v v v v 5 v v v 4 (V,E ) (V,E)

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "v v v v 5 v v v 4 (V,E ) (V,E)"

Transkript

1 . Grftori Btylsn v ilr som stö oh inspirtion för mtmtisk rsonmng kn knppst övrsktts. Stuirn v nkl ilr hr gtt oss grftorin. Tyvärr, llr lykligtvis, visr t sig snt tt nkl oh nturlig frågställningr om nkl ilr lr till synnrlign komplir komintorisk rsonmng. I tt inln kpitl om grftori kommr vi tt nöj oss m grunläggn trminologi oh någr rsultt som är nkl tt vis. Grfr Dnition. En Grf (V;E) står v två mängr V oh E v nor (iln hörn, vrtx på nglsk) rspktiv ågr (iln kntr, g på nglsk), är vrj åg E går mlln två olik nor i V; ågns änpunktr, oh är t int nns r ågr m smm änpunktr. Nor rits som ft punktr (iln nmngivn). änpunktrn ; V, så intirs ågn m mängn f; g = f; g =. Om (V;E) är n grf oh E är n åg m Figur. Två grfr. Till vänstr n grf m mängn v nor V = f; ; ; g oh mängn v ågr E = ff; g; f; g; f; gg. Figur. Exmpl på multigrfr som int är grfr. Dnition. Inmultigrf tillåtr vi mr än n åg mlln tt pr v nor, smt ågr från n no till smm no. Spillt notrr vi tt vrj grf är n multigrf.

2 Hrr MBrin oh hns fru April ornr n fst oh jur fyr nr gift pr. En l v människorn hälsr på vrnr å träs, mn nturligtvis hälsr ingt pr på vrnr. Då fstn slutr frågr Hrr MBrin ll nr, på hur mång människor hr hälst oh hn rhållr 9 olik svr. Hur mång människor häls på April? Lösning: Vi konstrurr n grf vrs nor är människor på fstn oh t nns n åg f; g å oh hr hälst på vrnr. Emn t nns 9 människor utövr Hrr MBrin oh mximl ntlt hälsningr i vilkt n prson kn vr involvr i är 8, så följr tt olik svrn som Hrr MBrin k måst vr 0; ; ; 3; 4; ; 6; 7; 8. Vi tknr norn m ss siror oh nvänr M för tt tkn Hrr MBrin. Vi får följn ilrprsnttion v grfn: 8 M Figur 3. Non 8 smmnins m ll nr nor utom n, som måst vr äkt hälft till 8. Dnn no måst vr 0, vrför 8 oh 0 är gift oh 8 smmnins m ; ; :::; 7;M. Spillt gällr tt oh 8 smmnins oh tt är n ågn utgån från. Såls är 7 int smmnkoppl m 0 oh, oh ärm är 7 oh gift, (mn 0 oh 8 är gift). Fortsättr vi på tt sätt, sr vi tt 6 oh, smt oh 3 är gift pr. Dt följr tt M oh 4 är gift, värför non 4 är April som hälsr på 4 människor. Fstän ilrprsnttionr v grfr förstås v människor, så är värlös när vi önskr kommunir m n tor. För tt änmål måst vi rprsntr n grf m någon typ v tll, xmplvis n mtrisrprsnttion. Dnition. Vi sägr tt två nor oh ingrf är grnnr om f; g är n åg, vs. om oh förns v n åg. Låt (V;E) vr ngrf m jv j = n; (här oh i fortsättningn tknr jbj ntlt lmnt i n mäng B ). Låt V = fv ; :::; v n g vr norn. Grnnmtrisn A för (V;E) är n n n mtris vrs lmnt A i;j = ; om v i oh v j är grnnr; 0; nnrs. För ll i; j gällr t tt A i;j = A j;i, vrför A är symmtrisk m nollor på igonln.

3 Dt nns vritionr v ovnstån rprsnttion. Om (V;E) är n multigrf, så tknr A i;j ntlt ågr fv i ;v j g. Ävn i tt fll är A symmtrisk mn hövr inglun h nst nollor på igonln, ty t kn nns ågr som utgår från oh slutr i smm no. v v v A v 0 v v v v CA v v 4 v v CA Figur 4. Tr grfr smt rs grnnmtrisr. Vi intrssrr oss nu för frågställningn: När är två grfr väsntlign lik? Svrt på nn fråg gs m hjälp v grppt isomor (isos = smm, morph = form). Dnition. Två grfr (V;E) oh (V 0 ;E 0 ) är isomorf om t xistrr n ijktion ' : V! V 0 som vilr ågr i E på ågr i E 0 oh omvänt, vs. f; g E,f'();'()gE 0 för ll ; V: Härvi klls ' n isomorsm. Vi nvänr tkningn (V;E) = (V 0 ;E 0 ) för isomorf grfr. (En ijktion är n vilning som är surjktiv oh injktiv). (V,E) (V,E ) Figur. 3

4 ' : V,! V 0 ; '() = 0 ; '()= 0 ; '()= 0 ; '()=: 0 Alltså ' är n ijktion. f; g E()f'();'()gE 0 f; g E()f'();'()gE 0 f; g E()f'();'()gE 0 f; g E()f'();'()gE 0 f; g E()f'();'()gE 0 Alltså ' är n isomorsm oh (V;E) = (V 0 ;E 0 ) För tt vis tt två grfr int är isomorf, måst vi vis tt t int nns någon ijktion från mängn v nor i n n grfn till mängn v nor i n nr grfn som vilr ågr på ågr. Om två grfr hr olik ntl nor, så nns t ingn ijktion oh grfrn kn int vr isomorf. Om grfrn hr smm ntl nor mn ntlt ågr är olik, så nns t ijktionr mlln mängrn v nor mn ingn v ss ijktionr är n isomorsm. Figur 6. Dt är i llmänht mykt svårt tt öm om två grfr är isomorf, mn viss nturlig villkor kn vi g som är növänig för isomor. Vi åtrkommr till ss villkor ftr t tt vi infört tt ntl ny grpp för grfr. Dnition. Låt (V;E) vr ngrf oh ntg tt V: Då är gr() =jf V : f; g Egj grn v ; vs. grn v är ntlt ågr m som änpunkt. Anlog nition för multigrfr, mn n åg från n no till sig själv irr m två nhtr å grn för räkns. 4

5 gr()=4 gr()=3 gr()=3 Figur 7. Dt är oft v intrss tt vt ntlt ågr i n grf. D kn förstås räkns irkt mn t är vnligtvis lättr tt räkn ntlt ågr vi vrj no oh r m. Då hr vrj åg livit mräkn två gångr, n gång vi å änpunktrn, så ntlt ågr i n grf är hlv nn summ. Sts. Ingrf nns t tt jämnt ntl nor v u gr. Bvis: Låt (V;E) vr n grf m V = f ; :::; n g: Då gällr t tt nx jej = gr( i ) : i= () Btkn: V o = f i V : gr( i ) är ug; V = f i V : gr( i ) är jämng: Då är V = V o [ V oh V o \ V = ;, (n prtition v V ). M stö v () rhålls: jej = X V o gr() +X V gr() () Dn nr summn i () är jämn, ty vrj trm är jämn. Då jej är tt jämnt tl, så måst ävn n först summn i () vr jämn. Då n först summn är n summ v u tl måst t å nns tt jämnt ntl trmr i summn oh ärm är stsn vis. Ett növänigt villkor för isomor är tt gr() =gr('()) för vrj no V: Mn tt villkor är int tillräkligt, vilkt frmgår v följn xmpl.

6 (V,E) 3 (V,E ) Figur 8. Antg tt ' : V! V 0 är n isomorsm. Då 4 oh är n lmntn i V oh V 0 m gr(4) = gr() =, så gällr ntingn ('(4)=4; '() = ) llr ('(4) = ; '()=4). Mn ftrsom f4; g E oh f'(4);'()g = f4; g 6E 0, så rhålls n motsägls. Därm nns t ingn isomorsm oh (V;E) 6 = (V 0 ;E 0 ). Dnition. Grfn (V 0 ;E 0 ) är n lgrf v (V;E) om V 0 V oh E 0 E: Om V 0 = V; så är (V 0 ;E 0 ) n uppspännn lgrf v (V;E): Om ; V 0 oh f; g E)f; g E 0,så är lgrfn (V 0 ;E 0 ) n full lgrf v (V;E). (V,E) (V,E ) Figur 9. (V 0 ;E 0 ) är n uppspännn lgrf v (V;E). (V,E) (V,E ) Figur 0. (V 0 ;E 0 ) är n full lgrf v (V;E). Dnition. En följ 0 ; ; :::; n v nor i (V;E) är n väg om f i ; i+ ge för i =0;;:::;n,,oh f i, ; i g6=f i ; i+ g för i =; :::; n- : Vägn sägs h längn n: Om 0 = n ; så är vägn n loop. Om i loopn smtlig i ; i =0; :::; n-; är olik, så är loopn n ykl. Om 0 6= n klls vägn öppn. 6

7 Figur. ; ; ; ; ; är n (öppn) väg m längn. ; ; ; ; ; ; är n loop (j ykl). ; ; ; är n ykl. Om (V;E) oh (V 0 ;E 0 ) är isomorf grfr motsvrs vägrn i n n grfn v vägr i n nr. Ett növänigt villkor för isomor är ärför tt ntlt vägr v x läng är lik i å grfrn. Vir hr isomorf grfr lik mång yklr v x läng. g f h g f h Figur. I n först grfn är ; h; g; ; f; ; ; ; n ykl v längn 8. Mn t i n nr grfn int xistrr någon ykl v längn 8. Dtt innär tt grfrn int är isomorf Dnition. Låt (V;E) vr ngrf. Två nor ; V är förn om t nns n väg = 0 ; ; :::; n = i V: Om vrj pr v norigrfn är förn, så är grfn smmnhängn. Om n grf G int är smmnhängn kn vi int nå ll nor m n väg från n givn no. D nor som kn nås m n väg från n no oh motsvrn ågr klls n smmnhängn komponnt v G. På tt sätt ilr smmnhängn komponntrn n sönrlning v grfn G. Två isomorf grfr måst h lik mång smmnhängn komponntr. 7

8 Figur 3. En osmmnhängn grf stån v 4 smmnhängn komponntr. Vi skll nu stur multigrfr. Som knt, så tillåtr vi för multigrfr mr än n åg mlln tt pr v nor. Vi ntr i fortsättningn tt ll grfr oh multigrfr är änlig. Lonhr Eulr ( , shwizr) kn klls n först grftortikrn. Hn nvän sig v grppt multigrf för tt lös tt prolm som invånrn i Königsrg (Kliningr) h när plnr sin söngspromnr. Prolmt vr tt nn n promnväg som nvän ll ror xkt n gång: Figur 4. Sju ror, Eulr rit n multigrf. Eulr konsttr tt n sökt promnvägn svrr mot n loop som nvänr sig v smtlig ågr i multigrfn. Bgrppt väg för n multigrf nirs nlogt m grppt väg för n grf. Dnition. En väg i n multigrf (V;E) är n Eulr-väg om ll ågr i E nväns xkt n gång. Om 0 = n i n Eulr-väg så hr vi n Eulr-loop. Figur. En Eulr-väg gs v ; ; ; ; ; ; ; ; ; ( nor m u gr). Anlningn till tt ingn lykts m tt gör promnn övr rorn i Königsrg är: 8

9 Sts. En smmnhängn änlig multigrf (V;E) hr n Eulr-loop om oh nst om vrj no hr jämn gr. Vi notrr tt i prolmt gälln rorn i Königsrg så hr vrj no u gr. För vist v Sts hövr vi följn hjälprsultt. Lmm3. Om (V;E) är n änlig multigrf sån tt vrj no hr gr så nns t n ykl i grfn. Bvis: (Av Lmm 3). Antg tt (V;E) är n grf. (Om (V;E) är n multigrf som int är n grf så är skn klr). Tg V. Konstrur n väg = 0 ; ; ; ::: i grfn sån tt f 0 ; geoh så tt för i gällr tt f i ; i+ geoh i+ 6= i,. Dtt lyks ftrsom gr( i ) för ll i. Då nu V är n änlig mäng nns t tt minst k, (k3), sånt tt k f 0 ; :::; k, g: Antg tt k = j ; 0 j k-3. Då är j ; j+ ; :::; k n ykl. =6 = 0 = = (k=3) Figur 6. Bvis: (Av Sts ). () Antg tt (V;E) hr n Eulr-loop. Låt vr n no i loopn. Vrj gång loopn pssrr förruks två olik ågr. Därm är gr() tt jämnt tl. () Antg tt vrj no hr jämnt grtl. (Inuktion). Om jej =hr vi fllt v Figur 7. gr(v )=. vs. n Eulr-loop. Antg tt påstånt gällr för ll multigrfr (V 0 ;E 0 ) m je 0 j < jej är jej. Då (V;E) är smmnhängn måst för vrj V gäll tt gr(). Vir ntogs tt vrj no hr jämn gr så gr() för ll V. Då gr Lmm 3 tt t nns n ykl tkn i (V;E). Om är n Eulr-loop är vi klr. Annrs gällr: 9

10 (V,E) Figur 8. Konstrur n lgrf (V ;E ) till (V;E) gnom tt först stryk ågrn i oh sn norn vrs grtl sjunkit till noll. (V,E ) Figur 9. Smtlig nor i (V ;E ) hr nu jämn gr. D smmnhängn komponntrn för (V ;E ) står v nor m jämnt grtl oh ntlt ågr i vrj smmnhängn komponnt är minr än jej. Inuktionsntgnt gr tt vrj komponnt hr n Eulr-loop. Vi skrvr ihop m Eulr-looprn för ll komponntr oh rhållr n Eulr-loop för (V;E). Följn sts gr vi hnn tt Königsrgsorn int ns hr kunnt hitt n öppn Eulr-väg. Sts 4. Låt (V;E) vr n smmnhängn änlig multigrf. Då nns t n öppn Eulr-väg om oh nst om t nns xkt två nor m u gr. Bvis: () Antg tt oh är n norn v u gr i (V;E). Bil n ny åg mlln oh. Då gr Sts tt t nns n Eulr-loop i grfn (V;E [fg). Om vi vlägsnr ågn får vi n öppn Eulr-väg i (V;E). () Antg tt t nns n öppn Eulr-väg 0 ; :::; n i (V;E). Sätt = f 0 ; n g oh E 0 = E [fg. 0 n 0

11 Figur 0. Då nns t n Eulr-loop i (V;E 0 ). Sts gr tt ll nor i (V;E 0 ) är v jämn gr. Då hr ll nor i (V;E), utom 0 oh n, jämn gr. Byggr vi n ro till i Kliningr kn vi hitt n Eulr-väg oh yggr vi två på lämpligt sätt kn vi rhåll n Eulr-loop Figur. Ett närliggn prolm är följn: Givt n grf (V;E), vgör om t nns n loop i (V;E) som pssrr vrj no xkt n gång. Vi sr irkt tt n sån loop måst vr n ykl oh om n xistrr måst (V;E) vr smmnhängn. Figur. Figur gr två xmpl på grfr är t int är möjligt tt hitt n sån ykl. intrssr sig för tt prolm vr irlänrn W. Hmilton Dn som först Dnition. En grf (V;E) klls n Hmilton-grf om t xistrr n ykl 0 ; :::; n ; 0 sån tt V = f 0 ; :::; n g. Dt är i llmänht tt mykt komplirt prolm tt vgör om n smmnhängn grf är n Hmiltongrf oh t nns ännu ingn krktrisring v Hmilton-grfr.

12 Vnlign täkr int n Hmilton-ykl ll ågr. Dn täkr nst två ågr vi vrj no. 0 Figur 3. En Eulr-loop nvänr vrj åg xkt n gång, mn n Hmilton-ykl sökr vrj no xkt n gång. Dnition. En rikt grf (V;P) står v n mäng V v nor oh n lmäng P V V vrs lmnt klls pilr. Vrj pil är n rikt väg från n no till n no. V={,,,} P={(,),(,),(,)} V={,,,} P={(,),(,),(,), (,),(,),(,), (,),(,)} Figur 4. Nät v nklrikt gtor, nätvrk v oljlningr oh mång nr tillämpningr kn skrivs m n rikt grf. Givt n grf (V;E) m V = fv ; :::; v n g. Låt A =( i;j ) vr grnnmtrisn till grfn. Då gällr gr(v i )= nx j= i;j = Antg tt (V;P) är n rikt grf, V = fv ; :::; v n g. Då är grfns grnnmtris A =( i;j ) nir v nx j= j;i : i;j = ; om t nns n pil från v i till v j ; 0; nnrs.

13 Notr tt nu är Ai rgl int symmtrisk. v v v 3 v 4 A = 0 v CA Figur. Sts. Låt A vr grnnmtrisn till n rikt grf (V;P). Då är (A m ) i;j = ntlt rikt vägr från v i till v j v längn m; är m =;; ::: : Låt oss trkt A i ovnstån xmpl. Nu gällr A = Exmplvis (A ) 3; =svrr mot rikt vägn v 3 ;v ;v v längn. Vir är (A ) 3; =0,ty t nns ingn rikt väg från v 3 till v v längn, nst v längn. CA : Bvis: (Av Sts, Inuktion). Klrt tt stsn gällr för m =. Antg tt stsn gällr för A m ;m. Då gällr: A m+ = AA m : Låt C = A m+ oh B = A m, vs. C = AB. Dnitionn på mtrismultipliktion gr tt C ik = A i B k + ::: + A ij B jk + ::: + A in B nk : () Btrkt trmn A ij B jk. Vi vt tt A ij = ntlt rikt vägr från v i till v j v längn. Inuktionsntgnt gr tt B jk = ntlt rikt vägr från v j till v k v längn m. Alltså A ij B jk = ntlt rikt vägr från v i till v k v längn m + oh v formn v i ;v j ; :::; v k ; j =; :::; n. Då gr () ntlt rikt vägr från v i till v k v längn m +. 3

14 Trä (änlig grfr) Vi hnlr nrt änlig grfr oh nirr grppt trä gnom: Dnition. En grf (V;E) är tt trä om n är smmnhängn oh sknr yklr. C H 6 Figur 6. D två först grfrn är trä mn två nr int är t. En viktig gnskp hos trä är följn rsultt. Sts 6. Låt T =(V;E) vr tt trä oh ntg tt ; V; 6=. Då nns t xkt n väg i T från no till no. Bvis: Antg tt = 0 ; ; :::; n = oh = 0 ; ; :::; m = är olik vägr. Låt i 0 vr t minst inx sånt tt i+ 6= i+, oh låt j >i+ vr t minst inx sånt tt t xistrr tt k m j = k. i+ j = 0 i 0 i i+ k j k n m = Figur 7. Då är i ; i+ ; :::; j ; k, ; :::; i+ ; i n ykl i T, vilkt gr n motsägls. Därm nns t xkt n väg från till. Ett trä kn konstrurs gnom tt sussivt lägg till n åg m no till grfn. Sts 7. Om T =(V;E) är tt trä oh jv j > ; så nns t åtminston två nor v gr. Bvis: Välj n väg 0 ; ; :::; n v mximl läng i T. Då jv j > oh T är tt trä är 0 6= n. Nu måst gr( 0 )=gr( n )=gäll, ty nnrs kun vi fortsätt vägn som å j vor v mximl läng. Sts 8. Vrj trä T = (V;E) m n stykn nor är rkursivt nirt gnom lträn T i ; är T 4

15 innhållr n no oh T i+ konstrurs gnom tt T i utöks m nno i+ oh n åg mlln i+ oh n v norn i T i. Bvis: (Inuktion). För n =är T tt trä. Antg tt konstruktionn gällr för trä m upp till n- nor (n ). Tg T =(V;E) m jv j = n. Sts 7 gr tt t nns n no n V : gr( n )=. Stryk n oh ågn från n. Dn grf G vi rhållr är smmnhängn oh utn yklr, ty T sknr yklr. Alltså är G tt trä m n- nor. Inuktionsntgnt gr tt G = T n,, rkursivt konstrur m hjälp v T i ; i =; :::; n-: Sätt T n = T, vilkt gr n önsk följn v lträ. Korollrium 9. Låt T =(V;E) vr tt trä. Då är jv j = jej +. Dnition. Antg tt G =(V;E) är n smmnhängn grf oh tt T är n lgrf v G sån tt (i) T är tt trä; Då sägs T vr tt uppspännn trä för G. (ii) T är n uppspännn lgrf för G : f g h Figur 8. Dn färglg grfn utgör tt uppspännn trä för grfn. Dt är lätt tt åstkomm tt uppspännn trä på följn sätt: Tg vilkn no som hlst i n grf som strtträ oh lägg till ågr n ftr n så tt vrj åg förnr n ny no till strtträt (jämför Sts 8). Dt uppspännn trät i ovnstån xmpl kun åstkomms gnom tt strt m no oh förn n m nr norn i orningn ; ; ; f; ; h; g gnom tt lägg till ågrn ; ; ; f; f; fh; hg. Allmänt, om t nns n nor så skll vi fortsätt m n- stg, vrftr vi hr +(n-) = n nor oh n- ågr. Dtt är t korrkt ntlt nligt Korollrium 9. Uppspännn trä hr mång tillämpningr. Exmplvis, hur yggr mn t illigst vägnätt mlln tt visst ntl stär? Kostnn för vägn mlln tt pr v stär ror t.x. på hurun trrängn är mlln stärn. Formllt hr vi n grf G = (V;E) vrs nor är stär oh vrs ågr är vägrn mlln stärn, smt n funktion w : E! N, (är N tknr nturlig tln), sån tt w() ngr kostnn för tt ygg ågn. Vi sägr tt G oh w ilr n vikt grf oh w är n viktfunktion. Om mn vill ygg t illigst vägnätt mlln tt visst ntl stär, så svrr vägnätt mot tt upp-

16 spännn trä T för G, vrs totl vikt w(t )=Xw() T är så litn som möjligt. Dtt rukr klls MST-prolmt, (minimum spnning tr prolm), för n vikt grfn G. Eftrsom n vikt grfn G är änlig hr n tt änligt ntl ågr oh ärm nns t tt änligt ntl uppspännn trä T för G. Dt nns å, för uppspännn trän för G, tt änligt ntl hltlsvärn w(t ) tt välj mlln. M nr or nns t tt minimlt uppspännn trä T 0 för G sånt tt w(t 0 ) w(t ) för ll uppspännn trä T för G. Notr tt t kn nns r uppspännn trä för G m nn gnskp. Kruskls lgoritm är n nkl lgoritm som lösr MST-prolmt: (i) Välj n kortst (illigst) ågn. Om t nns mång ågr m smm vikt; välj n v ågrn: (ii) Om k stykn ågr hr vlts, välj n ny åg m miniml vikt så tt ingn ykl ils tillsmmns m tiigr vl ågr: (iii) Om vi int hr tt uppspännn trä, så gå till stg (ii): (iv) Avslut lgoritmn. Dt rhålln uppspännn trät hr miniml vikt: z u v T z u 4 v 3 3 y 7 x y x Figur 9. (i) Vi Strtr m uv. (ii) + (iii) Därftr väljs zy, ux, uy. (iv) Vi rhållr tt minimlt uppspännn trä T m!(t )=4. Sts 0. Låt G =(V;E) vr n smmnhängn grf m viktfunktionn w : E! N; oh ntg tt T är tt uppspännn trä för G som konstrurts m Kruskls lgoritm. Då gällr t tt w(t ) w(u ) för vrj uppspännn trä U för G. 6

17 Bvis: Låt ; :::; n vr ågrn i T i n orning rhålls ur Kruskls lgoritm. Låt T min vr tt minimlt uppspännn trä för G. Om T min = T så gällr stsns påstån. Om T min 6= T tknr vi m k n först ågn för T i Kruskls lgoritm som int är n åg i T min. Låt k = fx; yg oh låt P xy vr vägn i T min som förnr norn x oh y. x k P xy y T min Figur 30. Om ågn k läggs till T min, så hr grfn T min [f k gn ykl = k [ P xy oh åt int hr någon ykl, måst innhåll åtminston n åg 0 k som int nns i T. Avlägsn nn åg oh rhåll trät Tmin 0 =(T min [f k g)nf 0 k g; m smm nor som T min oh m totl viktn w(tmin 0 )=w(t min)-w( 0 k )+w( k): Då T min är tt minimlt uppspännn trä måst t gäll tt w( 0 k ) w( k) : () Mn k är ågn m miniml vikt, sån tt ingn ykl ils å k läggs till ; :::; k,, (Kruskls lgoritm). Emn ; :::; k, ; 0 k är ågr i T min får vi ingn ykl å 0 k läggs till ; :::; k,. Då gällr t tt w( 0 k ) w( k) oh m stö v () tt vrför w(t 0 min ) = w(t min) = miniml totl vikt. w( 0 k )=w( k); Vi hr ärm hittt tt minimlt uppspännn trä T 0 min m n åg mr än T min gmnsm m T, (ågn k ). Upprpning v ovnskrivn prour gr slutlign tt minimlt uppspännn trä som smmnfllr m T, vs. w(t min )=w(tmin 0 )=::: = w(t ). Hnlsrsnsprolm. En hnlsrsn önskr sök tt ntl stär oh sn åtrvän hm m minst möjlig totl kostn utn tt åtrvän till n st hn rn sökt. Dn hnlsrsn ör lltså hitt n Hmilton-ykl m miniml vikt. En lösning hövr int llti xistr, mn om n lösning nns så är ntlt yklr i llmänht stort oh t är tt övrmäktigt komintoriskt prolm tt gå ignom ll ltrntiv. Vi skll här skriv n systmtisk mto som m hjälp v Kruskls lgoritm stämmr n unr gräns för n vntull lösningn till hnlsrsnsprolm. Antg tt ykln i grfn nn gr n lösning till hnlsrsnsprolm för stärn ; ; ; ; : 7

18 Figur 3. Om vi tr ort no, så får vi n väg gnom norn ; ; ; : Figur 3. Dnn lgrf ilr tt uppspännn trä U för n full lgrfn m norn ; ; ;. Låt T vr t uppspännn trä som kn konstrurs m Kruskls lgoritm. Då gr Sts 0 tt w(u ) w(t ) : Hl ykln hr såls n totl viktn w(u )+w(f; g) +w(f; g) w(t )+w(f; g) +w(f; g) : M nr or kn vi uppnå n unr gräns för lösningn till hnlsrsnsprolm gnom tt r n totl viktn v t miniml uppspännn trä som konstrurts m Kruskls lgoritm gnom norn ; ; oh m viktrn för två minst ågrn utgån från. Följn xmpl visr hur vi skll nvän nn mto. 8

19 Btrkt fm stär m viktrn nligt följn gur: Figur 33. Om vi vlägsnr no, så får vi följn grf m norn ; ; oh Figur 34. Kruskls lgoritm gr å tt uppspännn trä m ågrn ; ; : 4 7 T Figur 3. m totl viktn w(t ) = 6. D två minst viktrn för ågr utgån från är oh 4 (ågrn oh ). Alltså n unr gränsn för lösningn till hnlsrsnsprolm är i tt fll, å vi vlägsn non, givn v 6++4=. Låt oss nu unrsök v som inträr å vi vlägsnr no. Då får vi följn grf m norn ; ; oh. 9

20 Figur 36. Tillämpning v Kruskls lgoritm gr t uppspännn trät T m ågrn ; ; (llr ; ; ), lltså: T, T 4 4 Figur 37. m totl viktn w(t )=. D två minst viktrn för ågr utgån från är 7 oh 8 (ågrn oh llr ). Därm får vi n unr gränsn +7+8 = 6 till hnlsrsnsprolm, vilkt gr n ättr uppskttning än i t förgån fllt är non vlägsns. Alltså är lösningn till hnlsrsnsprolm åtminston 6. Gnom tt vlägsn norn ; oh i tur oh orning får mn unr gränsr som är minr än 6 (hmuppgift), lltså sämr unr gränsr. Dt visr sig tt n unr gräns vi k gnom tt vlägsn non råkr g n lösning till hnlsrsnsprolm, nämlign ykln m miniml totl vikt gnom norn ; ; ; ;, är m n totl viktn =6. I näst xmpl prsntrs två girig lgoritmr som i n fullstänig vikt grf snt hittr n Hmilton-ykl, vilkn ok int hövr vr lösningn till hnlsrsnsprolm. Två lgoritmr som gr n gnsk kort Hmilton-ykl i fullstänig grfr. En grf (V;E) m V = fv ; :::; v n g är fullstänig, (llr kompltt), om gr(v i ) = n-; i = ; :::; n: Btrkt grfn: 0

21 Figur 38. A. Mton m närmst grnn (i) Strt i någon no x. Välj utgån åg m miniml vikt. (ii) Låt y vr n snst uppnå non. Om ll nor i V är inklur i vägn så väljs ågn mlln y oh x. Välj nnrs n åg m miniml vikt utgån från y till n no som int ännu inklurts i vägn. Ivår xmplgrf rhålls. x = : ; ; ; ; ) = 30;. x = : ; ; ; ; ) = 0; 3. x = : ; ; ; ; ) = 0; 4. x = : ; ; ; ; ) = 30: B. Mton m sortr ågr (i) Välj n kortst ågn ln ll ågr som ännu int är vl, så tt lrig r än två ågr utgår från n no oh så tt ing yklr v läng <nils. Ivårt xmpl väljs ågrn i orningn ; ; ; oh. Vi får Hmilton-ykln ; ; ; ; m längn 30. Algoritmrn A oh B är xmpl på girig lgoritmr (gry lgorithms) som är sn, mn som int növänigtvis hittr n optiml lösningn. Lösningn till hnlsrsnsprolm i vårt fll gs v Hmilton-ykln ; ; ; ; m längn 0. Ivårt xmpl m fm stär lyks å lgoritmrn lös hnlsrsnsprolm. (Koll!) Kortst vägn i rikt grfr Antg tt vi hr n rikt grf G =(V;P) är vi försr vrj pil p P m n vikt w(p) m hjälp v viktfunktionn w : P! N. (D tiigr hnl vikt grfrn kn trkts som spilfll). Låt nu v 0 ;v n V vr två nor i G sån tt t xistrr åtminston n rikt väg från v 0 till v n. Vi skll nu m hjälp v tt xmpl skriv Dijkstrs lgoritm från 99 för stämning v kortst vägn mlln v 0 oh v n. (Esgr W. Dijkstr, ). I lgoritmn kn n no v j tillls två typr v

22 mrkringr, n tmporär mrkring (n; v k ), som kn änrs, llr n prmnnt mrkring [n; v i ] som int mr änrs. I ss mrkringr ngr n längn på n för närvrn rspktiv n slutlig kortst vägn från v 0 till v j, är n sist piln örjr i v k rspktiv v i oh slutr i v j. Vi är ärm intrssr v tt stämm n prmnnt mrkringn för non v n. Bstäm n kortst vägn från no v 0 till no i nnstån vikt rikt grf: v Figur 39. Stg : Vi försr strtnon v 0 m n prmnnt mrkringn v 0 :[0;-]. Stg : Nor som nås irkt från v 0 : ; ;. Dss förss m tmporär mrkringrn :(6;v 0 ) ; :(4;v 0 ) ; :(6;v 0 ): Stg 3: Dn minst tmporär mrkringn görs prmnnt :[4;v 0 ]: Stg 4: Nor som nås irkt från : ; ;. No hr rn tilllts n tmporär mrkring, mn ftrsom vägn från v 0 vi till är kortr, 4+=<6, så änrs mrkringn på no, :(;) ; :(7;) ; : (3;): Stg : Dn minst tmporär mrkringn görs prmnnt :[;]: Stg 6: Nor som nås irkt från :. Eftrsom +9 = 4 > 3 änrr vi int på n tmporär mrkringn för no. Stg 7: Dn minst tmporär mrkringn görs prmnnt :[6;v 0 ]: Stg 8: Nor som nås irkt från : ;. Vi hr tt 6+3 > 7 oh tt 6+7 = 3, så vi änrr ing tmporär mrkringr.

23 Stg 9: Minst tmporär mrkringn görs prmnnt :[7;]: Stg 0: Enst non nås irkt från no. Notrr tt 7+ < 3, så vi änrr n tmporär mrkringn för no : (;): Stg : Dn n kvrvrn tmporär mrkringn görs prmnnt : [;]: Nu kn vi på sn v prmnnt mrkringrn gör kåtnlysn: v 0. Därm gs n kortst vägn v v 0 ;;; oh n hr längn. 3

Making room for tomorrow

Making room for tomorrow Byggnsgui Byggnsgui 2013 Byggnsgui 2013 Innrvägg Allmänt 4-5 Sknor oh rglr 6-7 Montg 8-9 WllClik 10-11 Typr oh gruppr 12-15 Väggnyklr 16-21 Typövrsikt 22-25 Väggruppr C 26-65 Väggruppr C+ 66-93 Väggruppr

Läs mer

Företagens synpunkter på skattesystemet, skattefusket och Skatteverkets kontroll

Företagens synpunkter på skattesystemet, skattefusket och Skatteverkets kontroll Förtgns synpunktr på skttsystmt, skttfuskt oh Skttvrkts kontroll Rsultt från n riksomfttn unrsökning vårn Rpport :3 1 2 Föror Skttvrkt gör rglunt mätningr v morgrns oh förtgns syn på skttsystmt, skttfuskt,

Läs mer

Arkitekturell systemförvaltning

Arkitekturell systemförvaltning Arkitkturll systmförvaltng Mal Norström, På AB och Lköpgs Univrsitt mal.norstrom@pais.s, Svärvägn 3C 182 33 Danry Prsntrat på Sunsvall vcka 42 2009. Sammanfattng Många organisationr har grupprat sa IT-systm

Läs mer

Innan du kan använda maskinen ska du läsa den här Snabbguiden så att maskinen ställs in och installeras på rätt sätt.

Innan du kan använda maskinen ska du läsa den här Snabbguiden så att maskinen ställs in och installeras på rätt sätt. Sngui Strt här MFC-6890CDW Innn u kn nvän mskinn sk u läs n här Snguin så tt mskinn ställs in oh instllrs på rätt sätt. VARNING Tlr om hur u sk gör för tt förhinr prsonskor. Anslut INTE USB-kln ännu (om

Läs mer

Headset för det Mobila kontoret

Headset för det Mobila kontoret Hdst för dt Mobil kontort Dt t r o t n o k mobil Plntronics strtd 1962 och hr sdn dss nbrt inriktt sig på tt utvckl br kommuniktionshdst. Idg är Plntronics världsldnd på hdst och hr tt brtt utbud v hdst

Läs mer

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1:

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1: AUBER 95 9 jn AR. Den finit utomten nedn ccepterr ett språk L över = {, }. A B ε Konstruer ) ett reguljärt uttryck för L. ) L = ( ( ) ) = ( ) ) en reguljär grmmtik för L S A S A c) en miniml DFA för L.

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

INTRODUKTION. Akut? RING: 031-51 20 12

INTRODUKTION. Akut? RING: 031-51 20 12 INTRODUKTION Btch AB är i grundn tt gränsövrskridand nätvrk av ingnjörr, tknikr, tillvrkar (producntr) som alla har myckt lång rfarnht inom Hydraulik branschn. Dtta inkludrar allt från tillvrkning och

Läs mer

Hittills på kursen: E = hf. Relativitetsteori. vx 2. Lorentztransformationen. Relativistiskt dopplerskift (Rödförskjutning då källa avlägsnar sig)

Hittills på kursen: E = hf. Relativitetsteori. vx 2. Lorentztransformationen. Relativistiskt dopplerskift (Rödförskjutning då källa avlägsnar sig) Förläsning 4: Hittills å kursn: Rlativittstori Ljusastigtn i vakuum dnsamma för alla obsrvatörr Lorntztransformationn x γx vt y y z z vx t γt där γ v 1 1 v 1 0 0 Alla systm i likformig rörls i förålland

Läs mer

Innehåll. Om gasfjädrar 1. Modeller (1 dan = 1 kgf = 2.25 lbf) Cylinder. Initialkraft dan. diameter mm < 250 < 500 250 < F INIT < 750 500 < F INIT

Innehåll. Om gasfjädrar 1. Modeller (1 dan = 1 kgf = 2.25 lbf) Cylinder. Initialkraft dan. diameter mm < 250 < 500 250 < F INIT < 750 500 < F INIT DO NOT OPEN - HIGH PREURE. FIING PREURE MAX 150 BAR. PROTECT AGAINT DAMAGE. TRÖMHOMEN AB, Box 216, E-573 23 T rnås, wdn T l. +46 140 571 00, T lx +46 140 571 99 DO NOT OPEN FIING PRE PROTECT AGA TRÖMHOMEN

Läs mer

Malmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret.

Malmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret. Cykln Malmö stad, Gatukontort, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtagt av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbt md Malmö stad, Gatukontort. Txt: Run Andrbrg Illustrationr: Lars Gylldorff Min cykl Sidan

Läs mer

Malmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret.

Malmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret. Växa i trafikn Malmö stad, Gatukontort, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtagt av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbt md Malmö stad, Gatukontort. Txt: Run Andrbrg Illustrationr: Lars Gylldorff Växa

Läs mer

DEMONSTRATION TRANSFORMATORN I. Magnetisering med elström Magnetfältet kring en spole Kraftverkan mellan spolar Bränna spik Jacobs stege

DEMONSTRATION TRANSFORMATORN I. Magnetisering med elström Magnetfältet kring en spole Kraftverkan mellan spolar Bränna spik Jacobs stege FyL VT06 DEMONSTRATION TRANSFORMATORN I Magntisring md lström Magntfältt kring n spol Kraftvrkan mllan spolar Bränna spik Jacobs stg Uppdatrad dn 9 januari 006 Introduktion FyL VT06 I littraturn och framför

Läs mer

ANVÄNDNINGSOMRÅDEN PROFESSIONELLA SKRUVFUNDAMENT STAD, PARK OCH TRÄDGÅRD REKLAM, TRAFIK OCH SKYLTAR STAKET OCH STÄNGSEL

ANVÄNDNINGSOMRÅDEN PROFESSIONELLA SKRUVFUNDAMENT STAD, PARK OCH TRÄDGÅRD REKLAM, TRAFIK OCH SKYLTAR STAKET OCH STÄNGSEL www.skruvunmnt.s STAD, PARK OCH TRÄDGÅRD HALLAR OCH MODUL KONSTRUKTIONER STAKET OCH STÄNGSEL REKLAM, TRAFIK OCH SKYLTAR TRÄKONSTRUKTION ANVÄNDNINGSOMRÅDEN PROFESSIONELLA SKRUVFUNDAMENT FÖRDELAR K-SERIEN

Läs mer

Revisionsrapport 2/2010. Åstorps kommun. Granskning av lönekontorets utbetalningsrutiner

Revisionsrapport 2/2010. Åstorps kommun. Granskning av lönekontorets utbetalningsrutiner Rvisionsrapport 2/2010 Åstorps kommun Granskning av lönkontorts utbtalningsrutinr Bngt Sbring, ordf Tord Stursson, 1: v ordf. Bngt Johns, 2: v ordf. Stig Andrsson Nils Prsson Innhållsförtckning SAMMANFATTNING...

Läs mer

Vi önskar er ett trevligt Speedwaymöte i Norrköping denna helg

Vi önskar er ett trevligt Speedwaymöte i Norrköping denna helg g E o E E o g Vi öskr r tt trvligt Spwymöt i Norrköpig hlg Su Björk, Support Your Tm o g E o E E o g Vi kämpr ihop! o Välk till prsttio s pssr i på ll Spwyförigr i hl Svrig m mottot VI KÄMPAR IHOP m st

Läs mer

där a och b är koefficienter som är större än noll. Här betecknar i t

där a och b är koefficienter som är större än noll. Här betecknar i t REALRNTAN OCH PENNINGPOLITIKEN Dt finns flra sätt att närma sig frågan om vad som är n långsiktigt önskvärd nivå på dn pnningpolitiska styrräntan. I förliggand ruta diskutras dnna fråga md utgångspunkt

Läs mer

Nr 3/4 20 PYSSEL! LÄSARFOTON. Så hjälper du igelkotten

Nr 3/4 20 PYSSEL! LÄSARFOTON. Så hjälper du igelkotten N KLUBBE 13 Nr 3/4 20 PYSSEL! LÄSARFOTON Så hjälper du igelkotten i vinter 1 Hej! u är den tiden på året N då djuren förbereder sig för den kll vintern. Mång fåglr flyger långt långt bort till vrmre länder.

Läs mer

BYGGNADSGUIDE FÖR MELLANVÄGGAR & UNDERTAK

BYGGNADSGUIDE FÖR MELLANVÄGGAR & UNDERTAK BYGGNADSGUIDE FÖR MELLANVÄGGAR & UNDERTAK Byggnsguie för projektering oh yggntion v mellnväggr oh unertk. Informtionen i enn yggnsguie är frmtgen me utgångspunkt från EuroProfil AB s proukter oh förutsättes

Läs mer

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK Förord Dett kompendium innehåller övningr inom reguljär språk för kursen Formell språk, utomter och eräkningsteori som

Läs mer

Krav på en projektledare.

Krav på en projektledare. Crtifiring av projktldar. PIE. EKI. LiU. Run Olsson vrsion 20050901 sid 1 av 5 Krav på n projktldar. Intrnationlla organisationr som IPMA och PMI har formulrat vilka krav som ska ställas på n projktldar.

Läs mer

Uppskatta lagerhållningssärkostnader

Uppskatta lagerhållningssärkostnader B 13 Uppskatta lagrhållningssärkstnadr Md lagrhållningssärkstnadr ass alla d kstnadr sm hängr samman md ch ppstår gnm att artiklar hålls i lagr. Dt är fråga m rsaksbtingad kstnadr ch därmd särkstnadr,

Läs mer

T-konsult. Undersökningsrapport. Villagatan 15. Vind svag nordvästlig, luftfuktighet 81%, temp 2,3 grader

T-konsult. Undersökningsrapport. Villagatan 15. Vind svag nordvästlig, luftfuktighet 81%, temp 2,3 grader Unersökningsrpport Villgtn 15 Vin svg norvästlig, luftfuktighet 81%, temp 2,3 grer Dtum: 2011-12-19 Beställre: Sven Svensson Kmeropertör: Tom Gisserg Aress Telefon E-post Hemsi Spikrn 152 070 338 47 70

Läs mer

Revisionsrapport 2010. Hylte kommun. Granskning av samhällsbyggnadsnämndens och tillsynsnämndens styrning och ledning. Iréne Dahl, Ernst & Young

Revisionsrapport 2010. Hylte kommun. Granskning av samhällsbyggnadsnämndens och tillsynsnämndens styrning och ledning. Iréne Dahl, Ernst & Young Rvisionsrapport 2010 Hylt kommun Granskning av samhällsbyggnadsnämndns och tillsynsnämndns styrning och ldning Irén Dahl, Ernst & Young Augusti 2010 Hylt kommun Rvisorrna Innhållsförtckning SAMMANFATTNING...

Läs mer

Innovation GAT med guldkant

Innovation GAT med guldkant Innovtion GT med guldknt Med nytänknde och uppfinningsrikedom hr bubbelbdkret nu tgits till en helt ny nivå. tt bdkr ur GTs Innovtion-serie ger dig fler vlmöjligheter, enklre funktioner och mssge utöver

Läs mer

Lust och risk. ett spel om sexuell hälsa och riskbeteenden

Lust och risk. ett spel om sexuell hälsa och riskbeteenden Lust och risk tt spl om sxull hälsa och riskbtndn 2 / 11 GR Upplvlsbasrat Lärand GR Utbildning Upplvlsbasrat Lärand (GRUL) syftar till att utvckla, utbilda och gnomföra vrksamht md dn upplvlsbasrad pdagogikn

Läs mer

GOLV. Norgips Golvskivor används som underlag för golv av trä, vinyl, mattor och andra beläggningar. Här de tre viktigaste konstruktionerna

GOLV. Norgips Golvskivor används som underlag för golv av trä, vinyl, mattor och andra beläggningar. Här de tre viktigaste konstruktionerna GOLV Norgips Golvskivor nvänds som underlg för golv v trä, vinyl, mttor och ndr beläggningr. Här de tre viktigste konstruktionern 1. Ett lg golvskivor på träunderlg 2. Flytnde golv med två lg golvskiv

Läs mer

Regionmagasinet. Är det alltid bäst med piller? Här finns fler än ett skelett i garderoben. Valet till regionfullmäktige görs om 15 maj

Regionmagasinet. Är det alltid bäst med piller? Här finns fler än ett skelett i garderoben. Valet till regionfullmäktige görs om 15 maj Rgionmgsint n tidning från Västr Götlndsrgionn www. vgrgion. s nr 1. 2011 Är dt lltid bäst md pillr? tmnummr för dig som vill vt mr om läkmdl Här finns flr än tt skltt i grdrobn Sid 23 Vlt till rgionfullmäktig

Läs mer

upp maskinen och kontrollera komponenterna

upp maskinen och kontrollera komponenterna Snguie Strt här MFC-J6520DW MFC-J6720DW Läs igenom prouktsäkerhetsguien innn u ställer in mskinen. Därefter läser u igenom snguien så tt u kn ställ in oh instller mskinen på rätt sätt. VARNING VAR FÖRSIKTIG

Läs mer

Våra värderingar visar vilka vi är resultat från omröstningen

Våra värderingar visar vilka vi är resultat från omröstningen Nummr 1 2014 Anglica är vår nya intrnrvisor Våra värdringar visar vilka vi är rsultat från omröstningn NKI och mdarbtarundrsökning båd ris och ros Ldarn Ansvarstagand Ett åtrkommand tma i dt här numrt

Läs mer

ADAD. Med tillägg för socialtjänsten. Instruktioner. Problemtyngd 0 1 2 3 0 1 2 3 Problemområde 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Fysisk hälsa

ADAD. Med tillägg för socialtjänsten. Instruktioner. Problemtyngd 0 1 2 3 0 1 2 3 Problemområde 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Fysisk hälsa ADAD Me tillägg för soiltjänsten Version: 090801 ADAD - Aolesent Drug Ause Dignosis är en stnriser intervju oh hr utveklts v Alfre Friemn oh Arlene Ut vi Philelphi Psyhitri Center, USA, i slutet v 1980-tlet.

Läs mer

Facit - Tänk och Räkna 5b

Facit - Tänk och Räkna 5b Mätning oh sttistik Fit Tänk oh Räkn..0. 0.0 minuter i minuter i hlv minuter i minuter i. eller.. 9.9 eller.9.. eller 0. 0.0. eller. 0. 9 0 0 s 00 s 0 s 0 s 0 min 90 min min 0 min h h 0 h h h min h min

Läs mer

Finita automater, reguljära uttryck och prefixträd. Upplägg. Finita automater. Finita automater. Olika finita automater.

Finita automater, reguljära uttryck och prefixträd. Upplägg. Finita automater. Finita automater. Olika finita automater. Finit utomter, reguljär uttryck och prefixträd Algoritmer och Dtstrukturer Mrkus Sers mrkus.sers@lingfil.uu.se Upplägg Finit utomter Implementtion Reguljär uttryck Användningr i Jv Alterntiv till inär

Läs mer

Programmeringsguide ipfg 1.6

Programmeringsguide ipfg 1.6 Progrmmeringsguide ipfg 1.6 Progrmmeringsklr i-ört pprter (CIC, knl, fullonh) Progrmmeringsklr kom-ört pprter CS-44 Phonk-version Progrmmeringsklr miropprter CS-44 Phonk-version 1 2 1 2 1 2 ipfg 1.6 stndrd

Läs mer

Revisionsrapport 7/2010. Åstorps kommun. Granskning av intern kontroll

Revisionsrapport 7/2010. Åstorps kommun. Granskning av intern kontroll Rvisionsrapport 7/2010 Åstorps kommun Granskning av intrn kontroll Bngt Sbring, ordf Tord Stursson, 1: v ordf. Bngt Johns, 2: v ordf. Stig Andrsson Nils Prsson Rvisorrna Innhållsförtckning SAMMANFATTNING...

Läs mer

EKOTRANSPORT 2030. Vägen till en fossiloberoende fordonsflotta. #eko2030

EKOTRANSPORT 2030. Vägen till en fossiloberoende fordonsflotta. #eko2030 FOTO: CHINAFACE #ko2030 mmmnn m m o k o ä k l V Vä ssnn oom n n r r f ttiillll kkoonf hållbaarraa ns ffrraam mtid tt occhh rröörrlliigghh rtrr ort trtraannssppo EKOTRANSPORT 2030 Vägn till n fossilobrond

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

Medborgarnas synpunkter på Skatteverkets sätt att arbeta. Brukarundersökningen. Resultat från en riksomfattande undersökning maj-juni 2012

Medborgarnas synpunkter på Skatteverkets sätt att arbeta. Brukarundersökningen. Resultat från en riksomfattande undersökning maj-juni 2012 Meorgrns synpunkter på Sktteverkets sätt tt ret Brukrunersökningen Resultt från en riksomfttne unersökning mj-juni Rpport 2013:1 1 2 Föror Sktteverket gör regelunet mätningr v meorgrns oh företgens syn

Läs mer

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering. 1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",

Läs mer

MER MASSAGE - MINDRE LJUD

MER MASSAGE - MINDRE LJUD MR MSSG - MINR LJU Nytt unikt bottensystem med vttenmssge Nytt unikt system - dkr med ljusterpi System sic, ett något enklre mssgesystem Nytt system i xclusive serien Revolutionernde tyst mssge ger en

Läs mer

Skriv meningar. Använd orden i burkarna. mus. myra. Använd bokstäverna och gör egna ord. Hitta ord. Skriv de ord som fi nns i ordet: PASS

Skriv meningar. Använd orden i burkarna. mus. myra. Använd bokstäverna och gör egna ord. Hitta ord. Skriv de ord som fi nns i ordet: PASS Fit sid. 2 5 Skriv orden till dern. Skriv meningr. Använd orden i burkrn. Lös ordflätn. Oj, här hr det blivit fel d. Det sk vr en penn. bok kk Vem är jg? Svret får du i de blå rutorn. båt fyr lego Jg tr

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

KOMMUNIKATIVT LEDARSKAP 2

KOMMUNIKATIVT LEDARSKAP 2 KOMMUNIKATIVT LEDARSKAP 2 5 RAPPORT METOD OCH PROCESS FÖR UTVÄRDERING Ctrin Johnsson Vrnon D. Millr CORE COMMUNICATION, ORGANIZATION, RESEARCH, EDUCATION DEMICOM DEPARTMENT OF MEDIA AND COMMUNICATION MID

Läs mer

13.9.2006 Dnr 6/002/2006. Till pensionsstiftelser som bedriver tilläggspensionsskydd och är underställda lagen om pensionsstiftelser

13.9.2006 Dnr 6/002/2006. Till pensionsstiftelser som bedriver tilläggspensionsskydd och är underställda lagen om pensionsstiftelser FÖRESRIFT 13.9.2006 Dnr 6/002/2006 Till pensionsstiftelser som edriver tilläggspensionsskydd och är underställd lgen om pensionsstiftelser FÖRSÄRINGSTENIS BERÄNINGR OCH DERS BERÄNINGSGRUNDER FÖR PENSIONSSTIFTELSER

Läs mer

Nivåtest i svenska. Det är lärormaterial med test. Det är anvandbart både för lärare och elev.

Nivåtest i svenska. Det är lärormaterial med test. Det är anvandbart både för lärare och elev. Nivåtest i svensk Nivåtest i svensk Föror Det är lärormteril me test. Det är nvnrt åe för lärre oh elev. Här kommer nivåtest i svensk. Du måste välj ett äst svr. Testet sk ge ig en sn ié om in språkkunskper.

Läs mer

Sångerna är lämpliga att framföra vid bröllop, speciella fester och romantiska tillfällen för Kärlekens skull... GE 11176

Sångerna är lämpliga att framföra vid bröllop, speciella fester och romantiska tillfällen för Kärlekens skull... GE 11176 FÖROR So en sträng å gtrren och so tonern dn vs..., så börjr texten Ulrk Neuns underbr Kärleksvls. Vd kn vr ljuvlgre än gtrrens sröd och nnerlg ton so tllsns ed sången kn sk sådn stänng och rontsk tosfär.

Läs mer

@Anticimex' Byg g n ad sb e skriv n i n g Bosfads bygg n ad. Stomme, material: Byggnadsår/ ombyggnadsår: 1963/ Hustyp/antal våningar:

@Anticimex' Byg g n ad sb e skriv n i n g Bosfads bygg n ad. Stomme, material: Byggnadsår/ ombyggnadsår: 1963/ Hustyp/antal våningar: BESI KT I GS PROTOKOLL - Antiimx Fösäkingsbsiktning v småhus Byg g n d sb skiv n i n g Bsfds bygg n d J I m '- ' uq I Byggndså/ mbyggndså: 193/ Hustyp/nt våning: 2-pns phus Tktyp, tkbäggning : Ppp, ågutnd

Läs mer

DIAGONALISERING AV EN MATRIS

DIAGONALISERING AV EN MATRIS Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Digoliserig v e mtris DIAGONALISERING AV EN MATRIS Defiitio ( Digoliserbr mtris ) Låt A vr e vdrtis mtris dvs e mtris v typ. Mtrise A är digoliserbr om det fis e iverterbr

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

2014-2015. Programinformation Teknikcollege Allhamra. Kinda Lärcentrum Kontakt. Teknisk utbildning, för framtida anställning

2014-2015. Programinformation Teknikcollege Allhamra. Kinda Lärcentrum Kontakt. Teknisk utbildning, för framtida anställning Kid Lärctrum Ktkt www.kidlrctrum.s lrctrum@kid.s Bsök ss på Klmrväg 18 i Kis tl: 0494-191 73/190 00 Prgrmifrmti Tkikcllg Allhmr 2014-2015 Tkisk utbildig, för frmtid ställig Skl Tkikcllg Allhmr är lit skl

Läs mer

POSTKODVINSTER á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 234 lottnummer 1.000 kronor vardera:

POSTKODVINSTER á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 234 lottnummer 1.000 kronor vardera: Dragningsresultat vecka 04-2015 Här nedan kan du se om du är en av de lyckliga vinnarna i veckans utlottning i Svenska PostkodLotteriet. När du har vunnit betalar vi automatiskt ut dina vinstpengar till

Läs mer

Teknisk manual STANDARD/GAS/EL. GATE Rehab Development AB

Teknisk manual STANDARD/GAS/EL. GATE Rehab Development AB STANDARD/GAS/EL Teknisk mnul s GATE Reh Development AB Iserg, S-333 9 Smålnsstenr Telefon +46(0)37 38 00 Fx +46(0)37 38 0 E-post info@gter.se www.gter.se STANDARD Detljförtekning h 3 g e i ) Armstöspltt

Läs mer

NYTT STUDENT. från Växjöbostäder. Nu öppnar vi portarna på Vallen, kom och titta, sidan 3. Så här håller du värmen, sidan 4.

NYTT STUDENT. från Växjöbostäder. Nu öppnar vi portarna på Vallen, kom och titta, sidan 3. Så här håller du värmen, sidan 4. STUDENT DECEMBER 2014 NYTT från Växjöbostädr p p a n d m t l k n d i Boka tvätt ttar ä r b s u p m a C å ig p Områdsansvar Nu öppnar vi portarna på Valln, kom och titta, sidan 3. Så här hållr du värmn,

Läs mer

En satsning på fritid, vetenskap och kultur i Västerås

En satsning på fritid, vetenskap och kultur i Västerås En stsning på fritid, vetenskp och kultur i Västerås Innehållsförteckning sid Reseskildring 2 Observtoriet i Bälinge 3 Observtoriern i Åkest (fotomontge) 4 Agend för möte den 2008-02-14 5 Brev till VARF's

Läs mer

Tanken och handlingen. ett spel om sexuell hälsa och ordassociationer

Tanken och handlingen. ett spel om sexuell hälsa och ordassociationer Tankn och handlingn tt spl om sxull hälsa och ordassociationr 2 / 13 GR Upplvlsbasrat Lärand GR Utbildning Upplvlsbasrat Lärand (GRUL) syftar till att utvckla, utbilda och gnomföra vrksamht md dn upplvlsbasrad

Läs mer

SPEL OM PENGAR FÖR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? VERKTYG, ÖVNINGAR OCH KUNSKAPSBANK FÖR ARBETE MED SPEL OM PENGAR I SKOLAN

SPEL OM PENGAR FÖR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? VERKTYG, ÖVNINGAR OCH KUNSKAPSBANK FÖR ARBETE MED SPEL OM PENGAR I SKOLAN Övningr och verktyg för år 7-9 och gymnsiet SPEL OM PENGAR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? ANPASSAT FÖR BLAND ANNAT SVENSKA, SPEL I KONSTHISTORIEN BILD, MATEMATIK OCH SAMHÄLLSKUNSKAP IILLEGALT SPEL VERKTYG, ÖVNINGAR

Läs mer

Villaelpanna. Installation, drift och skötsel

Villaelpanna. Installation, drift och skötsel Installation, drift oh skötsl Villalpanna 250 Arklstorpsvägn 88 tl 044-22 63 20 info@varmbaronn.s 291 94 Kristianstad fax 044-22 63 58 www.varmbaronn.s ELOMAX_250_v2_sv_2010-09-23_4.13 utg: v.4.13 Ersättr:

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk.

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk. Mtemtisk sttistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 1 John Lindström 1 september 2014 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMS086/MASB02 F1 2/26 Exempel Tillämpningr Signlbehndling Mtemtisk sttistik

Läs mer

Var femte folkvald sverigedemokrat är sjukpensionär

Var femte folkvald sverigedemokrat är sjukpensionär Mdlinkomstr AVSLÖJAR kr/år. 66 Torsdg??? Torsdg17 17mj mj Får bidrg sd* Vr fmt folkvld svrigdmokrt är sjukpnsionär På svrigdmokrtrns mndt sittr i dg 246 prsonr. 204 v dss, 82,9 procnt, är i rbtsför åldr.

Läs mer

SLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING

SLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING SLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING FOC_SLING_1107 Introduktion Dett är en ruksnvisning för det dynmisk rmstödet SLING som monters på rullstol, stol eller nnn nordning. SLING tillverks v FOCAL Meditech,

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF635, Signaler och system I Tentamen tisdagen 0--, kl 4 00 9 00 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook Räknedosa utan program Formelsamling i Signalbehandling (rosa), Formelsamling för Kursen SF635 (ljusgrön)

Läs mer

...andra viktiga frågor. risktester

...andra viktiga frågor. risktester sex rugs &... ...nr viktig frågor lkohol fetm trfik rökning motion + 2 risktester nikotin lkohol? Hur myket är ett stnrgls? = = mellnöl, long rink, ier 0,33 l lättvin 12 l strksprit 4 l Spriten gör mnnen...

Läs mer

Mer av livet. Riksten Friluftsstad.

Mer av livet. Riksten Friluftsstad. i n h Mer v livet. Riksten Friluftsst. v i r r 0 e e 20100818 20:34:58 Skön småstskänsl Riksten Friluftsst växer och blir en stsel me skön småstskänsl. Me fler byggherrr och rkitekter kommer en nturlig

Läs mer

KLARA Manual för kemikalieregistrerare

KLARA Manual för kemikalieregistrerare KLARA Mnul för kemiklieregistrerre Version 16.4 (2015-05-08) Utrbetd v Anders Thorén och Björn Orheim Först utgåv 2002-11-01 Innehåll Introduktion 3 Vd är KLARA? 3 Systemkrv och övrig informtion 3 Vd säger

Läs mer

TERRASSNYTT. Funderingar från en terrass

TERRASSNYTT. Funderingar från en terrass Informtionsbld för HSB Brf Terrssen i Ulnds Väsby TERRASSNYTT Nr 2 Aril 2014 I dett nummer bl : Nyinflyttrträff... sid 2 Målning, rboler och UC-byte... sid 2 Trfiken frmför hus 1... sid 2 Fsighetsskötsel,

Läs mer

IMMA - Framtidens massagebadkar 3. Badkar 4. Badkar med ljusterapi 5. Massagebadkar med system Basic 6. Massagebadkar med system Exclusive 8

IMMA - Framtidens massagebadkar 3. Badkar 4. Badkar med ljusterapi 5. Massagebadkar med system Basic 6. Massagebadkar med system Exclusive 8 Ljudlös mssgebdkr IMM - Frmtidens mssgebdkr dkr dkr med ljusterpi Mssgebdkr med system sic Mssgebdkr med system xclusive Mssgebdkr med system Superior 0 Krmodeller Funktioner Mssgeprogrm lndre Frktvillkor

Läs mer

Möt Privata Affärers och Placeringsguidens aktiva läsekrets

Möt Privata Affärers och Placeringsguidens aktiva läsekrets 2014 Möt Pvt Affäs och Pcngsgudns ktv äskts Und 2013 stod nnonsön på Sto Pcngskvän nskt mot nskt md 1 500 v vå mst pcngsntssd äs. Sto Pcngskvän Bok n hkvä md Pvt Affäs och Pcngsgudns ktv äskts Pvt Affä

Läs mer

SAMMANFATTNING... 3 1. INLEDNING... 4. 1.1 Bakgrund... 4 1.2 Inledning och syfte... 4 1.3 Tillvägagångssätt... 5 1.4 Avgränsningar... 5 1.5 Metod...

SAMMANFATTNING... 3 1. INLEDNING... 4. 1.1 Bakgrund... 4 1.2 Inledning och syfte... 4 1.3 Tillvägagångssätt... 5 1.4 Avgränsningar... 5 1.5 Metod... Rvisionsrapport 2010 Malmö stad Granskning av policy och riktlinjr samt intrn kontroll mot mutor tc. Jakob Smith och Josabth Alfsdottr dcmbr 2010 Innhållsförtckning SAMMANFATTNING... 3 1. INLEDNING...

Läs mer

Yrkes-SM. tur och retur. E n l ä r a r h a n d l e d n i n g k r i n g Y r k e s - S M

Yrkes-SM. tur och retur. E n l ä r a r h a n d l e d n i n g k r i n g Y r k e s - S M Yrks-SM tur och rtur E n l ä r a r h a n d l d n i n g k r i n g Y r k s - S M Yrks-SM 2010 Dt prfkta studibsökt Dn 19-21 maj 2010 arrangras nästa svnska mästrskap i yrksskicklight. Platsn är Götborg och

Läs mer

XIV. Elektriska strömmar

XIV. Elektriska strömmar Elektromgnetismens grunder Strömmens riktning Mn definierr tt strömmen går från plus (+) till minus (-). För tt få till stånd en ström måste mn. Spänningskäll 2. Elektriskt lednde ledningr 3. Sluten krets

Läs mer

Bruksanvisning. Komma igång. Grundläggande sömnad. Nyttosömmar. Monogram/ dekorativa sömmar. Broderi. Redigera broderier

Bruksanvisning. Komma igång. Grundläggande sömnad. Nyttosömmar. Monogram/ dekorativa sömmar. Broderi. Redigera broderier Komm igång Dtoriser sy- oh royrmskin Bruksnvisning Prout Coe (Prouktko):882-S96 Grunläggne sömn Nyttosömmr Monogrm/ ekortiv sömmr Broeri Reiger roerier MY CUSTOM STITCH (MIN EGEN SÖM) Bilg Besök vår hemsi

Läs mer

!Anmäl omgående till transportören/

!Anmäl omgående till transportören/ Läs dett vid mottgndet v ditt Str Center Kök eller Bomnkök! Viktigt tt tänk på! När levernsen kommer, kontroller ntlet kollin smt tt emllget är oskdt. Anmäl omgående till trnsportören / leverntören synligt

Läs mer

MAMMA, JAG HAR ONT I MAGEN! - en studie om barn med ospecifika magsmärtor.

MAMMA, JAG HAR ONT I MAGEN! - en studie om barn med ospecifika magsmärtor. HÖGSKOLAN I KARLSTAD Institutionen för utbildningsvetenskp och psykologi MAMMA, JAG HAR ONT I MAGEN! - en studie om brn med ospecifik mgsmärtor. C-uppsts i psykologi, 10 poäng vt 1996 Förfttre: AnnBritt

Läs mer

H m24 Prislista. webb reklam. media sweden

H m24 Prislista. webb reklam. media sweden H m24 Prislista w rw wbb rklam mdia swdn 20% RABATT gällr för nytcknad abonnmang ABONNEMANG Paktprisr gällr t.o.m -12-31 KATEGORIER BASIC STANDARD PREMIUM PREMIUM PLUS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Halvår Hlår

Läs mer

Internationella Sverige. EU-projekt som märks Swedish ignorance Miljöstatus på glid. Marknadsföreningen i Helsingborgsregionen

Internationella Sverige. EU-projekt som märks Swedish ignorance Miljöstatus på glid. Marknadsföreningen i Helsingborgsregionen Mrkndsförningn i Hlsingborgsrgionn Nr 1 2014 EU-projkt som märks Swdish ignornc Miljösttus på glid Anmäl dig till Frukostklubbn Intrntionll Svrig Dn mst såld produktionn innn n prmiär i Hmburgr börs histori

Läs mer

ENTREPRENÖRSLÖSNINGAR INOM VÅRD, SKOLA OCH OMSORG

ENTREPRENÖRSLÖSNINGAR INOM VÅRD, SKOLA OCH OMSORG Forskning och studir kring kvinnors arbtsliv, karriärutvckling, hälsa och gna förtagand. Förlag som spridr kunskapn ENTREPRENÖRSLÖSNINGAR INOM VÅRD, SKOLA OCH OMSORG MONICA RENSTIG VD, forskar,dbattör

Läs mer

Kostnad per brukare. Vård och omsorg om äldre och personer med funktionsnedsättning 2014

Kostnad per brukare. Vård och omsorg om äldre och personer med funktionsnedsättning 2014 Kostnd p buk Våd och omsog om äld och pson md funktionsndsättning 2014 Kostnd p buk Våd och omsog om äld och pson md funktionsndsättning 2014 Upplysning om innhållt: Cmill Eiksson, cmill.iksson@skl.s

Läs mer

Med alla härliga upplevelser från förra året i

Med alla härliga upplevelser från förra året i ! t v i L a l H n. t h g i l k r rv ö f s a t s u r Ut Midsommarkonfrns Ralingsåsgårdn, Anby 19-22 juni 2014 ! t v i L a l H s! å s g n i l a R ill t n m m o Välk Md alla härliga upplvlsr från förra årt

Läs mer

EKOTRANSPORT 2030. Vägen till en fossiloberoende fordonsflotta. #eko2030

EKOTRANSPORT 2030. Vägen till en fossiloberoende fordonsflotta. #eko2030 FOTO: CHINAFACE #ko2030 mmmnn m m o k o ä k l V Vä ssnn oom n n r r f ttiillll kkoonf hållbaarraa ns ffrraam mtid tt occhh rröörrlliigghh rtrr ort trtraannssppo EKOTRANSPORT 2030 Vägn till n fossilobrond

Läs mer

Louise. Hayde. Nadja. kommer Förbandet är ju nästan klara showen börjar snart och vi har inte ens kommit in än

Louise. Hayde. Nadja. kommer Förbandet är ju nästan klara showen börjar snart och vi har inte ens kommit in än l v M Tl på v ll omp T OP Mo D m k u f. lo k o oc gg f å y l T J, m h mobl vg! D lk h komm å ho kk? V gå! Jg h US 7 gåg föu på fvl, m å o jg mglåg få c, u vll jg å lg fm, jj! Och h jg u kk jg få uogf Hy

Läs mer

Integrerade ledningssystem artikelsamling

Integrerade ledningssystem artikelsamling Intgrrad ldningssystm artiklsamling Stockholm 2005-01-14 Dt är ffktivt och dt lönar sig att jobba intgrrat. Många organisationr jobbar idag md tt llr flra ldningssystm. Eftrsom strukturrna då är på plats

Läs mer

LED-SERIERNA SE OL/AoL OCH OFR/AFR LED-ARMATURER FÖR UTOMHUSBRUK I SERIEN OL/AOL OCH LED-STRÅLKASTARE I SERIEN OFR/AFR

LED-SERIERNA SE OL/AoL OCH OFR/AFR LED-ARMATURER FÖR UTOMHUSBRUK I SERIEN OL/AOL OCH LED-STRÅLKASTARE I SERIEN OFR/AFR LED-SERIERNA SE OL/AoL OCH OFR/AFR LED-ARMATURER FÖR UTOMHUSBRUK I SERIEN OL/AOL OCH LED-STRÅLKASTARE I SERIEN OFR/AFR LJUSKRAFT MÖTER SMART DESIGN DE NYA LED-SERIERNA FRÅN ESYLUX KRAFTFULLA, EFFEKTIVA

Läs mer

Från fotbollsplan till affärsplan. Berättelsen om Newbody

Från fotbollsplan till affärsplan. Berättelsen om Newbody Från fotbollspln till ffärspln Berättelsen om Newbody Vi hjälper skolor och föreningr tt tjän pengr till cuper, träningsläger och skolresor. Genom tt sälj vår populär strumpor och underkläder kn de lätt

Läs mer

Claudia Eberan Jaså! Der Schwedischkurs Lärarhandledning

Claudia Eberan Jaså! Der Schwedischkurs Lärarhandledning Clui Eern Jså! Der Shweishkurs Lärrhnlening Inlening Jså! är ett moernt oh kommuniktivt läromeel för unervisning i svensk som främmne språk inom vuxenutilningen. Det omfttr nivå B på Europråets nivåskl

Läs mer

Ekonomisk ansvarig (verksamhetschef eller motsvarande som har ekonomiskt ansvar för projektet) Förnamn och efternamn

Ekonomisk ansvarig (verksamhetschef eller motsvarande som har ekonomiskt ansvar för projektet) Förnamn och efternamn Organisation Ansvarig organisation Utdelningsadress Postnummer Ansökningsblankett för år 2013 Ansökan skickas per post till Region Skåne, Diariet, Regionkansliet, 291 89 Kristianstad. Digital kopia till

Läs mer

STJÄRNEXTRA. Följ med på studiebesök till Regionalsjukhuset Bagarmossen. Missa inte föredaget med Cecilia Müller

STJÄRNEXTRA. Följ med på studiebesök till Regionalsjukhuset Bagarmossen. Missa inte föredaget med Cecilia Müller STJÄRNEXTRA Svnska Blå Stjärnan - Stockholms Förbunds Mdlmstidning SEPTEMBER nr 3/2014 Följ md på studibsök till Rgionalsjukhust Bagarmossn av g n i n k r ä t förs m o g a t pn r a k s d Rpo r a krisb

Läs mer

1. Tvätta händerna och abborrens yttre samt använd rent material. Lägg abborren på skärbrädan framför dig. Studera dess utseende.

1. Tvätta händerna och abborrens yttre samt använd rent material. Lägg abborren på skärbrädan framför dig. Studera dess utseende. 1 st färsk orre - Denn kn du köp i en livsmedelsutik som hr fiskdisk. Koll så tt den inte livit rensd (men hr de oftst inte livit). Aorren ör helst väg 250 g eller mer, nnrs kn det li lite pilligt. 1 st

Läs mer

Råd och hjälpmedel vid teledokumentation

Råd och hjälpmedel vid teledokumentation Råd och hjälpmedel vid teledokumenttion Elektrisk Instlltörsorgnistionen EIO Innehåll: Vd skiljer stndrdern åt När sk vilken stndrd nvänds Hur kn gmml och ny stndrd kominers Hur kn dokumenttionen förenkls

Läs mer

HÄRJEDALENS KOMMUN RENHÅLLNINGSTAXA

HÄRJEDALENS KOMMUN RENHÅLLNINGSTAXA HÄRJEDALENS KOMMUN RENHÅLLNINGSTAXA 2009 Renhållningstx för Härjedlens kommun Antgen v kommunfullmäktige 2006-11-27 1 Den renhållning som enligt miljölken åvilr kommunen, omesörjes v Rexcer AB som hr ntgits

Läs mer

Guide till SS-EN ISO 13855 ny standard för placering av tekniska skydd

Guide till SS-EN ISO 13855 ny standard för placering av tekniska skydd äkrht ICK äkrht ICK Guid till -EN IO 13855 ny stndrd för plcring v tknisk skydd För tt tt skydd sk kunn plcrs på rätt vstånd till riskområdt krävs n noggrnn räkning. Till stöd finns nu n ny viktig stndrd,

Läs mer

Kallelse till årsstämma i Samfälligheten Askträdet

Kallelse till årsstämma i Samfälligheten Askträdet Kllelse till årsstämm i Smfälligheten Askträdet Hej, Vrmt välkomn till års stämm för medlemmrn i Smfälligheten Askträdet; Torsdg mrs 9. på Förskoln Tårpilsgränd Väl mött, Styrelsen . Vl v mötesordförnde

Läs mer

zrfl-!l avnin"?*y aon 1-Jd/.tsa tnåhtuikh(fl9f: t-u"nne ä *-* {"Kan frcr t*sf,a Kursutvärdering 6b @ s@ n Nej @i23+s$)a ! Fanns ej n Fanns ej

zrfl-!l avnin?*y aon 1-Jd/.tsa tnåhtuikh(fl9f: t-unne ä *-* {Kan frcr t*sf,a Kursutvärdering 6b @ s@ n Nej @i23+s$)a ! Fanns ej n Fanns ej Kursutvärdering Namn l_o_releg Kurs zrfl-!l Var dina förkunskaper tillräckliga för kursen? Kommer du att ha användning for dina nya kunskaper? -;;jf;;,"5arre': Ku 2 3 Flu Ela n ror tågt &.1" s@ KOK n ruey

Läs mer

SKOLRESA. På Gotland!

SKOLRESA. På Gotland! 2016 * SKOLRESA På Gotld! Skolpkt I pktt igå följd: Båt t/, luch/middg v på övft. Butf Viby Hm-KippbyViby Hm. Logi i um/tugo md hlpio. Fi té hl vitl till Kippby Somm- & Vttld. Eklt pivät fö hl kl! Miigolf

Läs mer

Sandviksverket. Välkommen till Växjö Energi! / Charlie :)

Sandviksverket. Välkommen till Växjö Energi! / Charlie :) V u j g ch jö? I å f Vxjö Eg åg fö g. H f åg j ch ug x. V Vxjö Eg! S Jg h hf f h på fög ch ju u j jg f ch ucg Wx... / Ch :) V Vxjö Eg! V gg fö u uf på TV g g g h ch hu? D ju hg Vxjö Eg. V h puc y ch ch

Läs mer

Månadsrapport för januari-mars 2015 för Landstingsfastigheter Stockholm. Anmälan av månadsrapport för Landstingsfastigheter januari-mars 2015.

Månadsrapport för januari-mars 2015 för Landstingsfastigheter Stockholm. Anmälan av månadsrapport för Landstingsfastigheter januari-mars 2015. locum. VÄRD FR VÅRD 2015-05-07 2015-05-28 - ÄRD 12 AMÄLA r.oc 1501-0234 1 (1) Styrlsn för Locum AB Månadsrapport för januari-mars 2015 för Landstingsfastightr Stockholm Ärndt Anmälan av månadsrapport för

Läs mer

Hur. Grönt hjärta, med naturen i åtanke. Nanoleaf och siffror:

Hur. Grönt hjärta, med naturen i åtanke. Nanoleaf och siffror: Vi är tt förtag md tt starkt miljötänk där vi skapar produktr md hållbarht som vår mission. Vi utvcklar våra produktr md n god dsign, spännand lösnar som skall uppmuntra till n mr hållbar livsstil. Md

Läs mer

Hem24 Annonsblad. media sweden. webb reklam. T e k n i s k a s p e c. - A n n o n s f o r m a t e n & P r i s e r

Hem24 Annonsblad. media sweden. webb reklam. T e k n i s k a s p e c. - A n n o n s f o r m a t e n & P r i s e r Hm24 Annonsblad T k n i s k a s p c. A n n o n s f o r m a t n & P r i s r w rw wbb rklam mdia swdn h m24 ALLT FÖR DITT HUS & HEM MODULPRISLISTA. MODULFORMAT FÖR ANNONSYTA Halvsida V A2 Hlsida A1 125 x

Läs mer

Knagge. Knaggarna tillverkas av 2,0 ± 0,13 mm galvaniserad stålplåt och har 5 mm hål för montering med ankarspik eller ankarskruv.

Knagge. Knaggarna tillverkas av 2,0 ± 0,13 mm galvaniserad stålplåt och har 5 mm hål för montering med ankarspik eller ankarskruv. Knagg Knaggarna kan t.x. användas vid förbindning mllan ar och ar. I kombination md fäst är bärförmågan stor vid vältand och lyftand kraftr. Knaggarna tillvrkas av 2,0 ± 0,13 mm galvanisrad stålplåt och

Läs mer

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 270 lottnummer 1.000 kronor vardera:

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 270 lottnummer 1.000 kronor vardera: Dragningsresultat vecka 14-2015 Här nedan kan du se om du är en av de lyckliga vinnarna i veckans utlottning i Svenska PostkodLotteriet. När du har vunnit betalar vi automatiskt ut dina vinstpengar till

Läs mer

EasyMP Multi PC Projection-bruksanvisning

EasyMP Multi PC Projection-bruksanvisning EsyMP Multi PC Projection-bruksnvisning Innehåll 2 Om EsyMP Multi PC Projection Olik typer v möten med EsyMP Multi PC Projection... 5 Håll möten och nvänd fler bilder...5 Håll fjärrmöten över ett nätverk...

Läs mer