Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1"

Transkript

1 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Här presenteras förslag på lösningar oc tips till många uppgifter i läroboken Matematik 000 kurs C Komvu som vi oppas kommer att vara till jälp när du arbetar dig framåt i kursen. Vi ar valt att inte göra lösningar till de övningar som finns i Kapiteltest, i Arbeta utan räknare oc i Blandade övningar i denna utgåva. Beöver du jälp med dessa ör du av dig till din lärare. I de fall där lösningsförslag finns i boken änvisar vi i de flesta fall till dessa lösningar. Om du inte förstår våra eller bokens resonemang oc lösningar skall du inte tveka att ta kontakt med din lärare. Samma sak om du vill diskutera din lösning eller om du tycker att din lösning är bättre. Det är är första versionen av lösningar till denna bok så det kan finnas felräkningar insmugna som vi inte ittat. Vi är tacksamma för synpunkter som jälper oss att förbättra vårt material. Med vänliga älsningar Matematiklärarna på Nationellt centrum för fleibelt lärande Kapitel. Om uppgifterna i detta kapitel känns svåra bör du kontakta din lärare. Du beöver kanske lite repetitionsmaterial från tidigare mattekurser för att bli lite varm i kläderna. 0, 0 Eempel som löses i boken. 0 p() p() 6 p() p() 6 p() p() 0 6 se facit 0 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 0 s(t) 0 t t s(6) s(t) 0 t t s(0) s(t) 0 t t s( ) 0 ( ) ( ) ( ) s(t) 0 t t s(0,) 0 0, 0, 0, 0 0, 7, 06 N(p) 000 0p N(70) Om biljetten kostar 70 kr kommer 600 åskådare. 07 y (,) är basketbollens öjd över golvet, m från utkastet. y(, 0) är basketbollens öjd över golvet,0 m från utkastet. y(,) y(,0) är alltså skillnaden i öjd över golvet när bollen rört sig från,0 m till, m från utkastet. y(,) y(,0), +,, 0,, (, +,,0 0,,0 ),, 0,,,,0 + 0,,0 0,7 08, 09 Se facit oc uppgift 07. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

2 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 0,,, Eempel som löses i boken., Ledning: Hur många y blir det? Ledning: -termer kan bara läggas iop med andra -termer, konstanttermer ( rena tal) kan bara läggas iop med andra konstanttermer. Ledning: Se -uppgiften. Ledning: t -termer kan bara läggas iop med andra t -termer, t-termer kan bara läggas iop med andra t-termer. 6 Se uppgift oc facit. 7, 8 Se uppgift 0, oc facit ( + ) 9 ( ) ( + ) Se facit ( + ) Se lösta eempel oc facit Se facit ( ) Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. ( +)( +) ( )( +) (y 6)(y 7) y 7y 6y + y y + (y +)(7y ) y y +y y +y ( +)( ) 6 (y 9)(y +9) y 8 ( )( +) () 6 (0 6y)(0 +6y) 0 (6y) 00 6y Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 6 ( +8) (y 9) y 8y +9 y 8y +8 ( +) () ( y) 0y +(y) 0y +6y 7 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

3 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 8 +( +)( ) (y +7)(y 7) +0 y 7 +0 y + ( 6) ( +6) ( +) (6 +9) (är står eg. (+6 ) ( +6)( 6) ( +7)( 7) 0 ( 9) 99 0 (a +) a (a +a + ) a a +6a + a 6a + (a +) (a +) (a (a +a + ) a a +a +0a ( +) 7( +) ( 7 ) + 7( + + ) +7 7 (y+) (y ) y +0y+ (y 0y+) y +0y+ y +0y 0y (+) (+)( ) () ( () ) ( ) ++ t(t t ) t (t )+t t 0t t ( t t )+t 6t 7t t Eempel som löses i boken. ( + ) ( ) ( 0) , ( + )( ) ( 6) (+ )( ) ( + )( ) ( 6+ ) ( 6) ,, Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 6 ( ) ( )( + ) ( +) ( +)( + + ) Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 8 V( q) 90 q T( q) 90q 800 q+ 0,q 0,q + 7q 800 9, 0 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit.,, Eempel som löses i boken. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

4 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 8 ± ± t 7 t 6 t ± 6 t 6 t 6 ( y ) 6 y ± 6 ± 8 y 8+ y 8+ ( + ) 0 sant om antingen 0 eller om + 0 dvs. ( 8) 0 antingen 0 dvs. 0 eller 8 0 dvs. 8 ( ) 0 antingen 0 eller 0 dvs. + ( + ) 0 antingen 0 eller + 0 dvs ( ) 0 Antingen 0 dvs. 0 eller 0 dvs. 8 ( Om A B så är B A dvs. ) 8 8 ( ) 0 Antingen 0 dvs. 0 eller 0 dvs. ( +)( ) 0 antingen + 0 dvs. eller 0 dvs. ( )( +) 0 antingen 0 dvs. eller + 0 dvs ± ± ± ( ) + 9 ± 9 y y y ± + ± y y t + t+ 0 t, ± 6,, ±, t t NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

5 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 8, oc Se facit oc de lösta eemplen uppgifterna. Kontakta din lärare om du beöver jälp. y y + 0 y y+ 0 y + ± ( ) ±. Eftersom talet under rottecknet är negativt så saknar ekvationen reella lösningar. 9 Se facit, lösta uppgifter oc lösta eempel. Kontakta din lärare om du beöver jälp. 0 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 0, (Mult. överallt med ) ± ( ) ± 00,den negativa roten måste man naturligtvis förkasta dvs.00 fjädrar kan produceras för 000 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit., Eempel som löses i boken Sätt t. Det medför att vi får följande ekv. t +6t 0 0 t ± (9 + 0) ± 9 ± 7 dvs. Antingen är t som betyder att eller att t 0 som betyder att 0.Detta är dock omöjligt ty ± Sätt att t, det medför att t 0t +9 0 t ± ( 9) ± 0 alltid t 9 dvs. 9 ger, t dvs. ger t ger t ± (+ 8) ± dvs. t ger t förkastas 0 med t så t t 0 t ± (+ ) ± t ger t förkastas NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

6 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 8 ( ) ( ) 0 med t så får vi t t 0 t ± ( + ) ± t 6 dvs 9 som ger t dvs förkastas 9 ( + ) 6( + ) ± (6 6) 8 ± medför att ± oc ( +) ( +) + 0 med + t så får vi t t + 0 t ± ( 6 ) ± t 9 medför att dvs., t 6 medför att dvs. 60 (kvadrering på båda sidorna ger) ( + ) (kvadrering ger) ( ) 9 med samma förfarande 0 men om man prövar den är lösningen i ursprungsekvationen så inser man att detta är en falsk rot dvs ekv. saknar lösning ( + ) (kvadrering ger) Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

7 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Subst. t medför t t+ 0 t 7 ± (9 ) 7 ±, 0 t 7+ ger, t 7, 0 ger,8,8 6 0 Subst. t medför t 6t 0 t ± (9+ ) ± 0 ± (+ 0) ±, 8 ( t 0 ger inga reella rötter) y En skärningspunkt innebär en rot. Kurvorna som är ritade är y ( ) oc y obs! ( vadsomelst) 0 alltid y Här ar vi två skärningspunkter dvs. två rötter nämligen oc 7 6 Se lösningsförslag i facit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

8 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 6, 66 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 67 Se lösningsförslag i facit. 68 Eempel som löses i boken. 69 p ( ) 0 ger ekv. + ( 9) 0 som ar lösningen antingen så är 0 (som ju är den ena roten direkt utan vidarearbete) eller så är +9 0 dvs. 9 p ( ) 0 ger ekv. ( )( + 7) 0 ger antingen 0 dvs. eller dvs Nollställen, p( ) 0, då oc då 0 Nollställen för 0 oc för 7 f( ) ( )( 7) 7 Vi söker nollställen till ± ( 6) ± 8 ger faktorn 8 ger faktorn oc eftersom den konstanta faktorn framför - termen är så får vi p ( ) ( 8)( ) Vi söker nollställen till ± ± ger faktorn ger faktorn oc eftersom den konstanta faktorn framför - termen är så får vi g ( ) ( )( ) 7 y-aeln skärs då 0 som insatt ger p (0+)(0+) 0 dvs i punkten (0; 0) -aeln skärs då p 0 som insatt ger ekv, ( + )( + ) 0 vilken ar rötterna oc dvs i punkterna ( ; 0) oc ( ; 0) 0 ger p 6(0 )(0 9) 08 dvs skär y-aeln i (0; 08) p 0 ger 6( )( 9) vilken ar rötterna oc 9 dvs skär -aeln i punkterna (; 0) oc (9; 0) ± ( + ) ± motsvarar faktorn motsvarar faktorn 7 + Konstanta faktorn 7 är dock kvar i funktionen 7 även om den delas bort vid ekvationslösningen. Detta ger ( ) 7( )( + ) 7 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

9 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 7 z + z+ 0 z 0 z ± ( + ) ± z motsvarar faktorn z z motsvarar faktorn z + Konstanta faktorn är dock kvar i funktionen även om den delas bort vid ekvationslösningen. Detta ger p ( ) ( z )( z+ ) 7 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 76 p ( ) 9 ( 9) ( + )( ) (konjugatregeln) f( t) t t (t t+ ) (t+ ) (kvdreringsreg.) 77 Givet : p() k( +)( ), pga. nollställen där k är en konstat som återstår att bestämma. Men p(0) 8 medför att k(0+)(0 ) 8 dvs 6k 8 vilket ger k oc vi får p() ( +)( ) 78 f( ) ( + 0)( 0) eller g( ) ( 0)( + 0) 79 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 80 Se lösningsförslag i facit. 8 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. Kapitel. 0, 0, 0 Eempel som löses i boken. 0 Nämnaren 0 då 9 0 dvs då 9 Bråkuttryck är inte definierade om nämnaren 0 som den ju är är för 9 0 För z + 0 dvs då z 7 För z 7 06 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 07 Då +8 0 dvs för + 8 är alltid 0 : ja till oc med 8 varför uttrycket är definierade för alla Då z 0 dvs för z ± Då t 0 dvs för t ± NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

10 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 08 u ( ) 7+ medför att u () 7 + u( ) medför att ( ) u f( ) medför att f () 9 7y + 9 g( y) medför att g() y 0 G ( ) G() medför att G (0) 0 00 G ( ) medför att 0 00 G (0) 0 0 R( ) + 8 medför att R () R ( ) medför att R() 0, G() G() G() G() u 8 värde saknas ty nämnaren 0 ( ) + 7 u u värde saknas Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 800, , , , st. 6 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

11 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel G(00) G(00) + + 0, 00 0, Dvs den minskar med kr per enet. 8, 9 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 0,,, Eempel som löses i boken. Se facit 6 z z t t a a 8 b b 7 y y 7 a b a b y y 8 ( + ) + ( + ) + 9, 0 Se lösningsförslag i facit. a + ( a+ )( a ) a aa ( + ) a ( a+ )( a ) a kan ej förkortas ty täljaren kan inte faktoriseras b b ( b b a, Se facit y y 7 70 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

12 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 6 y y 6 y 8y 6y 8y y 6y y 6y 8y y y 8y 7 y 8y 8y 6, 7 Eempel som löses i boken. 8 ( + )( ) + ( + ) + + ( + )( ) ( + ) ( ) 9 ( + )( ) + ( ) ( + )( ) ( + ) ( + )( ) + ( ) 8( ) ( ) 0 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. ( + / ) ( / ) 6 y ( ) 8 9y y ( + ) + y Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. Se lösningsförslag i facit. Eempel som löses i boken. ( ) + ( ) 6 ( 8) 8 ( a+ )( a ) ( a + ) a ( 7) ( 7) ( y ) ( y+ )( y ) y+ NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

13 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 7 ( ) ( ) ( ) ( )( y ) y ( ) ( ) ( b b a ( ) ( )( 97q) 97q ( ) 8 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 9, 0 Se lösningsförslag i facit., Eempel som löses i boken Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. Mult. överallt med 6 ger + z z z y y 6 y 0 Mult. överallt med t ger + t t t 0 t 0 6 Mult med överallt oc förkorta. Det ger (y ) (9 y) 0 9y 6 + 8y 0 7y y ( ) (9 y ) y 7 Mult. med överallt ger ( s ) + (s 7) (s ) 0 s + 6s 8s+ 0 s ( s ) + ( s 7) ( s ) s + 6 s 8 s + s 8 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

14 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Mult. överallt med ± ± 80 ( ) Antingen tillverkas det 80 eller 00 eneter 60 Se lösningsförslag i facit. 6 Eempel som löses i boken. 6 6 (mult. med överallt) Ingen nämnare får vara 0 så om vi i denna uppgift får resultatet 0 så måste detta svar förkastas ± ( + ) ± 6 Förutsättning: får inte vara ± ( + ) ± Mult överallt med oc förkorta (även är måste 0). I just det är fallet med ett bråkuttryck på varje sida så kallar man det också för korsvis multiplikation. ( 9) ( + ) 0 6 ± (6 + ) 6 ± , 0,8, 0 0 ( + 0, ) 60, + 0 0, ± (906,0 ) 0,± 9,9 60 0, NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

15 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Här kan man naturligtvis göra som i tidigare uppgifter dvs multiplicera. överallt med + oc förkorta men istället gör vi nu såär ( ) ( +) (Korsvis mult ty ) 6 t + + t t t t ( t ) vilket aldrig är sant dvs ekv saknar lösning Att förkortningen till är ok beror på förutsättningen t z 8 + z+ 6 z+ 6 z 8 z + 6 z 8 (z +6) z 8 z 6 z z s s s s s 6 som aldrig är sant dvs ekv saknar lösning 6 6 +, y 0 y y y + y 6 0 y ± + ± y y y 0, y 0 y y yy ( ) 0 y y y ± + ± y y 6, 66, 67 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 68, 69 Eempel som löses i boken a 6 a 6 7 z z z 9z 0 76 y y y y NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

16 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel a 6 a a a z z 7 y 6 y ( + y ) 6 ( + y) ab ab a b c c 6c ( a+ ( a+ ( a+ 7 a b 8 ba y y y y 6 ( a+ ) 0 a aa ( + ) ( 7) 6 ( 7) 76 ( + ) y y b ab a a y y a b b a 78 ( ) a b b b b b ( a+ ( a a+ b a+b ( ) y y y y ( + )( ) ( + ) + ( a ) a a a ( a+ )( a ) a+ a+ y ( y)( y) ( y)( y)( y) ( y) y y ( y) ( + y) ( y) NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

17 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 79 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 80, 8 Se lösningsförslag i facit. Kapitel. 0, 0 Eempel som löses i boken. 0 0 f () 6. f (0) 6. 0 f ( ) 6. ( ) f ( 6a g () +. 0 g (0) g ( ) ( ) +. ( ) g ( b + b 0 f (a + ). (a + ) a + a + f (a + ). (a + ) a + 06 g (a ) (a ) a a + a a + g (a + ) (a + ) a + a + a + a + 07 f ( ) ( ) + f ( ) ( ) + 08 f (0) f () + f ( + ) ( + ) ( + ) f( + ) ( + ) ( + ) Se lösningsförslag i facit. 0 f ( ) ( ) f ( ) ( ) ( f ) ( ) ( ) 9 f( /) ( /) / Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 8 9 ± 9 ± Då så är funktionsvärdet (y-värdet) 0 För 0 oc så är y-värdet Då 6 är f () För oc samt så är y-värdet NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00,

18 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. f (a + (a + a + b f ( + f ( a + b a + b 0 f ( f ( (a ) (. a ) 6a 6a + 0 (f () f (a ) (a ) (a ) a 0a + a + a 0a +0 6 Se lösningsförslag i facit. 7 ( ) () ( ) ( ) ( ) f + f ( + 7) f( + ) f( ) ( ) ( ) ( + ) ( + + ) + + f ( ) ( ) f ( ) ( ) ( + ) 8+ 7 f ( ) ( ) f( + ) f( ) + ( ) ( + + ) ( ) + ( ) 9 Se facit 0 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit.,, Se lösningsförslag i facit. Eempel som löses i boken. ( ) + k ( ) + 6 k ( ) k 0 7 Nämnaren 0 medför att k-värde saknas NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

19 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 6 y ( ) ( ) y+ ( ) y ( ) ( ) y+ ( ) 7, 8 Se facit 9, 0,, Se bokens ledning. Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. Eempel som löses i boken. y ( +) + medför att y för 0 oc för dvs symmetrilinjen är mitt emellan, y 0( ) + ger y ( 6) + dvs min för y ( 8) + dvs ma för ± (9 ) ± dvs i punkterna (; 0) oc (; 0) ± ( ) ± dvs i punkterna (7; 0) oc (; 0) ± ( + ) ± ± ( + ) ± dvs i punkterna (; 0) oc ( ; 0) dvs i punkterna (; 0) oc ( ; 0) 8 Symmetrilinje ger y 6. + minpunkten är (; ) Symmetrilinje ger y ( ) 6( ) mapunkten är ( ; ) Symmetrilinje ger y ( ) + 0( ) + minpunkten är ( ; ) Symmetrilinje ger y mapunkten är (; 0) 9, 0 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

20 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Kapitel. 0, 0 Eempel som löses i boken Se facit , 8 0,, 0 6 0, ( ) ( ) i( ) ( ) ( ) i( ) ( ) ( ) i ( 7) i 9 8 y 6 i i y ( ) Se bokens ledning. ( ) ( ) a + NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

21 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel a a a a ( a ) a a a n a n + a n a n ( a n + ) Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit Med detär menar vi att vanlig division oc div. med potenslagen ska stämma överens n E. med vanlig div. så är ty täljare oc nämnare lika stora n n n n 0 Med potenslagen så är n 7, 8 Se lösningsförslag i facit. 9 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 0 Se lösningsförslag i facit. 0 0 vilket betyder att eftersom svaret blev det andra talet + ( ) 0 som ju är lika med enl. Men då måste oc för att vanlig division ska stämma,, Eempel som löses i boken ,0 0, ,008 0, NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

22 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel ( ) ( ) 7 9 ( ) ( ) ( ) 8 ( 8) ( ) ( 7 ), Se facit Se bokens ledning. 7 7 ( ) 7,9 ( ) ± ± där den pos. roten är, ( ),,,, ( ) 00 ± 00 ± 00 där den pos. roten är 0 00, ± 8 8 ± 8 som ger svaret, , 0, 0, 0,8 8 8,0,7,7,7, NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

23 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 6 Inverterade värdet till är 7 7 Inverterade värdet till 0, 0, är 0, ,9,9 9, 9, 6,,,, 6,7 6,7,6 6,7,, 6, 6, , , 0, 0, 0, 6 6 0,0 0, 6 6 0, 0 m 0 men 0, dvs 0, m, 0 m 0, 0π 0 π m 0π m m Se lösningsförslag i facit NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

24 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Se lösningsförslag i facit. ( ) ( ) ty om AB så är BA ( ) ( ) 8 8 ( ) + ± ± då det nu frågas efter den positiva lösningen så blir den + 8 0,09 6 7, 0, 0, dvs skärningspunkt : (,;,0) 8 a a + a ( +) n a a S a S S B B 00 B a S n S n a B B n n 9, 0 Se lösningsförslag i facit., Eempel som löses i boken. y 7, 0, 0, ,9 0,9 7,9 7, L L 0,06 denna förändringsfaktor innebär att den årliga ökningen varit ca.,6% NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

25 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Se bokens ledning. 6 K K där är förändringsfaktorn oc K kronans köpkraft 0,9, avvikelsen från,00 innebär en årlig minskning med ca. % 7 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit ,6,6,08 där är ändringsfaktorn varför den årliga räntan blir ca. 8% ,6 9 9 en minskning med ca. 6% 60 6 s där s är sidan i cm π r s 6,08 cm där r är klotets radie i cm r r,7,77 π π a 0,9 a a y y 0 y c 0,0 A c c 0 6 P(0) 0, 0768(80 0),8 0, 0768(0),8 88poäng ( ), , 0768(80 t) 80 t 0, 0768,8 000,8, t t ,0768 0,0768 sekunder 6 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit ,07 dvs. påståendet stämmer då ju räntan är är ca.,7% 8 6 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 66 y 8,9 0,8 st 0,8 0,8 0, ,9 00 8,9 8,9 06 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

26 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel dvs arean bör överstiga 000 km Se facit 67 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. Kapitel. 0, 0, 0, 0 Eempel som löses i boken , 07 Se facit lg 0 0 lg 0, 699 lg 0 0 lg, lg lg 000, 699 lg0,0 0, lg 0, 0,7 09 lg 0, lg0 lg0 lg 0,00 lg0 lg0 0, Se facit Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit.,,, Eempel som löses i boken. 6 Se facit 7 8 lg8 8 lg lg8 lg lg8 lg lg lg lg lg lg lg 0 lg lg 0 lg lg lg lg lg lg lg 6 + lg lg lg 6 0 ( ) NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

27 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 9.08,08 lg,08 lg lg lg, 08 lg 0, 0 lg, ,6 8 0,6 lg 0,6 lg 9 lg, 79 lg 0, lg lg 0 lg 0 lg lg 0, lg lg ,6 lg 0, lg,6 67 0,6 lg 0, 0,6 0,6 0,6 67 0, 0 0, lg 0, lg 0 Se facit lg lg + lg lg lg + lg ( ) lg lg 9 + lg 8 lg lg lg lg 0 lg lg 0 lg0 0 lg lg 0 lg0 lg lg 0, 0 000, Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit.,0 0 0,0 0,0 (div. tillåten ty.0 0 för alla ),0 0,0,0,0 lg lg lg,0,0 lg lg,0,0 lg,0 Se bokens ledning. 6, 7 Se lösningsförslag i facit. 8 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

28 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 9, 0 Eempel som löses i boken., Se facit,, Se lösningsförslag i facit. 6 Se facit 7 Se lösningsförslag i facit. 8, 9 Eempel som löses i boken. 0,,, Se facit,, 6 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 7 Se lösningsförslag i facit. 8 Eempel som löses i boken. 9 Se lösningsförslag i facit. 0 t N N0 a där N0 är mängden från början oc N är mängden efter tiden t, a är förändringsfaktorn Halveringstiden 8,0 dygn medför att 8,0 8,0 0.N0 8,0 8 0,N0 N 0a a a 0, a 0, N 0 0, 0N0 N 0 0, 0, 0, 0 t t 8 ( ) 6 8 lg0, lg0,0 lg0, lg0 t dygn 8 lg0, lg0, mao nu vet vi förändringsfaktorn varför ( ) 8 8 a 0, 0, 0, a 0, (se uppg. ovan) t t 0, 0, t 0, 0,0 lg 0, lg 0,0 ilg 0, Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 0, t 60, t 00 år lg 0, t,8,8,8 0 0 a a 0, a 0,,8 p () 0 0, 67 Pa p 0 0,,8,8 0 0,,8 0,,8 lg 0, lg ,8 lg 0 0 lg 0, lg, 7 km,8 0 lg 0, NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

29 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. Pga alveringstiden så blir förändringsfaktorn 0,7 0 0, då får vi ekv. t t 0 0,7 0, , lg 0, lg ,7 0 lg t lg 0, lg t,9 0 0, lg 0, 9 år, 6 Se lösningsförslag i facit. 7, 8 Se bokens ledning. 9 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 60, 6 Se lösningsförslag i facit. 6 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 6 Se lösningsförslag i facit. 6 Punkterna är (; ) oc (0; ) varav den senare punkten medför att m då ar vi att y k+ givet oc med (; )instoppat för (; y) så får vi k. + dvs k som ger y + 6 Nollställena avläser vi till oc :e punkten (0; ) insatt för (; y) så får vi + som medför att y k( )( ) ( )( ) ( )( ) k 0+ 0 k k y + + med den 66 Se lösningsförslag i facit. 67 Vi avläser punkterna till (; ) oc (; ) som ger k Vi vet då att y +m som med någon av dom två givna punkterna insatt säg te e (; ) m m + som ger svaret 9 y +. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

30 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 68 Kurvan följer regeln y C a. Vi avläser punkterna till (; 00) oc (; 0) som ger ekvationssystemet C a C a 00 () 0 () 00 från () så får vi att C a 00 0 som i () ger 0 a a a 0, a 0, a 00 som återinsatt i () ger C 0, 00 C 00 y 00 0, 69 Se lösningsförslag i facit. 70 Andragradskurvan tangerar i punkten (0 ;) dvs ar ett dubbelt nollställe där Då vet vi att ( ) y C C 0 C y Se lösningsförslag i facit. med punkten (0; ) insatt där så kan vi bestämma C ( ) ( ) NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte 3 1. 10. 11. 12. 13. 15.

Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte 3 1. 10. 11. 12. 13. 15. Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte........... =.... Multiplicera i valfri ordning. Man kan t.e. börja med att multiplicera in. Multiplicera i valfri ordning. Den här gången kan vi börja

Läs mer

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr.

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr. Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Kapitel.1 101, 10 Eempel som löses i boken. 10 Löneökning per månad: 400 kr Förändring i årslön = 1 400 kr = 4800 kr OBS! Fel

Läs mer

Svar och anvisningar till arbetsbladen

Svar och anvisningar till arbetsbladen Svar och anvisningar till arbetsbladen Repetitionsmaterial (Facit) Anders Källén Notera att detta är första versionen av svaren Både felräkningar och feltrck kan förekomma! Fingeröfningar Övning,, c) 0,

Läs mer

Räta linjens ekvation & Ekvationssystem

Räta linjens ekvation & Ekvationssystem Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 1 Lös ekvationssstemet eakt = 3 + = 28 Uppgift nr 2 Lös ekvationssstemet eakt = 5-15 + = 3 Uppgift nr 8 Lös ekvationssstemet eakt 9-6 = -69 5 + 11 = -35

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 1

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 1 Här presenteras förslag på lösningar och tips till många uppgifter i läroboken Matematik 3000 kurs A som vi hoppas kommer att vara till hjälp när du arbetar dig framåt i kursen. Vi har valt att inte göra

Läs mer

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Fler uppgifter på andragradsfunktioner Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har

Läs mer

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013 Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter

Läs mer

Övningar - Andragradsekvationer

Övningar - Andragradsekvationer Övningar - Andragradsekvationer Uppgift nr 1 x x = 36 Uppgift nr 2 x² = 64 Uppgift nr 3 0 = x² - 81 Uppgift nr 4 x² = -81 Uppgift nr 5 x² = 7 Ange också närmevärden med 3 decimaler med hjälp av miniräknare.

Läs mer

Kapitel 1. y 4. Pythagoras: Se facit. b 2, 4 (3,2; 2, 4) bh A = 2 Q =? Samma metod som i a). Se facit. Sök höjden: h = sin 41 8,2. Se facit.

Kapitel 1. y 4. Pythagoras: Se facit. b 2, 4 (3,2; 2, 4) bh A = 2 Q =? Samma metod som i a). Se facit. Sök höjden: h = sin 41 8,2. Se facit. Kapitel 8 9 b A Sök öjden: sin 8,, cm (,7968),, A cm cm Se viktigruta i eempel s. >. Den undre vinkeln u är tan, 8 u + v är tan v,8 9, v 9 y sin7 y sin7, Pytagoras:, P (,;, ) Q? Samma metod som i. Kalla

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 1

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 1 Här presenteras förslag på lösningar och tips till många uppgifter i läroboken Matematik 3000 kurs B som vi hoppas kommer att vara till hjälp när du arbetar dig framåt i kursen. Vi har valt att inte göra

Läs mer

Övning log, algebra, potenser med mera

Övning log, algebra, potenser med mera Övning log, algebra, potenser med mera Uppgift nr 1 Förenkla uttrycket x 3 + x 3 + x 3 + x 3 + x 3 Uppgift nr 2 Förenkla x x x+x x x Uppgift nr 3 Skriv på enklaste sätt x 2 x x x 8 x x x Uppgift nr 4 Förenkla

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Avsnitt 1, introduktion.

Avsnitt 1, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

Avsnitt 3, introduktion.

Avsnitt 3, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar

Läs mer

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Potensform. Uppgift nr 10. Uppgift nr 11 Visa varför kan skrivas = 4 7

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Potensform. Uppgift nr 10. Uppgift nr 11 Visa varför kan skrivas = 4 7 Potensform Uppgift nr Vad menas i matematiken med skrivsättet 3 6? (Skall inte räknas ut.) Uppgift nr 2 värdet av potensen 3 2 Uppgift nr 3 Skriv 8 8 8 i potensform Uppgift nr 4 Skriv 4 3 som upprepad

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 6

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 6 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel Kapitel.1 101, 10, 10 Eempel som löses i boken. 104, 105, 10, 107, 108, 109 Se facit 110 a) Ledning: Alla punkter med positiva

Läs mer

Exponentialfunktioner och logaritmer

Exponentialfunktioner och logaritmer Eponentialfunktioner och logaritmer Tidigare i kurserna har du gått igenom potenslagarna, hur man räknar med potenser och potensfunktioner av typen y. En potens- funktion är en funktion som innefattar

Läs mer

Ma C - Tek Exponentialekvationer, potensekvationer, logaritmlagar. Uppgift nr 10 Skriv lg4 + lg8 som en logaritm

Ma C - Tek Exponentialekvationer, potensekvationer, logaritmlagar. Uppgift nr 10 Skriv lg4 + lg8 som en logaritm Exponentialekvationer, potensekvationer, logaritmlagar Uppgift nr 1 10 z Uppgift nr 2 10 z = 0,0001 Uppgift nr 3 10 5y 000 Uppgift nr 4 10-4z Uppgift nr 5 Skriv talet 6,29 i potensform med 10 som bas.

Läs mer

Planering för kurs C i Matematik

Planering för kurs C i Matematik Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar.

Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar. Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar. 1 Bestäm med jälp av derivatans definition f () då f(x) = x + x + Funktionen f(x) = x 4x + 8 ar en minpunkt. Bestäm

Läs mer

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x = UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)? I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 1.1Introduktion Introduktion Avsnitt 1 handlar till att börja med om hantering av bråkstreck. Samtidigt ges exempel och övningar

Läs mer

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man

Läs mer

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIKPROV KORT LÄROKURS..0 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Förändringshastighet ma C

Förändringshastighet ma C DOP-matematik Copright Tord Persson Förändringshastighet ma C 2012-01-0 Uppgift nr 1 Givet funktionen f() 2 + 8 Beräkna f() Uppgift nr 2 Givet funktionen f() 9 + 1 Beräkna f(7) Uppgift nr 6 Uppgift nr

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2 Kapitel.1 101, 102 Exempel som löses i boken 10 a) x= 1 11+ x= 11+ 1 = 2 c) x= 11 7 x= 7 11 = 77 b) x= 5 x 29 = 5 29 = 6 d) x= 2 26 x= 26 2= 1 10 a) x= 6 5+ 9 x= 5+ 9 6= 5+ 5= 59 b) a = 8a 6= 8 6= 2 6=

Läs mer

Funktioner: lösningar

Funktioner: lösningar Funktioner: lösningar 6. Sätt 1 = t 7. Också strängt väande: f (t) = 1 (1 t) = = 1 1+t t = = t t 8. Återigen strängt väande: T.e. a < b g (a) < g(b) f (g (a)) < f (g (b)) a < b g (a) > g(b) f (g (a))

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2 Kapitel.1 101, 10 Exempel som löses i boken. 103 Testa genom att lägga linjalen lodrätt och föra den över grafen. Om den på något ställe skär grafen i mer än en punkt så visar grafen inte en funktion.

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

vilket är intervallet (0, ).

vilket är intervallet (0, ). Inledande kurs i matematik, avsnitt P. P..3 Lös olikheten 2x > 4 och uttryck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. P..7 Lös olikheten 3(2 x) < 2(3 + x), Multiplicera båda led med 2.

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är PASS 7. EKVATIONSLÖSNING 7. Grundbegrepp om ekvationer En ekvation säger att två matematiska uttryck är lika stora. Ekvationen har alltså ett likhetstecken och två deluttryck på var sin sida om likhetstecknet.

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att

Läs mer

Fall 1 2x = sin 1 (1) + n 2π 2x = π 2 + n 2π. x = π 4 + n π. Fall 2 2x = π sin 1 (1) + n 2π. 2x = π π 2 + n 2π

Fall 1 2x = sin 1 (1) + n 2π 2x = π 2 + n 2π. x = π 4 + n π. Fall 2 2x = π sin 1 (1) + n 2π. 2x = π π 2 + n 2π 48 a sin x + cos x = cos x Trigonometriska ettan sin v + cos v = 1 1 = cos x cos x = 1 x = ±cos 1 (1) + n π x = 0 + n π x = n π b sin x cos x = 1 Multiplicera båda led med sin x cos x = 1 sin x cos x =

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

Övningsuppgifter till introduktionsföreläsningar i matematik

Övningsuppgifter till introduktionsföreläsningar i matematik Övningsuppgifter till introduktionsföreläsningar i matematik Detta är ett urval övningar på baskunskaper i matematik för repetition av några delar av gymnasiekurserna. En del övningar kan tyckas annorlunda

Läs mer

Linnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson

Linnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson Linnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson Tentamen i Matematikens utveckling, 1MA163, 7,5hp fredagen den 28 maj 2010, klockan 8.00 11.00 Tentamen består

Läs mer

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

1 Förändingshastigheter och derivator

1 Förändingshastigheter och derivator Förändingsastigeter oc derivator. Dagens Teori Som en inledning till begreppet derivata, ska vi är diskutera genomsnittlig förändingsastiget. Utan att veta vad som änt mellan två givna tider t oc t 2 kan

Läs mer

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på

Läs mer

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 4.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 4 handlar om en viss typ av ekvationer där man skall vara försiktig med de lösningar som

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0..08 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Kvalificeringstävling den 30 september 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre

Läs mer

Avsnitt 4, introduktion.

Avsnitt 4, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 4:1 4:1 Avsnitt 4, introduktion. Potensregler. Följande grundläggande potensregler är startpunkten för detta avsnitt: Ex 1: 2 3 2-2 = 2 3-2 =2 1 = 2. Ex 2: 8 4 = (2 3

Läs mer

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

f(x) = x 2 g(x) = x3 100

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

TENTAMEN. Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum:

TENTAMEN. Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum: TENTAMEN Kursnummer: HF0021 Matematik för basår I Moment: TEN1 Program: Tekniskt basår Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum: 2015-03-10 Tid: 13:15-17:15 Hjälpmedel:

Läs mer

ger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.

ger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0. KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 2.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 2 handlar om den enklaste typen av algebraiska uttryck, polynomen. Eftersom polynom i princip

Läs mer

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin d) cos ( v) a Kapitel 7 Rita t.e. figur enligt s 9 fel. Rita t.e. figur enligt s 9 rätt. c) Huvudräkning: 8 6 Tredje kvadranten fel. d) tan v tan (v + n 8 ) rätt 8 Pythagoras: motstående katet sin v /,6

Läs mer

A-del. (Endast svar krävs)

A-del. (Endast svar krävs) Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

3.1 Derivator och deriveringsregler

3.1 Derivator och deriveringsregler 3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,

Läs mer

DOP-matematik Copyright Tord Persson Potenser. Matematik 1A. Uppgift nr 10 Multiplicera

DOP-matematik Copyright Tord Persson Potenser. Matematik 1A. Uppgift nr 10 Multiplicera Potenser Uppgift nr Skriv 7 7 7 i potensform Uppgift nr 2 Vilket tal är exponent och vilket är bas i potensen 9 6? Uppgift nr 3 Beräkna värdet av potensen (-3) 2 Uppgift nr 4 Skriv talet 4 i potensform

Läs mer

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Enhet 591 Ekholmen Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Fakta Förståelse Färdighet Förtrogenhet De olika formerna samspelar och utgör varandras förutsättningar. För att

Läs mer

Den räta linjens ekvation

Den räta linjens ekvation Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är

Läs mer

En samling funktionspussel för gymnasienivå

En samling funktionspussel för gymnasienivå En samling funktionspussel för gymnasienivå ü Pusslenas idé Det är lätt att snabbt rita många funktionsgrafer med en grafisk räknare, men hur är det med elevernas vana och förmåga att utläsa information

Läs mer

ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG)

ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG) ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG) 0 ÖVNINGSTENTAMEN DEL C p Beräkna sidan AC p Bestäm f ( 0 ) då f ( ) ( ) p Ange samtliga etrempunkter till funktionen f ( ) 6. Ange även om det är

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll Ekvationer 1.1 Förstagradsekvationer.......................... 5.1.1 Övningar............................ 6. Andragradsekvationer..........................

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

6.2 Implicit derivering

6.2 Implicit derivering 6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta

Läs mer

Röd kurs. Multiplicera in i parenteser. Mål: Matteord. Exempel. 1 a) 4(x- 5) b) 5(3 + x) 3 Om 3(a + 4) = 36, vad är då 62 2 FUNKTIONER OCH ALGEBRA

Röd kurs. Multiplicera in i parenteser. Mål: Matteord. Exempel. 1 a) 4(x- 5) b) 5(3 + x) 3 Om 3(a + 4) = 36, vad är då 62 2 FUNKTIONER OCH ALGEBRA Röd kurs Mål: I den här kursen får du lära dig att: ~ multiplicera parenteser ~ använda kvadreringsregler ~ använda konjugatregeln ~ uttrycka formler på olika sätt Matteord första kvadreringsregeln andra

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C (kursplan 2000) VÅREN 2002

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C (kursplan 2000) VÅREN 2002 Skolverket änvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till utgången av juni 00. Anvisningar NATIONELLT

Läs mer

Repetition ekvationer - Matematik 1

Repetition ekvationer - Matematik 1 Repetition ekvationer - Matematik 1 Uppgift nr 1 I en 2-barnsfamilj är alla tillsammans 107 år. Sonen är 7 år yngre än dottern. Mamman är 4 år äldre än pappan. Pappan är 4 gånger äldre än dottern. Hur

Läs mer

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck

Läs mer

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011 ÖVNINGAR I MATEMATIK Göran Forsling 4 april 0 Förord. Tänker du börja studera på ett tekniskt/naturvetenskapligt program till hösten? Vill du ge dina studier en flygande start? I stort sett vilken teknisk/naturvetenskaplig

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag.8. 8.. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen

Läs mer

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden PROVET I MATEMATIK, KORT LÄROKURS.9.013 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens

Läs mer

1.1 Polynomfunktion s.7-15

1.1 Polynomfunktion s.7-15 1.1 Polynomfunktion Vad är då en funktion? En funktion är en regel i matematiken som beskriver sambandet mellan två storheter. T.ex. Hur många hjul har 3 bilar? 3 4 = 12 Hur många hjul har 4 bilar? 4 4

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem

Läs mer

lena Alfredsson kajsa bråting patrik erixon hans heikne Matematik kurs 3c blå lärobok natur & kultur

lena Alfredsson kajsa bråting patrik erixon hans heikne Matematik kurs 3c blå lärobok natur & kultur lena Alfredsson kajsa bråting patrik erion hans heikne Matematik 5000 kurs c blå lärobok natur & kultur NATUR & KULTUR Bo 7, 0 5 Stockholm Kundtjänst: Tel 08-5 85 00, order@nok.se Redaktion: Tel 08-5 86

Läs mer

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer