Kap.7 uppgifter ur äldre upplaga

Transkript

1 Ka.7 ugifte u älde ulaga 99: 7. Beäkna aean innanfö s.k. asteoidkuvan jj + jyj Absolutbeloen ha till e ekt att, om unkten (a; b) kuvan, så gälle detsamma (a; b) (segelsymmeti m.a.. -aeln), ( a; b) (segelsymmeti m.a.. y-aeln), ( a; b) symmetisk i oigo. Aean (aean i fösta kvadanten) ; dä abs.belo inte sela någon oll (Obs. att vi inte ha kunnat häleda någa allmänna fomle fö deivation/integation av funktione med absolutbelo, annat än D ln jj : Det som då stå till buds ä att dela u i intevall, så att funktionen kan uttyckas utan absolutbelo å va och ett av intevallen): y d d Tänk nu å följande tick att eliminea ottecknet ([PB,sid. 55 (), E.6]) f() [f() sin t; tig.ettan] Insieade häav fotsätte vi så hä: q d sin t sin t d sin t cos t dt sin t cos t dt 5 Fö den sistnämnda integalen nns en standadmetod, om än något omständlig Eules fomle [PB,sid.78 (6)]. Kotae äkninga fås genom sin t sin t cos t sin t cos t sin t cos t cos t sin t cos + cos t t ::: sin t dt + sin C t cos t dta 8 Fö den fösta integalen nns en genväg läs kommentaen till 7. sin t dt Fö den anda integalen kan man skiva u imitiv funktion diekt i och med att cos t D sin t : sin t cos t dt (sin t) 6 Nollan ä en konsekvens av att funktionen ha udda symmeti king : cos t y sin t cos t sin t cos t sin t cos t

2 99: 7. Beäkna aean mellan gafen av funktionen f () sin (ln ) ; 99: 7.9 Genom att skäa en ät cikulä cylinde med adien med ett lan genom en diamete i bottenytan få man en kilfomig ko av följande utseende: och -aeln. sin (ln ) d Fö imitiv se 5.5a ln t e t ln sin t e t dt 99: 7.6 En ak tunn tåd av längden ` ha i vaje unkt en densitet, som ä omvänt ootionell mot kvadatoten u odukten av unktens avstånd till tådens ända. Bestäm tådens massa. Lägg tåden utefte -aeln med ändana i es. `: Kalla ootionalitetsfakton c: m ()d ` c (` ) d Kvadatkomlettea uttycket unde ottecknet: Låt h den maimala höjden, d.v.s. stösta avståndet (till vänste i guen mellan det skäande lanet och bottenlanet. Beäkna koens volym. Lägg in ett koodinatsystem med oigo i bascikelns mitt, en -ael ekandes till vänste vinkelät mot eggen, en y-ael längs eggen och en z-ael uåt. Altenativ : (` ) ` ( `) (`) (`) ( `) [By ut så att konstanten bli ] (`) ` ` Nu ä vi endast ett linjät vaiabelbyte fån deivatan av acsin " # ` c ` d ` t (` ) d ` dt c (`) dt (`) t c [acsin t] c Dela in koen i tunna vetikala skivo aallellt med eggen. En skiva å avståndet fån eggen ä då ektangulä med hoisontell kantlängd ; vetikal kantlängd h (likfomiga tiangla) tjocklek d V h d h h ( ) d " # :::

3 Altenativ : Altenativ : Dela in i vetikala skivo vinkelätt mot eggen. En skiva å avståndet y fån z-lanet ä då tiangulä med bas y ; höjd (likfomighet som ovan) tjocklek dy V h h y h; y y h dy y y imlighetskontoll kan göas med dimensionsbetaktelse En volym ha dimensionen [längd] : Det ha också våt sva i föegående ugift: Både och h ha dimensionen längd, så h ha dimensionen [längd] : Hade vi fått fam, säg, V h + ; så skulle vi tagit ett djut andetag och böjat leta efte fel... Dela in i hoisontella skivo. En skiva å avståndet z fån y-lanet ä då en bit av en cikelskiva med aean (åteigen samma likfomighet fö att få unde gänsen) zh d [ sin t; [PB, sid. (8)]] t + sin t acsin(zh) [sin t sin t cos t] " acsin z # z z h h h {z } A(z) Totala volymen ä h h A (z) dz dz acsin + hd acsin d acsin d acsin d acsin + h h [ acsin ] h h i + h Som du se, ä ea olika väga möjliga, men vissa kan vaa jobbigae än anda

4 99: 7. Två cikuläa, aka cylinda med adien ha es. y-aeln som ael. Tillsammans avgänsa de en ko. Bestäm dess volym. Alt.. Cylinden med -aeln som ael bestå av de unkte (; y; z) fö vilka y + z < Analogt ges den anda cylinden av + z < Den omtalade koen bestå av de unkte som ufylle båda ekvationena samtidigt. Betakta koens snitt med lan z konstant. Alltså, med z givet; hu se mängden av unkte som ufylle båda ovannämnda ekvatione? y + z <, z < y < z + z <, z < < z 99: 7. Beäkna volymen av den otationsko, som ukomme då kuvan y + ; < otea king -aeln. y() d ( + ) d ( + ) d [atiell integation] ::: d.v.s. snittet ä en kvadat med sidan z (om < z <, tomt annas). (Det tält som ä illusteat i ugift 7. ä just hälften av det man få hä.) Volymen bli då z dz Alt.. Av cylindanas ekvatione syns att de unkte (; y; z) som tillhö båda, måste ufylla ; y : Dessa olikhete beskive en kvadat i ylanet. Av symmetiskäl bli volymen (volymen av den del fö vilken y ) Dela in detta omåde i skivo aallella med yzlanet. Dessa ä ektanguläa med tjocklek d och sidolängde es. : Det sista eftesom jzj min ; y V d : 7. Kuvan y ln + ; < kallas Huygens släkuva elle takti. Beäkna längden av den kuvdel som svaa mot Föst äkna ut deivatan: y () h Föläng med i s ds d + dy s + ln dy d d + d :::

5 99: 7. Bestäm tyngdunktens läge i en homogen halvcikelskiva med adien : Låt halvcikelskivan ha ekvationen + y < ; > Segelsymmetin i -aeln ge diekt att y T : T m T dm d 99: 7.5 Bestäm tyngdunkten fö den (homogena) ko som ukomme då kuvan otea king -aeln. y ; h y T z T.g.a. symmetin. dm T dm 99: 7.8 Kuvstycket h ( ) d h ( ) d h h h 99: 7.9 Om en lina med längden ` utsätts fö en dagkaft F; så gälle att linans fölängning ä k F `; dä k ä en mateialkonstant En homogen lina, som ha densiteten (massa e längdenhet) och längden L; hänge fitt. Beäkna linans fölängning å gund av sin egen tyngd. Tänk dig linan uhängd i oigo, med y- aeln ekandes neåt. En liten bit av linan med koodinaten y och längden dy utsätts då fö en dagkaft tyngden av den del av lina som hänge unde (L y) g och däfö fölängs stäckan ds k (L y) gdy Hela linans fölängning summan av alla småbitas fölängninga: ds L kg k (L y) gdy L (L y) kgl q y ( ) + + få otea king aeln. Beäkna volymen av den ukomna otationskoen. y d ( ) ( + ) ( + ) d atialbåksudelning 9 + ( + ) + (8 ln ln 5 ) v.e. d (6, 85) Ingema Stenmak åke nefö backen y Han åke utan att staka elle bomsa, och med fösumba fiktion och luftmotstånd. (Enda veksamma kaften antas alltså vaa tyngdkaften.) Hu lång tid behöve han fån staten i unkten med y-vädet till målet i unkten med y-vädet? Ledning: Enegibetaktelse ge mv mg ( y) (Deloäng utdelas fö ätt uställd integal.) 5

6 Tänk dig banan indelad i många kota stäcko så att ) vaje stäcka ä aoimativt ätlinjig med längden ds d + dy ; ) faten kan anses ungefä konstant å stäckan. Tiden vaje enskild stäcka ta ä då ds v ds g ( y) Totala tiden ä summan av alla deltide: ds t dt v d + dy g ( y) P.g.a. nämnaen ä det nog enklae att abeta med y som vaiabel d dy + ( dy) g ( y) y d dy y 6 y + g ( y) dy q y+ y u; y u u + dy u (u +) du u + ; u du g (u + ) Hä ä det enklae att låta bli att atialbåksudela atialintegea i stället u (u + ) u du u + u + u + du u u + + actan u + C Att stå som integationsgäns betyde att vi skall äkna ut lim g U g + u u + + actan u actan U 99: 7.58 Visa att ln n n + + n nx kn+ k ln n n + + n + Figu, som i [PB, (6)], ge nx kn+ n n k < d n+ < X kn+ Integalens väde ä ln n n+ : Addea n+ till den vänsta olikheten hä, så fås ugiftens höga olikhet. Addea n till den höga olikheten, så fås ugiftens vänsta olikhet. 99: 7.59 Beäkna gänsvädet lim nx n kn+ Såväl vänste- som högeled i 99:7.58 ln ; nä n ; så det måste göa vå summa också. Altenativt med iemannsumma: nx kn+ k nx k k k n n + k n nx + kn n + d k [ln ( + )] ln och obs. nu att actan actan actan tan : Sva: g + 6

7 (6, 86) I en satellit vas livslängd ä beäknad till å skall monteas in elektonisk utustning. Denna ovas föst unde en tid av a å (och antas fungea däefte). Sannolikheten att des åtestående livslängd övestige å ges då av uttycket a+ e (t) dt a dä (t) ä den s.k. intensitetsfunktionen. Bestäm a så att denna sannolikhet bli maimal om man vet att (t) t + t + Vi söke maimum av f (a) e a+ a (t)dt ; a < Undesök deivatans tecken: f (a)) e a+ (t)dt a d da a+ a (t) dt (, 898) Beäkna aean av den otationsyta som ukomme nä funktionskuvan otea king -aeln. y sin ; sin + cos d cos t sin d dt + t dt och se [PB, 7 (9),E.]. Sva: + ln + Låt (t) vaa en imitiv till (t) : Vi behöve faktiskt inte äkna fam (t) elicit: a+ d (t) dt da a d ( (a + ) (a)) da (a + ) (a) (a + ) (a) Alltså ha f samma tecken som ( (a) (a + )) a + a + (a + ) + a + 5 a a + 6 (a + ) (a + 5) (a + 8) (a ) (a + ) (a + 5) vaav syns att f väla tecken fån + till i a ; som alltså ge maimum. 7

8 (5, 8689) En homogen lina som ä uhängd i unktena ; e + e bilda kuvan y e + e ; Bestäm linans tyngdunkt. Tyngdunktens koodinate ges av ds T ds y ds y T ds Utnyttja att ds d + dy s + y cosh ; y sinh ; cosh sinh ; ds ds yds dy d d cosh jämn, sinh udda + sinh d cosh d [sinh ] sinh e e + sinh d ; ty integanden ä udda cosh + sinh d cosh d e + + e d e + e (6, 9) Kuvan y ; oteas king -aeln. Den yta S; som dävid ukomme, antas ha den konstanta ytdensiteten : Bestäm. ytans massa M. ytans masscentum ( t ; y T ; z t ) : Hä ges T av M T dm M och motsvaande fö öviga. y () S q y () + y () d + d sin t d sin t cos t dt 6 6 dm cos t sin t sin t cos t dt 5 cos5 t cos t sin t dt 6 5 som ovan, men fakton sin t tillkomme 6 6 cos sin sin Alltså dm cos t sin t dt cos sin sin sin cos cos 8 8 sin + sin