Lite om kamerageometri och kamerakalibrering. Maria Magnusson,
|
|
- Sten Vikström
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Lte om kamerageometr och kamerakalbrerng Mara Magnusson,
2 Introdukton V ska här presentera grundläggande teor för kamerageometr. Vårt mål är kamerakalbrerng och de verktyg som behövs för detta. V börjar med homogena matrser som kan användas för att beskrva geometrska transformatoner på ett enkelt sätt. Därefter tar v upp hålkameramodellen, den förenklade kameramodell som v ska kalbrera efter. En kamera-matrs beskrver avbldnngen från 3D-världen tll en kamerabld. Därefter beskrvs hur kamerakalbrerngen går tll. Kameramatrsen kan bestämmas genom att ett antal korresponderande punkter mäts upp värld och bld. V vsar också det vanlga specal-fallet av kamerakalbrerng, när man kan anta att världen är platt. Det gäller att ett plan världen avbldas på ett plan blden. Detta kallas en homograf. Tll sst tar v upp några matematska verktyg som man kan behöva vd kamerakalbrerng. V vsar att den lösnng v presenterar för bestämnng av kameramatrsen är ekvvalent med en mnsta kvadrat-lösnng. V vsar också hur man kan lösa ett homogent ekvatonssystem med hjälp av SVD (Sngulärvärdesuppdelnng). Innehållet denna text baserar sg tll stor del på [1], [4], [5] och [7]. Den är också tänkt att användas som ett komplement och hjälpmedel vd läsnng av [7]. 1
3 Kaptel 1 Kamerakalbrerng 1.1 Geometrska transformatoner med homogena matrser Detta avsntt nnehåller fakta som är välkända nom datorgrafken. Idén är att använda homogena koordnater för att beskrva vktga transformatoner, såsom affna och projektva, som lnjära transformatoner. De aktuella transformatonerna mappar en punkt 3D-världen tll en annan punkt 3D-världen. En punkt 3D-världens koordnat-system beskrvs som (X, Y, Z, 1) T och den transformeras tll ny punkt (X 1,Y 1,Z 1, 1) T med hjälp av (X 1,Y 1,Z 1, 1) T = M (X, Y, Z, 1) T, (1.1) där M är en 4 4-matrs. Alternatvt transformeras en punkt 3D-världens koordnat-system (X, Y, Z, 1) T tll en punkt (U, V, W, 1) T annat koordnat-system, t ex kamera-koordnatsystemet, med hjälp av (U, V, W, 1) T = M (X, Y, Z, 1) T. (1.2) De transformatoner som kan beskrvas med homogena matrser är skalnng, rotaton, translaton, skevnng, samt perspektvprojekton. Alla dessa transformatoner beskrvs nedan, förutom perspektvprojektonen som v väntar med att beskrva tlls avsntt 1.2. Notera att v har dragt en horsontell streckad lnje genom matrserna nedan. Den fjärde raden de homogena matrserna är egentlgen ganska ontressant, den är alltd [0, 0, 0, 1], och den behövs egentlgen bara då man ska multplcera hop olka homogena matrser med varandra. I de följande avsntten används därmed en 3 4-matrs stället för en 4 4-matrs för att beskrva hur kameran förhåller sg tll 3D-världen. 2
4 1.1.1 Skalnng Skalngsmatrsen ges av s a s b 0 0 S(s a,s b,s c )= 0 0 s c (1.3) En punkt 3D-världen, (X, Y, Z, 1) T, transformeras tll (s a X, s b Y,s c Z, 1) T av S- matrsen enlgt s a X s a X s b Y s c Z = 0 s b 0 0 Y 0 0 s c 0 Z. (1.4) Translaton Translatonsmatrsen ges av t x t y T (t x,t y,t z )= t z.... (1.5) En punkt 3D-världen, (X, Y, Z, 1) T, transformeras tll (X +t x,y+t y,z+t z, 1) T av T -matrsen enlgt X + t x t x X Y + t y Z + t z = t y Y t z Z. (1.6) Rotaton Rotaton mäts motsols runt respektve axel då man tttar längs axeln mot orgo. Rotaton en vnkel θ runt X-axeln ges av cosθ sn θ 0 R x = 0 snθ cos θ 0..., (1.7)
5 rotaton en vnkel θ runt Y -axeln ges av cos θ 0 snθ R y = sn θ 0 cosθ (1.8) och rotaton en vnkel θ runt Z-axeln ges av cos θ sn θ 0 0 sn θ cos θ 0 0 R z = (1.9) Skevnng Tll sst bör v också nämna skevnng. Skevnng är en lnjär ändrng av koordnaterna baserad på en koordnat. Skevnng kan transformera en kvadrat tll en parallellogram. Matrsen nedan vsar skevnng X-led beroende på Y -koordnaten. 1 a (1.10) En generell skevnng beskrvs av 1 a b 0 c 1 d 0 e f (1.11) Hålkameramodellen (pnhole camera model) Fgur 1.1 vsar en enkel modell av en kamera, den så kallade hålkameramodellen. Den fungerar hygglgt för en vanlg kamera. Den måste dock modferas och kompletteras om man har att göra med tjocka lnser, som t ex mkroskop-lnser eller vdvnklga objektv. Det råder ett samband mellan koordnatsystemen fguren 4
6 dealt bldplan v u f lns U V W Y X Z världs koordnat system Fgur 1.1: Hålkameramodellen, verklg geometr och detta samband kan modelleras med hjälp av en matrs. Rent fyskalskt lgger ju bldplanet bakom lnsen, men det blr enklare att se sambanden mellan koordnatsystemen om bldplanet speglas tll att lgga framför lnsen. Denna speglade geometr vsas fgur 1.2. Följande samband gäller mellan koordnatsystemen, W (u /f, v /f, 1) T =(U, V, W ) T =[Rt] (X, Y, Z, 1) T, (1.12) där (U, V, W ) T är kamerakoordnaterna, (u,v ) T är de deala bldkoordnaterna och (X, Y, Z) T är världskoordnaterna. Matrsen [R t] modellerar rotaton och translaton och kan skrvas r 11 r 12 r 13 t 1 [R t]= r 21 r 22 r 23 t 2. (1.13) r 31 r 32 r 33 t 3 Första ledet ekvaton (1.12) vsar ett sätt att beskrva perspektvtransformaton. Se fgur 1.3. V önskar projcera punkten (U, V, W ) tll det deala bldplanet (u,v ) som är beläget på avståndet f från lnsen. Lkformga tranglar ger { v f u f = V = W U W (1.14) vlket är just det som beskrvs första ledet av ekvaton (1.12). De verklga bldko- 5
7 kamera koordnat system U V f lns u W v dealt bldplan Y X Z världs koordnat system v verklgt bldplan u Fgur 1.2: Hålkameramodellen, beräknngsvänlg geometr U f u W V v (U,V,W) Fgur 1.3: Perpektvtransformaton. 6
8 ordnaterna (u, v) T är normalt sett sklda från de deala bldkoordnaterna (u,v ) T. Det gäller att (u, v, 1) T = A (u /f, v /f, 1) T (1.15) och A = α γ u 0 0 β v = f γ u 0 0 kf v , (1.16) där (u 0,v 0 ) T är bldkoordnaterna som svarar mot optska axelns skärnng med bldplanet, (u,v ) T =(0, 0) T, där α och β är skalfaktorerna för bldens u- och v-axlar och där γ beskrver skevnngen mellan bldens två axlar. Ekvaton (1.12) och (1.15) ger nu s(u, v, 1) T = A[R t] (X, Y, Z, 1) T, (1.17) där v har ersatt W med s för att få ett mer generellt samband. Det är ju nte bara den verklga A[R t]-matrsen som mappar (X, Y, Z) T på (u, v) T, utan även k A[R t], där k är en konstant. Matrserna A och [R t] kan bestämmas ndvduellt va en kalbrerngsprocedur. Det fnns många olka sätt att göra detta på, en varant beskrvs [7]. V kommer dock nte att göra detta här, utan endast bestämma hur en punkt (X, Y, Z, 1) T mappas på bldplanet (u, v, 1) T va matrsen C, där C = A[R t], se ekvaton (1.18). 1.3 Kalbrerng av en kamera 3D-världen Se fgur 1.2. Ekvaton (1.18) nedan beskrver hur en en punkt (X, Y, Z, 1) T världen mappas på bldplanet (u, v, 1) T va matrsen C, s(u, v, 1) T = C (X, Y, Z, 1) T. (1.18) Om v nu bestämmer ett antal korresponderande punkter världen (X,Y,Z ) och blden (u,v ), där 1 N, så kan matrsen C bestämmas upp tll en skalfaktor på grund av varabeln s ekvaton (1.18). V kan därför välja att sätta det ssta elementet C 34 =1, vlket ger Låt C = C 11 C 12 C 13 C 14 C 21 C 22 C 23 C 24 C 31 C 32 C (1.19) c =(C 11,C 12,C 13,C 14,C 21,C 22,C 23,C 24,C 31,C 32,C 33 ) T. (1.20) 7
9 Med hjälp av de uppmätta korresponderande punkterna värld och bld erhålles följande ekvatonssystem D c = X 1 Y 1 Z u 1 X 1 u 1 Y 1 u 1 Z 1 C X 1 Y 1 Z 1 1 v 1 X 1 v 1 Y 1 v 1 Z 1 C 12 X 2 Y 2 Z u 2 X 2 u 2 Y 2 u 2 Z 2 C X N Y N Z N 1 v N X N v N Y N v N Z N C 33 u 1 v 1 = u 2 = f. (1.21). v N Som synes behövs det nu mnst sex punkter (eller snarare 51/2) punkter världen (X,Y,Z ) för att bestämma C. Men lösnngen blr naturlgtvs säkrare ju fler punkter v mäter upp. V gör nu följande omskrvnng D c = f D T D c = D T f c =(D T D) 1 D T f c = D f (1.22) där D är den så kallade pseudonversen av D. För att ovanstående ska gälla måste (D T D) vara nverterbar. Notera att (D T D) blr en kvadratsk matrs. Under förutsättnng att (D T D) är nverterbar och att antalet rader D är större än eller lka med antalet kolumner så gäller ssta ledet D = (D T D) 1 D T. Man kan vsa att ekvaton (1.22) är ekvvalent med både Maxmum Lkelhood-mnmerng och Mnsta kvadrat-anpassnng, se avsntt ekvaton (1.18). Efter denna kalbrerng där v har bestämt matrsen C, kommer v att kunna förutsäga hur en punkt världen (X, Y, Z) T kommer att mappas på bldplanet (u, v) T. Däremot kan v nte säga att en vss punkt (u, v) T blden motsvarar en vss punkt världen. I stället är det så att en punkt (u, v) T blden motsvarar en lnje världen. Har v däremot mer kunskap om var våra punkter världen lgger, t ex att de alla lgger ett plan, en platt värld, är det möjlgt att exakt bestämma korrespondensen mellan bldpunkt och punkt världen. Detta vsar v nästa avsntt. En annan möjlghet är att utnyttja stereo, dvs användnng av två st kalbrerade kameror. Den ntressanta punkten dentferas båda kamerablderna, vlka ger 8
10 varsn rät lnje världen. Skärnngspunkten mellan dessa båda lnjer ger det exakta läget av punkten världen. 1.4 Kalbrerng av en kamera och en platt värld, en homograf Se fgur nedan. V vll kalbrera en kamera mot en platt värld, z = 0, genom kamera koordnat system U f V lns W u v dealt bldplan Y X Z världs koordnat system Z=0 v verklgt bldplan u Fgur 1.4: Hålkameramodellen med en platt värld, homograf, Z =0 att bestämma sambandet mellan bldkoordnater (u, v) T och världskoordnater (X, Y, Z =0) T. V ernrar oss ekvaton (1.18) och sätter Z =0vlket ger s(u, v, 1) T = C (X, Y, 1) T. (1.23) Om v nu bestämmer ett antal korresponderande punkter världen (X,Y ) och blden (u,v ), där 1 N, så kan matrsen C bestämmas upp tll en skalfaktor på grund av varabeln s ekvaton (1.23). V kan därför välja att sätta det ssta elementet C 33 =1, vlket ger C = C 11 C 12 C 13 C 21 C 22 C 23 C 31 C (1.24) Låt c =(C 11,C 12,C 13,C 21,C 22,C 23,C 31,C 32 ) T. (1.25) 9
11 Med hjälp av de uppmätta korresponderande punkterna värld och bld erhålles följande ekvatonssystem D c = X 1 Y u 1 X 1 u 1 Y X 1 Y 1 1 v 1 X 1 v 1 Y 1 X 2 Y u 2 X 2 u 2 Y X N Y N 1 v N X N v N Y N C 11 C 12 C 13. C 32 = u 1 v 1 u 2. v N = f. (1.26) Som synes behövs det nu mnst fyra punkter världen (X,Y ) för att bestämma C. Men lösnngen blr naturlgtvs säkrare ju fler punkter v mäter upp. Precs som tdgare, ekvaton (1.22), blr lösnngen c = D f. (1.27) Efter denna kalbrerng där v har bestämt matrsen C, kommer v att kunna förutsäga hur en punkt världen (X, Y, Z =0) T kommer att mappas på bldplanet (u, v) T. Tll skllnad mot det generella fallet avsntt 1.3, gäller det nu också att en vss punkt (u, v) T blden motsvarar en vss punkt världen. 10
12 Kaptel 2 Några matematska verktyg 2.1 Mnsta kvadrat-lösnng med pseudonversmetoden Betrakta ekvatonssystemen (1.21) och (1.26). Dessa ekvatonssystem är det generella fallet överbestämda. Antag att v har mätt upp punkterna (X,Y,Z ) (eller (X,Y )) och (u,v ), för 1 N. Då gäller f = Dc + E, (2.1) där E är de fel, som beror av onoggrannheten mätnngen. Låt oss nu mnmera summan av felen kvadrat, dvs E T E =(f Dc) T (f Dc) = f T f c T D T f f T Dc + c T D T Dc = f T f 2c T D T f + c T D T Dc. (2.2) Mnmum fås där dervatan är lka med noll, dvs vlket ger 0=D T Dc D T f, (2.3) c =(D T D) 1 D T f = D f, (2.4) där D kallas pseudonversen av D. Pseudonversen fås enkelt Matlab m h a kommandot: D_ps_nv = pnv(d); 11
13 2.2 Lösnng av ett homogent ekvatonssystem med SVD Här vsar v en generell metod för att lösa ett homogent ekvatonssystem, Xb =0. Metoden använder SVD vlket betyder sngulärvärdesuppdelnng. Metoden används [7]. Man kan vsa att en godtycklg matrs X kan skrvas X = USV T, (2.5) se t ex [2], [3] eller [6]. Det gäller att U och V T är ortonormala matrser, dvs U U T = E och V V T = E, där E är enhetsmatrsen. För ortonormala matrser gäller också att rad-vektorerna lksom kolonn-vektorerna är ortogonala. S är en dagonalmatrs. Antag t ex att X är en 4 3-matrs. Då gäller x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x 23 x 31 x 32 x 33 = x 41 x 42 x 43 u 11 u 12 u 13 u 14 u 21 u 22 u 23 u 24 u 31 u 32 u 33 u 34 u 41 u 42 u 43 u 44 σ σ σ v 11 v 21 v 31 v 12 v 22 v 32 v 13 v 23 v 33 Enlgt defntonen är σ >σ +1. V gör nu följande omskrvnng σ σ σ X b =0 USV T b =0 U T USV T b = U T 0=0 SV T b =0 Sätt b = µv 3 = µ(v 13,v 23,v 33 ) T. Detta ger v 11 v 21 v 31 v 12 v 22 v 32 v 13 v 23 v 33 µ v 13 v 23 v 33 = µ där ssta lkhetstecknet ges av att V :s rad- och kolonnvektorer är ortogonala. I det generella fallet ersätts σ 3 med σ n. Det gäller att ju mndre σ n är desto bättre är lösnngen. σ n =0löser Xb =0perfekt och lösnngen är alltså b = µv n = µ(v 1n,v 2n,..., v nn ) T. Matlab-koden blr: [U,S,V] = svd(x) b = V(:,n); σ 3.,
14 Ltteraturförtecknng [1] Dana H. Ballard and Chrstopher M. Brown, Computer Vson, Prentce-Hall Inc., 1982, ISBN [2] Åke Björck, Numercal Methods for Least Squares Problems, SIAM, 1996, ISBN , akbjo/lspbook.html [3] Germund Dahlqust and Åke Björck, Numercal Mathematcs n Scentfc Computaton, akbjo/nmbook.html [4] Danelsson m fl, Blder och Grafk, TSBB65, Del2., Kursmateral tll Blder och Grafk, TSBB65, Lnköpngs Unverstet, Insttutonen för Systemteknk, SE Lnköpng [5] Per-Erk Forssén, Personal communcaton [6] Mchael T. Heath, Scentfc Computng, McGraw-Hll, 2002, ISBN X [7] Zhengyou Zhang, A Flexble New Technque for Camera Calbraton, Techncal Report, MSR-TR-98-71, 1998, Mcrosoft Research, Mcrosoft Corporaton, One Mcrosoft Way, Redmond, WA 98052, zhang 13
2 Jämvikt. snitt. R f. R n. Yttre krafter. Inre krafter. F =mg. F =mg
Jämvkt Jämvkt. Inlednng I detta kaptel skall v studera jämvkten för s.k. materella sstem. I ett materellt sstem kan varje del, partkel eller materalpunkt beskrvas med hjälp av dess koordnater. Koordnatsstemet
Läs merLathund, procent med bråk, åk 8
Lathund, procent med bråk, åk 8 Procent betyder hundradel, men man kan också säga en av hundra. Ni ska kunna omvandla mellan bråkform, decimalform och procentform. Nedan kan ni se några omvandlingar. Bråkform
Läs merFÖRDJUPNINGS-PM. Nr 6. 2010. Kommunalt finansierad sysselsättning och arbetade timmar i privat sektor. Av Jenny von Greiff
FÖRDJUPNINGS-PM Nr 6. 2010 Kommunalt fnanserad sysselsättnng och arbetade tmmar prvat sektor Av Jenny von Greff Dnr 13-15-10 Kommunalt fnanserad sysselsättnng och arbetade tmmar prvat sektor Inlednng Utförsäljnng
Läs mer4-3 Vinklar Namn: Inledning. Vad är en vinkel?
4-3 Vinklar Namn: Inledning I det här kapitlet skall du lära dig allt om vinklar: spetsiga, trubbiga och räta vinklar. Och inte minst hur man mäter vinklar. Att mäta vinklar och sträckor är grundläggande
Läs merFör de två linjerna, 1 och 2, i figuren bredvid gäller att deras vinkelpositioner, θ 1 och θ 2, kopplas ihop av ekvationen
Knemak vd roaon av sela kroppar Inledande knemak för sela kroppar. För de vå lnjerna, och, fguren bredvd gäller a deras vnkelposoner, θ och θ, kopplas hop av ekvaonen Θ Θ + β Efersom vnkeln β är konsan
Läs mer2005-01-31. Hävarmen. Peter Kock
2005-01-31 Hävarmen Kurs: WT0010 Peter Kock Handledare: Jan Sandberg Sammanfattning Om man slår upp ordet hävarm i ett lexikon så kan man läsa att hävarm är avståndet mellan kraften och vridningspunkten.
Läs merStelkroppsdynamik i tre dimensioner Ulf Torkelsson. 1 Tröghetsmoment, rörelsemängdsmoment och kinetisk energi
Föreläsnng 4/10 Stelkroppsdynamk tre dmensoner Ulf Torkelsson 1 Tröghetsmoment, rörelsemängdsmoment och knetsk energ Låt oss beräkna tröghetsmomentet för en goycklg axel som går genom en fx punkt O en
Läs merUtbildningsavkastning i Sverige
NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala Unverstet Examensarbete D Författare: Markus Barth Handledare: Bertl Holmlund Vårtermnen 2006 Utbldnngsavkastnng Sverge Sammandrag I denna uppsats kommer två olka
Läs merAlgoritmisk och geometrisk prestanda av optiska inledningssystem för undervattensbruk
Algortmsk och geometrsk prestanda av optska nlednngssystem för undervattensbruk Dego Vegas TRITA-NA-E567 Numersk analys och datalog Department of Numercal Analyss KTH and Computer Scence 1 44 Stockholm
Läs merVinst (k) 1 1.5 2 4 10 Sannolikhet 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 ( )
Tentamen Matematsk statstk Ämneskod-lnje S1M Poäng totalt för del 1 5 (8 uppgfter) Poäng totalt för del 3 (3 uppgfter) Tentamensdatum 9-3-5 Kerstn Vännman Lärare: Robert Lundqvst Mkael Stenlund Skrvtd
Läs merSnabbslumpade uppgifter från flera moment.
Snabbslumpade uppgifter från flera moment. Uppgift nr Ställ upp och dividera utan hjälp av miniräknare talet 48 med 2 Uppgift nr 2 Skriv talet 3 8 00 med hjälp av decimalkomma. Uppgift nr 3 Uppgift nr
Läs merPartikeldynamik. Fjädervåg. Balansvåg. Dynamik är läran om rörelsers orsak.
Dynamk är läran om rörelsers orsak. Partkeldynamk En partkel är en kropp där utsträcknngen saknar betydelse för dess rörelse. Den kan betraktas som en punktmassa utan rotaton. Massa kan defneras på två
Läs merModul 6: Integraler och tillämpningar
Institutionen för Matematik SF65 Envariabelanalys Läsåret 5/6 Modul 6: Integraler och tillämpningar Denna modul omfattar kapitel 6. och 6.5 samt kapitel 7 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas
Läs merMätfelsbehandling. Lars Engström
Mätfelsbehandlng Lars Engström I alla fyskalska försök har de värden man erhåller mer eller mndre hög noggrannhet. Ibland är osäkerheten en mätnng fullständgt försumbar förhållande tll den precson man
Läs merAlgebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument
Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument Distributiva lagen a(b + c) = ab + ac 3(x + 4) = 3 x + 3 4 = 3x + 12 3(2x + 4) = 3 2x + 3 4 = 6x + 12
Läs mer4-6 Trianglar Namn:..
4-6 Trianglar Namn:.. Inledning Hittills har du arbetat med parallellogrammer. En sådan har fyra hörn och motstående sidor är parallella. Vad händer om vi har en geometrisk figur som bara har tre hörn?
Läs merVi skall skriva uppsats
Vi skall skriva uppsats E n vacker dag får du höra att du skall skriva uppsats. I den här texten får du veta vad en uppsats är, vad den skall innehålla och hur den bör se ut. En uppsats är en text som
Läs merSammanfattning, Dag 1
Sammanfattnng, Dag 1 V började med en sammanfattnng om vad v redan hade lärt oss från Matematk I Sedan fortsatte v (nästan punkt för punkt) resonera vad v skulle kunna göra mer och vsade vart v kunde komma
Läs mer3.1 Linjens ekvation med riktningskoefficient. y = kx + l.
Kapitel Analytisk geometri Målet med detta kapitel är att göra läsaren bekant med ekvationerna för linjen, cirkeln samt ellipsen..1 Linjens ekvation med riktningskoefficient Vi utgår från ekvationen 1
Läs merTräning i bevisföring
KTHs Matematiska Cirkel Träning i bevisföring Andreas Enblom Institutionen för matematik, 2005 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse 1 Mängdlära Här kommer fyra tips på hur man visar
Läs merHandlingsplan. Grön Flagg. I Ur och Skur Pinneman
Handlngsplan Grön Flagg I Ur och Skur Pnneman Kommentar från Håll Sverge Rent 2013-09-23 12:55: N har fna och ntressanta utvecklngsområden med aktvteter som anpassas efter barnens förmågor. Se er själva
Läs merKapitel 6. f(x) = sin x. Figur 6.1: Funktionen sin x. 1 Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 6 kapitel 1
Kapitel 6 Gränsvärde 6. Definition av gränsvärde När vi undersöker gränsvärdet av en funktion undersöker vi vad som händer med funktionsvärdet då variabeln, x, går mot ett visst värde. Frågeställningen
Läs merBeräkna standardavvikelser för efterfrågevariationer
Handbok materalstyrnng - Del B Parametrar och varabler B 41 Beräkna standardavvkelser för efterfrågevaratoner och prognosfel En standardavvkelse är ett sprdnngsmått som anger hur mycket en storhet varerar.
Läs merKampanj kommer från det franska ordet campagne och innebär att man under en tidsbegränsad period bedriver en viss verksamhet.
EN LITEN KAMPANJSKOLA Kampanj kommer från det franska ordet campagne och innebär att man under en tidsbegränsad period bedriver en viss verksamhet. Finns det något man kan tänka på när man ska sprida ett
Läs merNär vi räknade ut regressionsekvationen sa vi att denna beskriver förhållandet mellan flera variabler. Man försöker hitta det bästa möjliga sättet
Korrelaton När v räknade ut regressonsekvatonen sa v att denna beskrver förhållandet mellan flera varabler. Man försöker htta det bästa möjlga sättet att med en formel beskrva hur x och y förhåller sg
Läs merSammanfattning av kursdag 2, 2013-03-07 i Stra ngna s och 2013-03-12 Eskilstuna
Sammanfattning av kursdag 2, 2013-03-07 i Stra ngna s och 2013-03-12 Eskilstuna Sammanfattning och genomgång av lektion 1 samt hemläxa. -Hur ta ut en position i sjökortet? Mät med Passaren mellan positionen
Läs merSammanfattning. Härledning av LM - kurvan. Efterfrågan, Z. Produktion, Y. M s. M d inkomst = Y >Y. M d inkomst = Y
F12: sd. 1 Föreläsnng 12 Sammanfattnng V har studerat ekonomn påp olka skt, eller mer exakt, under olka antaganden om vad som kan ändra sg. 1. IS-LM, Mundell Flemmng. Prser är r konstanta, växelkurs v
Läs merPresentationsövningar
Varje möte då temadialog används bör inledas med en presentationsövning. har flera syften. Både föräldrar och ledare har nytta av att gå igenom samtliga deltagares namn och dessutom få en tydlig bild av
Läs merLJUSETS REFLEKTION OCH BRYTNING. Att undersöka ljusets reflektion i plana speglar och brytning i glaskroppar.
LJUSETS REFLEKTION OCH BRYTNING Uppgft: Materel: Att undersöka ljusets reflekton plana speglar och rytnng glaskroppar. Rätlock av glas Halvcylndrsk skva av glas Plan spegel Korkplatta Knappnålar. -papper
Läs merkonstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b
Tentamen i Inledande matematik för V och AT, (TMV25), 20-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) Bestäm { konstanterna a och b så att ekvationssystemet
Läs merSammanfatta era aktiviteter och effekten av dem i rutorna under punkt 1 på arbetsbladet.
Guide till arbetsblad för utvecklingsarbete Arbetsbladet är ett verktyg för dig och dina medarbetare/kollegor när ni analyserar resultatet från medarbetarundersökningen. Längst bak finns en bilaga med
Läs merFörstärkare Ingångsresistans Utgångsresistans Spänningsförstärkare, v v Transadmittansförstärkare, i v Transimpedansförstärkare, v i
Elektronk för D Bertl Larsson 2013-04-23 Sammanfattnng föreläsnng 15 Mål Få en förståelse för förstärkare på ett generellt plan. Kunna beskrva olka typer av förstärkare och krav på dessa. Kunna förstå
Läs merSKOGLIGA TILLÄMPNINGAR
STUDIEAVSNITT 3 SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR I detta avsnitt ska vi titta på några av de skogliga tillämpningar på geometri som finns. SKOGSKARTAN EN MODELL AV VERKLIGHETEN Arbetar man i skogen klarar man sig
Läs merDenna talesmannapolicy gäller tillsammans med AcadeMedias kommunikationspolicy. I kommuniaktionspolicyn finns följande formulering:
Talesmannapolicy AcadeMedia Denna talesmannapolicy gäller tillsammans med AcadeMedias kommunikationspolicy. I kommuniaktionspolicyn finns följande formulering: Anställda på AcadeMedia som vill delta i
Läs merMätning av effekter. Vad är elektrisk effekt? Vad är aktiv-, skenbar- reaktiv- medel- och direkteffekt samt effektfaktor?
Mätning av effekter Vad är elektrisk effekt? Vad är aktiv-, skenbar- reaktiv- medel- och direkteffekt samt effektfaktor? Denna studie ger vägledning om de grundläggande parametrarna för 3-fas effektmätning.
Läs mer7. SAMHÄLLSORIENTERING ÅK 5
7. SAMHÄLLSORIENTERING ÅK 5 7.2. Elevhäfte 2 7.2.1. Livsfrågor Eva och Micke går båda i 5:an. De träffas ofta efter skolan och lyssnar på musik eller gör hemläxan tillsammans. Ibland funderar de på frågor
Läs merNämnarens adventskalendern 2007
Nämnarens adventskalendern 2007 1 När det närmar sig jul är det kallt. Då behöver de tre tomtenissarna både halsduk och mössa när de leker i snön. I korgen ligger en röd, en blå och en randig halsduk.
Läs merAvsikt På ett lekfullt sätt färdighetsträna, utveckla elevers känsla för hur vårt talsystem är uppbyggt samt hitta mönster som uppkommer.
Strävorna 4A 100-rutan... förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande.... grundläggande
Läs merDina tänder är viktiga. Du behöver dem varje dag.
Dina tänder är viktiga. Du behöver dem varje dag. Dina tänder är viktiga Du behöver dina tänder varje dag när du äter, skrattar och pratar. Hela tänder och en frisk mun är viktigt för ett bra liv. Gå på
Läs mer1 Navier-Stokes ekvationer
Föreläsning 5. 1 Navier-Stokes ekvationer I förra föreläsningen härledde vi rörelsemängdsekvationen Du j Dt = 1 τ ij + g j. (1) ρ x i Vi konstaterade också att spänningstensorn för en inviskös fluid kan
Läs merSEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER
SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER En differentialekvation (DE) av första ordningen sägs vara separabel om den kan skrivas på formen P ( y) Q( ) () Den allmänna lösningen till () erhålles genom att integrera
Läs merTvå konstiga klockor
strävorna C Två konstiga klockor resonemang geometri Avsikt och matematikinnehåll Det som kan göra det svårt för barn att avläsa en analog klocka är att förstå att den består av två skalor som är beroende
Läs merSF1620 Matematik och modeller
KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF160 Matematik och modeller 007-09-10 Andra veckan Trigonometri De trigonometriska funktionerna och enhetscirkeln Redan vid förra veckans avsnitt var
Läs mersaknar reella lösningar. Om vi försöker formellt lösa ekvationen x 1 skriver vi x 1
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR KOMPLEXA TAL Inlednng Ekvatonen x 1 har två reella lösnngar, x 1, dvs x 1, medan ekvatonen x 1 saknar reella lösnngar Om v försöker formellt lösa ekvatonen x 1 skrver v x 1
Läs merLathund till Annonsportalen
Lathund till Annonsportalen * För uppdrags-/arbetsgivare * www.gu.se/samverkan/annonsportalen/ Snabbvägar: 1. Klicka på För arbetsgivare 2. Sök efter arbetsgivarens namn i sökrutan. a. Om namnet finns
Läs merDOP-matematik Copyright Tord Persson. Bråktal -3-2 -1 0 1 2 3. Läs av vilka tal på tallinjen, som pilarna pekar på. Uppgift nr 10 -3-2 -1 0 1 2 3
Bråktal Uppgift nr En limpa delas i 4 lika stora delar. Hur stor del av limpan blir varje del? Uppgift nr 2 Hur många tiondelar behövs för att det skall räcka till en hel? Uppgift nr Hur läser man ut bråket
Läs merEnergi & Miljötema Inrikting So - Kravmärkt
Energi & Miljötema Inrikting So - Kravmärkt 21/5 2010 Sofie Roxå 9b Handledare Torgny Roxå Mentor Fredrik Alven 1 Innehållsförteckning Inledning s. 3 Bakgrund s. 3 Syfte s. 3 Hypotes s. 3 Metod s. 4 Resultat
Läs merRepetition av cosinus och sinus
Repetition av cosinus och sinus Av Eric Borgqvist, 00-08-6, Lund Syftet med detta dokument är att få en kort och snabb repetition av vissa egenskaper hos de trigonometriska funktionerna sin och cos. Det
Läs merIndex vid lastbilstransporter
index vid lastbilstransporter Matematiken Snabbhjälpen för att räkna rätt Index vid lastbilstransporter Innehåll A. Tre steg för att räkna rätt Sidan 1 B. Förändring enligt index 2 C. Andelskorrigering
Läs merAnvänd Maple (eller Mathematica) för att lösa dina uppgifter. INLÄMNINGSUPPGIFT 2 Linjär algebra och analys Del2: ANALYS Kurskod: HF1006
INLÄMNINGSPPGIFT Lnjär algebra och analys Del: ANALYS Kurskod: HF006 armn@sth.kth.se www.sth.kth.se/armn Inlämnngsuppgft består av tre uppgfter. Indvduellt arbete. Du väljer tre av nedanstående uppgfter
Läs merTomi Alahelisten Lärare Idrott & Hälsa - Internationella Skolan Atlas i Linköping. Orientering
Orientering 1. Inledning Orientering härstammar från Norden i slutet på 1800-talet. Ursprungligen var orientering en militär övning, men tidigt såg man nyttan med att sprida denna kunskap till allmänheten
Läs merDe två första korten Tidig position
De två första korten Tidig position Hold em är ett positionsspel, och förmodligen mer än någon annan form av poker. Det beror på att knappen anger spelarnas turordning under satsningsrundorna. (Enda undantaget
Läs merProjekt benböj på olika belastningar med olika lång vila
Projekt benböj på olika belastningar med olika lång vila Finns det några skillnader i effektutveckling(kraft x hastighet) mellan koncentriskt och excentriskt arbete på olika belastningar om man vilar olika
Läs merInvisible Friend 2013-02-18 Senast uppdaterad 2013-02-19
Invisible Friend 2013-02-18 Senast uppdaterad 2013-02-19 Jenny Axene och Christina Pihl driver företaget Invisible Friend som skänker dockor till barn som sitter fängslade för att dom är födda där, barn
Läs merWebb-bidrag. Sök bidrag på webben www.solvesborg.se. Gäller från 2015-01-01
Sök bidrag på webben www.solvesborg.se Gäller från 2015-01-01 Innehåll Kontaktperson Fritids- och turismkontoret Sölvesborg kommun Inledning Följande bidrag går att söka på webben Logga in Dokumenthantering
Läs merUtveckla arbetsmiljö och verksamhet genom samverkan
DEL 1: Utveckla arbetsmiljö och verksamhet genom samverkan Modulen inleds med det övergripande målet för modul 6 och en innehållsförteckning över utbildningens olika delar. Börja med att sätta ramarna
Läs merKoll på cashen - agera ekonomicoach!
För elever Fördjupningsuppgift: Koll på cashen - agera ekonomicoach! Fördjupningsuppgift: Ekonomicoach Så här går det till Börja med att se filmen Koll på cashen. Därefter är ni redo för att komma igång.
Läs merD A B A D B B D. Trepoängsproblem. Kängurutävlingen 2012 Benjamin
Kängurutävlingen enjamin Trepoängsproblem. Skrivtavlan i klassrummet är 6 meter bred. Mittdelen är m bred. De båda yttre delarna är lika breda. Hur bred är den högra delen? A: m :,5 m C:,5 m D:,75 m E:
Läs mer6.2 Transitionselement
-- FEM för Ingenjörstllämpnngar, SE5 rshen@kth.se 6. Transtonselement Den här tpen av element används för förbnda ett lnjärt och ett kvadratskt element. Gvet: Sökt: Bestäm formfunktonen för nod. Vsa att
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341/LIMAB6, STN2) 2012-01-09 kl 08-13
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341/LIMAB6, STN2) 212-1-9 kl 8-13 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är
Läs merSammanfattning på lättläst svenska
Sammanfattning på lättläst svenska Utredningen skulle utreda och lämna förslag i vissa frågor som handlar om svenskt medborgarskap. Svenskt medborgarskap i dag Vissa personer blir svenska medborgare när
Läs merx 2 + px = ( x + p 2 x 2 2x = ( x + 2
Inledande kurs i matematik, avsnitt P.3 P.3. Bestäm en ekvation för cirkeln med mittpunkt i (0, 0) och radie 4. Med hjälp av kvadratkompletteringsformeln + p = ( + p ) ( p ) En cirkel med mittpunkt i (
Läs mer2B1115 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 2004 Omtentamen Måndagen den 23:e aug, 2005, kl. 9:00-14:00
(4) B Ingenjörsmetodk för IT och ME, HT 004 Omtentamen Måndagen den :e aug, 00, kl. 9:00-4:00 Namn: Personnummer: Skrv tydlgt! Skrv namn och personnummer på alla nlämnade papper! Ma ett tal per papper.
Läs merSkriva B gammalt nationellt prov
Skriva B gammalt nationellt prov Skriva B.wma Då fortsätter vi skrivträningen. Detta avsnitt handlar om att anpassa sin text till en särskild situation, en speciell texttyp och särskilda läsare. Nu ska
Läs merFacit åk 6 Prima Formula
Facit åk 6 Prima Formula Kapitel 3 Algebra och samband Sidan 95 1 a 12 cm (3 4 cm) b Han vet inte att uttrycket 3s betyder 3 s eller s + s + s 2 a 5x b 6y c 12z 3 a 30 cm (5 6 cm) b 30 cm (6 5 cm) Sidan
Läs merAvgifter i skolan. Informationsblad
Informationsblad 1 (8) Avgifter i skolan Här kan du läsa om hur Skolinspektionen bedömer avgifter i skolan i samband med tillsynen. Informationsbladet redogör för Skolinspektionens praxis. Här kan du även
Läs merMätningar på op-förstärkare. Del 3, växelspänningsförstärkning med balanserad ingång.
Mätningar på op-förstärkare. Del 3, växelspänningsförstärkning med balanserad ingång. Denna gång skall vi titta närmare på en förstärkare med balanserad ingång och obalanserad utgång. Normalt använder
Läs merFAIR JOBB. Vill du få lite mer koll på arbetslivet? Här är några bra sajter att kolla in:
HEJ! Vi fattar att facket kanske inte är det första du tänker på just nu. Men ganska snart kommer du att sluta gymnasiet, och då kan det vara väldigt bra att känna till att vi finns. Läs vidare så berättar
Läs merSOLCELLSBELYSNING. En praktisk guide. Råd & Tips SOLENERGI LADDA MED. Praktiska SÅ TAR DU BÄST HAND OM DIN SOLCELLSPRODUKT
SOLCELLSBELYSNING En praktisk guide LADDA MED SOLENERGI Praktiska Råd & Tips SÅ TAR DU BÄST HAND OM DIN SOLCELLSPRODUKT Kom igång med 3 solenergi fördelar med Solcell Mi l jö vä n l i g t Enkelt Praktiskt
Läs merBoken om Teknik. Boken om Teknik är en grundbok i Teknik för åk 4 6.
Boken om Teknik Boken om Teknik är en grundbok i Teknik för åk 4 6. PROVLEKTION: Teknikens arbetssätt att göra på riktigt Följande provlektion är ett utdrag ur Boken om Teknik. Uppslaget som är hämtat
Läs merHT 2011 FK2004 Tenta Lärare delen 4 problem 6 poäng / problem
HT 2011 FK2004 Tenta Lärare delen 4 problem 6 poäng / problem Problem 1 (6p) En undersökning utfördes med målet att besvara frågan Hur stor andel av den vuxna befolkningen i Sverige äger ett skjutvapen?.
Läs merAntal grodor i varje familj Antal hopp tills alla bytt plats Ökning 1 3 5 2 8 7 3 15 9 4 24
strävorna 1AB Grodhopp problemlösning taluppfattning algebra Avsikt och matematikinnehåll Elever behöver få möta många aktiviteter där de kan se att algebra bland annat är generaliserad aritmetik. För
Läs merEkvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden
Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 359 Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden - En inledning Ekvationssystem - matrisformulering Vi såg att
Läs merMöbiustransformationer.
224 Om Möbiustransformationer Torbjörn Kolsrud KTH En Möbiustransformation är en komplexvärd funktion f av en komplex variabel z på formen f(z) = az + b cz + d. Här är a b c och d komplexa tal. Ofta skriver
Läs merDavid Wessman, Lund, 30 oktober 2014 Statistisk Termodynamik - Kapitel 5. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik.
Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik. 1 Jämviktsvillkor Om vi har ett stort system som består av ett litet system i kontakt med en värmereservoar. Storheter för det lilla systemet
Läs merPrimär- och sekundärdata. Undersökningsmetodik. Olika slag av undersökningar. Beskrivande forts. Beskrivande forts. 2012-11-08
Prmär- och sekundärdata Undersöknngsmetodk Prmärdataundersöknng: användnng av data som samlas n för första gången Sekundärdata: användnng av redan nsamlad data Termeh Shafe ht01 F1-F KD kap 1-3 Olka slag
Läs mera n = A2 n + B4 n. { 2 = A + B 6 = 2A + 4B, S(5, 2) = S(4, 1) + 2S(4, 2) = 1 + 2(S(3, 1) + 2S(3, 2)) = 3 + 4(S(2, 1) + 2S(2, 2)) = 7 + 8 = 15.
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D och F, SF161 och SF160, den juni 008 kl 08.00-1.00. DEL I 1. (p) Lös rekursionsekvationen
Läs merFrån min. klass INGER BJÖRNELOO
Från min klass INGER BJÖRNELOO Vi har nu följt Inger Björneloos klass under två år. Klassen börjar i höst på sitt sista lågstadieår, åk 3. Denna årgång av NÄMNAREN kommer att följa upp vad de gör och hur
Läs merPesach Laksman är lärarutbildare i matematik och matematikdidaktik vid Malmö högskola.
111a Geometri med snöre Pesach Laksman är lärarutbildare i matematik och matematikdidaktik vid Malmö högskola. Areabegreppet När elever får frågan vad area betyder ges mestadels svar som antyder hur man
Läs merIntroduktion till Open 2012
Introduktion till Open 2012 av Lisbeth Rydén Funktionen med OPEN som jag ser den Alla har sin egen idé med att åka till OPEN. Någon framförallt för att lära sig något om de ämnen som ska avhandlas (kurs),
Läs merLaborativ matematik som bedömningsform. Per Berggren och Maria Lindroth 2016-01-28
Laborativ matematik som bedömningsform Per Berggren och Maria Lindroth 2016-01-28 Kul matematik utan lärobok Vilka förmågor tränas Problemlösning (Förstå frågan i en textuppgift, Använda olika strategier
Läs merHemsida Arbetsrum. Skapa arbetsrumslista
Skapa arbetsrumslista Hemsida Arbetsrum För att kunna skapa en arbetsrumslista så markerar du i navigeringsfönstret där den nya sidan ska ligga. Klicka på menyknappen till höger om sidnamnet och sedan
Läs merObservera att alla funktioner kan ritas, men endast linjära funktioner blir räta linjer.
1 Matematik som verktyg Antag att vi har en funktion som är en rät linje, y = 1 3x. Eftersom relationen mellan x och y är linjär räcker det med att vi hittar två punkter (två talpar) på linjen för att
Läs merDEMONSTRATIONER MAGNETISM II. Helmholtzspolen Elektronstråle i magnetfält Bestämning av e/m
FyL VT6 DEMONSTRATIONER MAGNETISM II Helmholtzspolen Elektronstråle i magnetfält Bestämning av e/m Uppdaterad den 19 januari 6 Introduktion FyL VT6 I litteraturen och framför allt på webben kan du enkelt
Läs merNågot om permutationer
105 Något om permutationer Lars Holst KTH, Stockholm 1. Inledning. I många matematiska resonemang måste man räkna antalet fall av olika slag. Den del av matematiken som systematiskt studerar dylikt brukar
Läs merHa det kul med att förmedla och utveckla ett knepigt område!
Kul med pizzabitar Första gången eleverna får materialet i handen bör dem få sin egen tid till att undersöka det på det viset blir dem bekanta med dess olika delar. Det kan också vara en god idé att låta
Läs merÖvningshäfte i matematik för. Kemistuderande BL 05
Övningshäfte i matematik för Kemistuderande BL 05 Detta häfte innehåller några grundläggande övningar i de delar av matematiken som man har användning för i de tidiga kemistudierna. Nivån är gymnasiematematik,
Läs merKomplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).
TENTAMEN 9 jan 01, HF1006 och HF1008 Moment: TEN1 (Lnjär algebra), hp, skrftlg tentamen Kurser: Analys och lnjär algebra, HF1008, Lnjär algebra och analys HF1006 Klasser: TIELA1, TIMEL1, TIDAA1 Td: 115-1715,
Läs merVirkade tofflor. Storlek 35 37 & 38 40. By: Pratamedrut. pratamedrut.se/blog/virkade tofflor 1
Virkade tofflor Storlek 35 37 & 38 40 By: Pratamedrut pratamedrut.se/blog/virkade tofflor 1 Innehåll Lite tips sid 3 Material sid 3 Maskor och förkortningar sid 3 Tillvägagångssätt Sulor sid 4 Skor, nedre
Läs merVälkommen till Arbetsförmedlingen! Information till dig som är arbetssökande
Välkommen till Arbetsförmedlingen! Information till dig som är arbetssökande 1 2 Det här är Arbetsförmedlingen Söker du jobb? Vill du veta mer om arbetsmarknaden? Behöver du tips och råd om hur du hittar
Läs merKoncept Katalog 2009
Koncept Katalog 2009 Pro-Safe Security Pro-Safe Security System Sweden AB är företaget som ger dig som kund möjlighet att exponera stöldbegärliga varor på ett öppet och säljfrämjande sätt, samtidigt som
Läs merBortom fagert tal om bristande tillgänglighet som diskriminering
Ds 2010:20 Bortom fagert tal om bristande tillgänglighet som diskriminering Lättläst sammanfattning Integrationsoch jämställdhetsdepartementet SOU och Ds kan köpas från Fritzes kundtjänst. För remissutsändningar
Läs merSenaste Nytt. Läs sida 2. I detta nummer. Lite information. Har det någon gång hänt att någon har stulit något? Ja... (Susanne Wahlgren svarar)
Nummer: 1 Ida P, Johanna S, Hugo HS, Ian VB Senaste Nytt Har det någon gång hänt att någon har stulit något? Ja... (Susanne Wahlgren svarar) Läs sida 2 I detta nummer 1. Melodifestivalen 2016 2. Älvängenskor
Läs mer10.03.2010. Översikt. Rapport från skolverket. Förändring av matematikprestationerna 1995 2003-2007. Grundtankar bakom Pixel
Översikt Hur är situationen i Sverige och Norge när det gäller matematik-kompetensen? Är det nödvändigt att undervisa på andra sätt än vi gjort tidigare? Förändring av matematikprestationerna 1995 2003-2007
Läs merHar vi lösningen för en bättre hemtjänst? Självklart.
Har vi lösningen för en bättre hemtjänst? Självklart. Låt oss prata om Självklarhetsmetoden. Låt oss prata om Självklarhetsmetoden! 164 000 äldre är beroende av hemtjänsten i sin vardag. Och det är du
Läs merFöreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik
Föreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik Summaregeln Om och B är disjunkta mängder så B = + B, ty innehåller inga upprepningar Produktregeln Om och B är disjunkta mängder så är B = B Exempel:
Läs merLinjära system av differentialekvationer
CTH/GU LABORATION MVE0-0/03 Matematiska vetenskaper Linjära system av differentialekvationer Inledning Vi har i envariabelanalysen sett på allmäna system av differentialekvationer med begynnelsevillkor
Läs merVad är egentligen tid?
Vad är egentligen tid? Omvälvningen - från klassisk till modern fysik... eller vad visste man egentligen i slutet av 1800-talet? 1600-talet: Newtons rörelselagar, mekanik! Kroppars rörelse under påverkan
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 Punktskattning och kondensintervall Innehåll 1 Punktskattning och kondensintervall Population Punktskattning och kondensintervall Vi har en population vars någon mätbar egenskap X vi är intresserade
Läs merL(9/G)MA10 Kombinatorik och geometri Gruppövning 1
L(9/G)MA10 Kombinatorik och geometri Gruppövning 1 Lisa och Pelle leker med svarta och vita byggklossar. Deras pedagogiska föräldrar vill att de lär sig matematik samtidigt som de håller på och leker.
Läs mer