v v v v 5 v v v 4 (V,E ) (V,E)

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "v v v v 5 v v v 4 (V,E ) (V,E)"

Transkript

1 . Grftori Btylsn v ilr som stö oh inspirtion för mtmtisk rsonmng kn knppst övrsktts. Stuirn v nkl ilr hr gtt oss grftorin. Tyvärr, llr lykligtvis, visr t sig snt tt nkl oh nturlig frågställningr om nkl ilr lr till synnrlign komplir komintorisk rsonmng. I tt inln kpitl om grftori kommr vi tt nöj oss m grunläggn trminologi oh någr rsultt som är nkl tt vis. Grfr Dnition. En Grf (V;E) står v två mängr V oh E v nor (iln hörn, vrtx på nglsk) rspktiv ågr (iln kntr, g på nglsk), är vrj åg E går mlln två olik nor i V; ågns änpunktr, oh är t int nns r ågr m smm änpunktr. Nor rits som ft punktr (iln nmngivn). änpunktrn ; V, så intirs ågn m mängn f; g = f; g =. Om (V;E) är n grf oh E är n åg m Figur. Två grfr. Till vänstr n grf m mängn v nor V = f; ; ; g oh mängn v ågr E = ff; g; f; g; f; gg. Figur. Exmpl på multigrfr som int är grfr. Dnition. Inmultigrf tillåtr vi mr än n åg mlln tt pr v nor, smt ågr från n no till smm no. Spillt notrr vi tt vrj grf är n multigrf.

2 Hrr MBrin oh hns fru April ornr n fst oh jur fyr nr gift pr. En l v människorn hälsr på vrnr å träs, mn nturligtvis hälsr ingt pr på vrnr. Då fstn slutr frågr Hrr MBrin ll nr, på hur mång människor hr hälst oh hn rhållr 9 olik svr. Hur mång människor häls på April? Lösning: Vi konstrurr n grf vrs nor är människor på fstn oh t nns n åg f; g å oh hr hälst på vrnr. Emn t nns 9 människor utövr Hrr MBrin oh mximl ntlt hälsningr i vilkt n prson kn vr involvr i är 8, så följr tt olik svrn som Hrr MBrin k måst vr 0; ; ; 3; 4; ; 6; 7; 8. Vi tknr norn m ss siror oh nvänr M för tt tkn Hrr MBrin. Vi får följn ilrprsnttion v grfn: 8 M Figur 3. Non 8 smmnins m ll nr nor utom n, som måst vr äkt hälft till 8. Dnn no måst vr 0, vrför 8 oh 0 är gift oh 8 smmnins m ; ; :::; 7;M. Spillt gällr tt oh 8 smmnins oh tt är n ågn utgån från. Såls är 7 int smmnkoppl m 0 oh, oh ärm är 7 oh gift, (mn 0 oh 8 är gift). Fortsättr vi på tt sätt, sr vi tt 6 oh, smt oh 3 är gift pr. Dt följr tt M oh 4 är gift, värför non 4 är April som hälsr på 4 människor. Fstän ilrprsnttionr v grfr förstås v människor, så är värlös när vi önskr kommunir m n tor. För tt änmål måst vi rprsntr n grf m någon typ v tll, xmplvis n mtrisrprsnttion. Dnition. Vi sägr tt två nor oh ingrf är grnnr om f; g är n åg, vs. om oh förns v n åg. Låt (V;E) vr ngrf m jv j = n; (här oh i fortsättningn tknr jbj ntlt lmnt i n mäng B ). Låt V = fv ; :::; v n g vr norn. Grnnmtrisn A för (V;E) är n n n mtris vrs lmnt A i;j = ; om v i oh v j är grnnr; 0; nnrs. För ll i; j gällr t tt A i;j = A j;i, vrför A är symmtrisk m nollor på igonln.

3 Dt nns vritionr v ovnstån rprsnttion. Om (V;E) är n multigrf, så tknr A i;j ntlt ågr fv i ;v j g. Ävn i tt fll är A symmtrisk mn hövr inglun h nst nollor på igonln, ty t kn nns ågr som utgår från oh slutr i smm no. v v v A v 0 v v v v CA v v 4 v v CA Figur 4. Tr grfr smt rs grnnmtrisr. Vi intrssrr oss nu för frågställningn: När är två grfr väsntlign lik? Svrt på nn fråg gs m hjälp v grppt isomor (isos = smm, morph = form). Dnition. Två grfr (V;E) oh (V 0 ;E 0 ) är isomorf om t xistrr n ijktion ' : V! V 0 som vilr ågr i E på ågr i E 0 oh omvänt, vs. f; g E,f'();'()gE 0 för ll ; V: Härvi klls ' n isomorsm. Vi nvänr tkningn (V;E) = (V 0 ;E 0 ) för isomorf grfr. (En ijktion är n vilning som är surjktiv oh injktiv). (V,E) (V,E ) Figur. 3

4 ' : V,! V 0 ; '() = 0 ; '()= 0 ; '()= 0 ; '()=: 0 Alltså ' är n ijktion. f; g E()f'();'()gE 0 f; g E()f'();'()gE 0 f; g E()f'();'()gE 0 f; g E()f'();'()gE 0 f; g E()f'();'()gE 0 Alltså ' är n isomorsm oh (V;E) = (V 0 ;E 0 ) För tt vis tt två grfr int är isomorf, måst vi vis tt t int nns någon ijktion från mängn v nor i n n grfn till mängn v nor i n nr grfn som vilr ågr på ågr. Om två grfr hr olik ntl nor, så nns t ingn ijktion oh grfrn kn int vr isomorf. Om grfrn hr smm ntl nor mn ntlt ågr är olik, så nns t ijktionr mlln mängrn v nor mn ingn v ss ijktionr är n isomorsm. Figur 6. Dt är i llmänht mykt svårt tt öm om två grfr är isomorf, mn viss nturlig villkor kn vi g som är növänig för isomor. Vi åtrkommr till ss villkor ftr t tt vi infört tt ntl ny grpp för grfr. Dnition. Låt (V;E) vr ngrf oh ntg tt V: Då är gr() =jf V : f; g Egj grn v ; vs. grn v är ntlt ågr m som änpunkt. Anlog nition för multigrfr, mn n åg från n no till sig själv irr m två nhtr å grn för räkns. 4

5 gr()=4 gr()=3 gr()=3 Figur 7. Dt är oft v intrss tt vt ntlt ågr i n grf. D kn förstås räkns irkt mn t är vnligtvis lättr tt räkn ntlt ågr vi vrj no oh r m. Då hr vrj åg livit mräkn två gångr, n gång vi å änpunktrn, så ntlt ågr i n grf är hlv nn summ. Sts. Ingrf nns t tt jämnt ntl nor v u gr. Bvis: Låt (V;E) vr n grf m V = f ; :::; n g: Då gällr t tt nx jej = gr( i ) : i= () Btkn: V o = f i V : gr( i ) är ug; V = f i V : gr( i ) är jämng: Då är V = V o [ V oh V o \ V = ;, (n prtition v V ). M stö v () rhålls: jej = X V o gr() +X V gr() () Dn nr summn i () är jämn, ty vrj trm är jämn. Då jej är tt jämnt tl, så måst ävn n först summn i () vr jämn. Då n först summn är n summ v u tl måst t å nns tt jämnt ntl trmr i summn oh ärm är stsn vis. Ett növänigt villkor för isomor är tt gr() =gr('()) för vrj no V: Mn tt villkor är int tillräkligt, vilkt frmgår v följn xmpl.

6 (V,E) 3 (V,E ) Figur 8. Antg tt ' : V! V 0 är n isomorsm. Då 4 oh är n lmntn i V oh V 0 m gr(4) = gr() =, så gällr ntingn ('(4)=4; '() = ) llr ('(4) = ; '()=4). Mn ftrsom f4; g E oh f'(4);'()g = f4; g 6E 0, så rhålls n motsägls. Därm nns t ingn isomorsm oh (V;E) 6 = (V 0 ;E 0 ). Dnition. Grfn (V 0 ;E 0 ) är n lgrf v (V;E) om V 0 V oh E 0 E: Om V 0 = V; så är (V 0 ;E 0 ) n uppspännn lgrf v (V;E): Om ; V 0 oh f; g E)f; g E 0,så är lgrfn (V 0 ;E 0 ) n full lgrf v (V;E). (V,E) (V,E ) Figur 9. (V 0 ;E 0 ) är n uppspännn lgrf v (V;E). (V,E) (V,E ) Figur 0. (V 0 ;E 0 ) är n full lgrf v (V;E). Dnition. En följ 0 ; ; :::; n v nor i (V;E) är n väg om f i ; i+ ge för i =0;;:::;n,,oh f i, ; i g6=f i ; i+ g för i =; :::; n- : Vägn sägs h längn n: Om 0 = n ; så är vägn n loop. Om i loopn smtlig i ; i =0; :::; n-; är olik, så är loopn n ykl. Om 0 6= n klls vägn öppn. 6

7 Figur. ; ; ; ; ; är n (öppn) väg m längn. ; ; ; ; ; ; är n loop (j ykl). ; ; ; är n ykl. Om (V;E) oh (V 0 ;E 0 ) är isomorf grfr motsvrs vägrn i n n grfn v vägr i n nr. Ett növänigt villkor för isomor är ärför tt ntlt vägr v x läng är lik i å grfrn. Vir hr isomorf grfr lik mång yklr v x läng. g f h g f h Figur. I n först grfn är ; h; g; ; f; ; ; ; n ykl v längn 8. Mn t i n nr grfn int xistrr någon ykl v längn 8. Dtt innär tt grfrn int är isomorf Dnition. Låt (V;E) vr ngrf. Två nor ; V är förn om t nns n väg = 0 ; ; :::; n = i V: Om vrj pr v norigrfn är förn, så är grfn smmnhängn. Om n grf G int är smmnhängn kn vi int nå ll nor m n väg från n givn no. D nor som kn nås m n väg från n no oh motsvrn ågr klls n smmnhängn komponnt v G. På tt sätt ilr smmnhängn komponntrn n sönrlning v grfn G. Två isomorf grfr måst h lik mång smmnhängn komponntr. 7

8 Figur 3. En osmmnhängn grf stån v 4 smmnhängn komponntr. Vi skll nu stur multigrfr. Som knt, så tillåtr vi för multigrfr mr än n åg mlln tt pr v nor. Vi ntr i fortsättningn tt ll grfr oh multigrfr är änlig. Lonhr Eulr ( , shwizr) kn klls n först grftortikrn. Hn nvän sig v grppt multigrf för tt lös tt prolm som invånrn i Königsrg (Kliningr) h när plnr sin söngspromnr. Prolmt vr tt nn n promnväg som nvän ll ror xkt n gång: Figur 4. Sju ror, Eulr rit n multigrf. Eulr konsttr tt n sökt promnvägn svrr mot n loop som nvänr sig v smtlig ågr i multigrfn. Bgrppt väg för n multigrf nirs nlogt m grppt väg för n grf. Dnition. En väg i n multigrf (V;E) är n Eulr-väg om ll ågr i E nväns xkt n gång. Om 0 = n i n Eulr-väg så hr vi n Eulr-loop. Figur. En Eulr-väg gs v ; ; ; ; ; ; ; ; ; ( nor m u gr). Anlningn till tt ingn lykts m tt gör promnn övr rorn i Königsrg är: 8

9 Sts. En smmnhängn änlig multigrf (V;E) hr n Eulr-loop om oh nst om vrj no hr jämn gr. Vi notrr tt i prolmt gälln rorn i Königsrg så hr vrj no u gr. För vist v Sts hövr vi följn hjälprsultt. Lmm3. Om (V;E) är n änlig multigrf sån tt vrj no hr gr så nns t n ykl i grfn. Bvis: (Av Lmm 3). Antg tt (V;E) är n grf. (Om (V;E) är n multigrf som int är n grf så är skn klr). Tg V. Konstrur n väg = 0 ; ; ; ::: i grfn sån tt f 0 ; geoh så tt för i gällr tt f i ; i+ geoh i+ 6= i,. Dtt lyks ftrsom gr( i ) för ll i. Då nu V är n änlig mäng nns t tt minst k, (k3), sånt tt k f 0 ; :::; k, g: Antg tt k = j ; 0 j k-3. Då är j ; j+ ; :::; k n ykl. =6 = 0 = = (k=3) Figur 6. Bvis: (Av Sts ). () Antg tt (V;E) hr n Eulr-loop. Låt vr n no i loopn. Vrj gång loopn pssrr förruks två olik ågr. Därm är gr() tt jämnt tl. () Antg tt vrj no hr jämnt grtl. (Inuktion). Om jej =hr vi fllt v Figur 7. gr(v )=. vs. n Eulr-loop. Antg tt påstånt gällr för ll multigrfr (V 0 ;E 0 ) m je 0 j < jej är jej. Då (V;E) är smmnhängn måst för vrj V gäll tt gr(). Vir ntogs tt vrj no hr jämn gr så gr() för ll V. Då gr Lmm 3 tt t nns n ykl tkn i (V;E). Om är n Eulr-loop är vi klr. Annrs gällr: 9

10 (V,E) Figur 8. Konstrur n lgrf (V ;E ) till (V;E) gnom tt först stryk ågrn i oh sn norn vrs grtl sjunkit till noll. (V,E ) Figur 9. Smtlig nor i (V ;E ) hr nu jämn gr. D smmnhängn komponntrn för (V ;E ) står v nor m jämnt grtl oh ntlt ågr i vrj smmnhängn komponnt är minr än jej. Inuktionsntgnt gr tt vrj komponnt hr n Eulr-loop. Vi skrvr ihop m Eulr-looprn för ll komponntr oh rhållr n Eulr-loop för (V;E). Följn sts gr vi hnn tt Königsrgsorn int ns hr kunnt hitt n öppn Eulr-väg. Sts 4. Låt (V;E) vr n smmnhängn änlig multigrf. Då nns t n öppn Eulr-väg om oh nst om t nns xkt två nor m u gr. Bvis: () Antg tt oh är n norn v u gr i (V;E). Bil n ny åg mlln oh. Då gr Sts tt t nns n Eulr-loop i grfn (V;E [fg). Om vi vlägsnr ågn får vi n öppn Eulr-väg i (V;E). () Antg tt t nns n öppn Eulr-väg 0 ; :::; n i (V;E). Sätt = f 0 ; n g oh E 0 = E [fg. 0 n 0

11 Figur 0. Då nns t n Eulr-loop i (V;E 0 ). Sts gr tt ll nor i (V;E 0 ) är v jämn gr. Då hr ll nor i (V;E), utom 0 oh n, jämn gr. Byggr vi n ro till i Kliningr kn vi hitt n Eulr-väg oh yggr vi två på lämpligt sätt kn vi rhåll n Eulr-loop Figur. Ett närliggn prolm är följn: Givt n grf (V;E), vgör om t nns n loop i (V;E) som pssrr vrj no xkt n gång. Vi sr irkt tt n sån loop måst vr n ykl oh om n xistrr måst (V;E) vr smmnhängn. Figur. Figur gr två xmpl på grfr är t int är möjligt tt hitt n sån ykl. intrssr sig för tt prolm vr irlänrn W. Hmilton Dn som först Dnition. En grf (V;E) klls n Hmilton-grf om t xistrr n ykl 0 ; :::; n ; 0 sån tt V = f 0 ; :::; n g. Dt är i llmänht tt mykt komplirt prolm tt vgör om n smmnhängn grf är n Hmiltongrf oh t nns ännu ingn krktrisring v Hmilton-grfr.

12 Vnlign täkr int n Hmilton-ykl ll ågr. Dn täkr nst två ågr vi vrj no. 0 Figur 3. En Eulr-loop nvänr vrj åg xkt n gång, mn n Hmilton-ykl sökr vrj no xkt n gång. Dnition. En rikt grf (V;P) står v n mäng V v nor oh n lmäng P V V vrs lmnt klls pilr. Vrj pil är n rikt väg från n no till n no. V={,,,} P={(,),(,),(,)} V={,,,} P={(,),(,),(,), (,),(,),(,), (,),(,)} Figur 4. Nät v nklrikt gtor, nätvrk v oljlningr oh mång nr tillämpningr kn skrivs m n rikt grf. Givt n grf (V;E) m V = fv ; :::; v n g. Låt A =( i;j ) vr grnnmtrisn till grfn. Då gällr gr(v i )= nx j= i;j = Antg tt (V;P) är n rikt grf, V = fv ; :::; v n g. Då är grfns grnnmtris A =( i;j ) nir v nx j= j;i : i;j = ; om t nns n pil från v i till v j ; 0; nnrs.

13 Notr tt nu är Ai rgl int symmtrisk. v v v 3 v 4 A = 0 v CA Figur. Sts. Låt A vr grnnmtrisn till n rikt grf (V;P). Då är (A m ) i;j = ntlt rikt vägr från v i till v j v längn m; är m =;; ::: : Låt oss trkt A i ovnstån xmpl. Nu gällr A = Exmplvis (A ) 3; =svrr mot rikt vägn v 3 ;v ;v v längn. Vir är (A ) 3; =0,ty t nns ingn rikt väg från v 3 till v v längn, nst v längn. CA : Bvis: (Av Sts, Inuktion). Klrt tt stsn gällr för m =. Antg tt stsn gällr för A m ;m. Då gällr: A m+ = AA m : Låt C = A m+ oh B = A m, vs. C = AB. Dnitionn på mtrismultipliktion gr tt C ik = A i B k + ::: + A ij B jk + ::: + A in B nk : () Btrkt trmn A ij B jk. Vi vt tt A ij = ntlt rikt vägr från v i till v j v längn. Inuktionsntgnt gr tt B jk = ntlt rikt vägr från v j till v k v längn m. Alltså A ij B jk = ntlt rikt vägr från v i till v k v längn m + oh v formn v i ;v j ; :::; v k ; j =; :::; n. Då gr () ntlt rikt vägr från v i till v k v längn m +. 3

14 Trä (änlig grfr) Vi hnlr nrt änlig grfr oh nirr grppt trä gnom: Dnition. En grf (V;E) är tt trä om n är smmnhängn oh sknr yklr. C H 6 Figur 6. D två först grfrn är trä mn två nr int är t. En viktig gnskp hos trä är följn rsultt. Sts 6. Låt T =(V;E) vr tt trä oh ntg tt ; V; 6=. Då nns t xkt n väg i T från no till no. Bvis: Antg tt = 0 ; ; :::; n = oh = 0 ; ; :::; m = är olik vägr. Låt i 0 vr t minst inx sånt tt i+ 6= i+, oh låt j >i+ vr t minst inx sånt tt t xistrr tt k m j = k. i+ j = 0 i 0 i i+ k j k n m = Figur 7. Då är i ; i+ ; :::; j ; k, ; :::; i+ ; i n ykl i T, vilkt gr n motsägls. Därm nns t xkt n väg från till. Ett trä kn konstrurs gnom tt sussivt lägg till n åg m no till grfn. Sts 7. Om T =(V;E) är tt trä oh jv j > ; så nns t åtminston två nor v gr. Bvis: Välj n väg 0 ; ; :::; n v mximl läng i T. Då jv j > oh T är tt trä är 0 6= n. Nu måst gr( 0 )=gr( n )=gäll, ty nnrs kun vi fortsätt vägn som å j vor v mximl läng. Sts 8. Vrj trä T = (V;E) m n stykn nor är rkursivt nirt gnom lträn T i ; är T 4

15 innhållr n no oh T i+ konstrurs gnom tt T i utöks m nno i+ oh n åg mlln i+ oh n v norn i T i. Bvis: (Inuktion). För n =är T tt trä. Antg tt konstruktionn gällr för trä m upp till n- nor (n ). Tg T =(V;E) m jv j = n. Sts 7 gr tt t nns n no n V : gr( n )=. Stryk n oh ågn från n. Dn grf G vi rhållr är smmnhängn oh utn yklr, ty T sknr yklr. Alltså är G tt trä m n- nor. Inuktionsntgnt gr tt G = T n,, rkursivt konstrur m hjälp v T i ; i =; :::; n-: Sätt T n = T, vilkt gr n önsk följn v lträ. Korollrium 9. Låt T =(V;E) vr tt trä. Då är jv j = jej +. Dnition. Antg tt G =(V;E) är n smmnhängn grf oh tt T är n lgrf v G sån tt (i) T är tt trä; Då sägs T vr tt uppspännn trä för G. (ii) T är n uppspännn lgrf för G : f g h Figur 8. Dn färglg grfn utgör tt uppspännn trä för grfn. Dt är lätt tt åstkomm tt uppspännn trä på följn sätt: Tg vilkn no som hlst i n grf som strtträ oh lägg till ågr n ftr n så tt vrj åg förnr n ny no till strtträt (jämför Sts 8). Dt uppspännn trät i ovnstån xmpl kun åstkomms gnom tt strt m no oh förn n m nr norn i orningn ; ; ; f; ; h; g gnom tt lägg till ågrn ; ; ; f; f; fh; hg. Allmänt, om t nns n nor så skll vi fortsätt m n- stg, vrftr vi hr +(n-) = n nor oh n- ågr. Dtt är t korrkt ntlt nligt Korollrium 9. Uppspännn trä hr mång tillämpningr. Exmplvis, hur yggr mn t illigst vägnätt mlln tt visst ntl stär? Kostnn för vägn mlln tt pr v stär ror t.x. på hurun trrängn är mlln stärn. Formllt hr vi n grf G = (V;E) vrs nor är stär oh vrs ågr är vägrn mlln stärn, smt n funktion w : E! N, (är N tknr nturlig tln), sån tt w() ngr kostnn för tt ygg ågn. Vi sägr tt G oh w ilr n vikt grf oh w är n viktfunktion. Om mn vill ygg t illigst vägnätt mlln tt visst ntl stär, så svrr vägnätt mot tt upp-

16 spännn trä T för G, vrs totl vikt w(t )=Xw() T är så litn som möjligt. Dtt rukr klls MST-prolmt, (minimum spnning tr prolm), för n vikt grfn G. Eftrsom n vikt grfn G är änlig hr n tt änligt ntl ågr oh ärm nns t tt änligt ntl uppspännn trä T för G. Dt nns å, för uppspännn trän för G, tt änligt ntl hltlsvärn w(t ) tt välj mlln. M nr or nns t tt minimlt uppspännn trä T 0 för G sånt tt w(t 0 ) w(t ) för ll uppspännn trä T för G. Notr tt t kn nns r uppspännn trä för G m nn gnskp. Kruskls lgoritm är n nkl lgoritm som lösr MST-prolmt: (i) Välj n kortst (illigst) ågn. Om t nns mång ågr m smm vikt; välj n v ågrn: (ii) Om k stykn ågr hr vlts, välj n ny åg m miniml vikt så tt ingn ykl ils tillsmmns m tiigr vl ågr: (iii) Om vi int hr tt uppspännn trä, så gå till stg (ii): (iv) Avslut lgoritmn. Dt rhålln uppspännn trät hr miniml vikt: z u v T z u 4 v 3 3 y 7 x y x Figur 9. (i) Vi Strtr m uv. (ii) + (iii) Därftr väljs zy, ux, uy. (iv) Vi rhållr tt minimlt uppspännn trä T m!(t )=4. Sts 0. Låt G =(V;E) vr n smmnhängn grf m viktfunktionn w : E! N; oh ntg tt T är tt uppspännn trä för G som konstrurts m Kruskls lgoritm. Då gällr t tt w(t ) w(u ) för vrj uppspännn trä U för G. 6

17 Bvis: Låt ; :::; n vr ågrn i T i n orning rhålls ur Kruskls lgoritm. Låt T min vr tt minimlt uppspännn trä för G. Om T min = T så gällr stsns påstån. Om T min 6= T tknr vi m k n först ågn för T i Kruskls lgoritm som int är n åg i T min. Låt k = fx; yg oh låt P xy vr vägn i T min som förnr norn x oh y. x k P xy y T min Figur 30. Om ågn k läggs till T min, så hr grfn T min [f k gn ykl = k [ P xy oh åt int hr någon ykl, måst innhåll åtminston n åg 0 k som int nns i T. Avlägsn nn åg oh rhåll trät Tmin 0 =(T min [f k g)nf 0 k g; m smm nor som T min oh m totl viktn w(tmin 0 )=w(t min)-w( 0 k )+w( k): Då T min är tt minimlt uppspännn trä måst t gäll tt w( 0 k ) w( k) : () Mn k är ågn m miniml vikt, sån tt ingn ykl ils å k läggs till ; :::; k,, (Kruskls lgoritm). Emn ; :::; k, ; 0 k är ågr i T min får vi ingn ykl å 0 k läggs till ; :::; k,. Då gällr t tt w( 0 k ) w( k) oh m stö v () tt vrför w(t 0 min ) = w(t min) = miniml totl vikt. w( 0 k )=w( k); Vi hr ärm hittt tt minimlt uppspännn trä T 0 min m n åg mr än T min gmnsm m T, (ågn k ). Upprpning v ovnskrivn prour gr slutlign tt minimlt uppspännn trä som smmnfllr m T, vs. w(t min )=w(tmin 0 )=::: = w(t ). Hnlsrsnsprolm. En hnlsrsn önskr sök tt ntl stär oh sn åtrvän hm m minst möjlig totl kostn utn tt åtrvän till n st hn rn sökt. Dn hnlsrsn ör lltså hitt n Hmilton-ykl m miniml vikt. En lösning hövr int llti xistr, mn om n lösning nns så är ntlt yklr i llmänht stort oh t är tt övrmäktigt komintoriskt prolm tt gå ignom ll ltrntiv. Vi skll här skriv n systmtisk mto som m hjälp v Kruskls lgoritm stämmr n unr gräns för n vntull lösningn till hnlsrsnsprolm. Antg tt ykln i grfn nn gr n lösning till hnlsrsnsprolm för stärn ; ; ; ; : 7

18 Figur 3. Om vi tr ort no, så får vi n väg gnom norn ; ; ; : Figur 3. Dnn lgrf ilr tt uppspännn trä U för n full lgrfn m norn ; ; ;. Låt T vr t uppspännn trä som kn konstrurs m Kruskls lgoritm. Då gr Sts 0 tt w(u ) w(t ) : Hl ykln hr såls n totl viktn w(u )+w(f; g) +w(f; g) w(t )+w(f; g) +w(f; g) : M nr or kn vi uppnå n unr gräns för lösningn till hnlsrsnsprolm gnom tt r n totl viktn v t miniml uppspännn trä som konstrurts m Kruskls lgoritm gnom norn ; ; oh m viktrn för två minst ågrn utgån från. Följn xmpl visr hur vi skll nvän nn mto. 8

19 Btrkt fm stär m viktrn nligt följn gur: Figur 33. Om vi vlägsnr no, så får vi följn grf m norn ; ; oh Figur 34. Kruskls lgoritm gr å tt uppspännn trä m ågrn ; ; : 4 7 T Figur 3. m totl viktn w(t ) = 6. D två minst viktrn för ågr utgån från är oh 4 (ågrn oh ). Alltså n unr gränsn för lösningn till hnlsrsnsprolm är i tt fll, å vi vlägsn non, givn v 6++4=. Låt oss nu unrsök v som inträr å vi vlägsnr no. Då får vi följn grf m norn ; ; oh. 9

20 Figur 36. Tillämpning v Kruskls lgoritm gr t uppspännn trät T m ågrn ; ; (llr ; ; ), lltså: T, T 4 4 Figur 37. m totl viktn w(t )=. D två minst viktrn för ågr utgån från är 7 oh 8 (ågrn oh llr ). Därm får vi n unr gränsn +7+8 = 6 till hnlsrsnsprolm, vilkt gr n ättr uppskttning än i t förgån fllt är non vlägsns. Alltså är lösningn till hnlsrsnsprolm åtminston 6. Gnom tt vlägsn norn ; oh i tur oh orning får mn unr gränsr som är minr än 6 (hmuppgift), lltså sämr unr gränsr. Dt visr sig tt n unr gräns vi k gnom tt vlägsn non råkr g n lösning till hnlsrsnsprolm, nämlign ykln m miniml totl vikt gnom norn ; ; ; ;, är m n totl viktn =6. I näst xmpl prsntrs två girig lgoritmr som i n fullstänig vikt grf snt hittr n Hmilton-ykl, vilkn ok int hövr vr lösningn till hnlsrsnsprolm. Två lgoritmr som gr n gnsk kort Hmilton-ykl i fullstänig grfr. En grf (V;E) m V = fv ; :::; v n g är fullstänig, (llr kompltt), om gr(v i ) = n-; i = ; :::; n: Btrkt grfn: 0

21 Figur 38. A. Mton m närmst grnn (i) Strt i någon no x. Välj utgån åg m miniml vikt. (ii) Låt y vr n snst uppnå non. Om ll nor i V är inklur i vägn så väljs ågn mlln y oh x. Välj nnrs n åg m miniml vikt utgån från y till n no som int ännu inklurts i vägn. Ivår xmplgrf rhålls. x = : ; ; ; ; ) = 30;. x = : ; ; ; ; ) = 0; 3. x = : ; ; ; ; ) = 0; 4. x = : ; ; ; ; ) = 30: B. Mton m sortr ågr (i) Välj n kortst ågn ln ll ågr som ännu int är vl, så tt lrig r än två ågr utgår från n no oh så tt ing yklr v läng <nils. Ivårt xmpl väljs ågrn i orningn ; ; ; oh. Vi får Hmilton-ykln ; ; ; ; m längn 30. Algoritmrn A oh B är xmpl på girig lgoritmr (gry lgorithms) som är sn, mn som int növänigtvis hittr n optiml lösningn. Lösningn till hnlsrsnsprolm i vårt fll gs v Hmilton-ykln ; ; ; ; m längn 0. Ivårt xmpl m fm stär lyks å lgoritmrn lös hnlsrsnsprolm. (Koll!) Kortst vägn i rikt grfr Antg tt vi hr n rikt grf G =(V;P) är vi försr vrj pil p P m n vikt w(p) m hjälp v viktfunktionn w : P! N. (D tiigr hnl vikt grfrn kn trkts som spilfll). Låt nu v 0 ;v n V vr två nor i G sån tt t xistrr åtminston n rikt väg från v 0 till v n. Vi skll nu m hjälp v tt xmpl skriv Dijkstrs lgoritm från 99 för stämning v kortst vägn mlln v 0 oh v n. (Esgr W. Dijkstr, ). I lgoritmn kn n no v j tillls två typr v

22 mrkringr, n tmporär mrkring (n; v k ), som kn änrs, llr n prmnnt mrkring [n; v i ] som int mr änrs. I ss mrkringr ngr n längn på n för närvrn rspktiv n slutlig kortst vägn från v 0 till v j, är n sist piln örjr i v k rspktiv v i oh slutr i v j. Vi är ärm intrssr v tt stämm n prmnnt mrkringn för non v n. Bstäm n kortst vägn från no v 0 till no i nnstån vikt rikt grf: v Figur 39. Stg : Vi försr strtnon v 0 m n prmnnt mrkringn v 0 :[0;-]. Stg : Nor som nås irkt från v 0 : ; ;. Dss förss m tmporär mrkringrn :(6;v 0 ) ; :(4;v 0 ) ; :(6;v 0 ): Stg 3: Dn minst tmporär mrkringn görs prmnnt :[4;v 0 ]: Stg 4: Nor som nås irkt från : ; ;. No hr rn tilllts n tmporär mrkring, mn ftrsom vägn från v 0 vi till är kortr, 4+=<6, så änrs mrkringn på no, :(;) ; :(7;) ; : (3;): Stg : Dn minst tmporär mrkringn görs prmnnt :[;]: Stg 6: Nor som nås irkt från :. Eftrsom +9 = 4 > 3 änrr vi int på n tmporär mrkringn för no. Stg 7: Dn minst tmporär mrkringn görs prmnnt :[6;v 0 ]: Stg 8: Nor som nås irkt från : ;. Vi hr tt 6+3 > 7 oh tt 6+7 = 3, så vi änrr ing tmporär mrkringr.

23 Stg 9: Minst tmporär mrkringn görs prmnnt :[7;]: Stg 0: Enst non nås irkt från no. Notrr tt 7+ < 3, så vi änrr n tmporär mrkringn för no : (;): Stg : Dn n kvrvrn tmporär mrkringn görs prmnnt : [;]: Nu kn vi på sn v prmnnt mrkringrn gör kåtnlysn: v 0. Därm gs n kortst vägn v v 0 ;;; oh n hr längn. 3

Laboration 1a: En Trie-modul

Laboration 1a: En Trie-modul Lbortion 1: En Tri-modul 1 Syft Progrmmring md rfrnsr, vlusning, tstning, kt m.m. Vi hr trolign int hunnit gå ignom llt, viss skr får ni br cctr så läng. S ävn kodxml å kurssidn. 2 Bkgrund Vi skll undr

Läs mer

VATEK Multifix kopplingar för alla rörtyper

VATEK Multifix kopplingar för alla rörtyper Vtk_logo_cmyk-2012.pf 1 2011-11-25 13.09 VATEK Multifix kopplingr för ll rörtypr VATEK MULTIFIX ÄR EN SERIE rgfst rörkopplingr för ll typr v rör till å vttn och gslningr. Kopplingrn introucrs i Svrig v

Läs mer

Mitt barn skulle aldrig klottra!...eller?

Mitt barn skulle aldrig klottra!...eller? Mitt brn skull ldrig klottr!...llr? trtgi! ls n n tu n g n r h y Täb g och in sn ly b, g in n k c y m ts Gnom u i lyckts v r h l ri t m t g li å rt klott unn. m m o k i t r tt lo k sk in m Hjälp oss tt

Läs mer

Making room for tomorrow

Making room for tomorrow Byggnsgui Byggnsgui 2013 Byggnsgui 2013 Innrvägg Allmänt 4-5 Sknor oh rglr 6-7 Montg 8-9 WllClik 10-11 Typr oh gruppr 12-15 Väggnyklr 16-21 Typövrsikt 22-25 Väggruppr C 26-65 Väggruppr C+ 66-93 Väggruppr

Läs mer

Företagens synpunkter på skattesystemet, skattefusket och Skatteverkets kontroll

Företagens synpunkter på skattesystemet, skattefusket och Skatteverkets kontroll Förtgns synpunktr på skttsystmt, skttfuskt oh Skttvrkts kontroll Rsultt från n riksomfttn unrsökning vårn Rpport :3 1 2 Föror Skttvrkt gör rglunt mätningr v morgrns oh förtgns syn på skttsystmt, skttfuskt,

Läs mer

Medborgarnas synpunkter på skattesystemet, skattefusket och Skatteverkets kontroll

Medborgarnas synpunkter på skattesystemet, skattefusket och Skatteverkets kontroll Morgrns synpunktr på skttsystmt, skttfuskt oh Skttvrkts kontroll Rsultt från n riksomfttn unrsökning vårn Rpport :1 1 1 2 2 Föror Skttvrkt gör rglunt mätningr v morgrns oh förtgns syn på skttsystmt, skttfuskt,

Läs mer

Installatörens referenshandbok

Installatörens referenshandbok Instlltörns rfrnshnok Dikin Althrm - lågtmprtur Split + ERHQ011-014-016BA ERLQ011-014-016CA EHVH/X11+16S18CB EHVH/X11+16S26CB Instlltörns rfrnshnok Dikin Althrm - lågtmprtur Split Svnsk Innhåll Innhåll

Läs mer

Robin Ekman och Axel Torshage. Hjälpmedel: Miniräknare

Robin Ekman och Axel Torshage. Hjälpmedel: Miniräknare Umå univritt Intitutionn för matmatik oh matmatik tatitik Roin Ekman oh Axl Torhag Tntamn i matmatik Introduktion till dikrt matmatik Löningförlag Hjälpmdl: Miniräknar Löningarna kall prntra på tt ådant

Läs mer

Arkitekturell systemförvaltning

Arkitekturell systemförvaltning Arkitkturll systmförvaltng Mal Norström, På AB och Lköpgs Univrsitt mal.norstrom@pais.s, Svärvägn 3C 182 33 Danry Prsntrat på Sunsvall vcka 42 2009. Sammanfattng Många organisationr har grupprat sa IT-systm

Läs mer

Innan du kan använda maskinen ska du läsa den här Snabbguiden så att maskinen ställs in och installeras på rätt sätt.

Innan du kan använda maskinen ska du läsa den här Snabbguiden så att maskinen ställs in och installeras på rätt sätt. Sngui Strt här MFC-6890CDW Innn u kn nvän mskinn sk u läs n här Snguin så tt mskinn ställs in oh instllrs på rätt sätt. VARNING Tlr om hur u sk gör för tt förhinr prsonskor. Anslut INTE USB-kln ännu (om

Läs mer

Headset för det Mobila kontoret

Headset för det Mobila kontoret Hdst för dt Mobil kontort Dt t r o t n o k mobil Plntronics strtd 1962 och hr sdn dss nbrt inriktt sig på tt utvckl br kommuniktionshdst. Idg är Plntronics världsldnd på hdst och hr tt brtt utbud v hdst

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1:

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1: AUBER 95 9 jn AR. Den finit utomten nedn ccepterr ett språk L över = {, }. A B ε Konstruer ) ett reguljärt uttryck för L. ) L = ( ( ) ) = ( ) ) en reguljär grmmtik för L S A S A c) en miniml DFA för L.

Läs mer

INTRODUKTION. Akut? RING: 031-51 20 12

INTRODUKTION. Akut? RING: 031-51 20 12 INTRODUKTION Btch AB är i grundn tt gränsövrskridand nätvrk av ingnjörr, tknikr, tillvrkar (producntr) som alla har myckt lång rfarnht inom Hydraulik branschn. Dtta inkludrar allt från tillvrkning och

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

Hittills på kursen: E = hf. Relativitetsteori. vx 2. Lorentztransformationen. Relativistiskt dopplerskift (Rödförskjutning då källa avlägsnar sig)

Hittills på kursen: E = hf. Relativitetsteori. vx 2. Lorentztransformationen. Relativistiskt dopplerskift (Rödförskjutning då källa avlägsnar sig) Förläsning 4: Hittills å kursn: Rlativittstori Ljusastigtn i vakuum dnsamma för alla obsrvatörr Lorntztransformationn x γx vt y y z z vx t γt där γ v 1 1 v 1 0 0 Alla systm i likformig rörls i förålland

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

TENTAMEN. HF1903 Matematik 1 TEN2 Skrivtid 13:15 17:15 Fredagen 10 januari 2014 Tentamen består av 3 sidor

TENTAMEN. HF1903 Matematik 1 TEN2 Skrivtid 13:15 17:15 Fredagen 10 januari 2014 Tentamen består av 3 sidor ENAMEN HF9 Mmik EN Skrivid : 7: Frdgn jnuri nmn bsår v sidor Hjälpmdl: Udl ormlbld Räkndos j illån nmn bsår v uppgir som ol kn g poäng F är undrkän bg mn md möjligh ill komplring Komplringn kn nds görs

Läs mer

Innehåll. Om gasfjädrar 1. Modeller (1 dan = 1 kgf = 2.25 lbf) Cylinder. Initialkraft dan. diameter mm < 250 < 500 250 < F INIT < 750 500 < F INIT

Innehåll. Om gasfjädrar 1. Modeller (1 dan = 1 kgf = 2.25 lbf) Cylinder. Initialkraft dan. diameter mm < 250 < 500 250 < F INIT < 750 500 < F INIT DO NOT OPEN - HIGH PREURE. FIING PREURE MAX 150 BAR. PROTECT AGAINT DAMAGE. TRÖMHOMEN AB, Box 216, E-573 23 T rnås, wdn T l. +46 140 571 00, T lx +46 140 571 99 DO NOT OPEN FIING PRE PROTECT AGA TRÖMHOMEN

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

DEMONSTRATION TRANSFORMATORN I. Magnetisering med elström Magnetfältet kring en spole Kraftverkan mellan spolar Bränna spik Jacobs stege

DEMONSTRATION TRANSFORMATORN I. Magnetisering med elström Magnetfältet kring en spole Kraftverkan mellan spolar Bränna spik Jacobs stege FyL VT06 DEMONSTRATION TRANSFORMATORN I Magntisring md lström Magntfältt kring n spol Kraftvrkan mllan spolar Bränna spik Jacobs stg Uppdatrad dn 9 januari 006 Introduktion FyL VT06 I littraturn och framför

Läs mer

Kmerobjektiv oc elokusering Zoomobjektiv Ett kmerobjektiv sk normlt vbil ett objekt som beinner sig på någr meters vstån på en ilm i en krtig örminskning. Det innebär tt okllängen på et objektiv mn sk

Läs mer

Hvor tilfreds er du med din togrejse?

Hvor tilfreds er du med din togrejse? Hvor tlrs r u m n tors? V r ov or n ælp tl t svr tt spørskm. Dn svr skl ælp os tl t skr n o kvltt totrkkn på Kystnn o ovr Ørsun. Spørskmrn nsmls mrr tot. På orån tk o ortst o rs! Inormtonsrkn k l m n o

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

Malmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret.

Malmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret. Cykln Malmö stad, Gatukontort, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtagt av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbt md Malmö stad, Gatukontort. Txt: Run Andrbrg Illustrationr: Lars Gylldorff Min cykl Sidan

Läs mer

POSTKODVINSTER á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 307 lottnummer 1.000 kronor vardera:

POSTKODVINSTER á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 307 lottnummer 1.000 kronor vardera: Dragningsresultat vecka 05-2015 Här nedan kan du se om du är en av de lyckliga vinnarna i veckans utlottning i Svenska PostkodLotteriet. När du har vunnit betalar vi automatiskt ut dina vinstpengar till

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

Malmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret.

Malmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret. Växa i trafikn Malmö stad, Gatukontort, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtagt av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbt md Malmö stad, Gatukontort. Txt: Run Andrbrg Illustrationr: Lars Gylldorff Växa

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

ANVÄNDNINGSOMRÅDEN PROFESSIONELLA SKRUVFUNDAMENT STAD, PARK OCH TRÄDGÅRD REKLAM, TRAFIK OCH SKYLTAR STAKET OCH STÄNGSEL

ANVÄNDNINGSOMRÅDEN PROFESSIONELLA SKRUVFUNDAMENT STAD, PARK OCH TRÄDGÅRD REKLAM, TRAFIK OCH SKYLTAR STAKET OCH STÄNGSEL www.skruvunmnt.s STAD, PARK OCH TRÄDGÅRD HALLAR OCH MODUL KONSTRUKTIONER STAKET OCH STÄNGSEL REKLAM, TRAFIK OCH SKYLTAR TRÄKONSTRUKTION ANVÄNDNINGSOMRÅDEN PROFESSIONELLA SKRUVFUNDAMENT FÖRDELAR K-SERIEN

Läs mer

Facit - Tänk och Räkna 6a

Facit - Tänk och Räkna 6a Fit - Tänk oh Räkn I tlens värl - - - - - - Åttiosextusen trehunrfem Åttiosextusen trehunrfem 8 0 9 089 8 8 8 0 9 80 9 9 9 80 0 99 098 99 099 99 00 89 899 89 900 89 90 008 009 00 9 999 0 000 0 00 90 988

Läs mer

En krona dagen om dag ona om r e k n n E E n n k e g o r a d m o a n

En krona dagen om dag ona om r e k n n E E n n k e g o r a d m o a n g E o E E o g o Ambssörr/profilr Jököpigs Sör IF Rlf Eström Björ Norqvist Mukl IFK Uvll IK Ovol HK Coutry Flkbrgs FF Örgryt IS Värmo IK Brg Skoftbys IF GK Kroppskultur Dgrfors IF Gfl IF Äglholms FF Ljugskil

Läs mer

Vi önskar er ett trevligt Speedwaymöte i Norrköping denna helg

Vi önskar er ett trevligt Speedwaymöte i Norrköping denna helg g E o E E o g Vi öskr r tt trvligt Spwymöt i Norrköpig hlg Su Björk, Support Your Tm o g E o E E o g Vi kämpr ihop! o Välk till prsttio s pssr i på ll Spwyförigr i hl Svrig m mottot VI KÄMPAR IHOP m st

Läs mer

VALLENTUNA KOMMUN Sammanträdesprotokoll 9 (19)

VALLENTUNA KOMMUN Sammanträdesprotokoll 9 (19) VALLENTUNA KOMMUN Sammanträdsprotokoll 9 (19) Socialnämndns arbtsutskott 2015-05-11 56 Intrnplan socialnämndn 2015 (SN 2015.006) Bslut Arbtsutskottt bslutar att förslå att: Socialnämndn bslutar att lägga

Läs mer

BYGGNADSGUIDE FÖR MELLANVÄGGAR & UNDERTAK

BYGGNADSGUIDE FÖR MELLANVÄGGAR & UNDERTAK BYGGNADSGUIDE FÖR MELLANVÄGGAR & UNDERTAK Byggnsguie för projektering oh yggntion v mellnväggr oh unertk. Informtionen i enn yggnsguie är frmtgen me utgångspunkt från EuroProfil AB s proukter oh förutsättes

Läs mer

Lödda värmeväxlare, XB

Lödda värmeväxlare, XB Lödd värmeväxlre, XB Beskrivning/nvändning XB är en lödd plttvärmeväxlre utveckld för nvändning i fjärrvärmesystem t ex, luftkonditionering, värme, tppvrmvtten. XB lödd plttvärmeväxlre tillverks med fler

Läs mer

Räkneövning 1 atomstruktur

Räkneövning 1 atomstruktur Räkneövning 1 tomstruktur 1. Atomerns lägen i grfen (ett mteril som består v endst ett end tomlger v koltomer och vrs upptäckt gv Nobelpriset i fysik, 010) ligger i de gitterpunkter som viss i figuren

Läs mer

där a och b är koefficienter som är större än noll. Här betecknar i t

där a och b är koefficienter som är större än noll. Här betecknar i t REALRNTAN OCH PENNINGPOLITIKEN Dt finns flra sätt att närma sig frågan om vad som är n långsiktigt önskvärd nivå på dn pnningpolitiska styrräntan. I förliggand ruta diskutras dnna fråga md utgångspunkt

Läs mer

Umeå Universitet 2007-12-06 Institutionen för fysik Daniel Eriksson/Leif Hassmyr. Bestämning av e/m e

Umeå Universitet 2007-12-06 Institutionen för fysik Daniel Eriksson/Leif Hassmyr. Bestämning av e/m e Umå Univrsitt 2007-12-06 Institutionn för fysik Danil Eriksson/Lif Hassmyr Bstämning av /m 1 Syft Laborationns syft är att g ökad förståls för hur laddad partiklars rörls påvrkas av yttr lktromagntiska

Läs mer

V Ä G E N T I L L V A T T E N w w w. a v a n t i s y s t e m. s e

V Ä G E N T I L L V A T T E N w w w. a v a n t i s y s t e m. s e VÄGEN TILL VATTEN v n i y m Vn vi in kn J ordn vnillgångr är norm, mn Grundvn är n dl v vn räknr mn bor nö, i och lvn blir vig krlopp d br 3% kvr för vår vnförörjning När yvn rängr nd i mrkn rn d och blir

Läs mer

spänner upp ett underrum U till R 4. Bestäm alla par av tal (r, s) för vilka vektorn (r 3, 1 r, 3, 22 3r + s) tillhör U. Bestäm även en bas i U.

spänner upp ett underrum U till R 4. Bestäm alla par av tal (r, s) för vilka vektorn (r 3, 1 r, 3, 22 3r + s) tillhör U. Bestäm även en bas i U. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akadmin för utbildning, kultur och kommunikation Avdlningn för tillämpad matmatik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algbra Datum: augusti 04 Skrivtid:

Läs mer

Ekosteg. En simulering om energi och klimat

Ekosteg. En simulering om energi och klimat Ekostg En simulring om nrgi och klimat E K O S T E G n s i m u l r i n g o m n rg i o c h k l i m a t 2 / 7 Dsign Maurits Vallntin Johansson Pr Wttrstrand Txtr och matrial Maurits Vallntin Johansson Alxandr

Läs mer

Nr 3/4 20 PYSSEL! LÄSARFOTON. Så hjälper du igelkotten

Nr 3/4 20 PYSSEL! LÄSARFOTON. Så hjälper du igelkotten N KLUBBE 13 Nr 3/4 20 PYSSEL! LÄSARFOTON Så hjälper du igelkotten i vinter 1 Hej! u är den tiden på året N då djuren förbereder sig för den kll vintern. Mång fåglr flyger långt långt bort till vrmre länder.

Läs mer

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK Förord Dett kompendium innehåller övningr inom reguljär språk för kursen Formell språk, utomter och eräkningsteori som

Läs mer

Bruksanvisning. Läs detta innan maskinen används. Läs detta när ytterligare information behövs. FÖRBEREDELSER GRUNDLÄG- GANDE SÖMNAD NYTTOSÖMMAR

Bruksanvisning. Läs detta innan maskinen används. Läs detta när ytterligare information behövs. FÖRBEREDELSER GRUNDLÄG- GANDE SÖMNAD NYTTOSÖMMAR FÖRBEREDELSER Läs ett innn mskinen nväns. GRUNDLÄG- GANDE SÖMNAD NYTTOSÖMMAR Läs ett när ytterligre informtion ehövs. BILAGA CPS5XV[Y Dtorstyr symskin Bruksnvisning Meföljne tillehör Kontroller tt följne

Läs mer

Revisionsrapport 2/2010. Åstorps kommun. Granskning av lönekontorets utbetalningsrutiner

Revisionsrapport 2/2010. Åstorps kommun. Granskning av lönekontorets utbetalningsrutiner Rvisionsrapport 2/2010 Åstorps kommun Granskning av lönkontorts utbtalningsrutinr Bngt Sbring, ordf Tord Stursson, 1: v ordf. Bngt Johns, 2: v ordf. Stig Andrsson Nils Prsson Innhållsförtckning SAMMANFATTNING...

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

Collections och annat nyttigt

Collections och annat nyttigt Va innbär programmring? Collctions och annat nyttigt En stor l av tin så sättr man ihop olika algoritmr och atastrktrr så att fnkar för st t aktlla problmt. Förhoppningsvis så ägnar man också n hl l ti

Läs mer

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p) 1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!

Läs mer

Facit. Sätt. ord på. s. 5 A 1. utvecklingslära. s. 6 C. s. 7. s. A 1a 2b 3b 4b 5a 6a. s. 8. på land 2. 3. i diken 4. i rabatterna 5. i havet 6.

Facit. Sätt. ord på. s. 5 A 1. utvecklingslära. s. 6 C. s. 7. s. A 1a 2b 3b 4b 5a 6a. s. 8. på land 2. 3. i diken 4. i rabatterna 5. i havet 6. Fit Sätt or på ISN 978 91 40 66879 0 NO 5 utvklingslär ärtlightslär näringslär ll nrgi rt T upp ämn släkt milj vävn 6 örök sig rgrr sortr omgivningn vrls tr upp rt nrgi lärn 10. vävn på ln på hvsottnn

Läs mer

Krav på en projektledare.

Krav på en projektledare. Crtifiring av projktldar. PIE. EKI. LiU. Run Olsson vrsion 20050901 sid 1 av 5 Krav på n projktldar. Intrnationlla organisationr som IPMA och PMI har formulrat vilka krav som ska ställas på n projktldar.

Läs mer

Hjälpreda. Lathunden 1. Dimensionering Virkeskvaliteter Fuktkvotsklasser Träskydd Virkessortiment Limträsortiment Tabeller. Lathunden Virkesåtgång

Hjälpreda. Lathunden 1. Dimensionering Virkeskvaliteter Fuktkvotsklasser Träskydd Virkessortiment Limträsortiment Tabeller. Lathunden Virkesåtgång Hjälpred Lthunden Virkesåtgång Dimensionering Virkeskvliteter Fuktkvotsklsser Träskydd Virkessortiment Limträsortiment Teller 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 Lthunden 1 Lthunden 2 Sommrhus Tjjkovski,

Läs mer

T-konsult. Undersökningsrapport. Villagatan 15. Vind svag nordvästlig, luftfuktighet 81%, temp 2,3 grader

T-konsult. Undersökningsrapport. Villagatan 15. Vind svag nordvästlig, luftfuktighet 81%, temp 2,3 grader Unersökningsrpport Villgtn 15 Vin svg norvästlig, luftfuktighet 81%, temp 2,3 grer Dtum: 2011-12-19 Beställre: Sven Svensson Kmeropertör: Tom Gisserg Aress Telefon E-post Hemsi Spikrn 152 070 338 47 70

Läs mer

247 Hemsjukvårdsinsats för boende i annan kommun

247 Hemsjukvårdsinsats för boende i annan kommun PROTOKOLLSUTDRAG Sammanträdsdatum 2015-11-10 1 (1) KOMMUNSTYRELSEN Dnr KSF 2015/333 247 Hmsjukvårdsinsats för bond i annan kommun Bslut Kommunstyrlsn förslår kommunfullmäktig bsluta: 1. Hmsjukvårdsinsatsr

Läs mer

Skogstorp i framtiden

Skogstorp i framtiden I SKOGSTORP www.skogstorp.om/soildemokrtern Skogstorp i frmtiden Redovisning v enkät genomförd under perioden Novemer- Deemer 2005. 1. Tyker Du liksom fler v oss tt det ehövs yggs en förifrt utnför skogstorp?

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

ProMinent. Driftinstruktion Ultromat AT/96 och ATF/96 Serie V 4.0 Trekammaranläggning för beredning av polyelektrolyt

ProMinent. Driftinstruktion Ultromat AT/96 och ATF/96 Serie V 4.0 Trekammaranläggning för beredning av polyelektrolyt Dritinstruktion Ultromt A/96 och AF/96 Sri V 4.0 rkmmrnläggning ör rdning v polylktrolyt ProMinnt V. G. läs ignom hl dritinstruktionn innn utrustningn dritsätts! S till så tt dn int kommr ort! För skdor

Läs mer

Den stabila människan

Den stabila människan Dn sbl männskn Igå v jg på ylg n kus på Klvgnn, dnn gång om kokv änng och sblsngsänng. Effkv änng fö smä, spännng, nsbl och nds syk. Vd kn v gö fö höfn skll ö sg opml, fö skuldon skll må b och fö knän

Läs mer

Uppskatta lagerhållningssärkostnader

Uppskatta lagerhållningssärkostnader B 13 Uppskatta lagrhållningssärkstnadr Md lagrhållningssärkstnadr ass alla d kstnadr sm hängr samman md ch ppstår gnm att artiklar hålls i lagr. Dt är fråga m rsaksbtingad kstnadr ch därmd särkstnadr,

Läs mer

GOLV. Norgips Golvskivor används som underlag för golv av trä, vinyl, mattor och andra beläggningar. Här de tre viktigaste konstruktionerna

GOLV. Norgips Golvskivor används som underlag för golv av trä, vinyl, mattor och andra beläggningar. Här de tre viktigaste konstruktionerna GOLV Norgips Golvskivor nvänds som underlg för golv v trä, vinyl, mttor och ndr beläggningr. Här de tre viktigste konstruktionern 1. Ett lg golvskivor på träunderlg 2. Flytnde golv med två lg golvskiv

Läs mer

Referensexemplar. Vi önskar er Lycka till! 1. Välkommen till Frö-Retaget

Referensexemplar. Vi önskar er Lycka till! 1. Välkommen till Frö-Retaget t g a t R Frö ar pl m x ns r f R 1 1. Välkommn till Frö-Rtagt Hj, nu ska du och dina klasskompisar starta rt alldls gna förtag. Vi på FramtidsFrön har valt att kalla dt Frö-Rtag. Md Frö mnar vi att du

Läs mer

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a.

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a. 1 6 d c e Monteringsnvisning f h g i j k l m 7 8 10 2 3 9 c e d Bkåtvänd montering Godkänd höjd 61-105 cm 4 5 11 12 Mximl vikt 18 kg Ålder 6 mån - 4 år UN regultion no. R129 i-size 8 9 Tck för tt du vlde

Läs mer

Tentamen i Eleffektsystem 2C1240 4 poäng

Tentamen i Eleffektsystem 2C1240 4 poäng Tentmen i Eleffektytem C40 4 poäng Ondgen 5 december 004 kl 4.00-9.00 (Frågetund: 5.00, 6.00 och 7.30) Hjälpmedel: En hndkriven A4-id, Bet eller Joefon, fickräknre. Endt en uppgift per bld! Teern lämn

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

Tentamen i Databasteknik

Tentamen i Databasteknik Tentmen i Dtsteknik lördgen den 22 oktoer 2005 Tillåtn hjälpmedel: Allt upptänkligt mteril Använd r frmsidn på vrje ld. Skriv mx en uppgift per ld. Motiver llt, dokumenter egn ntgnden. Oläslig/oegriplig

Läs mer

Kontinuerliga variabler

Kontinuerliga variabler Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte

Läs mer

ICEBREAKERS. Version 1.0 Layout: Kristin Rådesjö Per Wetterstrand

ICEBREAKERS. Version 1.0 Layout: Kristin Rådesjö Per Wetterstrand Icbrakrs 2 / 10 Götborgs Rgionn och GR Utbildning GR är n samarbtsorganisation för 13 kommunr i Västsvrig tillsammans har mdlmskommunrna 900 000 invånar. Förbundts uppgift är att vrka för samarbt övr kommungränsrna

Läs mer

Design since 1890. www.vjsince1890.com facebook.com/vjsince1890

Design since 1890. www.vjsince1890.com facebook.com/vjsince1890 Degn nce 1890 wwwvjnce1890com fcebookcom/vjnce1890 Tck tll ll fotogrfer: Rckrd Thoron Angelc Engtröm VJ nce 1890 Ktrn Mäknen 102 62 Stockholm Mthld Svenon Phone: +46 8-720 09 20 Chrlotte Luterbch Ann Moln

Läs mer

Revisionsrapport 2010. Hylte kommun. Granskning av samhällsbyggnadsnämndens och tillsynsnämndens styrning och ledning. Iréne Dahl, Ernst & Young

Revisionsrapport 2010. Hylte kommun. Granskning av samhällsbyggnadsnämndens och tillsynsnämndens styrning och ledning. Iréne Dahl, Ernst & Young Rvisionsrapport 2010 Hylt kommun Granskning av samhällsbyggnadsnämndns och tillsynsnämndns styrning och ldning Irén Dahl, Ernst & Young Augusti 2010 Hylt kommun Rvisorrna Innhållsförtckning SAMMANFATTNING...

Läs mer

Affärsnätverka framgångsrikt

Affärsnätverka framgångsrikt Grt Thorto 2011 ffärätvr frmgågrit Cri Kivit CochHut i Siv B CochHut i Sivi B 08-333 131 - Lutmrgt 52, 113 58 Stocholm Migltilr t CochHut i Sivi B 08-333 131 - Lutmrgt 52, 113 58 Stocholm Migltilr t 1

Läs mer

Distributionsförare. Loggbok för vuxna. Underlag för APL-handledare/-instruktör på APL-företag

Distributionsförare. Loggbok för vuxna. Underlag för APL-handledare/-instruktör på APL-företag A Distributions ktör på DISTRIBUTIONSFÖRARE 1(5) Arbtsplatsförlagd dl av tstmodul, validring llr utbildning När du dokumntrar dn arbtsplatsförlagda dln i ndanstånd chcklista gör då ävn bdömning inom säkrhts-,

Läs mer

S E D K N O F I AVM 960 AVM 961 AVM 971. www.whirlpool.com

S E D K N O F I AVM 960 AVM 961 AVM 971. www.whirlpool.com AVM 960 AVM 961 AVM 971 S D K N O F I.hirlpool.com 1 S INNAN APPARATN MONTRAS INSTALLATION KONTROLLRA ATT ugnsutrymmt är tomt för installationn. KONTROLLRA att apparatn int är skadad innan dn montras i

Läs mer

p Följ Kraft Där, Strå

p Följ Kraft Där, Strå Sånger söndg e domsöndg 0 Söndgsmorgon J.Hydn/J.O.Wlln Söndgsmorgon Musk v J.Hy. Svsk text v J.O.Wlln. Öpp r! Hel An skl bn skl nä kors ms d r m, ljud! bön, ljud? känn m vs, n rym m Se L Hur An m tds t

Läs mer

Facit - Tänk och Räkna 4a

Facit - Tänk och Räkna 4a Vår tl Fit Tänk oh Räkn 9 9 69 996, 997, 998 998, 999, 000 6 6699, 6700, 670, 670, 670, 670 67 m, 67 m, 67 m 800 m, 900 m, 000 m 900 m, 90 m, 90 m NAF 06 7 9 d 6 8 e 7 76 f 8 8 d 6 e 0 f 8 9 7 8 88 d 80

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

Regionmagasinet. Är det alltid bäst med piller? Här finns fler än ett skelett i garderoben. Valet till regionfullmäktige görs om 15 maj

Regionmagasinet. Är det alltid bäst med piller? Här finns fler än ett skelett i garderoben. Valet till regionfullmäktige görs om 15 maj Rgionmgsint n tidning från Västr Götlndsrgionn www. vgrgion. s nr 1. 2011 Är dt lltid bäst md pillr? tmnummr för dig som vill vt mr om läkmdl Här finns flr än tt skltt i grdrobn Sid 23 Vlt till rgionfullmäktig

Läs mer

Snickerier. Räcken & Stolpar, Snickarglädje, Ett företag inom Södra

Snickerier. Räcken & Stolpar, Snickarglädje, Ett företag inom Södra Trätjr o Proutr so år st på tt us Srr Rä & Stopr, Sräj, Träår, Stopsyst, Iprrt Ett ört o Sör Tstyps yr o ystjr Ao & Sräj 1840-1900 Hus rå är pro är v på r ott v utsöt ystjr o srr. Vor uppör trä tt vär

Läs mer

Sånghäfte. Hotellet vid havet. Texter av Britt G.Hallqvist med musik av Lasse Dahlberg

Sånghäfte. Hotellet vid havet. Texter av Britt G.Hallqvist med musik av Lasse Dahlberg Sånghäfte Hotellet vd hvet Texter v Brtt Hllqvst med musk v Lsse hlerg Hotellet vd hvet Innehåll Hotellet vd hvet Spöker Trät I Rövrekuln KurMurörn Lll råerg Bndhunn Skogen full v träd Jg Näcken Musslns

Läs mer

parkour Biotop Existerande Äldrebostäder volleyboll Biotop Vatten Våtområde Fotosyntes Sinnesupplevelser Odlingsbäddar Biotop parkour

parkour Biotop Existerande Äldrebostäder volleyboll Biotop Vatten Våtområde Fotosyntes Sinnesupplevelser Odlingsbäddar Biotop parkour Cmpus Prk Skr Liv och lärnd Viktorisjön mot väst är dt xtrovrt rummt. En smlingspunkt för ktivitt, bdning, picknick och lkplts. Dltt v gångvägr förgrns omkring sjön och dt skps bättr tillgänglight och

Läs mer

Revisionsrapport 2010. Hylte kommun. Granskning av överförmyndarverksamheten

Revisionsrapport 2010. Hylte kommun. Granskning av överförmyndarverksamheten Rvisionsrapport 2010 Hylt kommun Granskning av övrförmyndarvrksamhtn Karin Hansson, Ernst & Young sptmbr 2010 Innhållsförtckning SAMMANFATTNING... 3 1 INLEDNING... 4 1.1 SYFTE OCH AVGRÄNSNING... 4 1.2

Läs mer

Innovation GAT med guldkant

Innovation GAT med guldkant Innovtion GT med guldknt Med nytänknde och uppfinningsrikedom hr bubbelbdkret nu tgits till en helt ny nivå. tt bdkr ur GTs Innovtion-serie ger dig fler vlmöjligheter, enklre funktioner och mssge utöver

Läs mer

Lust och risk. ett spel om sexuell hälsa och riskbeteenden

Lust och risk. ett spel om sexuell hälsa och riskbeteenden Lust och risk tt spl om sxull hälsa och riskbtndn 2 / 11 GR Upplvlsbasrat Lärand GR Utbildning Upplvlsbasrat Lärand (GRUL) syftar till att utvckla, utbilda och gnomföra vrksamht md dn upplvlsbasrad pdagogikn

Läs mer

EKOTRANSPORT 2030. Vägen till en fossiloberoende fordonsflotta. #eko2030

EKOTRANSPORT 2030. Vägen till en fossiloberoende fordonsflotta. #eko2030 FOTO: CHINAFACE #ko2030 mmmnn m m o k o ä k l V Vä ssnn oom n n r r f ttiillll kkoonf hållbaarraa ns ffrraam mtid tt occhh rröörrlliigghh rtrr ort trtraannssppo EKOTRANSPORT 2030 Vägn till n fossilobrond

Läs mer

HSB ENERGIAVTAL EXEMPLET VÄRMLAND PER WIKSTRAND, HSB VÄRMLAND PRESENTATION HSB-BÅTEN 2015

HSB ENERGIAVTAL EXEMPLET VÄRMLAND PER WIKSTRAND, HSB VÄRMLAND PRESENTATION HSB-BÅTEN 2015 HSB ENERGIAVTAL EXEMPLET VÄRMLAND PER WIKSTRAND, HSB VÄRMLAND PRESENTATION HSB-BÅTEN 2015 PRISUTVECKLING PÅ FÖRBRUKNINGSMEDIA 1996-NU HSB ENERGIAVTAL Full kontroll på r förbrukning och ra utgiftr för förbrukningsmdia.

Läs mer

TRAFIKUTREDNING SILBODALSKOLAN. Tillhör detaljplan för Silbodalskolan Årjängs kommun. Upprättad av WSP Samhällsbyggnad, 2012-12-04

TRAFIKUTREDNING SILBODALSKOLAN. Tillhör detaljplan för Silbodalskolan Årjängs kommun. Upprättad av WSP Samhällsbyggnad, 2012-12-04 TRAFIKUTRDNIN SILBODALSKOLAN Tillhör dtaljplan för Silbodalskolan Årjängs kommun Upprättad av WSP Samhällsbyggnad, 0--04 Innhåll Innhåll... INLDNIN... Bakgrund... Syft md utrdningn... NULÄS- OCH PROBLMBSKRIVNIN...

Läs mer

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 249 lottnummer 1.000 kronor vardera:

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 249 lottnummer 1.000 kronor vardera: Dragningsresultat vecka 10-2015 Här nedan kan du se om du är en av de lyckliga vinnarna i veckans utlottning i Svenska PostkodLotteriet. När du har vunnit betalar vi automatiskt ut dina vinstpengar till

Läs mer

Oleopass Bypass-oljeavskiljare av betong för markförläggning

Oleopass Bypass-oljeavskiljare av betong för markförläggning Instlltionsnvisning Oleopss Bypss-oljevskiljre v etong för mrkförläggning Figur 1 P C H G F E D B I J L M Q 0 O N O Innehåll: Uppyggnd och ingående komponenter... 1 Hlssystem... 2 Lossning... 2 Schkt,

Läs mer

TEORETISKT PROBLEM 3 VARFÖR ÄR STJÄRNOR SÅ STORA?

TEORETISKT PROBLEM 3 VARFÖR ÄR STJÄRNOR SÅ STORA? TEORETISKT PROBLEM 3 VARFÖR ÄR STJÄRNOR SÅ STORA? Stjärnorna är klot av ht gas Flrtalt lysr ftrsom d fusionrar vät till hlium i sina ntrala dlar I dtta problm kommr vi att använda bgrpp från båd klassisk

Läs mer

Snickerier. Räcken & Stolpar, Snickarglädje, Hyllplan, Trädgård, Stolpsystem. Trädetaljer och Produkter som håller stilen på ditt hus

Snickerier. Räcken & Stolpar, Snickarglädje, Hyllplan, Trädgård, Stolpsystem. Trädetaljer och Produkter som håller stilen på ditt hus Srr Trätr Prutr s år st på tt us Rä & Stpr, Srä, Hyp, Träår, Stpsyst Ett ört Sör-r Tstyps yr ystr A & Srä 1840-1900 Hus rå är pr är v på r tt v utsöt ystr srr. Vr uppör trä tt vär räss uppsr räsr. Isprt

Läs mer

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel.

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel. ÖPPNA OH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Någr viktig drgrdskurvor: irkel ellips hyperbel och prbel.. irkels ekvtio irkel med cetrum i och rdie hr ekvtioe pq O Amärkig. Edst

Läs mer

MATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren?

MATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren? Kn du dett? Uppgiftern här är tänkt tt nvänds för utvärdering v hur elevern tillägnt sig kpitlets mtemtisk innehåll. Låt elevern, prvis eller i mindre grupper, lös uppgiftern tillsmmns och förklr för vrndr

Läs mer

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering. 1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",

Läs mer

Kylfrysguide [Namn] Elektroskandia Sverige AB [år-månad-dag]

Kylfrysguide [Namn] Elektroskandia Sverige AB [år-månad-dag] Kylfrysguide [Nmn] Elektroskndi Sverige AB [år-månd-dg] Kylfrysguide Vilken kyl-frys sk du välj? Nturligtvis är det utrymmet som är det först tt t hänsyn till. Vnligst instlltionsbredd är 60 cm, men även

Läs mer

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 219 lottnummer 1.000 kronor vardera:

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 219 lottnummer 1.000 kronor vardera: Dragningsresultat vecka 27-2015 Här nedan kan du se om du är en av de lyckliga vinnarna i veckans utlottning i Svenska PostkodLotteriet. När du har vunnit betalar vi automatiskt ut dina vinstpengar till

Läs mer