Robin Ekman och Axel Torshage. Hjälpmedel: Miniräknare

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Robin Ekman och Axel Torshage. Hjälpmedel: Miniräknare"

Transkript

1 Umå univritt Intitutionn för matmatik oh matmatik tatitik Roin Ekman oh Axl Torhag Tntamn i matmatik Introduktion till dikrt matmatik Löningförlag Hjälpmdl: Miniräknar Löningarna kall prntra på tt ådant ätt att räkningar oh ronmang lir lätta att följa. Avluta varj löning md tt tydligt angivt var! Notra att dnna tntamn int döm md poäng, utan gnom att prtationn kall vara godtagar på vart oh tt av d tr dlområdna (Enumration, Graftori, Träd oh ortring). Endat var är aldrig tillräkligt. För högr tyg (VG rpktiv, 5) akta ävn hur löningarna prntra. För tyg kräv ammanlagt i huvudak korrkt löta uppgiftr, varav hlt korrkt. För tyg VG kräv ammanlagt i huvudak korrkt löta uppgiftr, varav 5 hlt korrkt. För tyg 5 kräv ammanlagt 9 i huvudak korrkt löta uppgiftr, varav hlt korrkt. Enumration (mint n i huvudak korrkt löt uppgift för godkänt tyg Mint två i huvudak korrkt löta uppgiftr, varav n hlt korrkt, för han till högr tyg) 1. Väggarna i tt fmkantigt rum ka måla på ådant ätt att inga väggar om gränar mot varandra får amma färg. Varj vägg ka vara nfärgad. a. Om dt finn tillgängliga färgr, på hur många ätt kan rummt måla? Löningförlag. Om alla färgr använd måt n färg använda gångr. Dt finn ( 5 ) = 10 ätt att välja två väggar att måla md dnna färg, mn vi måt dra ort d 5 fall där väggarnaärrdvidvarandra.dövrigaväggarnakanmålapå!ätt.dttagr 5! = 10 färgningar. Om färgr använd måt n av färgr int använda, n av d kvarvarand använda 1 gång oh d övriga. Dt går int att använda n färg tr gångr utan att ryta mot villkort att två väggar rdvid varandra int får ha amma färg. Vi kan välja 5 väggar att måla md dn namma färgn oh för d övriga kan färgrna yta parvi. Alltå finn dt 5 = 10 färgningar. Da två altrnativ är orond oh uttömmand, å nligt additionprinipn är antalt färgningar md tillgängliga färgr = 0.. Vad är dt minta antalt färgr om höv för att dt ka gå att måla rummt? Löningförlag. Dt går att måla rummt md färgr Mn dt går int att måla rummt md färgr, ty om vi numrrar väggarna 1 5, måt n ådan målning g vägg 1 oh amma färg, äg röd, amt vägg oh amma färg, äg lå.

2 Nu kan vägg 5 int ha amma färg om varkn vägg llr 1, alltå varkn röd llr lå, å vi måt använda flr än färgr.. Använd inkluion/xkluion för att räkna på hur många ätt rummt kan måla om dt finn k tillgängliga färgr. Löningförlag. Dt finn k 5 färgningar inkluiv oäkta färgningar. En färgning kan vara oäkta för att vägg 1 oh har amma färg, llr vägg oh, oh å vidar, till vägg 5 oh 1. Låt F i,i = 1,,,,5 vara färgningarna om är oäkta för att vägg i oh i+1 har amma färg (F 5 motvarar 5 oh 1). Då gr inkluion/xkluion k 5 = C(k) +S 1 S +S S +S 5 där C(k) ärantalt äktafärgningarmdhögtk färgrohs n ärnittnavntykn F i.vad är da nitt? Dt gällr att F i = k då, ty vägg i oh vägg i+1 ka ha n av k färgr, oh d tr väggar om är kvar kan färga på k ätt vardra, vilkt md multiplikationprinipn gr k. I F i F j får vi gruppr av väggar om alla kan färga orond av varandra, å F i F j = k, på amma ätt F i F j F l = k oh md llr 5 parvia likhtr är alla hörn färgr fixrad, å da nitt innhållr k lmnt var. Notra att alla antaln lmnt är orond av vilka väggar dt rör ig om, för alla väggar är jämlika. Hur många trmr finn dt i S n? Dt måt vara ( 5 n) ftrom dtta är antalt ätt att välja n par av väggar om gr prolm, å 5 k = C(k) +5k 10k +10k 5k+k vilkt gr C(k) = k 5 5k 10k +10k +k. Notra att C() = 0, om i a oh C() = 0.. Tändtikor lägg i tt kvadratikt rutmöntr nligt ildn ovan. a. Låta n tknaantalt tändtikor omkrävförattildattrutmöntrmddimnionrna n n. Bkriv talföljdn a n md hjälp av n rkurionkvation oh lö dn. Löningförlag. Man måt kapa n+1 nya må kvadratr. För n av da räkr dt md tikor: d andra två få antingn av dt xitrand möntrt llr näta kvadrat. Dn ita kvadratn måt alla tikor lägga ut i. Alltå a n+1 = a n +n+ a 1 = Dn karaktäritika kvationn är r 1 = 0 md rot r = 1, å dn homogna löningn är a h n = C 1 n = C. Vi anättr partikulärlöningn a p n = An +Bn, då nollt ordningn trmr lir linjärt rond av dn homogna löningn. Inättningi kvationn gr a p n+1 = A(n+1) +B(n+1) = An +An+A+Bn+B = An +(A+B)n+A+B = a p n +n+ = An +Bn+n+.

3 oh om man jämför koffiintr får man kvationytmt md löning A =,B =. Alltå oh villkort a 1 = gr C = 0. A+B = A+B = B + a n = C +n +n. Kontrollra din löning gnom att itällt räkna antalt tändtikor om höv för att lägga ut n n rutor på följand ätt: Hur många horiontlla tändtikor höv? Hur många vrtikala tändtikor höv? Hur många tändtikor höv ammanlagt? Löningförlag. Dt höv n+1 kolonnr om n tikor, alltå n +n vrtikala tikor. På grund av ymmtri kräv dt lika många horiontlla, å dt kräv n + n tikor för tt möntr md idan n.. En andraordningnlinjär rkurionkvation md kontanta koffiintr har löningn n = n + n. a. Hur r rkurionkvationn ut, oh vilka är initialvärdna 1 oh? Löningförlag. Dn karaktäritika kvationn måt vara (r )(r ) = r 5r+ = 0. Dt räkr md n inhomogn kvation, ty följdn n = n + n är n linjärkomination av löningar till dn homogna kvationn Initialvärdna g av 1 = 5, = +9 = 1.. Antag att n (p1) oh n (p) rkurionkvation. Är då n (p1) xmpl. n+ 5 n+1 + = 0. är två partikulärlöningar till n förta ordningn inhomogn linjär + (p) n n partikulärlöning till kvationn? Förklara oh g Löningförlag. Låt kvationn vara n+1 +a(n) n = f(n). Då gällr nligt antagandt (p1) n+1 +a(n)(p1) n = f(n) n+1 +a(n)(p) n = f(n) ( (p1) ) n+1 +(p) n+1 +a(n)( (p1) n + n (p) ) = f(n) (p) å (p1) n + (p) n är int n löning till amma kvation. Graftori (mint två i huvudak korrkt löta uppgiftr för godkänt tyg Mint tr i huvudak korrkt löta uppgiftr, varav två hlt korrkt, för han till högr tyg) G: 9 5 1

4 . Låt G vara dn graf om avilda ovan. a. Är grafn ammanhängand?. Är grafn plan? Löningförlag. Grafn är int ammanhängand, ty komponntn i rött (hörn,,9) ndan hängr int amman md övriga hörn. Dn är plan ty dn kan rita om ndan Vilkn dlgraf indura av hörnn,,5,,,9? Löningförlag. En indurad dlgraf innhållr alla kantr om ingår i grafn dn är dlgraf till oh är mllan hörn i dn indurad dlgrafn. Dtta gr a. Ang n ammanhängand graf på hörn om har kromatikt tal. Löningförlag. Grafn ndan kan färga md färgr, å dt kromatika talt är högt. Dn har K om dlfraf (1,,,) å dt kromatika talt är mint. Alltå är dt kromatika talt Vilkt kromatikt tal har komplmntt till dn graf du angav i a? Löningförlag. χ =. Komplmntt kan färga md färgr nligt ndan. Komplmntt innhållr K (,5,,), å dt kromatika talt är. 1 5

5 . Låt G vara n graf md kromatikt tal oh H n graf md kromatikt tal. Kan G oh H vara iomorfa? Bvia att dt är omöjligt, llr g tt xmpl på tt ådant par av grafr. Löningförlag. Nj. Om f : G H är n iomorfi oh vi har n färgning av G kan vi låta hörnt f(v) ha amma färg om v. Dtta gr n färgning av H, för f(v) oh f(w) har n kant mllan ig om oh ndat om v oh w har dt. Alltå, om G oh H är iomorfa oh dt finn n -färgning av G, finn dt n -färgning av H. Då kan int χ(h) =.. En ipartit graf B = (V,E) kriv gnom att V = X Y, där X = {,,5,} oh Y = {,,1,15,1,0,1} oh {x,y} där x X oh y Y är n kant i B om oh ndat om x y. a. Skia grafn B, oh ang maximalt oh minimalt gradtal. Löningförlag. Maximalt gradtal: 5 (hörnt ). Minimalt gradtal: 1 (hörnt ) Avgör om dt finn n öppn llr lutn Eulrlinga i B. Löningförlag. Hörnn gradtal är (uppifrån oh nd, väntr fört) 5,,,,, 1,,,,,. Dt finn två hörn md udda gradtal, å nligt känd at finn n öppn Eulrlinga i grafn mn ingn lutn. En öppn linga är,,,, 15, 5, 0,, 1,, 1,, 1,.. Ang n kompltt mathning från X till Y, llr argumntra för varför dt int finn någon ådan mathning. Löningförlag. En kompltt mathning från X till Y är

6 . Dt kan int finna n kompltt mathing från Y till X, för Y har flr hörn än X har. (,) a (,) (,) d (,5) (,) (,0) (1,1) (,1) (,0) (,) t. Två tudntr har hamnat i n dipyt om löningn på tt flödprolm. D har funnit flödt i grafn ovan, där märkningn (,f) på n kant innär att kapaittn är oh flödt är f. a. Kontrollra att dt påtådda flödt vrklign är tt flöd. Löningförlag. Man kontrollrar att i alla hörn utom oh t är umman av inflödna lika md umman av utflödna amt att ingn kapaitt övrkrid.. Knny mnar att flödt är maximalt, mdan Lnny är äkr på att dt går att öka på flödt. Vm har rätt, oh varför?. Btäm värdt på tt maximalt flöd, oh ang tt minimalt nitt. Löningförlag. (. oh.) Vi förökr använda Ford-Fulkron algoritm på flödt i a. för att avgöra om dt är maximalt. Dtta gr ökningn (,) a (,) (,1) (,5) d (d,) t (,) (,) om når fram till änkan. Kantrna (, ) oh (d, ) hitta ty vi traktar tillfälligt nätvrkt om n oriktad graf ftrom dt kull kunna vara fallt att vi vill gräna flödt läng n kant ( okn om Ford-Fulkron algoritm). Alltå är flödt i a. int maximalt. Flödt läng md dn här ökningn är 1, vilkt dra av från kantn (d,) oh lägg till till d andra, oh vi får då att flödt kan ändra till a (,) (,) (,) d (,) (,1) (,) (1,1) (,0) t (,) (,1)

7 Nu är flödt. Är dt maximalt? Vi förökr göra tt tg till i algoritmn mn får ökningn (,) a (,1) (,5) (,) (,) om int når fram till änkan. Vi har dt minimala nittt om {,a,,,}. Kantrna om om ka ta ort då är (a,d),(d,),(d,),(,t) md kapaitt ++ = ((d,) är riktad akåt övr nittt).. Låt G = (V,E) vara n graf md V = {v 1,v,...,v n } oh E = kantr. a. Förklara varför n dg(v i ) =. i=1 Löningförlag. Varj kant förindr hörn oh dg(v) är antalt kantr vid v. Summrar man dg(v i ) räkna alltå varj kant gångr, n gång pr hörn dn ammanindr.. Antag att P = (V,E) är n plan graf, där varj gradtal är mint. Hur många kantr måt P mint ha? Löningförlag. Vi har nligt a. = n dg(v i ) i=1 n = n i=1 å n.. Använd Eulr forml oh dt faktum att f för att via att n ådan graf P int kan xitra. Löningförlag. Eulr forml för plana grafr ägr Vi har n oh givt f, å = n +f. n f vilkt gr + = 0 vilkt int går. Alltå kan n ådan graf P int xitra. Träd oh ortring (mint n i huvudak korrkt löt uppgift för godkänt tyg Mint två i huvudak korrkt löta uppgiftr, varav n hlt korrkt, för han till högr tyg)

8 a 1 f d F: 1 9 g h t 9. Låt F vara dn viktad graf om avilda ovan. a. Använd lämplig algoritm för att finna tt upppännand träd i F, där kantrna i trädt gr dn kortat tign från till varj annat hörn i grafn. Löningförlag. Vi användr Dijktra algoritm. a d f g h t Söknod Kant 0 0 (, ) 0 (, ) 0 5 (, ) 0 1 d (, d) g (, g) a (, a) f (d, f) h (g, h) 0 1 (g, t) Dtta gr trädt a f d 1 g h t. Är dt träd du hittat unikt, llr finn dt andra träd om lör optimringprolmt i fråga a? Löningförlag. Nj. I tgt där vi ökt från had vi kunnat välja kantn (, d) itällt för (,d).

9 a f d 1 g h t. Gr tt ådant träd du funnit i uppgift a okå information om kortat tign mllan hörn oh hörn g? Förklara! Löningförlag. Nj. Stign,,g har längd, mn i trädt i a. få tign,,,,g md vikt Brddn fört-ökning oh djupt fört-ökning gr om kant i allmänht int amma ökträd för n givn graf G. a. Antag att du gnomför djupt fört-ökning oh rddn fört-ökning i n kompltt graf på n hörn. Bkriv oh jämför rultatn! Löningförlag. Kalla hörnn 1,,,...,n. En rddn fört-ökning gr tt träd md två nivår där 1 är rotn oh alla andra nodr är på förta nivån, i ordningn d är numrrad då alla hitta från förta hörnt. En djupt fört-ökning gr n linj, då man från 1 går till till oh å vidar oh aldrig hövr gå akåt. Trädn lir olika mn nodrna hitta i amma ordning.. Antag att du gnomför djupt fört-ökning oh rddn fört-ökning i n ykl på n hörn. Bkriv oh jämför rultatn! Löningförlag. Md rddn fört-ökning hittar man nodrna,n 1, n,n oh å vidar. Man får tt träd om är kluvt vid rotn oh grnarna längdr kan kilja ig md om mt 1 (rond på om dt är n udda llr n jämn ykl). Dtta är n linj, mn vi har lagt rotn mitt på dn. Djupt fört-ökning gr okå n linj, mn rotn i na ändn, då vi örjar i tt hörn oh går runt hla ykln.. Antag att du gnomför djupt fört-ökning oh rddn fört-ökning i n kompltt ipartit graf K m,n. Bkriv oh jämför rultatn! Löningförlag. Låt E = X Y, x 1 X Brddn fört-ökning gr fört hörnt x 1, dan hla Y i ordning: y 1,y,... Sdan från y 1 får man hla X utom x 1 : x,x,... Djupt fört gr x 1,y 1,x,... upp till att n av mängdrna X oh Y tar lut. Säg att X tar lut fört, å att man int kan komma vidar från hörnt y m. Då ökr man utifrån x m oh hittar y m+1. Man kan fortfarand int ig vidar oh måt gå tillaka till x m, där man hittar y m+ oh å vidar. Trädt får m nivår. Fallt när Y tar lut fört lir liknand. Bonufråga: Finn dt någon ammanhängand graf om innhållr n ykl, om gr amma ökträd md rddn fört om md djupt fört? Löningförlag. Nj. När algoritmrna kommr till tt hörn i n ykl kommr djupt fört gå gnom ykln mdan rddn fört dlar på ig, om i. 11. Ett fulltändigt inärt rotat träd är tt rotat träd, där varj hörn i trädt har antingn två llr noll grannar på näta nivå längr ort från rotn. a. Använd tt fulltändigt inärt rotat träd för att (md ordinari prioritringrglr) rprntra dt aritmtika uttrykt a + d på ådant ätt att varj hörn md noll grannar på

10 lägr nivå rprntrar något av taln a,,,d, oh tt hörn md två grannar på lägr nivå rprntrar n räknopration. Löningförlag. oh + utför från väntr till högr å vi får trädt + a d. Antag att ordinari prioritringrglr int gällr, utan att uttrykt a + d är tvtydigt. Ang md hjälp av fulltändiga rotad inära träd två olika tolkningar av uttrykt om kiljr ig från tolkningn i uppgift a, oh ang ävn hur parntr kan ätta ut för att göra uttrykt ntydigt, oh motvara rpktiv träd. Löningförlag. a + a + d d a ( +( d) ) a ( (+) d ). Antalt olika ätt n att plara ut parntr i tt uttryk md n inära oprationr för att göra dt ntydigt uppfyllr rkurionn n n+1 = i n i, 0 = 1. i=0 Exmplvi kan man kriva ((a ) + ( d)). Använd additionprinipn oh multiplikationprinipn för att argumntra för att dnna rkurion är riktig. Ldning: Jut innan dn yttrta parntn ätt dit kan uttrykt trakta om att dt tår av två dlar, om parra av dn ita inära oprationn om kall utföra. På hur många ätt kan parntrna ätta ut i rpktiv dl? Löningförlag. I tt uttryk md 0 inära oprationr finn tt ätt att plara parntr. Alltå är 0 = 1. Antag att n > 0. Dn ita inära oprationn av n+1 om ka utföra kan ha i oprationr till väntr om ig oh n i till högr. Antalt ätt att plara parntr i dn väntra dln är i oh i dn högra dln n i. Da är orond oh kall göra amtidigt, å dt finn totalt i n i ätt (multiplikationprinipn). Mn vi måt ummra övr i för da fall är xkludrand oh uttömmand (additionprinipn). Dtta gr n n+1 = i n i. i=0

spänner upp ett underrum U till R 4. Bestäm alla par av tal (r, s) för vilka vektorn (r 3, 1 r, 3, 22 3r + s) tillhör U. Bestäm även en bas i U.

spänner upp ett underrum U till R 4. Bestäm alla par av tal (r, s) för vilka vektorn (r 3, 1 r, 3, 22 3r + s) tillhör U. Bestäm även en bas i U. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akadmin för utbildning, kultur och kommunikation Avdlningn för tillämpad matmatik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algbra Datum: augusti 04 Skrivtid:

Läs mer

Ekosteg. En simulering om energi och klimat

Ekosteg. En simulering om energi och klimat Ekostg En simulring om nrgi och klimat E K O S T E G n s i m u l r i n g o m n rg i o c h k l i m a t 2 / 7 Dsign Maurits Vallntin Johansson Pr Wttrstrand Txtr och matrial Maurits Vallntin Johansson Alxandr

Läs mer

Referensexemplar. Vi önskar er Lycka till! 1. Välkommen till Frö-Retaget

Referensexemplar. Vi önskar er Lycka till! 1. Välkommen till Frö-Retaget t g a t R Frö ar pl m x ns r f R 1 1. Välkommn till Frö-Rtagt Hj, nu ska du och dina klasskompisar starta rt alldls gna förtag. Vi på FramtidsFrön har valt att kalla dt Frö-Rtag. Md Frö mnar vi att du

Läs mer

Bengt Sebring September 2002 Sida: 1 Ordförande GRANSKNINGSRAPPORT 2/2002

Bengt Sebring September 2002 Sida: 1 Ordförande GRANSKNINGSRAPPORT 2/2002 ÅSTORPS KOMMUN GRANSKNING AV DELÅRSBOKSLUTET 2002-06-30 Bngt Sbring Sptmbr 2002 Sida: 1 Ordförand GRANSKNINGSRAPPORT 2/2002 1. Inldning I dnna rapport kommr vi att kommntra våra notringar utifrån vår rvision

Läs mer

Revisionsrapport 2010. Hylte kommun. Granskning av överförmyndarverksamheten

Revisionsrapport 2010. Hylte kommun. Granskning av överförmyndarverksamheten Rvisionsrapport 2010 Hylt kommun Granskning av övrförmyndarvrksamhtn Karin Hansson, Ernst & Young sptmbr 2010 Innhållsförtckning SAMMANFATTNING... 3 1 INLEDNING... 4 1.1 SYFTE OCH AVGRÄNSNING... 4 1.2

Läs mer

GRAFISK PROFILMANUAL SUNDSVALL NORRLANDS HUVUDSTAD

GRAFISK PROFILMANUAL SUNDSVALL NORRLANDS HUVUDSTAD GRAFISK PROFILMANUAL SUNDSVALL NORRLANDS HUVUDSTAD INLEDNING Sundsvall Norrlands huvudstad Sundsvall Norrlands huvudstad, är båd tt nuläg och n önskan om n framtida position. Norrlands huvudstad är int

Läs mer

TRAFIKUTREDNING SILBODALSKOLAN. Tillhör detaljplan för Silbodalskolan Årjängs kommun. Upprättad av WSP Samhällsbyggnad, 2012-12-04

TRAFIKUTREDNING SILBODALSKOLAN. Tillhör detaljplan för Silbodalskolan Årjängs kommun. Upprättad av WSP Samhällsbyggnad, 2012-12-04 TRAFIKUTRDNIN SILBODALSKOLAN Tillhör dtaljplan för Silbodalskolan Årjängs kommun Upprättad av WSP Samhällsbyggnad, 0--04 Innhåll Innhåll... INLDNIN... Bakgrund... Syft md utrdningn... NULÄS- OCH PROBLMBSKRIVNIN...

Läs mer

Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN2 (Analys) Datum: 21 augusti 2015 Skrivtid 8:15 12:15. Examinator: Armin Halilovic Undervisande lärare: Elias Said

Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN2 (Analys) Datum: 21 augusti 2015 Skrivtid 8:15 12:15. Examinator: Armin Halilovic Undervisande lärare: Elias Said Kurs: HF9 Matmatik, Momnt TEN (Anals) atum: augusti 5 Skrivtid 8:5 :5 Eaminator: Armin Halilovic Undrvisand lärar: Elias Said För godkänt btg krävs av ma 4 poäng. Btgsgränsr: För btg A, B, C,, E krävs,

Läs mer

2. Bestäm en ON-bas i det linjära underrummet [1 + x, 1 x] till P 2 utrustat med skalärprodukten

2. Bestäm en ON-bas i det linjära underrummet [1 + x, 1 x] till P 2 utrustat med skalärprodukten MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akadmin för utbildning, kultur och kommunikation Avdlningn för tillämpad matmatik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algbra Datum: 6 januari 03 Skrivtid:

Läs mer

DEMONSTRATION TRANSFORMATORN I. Magnetisering med elström Magnetfältet kring en spole Kraftverkan mellan spolar Bränna spik Jacobs stege

DEMONSTRATION TRANSFORMATORN I. Magnetisering med elström Magnetfältet kring en spole Kraftverkan mellan spolar Bränna spik Jacobs stege FyL VT06 DEMONSTRATION TRANSFORMATORN I Magntisring md lström Magntfältt kring n spol Kraftvrkan mllan spolar Bränna spik Jacobs stg Uppdatrad dn 9 januari 006 Introduktion FyL VT06 I littraturn och framför

Läs mer

Uppskatta ordersärkostnader för tillverkningsartiklar

Uppskatta ordersärkostnader för tillverkningsartiklar Handbk i matrialstyrning - Dl B Paramtrar ch ariablr B 12 Uppskatta rdrsärkstnadr för tillrkningsartiklar Md rdrsärkstnadr för tillrkningsartiklar ass alla d kstnadr sm tör dn dirkta ärdförädlingn är förknippad

Läs mer

Åstorps kommun. Revisionsrapport nr 4/2010. Granskning av kommunens kommunikation med medborgarna

Åstorps kommun. Revisionsrapport nr 4/2010. Granskning av kommunens kommunikation med medborgarna Rvisionsrapport nr 4/2010 Åstorps kommun Granskning av kommunns kommunikation md mdborgarna Bngt Sbring, ordf Tord Stursson, 1: v ordf. Bngt Johns, 2: v ordf. Stig Andrsson Nils Prsson Innhållsförtckning

Läs mer

Bilaga 1 Kravspecifikation

Bilaga 1 Kravspecifikation Bilaga 1 Kravspcifikation Prövning av anbud Skallkrav Ndan följr d skall-krav som ställs i dnna upphandling. Anbudsgivarn ombds fylla i ndanstånd tabll md tt kryss i JA llr NEJ rutorna för rspktiv fråga.

Läs mer

där a och b är koefficienter som är större än noll. Här betecknar i t

där a och b är koefficienter som är större än noll. Här betecknar i t REALRNTAN OCH PENNINGPOLITIKEN Dt finns flra sätt att närma sig frågan om vad som är n långsiktigt önskvärd nivå på dn pnningpolitiska styrräntan. I förliggand ruta diskutras dnna fråga md utgångspunkt

Läs mer

TEORETISKT PROBLEM 3 VARFÖR ÄR STJÄRNOR SÅ STORA?

TEORETISKT PROBLEM 3 VARFÖR ÄR STJÄRNOR SÅ STORA? TEORETISKT PROBLEM 3 VARFÖR ÄR STJÄRNOR SÅ STORA? Stjärnorna är klot av ht gas Flrtalt lysr ftrsom d fusionrar vät till hlium i sina ntrala dlar I dtta problm kommr vi att använda bgrpp från båd klassisk

Läs mer

Delårsrapport 2014-08-31

Delårsrapport 2014-08-31 TRELLEBORGS KOMMUN Srvlcriämndn 2014-09-22 Dlårsrapprt 2014-08-31 Sammanfattning Nämndsttal (tkr) Dlår 140831 Årsbudgt 2014 Prgns 2014 Avvikls Vrksamhtns intäktr 260 267 386 016 385 016-1 000 Vrksamhtns

Läs mer

TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment: TEN2 (analys) Datum: Lördag, 9 jan 2016 Skrivtid 13:00-17:00

TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment: TEN2 (analys) Datum: Lördag, 9 jan 2016 Skrivtid 13:00-17:00 TENTAMEN Kurs: HF9 Matmatik, Momnt: TEN anals atum: Lördag, 9 jan Skrivtid :-7: Eaminator: Armin Halilovi Rättand lärar: Frdrik Brgholm, Elias Said, Jonas Stnholm För godkänt btg krävs av ma poäng Btgsgränsr:

Läs mer

Föreläsning 11: Grafer, isomorfi, konnektivitet

Föreläsning 11: Grafer, isomorfi, konnektivitet Förläsning 11: Grfr, isomorfi, konnktivitt En orikt nkl grf (V, E) står v hörn, V, oh kntr, E, vilk förinr istinkt nor: ing pilr, ing öglor, int multipl kntr mlln hörn. Två hörn u,v V är grnnr om t finns

Läs mer

OLYCKSUNDERSÖKNING. Teglad enplans villa med krypvind Startutrymme: Torrdestillation av takkonstruktion Insatsrapport nr: 2012012917

OLYCKSUNDERSÖKNING. Teglad enplans villa med krypvind Startutrymme: Torrdestillation av takkonstruktion Insatsrapport nr: 2012012917 BRANDUTREDNINGSPROTOKOLL Datum: 20121130 Vår rfrns: Grt Andrsson Dnr: 2013-000138 Er rfrns: MSB Uppdragsgivar: Uppdrag: Undrsökningn utförd: Bilagor: Landskrona Räddningstjänst Brandorsak, brandförlopp

Läs mer

ATLAS-experimentet på CERN (web-kamera idag på morgonen) 5A1247, modern fysik, VT2007, KTH

ATLAS-experimentet på CERN (web-kamera idag på morgonen) 5A1247, modern fysik, VT2007, KTH ATLAS-xprimntt på CERN (wb-kamra idag på morgonn) 5A1247, modrn fysik, VT2007, KTH Laborationr: 3 laborationr: AM36: Atomkärnan. Handlar om radioaktivitt, absorbtion av gamma och btastrålning samt mätning

Läs mer

(x y) 2 e x2 y 2 da, D. där D är den triangelskiva som har sina hörn i punkterna (0, 0), (0, 2) och (2, 0). dx + y 3 e y dy,

(x y) 2 e x2 y 2 da, D. där D är den triangelskiva som har sina hörn i punkterna (0, 0), (0, 2) och (2, 0). dx + y 3 e y dy, MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akadmin för utbildning, kultur och kommunikation Avdlningn för tillämpad matmatik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA8 Diffrntial- och intgralkalkyl III Datum:

Läs mer

Laboration 1a: En Trie-modul

Laboration 1a: En Trie-modul Lbortion 1: En Tri-modul 1 Syft Progrmmring md rfrnsr, vlusning, tstning, kt m.m. Vi hr trolign int hunnit gå ignom llt, viss skr får ni br cctr så läng. S ävn kodxml å kurssidn. 2 Bkgrund Vi skll undr

Läs mer

Kommunrevisionen i Åstorp ÅSTORPS KOMMUN GRANSKNING AV SJUKFRÅNVARO. Bengt Sebring Februari 2004 Sida: 1 Ordförande GRANSKNINGSRAPPORT 4/2003

Kommunrevisionen i Åstorp ÅSTORPS KOMMUN GRANSKNING AV SJUKFRÅNVARO. Bengt Sebring Februari 2004 Sida: 1 Ordförande GRANSKNINGSRAPPORT 4/2003 Kommunrvisionn ÅSTORPS KOMMUN GRANSKNING AV SJUKFRÅNVARO Bngt Sbring Fbruari 2004 Sida: 1 Kommunrvisionn Innhållsförtckning Sammanfattning... 3 1. Inldning... 4 1.1 Uppdrag... 4 1.2 Avgränsning... 4 1.3

Läs mer

247 Hemsjukvårdsinsats för boende i annan kommun

247 Hemsjukvårdsinsats för boende i annan kommun PROTOKOLLSUTDRAG Sammanträdsdatum 2015-11-10 1 (1) KOMMUNSTYRELSEN Dnr KSF 2015/333 247 Hmsjukvårdsinsats för bond i annan kommun Bslut Kommunstyrlsn förslår kommunfullmäktig bsluta: 1. Hmsjukvårdsinsatsr

Läs mer

Hittills på kursen: E = hf. Relativitetsteori. vx 2. Lorentztransformationen. Relativistiskt dopplerskift (Rödförskjutning då källa avlägsnar sig)

Hittills på kursen: E = hf. Relativitetsteori. vx 2. Lorentztransformationen. Relativistiskt dopplerskift (Rödförskjutning då källa avlägsnar sig) Förläsning 4: Hittills å kursn: Rlativittstori Ljusastigtn i vakuum dnsamma för alla obsrvatörr Lorntztransformationn x γx vt y y z z vx t γt där γ v 1 1 v 1 0 0 Alla systm i likformig rörls i förålland

Läs mer

4.1 Förskjutning Töjning

4.1 Förskjutning Töjning Övning Stark/Svag Form, Fackvrk Rickard Shn 3--5 FEM för Ingnjörstillämpningar, SE5 rshn@kth.s 4. Förskjutning öjning a) Sökt: Visa att töjningn i lmntt är. du ösning: I grundkursn fick man lära sig att.

Läs mer

Distributionsförare. Loggbok för vuxna. Underlag för APL-handledare/-instruktör på APL-företag

Distributionsförare. Loggbok för vuxna. Underlag för APL-handledare/-instruktör på APL-företag A Distributions ktör på DISTRIBUTIONSFÖRARE 1(5) Arbtsplatsförlagd dl av tstmodul, validring llr utbildning När du dokumntrar dn arbtsplatsförlagda dln i ndanstånd chcklista gör då ävn bdömning inom säkrhts-,

Läs mer

Revisionsrapport 7/2010. Åstorps kommun. Granskning av intern kontroll

Revisionsrapport 7/2010. Åstorps kommun. Granskning av intern kontroll Rvisionsrapport 7/2010 Åstorps kommun Granskning av intrn kontroll Bngt Sbring, ordf Tord Stursson, 1: v ordf. Bngt Johns, 2: v ordf. Stig Andrsson Nils Prsson Rvisorrna Innhållsförtckning SAMMANFATTNING...

Läs mer

S E D K N O F I AVM 960 AVM 961 AVM 971. www.whirlpool.com

S E D K N O F I AVM 960 AVM 961 AVM 971. www.whirlpool.com AVM 960 AVM 961 AVM 971 S D K N O F I.hirlpool.com 1 S INNAN APPARATN MONTRAS INSTALLATION KONTROLLRA ATT ugnsutrymmt är tomt för installationn. KONTROLLRA att apparatn int är skadad innan dn montras i

Läs mer

ERCO Hi-trac strömskena

ERCO Hi-trac strömskena 72 2000 0q (RAL9002) Längd 2000mm Produktbskrivning Panl-profil: aluminium, pulvrlackrad. Ovansidan: tomprofil, för fastsättning av övrkoppling llr täckprofilr. Undrsidan: strömskna. 4 isolrad kopparldar

Läs mer

Del 1 Teoridel utan hjälpmedel

Del 1 Teoridel utan hjälpmedel inköings Univrsitt TMH9 Sörn Sjöström --, kl. 4- Dl Toridl utan hjälmdl. I figurn gs ulrs fra knäckfall (balkarna är idntiska, bara randvillkorn skiljr sig åt). Skriv n tta () vid dt fall som har lägst

Läs mer

Revisionsrapport 2/2010. Åstorps kommun. Granskning av lönekontorets utbetalningsrutiner

Revisionsrapport 2/2010. Åstorps kommun. Granskning av lönekontorets utbetalningsrutiner Rvisionsrapport 2/2010 Åstorps kommun Granskning av lönkontorts utbtalningsrutinr Bngt Sbring, ordf Tord Stursson, 1: v ordf. Bngt Johns, 2: v ordf. Stig Andrsson Nils Prsson Innhållsförtckning SAMMANFATTNING...

Läs mer

REDOVISNING AV UPPDRAG SOM GOD MAN FÖR ENSAMKOMMANDE BARN OCH BEGÄRAN OM ARVODE (ASYLPERIOD)

REDOVISNING AV UPPDRAG SOM GOD MAN FÖR ENSAMKOMMANDE BARN OCH BEGÄRAN OM ARVODE (ASYLPERIOD) 1(5) REDOVISIG AV UPPDRAG SOM GOD MA FÖR ESAMKOMMADE BAR OCH BEGÄRA OM ARVODE (ASYLPERIOD) Asylpriod priod då barnt int har prmannt upphållstillstånd God mannn har rätt till tt skäligt arvod för uppdragt

Läs mer

Per Sandström och Mats Wedin

Per Sandström och Mats Wedin Raltids GPS på rn i Vilhlmina Norra samby Pr Sandström och ats Wdin Arbtsrapport Svrigs lantbruksunivrsitt ISSN Institutionn för skoglig rsurshushållning ISRN SLU SRG AR SE 9 8 UEÅ www.srh.slu.s Tfn: 9-786

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra 2010 05 21, 8 13.

Tentamen i Linjär algebra 2010 05 21, 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET Mamaika Iniuionn Ulf Janfalk Kurkod: ETE Provkod: TEN Tnamn i Linjär algbra,. Inga hjälpmdl. Ej räkndoa. Rula mddla vi -po. För godkän räckr poäng och min uppgifr md llr poäng. Godkända

Läs mer

KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER ( Allmänt om kontinuerliga s.v.)

KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER ( Allmänt om kontinuerliga s.v.) Kontinurliga fördlningar KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Allmänt om kontinurliga s.v. Dfinition. En stokastisk variabl ξξ. kallas kontinurlig om fördlningsfunktionn FF ξ är kontinurlig. Egnskar: Fördlningsfunktionn

Läs mer

Umeå Universitet 2007-12-06 Institutionen för fysik Daniel Eriksson/Leif Hassmyr. Bestämning av e/m e

Umeå Universitet 2007-12-06 Institutionen för fysik Daniel Eriksson/Leif Hassmyr. Bestämning av e/m e Umå Univrsitt 2007-12-06 Institutionn för fysik Danil Eriksson/Lif Hassmyr Bstämning av /m 1 Syft Laborationns syft är att g ökad förståls för hur laddad partiklars rörls påvrkas av yttr lktromagntiska

Läs mer

Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 8 juni 2009 Tid:

Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 8 juni 2009 Tid: Tntamn i Matmatik HF9 H9 juni 9 Tid: Lärar:Armin Halilovic Hjälpmdl: Formlblad Inga andra hjälpmdl utövr utdlat formlblad Fullständiga lösningar skall prsntras på alla uppgiftr Btygsgränsr: För btyg A,

Läs mer

om de är minst 8 år gamla

om de är minst 8 år gamla VIKTIGA SÄKERHETSINSTRUKTIONER LÄS NOGGRANT OCH SPARA FÖR FRAMTIDA REFERENS VÄRM INTE UPP OCH ANVÄND INTE BRANDFARLIGA MATERIAL i llr nära ugnn. Ångor kan skapa n risk för brand llr xplosion. ANVÄND INTE

Läs mer

Lust och risk. ett spel om sexuell hälsa och riskbeteenden

Lust och risk. ett spel om sexuell hälsa och riskbeteenden Lust och risk tt spl om sxull hälsa och riskbtndn 2 / 11 GR Upplvlsbasrat Lärand GR Utbildning Upplvlsbasrat Lärand (GRUL) syftar till att utvckla, utbilda och gnomföra vrksamht md dn upplvlsbasrad pdagogikn

Läs mer

Företag - Skatteverkets kontroll på webben

Företag - Skatteverkets kontroll på webben Förtag - Skattvrkts kontroll på wbbn Du har nu möjlight att stämma av mot Skattvrkts kontrollr innan du lämnar in din dklaration. På dt här sättt så slippr du som förtagar n hl dl onödiga frågor från Skattvrkt.

Läs mer

Vi bygger för ett hållbart Trollhättan. Kvarteret Fridhem. 174 nya hyreslägenheter i klimatsmarta passivhus.

Vi bygger för ett hållbart Trollhättan. Kvarteret Fridhem. 174 nya hyreslägenheter i klimatsmarta passivhus. Vi byggr för tt hållbart Trollhättan vartrt ridhm 174 nya hyrslägnhtr i klimatsmarta passivhus. Ett grönt kvartr i n skön stad. vartrt ridhm är vrigs hittills största satsning på så kallad Passivhus. 174

Läs mer

Grafer. 1 Grafer. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Oriktade grafer. Marco Kuhlmann

Grafer. 1 Grafer. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Oriktade grafer. Marco Kuhlmann Marco Kuhlmann 1 En graf är en struktur av prickar förbundna med streck. Ett tidsenligt exempel på en sådan struktur är ett social nätverk, där prickarna motsvarar personer och en streck mellan två prickar

Läs mer

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, )}, i N, N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg innehåller

Läs mer

1. Låt M, +,,, 0, 1 vara en Boolesk algebra och x,

1. Låt M, +,,, 0, 1 vara en Boolesk algebra och x, Matmatik CTH&GU Tntamn i matmatiska mtodr E (TMA04), dl A, 000-0-, kl.45-.45 Tlfon: Andrs Logg, tl. 0740-4590 OBS: Ang linj och inskrivningsår samt namn och prsonnummr på skrivningsomslagt. Ang namn och

Läs mer

Föreläsning 6: Kapitel 10 Beräkning av egenskaper hos reglersystem. Sådana egenskaper är Stabilitet Statisk noggrannhet Snabbhet mm

Föreläsning 6: Kapitel 10 Beräkning av egenskaper hos reglersystem. Sådana egenskaper är Stabilitet Statisk noggrannhet Snabbhet mm Förläning 6: Kapitl 0 Bräkning av gnkapr ho rglrytm Sådana gnkapr är Stabilitt Statik noggrannht Snabbht mm Stabilitt Kan avgöra md Nyqvitkritrit Polbtämning Routh mtod 2 Nyqvitkritrit tt grafikt tabilittkritrium

Läs mer

SAMMANFATTNING... 3 1. INLEDNING... 4. 1.1 Bakgrund... 4 1.2 Inledning och syfte... 4 1.3 Tillvägagångssätt... 5 1.4 Avgränsningar... 5 1.5 Metod...

SAMMANFATTNING... 3 1. INLEDNING... 4. 1.1 Bakgrund... 4 1.2 Inledning och syfte... 4 1.3 Tillvägagångssätt... 5 1.4 Avgränsningar... 5 1.5 Metod... Rvisionsrapport 2010 Malmö stad Granskning av policy och riktlinjr samt intrn kontroll mot mutor tc. Jakob Smith och Josabth Alfsdottr dcmbr 2010 Innhållsförtckning SAMMANFATTNING... 3 1. INLEDNING...

Läs mer

Uppgradering. och varför

Uppgradering. och varför Uppgradring vad är d och varför Lösligh lir pr lir Lösligh man och koldiox 2,000 1,800 1,600 1,400 1,200 Man 1,000 Koldioxid id 0,800 0,600 0,400 0,200 0,000 0 10 20 30 40 50 60 70 Tmpraur C Skrubba gas,

Läs mer

Malmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret.

Malmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret. Växa i trafikn Malmö stad, Gatukontort, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtagt av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbt md Malmö stad, Gatukontort. Txt: Run Andrbrg Illustrationr: Lars Gylldorff Växa

Läs mer

www.liberhermods.se Kurskatalog 2008 Liber Hermods för en lysande framtid

www.liberhermods.se Kurskatalog 2008 Liber Hermods för en lysande framtid www.librhrmods.s Kurskatalog 2008 Libr Hrmods för n lysand framtid 1898 n a d s lärand t l b i x s fl d o m r H Libr Välkommn till Libr Hrmods! hos oss når du dina mål Från och md januari 2008 bdrivr Libr

Läs mer

Uppskatta lagerhållningssärkostnader

Uppskatta lagerhållningssärkostnader B 13 Uppskatta lagrhållningssärkstnadr Md lagrhållningssärkstnadr ass alla d kstnadr sm hängr samman md ch ppstår gnm att artiklar hålls i lagr. Dt är fråga m rsaksbtingad kstnadr ch därmd särkstnadr,

Läs mer

ICEBREAKERS. Version 1.0 Layout: Kristin Rådesjö Per Wetterstrand

ICEBREAKERS. Version 1.0 Layout: Kristin Rådesjö Per Wetterstrand Icbrakrs 2 / 10 Götborgs Rgionn och GR Utbildning GR är n samarbtsorganisation för 13 kommunr i Västsvrig tillsammans har mdlmskommunrna 900 000 invånar. Förbundts uppgift är att vrka för samarbt övr kommungränsrna

Läs mer

Anmärkning1. L Hospitals regel gäller även för ensidiga gränsvärden och dessutom om

Anmärkning1. L Hospitals regel gäller även för ensidiga gränsvärden och dessutom om L HOSPITALS REGEL L Hospitals rgl (llr L Hopitals rgl ff( aa gg( ff ( aa gg ( används vid bräkning av obstämda uttryck av typ llr Sats (L Hospitals rgl Låt f och g vara två funktionr md följand gnskapr

Läs mer

Uppskatta ordersärkostnader för inköpsartiklar

Uppskatta ordersärkostnader för inköpsartiklar Handbk i matrialstyrning - Dl B Paramtrar ch ariablr B 11 Uppskatta rdrsärkstnadr för inköpsartiklar Md rdrsärkstnadr för inköpsartiklar ass alla d kstnadr sm är förknippad md att gnmföra n anskaffningsprcss,

Läs mer

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter?

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter? Lösigar Grudläggade Diskret matematik 11054 Tid: 1.00-17.00 Telefo: 036-10160, Examiator: F Abrahamsso 1. I de lokala zoo-affäre fis 15 olika fiskarter med mist 0 fiskar utav varje art). På hur måga sätt

Läs mer

NYTT STUDENT. från Växjöbostäder. Nu öppnar vi portarna på Vallen, kom och titta, sidan 3. Så här håller du värmen, sidan 4.

NYTT STUDENT. från Växjöbostäder. Nu öppnar vi portarna på Vallen, kom och titta, sidan 3. Så här håller du värmen, sidan 4. STUDENT DECEMBER 2014 NYTT från Växjöbostädr p p a n d m t l k n d i Boka tvätt ttar ä r b s u p m a C å ig p Områdsansvar Nu öppnar vi portarna på Valln, kom och titta, sidan 3. Så här hållr du värmn,

Läs mer

Revisionsrapport 2010. Hylte kommun. Granskning av samhällsbyggnadsnämndens och tillsynsnämndens styrning och ledning. Iréne Dahl, Ernst & Young

Revisionsrapport 2010. Hylte kommun. Granskning av samhällsbyggnadsnämndens och tillsynsnämndens styrning och ledning. Iréne Dahl, Ernst & Young Rvisionsrapport 2010 Hylt kommun Granskning av samhällsbyggnadsnämndns och tillsynsnämndns styrning och ldning Irén Dahl, Ernst & Young Augusti 2010 Hylt kommun Rvisorrna Innhållsförtckning SAMMANFATTNING...

Läs mer

Företag - Skatteverkets kontroll på webben

Företag - Skatteverkets kontroll på webben Förtag - Skattvrkts kontroll på wbbn Du har nu möjlight att stämma av mot Skattvrkts kontrollr innan du lämnar in din dklaration. På dt här sättt så slippr du som förtagar n hl dl onödiga frågor från Skattvrkt.

Läs mer

2. Optimering Linjär programmering

2. Optimering Linjär programmering . Optimering Linjär programmering Ett optimeringprolem etår av: En målfunktion, f(), var maimum, eller minimum ka öka. En eller flera -varialer (elutvarialer om man tr över). Normalt okå ett antal ivillkor

Läs mer

Sommarpraktik - Grundskola 2017

Sommarpraktik - Grundskola 2017 Sommarpraktik Grundskola 2017 1. Födlsår 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2. Inom vilkt praktikområd har du praktisrat? 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Förskola/fritidshm Fritid/kultur

Läs mer

VALLENTUNA KOMMUN Sammanträdesprotokoll 9 (19)

VALLENTUNA KOMMUN Sammanträdesprotokoll 9 (19) VALLENTUNA KOMMUN Sammanträdsprotokoll 9 (19) Socialnämndns arbtsutskott 2015-05-11 56 Intrnplan socialnämndn 2015 (SN 2015.006) Bslut Arbtsutskottt bslutar att förslå att: Socialnämndn bslutar att lägga

Läs mer

4. så många platser för fjäderfän, slaktsvin eller suggor att platserna tillsammans motsvarar mer än 200 djurenheter definierade som i 1.20.

4. så många platser för fjäderfän, slaktsvin eller suggor att platserna tillsammans motsvarar mer än 200 djurenheter definierade som i 1.20. Sidan 1 av 41 AVDELNING 1 Miljöfarlig vrksamht för vilkn tillstånds- llr anmälningsplikt gällr nligt 5 llr 21 förordningn (1998:899) om miljöfarlig vrksamht och hälsoskydd samt viss annan vrksamht, s k

Läs mer

Sektion I LÅGFRIKTIONSPLAST. Kedjeglidlister Glidlister Styrlister Band, Plattor, Rundstång Specialdetaljer. Sektion I - Sid

Sektion I LÅGFRIKTIONSPLAST. Kedjeglidlister Glidlister Styrlister Band, Plattor, Rundstång Specialdetaljer. Sektion I - Sid Sktion LÅGFRKTONSPLST Kdjglidlitr Glidlitr Styrlitr and, Plattor, Rundtång Spcialdtaljr Sktion - Sid Kvalittr och användningområdn Kvalitt PED 1000REG En privärd högmolkylär polytn md god nötningbtändight

Läs mer

Föreläsning 10 Kärnfysiken: del 2

Föreläsning 10 Kärnfysiken: del 2 Förläsning 10 Kärnfysikn: dl 2 Radioaktivsöndrfall-lag Koldatring α söndrfall β söndrfall γ söndrfall Radioaktivitt En radioaktiv nuklid spontant mittrar n konvrtras till n annorlunda nuklid. Radioaktivitt

Läs mer

Min cykel. 5 Cykelhjälm Det är viktigt att använda cykelhjälm när man cyklar. Men hur ska cykelhjälmen sitta på huvudet för att ge bäst skydd?

Min cykel. 5 Cykelhjälm Det är viktigt att använda cykelhjälm när man cyklar. Men hur ska cykelhjälmen sitta på huvudet för att ge bäst skydd? Min cykl Sidan Innhåll 4 På väg hm Ands och Osca ha båttom hm. Osca måst lämna matvaona han vait och handlat innan han och Ands kan cykla till täningn. 5 Cyklhjälm Dt ä viktigt att använda cyklhjälm nä

Läs mer

Yrkes-SM. tur och retur. E n l ä r a r h a n d l e d n i n g k r i n g Y r k e s - S M

Yrkes-SM. tur och retur. E n l ä r a r h a n d l e d n i n g k r i n g Y r k e s - S M Yrks-SM tur och rtur E n l ä r a r h a n d l d n i n g k r i n g Y r k s - S M Yrks-SM 2010 Dt prfkta studibsökt Dn 19-21 maj 2010 arrangras nästa svnska mästrskap i yrksskicklight. Platsn är Götborg och

Läs mer

6.14 Triangelelement (CST Constant Strain Triangle)

6.14 Triangelelement (CST Constant Strain Triangle) Övning 4 riangmnt ickard Shn -- FEM för Ingnjörstiämpningar, SE rshn@kth.s 6.4 riangmnt (CS Constant Strain riang) Givt: unn påt, h E-modu E Poissons ta På tunn påt md fria tor kan man göra antagand om

Läs mer

Enkätsvar Sommarpraktik - Grundskola 2016

Enkätsvar Sommarpraktik - Grundskola 2016 Enkätsvar Sommarpraktik - Grundskola 2016 1. Födlsår 2. Inom vil praktikområd har du praktisrat? 3. Hur är du md dn information du fick på informationsmött. Svara på n skala mllan 1-5 där 1 btydr och 5

Läs mer

ICKE-HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER, ENKLA HÖGERLED

ICKE-HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER, ENKLA HÖGERLED Armin aliloic: EXTRA ÖVNINGAR Ick-homogna linjära diffrntialkationr ICKE-OMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER, ENKLA ÖGERLED Linjär diffrntialkation (DE) md konstanta kofficintr

Läs mer

Bengt Sebring September 2000 Sida: 1 Ordförande GRANSKNINGSRAPPORT 2/2000

Bengt Sebring September 2000 Sida: 1 Ordförande GRANSKNINGSRAPPORT 2/2000 Kommunrvisionn ÅSTORPS KOMMUN GRANSKNING AV RESEKOSTNADER OCH REPRESENTATION Bngt Sbring Sptmbr 2000 Sida: 1 Ordförand Kommunrvisionn INNEHÅLLSFÖRTECKNING 1. Inldning... 2 2. Rsultat av granskningn...

Läs mer

9-1 Koordinatsystem och funktioner. Namn:

9-1 Koordinatsystem och funktioner. Namn: 9- Koordinatsystem och funktioner. Namn: Inledning I det här kapitlet skall du lära dig vad ett koordinatsystem är och vilka egenskaper det har. I ett koordinatsystem kan man representera matematiska funktioner

Läs mer

KOMPATIBILITET! Den här mottagaren fungerar med alla självlärande Nexa-sändare inklusive Nexa Gateway.!

KOMPATIBILITET! Den här mottagaren fungerar med alla självlärande Nexa-sändare inklusive Nexa Gateway.! Manual EJLR-1000 Läs avsnittt Viktig information innan du installrar dn här produktn Dt kan vara farligt att int följa säkrhtsanvisningarna. Flaktig installation innbär dssutom att produktns vntulla garanti

Läs mer

Föreläsning 4: Giriga algoritmer. Giriga algoritmer

Föreläsning 4: Giriga algoritmer. Giriga algoritmer Föreläsning 4: Giriga algoritmer Giriga algoritmer Denna typ av algoritmer arbetar efter följande princip: Gör i varje situation det som är lokalt optimalt, d.v.s. bäst för stunden. Några exempel vi redan

Läs mer

UNIKA MASKINER FÖR LÖNSAMMA PROJEKT SPARA:

UNIKA MASKINER FÖR LÖNSAMMA PROJEKT SPARA: 2 MÅN ÖPPET KÖP 2 ÅRS GARANTI WORLD SERVICE LÄGSTA PRIS GARANTI Innhår: 5 st. 1/4 hysor 6-13 mm. 1 st. 1/4 spärrnyck md 8 mm ring, ängd 90 mm. 1 st. 1/4 bits-adaptr md snabbkopping. 1 st. adaptr för 1/4

Läs mer

Knagge. Knaggarna tillverkas av 2,0 ± 0,13 mm galvaniserad stålplåt och har 5 mm hål för montering med ankarspik eller ankarskruv.

Knagge. Knaggarna tillverkas av 2,0 ± 0,13 mm galvaniserad stålplåt och har 5 mm hål för montering med ankarspik eller ankarskruv. Knagg Knaggarna kan t.x. användas vid förbindning mllan ar och ar. I kombination md fäst är bärförmågan stor vid vältand och lyftand kraftr. Knaggarna tillvrkas av 2,0 ± 0,13 mm galvanisrad stålplåt och

Läs mer

SPARA DESSA INSTRUKTIONER Utformning och specifikationer kan ändras utan föregående meddelande.

SPARA DESSA INSTRUKTIONER Utformning och specifikationer kan ändras utan föregående meddelande. Instruktionsbok VIKTIGA SÄKERHETSINSTRUKTIONER Dnna apparat får int användas av prsonr (inklusiv barn) md rducrad fysiska, snsoriska llr psykiska färdightr, llr av prsonr som saknar rfarnht och kunskap,

Läs mer

BAKÅTVÄND ELLER FRAMÅTVÄND BILBARNSTOL FÖR DEM MELLAN ETT OCH FEM ÅR - en kategoridataanalys med logistisk regression

BAKÅTVÄND ELLER FRAMÅTVÄND BILBARNSTOL FÖR DEM MELLAN ETT OCH FEM ÅR - en kategoridataanalys med logistisk regression Statistiska Institutionn BAKÅTVÄND ELLER FRAMÅTVÄND BILBARNSTOL FÖR DEM MELLAN ETT OCH FEM ÅR - n katgoridataanalys md logistisk rgrssion Ylva Brg och Christina Brummr Uppsats i statistik poäng Nivå 4-6

Läs mer

INTRODUKTION. Akut? RING: 031-51 20 12

INTRODUKTION. Akut? RING: 031-51 20 12 INTRODUKTION Btch AB är i grundn tt gränsövrskridand nätvrk av ingnjörr, tknikr, tillvrkar (producntr) som alla har myckt lång rfarnht inom Hydraulik branschn. Dtta inkludrar allt från tillvrkning och

Läs mer

Gefle IF Friidrott. Rehab

Gefle IF Friidrott. Rehab PM 2 0 15 n j k r a a m p s 8 t 1 n l v m ä G g R 0 0. 9 1. l k Lokala sponsorr äv l Lokal arrangör Gfl IF Friidrott G Huvudsponsor Rhab Vi är glada för att just DU har anmält dig! VårRust är framför allt

Läs mer

Villaelpanna. Installation, drift och skötsel

Villaelpanna. Installation, drift och skötsel Installation, drift oh skötsl Villalpanna 250 Arklstorpsvägn 88 tl 044-22 63 20 info@varmbaronn.s 291 94 Kristianstad fax 044-22 63 58 www.varmbaronn.s ELOMAX_250_v2_sv_2010-09-23_4.13 utg: v.4.13 Ersättr:

Läs mer

Matchresultat rond 6 Elitserien Allsvenskan 2012/13

Matchresultat rond 6 Elitserien Allsvenskan 2012/13 Sida 1 av 2 Viking Från: Til: Kopia: Skickat: Bifoga: Ämn: "Niklas Sidmat' "niklas.sidmar~schack.s;: "viking.ab~tlia.com;: "tk~schack.s;: dn 27 fbruari 201311:19 Prsonbvis_David_Brczs_2013 _02_25. pdf

Läs mer

Revisionsrapport 2010. Hylte kommun. Granskning av upphandlingar

Revisionsrapport 2010. Hylte kommun. Granskning av upphandlingar Rvisionsrapport 2010 Hylt kommun Granskning av upphandlingar Jakob Smith fbruari 2011 Innhållsförtckning SAMMANFATTNING... 3 1 UPPDRAGET... 4 1.1 Bakgrund och syft... 4 1.2 Mtod och avgränsning... 4 2

Läs mer

Kallelse Föredragningslista 2015-01-13. Barn och utbildningsnämnden

Kallelse Föredragningslista 2015-01-13. Barn och utbildningsnämnden Kallls Fördragningslista 1(3 2015-01-13 Sammanträd Barn och utbildningsnämndn Plats och tid Sammanträdsrum Bäv 08:30 torsdagn dn 22 januari 2015 Ordförand Skrtrar Ccilia Sandbrg Prnilla Gustafsson Fördragningslista

Läs mer

insidan Vem är jag? *!20151015 Att vara i Kristus 33 kg och tvångsinlagd Styrd av lögner? Aktuellt: Flyktingkrisen Kristen ungdomstidning

insidan Vem är jag? *!20151015 Att vara i Kristus 33 kg och tvångsinlagd Styrd av lögner? Aktuellt: Flyktingkrisen Kristen ungdomstidning insidan Kristn ungdomstidning 2015 jan fb mars april maj juni juli aug spt okt nov dc Vm är jag? Att vara i Kristus 33 kg och tvångsinlagd Aktullt: Flyktingkrisn *!20151015 Styrd av lögnr? insidan Kristn

Läs mer

EKOTRANSPORT 2030. Vägen till en fossiloberoende fordonsflotta. #eko2030

EKOTRANSPORT 2030. Vägen till en fossiloberoende fordonsflotta. #eko2030 FOTO: CHINAFACE #ko2030 mmmnn m m o k o ä k l V Vä ssnn oom n n r r f ttiillll kkoonf hållbaarraa ns ffrraam mtid tt occhh rröörrlliigghh rtrr ort trtraannssppo EKOTRANSPORT 2030 Vägn till n fossilobrond

Läs mer

Ickelinjära ekvationer

Ickelinjära ekvationer Löpsedel: Icke-linjära ekvationer Ickelinjära ekvationer Beräkningsvetenskap I Varför är det svårt att lösa icke-linjära ekvationer? Iterativa metoder Bisektion/intervallhalvering Newton-Raphsons metod

Läs mer

Matematik CD för TB. tanv = motstående närliggande. tan34 = x 35. x = 35tan 34. x 23.6. cosv = närliggande hypotenusan. cos40 = x 61.

Matematik CD för TB. tanv = motstående närliggande. tan34 = x 35. x = 35tan 34. x 23.6. cosv = närliggande hypotenusan. cos40 = x 61. Föreläning 8 Problem hämtade från boken idan 15 A 510 a) Rätvinklig triangel med vinkel och katet given. Mottående katet efterfråga. tan4 = x 5 x = 5tan 4 Svar:.6 cm x.6 A 510 b) Vinkel och hypotenuan

Läs mer

Enkätsvar Sommarpraktik Gymnasiet 2016

Enkätsvar Sommarpraktik Gymnasiet 2016 Enkätsvar Sommarpraktik Gymnasit 2016 1. Födlsår 2. Inom vil praktikområd har du praktisrat? 3. Hur är du md dn information du fick på informationsmött. Svara på n skala mllan 1-5 där 1 btydr int och 5

Läs mer

ICKE-HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER, ENKLA HÖGERLED

ICKE-HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER, ENKLA HÖGERLED Armin aliloic: EXTRA ÖVNINGAR Ick-homogna linjära diffrntialkationr ICKE-OMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER, ENKLA ÖGERLED Linjär diffrntialkation (DE) md konstanta kofficintr

Läs mer

H m24 Prislista. webb reklam. media sweden

H m24 Prislista. webb reklam. media sweden H m24 Prislista w rw wbb rklam mdia swdn 20% RABATT gällr för nytcknad abonnmang ABONNEMANG Paktprisr gällr t.o.m -12-31 KATEGORIER BASIC STANDARD PREMIUM PREMIUM PLUS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Halvår Hlår

Läs mer

Malmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret.

Malmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret. Cykln Malmö stad, Gatukontort, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtagt av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbt md Malmö stad, Gatukontort. Txt: Run Andrbrg Illustrationr: Lars Gylldorff Min cykl Sidan

Läs mer

TSRT62 Modellbygge & Simulering

TSRT62 Modellbygge & Simulering TSRT62 Modllbygg & Simulring Förläsning 8 Christian Lyzll Avdlningn ör Rglrtknik Institutionn ör Systmtknik Linköpings Univrsitt C Lyzll (LiTH) TSRT62 Modllbygg & Simulring 2013 1 / 22 Sammanattning: Förläsning

Läs mer

Malmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret.

Malmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret. Miljö Malmö stad, Gatukontot, maj 2003 Tafiksäka skolan ä famtagt av Upab i Malmö på uppdag av och i samabt md Malmö stad, Gatukontot. Txt: Run Andbg Illustation: Las Gylldoff Miljö Sidan Innhåll 4 Miljö

Läs mer

FACIT TILL OMTENTAMEN I DATASTRUKTURER OCH ALGORITMER DVG B kl. 08:15 13:15

FACIT TILL OMTENTAMEN I DATASTRUKTURER OCH ALGORITMER DVG B kl. 08:15 13:15 FACIT TILL OMTENTAMEN I DATASTRUKTURER OCH ALGORITMER DVG B03 140818 kl. 08:15 13:15 Ansvarig Lärar: Donald F. Ross Hjälpmdl: Inga. Algoritmrna finns i d rspktiv uppgiftrna. Btygsgräns: *** OBS *** Kurs:

Läs mer

Tanken och handlingen. ett spel om sexuell hälsa och ordassociationer

Tanken och handlingen. ett spel om sexuell hälsa och ordassociationer Tankn och handlingn tt spl om sxull hälsa och ordassociationr 2 / 13 GR Upplvlsbasrat Lärand GR Utbildning Upplvlsbasrat Lärand (GRUL) syftar till att utvckla, utbilda och gnomföra vrksamht md dn upplvlsbasrad

Läs mer

Föreningen Sveriges Habiliteringschefer Rikstäckande nätverk för habiliteringen i Sverige. Grundad 1994

Föreningen Sveriges Habiliteringschefer Rikstäckande nätverk för habiliteringen i Sverige. Grundad 1994 Förningn Svrigs Habilitringschfr Rikstäckand nätvrk för habilitringn i Svrig. Grundad 1994 Minnsantckningar styrlsmöt 2012-01-19 och 2012-01-20 Plats: Stockholm, Villa Brvik Tid: 13.00 Närvarand: Lna,

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 6

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 6 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel Kapitel.1 101, 10, 10 Eempel som löses i boken. 104, 105, 10, 107, 108, 109 Se facit 110 a) Ledning: Alla punkter med positiva

Läs mer

Matematisk statistik

Matematisk statistik Tntamn TEN HF -- Matmatisk statistik Kuskod HF Skivtid: 8:-: Läa: Amin Halilovic Hjälpmdl: Bifogat fomlhäft "Foml och tabll i statistik " och miniäkna av vilkn typ som hlst. Skiv namn på vaj blad och använd

Läs mer

Epipolärgeometri och den fundamentala matrisen. Epipolarlinje. Epipoler. Exempel. vara dess avbildning i två bilder genom

Epipolärgeometri och den fundamentala matrisen. Epipolarlinje. Epipoler. Exempel. vara dess avbildning i två bilder genom Epipoärgomtri dn fundamntaa matrisn Låt vara n punkt i kamracntrum rsp Låt Punktn bägg kamracntrum pipoarpant ti bägg avbidningarna ti vara dss avbidning i två bidr gnom samt d -dimnsiona motsvarightrna

Läs mer

Modersmål - på skoj eller på riktigt

Modersmål - på skoj eller på riktigt Lärarhögskolan i Stockholm Institutionn för samhäll, kultur och lärand Vårtrminn 2006 C- uppsats, 15 poäng Modrsmål - på skoj llr på riktigt En studi av modrsmålsundrvisningns utvckling, dss potntial och

Läs mer