1 Föreläsning II, Vecka I, 21/1-25/11, 2019, avsnitt

Transkript

1 1 Föreläsning II, Veca I, 1/1-5/11, 019, avsnitt Kombinatori Exempel 1.1 I ett rutnät går man åt höger eller uppåt. Hur många vägar finns det mellan A och B? B A Vi har 8 (del-)sträcor att välja uppåt och till höger på. A Man går = 8 delsträcor. B Vi utveclar nedan en metod för att beräna detta. Exempel 1. I allsvensan (Fotboll) spelar alla 16 lag mot alla andra lag två och två. Varje par av lag möts två gånger. Hur många matcher spelas totalt? Exempel 1.3 Vi tillverning av racercylar finnns två ram-modeller, Giovanni och Basso. Dessutom finns tre modeller av hjul, X, Y och Z. Hur många olia cyeltyper an produceras? Vi har att välja mellan ramar och 3 hjulpar, d.v.s. 3 = 6. Detta allas multipliationsprincipen (MP). 1

2 Exempel 1.4 På hur många sätt an bostäverna a, b, c, d ordnas? på första plats an 4 bostäver väljas, på andra plats 3, på tredje plats och på fjärde plats 1. Enligt MP får vi = 4 =: 4! (fyra-faultet) olia ordningar (permutationer). Exempel 1.5 I en förening med 10 medlemmar sall väljas en styrelse på 3 personer. Man väljer då tre personer utan hänsyn till deras poster i styrelsen. D.v.s. man väljer 3 av 10 utan hänsyn till inbördes ordning och utan återläggning. utan återläggning innebär att en person inte an ha två poster i styrelsen. Hur många styrelser är möjliga? Enl.MP an vi välja delgrupper bestående av tre personer. Doc är detta med hänsyn till inbördes ordning. För att få utan hänsyn till inbördes ordning, dividerar vi bort den genom att dividera med 3 1, alltså = 10 styrelser. Vi definierar nut ett antal begrepp som an lösa problemen ovan. n! läses n-faultet. 0! = 1, om n = 0 n! := n(n 1)(n )... 1 om n = 1,,... Multipiationsprincipen Givet m moment, där varje moment har n val = 1,,..., m ger totalt n 1 n... n m val.

3 Antalet permutationer av element valda av n element är P (n, ) := n (n 1)... (n + 1) = Detta motsvarar dragning med hänsyn till inbördes ordning och utan återläggning. n! (n )!. Antalet ombinationer av element valda av n element är en binomialoefficient: n (n 1)... (n + 1) n! := =! (n )!!. Detta motsvarar dragning utan hänsyn till inbördes ordning och utan återläggning. Samband ( ) ( ) n n =, n = 0 = 1, n P (n, ) =!. = Antal delmängder med element valda bland n element. Ex.1 Vi väljer alltså 3 av 8 sträcor som går upp. De resterande 8( ) 3 = 5 sträcorna är då åt höger. Vi an välja dessa 3 på 8 sätt. Det är 3 ( ) 8 = = 56. Ex. Antal enelmöten är ( 16 ) = 10, alltså 40 matcher. Exempel 1.6 Hur många lottorader finns? 3

4 I Lotto gäller det att välja 7 av 35 utan återläggning och utan hänsyn till inbördes ordning. Svaret är ( ) = = Om man i Lotto tog hänsyn till inbördes ordning sulle antalet rader vara = miljarder. 1. Mer ombinatori Exempel 1.7 (a) Hur många registeringsnummer finns? Förutsätt att man använder bostäver och alla 10 siffrorna och att ett reg.nr börjar med tre bostäver och åtföljs av tre siffror. (b) Tidigare i Sverige hade man en bostav åtföljd av fem siffror. Hur många reg. nummer fås med denna modell? (a) Antalet registeringsnummer: = (b) 10 5 = Exempel 1.8 I en lass finns 5 elever. Vad är sannoliheten att (minst) två fyller år samma dag? 4

5 Händelsen aatt (minst) två fyller år samma dag betecnar vi A och förutsätter att det är ett normalår (365 dagar) och att det är samma sannolihet att vara född för alla dagar (liformig fördelning). Koplementhändelsen är A c, att alla fyller år olia dagar. Vi sriver P (A c ) = g m. m = och g = ( ) = P (365, 5). Detta ger P (A c ) = P (365, 5) = P (A) = = Svar: sannoliheten att minst två fyller år samma dag är 57%. Exempel 1.9 0! := 1 och i övrigt är n! = 1 (...) n. 4 Beräna binomialoefficienterna för = 0, 1,, 3, 4. = 0 4! 0! (4 0)! = 1, Återstående termer är = 3 = 4! 1 1! 3! = = 4, = 4, 1 Vi an passa på att utvecla (a + b) 4 : = 4 = 1. 0 (a + b) 4 = 1 a 4 b a 3 b + 6 a b + 4 a b a 0 b 4. = = 6. Kommentarer M.h.a. Pascals triangel erhålls binomialoefficienterna 0, 1,,... och = 0, 1,..., n: för n = 5

6 Exempel 1.10 Vid fise med astspö är sannoliheten att få napp (fisfångst) p := 0% vid varje ast. Karin astar 5 gånger. Vad där sannoliheten att hon får exat två napp (fisar)? Antag att varje asts utfall är oberoende. Söt sannolihet P (A), där A är händelsen att få napp exat två gånger av fem är ( ) 5 P (A) = p (1 p) 5 = =

7 Föreläsning forts. Exempel.11 Givet händelserna i ex 1.5 (och 1.6) i frlsn1.pdf, beräna sannoliheterna (a) P (H T ) b) P (H T c ) P (H T ) = 0.95, P (T ) = , P (H) = (a) P (H T ) = P (H T ) P (T ) = Med ännedom om P (T H) an sannoliheten beränas som Detta ger Bayes sats: P (H T ) = P (T H) P (H). P (H T ) = P (T H) P (H) = P (H T ) P (T ). b) Av Bayes sats följer att Hur beränar vi P (T c H)? P (H T c ) = P (H) P (T c ) P (T c H). P (T H) = P (T ) P (H) P (H T ), P (T c H) = 1 P (T ) (H T ) = %. P (H) P Exempel.1 Vid fise med astspö är sannoliheten att få napp (fisfångst) p := 0% vid varje ast. Karin astar 5 gånger. Vad där sannoliheten att hon får exat två napp (fisar)? Antag att varje asts utfall är oberoende. 7

8 Söt sannolihet P (A), där A är händelsen att få napp exat två gånger av fem är ( ) 5 P (A) = p (1 p) 5 = = Exempel.13 I staden Caracollo vill man veta hur många ord som an bildas av stadens namn. Hur många finns? Ordet innehåller nio bostäver, som ger 9! ordningar (permutationer). Det finns c, a, l och o. Dessa måste divideras bort. Mer exat måste vi dividera med! p.g.a. c och p.s.s. för de andra bostäverna. Alltså är antal ord, som an bildas 9! = {! = } = = (!) = 680. Exempel.14 I en ishocey(enel-)turnering ingår 14 lag. (a) Hur många matcher spelas i turneringen? (b) På hur många olia ordningar an grundturneringens lag hamna? (c) Efter turneringen spelar de 8 bästa lagen om slutsegern. På hur många sätt an dessa 8 lag tas ur ur de 14 lagen utan hänsyn till inbördes ordning, respetive med hänsyn ill inbördes ordning? (a) Antal matcher spelas i turneringen är ( ) 14 = 91. (b) Anal ordningar an grundturneringens lag hamna är 14! (c) Efter turneringen spelar de 8 bästa lagen om slutsegern. På hur många sätt an dessa 8 lag tas ur ur de 14 lagen utan hänsyn till inbördes ordning: ( ) 14 =

9 och med hänsyn ill inbördes ordning: ( ) 14 8! Exempel.15 I en ommun har man tillgång till femsiffriga telefonnummer från och uppåt. (a) Hur många telefonnummer är tillgängliga? (b) Man behöver fler telefonnummer och beslutar att införa sexsiffriga. Det går till så här: 1) Man tar bort de som börjar med en sjua. ) Därefter inför man nya sexsiffriga nummer, som börjar på sju. Hur många telefonnummer har man då totalt? (a) Antal telefonnummer, som är tillgängliga är = (b) Man behöver fler telefonnummer och beslutar att införa sexsiffriga. Det går till så här: 1) Man tar bort de som börjar med en sjua. Detta ger = ) Därefter inför man nya sexsiffriga nummer, som börjar på sju. Antal telefonnummer blir då totalt =