Lösningar och lösningsskisser

Transkript

1 Lösningar och lösningsskisser Diskret matematik för gymnasiet, :a upplagan, Liber AB Kapitel, Sannolikhetslära och Kombinatorik 0. a) ( ) ( ) h!! ( )!!! 9!! 9!!! h! ( h)!! h! ( h)!! h! ( h)! Likheten är uppfylld då h 9. b) Med samma resonemang som ovan får vi att h. Observera symmetrin! 07. a) Låt händelse A { kulor, färger}. Eftersom vi får anta att alla utfall sker med samma sannolikhet (likformig sannolikhetsfördelning) gäller enligt den klassiska sannolikhetsdefinitionen att P (A) antalet gynsamma utfall antalet möjliga utfall Att välja kula av 8 röda kan ske ( 8 ) 8 sätt. Samma resonemang gäller för de två övriga färgerna. Antalet gynsamma utfall är enligt multiplikationsprincipen därför ( ) 8 ( ) 7 ( ) 0 sätt att välja kulor på så sätt att alla tre färger finns representerade. Att välja kulor av kan ske på ( ) 5 sätt, vilket är antalet möjliga utfall. Sannolikheten för att händelse A skall inträffa är således ( ) ( ) ( ) P (A) ( ) 0, 5 b) Låt händelse B { kulor, ingen blå}.

2 Det finns 8 av de 5 kulorna som inte är blåa. Antalet gynsamma utfall är ges därför av antalet sätt vi kan välja kulor av 8 utan hänsyn till ordningen. Sannolikheten för att händelse B skall inträffa är således ( ) 8 P (B) ( ) 0, De termer som förekommer i utecklingen av binomet är a, a ( b), a ( b), a( b), ( b) Med binomialkoefficienterna blir utvecklingen a + 0 a ( b) + a ( b) + a( b) + a a b + a b ab + b ( b) 0. Då hänsyn skall tas till myntens ordning är antalet permutationer!. Det första myntet kan väljas på sätt. När ett mynt är placerat finns kvar att välja på till position o.s.v. 0. a) Orden skapas av olika bokstäver. Antalet ord, permutationer, som kan skapas av dessa är!. b) Av de! orden som kan skapas av bokstäverna LAT A är! likadana eftersom det finns A. Dessa kan ju permuteras på! sätt. Antalet unika ord är därför!! 0. hörn kan väljas av 8 på ( 8 ) 5 sätt. Observera att hörnens ordning i varje triangel är ointressant. Av alla de möjliga permutiationerna måste antalet 8! (8 7)! reduceras med en faktor! eftersom varje tringel kan skapas på! olika sätt. 8!! (8 7)! ( ) a) Låt händelsen A {bli vuxen}. Sannolikheten att alla ägg ger vuxna hackspettar är P (A) 0, 0, 07

3 b) Låt händelsen B {åtminst. ägg}. Att åtminstone ägg ger vuxna fåglar innebär att,,, 5 eller ägg gör det. Den komplementära händelsen B innebär istället att 0 eller ägg inte ger vuxna fåglar. Vi vet att P (B) P (B (( ) 0, 0 0, a) Sannolikheten att vinna exakt en av fem tävlingar är ( ) 5 0, 0, 8 0, ( ) )0, 0, 5 0, 959 b) Låt händelsen A {minst vinst av 5}. För den komplementära händelsen A {ingen vinst av fem} gäller att P (A ) 0, 8 5. Således är P (A) P (A ) 0, 8 5 0, Antalet permutationer av bokstäverna F RT ABU är! 70. Antalet unika permutationer av bokstäverna ROOSRO!!! a) Av bokstäver kan du bilda! 70 ord. (Självklart är många av dessa permutationer utan någon språklig betydelse.) b) Då första bokstaven är given kan den andra väljas på 5 sätt, den tredje på sätt o.s.v. Således kan man skapa 5! 0 ord som inleds med A. c) Vi uppmärksammar först att de första orden inleds med AF. När alla permutationer med denna inledning är listade fortsätter listan med ord som inleds med AK. Därpå följer ord med inledningen AN varibland ANKF OT förekommer. Vi måste nu ställa oss frågorna: Hur många ord finns i mängden AF Hur många ord finns i mängden AK Vilket ordningsnummer har ordet ANKF OT i mängden AN I såväl ordgruppern AF som AK är de två första bokstäverna valda. De fyra övriga bokstäverna kan permuteras på! olika sätt. De två grupperna innehåller således! ord var. De första orden i den nästföljande mängden AN är delmängden ANF vilken innehåller! ord. Nästa delmängd är ANK i vilken vi som

4 första ord hittar just det ord vi söker, ANKF OT. Således har ordet ANKF OT ordningsnummer! +! +! d) Eftersom det finns 5! 0 ord som börjar med respektive bokstav, så måste det 7:e ordet ineldas med den :e bokstaven T. Av de 5! 0 orden på T finns det! i varje delmängd T A, T F, T K, T N, T O. Det sista ordet i delmängden T N är permutation nr. 5 5! +! 9 I delmängderna T OA och T OF finns det vardera! ord. Det sista av dessa ord är således permutation nr. 5 5! +! +! 708 Permutation nr. 7 är således det :e ordet i delmängden T OK vilket är ordet T OKF AN. 05. Låt händelsen A {behandlingen lyckas}. a) Enligt mutliplikationsprincipen gäller att sannolikheten att behandlingen lyckas 0 ggr i följd är P (A) 0 0, , 5 b) Antalet sätt doktorn kan misslyckas ggr av 0, utan hänsyn tagen till ordningen hos de tre misslyckade behandlingarna, är ( ) 0. Sannolikheten för den givna händelsen är då P ( m.l.) ( ) 0 P (A) 7 ( P (A)) ( ) 0 0, , 05 0, 7 c) Att misslyckas högst ggr. innebär att man kan misslyckas 0, eller ggr. Med liknande resonomang som ovan måste gälla att P ( m.l.) ( ) 0 0, ( ) 0 0, , 05 + ( ) 0 0, , 05 0, Två flickor kan väljas ur en grupp av 8 på ( ) 8 sätt. Varje sådan kombination kan paras ihop med ( ) kombinationer av av pojkar. Antalet sätt att skapa gruppen är således ( ) ( )

5 055. Från uppg. 05 får vi antalet gynsamma utfall. Antalet möjliga sätt att välja en grupp om elever av är ( ) 0. Därför gäller att ( ) ( ) 8 P ( flickor och pojkar) ( ) 0, Man kan välja allt från att inte ha något tillbehör till att ha alla 8. Väljer man t.ex. tillbehör på sin hamburgare kan dessa väljas utav av de 8 på ( 8 ) sätt eftersom tillbehörens ordning är irrelevant. Det totala antalet sätt att välja sina tillbehör är således ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Liknande resonemang som i uppg Blandningarna kan bestå av allt från till ämnen. Således finns det ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) olika kominationer. 0. På hur många olika sätt kan man välja personer (som skakar hand) av en grupp om 0 utan hänsyn till ordningen hos de två? Detta kan ske på ( ) 0 0!! 8! 5 olika sätt. För att förtydliga detta observerar vi att var och en av de 0 personerna anser sig ha skakat hand med alla de 9 andra personerna. Således skulle man kunna påstå att 0 9 handskakningar har ägt rum. Dock är inte alla av dessa unika eftersom handskakningsordningen i varja möte inte är intressant. Två personer som skakar hand med varandra har ju bara utfört en handskakning, inte. Eftersom två personer kan ordnas på! olika sätt måste antalet hanskakningar vara 0 9 0! ( ) 0!! 8! 5 0. a) I detta fallet är det betydligt smidigare att beräkna sannolikheten för att den komplementära händelsen inträffar. Den kompl. händelsen A till händelsen A {minst två lika tärningar} är A {alla olika}. Således är enligt multiplikationsprincipen alternativt P (A) P (A ) 5 0, 7 P (A) P (A ) 5 0, 7 5

6 b) Två lika vid kast med tärningar kan fås på olika sätt. Dessa är givetvis (, ), (, ), (, ), (, ), (5, 5), (, ). Sannoliken för var och ett av dessa utfall är enligt multiplikationsprincipen 5 där de två första faktorerna innebär att de två första tärningarna är lika, den tredje faktorn att den tredje tärningen är skild från de två första och den den fjärde faktorn att den fjärde tärningen är skild från de två första och skild från den tredje. Således är totala sannolikheten 5 0, 555 ( ) 0. Man kan få r st. jackpot vid dragning på hjul på sätt. Eftersom sannolikheten att få jackpot på ett hjul är 0, så måste t.ex. sannolikheten r ( ) P ( jackpot) 0, 0, 9 0, 07. En enstaka spelare kan t.ex. vinna 50 kr, 500 kr eller kr. Frågan vi måste ställa oss är: Hur många kronor kan vi förvänta oss att vinna om vi spelar väldigt (oändligt) många gånger? Vad vinner en spelare i medeltal? (Vad är det s.k. väntevärdet? ) Det är naturligtvis större sannolikhet att de två första siffrorna i ditt lottnummer är desamma som i det dragna numret än att alla sex siffrorna är det, men å andra sidan ger det en betydligt mindre vinst. Vinsten vid var och en av de 5 olika händelserna måste därför viktas mot sannolikheten att händelsen inträffar. Vi börjar med att reda ut hur mycket vi kan förvänta oss att vinna i det långa loppet om försättningen för vinst är som i den första händelsen (50 kr vid två korrekta inledande siffror). För att göra detta måste vi först bestämma sannolikheten för att denna inträffar. Observera att händelsen endast innebär två korrekta inledande siffror, inte fler. Är t.ex. de tre första siffrorna korrekta vinner vi ju 500 kr. För att undvika detta räcker det med att den tredje siffran är fel. Givet de två första siffrorna kan med ovanstående resonemang den tredje siffran väljas på 9 sätt medan den fjärde, femte och sjätte kan väljas på 0 sätt. Det finns således gynsamma fall av 0 möjliga. Sannolikheten för en vinst på 50 kr är således P (50 kr) 0 0, 009

7 Det vi kan förvänta oss att vinna om vi spelar många gånger är P (50 kr) 50 0, 5 kr Med samma resonemang för de andra händelserna får vi den totala förväntade vinsten , 5 kr 0 Detta betyder också att ägaren förväntas tjäna 5, 5, 75 kr på varje lott. Säljs 0000 lotter förväntas således ägaren tjäna 0000, kr Observera att detta endast är den förväntade förtjänsten. Naturligtvis finns möjligheten att ägaren gör en stor förlust. Dock är det så att alla spel av liknande karaktär är uppbyggda så att väntevärdet är till lotteriets fördel. 7