntt 1. detta kaptel ges en ntrodukton tll kvantfältteor och nflaton, som är de två delar denna uppsatts handlar om. Därefter börjar det egentlga arbetet kaptel. Där konstrueras en enkel dskret kvantfältteor med elementär klasssk mekank, specell relatvtetsteor och cke-relatvstsk kvantmekank (Schrödngerekvatonen) tllämpade på ett mekanskt fält. De förutsägelser teorn ger för Hggsfält och nflaton behandlas kaptel 3. Där används en toy model, en modell som är så enkel att den knappast representerar hela verklgheten men ändå bör nnehålla vssa aspekter av den. Även om resultaten blr kvaltatva är de nog så ntressanta. De vsar på ett sätt att ge partklar deras massor, en möjlg mekansm tll partkelprodukton och en hnt tll svaret på frågan om var all matera kommer från. 1. Bakgrund Här ges en kortfattad beskrvnng av vad kvantfältteor är. En motverng tll varför abstrakta fält nförs och vad det fnns för belägg för att dessa fält verklgen exsterar. Unversums nflaton kommer också att behandlas. Varför den behövs och vad den har för fältegenskaper Fältdén I kvantfältteorn beskrvs partklar och deras växelverkan med fält. Man föreställer sg att det exsterar flera abstrakta fält rummet. ärmare bestämt ett fält för varje fundamentalt partkelslag. Som v kommer att se är varje godtycklg svängnng ett fält med ändlg utsträcknng en superposton av stående vågor. Precs på samma sätt som varje svängnng en gtarrsträng är en överlagrng av strängens fundamentalfrekvenser. är dessa stående vågor fältet behandlas kvantmekanskt vsar det sg att de bara kan ha vssa dskreta energer. Det är dessa energer som motsvarar partklar. I denna bld reduceras partklar tll exctatoner av fält, fältens kvanta. Vad är det som har tvngat fysken tll denna revderng av vad en partkel är? Och vad fnns det för observatoner som stödjer detta synsätt? Begreppet fält nfördes fysken mtten av 18-talet av Faraday och Maxwell som med framgång förklarade den elektromagnetska växelverkan med kraftfält. Men är fältdén också gångbar för matera? En antydan tll denna möjlghet får man från Schrödngerekvatonen. Dess lösnngar är funktoner, eller fält om man så vll, som är utsträckta över hela rummet. Men den tradtonella tolknngen av detta fält är att den anger sannolkhetampltuden för att fnna en partkel en gven punkt. Så blden av partklar som punkter lever kvar. De mest utmärkande egenskaperna för en tradtonell partkel är att den bär rörelsemängd och har ett lokalserat läge. Med ett lokalserat läge menas att partkeln befnner sg nom ett

4 gvet ändlgt område med 1% säkerhet. Hur kan detta beskrvas utfrån en fältbld? är man kombnerar specell relatvtetsteor med kvantmekank får man svaren. är ett fält transporterar energ bär den också med sg rörelsemängd enlgt det relatvstska sambandet E = m c 4 +p c. Fältet kan då ge en stöt på samma sätt som en partkel utan att en partkel tradtonell bemärkelse är närvarande. är det gäller lokalteten så vsade Hegerfeldt [4] att om en partkel är lokalserad vd tden t så fnns det en sannolkhet skld från noll att htta den godtycklgt långt bort för alla t>t. Det strder mot relatvtetsteorns hastghetsbegränsnng. Slutsatsen blr att en partkel nte kan vara lokalserad utan måste vara utsprdd över hela rummet. Så om punktpartklar nte behövs för att ge stötar och partklar dessutom aldrg kan vara helt lokalserade tll ett aldrg så stort område, är det en stark ndkaton för att punktpartklar helt enkelt nte exsterar annat än som användbara tankemodeller. Anlednngen tll att partklar verkar vara lokalserade beror på deras växelverkan. Växelverkan sker alltd en punkt. Precs som man absorberar all energ en gtarrsträng genom att nudda den vd en punkt med fngret. Detta pekar mot en bättre tolknng av Schrödngerekvatonens fält. Att den ger sannolkhetsampltuden för att en växelverkan ska äga rum en gven punkt. Materefältet för exempelvs en elektron är elektronen. Det kanske största expermentella stödet för att fält är naturens fundamentala enhet snarare än partklar är studet av vakuum [5]. Enlgt partkelmodellen är vakuum helt enkelt ntet och borde nte ha några egenskaper. Men som det kommer att framgå senare uppsatsen har vakuum enlgt fältmodellen både energ och fluktuerande fältvärden, så kallade vakuumfluktuatoner, som ger påvsbara effekter. Som exempel kan nämnas Lambskftet som är en uppsplttrng av två energnvåer väteatomen som uppstår på grund av växelverkan mellan elektronen och vakuum. Samt Casmreffekten som är en kraft mellan två parallella plattor mycket nära varandra. Den orsakas av att vakuum får en annan struktur det trånga utrymmet mellan plattorna som ger upphov tll en mätbar kraft. Det är ett faktum att kvantfältteorer är de teorer som bäst överensstämmer med expermentella data. 1.. Inflaton Unversums uppförande beskrvs av den allmänna relatvtetsteorn ur vlken Fredmannekvatonerna är härledda. I frånvaro av kosmologsk konstant lyder den ena H = 8πG kc ρ(t) 3 a (1.1) där a = a(t) är skalfaktorn, H ȧ/a är Hubbleparametern, ρ är unversums denstet (nklusve energn). Konstanten k { 1,, +1} anger unversums geometr, öppen (-1), sluten (+1) eller platt (). är denna ekvaton tllämpas på konventonell Bg Bangteor uppstår en del problem. Ett av dem är horsontproblemet. Hur kan den kosmska bakgrundsstrålnngen ha prncp samma temperatur på dametralt motsatta sdor av hmlen? Det måste vara så att områdena har kommuncerat med varandra och uppnått termsk jämvkt. Avståndet en ljussgnal som utsändes vd tden t är från sn källa dag vd tden t är t t a(t ) cdt (1.) a(t) [6]. Så om t anger tden då bakgrundsstrålnngen frgjordes från materan så måste t t a(t ) a(t) cdt a(t ) a(t ) t a(t ) a(t) cdt t t dt t a(t) dt a(t) (1.3) 3

5 för att jämvkt ska ha hunnt att uppstå. Eftersom t 3 år och t 13.7 mljarder år är t t. Då måste a som mnst vara proportonell mot t (a t p, p 1) för att olkheten ska gälla. Men konventonell Bg Bangteor är detta nte möjlgt. I den är de enda möjlgheterna för densteten att ρ a 3 när unversum är materedomnerat och ρ a 4 när unversum är strålnngsdomnerat. Skftet mellan matere- och strålnngsdomnans råkar på ett ungefär sammanfalla med t. Tllsammans med det observatonella faktumet att den andra termen Fredmannekvatonen är försumbar gör att dess lösnng blr t /3 materedomnas a t 1/ (1.4) strålnngsdomnans. Det är ett för svagt tdsberoende på a för att olkheten (1.3) ska vara uppfylld. Ett annat problem är planhetsproblemet. Varför är unversum så platt när det skulle kunnat ha vlken kröknng som helst? Eller ekvvalent, varför har unversum en denstet som är så nära den krtska? Den krtska densteten, ρ c, är densteten som krävs för att unversum ska sakna kröknng (k = ). Enlgt ekv. (1.1) är då ρ c 3H 8πG. (1.5) Om denstetsparametern Ω ρ(t)/ρ c nförs kan Fredmannekvatonen skrvas H = H Ω kc a Ω 1= kc a H = kc ȧ. (1.6) Med de ovan gvna förutsägelserna för a är då t /3 materedomnas Ω 1 t strålnngsdomnans som säger att densteten borde avvka mer och mer från krtsk denstet. Idag är utan tvvel Ω 1 < 1 så när unversum var en sekund gammalt var Ω 1 < 1 16! Det är en för noggrann fnjusterng för att vara en tllfällghet. Båda dessa problem försvnner om unversum under någon epok genomgck en exponentell utvdgnng, så kallad nflaton. Om a e t/τ där τ är en konstant kan olkheten (1.3) mycket väl vara uppfylld. Anlednngen är att med ett sådant tdsberoende fnns det ngen gräns för hur mycket mndre a kan ha vart nnan nflatonen jämförelse med efteråt. Det krävs bara att nflatonen äger rum nnan t och varar tllräcklgt många τ. En ljussgnal som sändes nnan nflatonen kan då ha kommt godtycklgt långt bort. För denstetsparametern gäller under en nflaton att Ω 1 e t/τ så att densteten drvs mot krtsk denstet. Så återgen, bara nflatonen varar tllräcklgt många τ kan unversum bl godtycklgt platt hur krökt det än var från början (så länge unversum nte har hunnt kollapsa nnan nflatonen). Ska denna teor vara trovärdg måste det fnnas en fyskalsk orsak som kan ge upphov tll detta fenomen. En möjlg mekansm är just ett fält. Ett fält med en något annorlunda potental. Ett fälts potental kan tolkas som dess nre energtäthet. Den är oftast proportonell mot fältvärdet kvadrat, som de elektrska och magnetska fälten. Men med en potental som den fg. 1 eller något lknande är nflaton möjlgt [7]. Ett sådant fält benämns allmänt för Hggsfält efter Peter Hggs. En brttsk teoretsk fysker som tllsammans med (men oberoende av) Franços Englert 1964 var först med att lansera denna typ av fält. Anlednngen var att få en teoretsk förklarng tll varför kraftförmedlarna den svaga växelverkan har massa [8]. Men för att undvka sammanblandnng med andra Hggsfält kallas fältet som orsakar nflatonen för nflatonfältet. (1.7) 4

6 V V Φ Φ Fgure 1: En möjlg potental för ett nflatonfält. Det specella är att fältet har mnst energ när fältvärdet φ =, vlket är karaktärstskt för Hggsfält. Man utgår från den höga temperatur och energtäthet som unversum hade början av sn exstens och tänker sg att fältet då befnner sg på platån [9]. Fältvärdet φ fluktuerar då krng φ =. är sen den normala utvdgnngen får unversum att tunna ut och svalna, fastnar nflatonfältet på platån och dess energ börjar att domnera. Det leder tll att den totala energtätheten blr väsentlgen konstant. Så även om alla fältvärden är noll fnns där energ. Vakuum kan defneras som det tllstånd där energn har stt lägsta värde och därför kallas detta tllstånd för ett falskt vakuum. Men hela begreppet vakuum får en ny nnebörd med ett sådant fält. är energn är noll fnns där stället ett fältvärde som ger fyskalska effekter. Så den tradtonella blden av vakuum som ett ntet bryts ned av ett Hggsfält. Även när man bortser från kvantmekanska effekter. Eftersom energtätheten, och därmed densteten, är konstant under en nflatonsfas vsar ekv. (1.1) att H =konstant så länge nflatonen varar. Återgen använder v att den andra termen kan gnoreras. Den approxmatonen blr bättre ju längre bak tden man tttar. Densteten skalar som a 3 eller a 4 så den första termen växer mycket snabbare när man går bakåt tden. Under nflatonen får man att ȧ = Ha a e Ht (1.8) som beskrver en exponentell utvdnng så länge nflatonfältet är på platån. För de flesta nflatonsmodeller startar nflatonen vd plancktden 1 35 s på någon storleksordnng när. En uppskattnng är att H 1 35 s 1 vd den tden. Då räcker det med att nflatonen varar endast 1 33 s för att a ska öka med faktorn Dessa sffror är mer än tllräcklga för att lösa horsontproblemet. Planhetsproblemet löses också eftersom Ω 1 mnskar med faktorn Då kan unversum ha startat med stort sett vlken denstet som helst och ändå ha krtsk denstet dag. 5

7 I denna uppsats ska v låta nflatonfältet koppla tll ett materefält. V ska undersöka hur materefältet påverkas när nflatonfältet rör sg sn potental. Konstrukton av dskret kvantfältteor I detta kaptel byggs den dskreta kvantfältteorn upp steg för steg på ett så välmotverat sätt som möjlgt. V börjar med att ge en klasssk beskrvnng av ett mekanskt fält. Därefter kvantseras fältet genom att nföra kvantmekanska operatorer. En stor del av kaptlet ägnas åt att beskrva och motvera de åtgärder som görs för att kunna lösa Schrödngerekvatonen för fältet. Lösnngarna analyseras och tolkas. Kaptlet avslutas med några påpekanden och exempel..1 En mekansk början V skapar en modell av ett fält genom att använda kulor och fjädrar [1]. Kulorna har massan m (där det fnns ett prm på m:et för att undvka senare sammanblandnng med partklars massor). Varje kula är fastsatt en gven punkt på x-axeln på avståndet a från varandra med en fjäder vars fjäderkonstant är k och som har längden osträckt läge. Dessutom är varje kula kopplad tll sna grannar med andra fjädrar som också har längden osträckt läge. Det gör att dessa fjädrar orsakar en konstant spännkraft T x-led. För enkelhetens skull tänker v oss ett 1-dmensonellt fält slutet som en crkel med endast tre kulor. q q 1 1 q 1 x a 1 x k x a x q T Α Β T Fgure : Skss för vår modell av ett fält. otera att kula -1 kopplar tll kula 1. Den valda numrerngen beror på symmetrskäl som kommer att framgå. Den ntressanta storheten för systemet är energn. Låt oss beräkna denna. Utfrån fg. ser man att nettokraften q-led på kula ges av F = kq +T tan α+t tan β = kq +T q 1 q a På samma sätt är +T q 1 q a = kq + T a (q 1 q +q 1 ) (.1) F 1 = kq 1 + T a ( q 1 + q + q 1 ) (.) F 1 = kq + T a (q 1 + q q 1 ). (.3) 6

8 Enlgt defntonen för potentalen V = V (q 1,q,q 1 ) gäller att och med det naturlga V (,, ) = beräknas detta tll V q = F (.4) V = 1 k(q 1 + q + q 1)+ T a (q 1 + q + q 1 q 1 q q 1 q 1 q q 1 ). (.5) Tllsammans med rörelseenergn blr då den totala energn för systemet E = (p 1 + p + p 1) m + 1 k(q 1 + q + q 1)+ T a (q 1 + q + q 1 q 1 q q 1 q 1 q q 1 ) (.6) där p = m q är rörelsemängden för kula. Skapa matrsen 1 1 G = så kan energn enklare skrvas E = 1 = 1 p m + 1 kq = 1 j= 1 (.7) T a q 1 G jq j. (.8) Denna ekvaton är lätt att generalsera tll st kulor. Man behöver bara observera att varje kula kopplar tll sna två grannar och tll sg själv. Det ger att det generella fallet är G = då = j , G j = 1 då = j ± för övrga för alla heltalsvärden och j sådana att 1, j 1 (.9), j. (.1) Här har blvt defnerad för senare användnng. otera att med detta skrvsätt måste vara udda och v ska bara använda udda. Dels för att kunna ha en enkel symmetrsk fördelnng på och j men också av en fyskalsk orsak som kommer att dyka upp senare. Energn är funnen och det är dags att tllämpa kvantmekank på modellen.. Kvantmekansk beskrvnng V går över tll en kvantmekansk bld av systemet som nu ska tolkas som ett fundamentalt cke-mekanskt fält. Det är då lämplgt att göra sg av med kulorna och fjädrarna genom att 7

9 sätta m = µa (.11) k = κa. (.1) Här är µ fältets lnjedenstet och κ en slags fjäderkonstant per längdenhet. Dessa storheter är oberoende av varabeln a (som nu är ett mått på hur dskretserat fältet är) och kan tolkas som fundamentala naturkonstanter för det aktuella fältet. Ampltuden q ska nu nte uppfattas som ett rumslgt utslag utan helt enkelt som ett fältvärde som nte har någon knematsk motsvarghet. Med detta sagt är det dags att föra n kvantmekanken. Steget från klasssk fysk tll kvantfysk tas genom att byta ut de klassska storheterna för poston och rörelsemängd mot motsvarande kvantmekanska operatorer [5] som markeras med ett tak. Med våra betecknngar blr bytet q q = q (.13) p p = q (.14) (förväxla nte ndex med den magnära enheten). Det första bytet är snarast formellt men belyser ändå att varabeln q kvantmekanken nte anger postonen för en kula. Endast postonens förväntansvärde kan beräknas med denna operator. Efter användnng av operatorerna energuttrycket (.8) tllsammans med ekv. (.11) och ekv. (.1) fås för ett godtycklgt att H = µa q + 1 κaq +,j T a q 1 G jq j (.15) där E har bytts ut mot H = E för att vsa att den klassska storheten energ har ersatts av en kvantmekansk operator, Hamltonoperatorn. Operatorerna verkar på den kvantmekanken nförda vågfunkton Ψ = Ψ(q,...,q,t) som fullständgt beskrver tllståndet hos ett gvet system. Målet är att fnna vågfunktonen för fältet. är Hamltonoperatorn saknar tdsberoende fnns det statonära lösnngar med formen Ψ(q,...,q,t)=ψ(q,...,q )exp( Et/). För att fnna dessa ska den tdsoberoende Schrödngerekvatonen Hψ = Eψ (.16) lösas. Det görs enklast genom att dagonalsera G så att alla korstermer (q q j,= j) elmneras. Då blr Hamltonoperatorn en operator för st oberoende harmonska oscllatorer för vlka det fnns standardlösnngar..3 Dagonalserng Med kolonnmatrsen q =. q 1 q q 1. (.17) kan man skrva ekv. (.15) som H = µa q + 1 κaqt q + 1 T a qt Gq. (.18) 8

10 Dagonalserngen görs med koordnatbytet q = AQ. (.19) Matrsen A ska uppfylla kraven A T GA = D (.) A T A = I (.1) där D är en dagonalmatrs och I är enhetsmatrsen. Anlednngen tll dessa krav är att ekv. (.18) elmneras korstermerna tredje termen samt att det nte uppstår några korstermer de två första termerna. Alltså att q = j Q j, q T q = Q T Q, q T Gq = Q T DQ. (.) Att det blr så vsas appendx A. V stödjer oss på satser den lnjära algebran för att konstatera följande [11]. Ska A kunna dagonalsera G måste kolonnvektorerna A vara egenvektorer tll G. KravetA T A = I nnebär att kolonnvektorerna dessutom måste vara ortonormerade. Att dessa krav alltd kan uppfyllas för ett godtycklgt garanteras enlgt spektralsatsen av att G är symmetrsk för varje. Det nnebär att efter koordnatbytet kan Hamltonoperatorn (.15) skrvas H = µa Q + 1 κa + λ T a där λ = D är dagonalelementen D och egenvärdena tll G..4 A-matrsen Q (.3) För att fnna A vars kolonnvektorer är egenvektorer tll G tar v först fram egenvärdena tll G genom att lösa egenvärdesekvatonen =det(g λi). (.4) I fallet = 3 är den = λ λ λ = λ3 +6λ 9λ (.5) som har roten λ = och dubbelroten λ = 3. Egenvektorerna, X, httas genom att lösa ekvatonen GX = λx (.6) för varje egenvärde. Lösnngarna är t(1, 1, 1) när λ = X = r( 1, 1, ) + s( 1,, 1) när λ =3 (.7) där t, r och s är parametrar. Med de gvna kraven på A måste en kolonnvektor vara (1, 1, 1)/ 3. Men det fnns ett oändlgt antal sätt att välja de andra kolonnvektorerna. Alltså är A nte unk. 9

11 Om möjlgt bör v välja kolonnvektorer så att A blr en symmetrsk matrs för att underlätta våra beräknngar så mycket som möjlgt. Med detta tllägg fnns det endast en typ av matrs att välja på, nämlgen A = (.8) otera att varje harmonsk oscllator Q kan tolkas som en stående våg fältet, en så kallad mod, som tllsammans kan superpostonera tll en godtycklg form. Att det fnns oändlgt många val för A nnebär att det fnns ett oändlgt antal uppsättnngar stående vågor som bldar en bas för samtlga vågor. För ett godtycklgt ger elementen A j = 1 cos j π +sn j π (.9) en matrs som uppfyller kraven (.) och (.1). Samtdgt blr A symmetrsk (det är en av anlednngarna tll den symmetrska fördelnngen på och j). Att A uppfyller kraven vsas appendx B. Där vsas också hur man httar egenvärdena tll matrsen G som är λ =4sn π. (.3).5 Analys av lösnngarna tll Hψ = Eψ.5.1 Varabelseparaton Hamltonoperatorn skrven som ekv. (.3) är en operator för st oberoende harmonska oscllatorer eller moder. Ampltuden representeras av Q och fjäderkonstanten är κa + λ T/a. Det är därför lämplgt att först ta fram ψ uttryckt koordnaten Q. Eftersom varje Q är oberoende av de andra kan lösnngarna skrvas ψ(q,...,q )= ψ (Q ). (.31) Då kan man plocka fram varje ψ för sg genom att lösa där H = H och E = E..5. Fältteorns partkeltolknng H ψ = E ψ (.3) Tll att börja med ska v ttta på egenvärdena E som är de möjlga energerna varje mod Q kan ha (vd en hypotetsk mätnng). För den harmonska potentalen vet v att dessa är där ω = E,n = ω (n +1/) (.33) κa + λ T/a κ = µa µ + λ T µa. (.34) Energstegen, E = ω, är alltså lka stora för varje enskld Q (observera att samma betecknng används för ett energsteg som för den totala energn Schrödngerekvatonen). V postulerar att 1

12 ett energsteg motsvarar den totala energn för en reell partkel med massan m och rörelsemängden p. V tänker oss att partkeln är en exctaton av fältet. Alltså, v ansätter det relatvstska sambandet E = m c 4 + p c (.35) som tllsammans med ekv. (.34) ger att κ µ + λ T µa = m c 4 + p c. (.36) Här har v antagt att massan är oberoende av, att ett fält bara kan ge upphov tll en typ av partklar. är man tttar på uttrycket (.36) är det logskt att dentfera term för term. V antar att detta är möjlgt och sätter och κ µ = m c 4 κ = µ m c 4 (.37) λ T µa = p c. (.38) Det verkar rmlgt eftersom rörelsemängden då kopplar tll egenvärdena på ett drekt sätt. För att komma vdare behövs ännu ett postulat. V postulerar att all vågutbrednng fältet sker med ljushastgheten (som nte ska förväxlas med partklarnas utbrednngshastghet). Enlgt klasssk mekank är farten för vågutbrednng en dmenson T/µ och då är c = T µ T = µc. (.39) Detta tllsammans med ekv. (.38) och ekv. (.3) gör att rörelsemängden kan skrvas p = λ a p = ± λ a =sn π För att få fram den ssta lkheten väljs (+) då >och( ) då<..5.3 Rörelsemängden a. (.4) Det är dags att reflektera över det v har fått fram om rörelsemängden. V kan konstatera att p = är ett tllstånd vla. På ett naturlgt sätt blr p > när >ochp < när <. Rörelsemängden p är lka stor som p men rktad åt motsatt håll som vsas fg. 3. Symmetrn är då total och detta är den fyskalska anlednngen tll att bara använda udda. Man får då ett och endast ett tllstånd vla. p p 1 p p 1 p Fgure 3: Schematsk bld av partklars rörelsemängder för olka. 11

13 Om detta uttryck för rörelsemängden är korrekt bör partkeln har en debroglevåglängd, h/ p, som går ett helt antal gånger på ett varv vårt mnunversum för att nte nterferera destruktvt med sg själv. Om det stämmer måste det för ett heltal k gälla att a = k h p = k πa sn π sn π = kπ. (.41) Men ekvatonen är nte lösbar för =. Vad är fel? är är sn(π/) π/ och med den approxmatonen är lösnngen k =. Så modellen är nte helt fel. Men varför gäller den nte för alla? Skälet är att det måste fnnas ett största värde på rörelsemängden eftersom fältet är dskretserat. En debroglevåglängd mndre än a är nte möjlgt att beskrva med en dskret teor. Det måste gälla att vlket är uppfyllt, eftersom vår modell är h p max >a p max < π a (.4) p max < a. (.43) Så våra resultat för rörelsemängden är rmlga och stämmer överens med känd fysk (åtmnstone för ). Att det fnns ett maxmalt värde på rörelsemängden är naturlgtvs en brst som teorn har men med ett tllräcklgt ltet a kan en godtycklgt hög rörelsemängd erhållas..5.4 Hamltonoperatorn skrven med kända konstanter u kan de okända kontanterna k och T Hamltonoperatorn skrven som ekv. (.3) bytas ut mot de kända konstanterna m och c genom att använda ekv. (.37) och ekv. (.39). V får att H = µa Q + 1 µa m c 4 c + µλ Q. (.44) a Konstanten µ är fortfarande kvar. För att bl av med den görs ännu ett koordnatbyte. I den kvantmekanska fältmodellen är Q (och q) abstrakta storheter som ej är mätbara. Därmed kan v skala fältvärdet Q godtycklgt och sätta Med denna koordnat blr Hamltonoperatorn H = a U U = µq. (.45) + 1 m a c 4 c + λ a U (.46) och µ är elmnerad. Den fnns koordnaten U som därmed får dmensonen ML..5.5 Vågfunktonen ψ för koordnaten U = µq u vänds uppmärksamheten mot egenfunktonerna ψ. Ekv. (.31) gäller också för koordnaten U. Då kan de kända lösnngarna för den harmonska potentalen användas för varje U. Eftersom alla ψ har en lösnng för varje kvanttal n så är ψ n,...,n (U,...,U )= ψ,n (U )= aω C,n H n U exp aω U = C,n H n aω U 1 exp a (.47) ω U

14 där H är ett Hermtepolynom och C är en normerngskonstant som ges av 1 aω 1/4 C,n = n. (.48) n! π Med de nya kända konstanterna är m c ω = 4 c + λ a. (.49) För dessa statonära lösnngar så är rörelsemänden välbestämd. Det nnebär att läget för en partkel är fullständgt obestämt. Dess sannolkhetsfördelnng är jämnt fördelad över hela rummet..5.6 Vågfunktonen ψ för koordnaten u = µq u när lösnngarna är funna är målet att gå tllbaka tll koordnaten q, eller snarare tll den skalade koordnaten u = µq, eftersom den är relaterad tll x-axeln genom sambandet x(u )=a. V vet att q = AQ µq = A µq u = AU U = A 1 u = Au (.5) som ger U = A k u k. (.51) k Detta uttryck kan användas Hermtepolynomet ekv. (.47). I samma ekvaton kan summan exponenten skrvas ω U = U T BU (.5) där B är en matrs med elementen Eftersom B j = ω då = j för övrga. (.53) U T BU =(Au) T BAu = u T A T BAu = u T ABAu u T Γu (.54) där matrsen Γ blvt defnerad, så är ω U = u Γ j u j. (.55),j Återstår att ta fram Γ. Använder man formeln för matrsmultplkaton ser man att (BA) j = k B k A kj = ω A j (.56) och då är Γ j = A k ω k A kj k = 1 ω k cos k π +sn k π cos kj π +sn kj π. k (.57) Jämför v med ekv. (B.4) appendx B förstår v att detta är ekvvalent med Γ j = 1 ω k cos k( j) π. (.58) k 13

15 .6 Formler för den dskretserade kvantfältteorn Här följer en sammanfattnng av de formler v har tagt fram. Vågfunktonen för koordnaten U aω ψ n,...,n = C,n H n U exp a ω U. (.59) Vågfunktonen för koordnaten u aω ψ n,...,n = C,n H n A k u k exp a u Γ j u j (.6) k,j A j = 1 cos j π +sn j π (.61) Γ j = 1 ω k cos k( j) π. (.6) k ormerngskonstant Vnkelfrekvens Energ för en partkel Rörelsemängd för en partkel Egenvärde C,n = ω = E = 1 n n! aω 1/4. (.63) π m c 4 + λ c a. (.64) m c 4 + λ c a. (.65) p =sn π a. (.66) λ =4sn π. (.67).7 Energspektrum Varje partkel ett energ-egentllstånd kan bara anta någon av de st möjlga energerna E,...,E. För mn- och maxenergerna gäller E mn = E = mc (.68) E max = E ± = m c 4 +4sn π c a m c 4 +4 c a då. (.69) Maxenergn beror på varabeln a. Det betyder att a kan väljas på ett sådant sätt att man får med de energer som är ntressanta varje ensklt fall. Ett stort a för att beskrva lågenergetska partklar och ett ltet a för att beskrva högenergetska partklar. Antalet energsteg bestäms av. Ju större desto fler energsteg och en mer realstsk modell. Ett lägre ger stället en mer lätthanterlg vågfunkton för fältet. Så det råder en kompromss mellan noggrannhet och enkelhet. 14

16 a. a.5 a Fgure 4: Energspektrum för olka värden på a enheten /mc. En kurva är oberoende av som endast bestämmer antalet energsteg på kurvan..8 ågra exempel Det är nstruktvt att explct skrva ner vågfunktonen för några enkla och specfka fall för att få en uppfattnng av sannolkhetsfördelnngen över olka fältkonfguratoner. Därför går v tllbaks tll = 3 och konstaterar att 1 Γ j = 3 (ω 1 + ω + ω 1 ) då = j 1 3 ( 1 ω 1 + ω 1 ω 1) då = j, ω = mc då = m c 4 +3 c a då = ±1. (.7) A-matrsen känner v sedan nnan ekv. (.8). V börjar med att betrakta vakuum där n 1 = n = n 1 = som ger vågfunktonen ψ,, (u 1,u,u 1 ) exp a 1 1 u Γ j u j = 1 j= 1 (.71) =exp a (ω 1 +ω +ω 1 )(u 6 1+u +u 1)+( ω 1 +ω ω 1 )(u 1 u +u 1 u +u u 1 ). ormerngskonstanten är nte ntressant detta kvaltatva resonemang där endast jämförelser mellan sannolkheter för olka utseende på fältet görs. Men vad säger denna vågfunkton? För sannolkhetstätheten ρ gäller att ρ(u 1,u,u 1 )= ψ(u 1,u,u 1 ). (.7) Så ju större belopp vågfunktonen har desto större är sannolkheten för just den fältkonfguratonen. Ett studum av ψ,, (u 1,u,u 1 ) vsar att sannolkheten är störst för u 1 = u = u 1 =. 15

17 Det framgår också att sannolkheten är större för de konfguratoner där alla u har samma tecken eftersom ω 1 +ω ω 1 <. Med det specellt fallet u 1 = u = u 1 = k där k är en godtycklg konstant blr ψ,, (k, k, k) exp 3aω k (.73) som är samma typ av vågfunkton som för en enkel harmonsk oscllator grundtllståndet. Det är bra att ha åtanke när man ska göra sg en bld av vågfunktonen när partklar fnns närvarande. På grund av symmetrn är väntevärdet för fältet (,, ). Väntevärdet på kvadraten av fältet, (u 1,u,u 1), är dock sklt från noll. Detta är vakuumfluktuatoner som ger upphov tll fenomen som Lambskftet och Casmreffekten som omnämndes ntroduktonen. är normerngskonstanten bortses kan vågfunktonen skrvas på ett mer överskådlgt sätt, nämlgen 1 aω 1 ψ n 1,n,n 1 H n A k u k ψ,, (.74) = 1 som vsar på fördelen av att ha en uppfattnng för hur vågfunktonen för vakuum ser ut. Vågfunktonen för fältet när det fnns en partkel vla närvarande är ψ,1, H 1 aω 1 k= 1 k= 1 A k u k ψ,, (u 1 + u + u 1 )ψ,,. (.75) Återgen är sannolkheten större när alla u har samma tecken. Störst sannolkhet fås för u 1 = u = u 1 = k för något k =. otera att ψ,1, = för k =. Slutlgen tar v en närmare ttt på ett två-partkeltllstånd. ärmare bestämt aω1 1 ψ,, H A 1k u k ψ,, k= 1 (.76) +4 aω 1 (.37u 1 + u +1.37u 1 ) ψ,,. Det är svårt att få en överblck av denna vågfunkton men ett par slutsatser kan dras. För det första är allmänhet ψ,, = då u 1 = u = u 1 =. Så trots att partklar exsterar så kan fältet ha ett utseende som är karaktärstskt för vakuum. För det andra så fås den största sannolkheten för några värden där u 1 har motsatt tecken mot u och u 1. Man kan alltså ana någon typ av våg fältet. Att ψ,, = avslöjar att fältets kvanta är bosoner. Det fnns det ngen begränsnng för hur många bosoner som kan fnnas samma tllstånd. Kvantat de kända materefälten (leptoner och kvarkar) är fermoner. De lyder under Pauls uteslutnngsprncp som säger att endast en partkel kan fnnas varje tllstånd. Denna kvantfältteor har alltså ngen möjlghet att beskrva de kända materefälten. 3 Tllämpnng på en nflatonsfas Det är nu dags att använda teorn. Teorns begränsnngar gör att den bäst tllämpas på ändlga system som har en uppåt begränsad energ. V ska ändå tllämpa den på en tänkt nflatonsfas någon gång under unversums hstora. De enda anspråk v gör är att kvaltatvt undersöka hur ett materefält vars kvanta är bosoner påverkas av nflatonfältet. Två olka scenaron för nflatonens förlopp kommer att behandlas. V ska också se vad nflatonfältet (eller ett allmänt Hggsfält) har för påvekan dagens unversum. u när nflatonen är över och nflatonfältet lgger stt mnmum. 16

18 3.1 Fältkopplng Två fält kan påverka varandra om de är sammankopplade. I den ursprunglga mekanska modellen fg. motsvaras det av att det tll varje kula fnns ytterlgare en fjäder som är kopplad tll ett yttre fält vars fältvärde betecknas φ. Från detta fält kommer varje kula att påverkas av kraften F φ, = µagφ (x,t)q. (3.1) Här behöver flera saker påpekas. Det yttre fältet behandlas klassskt, vlket nnebär att dess värde varje punkt x och vd varje tdpunkt t är välbestämt. Anlednngen tll att φ uppträder kvadrat har två syften. Dels för att φ alltd är postvt, dels för att få en symmetr mellan de två fälten uttrycket för energn som framgår nedan. Konstanten g är en kopplngskonstant som är ett mått på hur starkt de två fälten känner av varandra. Den kommer tllsammans med varabeln a för att få rollen som en fundamental naturkonstant oberoende av hur v väljer att dskretsera fältet. Den totala kopplngen mellan de två fälten bör vara oberoende av a, som nnebär att kraften på varje enskld kula blr proportonell mot a (jämför med hur v gjorde med konstanterna k och m ). Här dyker µ upp för att få g defnerad för koordnaten u som v sedan tdgare sett är en bättre koordnat än q. Denna kopplng bdrar med den potentella energn V φ = 1 µagφ (x,t)q. (3.) För n denna potentella energ uttrycket (.8) så erhålls den totala energn. Efter att ha använt den kvantmekanska operatorn för rörelsemängden kan man gå tllbaka tll ekv. (.15) för att förstå att Hamltonoperatorn får utseendet H = µa q + 1 κaq + 1 µagφ (x,t)q +,j T a q 1 G jq j. (3.3) Tlde används, och kommer att användas, på vssa storheter för att markera att en kopplng tll ett yttre fält exsterar. u går det allmänhet nte att dagonalsera H eftersom φ regel varerar rummet. Men v betraktar nflatonfältet som bör lyda under den kosmologska prncpen som säger att unversum överallt är homogent och sotropt. Det nnebär att fältvärdet är detsamma över hela rummet så att φ(x,t)=φ(t). Då är dagonalserng möjlg. aturlgtvs kan det fnnas lokala fluktuatoner hos φ utan att strda mot den kosmologska prncpen. Det är rentav trolgt att sådana fluktuatoner fanns, och fnns, nflatonfältet. De skulle ha kunnat ge upphov tll de varatoner som observeras bakgrundsstrålnngen. Unversum är nte homogent på små skalor. Dessa hypotetska fluktuatoner kommer v att gnorera. 3. Inflatonfältets effekter dag I detta avsntt ska v ttta på dagens unversum efter nflatonen. u lgger nflatonfältet stt mnmum så att φ(t) =φ, se fg. 1. Med detta fältvärde ska egenvärden och egenfunktoner tll ekvatonen H ψ = E ψ (3.4) httas. Efter dagonalserng blr ekv. (3.3) H = µa Q + 1 κa + µagφ T + λ Q. (3.5) a 17

19 Den enda skllnaden när det fnns en kopplng tll ett yttre fält är att fjäderkonstanten har ett annat utseende. Då förstår man att lösnngarna tll ekv. (3.4) koordnaten U är aω ψ n,...,n (U,...,U )= C,n H n U exp a ω U (3.6) E,n = ω (n +1/) (3.7) där vnkelfrekvensen nu ges av ω = κa + µagφ + λ T/a = µa κ µ + gφ + λ T µa. (3.8) Det yttre fältet påverkar alltså energstegen. Men även nu måste det gälla att som ger relatonen E = m c 4 + p c (3.9) κ µ + gφ + λ T µa = m c 4 + p c. (3.1) Återgen dentferas termer som nnehåller respektve nte nnehåller ndex med varandra κ µ + gφ = m c 4 (3.11) λ T µa = p c. (3.1) Det nnebär att rörelsemängden nte påverkas av en kopplng tll det yttre fältet utan ges alltd av p = ± λ /a. Däremot ökar massan på partklarna med stgande φ. En kopplng tll ett yttre fält kan generera massa. Det gäller att m = κ µc 4 + g φ c 4 = m B + g φ c 4 (3.13) där m B nu betecknar den bara massan eller egenmassan, den massa partkeln skulle haft frånvaro av det yttre fältet. Då kan ekv. (3.8) skrvas m c ω = 4 c + λ m a = B c 4 + gφ + λ c a. (3.14) Egenmassan på en partkel kan aldrg mätas eftersom nflatonfältet (eller ett allmänt Hggsfält med ett konstant värde hela rummet) alltd är närvarande. Man kan tänka sg att egenmassan är noll och att all vlomassa genereras på detta sätt. I den ursprunglga mekanska modellen motsvaras detta av att det nte fnns några fjädrar som fäster kulorna vd x-axeln. Då skulle alla partklar vara masslösa när φ = och röra sg med ljushastgheten. Oavsett värdet på egenmassan kommer partkelmassan att förändras då φ går från tll φ. 3.3 Abrupt nflaton Förutsättnngar Som en första modell av nflatonsfasen används det enkla tdsberoendet då t<t φ(t) = φ då t>t. (3.15) 18

20 Modellen är att så länge fältet befnner sg på platån är φ(t) =ochvdt = t åker fältet genast ner tll stt mnmum. För t<t är H =H som ger exakt samma lösnngar som när nflatonfältet är frånvarande. Så vd tden t byts uppsättnngen egenfunktoner från ψ tll ψ. Om v låter vår modell av unversum starta vakuum, vlket kanske är rmlgt, vet v att ψ = ψ,..., Sudden approxmaton Vad händer med vågfunktonen vd tden t? Eftersom bytet sker ögonblcklgen kan v använda sudden approxmaton och anta att vågfunktonen är oförändrad och fortfarande är ψ,...,. Efter t är nte ψ,..., någon egenfunkton längre. Lksom varje vågfunkton kan den skrvas som en lnjärkombnaton av egenfunktoner ψ,..., (U,...,U )= c n,...,n ψ n,...,n (U,...,U ). (3.16) n = n = Koeffcenterna tas fram med skalärprodukten = ψn,...,n (U,...,U ) ψ,..., (U,...,U ) c n,...,n ψ n,...,n (U,...,U )ψ,...,(u,...,u )du du. Koordnaten U är dagonalserad och då är precs som tdgare ψ,..., (U,...,U )= (3.17) ψ, (U ) (3.18) ψ n,...,n (U,...,U )= ψ,n (U ) (3.19) och då är ekv. (3.17) ekvvalent med c n,...,n = ψ,n (U )ψ, (U )du = ψ,n (U ) ψ, (U ). (3.) Sannolkheten för ett gvet tllstånd Vd en mätnng av energn på ett system kan endast ett egenvärde erhållas. Då kollapsar vågfunktonen momentant tll motsvarande egenfunkton. Sannolkheten för att vd en mätnng erhålla tllstånd k är P k = c k. Så vd en mätnng på fältet är sannolkheten för ett gvet tllstånd P n,...,n = c n,...,n = ψ,n (U ) ψ, (U ). (3.1) Sätt nu P n,...,n = P,n (3.) där P,n är sannolkheten för att moden U excterats n gånger och därmed producerat n partklar. V beräknar denna sannolkhet P,n = ψ,n (U ) ψ, (U ) = aω C,n C, H n U exp 19 a(ω + ω ) U du. (3.3)

21 Här framgår att P,n = för alla när n är udda eftersom Hermtepolynomet då är en udda funkton. Det vll säga det måste bldas ett jämnt antal partklar. Det återspeglar verklgheten trots att det nte fnns några antpartklar vår modell. För att komma vdare behövs ett generellt uttryck för Hermtepolynomen. För jämna k är detta uttryck k/ ( 1) k/ l H k (x) =k! (l)!(k/ l)! (x)l (3.4) l= [1] och det nnebär att sannolkheten kan skrvas n / P,n = ( 1) C n/ l aω,n C, n! (l)!(n / l)! l= l U l exp a(ω + ω ) U du. (3.5) Integralen är en standardntegral som kan lösas exakt och med hjälp av Mathematca kan summan förenklas. Efter nsättnng av normerngskonstanterna och en smula algebra blr slutlgen n n! ω /ω P,n = n [(n /)!] 1. (3.6) 1+ω /ω 1+ω /ω Kvoten K ω /ω bestämmer sannolkheten för ett gvet n hos varje mod. Eftersom ω ω gäller alltd att K 1. Som framgår av fg. 5 mnskar sannolkheten ju större n är P,n K 4 6 n 8 1. Fgure 5: Sannolkhet som funkton av n och K. Fallet n = har klppts bort. För det fallet är det störst sannolkheten när K = 1. En svag kopplng ökar sannolkheten för fortsatt vakuum. Där syns också att ett lägre K ger en högre sannolkhet för att producera partklar. Det fnns ett värde på K så att sannolkheten för ett gvet n är maxmal. Det värdet vsas fg. 6.

22 K n Fgure 6: Kurvan vsar det K som ger högst sannolkhet för att moden excterats n gånger. Då K ges av K = ω ω = 1+ 1 (3.7) gφ m B c4 / +λ c /a betyder det att det bldas fler partklar när kopplngen tll det yttre fältet är starkt och när λ, och därmed rörelsemängden, är lten. Sammanfattnngsvs, för varje mod mnskar sannolkheten med ökat antal partklar och sannolkheten för exctaton är större för de moder som producerar partklar med lten rörelsemängd Kvaltatva slutsatser Låt oss nu använda resultaten från vår dskreta kvantfältteor tllämpad på den enkla modellen av nflatonen tll att dra några kvaltatva slutsatser om unversum drekt efter nflatonsfasen. En ntressant storhet är antalet partklar, M (multplctet), efter nflatonen. I modellen startar unversum vakuum. Sannolkheten P M att vd en mätnng av unversum (hur nu den mätnngen ska gå tll) fnna M st partklar ges av P M = P n,...,n (3.8) n,...,n där summatonen går över alla möjlga kombnatoner av n,...,n sådana att n = M. (3.9) Denna sannolkhet beror på de parametrar som ngår uttrycket för kvoten K ekv. (3.7) och även på. Två dagram presenteras. I det första är det någon menng naturlga gφ = m B c4 / 1

23 valt (notera att man nte kan sätta m B =, det ger problem när = ). Värdet på a bestämmer energspannet. Två olka värden väljs a =1 mc a = 1 mc möjlghet tll relatvstska partklar (3.3) ngen möjlghet tll relatvstska partklar. (3.31) Av det gvna värdet på gφ följer det att m = m B. Värdet på bör vara så högt som möjlgt men de numerska beräknngarna sätter en praktsk gräns. För de beräknngsmetoder Mathematca som har använts har = 9 vsat sg ge rmlga beräknngstder. Som synes a 1 a 1 Fgure 7: Sannolkhetsfördelnngar för multplcteten när gφ = m B c4 /. är a = 1 är relatvstska partklar tllåtna och när a = 1 är de förbjudna. Enheten på a är /mc. fg. 7 är vakuum det mest sannolka tllståndet även om kurvan plattas ut när relatvstska partklar är förbjudna. Tttar man på det mnmala värdet på kvoten K som fås när λ = är det ungefär.71. Det betyder att detta är en svag kopplng tll nflatonfältet. V gör därför också en beräknng där kopplngen är starkare och sätter gφ = 1m B c4 / som gör att det mnmala värdet på K är ca.1. Samma värden på a används och och med det nya värdet på gφ är m = 11m B. Det är lämplgt att låta M-axeln gå tll 1 och för att det ska vara praktskt möjlgt används = 15. Denna beräknng redovsas fg. 8. Den vsar samma typ av kurva som fg. 7 när relatvstska partklar är tllåtna. Dock betydlgt mer avplattad så att tllstånd med flera partklar är mer sannolka, som väntat när kopplngen är starkare. Men det blr stor skllnad när relatvstska partklar nte har möjlghet att uppkomma. Sannolkhetsfördelnngen förskjuts kraftgt mot större antal partklar och vakuum är nte längre det mest sannolka tllståndet. Som v redan har konstaterat är det främst de lågenergetska moderna som excteras. Relatvstska partklar bldas endast undantagsfall. Så om relatvstska partklar nte ges någon möjlghet att uppstå (genom att välja ett tllräcklgt stort a) och kopplngen nte är allt för svag

24 a 1 a 1 Fgure 8: Sannolkhetsfördelnngar för multplcteten när gφ = 1m B c4 /. är a = 1 är relatvstska partklar tllåtna och när a = 1 är de förbjudna. Enheten på a är /mc. är alla moder lågenergetska. Det gör att samtlga moder har ungefär samma sannolkhet att excteras. Därför är de två kurvorna fg. 8 så olka. De slutsatser v har dragt här förutsätter att det nte fnns något krav för att energn och rörelsemängden ska vara bevarade. Inflatonfältet bär en vss energ som avges. Den energn måste bäras av partklar och då är vakuum knappast det mest sannolka tllståndet. Ett rmlgt krav för den totala rörelsemängden är att den är noll. Även om nflatonfältet bär rörelsemängd måst den vara konstant. Dessa krav sätter stora begränsnngar för vlka partkeltllstånd som har möjlghet att uppkomma. 3.4 Perodsk nflaton Förutsättnngar I förra avsnttet behandlades en dealserad bld av vad som händer när nflatonfältet rullar ner från platån tll stt mnmum. Men stannar fältet där? Ett fält har nte bara potentell energ. Precs som för det mekanska fältet v utgck från avsntt 3.1 har nflatonfältet också en form av rörelseenerg. Så lkt en kula som rullar ner för en backe får nflatonfältet rörelseenerg när den lämnar plåtån. Det nnebär att fältet behåller rörelsen och fortsätter tll andra sdan av stt mnmum så att en oscllaton potentalgropen uppstår. Som de flesta lokala potentalmnmum bör denna kunna approxmeras med en harmonsk potental som nnebär att fältet utför en harmonsk svängnng. Inflatonfältet kommer att tappa energ tll övrga fält när dessa successvt excteras. Oftast nnebär en dämpnng av ett harmonskt system att ampltuden avtar exponentellt. V antar att det är så även detta fallet. V sätter att φ(t) =φ + δ sn(ωt)e t/τ (3.3) 3

25 där δ φ är svängnngens ampltud, Ω dess vnkelfrekvens och τ representerar den karaktärstska tden som svängnngen avstannar på. V använder fortfarande nget rumsberoende enlghet med den kosmologska prncpen. Eftersom ampltuden är lten så är φ (t) φ +φ δ sn(ωt)e t/τ. (3.33) Efter en ttt på ekv. (3.3) och ekv. (3.5) ser man att med detta φ blr Hamltonoperatorn H = µa Q + 1 κa + µagφ T + λ Q +µagφ δ sn(ωt)e t/τ Q H +H (t) (3.34) a (nget tlde används längre eftersom en kopplng tll nflatonfältet är en förutsättnng) där en tdsoberoende del, H,ochentdsberoendedel,H (t), har blvt defnerade. Även nu är H dagonal så att varje mod kan behandlas var för sg. För att slppa ett ndex på varje storhet låter v det vara underförstått att endast en, men godtycklg, mod betraktas Lösnngar tll den tdsberoende Hamltonoperatorn Eftersom H är tdsberoende fnns det nga statonära lösnngar. Då måste den tdsberoende Schrödngerekvatonen HΨ = Ψ (3.35) t lösas. För att göra detta kommer ett standardförfarande att användas [13]. Lösnngarna tll den tdsoberoende ekvatonen H ψ = E ψ (3.36) är redan framplockade eftersom H är dentsk med Hamltonoperatorn ekv. (3.5). De statonära lösnngarna koordnaten U fnns ekv. (3.6) tllsammans med ekv. (3.14). Det gäller att {Ψ n} = {ψ n exp( E nt/)} (3.37) bldar en ortonormerad och fullständg bas över alla vågfunktoner. lösnngarna tll ekv. (3.35) skrvas Därför kan de allmänna Ψ= n c n (t)ψ n exp( E nt/) (3.38) där koeffcenterna c n (t) är funktoner av td. Sannolkheten att vd tden t fnna n partklar den gvna moden är c n (t). Därför är målet att fnna dessa koeffcenter. För att göra detta sättes ekv. (3.38) explct n ekv. (3.35) som tllsammans med att H = H + H (t) ger att (H + H (t))c n (t)ψn exp( Ent/) n = n ċ n (t)ψ n exp( E nt/)+ n c n (t)e nψ n exp( E nt/). (3.39) I jämförelse med (3.36) förenklas detta tll H (t)c n (t)ψn exp( Ent/) = n n ċ n (t)ψ n exp( E nt/). (3.4) 4

26 För att komma vdare plockas en godtycklg funkton ψb från mängden {ψ n}. Först konstateras att ortonormerngen gör att ψ b ψ 1 då n = b n = (3.41) då n = b. Så funktonen ψb skalärt med uttrycket (3.4) blr ψ b H (t) ψn cn (t)exp( Ent/) =ċ b (t)exp( Eb t/) n ċ b (t) = ψ b H (t) ψ n exp((e b En)t/)c n (t). n (3.4) Skalärprodukten summan är enlgt förutsättnngarna ψ b H (t) ψ n = agφ δ sn(ωt)e t/τ ψ b U ψ n. (3.43) I appendx C kommer v fram tll att aω b(b 1) då n = b ψ b U ψ n = aω (b + 1) då n = b aω (b + 1)(b + ) då n = b + övrga n. (3.44) Det tllsammans med ekv. (3.43) gör att ekv. (3.4) kan skrvas ċ b (t) = gφ δ ω sn(ωt)e t/τ b(b 1) exp(ωt)cb (t)+(b + 1)c b (t)+ (3.45) (b + 1)(b + ) exp( ωt)c b+ där v använt att Eb E b =ω och E b E b+ = ω. Med de gvna förutsättnngarna fnns det ett krav på produkten gφ δ. Enlgt ekv. (3.14) så är gφ ω som tllsammans med δ φ ger att gφ δ ω Kvaltatva resultat För att entydgt lösa de kopplade dfferentalekvatonerna (3.45) krävs välbestämda begynnelsevllkor, alltså värdena på alla koeffcenter vd t =. Det är när nflatonfältet precs har lämnat platån och nått stt mnmum för första gången. Det förloppet studerades förra avsnttet. Där såg v att tllståndet vd t = nte är bestämt men att vakuum är det mest sannolka tllståndet. Här görs nga anspråk på att beskrva en realstsk nflatonsfas. V studerar bara vssa delar av ett möjlgt förlopp. Så för att hålla det enkelt antar v att det är vakuum vd t = och sätter 1 för b = c b () = (3.46) för b =. Detta begynnelsevllkor nnebär att c b (t) = för alla udda b eftersom dessa bara kopplar tll varandra enlgt ekv. (3.44). De kan nte ändra sna värden när alla är noll från början. Så återgen kan v konstatera att om unversum startar vakuum måste det bldas ett jämnt antal partklar. 5

27 n Ω.5 t.45 Fgure 9: Valda numerska va rden pa parametrarna: gφ δ =., Ω = 1 och τ = Fgure 1: Valda numerska va rden pa parametrarna: gφ δ =., Ω = 1 och τ = 75. 6

28 Efter att ha la tt Matematca lo sa dfferentalekvatonerna (3.45) erha lles en del ntressanta kvaltatva resultat. Fgurerna 9, 1 och 11 vsar va nteva rdet av antalet partklar n = bpb = b b b cb (3.47) fo r den betraktade moden som funkton av td och kvoten ω/ω. Tden ga r fra n tll 5τ alla fgurer. Som synes uppsta r det ett resonansfenomen. Endast da ω.5ω blr n na mnva rt sklt fra n noll. a r nflatonfa ltet har ett perodskt tdsberoende sa a r det alltsa bara de moder da r ω.5ω som excteras. Att resonans uppsta r fo r moder vars frekvens a r halva va rdet av Ω beror pa att endast ett ja mnt antal partklar kan produceras. Partklar produceras par. Det nneba r att energn som kra vs fo r exctaton a r dubbla partkelenergn ω. a r denna energ motsvarar kvantserngsenergn nflatonfa ltets oscllaton, Ω, uppsta r resonans. Ra kar partkelenergn ω =.5 Ω vara relatvstsk sa a r det a nda dessa som produceras. Det a r na got helt annat mot vad v fann fo rra avsnttet da r v studerade en abrupt fo ra ndrng nflatonfa ltet. Da excteras fra mst la genergetska moder. Den exakta formen pa grafen beror pa de olka parametrarna. Om τ mnskas nneba r det en snabb da mpnng av sva ngnngen som go r att moderna nte hnner excteras lka mycket. A ven en ma ttlg mnsknng av τ go r att exctatonen ga r ner kraftgt som fg. 1 vsar. Om kopplngsstyrkan o kar samtdgt som τ mnskar blr det en mycket bredare topp krng ω =.5Ω som framga r av fg. 11. V har ngen kunskap om n Ω.5 t.45 Fgure 11: Valda numerska va rden pa parametrarna: gφ δ =.8, Ω = 1 och τ = 5. nflatonfa ltet, bara att ett fa lt med en sa dan potental kan ge upphov tll en nflaton. Va rdena pa gφ δ, Ω och τ a r helt oka nda. Det a r da rfo r nte mo jlgt att fo ra analysen la ngre. Endast kvaltatva resultat om att ett resonansfenomen uppsta r kan erha llas. Sammanfattnngsvs, det a r bara de moder fo r vlka ω.5ω som excteras och exctatonen blr sto rre ju la ngre oscllatonen varar. A r kopplngen stark excteras fler moder krng ω =.5Ω. 7

29 4 Dskusson V har byggt upp en kvantfältteor dskret form. Utgångspunkten var att det fnns fält rummet som kan representeras av kulor och fjädrar. Genom att använda klasssk fysk och kvantmekank på detta mekanska system har en kvantfältteor erhållts. Teorn beskrver partklar som exctatoner av fältets moder. Olka moder ger upphov tll partklar med olka energ och rörelsemängd. Två sätt att förklara partkelmassor har framkommt. Massa kan orsakas av fundamentala egenskaper hos fältet självt och av kopplngar tll Hggsfält. V har tllämpat kvantfältteorn på unversums hypotetska nflaton och fått fram ntressanta kvaltatva resultat. Teorn vsar på att en nflatonsfas har möjlghet att producera partklar från ett falskt vakuum. Partkelenergerna beror på det sätt som nflatonfältet hamnar stt mnmum. Vd en abrupt övergång är det främst lågenergetska partklar som produceras. Om nflatonfältet oscllerar uppstår en resonans där moder med rätt partkelenerg excteras hög grad oavsett om dessa är relatvstska eller nte. Målet med att skapa en kvantfältteor är uppnått. Det sätt som teorn beskrver partklar på, att partklar är fältexctatoner och massa kan genereras av Hggsfält, är känd fysk. Det är en ndkaton på att sättet som teorn byggs upp på är korrekt. Att fältteorn blr dskret nnebär begränsnngar, t.ex att rörelsemängden får en övre gräns. Samtdgt är dskretserngen också en fördel. Teorn blr lätthanterlg som gör det möjlgt att på ett enkelt sätt göra beräknngar och testa olka mekansmer. Av den anlednngen är teorn användbar. Hur trolga är de slutsatser som har dragts om nflatonens effekter? Flera antaganden om nflatonens uppförande har gjorts och den dskreta fältteorn har begränsnngar. Men teorn och beräknngarna denna uppsats gör nget anspråk på att exakt beskrva vad som hände vd nflatonen. Uppsatsen ska endast ses som ett första steg tll att förstå vad som kan ha skett med hjälp av kvaltatva resonemang. En slutsats är att en fullständg teor trolgtvs nnehåller sådana fenomen som partkelprodukton och resonans. Avslutnngsvs tar v upp några komplkatoner som nte nämnts tdgare. De kommer att peka på områden som det kan vara lönt att arbeta vdare med. Som v sett leder den abrupta nflatonen tll att lågenergetska partklar produceras. För dessa är E mc och det leder tll ett problem. Unversums temperatur skalar som a 1. Så med vårt försktga antagande att a ökar med faktorn 1 43 (det fnns modeller som förutsäger en mycket större utvdgnng, upp mot 1 11!) mnskar temperaturen med faktorn Om v som en grov uppskattnng antar att temperaturen vd plancktden var plancktemperaturen 1 3 K så var temperaturen endast 1 11 K efter nflatonen. Konventonell nflatonsteor säger att unversum återupphettas av den energ som nflatonfältet avger så att temperaturen blr väsentlgen densamma som nnan nflatonen. Men en sådan hög temperatur kräver att relatvstska partklar med E mc är närvarande. Därav problemet. En möjlg lösnng är den perodska nflatonen. Där såg v att det blr en hög grad av excterng för de moder med rätt partkelenerg. Om dessa partklar råkar vara relatvstska så kanske unversum kan få rätt temperatur? En annan möjlghet är sönderfall av partklar. För de flesta fälten är partklarna nte stabla utan energn överförs tll andra fält som excteras. Producerar nflatonen lågenergetska men tunga partklar, t.ex Z eller ännu tyngre exotska partklar, kommer dessa att genom sönderfall resultera lätta och relatvstska partklar. Unversum får kanske sn höga temperatur på detta sätt? Möjlgheten för varje mod att excteras obegränsat många gånger betyder att fältets kvanta är bosoner. V har nte gjort något anspråk på att göra en teor för fermoner som lyder under Pauls uteslutnngsprncp. En sådan teor bör ge kvaltatvt andra resultat. För fermoner med två spnntllstånd kan maxmalt två partklar fnnas varje mod. Det får flera konsekvenser. För den abrupta nflatonen så kommer de lågenergetska moderna snabbt att bl uppfyllda. Det 8

30 kommer att tvnga upp de övrga partklarna på relatvstska energer. Det förutsätter att energprncpen beaktas, att nflatonfältet har en vss energ som måste avges. Om de lågenergetska partklarna nte räcker tll för att bära denna energ så måste relatvstska partklar produceras. Vd en perodsk nflaton kan det kanske nte uppstå något resonansfenomen? Även de moder med rätt energ kan nte excteras mer än två gånger. Vad blr skllnaden om nflatonfältet fluktuerar rummet? En trolg förändrng är att partklarnas sannolkhetsfördelnng nte blr jämnt fördelad över rummet. Alltså att de blr något lokalserade. Ifall nflatonfältet behandlas kvantmekanskt så kanske slutsatsen blr att det måste fnnas en fluktuaton? Om man denna bld dessutom tar hänsyn tll gravtatonen nverkan är det nte svårt att tänka sg att dessa fluktuatoner kan leda tll de lokala nhomogenteter som unversum har dag. En naturlg fortsättnng är att använda sg av en kontnuerlg kvantfältteor tre dmensoner. Vad blr det för skllnader med en sådan mer realstsk teor? Den bör ge kvaltatvt samma resultat som en dskretserad teor men kanske den också kan ge kvanttatva förutsägelser? Förutsägelser om specfka värden på partkel- och energtätheter. Värdena skulle bara bero på parametrar som beskrver nflatonsförloppet och på naturkonstanter som partkelmassor och kopplngsstyrkor. En teor som kan ge sådana förutsägelser har förhoppnngsvs möjlghet att testa nflatonsmodeller mot emprska observatoner. Appendx A V ska vsa att kraven A T GA = D A T A = I med förutsättnngen q = AQ, leder tll att Hamltonoperatorn H = µa q dagonalseras. Att korstermerna tredje termen elmneras vsas av + 1 κaqt q + 1 T a qt Gq (A.1) (A.) (A.3) q T Gq =(AQ) T G(AQ) =Q T A T GAQ = Q T DQ V SV. (A.4) Det krävs också att det nte bldas några nya korstermer de två första termerna. För den andra termen ses detta drekt, eftersom q T q =(AQ) T (AQ) =Q T A T AQ = Q T Q VSV. (A.5) För den första termen använder v oss av kedjeregeln för en partell dervata som säger att = q j Q j q Q j = j A 1 j Q j (A.6) och då är q = j A 1 j Q j k A 1 k Q k = j,k Q j Q k A 1 j A 1 k. (A.7) 9

31 Kravet A T A = I ger att A 1 j A 1 k = A T ja k = 1 då k = j då k = j (A.8) och då är slutlgen q = j Q j VSV. (A.9) B Här vsas att matrsen A med elementen A j = 1 cos j π +sn j π (B.1) uppfyller kraven A T GA = D A T A = I. (B.) (B.3) V börjar med att kontrollera att A T A = I. Sätt A T A = B så ger matrsmultplkaton att B j = A T ka kj = A k A kj k k = 1 cos k π +sn k π cos kj π +sn kj π. k (B.4) Efter att ha utvecklat paranteserna och använt de trgonometrska addtonssatserna så blr B j = 1 cos k( j) π +sn k( + j) π = 1 cos k( j) π. (B.5) k Summan över snus är noll eftersom den är en udda funkton ock k går från tll. Det ger att B j =1då = j eftersom varje term summan då är 1 och det fnns st termer. För att vsa att B j =då= j ska v resonera geometrskt. Enhetscrkeln delas av st punkter på lka avstånd och när k genomlöps besöks varje punkt en och endast en gång. Det råder då jämvkt och summan av alla cosnus måste vara noll. Alltså är B = IVSV. V övergår nu tll att vsa att kravet A T GA = D också är uppfyllt genom att vsa att alla kolonnvektorer A är egenvektorer tll G. Samtdgt kommer alla egenvärden λ att httas. Plocka godtycklg ut den j:te kolonnen ur A och kalla den Ãj och sätt GÃj = C j. Ett godtycklgt element Cj ges av C j = k G k à j k = 1 cos ( 1)j π + 1 cos 1 cos j π +sn ( + 1)j π 3 k +sn ( 1)j π j π +sn ( + 1)j π. (B.6)

32 Genom att använda trgonometrska satser kommer man efter vss möda fram tll att C j =4sn j π 1 cos j π +sn j π = λ j à j. (B.7) Konstanten λ j är oberoende av och alltså är C j = λ j à j GÃj = λ j à j (B.8) som säger att varje kolonnvektor Ãj är en egenvektor tll G med egenvärdet λ j VSV. oga räknat fungerarar nte detta förfarande för j = ±. Men en räknng för just dessa kolonner kommer fram tll exakt samma resultat. Som framgår av ekv. (B.7) så ges egenvärderna av λ =4sn π (B.9) där ndex används för att passa n ekv. (.3). Detta använde v oss av avsntt.4. C I detta avsntt ska v beräkna skalärprodukten ψb U ψ n. Det fnns en rekursonsformel för Hermtepolynomen [1] som lyder Det är ekvvalent med där xh n (x) =nh n 1 (x)+ 1 H n+1(x). xψ n = n n +1 α ψ n 1 + α ψ n+1 ψ n (x) = 1 α 1/4 Hn ( αx)exp( αx /) n n! π (C.1) (C.) (C.3) är den allmänna formen av vågfunktonen för en harmonsk oscllator. Det gör att n n +1 x ψ n = x(xψ n )= α xψ n 1 + α xψ n+1 =... n(n 1) n +1 (n + 1)(n + ) = ψ n + α α ψ n + ψ n+. α (C.4) Det nnebär nte några komplkatoner när n =ellern = 1. Den första termen tas då nte med vlket en räknng för just dessa n bekräftar. För de egenfunktoner v jobbar med är α = aω/, som tllsammans med att ψ b ψ 1 då n = b n = (C.5) då n = b gör att aω b(b 1) då n = b ψ b U ψ n = aω (b + 1) då n = b aω (b + 1)(b + ) då n = b + övrga n. (C.6) 31

33 Referenser [1] S. Wenberg, The Quantum Theory of Felds, Cambrdge Unversty Press, [] R. Jackw, n: Feld Theory and Partcle Physcs, 5th Jorge André Sweca Summer School, Brazl. World scentfc, Sngapore, (1989), 78. [3] L. I. Schff, Phys. Rev. 9 (1953), 766. [4] A. Hobson, Am. J. Phys. 81 (3), (13), 11. [5] S. Y. Auyang, How Is Quantum Feld Theory Possble?, Oxford Unversty Press, [6] A. R. Lddle, astro-ph/ [7] B. Ryden, Introdukton to Cosmology, Pearson Educaton, 3. [8] G. Ingelman, Fyskaktuellt 4, (13), 6. [9] A. Guth, The Inflatonary Unverse, Vntage, [1] I. J. Atchson & A. J. Hey, Gauge theores n partcle physcs, Taylor & Francs, [11] Anders Tengstrand, Lnjär algebra med vektorgeometr, Studentltteratur, 5. [1] M. H. Wnkel, Encyclopeda of Mathematcs. Vol. 4, Kluwer Academc Publshers, [13] B. H. Bransden & C. J. Joachan, Quantum Mechancs, Prentce Hall,. 3

34 Fakulteten för teknk Kalmar Växjö Tel teknk@lnu.se Lnu.se/fakulteten-for-teknk