Föreläsning G70, 732G01 Statistik A

Transkript

1 Föreläsning 3 732G70, 732G01 Statistik A

2 Introduktion till sannolikhetslära Sannolikhetslära: område inom statistiken där vi studerar experiment vars utfall beror av slumpen Sannolikhet: numeriskt värde (mellan 0 och 1) som talar om för oss hur troligt det är att händelsen vi studerar ska inträffa Regler för sannolikheter: 1. En sannolikhet ligger alltid mellan 0 och 1 2. Sannolikheten för alla disjunkta händelser som ingår i utfallsrummet kommer tillsammans att summera till 1 3. Om vi vet att sannolikheten för händelsen A är Pr(A), så är sannolikheten för att A inte ska inträffa 1 Pr(A) Klassiska sannolikhetsdefinitionen: Pr( A ) = antalet gynnsamma utfall totala antalet utfall 2

3 Relativ frekvens 0,3 0,25 Relativ frekvens 0,2 0,15 0,1 0,05 0 Tärningskast

4 Additionssatsen för disjunkta händelser För två händelser A och B som är disjunkta, så gäller att sannolikheten för att A eller B ska inträffa är Pr( A B) = Pr( A) + Pr( B) Exempel: Bland enheterna som produceras vid ett löpande band klassificeras 5 procent som för stora, 80 procent som lagom och 15 procent som för små. Slumpmässigt väljs en enhet ur produktionen. Bestäm sannolikheten för att den utvalda enheten är för stor eller för liten. Låt A = händelsen att enheten tillhör gruppen för stora B = händelsen att enheten tillhör gruppen för små 4

5 Additionssatsen för icke disjunkta händelser För två händelser A och B som inte är disjunkta, så gäller att sannolikheten för att A eller B ska inträffa är Pr( A B) = Pr( A) + Pr( B) Pr( A B) Exempel: En viss febersjukdom kan ge flera sidobesvär, i följande omfattning hos de drabbade: Besvär Eksem 7% Halsont 10% Både eksem och halsont 2% Relativ frekvens Vad är sannolikheten för att en person som drabbats av febersjukdomen får antingen eksem eller halsont? 5

6 Multiplikationssatsen för oberoende händelser Vad är sannolikheten att både händelserna A och B ska inträffa? Givet att A och B är oberoende gäller att Pr( A B) = Pr( A) Pr( B) Exempel: Vi singlar slant två gånger. Vad är sannolikheten för två krona i rad? 6

7 Betingad sannolikhet Sannolikheten för att händelsen A ska inträffa givet att händelsen B redan inträffat beräknas Pr( A B) Pr( A B) = Pr( B) Exempel : Man drar ett slumpmässigt urval av medlemmar ur en stor politiskt oberoende organisation, och frågar dels om kön, dels om politisk tillhörighet (vänster eller höger). Kön Vänster Höger Totalt Kvinna Man Totalt Vad är sannolikheten för att en slumpmässigt vald person är kvinna, om vi vet att personen sympatiserar med högerblocket? Om Pr(A B) = Pr(A) eller Pr(B A) = Pr(B) så är händelserna A och B oberoende 7

8 Multiplikationssatsen för beroende händelser Vad är sannolikheten att både händelserna A och B ska inträffa? Om A och B är beroende gäller att Pr Låt ( A B) = Pr( A) Pr( B A) = Pr( B) Pr( A B) = Pr( B A) Exempel: En skål innehåller 10 röda och 5 blå kulor. Vi väljer slumpmässigt och utan återläggning 2 kulor. Vad är sannolikheten för att bägge är blå? A = händelsen att den första utvalda kulan är blå B = händelsen att den andra utvalda kulan är blå 8

9 Exempel Exempel: Efter stängning en börsdag på den svenska börsen kan generalindex ha stigit, varit oförändrat eller sjunkit. Det finns ett starkt samband med NASDAQ-börsens generalindex: om den samma dag (men NASDAQ-börsen stänger tidigare) har stigit, varit oförändrad eller sjunkit så är chansen stor att samma sak händer på den svenska börsen. Man studerar börskurserna under en längre tid och beräknar då följande. Stigit 0.6 Oförändrat 0.2 Sjunkit 0.2 Andel dagar NASDAQ:s generalindex Man kartlägger även sannolikheten för att svenska generalindex ska stiga givet hur det gått på NASDAQ samma dag, och sammanställer följande. NASDAQ stigit 0.75 NASDAQ oförändrat 0.15 NASDAQ sjunkit 0.10 Sannolikhet för att svenskt generalindex stigit givet att Vi studerar en slumpmässigt vald dag. Vad är sannolikheten för att det svenska generalindex stigit den dagen? 9

10 Satsen om total sannolikhet Om A 1,, A g är g parvis disjunkta händelser, vars union bildar hela utfallsrummet, är sannolikheten för händelsen B Pr g ( B) = Pr( A ) Pr( B ) i= 1 i A i 10

11 Bayes sats Exempel (fortsättning): En viss dag har det svenska generalindex stigit. Vad är sannolikheten för att NASDAQ:s generalindex stigit samma dag? Om A 1,, A g är g parvis disjunkta händelser vars union bildar hela utfallsrummet gäller att sannolikheten för händelsen A j givet att händelsen B inträffat är Pr ( A B) j = g Pr i= 1 ( A ) Pr( B A ) Pr j ( A ) Pr( B A ) i j i 11