45 o. Mekanik mk, SG1102, Lösningar till problemtentamen, KTH Mekanik

Transkript

1 KTH Meani Meani, SG1102, Lösningar till probletentaen, Uppgift 1: Längre slag i golf påeras raftigt a luften. För ortare chippar är däreot luftotståndet försubart. En golfspelare ill slå bollen från en buner ner i hålet på en green so ligger på det horisontella astådet L från bollen och på höjden h oanför bollen. Klubban är inlad så att utgångshastigheten bildar ineln 45 ed horisontalen. Vilen fart åste bollen ha? y 45 o L h x Figur 1: Låt beloppet a begynnelsehastigheten ara. Efterso ineln ot horisontalen är 45 blir både x och y-oponenterna a begynnelsehastigheten / 2. Lösning 1: För begynnelsehastigheterna gäller x = / 2 och y = / 2. Hastigheten i x-led är onstant och i y-led gäller onstant acceleration i den negatia ritningen. Väljer i oordinatsyste så att begynnelseläget är (x(0), y(0)) = (0, 0) fås då diret för banuran, x(t) = 1 2 t, y(t) = 1 2 t 1 2 gt2. Låt tiden när bollen når hålet ara T. När x(t ) = L åste y(t ) = h. Eationerna oan ger då att L 1 2 gt 2 = h och alltså att T 2 = 2(L h)/g. Detta insatt i x(t ) = L ger att (/ 2) 2(L h)/g = L, så att i får, Sar: att farten åste ara gl = 2 L h.

2 Uppgift 2: En ula, so har assan, sjuts ed horisontell hastighet in i en träloss. Klossen har assa M och ligger på ett glatt underlag. Den är fäst i en horisontell fjäder ed styhet so initialt är ospänd. Kulan fastnar i lossen och fjädern trycs därefter ihop sträcan s innan lossen änder. (s < l där l är fjäderns naturliga längd.) Vilen fart hade ulan? M Figur 2: Figuren isar situationen innan ulan träffar och stannar i lossen. Lösning 2: Här delar an in probleet i tå delar. Den första delen är ett stötförlopp och ser under ycet ort tid när ulan träffar lossen och stannar i den. Stora rafter erar då ellan ula och loss och ineran från fjädern an försuas. När ulan är stilla inne i lossen börjar ett sängningsförlopp under ineran a fjäderna. Vid stötförloppet är rörelseängden bearad efterso de yttre rafterna inte har någon ineran. Detta ger eationen: = (M + ) för farten so loss ed ula har efter stöten. Nu börjar loss ed ula att röra sig ed och pressa ihop fjädern. Efterso fjäderraften är onserati får an att den inetisa energin helt har öergått till potentiell när lossen änder. Detta ger 1 2 (M + ) 2 = 1 2 s2, där s är fjäderns axiala saanpressning. Kobineras dessa eationer fås lätt att ursprungsfarten för ulan ar Sar: (M + ) = s.

3 Uppgift 3: En satellit rör sig i en cirelbana ring jorden ed radien 3R där R är jordradien. Beräna den insta fartöning so räs för att satelliten sall läna jordens närhet för gott. Tyngdaccelerationen g får införas. + R 3R Figur 3: Bild till Uppgift 3. Det so räs är öergång från cirelbanan till parabelbana. Lösning 3: Låt ara farten i cirelbanan. Noraloponenten a rafteationen ger då 2 3R = gr2 (3R) 2 så att = gr/3. Låt e ara den fart so tar satelliten från cirelbanan till oändligheten där farten går ot noll. Energins bearande ger då e gr2 3R = gr2 = 0. Detta ger e = 2gR/3. Den nödändiga fartöningen är alltså Sar: = e = 2 1 gr. 3

4 Uppgift 4:En ropp ed assa ligger på ett glatt horisontellt underlag och är fäst i en fjäder ed styhet. Via en lätt och lättrörlig trissa går en lina från denna ropp till en annan ropp ed assa 2 so hänger i den ertiala delen a linan. Bestä egeninelfreensen ω n för systeet under förutsättning att linan förblir spänd under rörelsen. 2 Figur 4: Systeet i Uppgift 4. Lösning 4: Lägg en x-axel år höger horisontellt och låt x = 0 sara ot den ospända fjädern. Friläggning a de tå ropparna ger då att deras rafteationer blir ẍ = x + S, 2ẍ = S + 2g. Här är S spännraften i linan och så länge den är spänd har ropparna saa rörelse (bortsett från ritning). Ur den andra a dessa eationer fås, S = 2g 2ẍ. Sätts detta in i den första får an 3ẍ + x = 2g. Det ill säga ẍ + ω 2 nx = 2g, Där alltså inelfreensen är Sar:. ω n = 3.

5 Teoritentaen Uppgift 5: Härled oponenterna för hastigheten och accelerationen i cylinderoordinater (r, θ) längs basetorerna e r, e θ. Härledning a basetorernas tidsderiator och tydlig figur sall ingå! Sar 5: Detta hittar du lätt i läroböcerna. Uppgift 6: En onis pendel är en partiel so hänger i en tråd och rör sig i en horisontell cirelbana. Partielns fart i cirelbanan är, trådens längd är l och cirelbanans radie är r. Frilägg partieln och ställ upp rafteationens oponenter längs läpliga ritningar (ds. dess rörelseeationer). S l r g Figur 5: Konis pendel sedd från sidan ed rafterna på partieln utsatta. Sar 6: Inför naturliga oponenter längs cirelbanan. Kalla spännraften i tråden S. Krafteationens noraloponent (horisontell) blir då 2 r = S sin α Där α är hala onens toppinel. Längs tangenten erar inga rafter och längs binoralen (ertiala ritningen) fås jäitseationen 0 = S cos α g. Enligt triangelns geoetri har i att sin α = r/l och cos α = l 2 r 2 /l. Uppgift 7: Bestä uttrycet för rörelseängdsoentet H = r p uttryct i cylinderoordinater id plan rörelse. Vilet saband ellan θ och r fås o rörelseängdsoentet är onstant, ed beloppet H? Sar 7: H = r 2 θez och θ = H/(r 2 ). Uppgift 8: Vila är Keplers tre lagar för planetrörelse? Härled en a de. Sar 8: Detta finns i asnitt 11.1, sid. 249 i Christer Nyberg, Meani Grundurs eller i Apazidis Kapitel 12. Den so är lättast att härleda är den o setorshastighetens onstans. Den isas på sid. 251 i Nyberg och sid 328 i Apazidis. HE

6 KTH Meani Meani, SG1102, Probletentaen , l Uppgift 1: Längre slag i golf påeras raftigt a luften. För ortare chippar är däreot luftotståndet försubart. En golfspelare ill slå bollen från en buner ner i hålet på en green so ligger på det horisontella astådet L från bollen och på höjden h oanför bollen. Klubban är inlad så att utgångshastigheten bildar ineln 45 ed horisontalen. Vilen fart åste bollen ha? y h x M L Figur 1: Till änster illustreras Uppgift 1. Till höger isas systeet i Uppgift 2. Uppgift 2: En ula, so har assan, sjuts ed horisontell hastighet in i en träloss. Klossen har assa M och ligger på ett glatt underlag. Den är fäst i en horisontell fjäder ed styhet so initialt är ospänd. Kulan fastnar i lossen och fjädern trycs därefter ihop sträcan s innan lossen änder. (s < l där l är fjäderns naturliga längd.) Vilen fart hade ulan? Uppgift 3: En satellit rör sig i en cirelbana ring jorden ed radien 3R där R är jordradien. Beräna den insta fartöning so räs för att satelliten sall läna jordens närhet för gott. Tyngdaccelerationen g får införas. + R 3R 2 Figur 2: Till änster illustreras Uppgift 3. Till höger isas systeet i Uppgift 4. Uppgift 4: En ropp ed assa ligger på ett glatt horisontellt underlag och är fäst i en fjäder ed styhet. Via en lätt och lättrörlig trissa går en lina från denna ropp till en annan ropp ed assa 2 so hänger i den ertiala delen a linan. Bestä egeninelfreensen ω n för systeet under förutsättning att linan förblir spänd under rörelsen. Sri aldrig flera uppgifter på saa papper. HE

7 Teoritentaen Uppgift 5: Härled oponenterna för hastigheten och accelerationen i cylinderoordinater (r, θ) längs basetorerna e r, e θ. Härledning a basetorernas tidsderiator och tydlig figur sall ingå! Uppgift 6: En onis pendel är en partiel so hänger i en tråd och rör sig i en horisontell cirelbana. Partielns fart i cirelbanan är, trådens längd är l och cirelbanans radie är r. Frilägg partieln och ställ upp rafteationens oponenter längs läpliga ritningar (ds. dess rörelseeationer). Uppgift 7: Bestä uttrycet för rörelseängdsoentet H = r p uttryct i cylinderoordinater id plan rörelse. Vilet saband ellan θ och r fås o rörelseängdsoentet är onstant, ed beloppet H? Uppgift 8: Vila är Keplers tre lagar för planetrörelse? Härled en a de! Proble- och teoritentaen är olia tentaensoent. Har du larat ontrollsriningar är teoridelen redan godänd. Varje uppgift ger högst 3 (tentaens)poäng. På ardera delen an an högst få 12 poäng och för godänt fordras inst 4 poäng. För att ursen sall ara lar i sin helhet åste du ocså ha fått godänt på inläningsuppgifter. Enda tillåtna hjälpedel: sri- och ritdon inlusie suddgui. HE