Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1

Transkript

1 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Här presenteras förslag på lösningar oc tips till många uppgifter i läroboken Matematik 000 kurs C Komvu som vi oppas kommer att vara till jälp när du arbetar dig framåt i kursen. Vi ar valt att inte göra lösningar till de övningar som finns i Kapiteltest, i Arbeta utan räknare oc i Blandade övningar i denna utgåva. Beöver du jälp med dessa ör du av dig till din lärare. I de fall där lösningsförslag finns i boken änvisar vi i de flesta fall till dessa lösningar. Om du inte förstår våra eller bokens resonemang oc lösningar skall du inte tveka att ta kontakt med din lärare. Samma sak om du vill diskutera din lösning eller om du tycker att din lösning är bättre. Det är är första versionen av lösningar till denna bok så det kan finnas felräkningar insmugna som vi inte ittat. Vi är tacksamma för synpunkter som jälper oss att förbättra vårt material. Med vänliga älsningar Matematiklärarna på Nationellt centrum för fleibelt lärande Kapitel. Om uppgifterna i detta kapitel känns svåra bör du kontakta din lärare. Du beöver kanske lite repetitionsmaterial från tidigare mattekurser för att bli lite varm i kläderna. 0, 0 Eempel som löses i boken. 0 p() p() 6 p() p() 6 p() p() 0 6 se facit 0 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 0 s(t) 0 t t s(6) s(t) 0 t t s(0) s(t) 0 t t s( ) 0 ( ) ( ) ( ) s(t) 0 t t s(0,) 0 0, 0, 0, 0 0, 7, 06 N(p) 000 0p N(70) Om biljetten kostar 70 kr kommer 600 åskådare. 07 y (,) är basketbollens öjd över golvet, m från utkastet. y(, 0) är basketbollens öjd över golvet,0 m från utkastet. y(,) y(,0) är alltså skillnaden i öjd över golvet när bollen rört sig från,0 m till, m från utkastet. y(,) y(,0), +,, 0,, (, +,,0 0,,0 ),, 0,,,,0 + 0,,0 0,7 08, 09 Se facit oc uppgift 07. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

2 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 0,,, Eempel som löses i boken., Ledning: Hur många y blir det? Ledning: -termer kan bara läggas iop med andra -termer, konstanttermer ( rena tal) kan bara läggas iop med andra konstanttermer. Ledning: Se -uppgiften. Ledning: t -termer kan bara läggas iop med andra t -termer, t-termer kan bara läggas iop med andra t-termer. 6 Se uppgift oc facit. 7, 8 Se uppgift 0, oc facit ( + ) 9 ( ) ( + ) Se facit ( + ) Se lösta eempel oc facit Se facit ( ) Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. ( +)( +) ( )( +) (y 6)(y 7) y 7y 6y + y y + (y +)(7y ) y y +y y +y ( +)( ) 6 (y 9)(y +9) y 8 ( )( +) () 6 (0 6y)(0 +6y) 0 (6y) 00 6y Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 6 ( +8) (y 9) y 8y +9 y 8y +8 ( +) () ( y) 0y +(y) 0y +6y 7 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

3 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 8 +( +)( ) (y +7)(y 7) +0 y 7 +0 y + ( 6) ( +6) ( +) (6 +9) (är står eg. (+6 ) ( +6)( 6) ( +7)( 7) 0 ( 9) 99 0 (a +) a (a +a + ) a a +6a + a 6a + (a +) (a +) (a (a +a + ) a a +a +0a ( +) 7( +) ( 7 ) + 7( + + ) +7 7 (y+) (y ) y +0y+ (y 0y+) y +0y+ y +0y 0y (+) (+)( ) () ( () ) ( ) ++ t(t t ) t (t )+t t 0t t ( t t )+t 6t 7t t Eempel som löses i boken. ( + ) ( ) ( 0) , ( + )( ) ( 6) (+ )( ) ( + )( ) ( 6+ ) ( 6) ,, Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 6 ( ) ( )( + ) ( +) ( +)( + + ) Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 8 V( q) 90 q T( q) 90q 800 q+ 0,q 0,q + 7q 800 9, 0 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit.,, Eempel som löses i boken. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

4 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 8 ± ± t 7 t 6 t ± 6 t 6 t 6 ( y ) 6 y ± 6 ± 8 y 8+ y 8+ ( + ) 0 sant om antingen 0 eller om + 0 dvs. ( 8) 0 antingen 0 dvs. 0 eller 8 0 dvs. 8 ( ) 0 antingen 0 eller 0 dvs. + ( + ) 0 antingen 0 eller + 0 dvs ( ) 0 Antingen 0 dvs. 0 eller 0 dvs. 8 ( Om A B så är B A dvs. ) 8 8 ( ) 0 Antingen 0 dvs. 0 eller 0 dvs. ( +)( ) 0 antingen + 0 dvs. eller 0 dvs. ( )( +) 0 antingen 0 dvs. eller + 0 dvs ± ± ± ( ) + 9 ± 9 y y y ± + ± y y t + t+ 0 t, ± 6,, ±, t t NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

5 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 8, oc Se facit oc de lösta eemplen uppgifterna. Kontakta din lärare om du beöver jälp. y y + 0 y y+ 0 y + ± ( ) ±. Eftersom talet under rottecknet är negativt så saknar ekvationen reella lösningar. 9 Se facit, lösta uppgifter oc lösta eempel. Kontakta din lärare om du beöver jälp. 0 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 0, (Mult. överallt med ) ± ( ) ± 00,den negativa roten måste man naturligtvis förkasta dvs.00 fjädrar kan produceras för 000 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit., Eempel som löses i boken Sätt t. Det medför att vi får följande ekv. t +6t 0 0 t ± (9 + 0) ± 9 ± 7 dvs. Antingen är t som betyder att eller att t 0 som betyder att 0.Detta är dock omöjligt ty ± Sätt att t, det medför att t 0t +9 0 t ± ( 9) ± 0 alltid t 9 dvs. 9 ger, t dvs. ger t ger t ± (+ 8) ± dvs. t ger t förkastas 0 med t så t t 0 t ± (+ ) ± t ger t förkastas NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

6 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 8 ( ) ( ) 0 med t så får vi t t 0 t ± ( + ) ± t 6 dvs 9 som ger t dvs förkastas 9 ( + ) 6( + ) ± (6 6) 8 ± medför att ± oc ( +) ( +) + 0 med + t så får vi t t + 0 t ± ( 6 ) ± t 9 medför att dvs., t 6 medför att dvs. 60 (kvadrering på båda sidorna ger) ( + ) (kvadrering ger) ( ) 9 med samma förfarande 0 men om man prövar den är lösningen i ursprungsekvationen så inser man att detta är en falsk rot dvs ekv. saknar lösning ( + ) (kvadrering ger) Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

7 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Subst. t medför t t+ 0 t 7 ± (9 ) 7 ±, 0 t 7+ ger, t 7, 0 ger,8,8 6 0 Subst. t medför t 6t 0 t ± (9+ ) ± 0 ± (+ 0) ±, 8 ( t 0 ger inga reella rötter) y En skärningspunkt innebär en rot. Kurvorna som är ritade är y ( ) oc y obs! ( vadsomelst) 0 alltid y Här ar vi två skärningspunkter dvs. två rötter nämligen oc 7 6 Se lösningsförslag i facit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

8 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 6, 66 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 67 Se lösningsförslag i facit. 68 Eempel som löses i boken. 69 p ( ) 0 ger ekv. + ( 9) 0 som ar lösningen antingen så är 0 (som ju är den ena roten direkt utan vidarearbete) eller så är +9 0 dvs. 9 p ( ) 0 ger ekv. ( )( + 7) 0 ger antingen 0 dvs. eller dvs Nollställen, p( ) 0, då oc då 0 Nollställen för 0 oc för 7 f( ) ( )( 7) 7 Vi söker nollställen till ± ( 6) ± 8 ger faktorn 8 ger faktorn oc eftersom den konstanta faktorn framför - termen är så får vi p ( ) ( 8)( ) Vi söker nollställen till ± ± ger faktorn ger faktorn oc eftersom den konstanta faktorn framför - termen är så får vi g ( ) ( )( ) 7 y-aeln skärs då 0 som insatt ger p (0+)(0+) 0 dvs i punkten (0; 0) -aeln skärs då p 0 som insatt ger ekv, ( + )( + ) 0 vilken ar rötterna oc dvs i punkterna ( ; 0) oc ( ; 0) 0 ger p 6(0 )(0 9) 08 dvs skär y-aeln i (0; 08) p 0 ger 6( )( 9) vilken ar rötterna oc 9 dvs skär -aeln i punkterna (; 0) oc (9; 0) ± ( + ) ± motsvarar faktorn motsvarar faktorn 7 + Konstanta faktorn 7 är dock kvar i funktionen 7 även om den delas bort vid ekvationslösningen. Detta ger ( ) 7( )( + ) 7 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

9 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 7 z + z+ 0 z 0 z ± ( + ) ± z motsvarar faktorn z z motsvarar faktorn z + Konstanta faktorn är dock kvar i funktionen även om den delas bort vid ekvationslösningen. Detta ger p ( ) ( z )( z+ ) 7 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 76 p ( ) 9 ( 9) ( + )( ) (konjugatregeln) f( t) t t (t t+ ) (t+ ) (kvdreringsreg.) 77 Givet : p() k( +)( ), pga. nollställen där k är en konstat som återstår att bestämma. Men p(0) 8 medför att k(0+)(0 ) 8 dvs 6k 8 vilket ger k oc vi får p() ( +)( ) 78 f( ) ( + 0)( 0) eller g( ) ( 0)( + 0) 79 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 80 Se lösningsförslag i facit. 8 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. Kapitel. 0, 0, 0 Eempel som löses i boken. 0 Nämnaren 0 då 9 0 dvs då 9 Bråkuttryck är inte definierade om nämnaren 0 som den ju är är för 9 0 För z + 0 dvs då z 7 För z 7 06 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 07 Då +8 0 dvs för + 8 är alltid 0 : ja till oc med 8 varför uttrycket är definierade för alla Då z 0 dvs för z ± Då t 0 dvs för t ± NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

10 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 08 u ( ) 7+ medför att u () 7 + u( ) medför att ( ) u f( ) medför att f () 9 7y + 9 g( y) medför att g() y 0 G ( ) G() medför att G (0) 0 00 G ( ) medför att 0 00 G (0) 0 0 R( ) + 8 medför att R () R ( ) medför att R() 0, G() G() G() G() u 8 värde saknas ty nämnaren 0 ( ) + 7 u u värde saknas Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 800, , , , st. 6 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

11 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel G(00) G(00) + + 0, 00 0, Dvs den minskar med kr per enet. 8, 9 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 0,,, Eempel som löses i boken. Se facit 6 z z t t a a 8 b b 7 y y 7 a b a b y y 8 ( + ) + ( + ) + 9, 0 Se lösningsförslag i facit. a + ( a+ )( a ) a aa ( + ) a ( a+ )( a ) a kan ej förkortas ty täljaren kan inte faktoriseras b b ( b b a, Se facit y y 7 70 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

12 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 6 y y 6 y 8y 6y 8y y 6y y 6y 8y y y 8y 7 y 8y 8y 6, 7 Eempel som löses i boken. 8 ( + )( ) + ( + ) + + ( + )( ) ( + ) ( ) 9 ( + )( ) + ( ) ( + )( ) ( + ) ( + )( ) + ( ) 8( ) ( ) 0 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. ( + / ) ( / ) 6 y ( ) 8 9y y ( + ) + y Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. Se lösningsförslag i facit. Eempel som löses i boken. ( ) + ( ) 6 ( 8) 8 ( a+ )( a ) ( a + ) a ( 7) ( 7) ( y ) ( y+ )( y ) y+ NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

13 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 7 ( ) ( ) ( ) ( )( y ) y ( ) ( ) ( b b a ( ) ( )( 97q) 97q ( ) 8 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 9, 0 Se lösningsförslag i facit., Eempel som löses i boken Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. Mult. överallt med 6 ger + z z z y y 6 y 0 Mult. överallt med t ger + t t t 0 t 0 6 Mult med överallt oc förkorta. Det ger (y ) (9 y) 0 9y 6 + 8y 0 7y y ( ) (9 y ) y 7 Mult. med överallt ger ( s ) + (s 7) (s ) 0 s + 6s 8s+ 0 s ( s ) + ( s 7) ( s ) s + 6 s 8 s + s 8 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

14 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Mult. överallt med ± ± 80 ( ) Antingen tillverkas det 80 eller 00 eneter 60 Se lösningsförslag i facit. 6 Eempel som löses i boken. 6 6 (mult. med överallt) Ingen nämnare får vara 0 så om vi i denna uppgift får resultatet 0 så måste detta svar förkastas ± ( + ) ± 6 Förutsättning: får inte vara ± ( + ) ± Mult överallt med oc förkorta (även är måste 0). I just det är fallet med ett bråkuttryck på varje sida så kallar man det också för korsvis multiplikation. ( 9) ( + ) 0 6 ± (6 + ) 6 ± , 0,8, 0 0 ( + 0, ) 60, + 0 0, ± (906,0 ) 0,± 9,9 60 0, NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

15 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Här kan man naturligtvis göra som i tidigare uppgifter dvs multiplicera. överallt med + oc förkorta men istället gör vi nu såär ( ) ( +) (Korsvis mult ty ) 6 t + + t t t t ( t ) vilket aldrig är sant dvs ekv saknar lösning Att förkortningen till är ok beror på förutsättningen t z 8 + z+ 6 z+ 6 z 8 z + 6 z 8 (z +6) z 8 z 6 z z s s s s s 6 som aldrig är sant dvs ekv saknar lösning 6 6 +, y 0 y y y + y 6 0 y ± + ± y y y 0, y 0 y y yy ( ) 0 y y y ± + ± y y 6, 66, 67 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 68, 69 Eempel som löses i boken a 6 a 6 7 z z z 9z 0 76 y y y y NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

16 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel a 6 a a a z z 7 y 6 y ( + y ) 6 ( + y) ab ab a b c c 6c ( a+ ( a+ ( a+ 7 a b 8 ba y y y y 6 ( a+ ) 0 a aa ( + ) ( 7) 6 ( 7) 76 ( + ) y y b ab a a y y a b b a 78 ( ) a b b b b b ( a+ ( a a+ b a+b ( ) y y y y ( + )( ) ( + ) + ( a ) a a a ( a+ )( a ) a+ a+ y ( y)( y) ( y)( y)( y) ( y) y y ( y) ( + y) ( y) NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

17 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 79 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 80, 8 Se lösningsförslag i facit. Kapitel. 0, 0 Eempel som löses i boken. 0 0 f () 6. f (0) 6. 0 f ( ) 6. ( ) f ( 6a g () +. 0 g (0) g ( ) ( ) +. ( ) g ( b + b 0 f (a + ). (a + ) a + a + f (a + ). (a + ) a + 06 g (a ) (a ) a a + a a + g (a + ) (a + ) a + a + a + a + 07 f ( ) ( ) + f ( ) ( ) + 08 f (0) f () + f ( + ) ( + ) ( + ) f( + ) ( + ) ( + ) Se lösningsförslag i facit. 0 f ( ) ( ) f ( ) ( ) ( f ) ( ) ( ) 9 f( /) ( /) / Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 8 9 ± 9 ± Då så är funktionsvärdet (y-värdet) 0 För 0 oc så är y-värdet Då 6 är f () För oc samt så är y-värdet NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00,

18 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. f (a + (a + a + b f ( + f ( a + b a + b 0 f ( f ( (a ) (. a ) 6a 6a + 0 (f () f (a ) (a ) (a ) a 0a + a + a 0a +0 6 Se lösningsförslag i facit. 7 ( ) () ( ) ( ) ( ) f + f ( + 7) f( + ) f( ) ( ) ( ) ( + ) ( + + ) + + f ( ) ( ) f ( ) ( ) ( + ) 8+ 7 f ( ) ( ) f( + ) f( ) + ( ) ( + + ) ( ) + ( ) 9 Se facit 0 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit.,, Se lösningsförslag i facit. Eempel som löses i boken. ( ) + k ( ) + 6 k ( ) k 0 7 Nämnaren 0 medför att k-värde saknas NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

19 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 6 y ( ) ( ) y+ ( ) y ( ) ( ) y+ ( ) 7, 8 Se facit 9, 0,, Se bokens ledning. Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. Eempel som löses i boken. y ( +) + medför att y för 0 oc för dvs symmetrilinjen är mitt emellan, y 0( ) + ger y ( 6) + dvs min för y ( 8) + dvs ma för ± (9 ) ± dvs i punkterna (; 0) oc (; 0) ± ( ) ± dvs i punkterna (7; 0) oc (; 0) ± ( + ) ± ± ( + ) ± dvs i punkterna (; 0) oc ( ; 0) dvs i punkterna (; 0) oc ( ; 0) 8 Symmetrilinje ger y 6. + minpunkten är (; ) Symmetrilinje ger y ( ) 6( ) mapunkten är ( ; ) Symmetrilinje ger y ( ) + 0( ) + minpunkten är ( ; ) Symmetrilinje ger y mapunkten är (; 0) 9, 0 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

20 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Kapitel. 0, 0 Eempel som löses i boken Se facit , 8 0,, 0 6 0, ( ) ( ) i( ) ( ) ( ) i( ) ( ) ( ) i ( 7) i 9 8 y 6 i i y ( ) Se bokens ledning. ( ) ( ) a + NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

21 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel a a a a ( a ) a a a n a n + a n a n ( a n + ) Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit Med detär menar vi att vanlig division oc div. med potenslagen ska stämma överens n E. med vanlig div. så är ty täljare oc nämnare lika stora n n n n 0 Med potenslagen så är n 7, 8 Se lösningsförslag i facit. 9 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 0 Se lösningsförslag i facit. 0 0 vilket betyder att eftersom svaret blev det andra talet + ( ) 0 som ju är lika med enl. Men då måste oc för att vanlig division ska stämma,, Eempel som löses i boken ,0 0, ,008 0, NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

22 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel ( ) ( ) 7 9 ( ) ( ) ( ) 8 ( 8) ( ) ( 7 ), Se facit Se bokens ledning. 7 7 ( ) 7,9 ( ) ± ± där den pos. roten är, ( ),,,, ( ) 00 ± 00 ± 00 där den pos. roten är 0 00, ± 8 8 ± 8 som ger svaret, , 0, 0, 0,8 8 8,0,7,7,7, NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

23 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 6 Inverterade värdet till är 7 7 Inverterade värdet till 0, 0, är 0, ,9,9 9, 9, 6,,,, 6,7 6,7,6 6,7,, 6, 6, , , 0, 0, 0, 6 6 0,0 0, 6 6 0, 0 m 0 men 0, dvs 0, m, 0 m 0, 0π 0 π m 0π m m Se lösningsförslag i facit NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

24 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Se lösningsförslag i facit. ( ) ( ) ty om AB så är BA ( ) ( ) 8 8 ( ) + ± ± då det nu frågas efter den positiva lösningen så blir den + 8 0,09 6 7, 0, 0, dvs skärningspunkt : (,;,0) 8 a a + a ( +) n a a S a S S B B 00 B a S n S n a B B n n 9, 0 Se lösningsförslag i facit., Eempel som löses i boken. y 7, 0, 0, ,9 0,9 7,9 7, L L 0,06 denna förändringsfaktor innebär att den årliga ökningen varit ca.,6% NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

25 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Se bokens ledning. 6 K K där är förändringsfaktorn oc K kronans köpkraft 0,9, avvikelsen från,00 innebär en årlig minskning med ca. % 7 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit ,6,6,08 där är ändringsfaktorn varför den årliga räntan blir ca. 8% ,6 9 9 en minskning med ca. 6% 60 6 s där s är sidan i cm π r s 6,08 cm där r är klotets radie i cm r r,7,77 π π a 0,9 a a y y 0 y c 0,0 A c c 0 6 P(0) 0, 0768(80 0),8 0, 0768(0),8 88poäng ( ), , 0768(80 t) 80 t 0, 0768,8 000,8, t t ,0768 0,0768 sekunder 6 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit ,07 dvs. påståendet stämmer då ju räntan är är ca.,7% 8 6 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 66 y 8,9 0,8 st 0,8 0,8 0, ,9 00 8,9 8,9 06 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

26 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel dvs arean bör överstiga 000 km Se facit 67 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. Kapitel. 0, 0, 0, 0 Eempel som löses i boken , 07 Se facit lg 0 0 lg 0, 699 lg 0 0 lg, lg lg 000, 699 lg0,0 0, lg 0, 0,7 09 lg 0, lg0 lg0 lg 0,00 lg0 lg0 0, Se facit Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit.,,, Eempel som löses i boken. 6 Se facit 7 8 lg8 8 lg lg8 lg lg8 lg lg lg lg lg lg lg 0 lg lg 0 lg lg lg lg lg lg lg 6 + lg lg lg 6 0 ( ) NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

27 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 9.08,08 lg,08 lg lg lg, 08 lg 0, 0 lg, ,6 8 0,6 lg 0,6 lg 9 lg, 79 lg 0, lg lg 0 lg 0 lg lg 0, lg lg ,6 lg 0, lg,6 67 0,6 lg 0, 0,6 0,6 0,6 67 0, 0 0, lg 0, lg 0 Se facit lg lg + lg lg lg + lg ( ) lg lg 9 + lg 8 lg lg lg lg 0 lg lg 0 lg0 0 lg lg 0 lg0 lg lg 0, 0 000, Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit.,0 0 0,0 0,0 (div. tillåten ty.0 0 för alla ),0 0,0,0,0 lg lg lg,0,0 lg lg,0,0 lg,0 Se bokens ledning. 6, 7 Se lösningsförslag i facit. 8 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

28 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 9, 0 Eempel som löses i boken., Se facit,, Se lösningsförslag i facit. 6 Se facit 7 Se lösningsförslag i facit. 8, 9 Eempel som löses i boken. 0,,, Se facit,, 6 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 7 Se lösningsförslag i facit. 8 Eempel som löses i boken. 9 Se lösningsförslag i facit. 0 t N N0 a där N0 är mängden från början oc N är mängden efter tiden t, a är förändringsfaktorn Halveringstiden 8,0 dygn medför att 8,0 8,0 0.N0 8,0 8 0,N0 N 0a a a 0, a 0, N 0 0, 0N0 N 0 0, 0, 0, 0 t t 8 ( ) 6 8 lg0, lg0,0 lg0, lg0 t dygn 8 lg0, lg0, mao nu vet vi förändringsfaktorn varför ( ) 8 8 a 0, 0, 0, a 0, (se uppg. ovan) t t 0, 0, t 0, 0,0 lg 0, lg 0,0 ilg 0, Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 0, t 60, t 00 år lg 0, t,8,8,8 0 0 a a 0, a 0,,8 p () 0 0, 67 Pa p 0 0,,8,8 0 0,,8 0,,8 lg 0, lg ,8 lg 0 0 lg 0, lg, 7 km,8 0 lg 0, NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

29 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. Pga alveringstiden så blir förändringsfaktorn 0,7 0 0, då får vi ekv. t t 0 0,7 0, , lg 0, lg ,7 0 lg t lg 0, lg t,9 0 0, lg 0, 9 år, 6 Se lösningsförslag i facit. 7, 8 Se bokens ledning. 9 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 60, 6 Se lösningsförslag i facit. 6 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 6 Se lösningsförslag i facit. 6 Punkterna är (; ) oc (0; ) varav den senare punkten medför att m då ar vi att y k+ givet oc med (; )instoppat för (; y) så får vi k. + dvs k som ger y + 6 Nollställena avläser vi till oc :e punkten (0; ) insatt för (; y) så får vi + som medför att y k( )( ) ( )( ) ( )( ) k 0+ 0 k k y + + med den 66 Se lösningsförslag i facit. 67 Vi avläser punkterna till (; ) oc (; ) som ger k Vi vet då att y +m som med någon av dom två givna punkterna insatt säg te e (; ) m m + som ger svaret 9 y +. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

30 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 68 Kurvan följer regeln y C a. Vi avläser punkterna till (; 00) oc (; 0) som ger ekvationssystemet C a C a 00 () 0 () 00 från () så får vi att C a 00 0 som i () ger 0 a a a 0, a 0, a 00 som återinsatt i () ger C 0, 00 C 00 y 00 0, 69 Se lösningsförslag i facit. 70 Andragradskurvan tangerar i punkten (0 ;) dvs ar ett dubbelt nollställe där Då vet vi att ( ) y C C 0 C y Se lösningsförslag i facit. med punkten (0; ) insatt där så kan vi bestämma C ( ) ( ) NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00