Förra gången: fördelningar Omfattande system med många partiklar kan praktiskt bara beskrivas i statistiska termer.

Transkript

1 örläsning 5 örra gångn: fördlningar Omfattand systm md många partiklar kan praktiskt bara bskrivas i statistiska trmr. Antal partiklar inom nrgiintrvall E till E +de gs av dn = D (E ) N (E ) de där D (E ) är tillståndstäthtn oh N (E ) är fördlningsfunktionn: N ( E ) M A E / k T N ( E ) E E / k T N ( E ) D ( E E ) / k T Maxwll-oltzmann fördlning. Partiklar kan särskiljas. Obgränsat antal partiklar pr nrgitillstånd. os-einstin fördlning. Ej särskiljbara partiklar. Obgränsat antal partiklar pr nrgitillstånd. (Hltaligt spinn, bosonr) rmi-dira fördlning. Ej särskiljbara partiklar. Högst n partikl pr nrgitillstånd. (Spinn ½-partiklar, frmionr) A oh är normringsfaktorr, ( gs ofta som uttrykt i kmisk potntial ). ör fotonr: E-fördlning md =. SH009, modrn fysik, VT0, KTH örläsning 5 Planks strålningslag Statistisk mkanik xmpl. Svartkroppsstrålning: svart kropp innbär att ingn strålning rflktras oh att all strålning som utsänds bara bror av trmisk nrgi, dvs alla svarta kroppar av samma tmpratur strålar lika. trakta dn lktromagntiska strålningn som stånd vågor md frkvns mllan f oh f +df i n kubisk kavitt md sidan L. Exprimntllt vt man att dnsittn av tillstånd i frkvnsintrvallt int bror av var sig matrial i kavittns väggar llr kavittns form. Välj därför kub som är nkl att bräkna. D stånd vågorna skall uppfylla vågkvationn W ( x, y, z, t) W ( x, y, z, t) t x y z vars lösning gs av m m y xx y mzz W ( x, y, z, t) Asin sin sin os ft L L L där m x, m y oh m z är antalt antinodr längs d tr axlarna. (πf ) Gnom insättning i vågkvationn fås m m y m m y xπx yπ mzπz mxπ yπ mzπ mxπx yπ mzπz Asin sin sin osπft Asin sin sin osπft L L L L L L L L L dvs f m L där m m x m y m z Notra: flra vågor kan ha samma frkvns. SH009, modrn fysik, VT0, KTH

2 Antalt olika vågor inom f till f +df? trakta m -rymdn. All punktr md samma radi m har samma frkvns. df motsvarar df =/(L) dm. Antalt vågor i intrvallt gr då av volymn av tt skal md radi m i n kvadrant av m-rymdn (bara positiva m i ) : D( f ) Vdf 4 m dm 8 m L df df f dm L L 4L m f df där V är volymn = L, dssutom måst vi ta hänsyn till att lktromagntisk våg har två polarisationsmodr, dvs multiplira md 8 D( f ) df f df otonr har spinn=, dvs d är bosonr. Eftrsom varj foton har nrgin E=hf får vi då nrgin i tt frkvnsintrvall: E( f) df n( f) hfdf hfd( f) N Substitura f =/ E dvs df = - / d gr ( f) df hf / hf 8π f kt df 8πh E( λ) dλ λk T 5 λ d h / λ (pr volymsnht) SH009, modrn fysik, VT0, KTH Exmpl -D statistik: ri-lktrongas-tori för mtallr D yttr valnslktronrna i n mtall är i stort stt fria att röra sig i tr dimnsionr i mtalln. Dssa ldningslktronr kan btraktas som n frmiongas. Vi vill nu kunna bräkna antalt ldningslktronr md nrgi mllan E oh E + de pr volymsnht: n (E )de = D(E)N D (E) de Vi btraktar ldningslktronrna som tt systm av partiklvågor vars vågfunktion försvinnr i gränsytorna (-dim oändlig potntiallåda). Om vi utgår från vågtal k oh användr oss av k =πf/ oh två spinnriktningar kan vi ta formln från förgånd sida så att 8π k p k D( f) df f df gr oss D( k) dk dk mn om vi antar ikrlativistiska lktronr E π m / me vilkt gr k m / oh dk E de så att D(E) de = A E / de där h N Antal ldningslktronr pr volymsnht är nu 0 n( E) de vid höga tmpraturr måst intgraln V lösas numriskt pga N D mn vid T =0 är N D = för E < E oh =0 därutövr m / / 8 πm A N E / A 0 E de V AE / Dtta gr: h N E( 0) m 8πV / SH009, modrn fysik, VT0, KTH

3 (Man kan dfinira rmitmpraturn: T E k samt rmihastightn: v E m ) Data för några mtallr: Mtall Elktrondnsitt (m - ) E (V) v (m/s) T (K) Li 4, ,7, , Na,65 0 8,,07 0 6, Cu 8, ,05, , 0 4 Au 5, ,5, ,4 0 4 SH009, modrn fysik, VT0, KTH Molkylfysik Molkyl: stabilt llr nästan stabilt bundt tillstånd av två llr flra atomr. Exmpl: O, C H 5 OH, DNA (En molkyl har tt väldfinirat tillstånd av ingånd atomr, till skillnad från fasta ämnn llr vätskor) ysikaliska oh kmiska gnskapr (t.x. absorptionsspktra, varför CH 4 oh j CH, C0 rak mn j H O) gs av d ingånd atomrna: dras lktronstruktur sättt oh omfattningn av hur d växlvrkar hur d är ordnad i molkyln Atomr: nrginivår pga huvudnivå (n ), rörlsmängdsmomnt (l ) oh spinn (s ) Molkylr: ävn rotationr oh vibrationr indning gs av lktrostatisk växlvrkan mllan atomrnas lktronr oh kärnor. Komplirat pga många partiklar där skärmning skr mllan lktronr Approximativt: A U n m r r Exmpl: tvåatomig molkyl SH009, modrn fysik, VT0, KTH

4 indningar: Jonbindning Na Cl En llr flr lktronr förs övr från n atom till n annan Coulomb-attraktion mllan jonr md olika tkn på laddningn Na + Na + - Cl Cl - Exmpl: NaCl Na (s s p 6 s): jonisationsnrgi för s lktronn: 5,4 V gr Na + Cl (s s p 5 ): kan ta upp lktron för att få p-skalt fullt. Avgr då nrgin (lktronaffinittn),6 V ör att skapa Na + oh Cl - från Na oh Cl krävs då: ΔE = 5,4,6 =,5 V (aktivringsnrgin) Na + oh Cl - attrahras av Coulomb-växlvrkan. Vid små avstånd rpulsion pga övrlappand lktronskal, dls pga lktrostatik, dls pga Pauliprinipn R ΔE =,5 V indningsnrgi (Dissoiationsnrgi) Jämviktsavstånd (indningslängd) q ΔE 4πε0r q,44v nm R 0.95nm 4πε 0 ΔE,5V SH009, modrn fysik, VT0, KTH indningar: Kovalnt bindning En llr flr lktronr dlas mllan två atomr i molkyln. H H Exmpl: H, CO, O, H O, CH 4 H H : D två - dlas mllan d två atomrna i molkyln molkylorbital Störr sannolikht att hitta - mllan protonrna än utanför. trakta H + ( nklast molkyln: - spararad protonr) En lktron mllan två protonr. Potntill nrgi: Där na protonn är i r = 0 oh dn andra i r = R. q U ( r) 4πε0 r q 4πε0 r R Enrginåvrna kan fås gnom att lösa Shrödingrkv. Notra: Coulomb-kraftrna som vrkar på kärnan oh - har liknand styrka, mn - är mykt lättar än protonn. - kommr därför att röra sig mykt snabbar oh oh dss rörls sparras från kärnans. Elktronstrukturn kan fås gnom att låsa kärnorna i fixa lägn oh bräkna för nbart - (orn-oppnhimr-approximationn) SH009, modrn fysik, VT0, KTH

5 Kovalnt bindning (forts ) Elktronnivårna bror av R. D två lägsta nrginivårna som funktion av R. Extrmfalln: R = 0 H + R = obundn H Ävn kärnorna påvrkar varandra md Coulombkraft. Möjligt mn int lätt att lösa Shrödingrkv. (Int hllr så illustrativt så låt oss ta tt förnklat rsonmang) Utgå från - oh två protonr på stort avstånd varandra R/ ψ ( r) A ψ r / a ( R r )/ a A ( ) r åd ψ oh ψ lösr samma Shrödingrkation. linjärkombinationn ψ = ψ + Cψ okså lösning. SH009, modrn fysik, VT0, KTH Kovalnt bindning (forts ) l.a gällr att tillståndn: ψ + = ψ + ψ oh ψ- = ψ - ψ är lösningar (vi bortsr här från normalisringsfaktor) Dssutom md x=r/-r, gällr ψ + (x) = ψ + (-x) oh ψ - (x) = -ψ - (-x) I båda falln gällr att ψ(x ) = ψ(-x ) SH009, modrn fysik, VT0, KTH

6 Kovalnt bindning (forts ) När avståndt minskar till någon/några ohr-radir kommr ψ oh ψ att övrlappa. Dt kan visas att ψ + (x) är nrgimässigt fördlaktigar. indand orbital. - i dtta tillstånd spndrar stor dl av sin tid mllan protonrna oh fungrar som lim (Jämför Hisnbrgs obstämbarhtsrlation: - har störr områd att röra sig inom motsvarand lägr rörlsmängd) Tillståndt ψ - (x) har högr nrgi. Antibindand orbital Jämviktsavstånd: R 0 = 0, nm indningsnrgi: =,65 V SH009, modrn fysik, VT0, KTH Kovalnt bindning (forts 4) H : n yttrligar lktron till H + mr lim, dvs starkar bindning indningsnrgi: = 4,5 V Jämviktsavstånd: R 0 = 0,074 nm ör bundt tillstånd krävs att båda - är i bindand orbitalt. Pauliprinipn motsatta spin Konskvns av Pauliprinipn: högst två - i samma tillstånd md olika spinn H j möjlig pga att : - tvungn att inta högr nrgitillstånd j bundt SH009, modrn fysik, VT0, KTH