Samtidighet. Föreläsning 2: Relativitetsteori fortsättning

Transkript

1 Föreläsning : Relativitetsteori ortsättning Samtidighet Samtidighet i ett system innebär inte samtidighet i ett annat med likormig rörelse relativt varandra Eempel: Per Person provkör sin nya 4 m långa spersnabba del sportbil i v 0,6 c. Kompisen vill skoja med honom och äller samtidigt ner två bommar med 4 m avstånd mellan varanda då Per precis har passerat platsen ör den örsta bommen. (Han drar däreter omedelbart pp bommarna igen) Kompisen vill inte skada bilen så han har tänkt lite: Med β 0,6 blir varvid bilen pga längdkontraktion blir 4 4/5 m 3, m lång 1 β 1 0,36 4 i kompisens system, dvs 80 cm tillgodo mellan bommarna. Per blev däremot helt vansinnig, etersom han ser bommar med avstånd 3, m mellan sig där hans 4m långa bil skall å plats. Var i ligger paradoen? Vem har el? Utgå rån två koordinatsystem S i bakkant på bilen, där 0, och S vid den örsta bommen där 0. Vid t 0 när bommarna älls är bilens bakkant då vid 0 och dess ramkant ges av r (-vt ) vilket med t 0 och 4 m reslterar i 3, m så ppenbarligen har kompisen tänkt rätt. Låt oss stdera det hela rån Pers perspektiv lite mer detaljerat. Den örsta bommen älls vid 1 0 och t 1 0. v 1 t 1 t1 0 c 1 ( 1 vt 1 ) 0 v m Den andra bommen vid 4 m älls vid t 0 c t t 0 10ns 4 c c Notera: i S systemet älls inte bommarna samtidigt. Avstånd rån bakkant på bilen till andra bommen när den älls: 5 5% marginal jämört med bilens längd, konsistent ( vt ) ( 4m 0) 5m 4 med kompisens ervation. 5A146, modern ysik, KTH

2 Tvillingparadoen Två tvillingar, Speedo och Goslo. Speedo reser iväg t i rymden med 0,500 c relativt jorden, vänder och återvänder ör att notera att Goslo har blivit 0 år äldre. Speedo själv har bara åldrats 17,3 år. Parado: relativitetsteorin säger att alla system är lika. Vem har ärdats och vem är yngst? Egentligen ingen parado. Till slt reererar vi j till Goslo s system etersom det är där de träas igen. Speedo har j vänt och bytt inertial -system (han har använt minst system). Med β år vi att 1,155. Goslo år då att på 0 år har Speedo s klocka gått 0/1, år, dvs Speedo har ärdats 8,65 år i vardera riktningen. Goslo har varje ödelsedag skickat en ljsblit. Från Speedo s klocka sett sänds ljsblitarna med 1,155 års mellanrm (t ). När Speedo ärdas bort hinner han 0,500c(1.155 år) längre bort mellan varje blit. Han ser då att det kommer en blit var 1, ,500 1,155 år 1,73 år. På 8.65 år ser han då 5 blitar. På hemvägen har blitljset kortare väg att ärdas. Speedo ser n blitar med 1,155(1-0,500) 0,577 års mellanrm. Totalt nder 8,65 år 15 blitar. Speedo noterar att Goslo har blivit 0 år äldre!! Sltsats: relativiteten gäller bara alla system som rör sig med konstant hastighet relativt varandra (i en gravitationsri rymd). ( Håll tngan rätt i mn och håll er till rätt koordinatsystem så går det bra!!) 5A146, modern ysik, KTH

3 Relativistiskt Dopplerskit Ljs i rörelse relativt obersvatören isystem S enligt igren sänder t ljs med våglängd λ. Vilken ljsrekvens mäter ervatören i system S? Om vågronter sänds t med tidsintervall T mätt i ns system kommer ljsn att ha lyttat sig v t p cosθ bort rån ervatören där t p är tiden mellan att två vågronter prodcerats i ervatörens system. Lorentztransormationen ger att tp T Den erverade tiden mellan två vågronter blir då: T (T + v/c T cos θ ) Med 1/T och Fås rekvensen T T v 1 + cosθ c v c ( v c ) ( v c) cosθ eller om θ 0 ( v c) ( v c) β β Vid θ π/ blir (rörelse mot varandra) 5A146, modern ysik, KTH

4 Dopplerskit (orts) Eempel 1: En gala på avståndet, ljsår ärdas med en hastighet v 4, m/s bort rån jorden. Vid vilken våglängd kommer vi att ervera vätelinjen (Balmer-α ) vid 656,3 nm? Lösning: när ljsn rör sig bort rån ervatören (annat tecken på v ) ås Där β v/c 0,015. Relationen mellan våglängd och rekvens λ c/ ger då att 1 β 1 + β 1 + β 1,015 λ λ 656,3nm 666,nm 1 β 0,985 Längre våglängd motsvarar mer åt det röda rödskit Eempel : Stdent örsökte övertala polis att han inte körde mot rött etersom det röda traikljset pga dopplerskit blev grönt. Med rött: 650 nm och grönt: 550 nm, vilken var has hastighet? 1 β 1 β Lösning: rörelse mot ljsn, λ c/ ger λ λ 1 + β λ 1 + β Eter lytt av termer och ppsnyggning: λ 650 β 0, λ 650 och λ ( 1 + β ) 1 β v βc km/h Det blir nog böter i alla all! 5A146, modern ysik, KTH

5 Lorentztransormation av hastigheter Härledes r transormation av d och dt som d /dt, se boken. Notera att dt beror av både d och dt, dvs v c ( v ) ( d vdt) ( dt d v c ) ( v / c ) v Även hastigheterna i y- och z-led beror av v och enligt ovan: y dy dt dy ( dt vd / c ) [ 1 ( v c )] y z z [ 1 ( v c )] I etrem allet v och << c år vi att v, galileiska transormationen Då c ås ( 1 c / v ) c v c c 1 cv c 1 c / v Inverstransormation ås genom att byta tecken på v : 1 + ( v c ) + v 5A146, modern ysik, KTH