x(t) =A cos(!t) sin(!t)

Transkript

1 Lösningsförslag. Rörelseevationen för roen ger som vanligt ẍ +! =,! = som tillsamman med begynnelsevilloren () = A, ẋ() = ger a) Så varför mavärdet av hastighetens belo är!a. q m A (t) =A cos(!t) ẋ(t) =!A r m sin(!t) b) Första gången det antas är då sin(!t) = för första gången, dvs t = /(!). m c) Vi har och alltså T ma = m! A. A T = mẋ = m! A sin (!t). Betrata den luvna fruten som sfäris ärna av radie R lus halvsfär av frutött av radie R minus halvsfäris urgröning för ärnan av radie R. Låt V vara volymen av ärnan, och låt V U vara volymen av halvsfären av frutött. Låt V u vara volymen av urgröningen. Motsvarande massor betecnar vi med m, m U res m u. Totala volymen för den luvna fruten är V + V U V u. V = 4 R, m = 4 R, r =(,, R) (ga symmetri) V u = R, m u = R = R, r u =,, R R =,, R (ga symmetri och FS) V U = (R) = R, m U = R =9 R, r U =,, R R =,, 5R (ga symmetri och FS) Alltså: = y = ga symmetri, och Saen är lar! =, y =ochz =R m = m + m U m u = 4 R +9 R R = R 4 z = R R R +9 R 5R R R = R =R

2 . a) Momentet av F med avseende å unten D är, ty D ligger å raftens verningslinje. M D = b) Momentet av F med avseende å unten B an vi räna ut genom att först flytta F längs sin verningslinje, så att den angrier i D, och därefter bilda ryssroduten r BD F = r BD F r CD r CD Här är r BD = r D r B =,, a, r CD = r D r C = a, a, a, r CD = a 7 så M B = r BD F = r BD F r CD r CD = e e y e z a/ F/ 7 F/ 7 F/ 7 = af 7 (,, ) M B = af 7 (,, ) c) Momentet av F med avseende å linjen är, ty verningslinjen sär. M = 4. Frilägg först hela systemet av stänger som i figuren till höger. Jämvitsevationerna blir: " : V A F + N B = ()! : H A + F A : MA (a N B = () a)nb af + a F = () Frilägg sedan den horisontella stången. (Vi allar dess högra ände C.) Jämvitsevationerna blir: " : V A F + V C = (4)! : H A + H C = (5) C : MA + af av A = (6) (Fortsättning följer å nästa sida.)

3 Frilägg slutligen stången BC. Jämvitsevationerna blir: " :! : N B V C = (7) N B + F H C = () C : a F an B = (9) De fem reationsrafterna H A,V A,N B,H C,V C och det enda reationsmomentet M A utgör tillsammans se obeanta. De an bestämmas t e ur de se evationerna () (6). 5. Låt I vara masströghetsmomentet, m a den angivna aeln, för cirelsivan minus den utstansade vadraten, och låt I O vara hela cirelsivans masströghetsmoment m a samma ael. Låt vidare I vara dito för en vadratis siva som motsvarar den utstansade delen. I O och I betecnar masströghetsmoment m a resetive sivas masscentrum, och deras massor betecnar vi m O resetive m. Vi använder först Steiners sats och formelsamlingen (FS ger I O ) för att beräna I O : I O = I O + m O a = 4 m Oa + m O a = 5 4 m Oa m O = a I O = 5 4 a4 FS ger oss I, och Steiners sats ger oss sedan I : Då är I = I + m a = m a + m a = m a m = a I = a4 I = I O I = 5 4 a4 a4 = 5 a 4 I = 5 a 4

4 6. Vi erinrar oss att astarabeln fås ur genom att eliminera t: y =(v sin )t y =(v sin ) (v cos ) g = tan v cos gt, =(v cos )t g (v cos ) Vidare minns vi att astvidden v är den större roten till den evation som fås genom att sätta sista ledet ovan lia med noll, dvs v = v g sin cos = v g sin( ) a) Två ar av utgångsvärden, (v, )och(v, ), har alltså samma astvidd om och endast om v sin( )=v sin( ) v sin( ) =v sin( ) b) Eftersom vi har v = v sin( ) sin( ) så letar vi efter vinlar = sådana att < < (eftersom < < /) och sin > sin 6 =sin( /). Som figuren nedan antyder så får vi att endast / < < / ufyller de raven, dvs endast i intervallet = /6 < < / = 6 duger. För dessa vinlar är alltså sin( ) sin( ) <, så att vi an välja utgångsfarten v med v = v sin( ) sin( ) <v < <6 4

5 7. a) Använd att rörelsemängdsmomentet ring den vertiala aeln är onserverat. (Inget moment m a denna ael från de yttre rafterna.) Alltså Ur FS ser vi att I on = mr. Alltså!! = b) Energin är ocså onserverad, så: dvs v = q gh! R I on! +mr! = I on! +!! = mr +mr = mr I on! + mr! = I on! + mv mgh mr + mr! = mr (! ) + mv mgh r gh v =! R (Observera att detta ocså ger ett villor för att den lilla roen alls sall unna nå till onens sets.). Vi använder energilagen å formen Här är W (i) = T + V W (i) = Z s T = ( cv)ds = Z t ( cv) ds dt dt = c Z t (v(t)) dt V = mg h = mg [ R cos ( R cos 6 )] = mg " R # + R = mgr ( ) så energilagen ger c Z t (v(t)) dt = mgr ( ) Men integralen av v är recis vad vi behöver för att unna beräna tidsmedelvärdet av den inetisa energin! Vi har: T medel = m t Z t (v(t)) dt = m mgr t c ( ) = ( )m gr 4ct T medel = ( )m gr 4ct 5