3. Algoritmer för samplande reglering

Transkript

1 3. Samplande reglerng 3. Samplande reglerng 3. Algortmer för samplande reglerng Prncpen för samplande reglerng Blocket Samplng tar emot konnerlga sgnaler y ( oc r ( samt dskreserar dem ll talföljder y ( t oc r ( t,,, I prakken är detta en A/D-omvandlare. Blocket Håll tar emot talföljden ( t,,,, från regleralgortmen oc skckar vdare en styckvs dskonnerlg sgnal (, t t <. I prakken är detta en D/A-omvandlare. Föreläsnng 6..6 Föreläsnng dsdskreta PID-reglatorer 3.. dskonnerlga former av PID-reglatorer Ideal PID-reglator t d K c d d τ τ (PIDe (3.. Ideal PID-reglator som nte derverar örvärdet t d K c d d τ τ (PIDy (3.. PID-reglator som derverar fltrerad tsgnal t d K c d d τ τ, f x ( (PIDx (3..3 Anm: fnns med för att möjlggöra ( staonärllstånd med e ( oc ( samt ( manell reglerng ( K c med ( ; telämnas dock ofta från reglatorekv. Processreglerng (385 3 Processreglerng ( dskonnerlga PID-reglatorer 3. dsdskreta PID-reglatorer r y e / s s d K c c r y e / s s d Föreläsnng 6..6 Blocksceman för PID-reglatorer En PID-reglator kan enkelt realseras, t.ex. Smlnk, med jälp av ett lockscema. Nedan ges locksceman för varanterna (PIDe oc (PIDy. PIDe PIDy K c c Varanten (PIDx av en PID-reglator erålls genom addon av ett :a ordnngens flter framför derverngslocket. Samplng (dskreserng av en reglator defnerad genom ett lockscema kan ofta erållas drekt med jälp av frågavarande programvara (t.ex. Smln. Föreläsnng Dskreserng av konnerlga PID-reglatorer V ar eandlat r ett dskonnerlgt system med styckvs konstanta nsgnaler kan samplas. En reglator ar dock nte styckvs konstant nsgnal om det reglerade systemets tsgnal är en konnerlg varael. Ovannämnda samplngsmetod är därför prncp nkorrekt för en reglator. Ett sätt att estämma en dsdskret verson av en PID-reglator är att ersätta de analyska ttrycken för ntegraon oc derverng med nmerska motsvargeter. För en deal PID-reglator som nte derverar örvärdet (PIDy kan v skrva k t t d d K c d d K c d d τ τ τ τ (3..4 där t oc t k t. 3. dsdskreta PID-reglatorer Algortmer för samplande reglerng 3 4

2 3.. Dskreserng av PID-reglatorer 3.. Dskreserng av PID-reglatorer Rektangelapproxmaon av ntegralen Föreläsnng 6..6 Om är ett konstant samplngsntervall fås med approxmaonerna d t t y t τ dτ oc k ( k (3..5 den dsdskreta PID-reglatorn k Kc eller med den förenklande etecknngen f ( f ( d ( (3..6 k d Kc ( k (PIDy-p (3..7 Eftersom ( nte eror av (, < k, kallas denna form av PID-reglatorn för en posonsform. (Märk att är en konstant. Föreläsnng 6..6 I ntegralapproxmaonen antogs regleravvkelsen vara konstant e ( t ela samplngsntervallet [ t, t ]. Eftersom samplngsntervallet själva verket är öppet ll öger, dvs ntervallet är [ t, t, vore det prncp natrlgare att använda approxmaonen τ dτ (3..8 Denna approxmaon ger den dsdskreta PID-reglatorn k d Kc ( k (PIDy-p (3..9 som avvker från den dgare reglatorn PIDy-p endast sållvda att smmerngen sker från ll k stället för från ll k. 3. dsdskreta PID-reglatorer dsdskreta PID-reglatorer Dskreserng av PID-reglatorer 3. dsdskreta PID-reglatorer Approxmaon av ntegralen med trapetsmetoden Föreläsnng 6..6 Båda approxmaonerna ovan ar den nackdelen att regleravvkelsen e antas vara styckvs konstant samplngsntervallen, vlket nte är fallet prakken. Mera moverat är att anta att regleravvkelsen förändras lnjärt från e ( t ll e ( t t. Integralapproxmaonen lr då, t Detta ger den dsdskreta PID-reglatorn k d Kc k samplngsntervallet [ τ dτ ( (3.. ( ( ( (PIDy-p3 (3.. Föreläsnng Integratorppvrdnng I de flesta fyskalska processer fnns egränsnngar t.ex. rörande styrsgnalernas storlek. Antag att en process tsätts för en så krafg störnng, att den nte kan elmneras från tsgnalen med styrsgnalen pga fyskalska egränsnngar (t.ex. en öppen reglervenl. Felsmman en dsdskret PID-reglator kommer att växa så länge störnngen varar (antages e ( >, lkaså reglatorns tsgnal (, men ngen reglerng av processens tsgnal sker eftersom styrsgnalen ( nte kan realseras pga egränsnngen (område A fgren. Om e ( > är störnngen sådan att processens tsgnal y ( mnskat. 3. dsdskreta PID-reglatorer Algortmer för samplande reglerng 3 8

3 3..3 Integratorppvrdnng 3. dsdskreta PID-reglatorer Föreläsnng 6..6 Antag att störnngen ppör. Eftersom styrsgnalen pga den dgare verkande störnngen, som gav e ( r( >, är ett sådant ytterlgetsläge som maxmerar y (, lr e ( < (dvs y ( > r( när störnngen oc dess effekt på y ( ppör. Eftersom felsmman reglatorn lvt (mycke stor medan störnngen verkade, kommer den fortfarande att vara stor (pga alla gamla e ( > trots att nya e ( <. Utsgnalen k ( kommer då också fortsättnngsvs att vara stor oc ålla styrsgnalen kvar vd stt ytterlgetsläge, trots att > r( (område B fgren. ll slt lr smman reglatorn alla fall så lten att ( mnskar ll en nvå som motsvarar en realserar styrsgnal oc reglerngen örjar fngera gen. Reglerngen ar dock vart mycket dålg. Den onödga ntegralen mellan krvan B oc örvärdet är ngefär lka stor som ntegralen mellan örvärdet oc krvan A. Denna effekt kallas ntegratorppvrdnng, eller vanlgare, reset wndp. Man kan förndra ntegratorppvrdnng genom att koppla reglatorn på manell reglerng, eller genom någon mekansm som förndrar fortsatt smmerng när styrsgnalen är vd en egränsnng. 3. dsdskreta PID-reglatorer PID-reglatorns nkrementform Föreläsnng 6..6 Integratorppvrdnng kan ( prncp förndras relavt enkelt om man stället för PIDreglatorns posonsform använder en s.k. nkrementform, där tsgnalen eräknas som ett llägg ll föregående tsgnal. Om man etraktar posonsformen vd två på varandra följande dpnkter k oc k samt straerar ( k från ( fås för PID-reglatorn PIDy-p k k k k k k Kc d eller d ( Kc k ( y ( k y ( k y ( k ( k (PIDy- ( Algortmer för samplande reglerng PID-reglatorns nkrementform 3. dsdskreta PID-reglatorer Inkrementformen motsvarande PID-reglatorn PIDy-p lr analogt Föreläsnng 6..6 d ( Kc k ( y ( k y ( k y ( k ( k (PIDy- (3..3 Motsvargeten ll reglatorn PIDy-p3 lr d ( Kc k ( y ( k y ( k y ( k ( k (PIDy-3 (3..4 Inkrementformerna förndrar ntegratorppvrdnng om man för k ( använder den styrsgnal som senast verklgen knde realseras, dvs nte nödvändgtvs senast eräknade (. Inkrementformerna möjlggör också stötfr övergång från en regleralgortm (t.ex. manell styrnng ll en annan om den senast realserade reglersgnalen ( k är känd. Dessa fördelakga egenskaper kräver vanlgtvs att man mäter eller esmerar k (. 3. dsdskreta PID-reglatorer 3 Föreläsnng Egenskaper os posons- oc nkrementformerna Posonsformen k d Kc ( k (PIDy-p (3..7 Om I-verkan meas (dvs PI- eller PID-reglator: Staonärllstånd kräver att smman algortmen nte växer, vlket kräver e (, dvs v ar ngen regleravvkelse vd staonärllstånd. Om I-verkan nte meas (dvs P- eller PD-reglator, : Staonärllstånd kräver endast y ( k (om D-verkan meas samt e ( es konstant, dvs e s krävs nte oc regleravvkelse fås allmänet (som vänta. Reglerfelet vd staonärllstånd med ( s lr es ( s / Kc (3..5 Endast vd det staonärllstånd som motsvarar s lr regleravvkelsen noll. 3. Algortmer för samplande reglerng 3

4 3..5 Egenskaper os posons- oc nkrementformerna 3..5 Egenskaper os posons- oc nkrementformerna Föreläsnng 6..6 Inkrementformen d ( Kc k ( y ( k y ( k y ( k ( k (PIDy- (3.. Staonärllstånd kräver e ( k es oc y ( k k. Då gäller Kc ( es k (3..6 Om I-verkan meas (dvs PI- eller PID-reglator: Vd staonärllstånd gäller ( k, dvs e s, oc regleravvkelse saknas. Om I-verkan nte meas (dvs P- eller PD-reglator, : Vd staonärllstånd gäller då alld ( k oeroende av e s, dvs staonärllståndet kan l elt goycklgt ; det fnns nget nkt staonärllstånd där reglerfelet alld sklle vara noll som för posonsformen. Inkrementformen skall således endast användas med ntegrerande verkan. Föreläsnng 6..6 Illstraon av elmnerad ntegratorppvrdnng med nkrementformen Posonsformen Inkrementformen 3. dsdskreta PID-reglatorer dsdskreta PID-reglatorer dsdskreta PI-reglatorer 3..6 Dskreserng genom operatormatemak 3..6 Dskreserng genom operatormatemak Föreläsnng 6..6 dskonnerlga oc samplade system samt samandet mellan dem kan ttryckas med jälp av derverngsoperatorn p oc förskjtnngsoperatorn, dvs p d/ oc (3..7 f ( f( t f( f( t Bakåtdfferensapproxmaon Den vd reglatordskeserngen använda approxmaonen dy ( t (3..8 kan med operatorformalsm ttryckas p ( ( ( ( y t y t y t ( t (3..9 dvs p ( ( Algortmer för samplande reglerng 3 5 Föreläsnng 6..6 Den dskonnerlga PID-reglatorn som nte derverar örvärdet (PIDy kan med jälp av derverngsoperatorn p skrvas (os. att p ntar samma plats som Laplacevaraeln s ( Kc d p p (PIDy (3.. p ( ger p samt seretvecklngen ( K c d ( d Kc t dvs då e ( τ, τ <, oc då argmentet t k k k d Kc ( t 3. dsdskreta PID-reglatorer 3 6 ( k (3.. (PID-p (PID-p (3..

5 3..6 Dskreserng genom operatormatemak 3..6 Dskreserng genom operatormatemak Föreläsnng 6..6 (t för att få Alternavt kan v låta p operera på den konnerlga reglatorns tsgnal ( p p ( pkc d p p Kc p e t d y ( t (3..3 p ( p ty är konstan varefter p ( ger d ( Kc ( ( (3..4 ( ( d t t Kc t ( t t dvs d ( Kc k ( y ( k y ( k y ( k ( k (PIDy- (3.. Föreläsnng 6..6 Blnjär approxmaon Approxmaonen dy ( t (3..8 är asymmetrsk sållvda att ögra ledet vore en ättre approxmaon ll dervatan någonstans mellan t oc t, t.ex. vd t, 5, än vd t. En ättre approxmaon detta änseende är den lnjära approxmaonen dy ( d t t (3..5 även kallad sns approxmaonsformel. Med operatormatemak fås p( ( t (3..6 dvs ( p (3..7 ( 3. dsdskreta PID-reglatorer dsdskreta PID-reglatorer Dskreserng genom operatormatemak 3..6 Dskreserng genom operatormatemak Föreläsnng 6..6 llämpnng av den lnjära approxmaonen på PID-reglatorn ( Kc d p p (PIDy (3.. ger för posonsformen (med lljälp av seretvecklngar K k k d k c ( (PIDy-p4 (3..8 För nkrementformen fås d Kc k k ( y ( k y ( k y ( k ( k (PIDy-4 (3..9 Märk att den gamla tsgnaltermen är k (, nte ( k, om man (som är vll elmnera smman nneållande gamla tsgnaler y. ( 3. dsdskreta PID-reglatorer 3 9 Föreläsnng 6..6 Staltetsområdet för operatordskreserade reglatorer De samplade reglatorerna är dsdskreta system oc deras staltetsområde är området nnanför enetscrkeln det komplexa talplanet, dvs z <, när de ttrycks med jälp av Z-transformen. När ett konnerlgt system dskreseras genom approxmaon evaras det konnerlga systemets staltetsegenskaper nte nödvändgtvs. Fgren ll vänster llstrerar att det konnerlga systemets staltetsområde R s < återförs på ett crkelformgt område z,5 <, 5 det komplexa talplanet när akåtdfferensapproxmaon används. Vssa nstala system kan således l stala ( z < men z,5,5 genom denna approxmaon. ll öger vsas att den lnjära approxmaonen precs evarar staltetsegenskaperna. 3. dsdskreta PID-reglatorer 3

6 3. Samplande reglerng 3. Inställnng av dskret PID-reglator 3. Inställnng av dsdskret PID-reglator Föreläsnng 3..6 Om det valda samplngsntervallet är ltet jämförelse med systemets dskonstanter, oc en ev. dödd är lten, kan man estämma parametrarna för en konnerlg reglator enlgt någon standardprocedr (t.ex. Zegler-Ncols oc drekt tnyttja dessa någon av de samplade reglatorformerna. Eftersom mätdata är pp ll ett samplngsntervall gamla vd reglerng med en samplande reglator, är det moverat att vd reglatordesgnen mea (eller öka en efntlg dödd med en dödd lka med ett alvt samplngsntervall processmodellen. Zegler-Ncols rekommendaoner ger allmänet aggressv reglerng, oc rsk för nstaltet förelgger. Baserat på samma processnformaon som Zegler-Ncols rekommendaoner, rekommenderar yres oc Lyen för PI-reglerng Kc, 3Kc,max,, P (3.. där P är peroden för stående svängnngar oc K c, max P-reglatorns förstärknng. Ett lltalande alternav är att göra någon form av drekt syntes såsom IMC-desgn tgående från en dsdskret (samplad modell. Processreglerng (385 3 Standardlockscema för återkopplad reglerng r e c G c Föreläsnng 3..6 Fgren vsar ett lockscema för återkopplad reglerng med teckenkonvenoner oc de vkgaste varalerna tmärkta. Vd metoder aserade på drekt syntes använder man sg av den sltna slngans överförngsfnkon från r ( ll y (, som är är Y ( s Gp ( s Gc ( s Gr ( s (3.. R( s Gp ( s Gc ( s För det dsdskreta fallet fås elt analoga ttryck med plsöverförngsoperatorer (eller -fnkoner. 3. Algortmer för samplande reglerng 3 G p y 3. Inställnng av dskret PID-reglator 3.. Samplng av system med dödd 3.. Samplng av system med dödd Ett allmänt system med dödd Föreläsnng 3..6 Ett konnerlgt system med en dödd θ för alla nsgnaler ar llståndsekvaonen x ( A B t θ (3..3 Om systemet samplas med samplngsntervallet kan lösnngen analogt med dgare skrvas A At τ ( e ( e A x t x k k e B τ θ dτ (3..4 där t k oc t k är två närlggande samplngspnkter så att. Antag (nlednngsvs att dödden är mndre än samplngsntervallet, dvs θ <. Även om nsgnalen är styckvs konstant över samplngsntervallen, är ( τ θ nte konstant över samplngsntervallet τ < eftersom dess värde ändras från ( t k ll ( t k pnkten τ t k θ. 3. Algortmer för samplande reglerng 3 3 Föreläsnng 3..6 En styckvs konstant nsgnal över ntegraonsområdet fås dock om ntegralen ppdelas så att θ A At ( e ( e t t e d ( e k t k A A k t k A x x τ B k τ e d B τ τ (3..5 θ Lösnngen kan skrvas x ( F G G (3..6 eller med t k k oc telämnng av konstanten från argmenten x ( k F G G k (3..7 där (efter yte av ntegraonsvarael, dock fortfarande kallad τ θ A A F e, G B τ θ A( θ A e dτ, G τ B e e dτ (3..8 Om v ar en dödd L > så att L N θ, där N är ett eltal, ersätts k ( med k ( N oc k ( med k ( N. 3. Inställnng av dsdskret PID-reglator 3 4

7 3.. Samplng av system med dödd 3.. Samplng av system med dödd Plsöverförngsoperatorn för system med dödd Betrakta systemet k F G k N G k N C D k N D k N Föreläsnng 3..6 (3..9 där D endast om systemet nte är strkt propert. Med jälp av skftoperatorn fås oc således eller där N N ( I F ( G k N G k N ( I F ( G G N N ( I F ( G D ( G D C (3.. H ( H( (3.. N ( I F ( G D ( G D C (3.. Föreläsnng 3..6 Samplng av andra ordnngens system med dödd Ett andra ordnngens system med två olka stora dskonstanter oc, täljardkonstanten 3, dödden L oc förstärknngen K ar överförngsfnkonen där Ls Y ( s K( 3s e k k G s ( e U ( s ( s ( s s s Ls (3..3 /, / (3..4 K( 3 k, k ( Systemet kan skrvas på dagonalformen x ( Λ t L c K( 3 (3..5 ( Λ k,, c (3..6 k 3. Inställnng av dsdskret PID-reglator Inställnng av dsdskret PID-reglator Samplng av system med dödd 3.. Samplng av system med dödd Föreläsnng 3..6 L N θ får v Eftersom Λ är dagonal kan samplng enkelt tföras. Med k F G k N G k N (3..7 c där Λ F e e (3..8 e G θ (e ( θ (e ( θ Λτ e d k k τ ( ( (e θ (e θ k k G θ θ ( θ Λ( θ Λτ e (e k e e dτ ( θ θ e (e k θ k e ( e θ k e ( e Föreläsnng 3..6 Med jälp av plsöverförngsoperatorn kan systemet skrvas där H ( H ( (3..9 N N ( I F ( G G Insättnng av matrser oc vektor ger efter yfsnng H ( c (3.. N N N N 3 a a N 3 (3.. där (, (e θ ( N k,, (e θ N k e ( e θ N, k, e ( e θ N, k (3.. N,,, ( e, e,,, ( e 3, e,, ( e e ( a, a e 3. Inställnng av dsdskret PID-reglator Inställnng av dsdskret PID-reglator 3 8

8 3.. Samplng av system med dödd 3.. Samplng av system med dödd Föreläsnng 3..6 Om dödden är en jämn mlpel av samplngsntervallet, dvs θ, förenklas ttrycken avsevärt. V får N N H ( (3..3 a a där ( e (e k k e (e e (e k k (3..4 ( e e ( a, a e För ett första ordnngens system, men nte nödvändgtvs θ, fås N N H ( (3..5 a / a θ /, ( e θ / K a, ( e N Ka (3..6 e Övnng 3.. Bestäm plsöverförngsoperatorn H ( för systemet Ls Ke G( s ( s ( s Föreläsnng 3..6 K, L mn, mn,, 5 mn oc samplngsntervallet, mn. då 3. Inställnng av dsdskret PID-reglator Inställnng av dsdskret PID-reglator Inställnng av dskret PID-reglator 3.. Syntes av dsdskret PID-reglator Föreläsnng Syntes av dsdskret PID-reglator Inkrementformen av en deal dsdskret PID-reglator ar formen ( c c k c k k (3..7 där r(. Med jälp av akåtskftoperatorn fås ( ( c c c (3..8 som ger reglatorns plsöverförngsoperator c c c H c( (3..9 Om ett system med plsöverförngsoperatorn H p( / regleras med denna reglator ges det reglerade systemets plsöverförngsoperator av H p( Hc( H r ( (3..3 r( H p ( Hc( Idén är att välja reglatorns parametrar H c ( så att H r ( får önskad form. 3. Algortmer för samplande reglerng 3 3 Föreläsnng 3..6 Första ordnngens system med dödd Ett första ordnngens system med en dödd L N, där är samplngsntervallet, ar plsöverförngsoperatorn N Hp( (3..3 a V får N c c c Hp( Hc( (3..3 a Om v väljer c (dvs ngen D-verkan oc c c a fås N N c p ( c( N c H H oc H r ( (3..33 N c där reglatorns förstärknng c är en kvarstående desgnparameter. Valet c N /(N (3..34 ger ett stegsvar med mnmal översväng ( 4 % oc en sgd på 3 ll 4 dödder. 3. Inställnng av dsdskret PID-reglator 3 3

9 3.. Syntes av dsdskret PID-reglator 3.. Syntes av dsdskret PID-reglator Föreläsnng 3..6 Andra ordnngens system med dödd Desgnmetoden ovan är väldgt eändg man kan enkelt eräkna de eövlga reglatorparametrarna c oc c då systemparametrarna a, N oc N är kända. Kan samma metod, eller någon lknande som enkelt kan ärledas, användas för system av andra ordnngen med dödd? Om v antar att dödden är en jämn mlpel N av samplngsntervallet ar ett andra ordnngens system plsöverförngsoperatorn N N N H p( (3..35 a a a a Med en dskret PID-reglator H c( får v c c c N H p( Hc( (3..36 a a V kan välja reglatorns parametrar så att nämnaren för H p elmneras, men täljaren lr kvar oc därmed får v nte samma form på H phc oc desgnmetoden gäller nte. 3. Inställnng av dsdskret PID-reglator 3 33 Föreläsnng 3..6 V kan dock välja en annan typ av reglator. En reglator med plsöverförngsoperatorn ger med valen c c c c H c( (3..37 ( ( d c a, c c a, d / (3..38 N c H p( Hc( N (3..39 oc samma val av c kan göras som ovan för ett första ordnngens system, dvs c N /(N (3..34 Denna reglator är nte en ren PID-reglator, tan den ar dfferensformen ( k ( c c k c k k d k (3..4 Den kan själva verket tolkas som en PID-reglator ett flter som fltrerar e (, dvs prakken y ( om örvärdet antas vara rsfrtt. 3. Inställnng av dsdskret PID-reglator Samplande reglerng 3.3. Daln-Hgams algortm Föreläsnng Drekt syntes med döddskompensaon 3.3. Daln-Hgams algortm Daln oc Hgam ar föreslagt en metod aserad på drekt syntes som ger en reglator med ntegrerande verkan oc exakt kompensaon för dödd. En goycklg reglator med plsöverförngsoperatorn H c( ger för systemet H p ( ett sltet system H p ( Hc( H r ( (3.3. r( H p ( Hc( Om man löser t H c( fås Hr ( H c( (3.3. Hp ( H r ( där man kan specfcera H r ( på önskat sätt oc eräkna den reglator H c( som realserar detta. Processreglerng ( Föreläsnng 3..6 Ett sltet system med mndre dödd än dödden det oreglerade systemet kan gvetvs nte erållas. Om systemets dödd är L N, där är samplngsntervallet, är N ( α H r ( (3.3.3 α dvs ett första ordnngens system med förstärknngen, ett enkelt sltet system. Om det / sltna systemets önskade dskonstant är r, så är α e r. Os. att det dskreta systemets förstärknng fås när man ersätter operatorn med. Detta val av H r ( ger N Hr ( ( α (3.3.4 N Hr ( α ( α 3.3 Drekt syntes med döddskompensaon 3 36

10 3.3. Daln-Hgams algortm 3.3. Daln-Hgams algortm Reglerng av :a ordnngens system med dödd För fås H c ( a N N H p ( N ( α α ( α dvs en reglator med dfferensformen N N a N N Föreläsnng 3..6 (3.3.5 α a α ( α N α ( a k k ( α ( k k N ( N (3.3.6 (3.3.7 Detta kan tolkas som en PI-reglator med explct döddskompensaon. Eftersom reglatorn oc med termen ( k N använder nformaon som kan vara mycket gammal kan den förväntas vara känslg för modellfel, specellt rörande dödden. Föreläsnng 3..6 Reglerng av :a ordnngens system med dödd Även om systemet som skall regleras är av andra ordnngen, kan man specfcera det sltna systemet att vara av första ordnngen. För N N Hp ( (3.3.8 a a fås då efter yfsnng α a a Hc( (3.3.9 N N ( d ( α ( α där d N /. Detta är en reglator med dfferensformen α ( a k a k ( α d k αd k (3.3. N ( α k N d k N ( Reglatorn kan förväntas vara änn känslgare för modellfel än den föregående. 3.3 Drekt syntes med döddskompensaon Drekt syntes med döddskompensaon Syntes med döddskompensaon 3.3. Ett llämpnngsexempel Föreläsnng Ett llämpnngsexempel I övnng 3.. var ppgften att estämma plsöverförngsoperatorn H ( för systemet Ls Ke Gp ( s ( s ( s med samplngsntervallet, mn då K, L mn, mn oc, 5mn. Resltatet lev H p(,956,894 a a a,736 a,748 Här skall fyra olka reglatordesgner llstreras oc jämföras: a Dskreserad PID-reglator nställd enlgt Zegler-Ncols rekommendaoner Dskret PID-reglator nställd för ca 4 % översläng c Daln-Hgams reglator med r, 5 mn oc fel modell (första ordnngen dödd mn oc korrekt modell d Daln-Hgams reglator med r, 5 3. Algortmer för samplande reglerng 3 39 a Dskreserad PID nställd enlgt Zegler-Ncols Föreläsnng 3..6 Den konnerlga processmodellen ger krska frekvensen ω c,5 rad/mn samt G p( ωc, 44 K c, max, 7 Enlgt Zegler-Ncols rekommendaoner fås K c,6kc, max,36, π / ωc, 8 mn, d π /( 4ωc, 5 mn Inkrementformen för en deal PID-reglator samplad genom akåtdfferensapproxmaon är d d d ( c k K k k k som är ger ( 8,5 5,5 k 7,8 k k 3.3 Drekt syntes med döddskompensaon 3 4

11 3.3. Ett llämpnngsexempel 3.3. Ett llämpnngsexempel Föreläsnng 3..6 Dskret PID nställd för ca 4 % översläng För systemet H p ( a a ger reglatorn ( c c k c k k d ( k k med c /(N, c ca, c ca, d / ca 4 % översläng. Här är N. Det samplade systemets parametrar ger c 5,6, c 9, 6, c 3, 9, d, 95 eller ( 5,6 9,6 k 3,9 k k,95 k k ( 3.3 Drekt syntes med döddskompensaon 3 4 c Daln-Hgams reglator med r, 5 mn oc fel modell Antages felakg processmodell Ls Ke Gp ( s s med K, L mn,, 5 mn. Samplng med, mn ger H p( a / θ / med a e, 9355 oc K( ae K( a, Daln-Hgams reglator för ett första ordnngens system med N är α ( a k k ( α ( k k / Med α e r, 887 fås (,8,63 k k,8 k k ( Föreläsnng Drekt syntes med döddskompensaon Ett llämpnngsexempel 3.3 Syntes med döddskompensaon Föreläsnng 3..6 d Daln-Hgams reglator med r, 5 mn oc korrekt modell Daln-Hgams reglator för ett andra ordnngens system med N är α ( a k a k ( α d k αd k ( α k d k / ( där d /, 948. Med α e r, 887 fås, 34,5 k 4,8 k,86 k,74 k,8 k,64 k Föreläsnng Rngnng I reglatorsynteser av typen drekt syntes specfceras det (önskade sltna systemet. När syntesen görs för ett samplat system, gäller specfkaonen endast samplngspnkterna vad som sker mellan samplngspnkterna ar man ngen drekt kontroll över. Staonen kan se t som fgren nedan, där samplngsntervallet är dsenet. I samplngspnkterna är tsgnalen (ll vänster lka med örvärdet, men däremellan svänger den. Beteendet eror på att nsgnalen (ll öger svänger krafgt krng ett läge fenomenet kallas rngnng. Smlerngar Zegler-Ncols PID ( PID med ca 4 % översläng ( Daln-Hgam med fel modell ( Daln-Hgam med korrekt modell ( y 3.3 Drekt syntes med döddskompensaon Algortmer för samplande reglerng 3 44

12 3.3.3 Rngnng Rngnng Föreläsnng 3..6 Orsaken ll rngnng Rngnng ppstår när den dsdskreta reglatorn ar en negav pol z, specellt om den lgger nära staltetsgränsen z. Detta lr ofta fallet om reglatorn nneåller nversen av modellens plsöverförngsfnkon H p ( z, såsom t.ex. Daln-Hgams reglator [se (3.3.]. Orsaken är att en samplad modell ofta nneåller ett negavt nollställe nära z, som då leder ll en motsvarande pol reglatorn. Vd exakt samplng av ett konnerlgt system fås alld ett eller flera nollställen om systemet är mnst av :a ordnngen (förtom ev. dödd. Oeroende av ev. nollställen den konnerlga modellen fås, även om dödden är en jämn mlpel av samplngsntervallet, för ett andra ordnngens system en plsöverförngsfnkon av formen z ( N Hp ( z z (3.3. az az Föreläsnng 3..6 Elmnerng av rngnng Dalns modferade reglerlag För att elmnera rngnng, ar Daln förslagt att man gör sstonen z den faktor som förorsakar rngnngen. För ett andra ordnngens system etyder detta prakken att man gör syntesen på asen av modellen ( N Hp ( z z (3.3. az az Resltatet (för samma exempel som ovan vsas fgren nedan. Rngnngen ar elmnerats, men stället ar en (lten översläng ppstått. y 3.3 Drekt syntes med döddskompensaon Drekt syntes med döddskompensaon Rngnng Rngnng Föreläsnng 3..6 Vogel-Edgars modfkaon I Dalns modferade syntes ar man ngen kontroll över r stor överslängen lr. Vogel oc Edgar ar därför föreslagt att man nte synteserar för att få ett strkt propert sltet system av första ordnngen (med dödd, tan för ett sltet system av formen z ( α N Hr ( z z (3.3.3 α z där z är den faktor som förorsakar rngnng (dvs /. För samma system som ovan fås då reglerresltatet nedan, dvs ngen rngnng oc ngen översläng på ekostnad av något långsammare respons. Föreläsnng 3..6 Övnng 3.3. Härled reglerlagen enlgt Vogel-Edgars modfkaon av Daln-Hgams reglator för ett samplat andra ordnngens system. Vlken lr reglerlagen nmerskt för systemet som samplats Övnng 3..? y 3.3 Drekt syntes med döddskompensaon Drekt syntes med döddskompensaon 3 48

13 3. Samplande reglerng 3.4 Dead-eat reglerng 3.4 Dead-eat reglerng Föreläsnng 3..6 Vd drekt syntes av en dskret reglator enlgt Daln-Hgams metod önskades ett sltet system som eter sg som ett första ordnngens system med dödd. Sklle det vara möjlgt att desgna för änn snaare respons så att Nr H r ( (3.4. där Nr N (mndre N r kan nte vara realserar? Lösnng av H c( r ttrycket för det sltna systemets plsöverförngsoperator (se Daln-Hgam ger N r H r ( H c( (3.4. N r H p ( H r ( H p ( N Detta ör ge en realserar reglerlag för Nr N eftersom r täljaren då kan N förkortas ort mot täljaren ll H p (. Varför måste det gå att förkorta ort dödden H p (? N En reglerstrateg med desgnkrteret r H r ( kallas för dead-eat reglerng. Det fnns ngen motsvarget ll dead-eat reglerng vd konnerlg reglerng. Processreglerng ( Föreläsnng Första ordnngens system För ett första ordnngens system med dödd N Hp ( (3.4.3 a fås med Nr N N a a H c( (3.4.4 N N N eller ( ( ( e k a e k k N (3.4.5 som är en realserar reglerlag. a Nr N (t.ex. sklle ge H ( c oc N ( ( ( e k a e k k N (3.4.6 som nte är realserar pga e ( k. 3. Algortmer för samplande reglerng Dead-eat reglerng 3.4. Dead-eat reglerng av llståndsvektorn Föreläsnng Dead-eat reglerng av llståndsvektorn Betrakta ett dskret system med llståndsekvaonen x ( k F G k N (3.4.7 där N > motsvarar en gemensam dödd för ela nsgnalvektorn. Upprepad användnng av ekvaonen för nya samplngsdpnkter ger k F k G k N F FG k N G k N k 3 F k G k N F k FG k N G k N 3 F F G k N FG k N G k N k F F G k N F G k N FG k N G k N Den ssta ekvaonen kan också skrvas k F k N k N (3.4.8 k N [ G FG F G] 3. Algortmer för samplande reglerng 3 5 V tnyttjar etecknngen [ G FG F G] Föreläsnng 3..6 Γ (3.4.9 Om antalet llstånd är n ar matrsen Γ n stycken rader. Ifall systemet är styrart kommer matrsen att a rangen n för ett llräcklgt stort. För n är matrsen Γ n lka med systemets styraretsmatrs (som dgare kallats Γ c. Denna matrs ar alld rangen n om systemet är styrart. Om systemet är styrart fnns det således alld en matrs Γ, n, som ar rangen n. Det är då möjlgt att lösa t vektorn av nsgnaler r ttrycket för x ( k med jälp av den s.k. psedonversen av Γ, som nte kräver att Γ är kvadrask. Eftersom ttrycket gäller för goycklga k, kan samplngsögonlcken desstom flyttas framåt med N steg. Då fås k k Γ ( k N F k N ( Dead-eat reglerng 3 5

14 3.4. Dead-eat reglerng av llståndsvektorn 3.4. Dead-eat reglerng av llståndsvektorn Föreläsnng 3..6 där detta fall, då Γ ar mnst lka många kolonner som rader, gäller Γ ( Γ ΓΓ (3.4. Märk att Γ Γ om Γ är kvadrask, vlket alld är fallet om antalet nsgnaler, då också n krävs. Vd samplngsögonlcket k mplementeras endast styrsgnalen (, nte framda styrsgnaler. Denna styrsgnal erålls från ttrycket ovan enlgt I Γ ( x k N F k N (3.4. [ ] ( där x ( k N etecknar det önskade llståndet efter N samplngar. Detta är dock nte en realserar styrlag ( denna form, eftersom den nneåller framda llstånd x ( k N. För dessa gäller dock k N F k N G k F( F k N G k G k F k N FG k G k (3.4.3 N N k N F F G k N FG k G k vlket etyder att x ( k N ges som fnkon av x ( oc gamla styrsgnaler. 3.4 Dead-eat reglerng 3 53 Genom att tnyttja defnonen på Föreläsnng 3..6 Γ kan dead-eat strategn även ttryckas som ( ( ( F G ΓΓ x ( k N F x ( k N (3.4.4 Kommentarer Vanlgen krävs n, där n är antalet llståndsvaraler. Det är möjlgt att en realserar reglerlag kan erållas för < n, men reglerresltatet är ofta ollfredsställande. Det är tänkart att det sltna systemet lr nstalt eller att llstånden det konnerlga systemet svänger krafgt mellan samplngsögonlcken pga rngnng. Dead-eat strategn ar endast en desgnparameter samplngsntervallet. Samplngsntervallet estämmer r snat det önskade llståndet nås (på den ( n N eller snaare. Reglersgnalernas storlek ökar dock drasskt med mnskande samplngsntervall, vlket prakken är en egränsande faktor. Ofta är det önskade llståndet x ( k N. Om Γ är kvadrask gäller Γ Γ. 3.4 Dead-eat reglerng 3 54