En studie av schršdingerekvationen. Ð numeriska berškningar fšr nœgra modellpotentialer

Transkript

1 Jan Wstrgrn Molkylfysik Fysiska institutionn Chalmrs tkniska hšgskola & Gštborgs univrsitt Sptmbr 1999 En studi av schršdingrkvationn Ð numriska brškningar fšr nœgra modllpotntialr FrŒn vœgfysikn kšnnr vi till hur lktromagntisk strœlning bskrivs som n vœgršrls. Flra xprimnt som utfšrds i bšrjan av 19-talt visad dock att ljus Švn had partiklgnskapr och man bšrjad tala om fotonr. Exprimnt (t.x. av Davisson & Grmr) visad att lktronr och nutronr som man tidigar tšnkt sig som partiklar ocksœ had vœgnatur md d Brogli-vŒglŠngdn λ=h/p. Om vi vill studra hur partiklar av makroskopisk storlk ršr sig nšr d všxlvrkar md varandra anvšndr vi Nwtons kvationr. Mn om vi studrar n lktron gr dssa kvationr bara rštt rsultat fšr fria lktronr, t.x. i tt TV-ršr. I n vštatom dugr int Nwtons kvationr. NŒgot blir annorlunda i dn mikroskopiska všrldn. En lktron har bœd partikl- och vœgnatur. 196 lad Erwin Schršdingr fram n kvation som grundad sig pœ att n lktron Šr nœgot annat Šn n partikl. vn om tankn kund vrka svœr att accptra sœ fanns n stor fšrdl, kvationns rsultat stšmd md xprimnt. Eftrsom smœ systm int uppfšr sig som dn makroskopiska všrldn vi har rfarnht av och ftrsom schršdingrkvationn (SE) Šr n partill diffrntialkvation dšr lšsningarna kan vara svœra att "gissa" Šr dt ibland svœrt att fšrutspœ hur dn mikroskopiska všrldn fungrar. Md dagns snabba datorr md fin grafik finns dt mšjlight att anvšnda SE praktiskt, int bara i d fœ fall dšr dn gœr att lšsa analytiskt. I dtta projkt skall du fœ lšsa SE fšr nœgra olika systm fšr att lšra kšnna dn kvantmkaniska všrldn lit mr. En dl av systmn gœr Švn att lšsa analystiskt sœ att du kan s hur pass bra d numriska mtodrna fungrar. Vi skall mstadls titta pœ partiklar som bara kan ršra sig i n dimnsion. Lšsningarna till tt vrkligt, trdimnsionllt systm tar dls lšngr tid att brškna mn framfšrallt Šr d svœrar att illustrra grafiskt. Principrna fšr lšsningarna Šr ŠndŒ dsamma. 1

2 AtomŠra nhtr Dn tidsobrond SE i n dimnsion lydr h d Ψ x m dx ( ) + V ( x ) Ψ ( x ) = EΨ ( x ) D vanliga SI-nhtrna Šr lit klumpiga fšr atomšra systm och dšrfšr infšr vi atomšra nhtr istšllt fšr nhtrna As, kg, Js rspktiv As/Vm. D nya nhtrna avpassas sœ att = 1, m = 1, = 1 och 4πε = 1 i rspktiv nht. och m Šr lktronns laddning rspktiv massa. Vi lœtr bohrradin vara 1 atomšr lšngdnhtn nligt a 4πε m h 1 lšngdnht (, 59 ) = ( ) = Enrginhtn, som kallas hartr, dfiniras som 4 m 1 H = 7 4 (, V) ( πε ) h Om vi nu skrivr schršdingrkvationn utan nhtr fœs 1 d Ψ x m dx ( ) + V ( x ) Ψ ( x ) = EΨ ( x ) ( A ) Rsultatt frœn kvationn, som Šr n gnvšrdskvation, Šr dls vœgfunktionrna och dls dras gnvšrdn som motsvarar vœgfunktionrnas totalnrgir. NŠr rsultatn har bršknats kan d Œtrfšras till SI-nhtr. Finita lmntmtodn I kvation (A) kan vi s att dt nda som skiljr tvœ olika systm Œt Šr massan m pœ partikln och potntialn dn upplvr, V(x). NŠr dssa Šr bstšmda skall diffrntialkvationn lšsas. Md hjšlp av MatLab-programpaktt schropac kan man tsta olika potntialr och s vad som hšndr md partikln. Via kan du ladda nd schropac till ditt gt konto och ocksœ lšsa hur man laddar nd dt. schropac anvšndr sig av finita lmntmtodn (FEM) fšr att lšsa SE. I kortht dlar FEM upp x-axln i smœ intrvall och antar att lšsningn Ψ Šr t.x. kvadratisk pœ varj sœdant intrvall. I schropac bršknas styckvis kvadratiska funktionr Ψ fšrutom fšr dn tvœdimnsionlla partikln i lœda dšr styckvis linjšra lšsningar tas fram. Fšr FEM-brŠkningarna mœst man mata in antal dlintrvall, N. Flt i gnvšrdna fšljr ungfšr N -4. N mllan 5 och 15 kan vara lšmpligt brond pœ hur snabb datorn Šr.

3 Din uppgift Huvudsyftt md dtta projkt Šr int kvantitativt utan kvalitativt. Fšrhoppningsvis fœr du lit kšnsla fšr SE. Du lkr sœ myckt du vill md schropac och sdan skrivr du n uppsats om hur SE fungrar, riktad till andra F3-tknologr. Som n hjšlp fœr du n dl frœgor att fundra ignom och tsta md programmt. Du kan naturligtvis Švn hšnvisa till och jšmfšra md tortiska rsultat du har stt. NŠr du anvšndr schropac skall n dl paramtrar matas in. Fšr att fœ vttiga svar bhšvr potntialn anpassas till massan. Du fœr n viss ldning mn fœr ocksœ prova dig fram. Tolkning av Ψ som n sannolikhtsfšrdlning Max Born infšrd fšljand tolkning av n partikls vœgfunktion: sannolikhtn fšr partikln att vara vid x Šr proportionll mot Ψ (x). (S vidar i appndix). OBS! I programmt skrivs Ψ som. Modllpotntialr En partikl i n ndimnsionll lœda (V = ) Dnna potntial kan vrka hlt konstrurad mn dn Šr nkl att rškna pœ. Dssutom kan dn vara n fšrsta approximation till situationr som mœnga partiklar upplvr: d Šr innstšngda i tt litt utrymm mn kan ršra sig ganska fritt dšrinn. GŒ in pœ "Standard ( V = )". LŠmplig lšngd pœ lœdan kan vara tt par Œngstršm. LŒt partikln vara n lktron. L 1 N 1 Hur všxr nrgin E n md kvanttalt n? Hur všxr (E n+1 Ð E n )/( E n+1 + E n ) md kvanttalt n? Vad innbšr dt nšr n blir myckt stort? Fšr framtida bruk: ungfšr pœ vilka všrdn liggr totalnrgin fšr olika nivœr? Framšvr skall jag rfrra till dssa lšsningar som "standard". JŠmfšr rsultatn md d analytiska vœgfunktionrna. (Dt kan du t..x gšra gnom "Sav " och sdan gšra gna diagram i MATLAB.) 3

4 r vœgfunktionrna ortogonala? SkalŠrproduktn dfiniras som i Hla intrvallt Ψ * ( x ) Ψ ( x ) dx j En partikl i lœda md n ramp GŒ in pœ "Gnrat your own potntial" och konstrura n ramppotntial. VŠlj samma lšngd pœ lœdan som i standardlœdan och lœt potntialskillnadn švr rampn vara stšrr Šn totalnrgin fšr d lšgsta standardnivœrna. L 1 N 1 Hur liggr nrginivœrna? PŒ vilkn sida Šr partikln oftast fšr d lšgsta kvanttaln? Fšr hšgr kvanttal? Kan du tšnka dig n fšrklaring till skillnadn? LŒt nu potntialskillnadn vara sœ stor švr rampn att dn mšrks Švn fšr n =. h Ψ I SE tolkar vi som tt mœtt pœ dn kintiska nrgin. Studra vad m x Ψ x, frkvnsn pœ Ψ x och dn klassiska kintiska nrgin i x har fšr rlation. ( ) ( ) En partikl i lœda md n fyrkantsbarrišr Myckt inom kmin byggr pœ barrišrr. Exmplvis kan tvœ molkylr A och B kopplas ihop vid n kollision om d har tillršcklig nrgi fœr att ta sig švr n potntialbarrišr. Till skillnad frœn i klassisk mkanik kan n partikl tršnga ignom n barrir som Šr hšgr Šn vad dn gntlign har nrgi fšr. Dtta kallas tunnling. GŒ in pœ "Squar barrir" och dfinira n potntialbarrišr. VŠlj samma lšngd pœ lœdan som i standardlœdan och lœt barrišrhšjdn vara stšrr Šn totalnrgin fšr d lšgsta standardnivœrna. Tsta md olika barrišrbrdd. 4

5 L W BE 1 N 1 Hur liggr nrginivœrna? Vad hšndr md Ψ nšr totalnrgin nšrmar sig barrišrhšjdn? Vad hšndr md Ψ nšr totalnrgin Šr nœgot hšgr Šn barrišrhšjdn? Om du lšggr n lœg barrišrhšjd, hur liggr nrginivœrna jšmfšrt md standard? Tsta md n ngativ barrišr. Hur Šndrar sig Ψ nšr kvanttaln škar? Tunnling gnom n fyrkantsbarrišr Som n xtrauppgift skall vi brškna sannolikhtn fšr att n partikl som kommr in mot n fyrkantsbarrišr md n viss hastight tunnlar ignom. Sannolkhtn fœs som dšr W / D W / D ( ) P = 1+ E E 16 1 BE BE 1 D = h ( ) m BE E BE Šr potntialbarrišrn och E Šr partiklns kintiska nrgi nšr dn kommr in mot barrišrn. W Šr barrišrviddn och m Šr partiklns massa. schropac anvšndr int FEM i dnna uppgift. Hur och i vilkn grad pœvrkar m, W och BE/E transmissionn av partikln? 5

6 Egna potntialr GŒ in pœ "Gnrat your own potntial" och hitta pœ gna potntialr. Du kan bhšva ška N om du gšr komplicrad sœdana. L 1 N 1 Tsta ifall vœgfunktionrna forfarand Šr ortogonala mot varandra. 6

7 En partikl i n tvœdimnsionll lœda (V = ) Vi skall titta pœ standardfallt, mn nu kan partikln ršra sig i tvœ dimnsionr. Dtta skull kunna vara n approximation fšr n partikl som sittr pœ n yta och Šr innstšngd i tt litt omrœd. Fšrutom att vi fœr vœgfunktionr i tvœ dimnsionr och att brškningarna tar lšngr tid kommr n ny gnskap fram: dgnrring. Dt kan finnas olika vœgfunktionr md samma nrgi. Skapa n rktangulšr lœda md sidlšngdr pœ tt par Œngstršm. Programmt Šr gjort sœ att dlintrvalln Šr lika lœnga i x- och y-ld. Studra nrginivœrna fšr nœgra olika fall. N = (N X Ð 1)( N y Ð 1) bšr int vara mr Šn 3. r dt nœgon skillnad mllan rktangulšra och kvadratiska lœdor? JŠmfšr md d analytiska všrdna. L y L x Dn harmoniska oscillatorn Atomr i molkylr vibrrar mot varandra i sina bindningar. r vibrationr tillršckligt smœ kan potntialn anpassas md n parabl och atomrna oscillrar harmoniskt. Vi skall alltsœ md SE fšrsška studra hur tvœ partiklar ršr sig. Mn systmt kan fšrnklas till att studra dras bindningslšngd och dœ vi kan anvšnda vœr vrsion av SE. I dn kvantmkaniska všrldn kan bindningn stršckas ut llr tryckas ihop mr Šn vad totalnrgin gntlign ršckr till fšr. D bindingslšngdr som motsvarar dssa klassiskt fšrbjudna omrœdn Šr markrad md grœa fšlt i schropacs:s grafr švr Ψ. Sannolikhtn minskar dock drastiskt nšr potntialn gœr alltfšr hšgt. S till att bstšmma L sœ att man i rsultatt sr att dt finns marginalr pœ kantrna dšr Ψ =. Annars kan man int lita pœ varkn vœgfunktionrna llr nrginivœrna. LŠngst ut pœ sidorna dšr nu Ψ =, sšttr vi n ošndlig potntial. Man matar in hur potntialn skall s ut gnom att ang E(wall), dvs potntialn alldls innanfšr kantrna. SŠtt p = % fšr att fœ n hlt rn hamronisk oscillator. O -molkyln Studra hur O vibrrar. (SŠtt p = %). RŠkna om "fjšdrkonstantn" k = 1177 N/m till E(wall) i atomšra nhtr. Massan som kommr in i SE Šr dn rducrad massan m = m m 1 m + m 1 7

8 Hur všxr nrgin E n md kvanttalt n? Hur všxr (E n+1 Ð E n )/( E n+1 + E n ) md kvanttalt n? r vœgfunktionrna ortogonala? Vid hšga nrgir, var finns partiklarna mst, runt jšmviktslšgt llr vid všndlšgna? Vad gšllr fšr n klassisk harmonisk oscillator? Vad Šr dn lšgsta nrgin vibrationn kan ha? Vilkn vibrationsnrgi kommr 1 mol O -molkylr att ha vid tmpraturn K? Excitation av n dipol Vi kan ocksœ anvšnda modlln fšr n harmonisk oscillator fšr att studra hur n foton xcitrar n dipol. Om n molkyl har tt dipolmomnt lšngs x-axln sœ kan n foton xcitra molkyln frœn tillstœnd Ψ 1 till Ψ ndast om švrfšringsdipolmomntt µ 1. Fšr d ndimnsionll vœgfunktionrna som vi fœr ut av dn harmoniska oscillatorn gšllr att µ 1 = xψ 1 Ψ dx foton vibration x Till vilka tillstœnd j kan n foton fšra molkyln om dn frœn bšrjan Šr I tillstœnd i? Dt nkla samband du skall komma fram till kallas fšr n urvalsrgl. Dn "riktiga" O -molkyln Gnom att gœ till "From fil" kan man ladda in n fil som angr n valfri potntial. i filn syrmolkyln_data.m finns n bšttr approximation till dn vrkliga potntialn Šn vad n parabl Šr. Funtionsformn kallas mors-potntial. BrŠkna lšsningarna till SE md dnna potntial. 8

9 .7.6 Syrmolkyln Harmonisk potntial Mors-potntialn Vad blir skillnadn i nrginivœr jšmfšrt md dn harmoniska oscillatorn fšr smœ och stora kvanttal? VŠtatomns radialdl LŒt oss rškna pœ vštatomn. Dn har n kšrna och n lktron vilkt gr oss n partill diffrntialkvation md sx koordinatr. Om vi antar att kšrnan ršr sig myckt lœngsammar Šn lktronn kan vi dla upp SE i tvœ obrond kvationr, n fšr atomns masscntrum och n fšr lktronn. Dt Šr bara dn sista som vi intrssrar oss fšr hšr. Ψ(r,θ,ϕ) Šr lktronns vœgfunktion i punktn r,θ,ϕ dšr d sfšriska koordinatrna Šr rlativt kšrnan (origo). h Ψ ( r, θ, ϕ) + V( r, θ, ϕ) Ψ ( r, θ, ϕ) = E Ψ ( r, θ, ϕ) m vn dnna kvation kan vi dla upp ftrsom dt visar sig att man kan sparra variablrna: Ψ(r,θ,ϕ) = P(r)/ráY(θ,ϕ). Vi skall till att bšrja md ndast studra P(r). NŠr vi dlar SE fšr r, θ och ϕ fœr vi fšljand kvation fšr P(r). h ( ) + ( ) ( ) = ( ) m P r v r P r EP r r dšr vi kan s v r (r) som n ffktiv potntial: v r r h 4πε r m ( ) = + ( ) l l + 1 r l =, 1,... Šr banimpulskvanttalt. Fšr varj l vi sšttr in fœr vi n uppsšttning lšsningar md tillhšrand nrgir. NŠr n lktron fšljr n viss sannolikhtsfšrdlning Ψ, sšgr vi att dn finns i orbitaln Ψ. Fšr atomr har man infšrt btckningarna s, p, d, f, g... fšr l =, 1,, 3, T..x kallas orbitaln md n =, l = 1 fšr p. NŠr vi skall lšsa dnna kvation numriskt bhšvr vi Šndra om axlindlningn. IstŠllt fšr n linjšr sœdan anvšndr vi n xponntill: r =, r = i i 1 ( ln L+ 8) N 1 8 9

10 LŠmpligt L kan vara 1. Om n vœgfunktion int planar ut mot noll utan snabbt tvingas nd till noll vid L sœ har man satt L fšr litt i programmt fšr att passa dn vœgfunktionn. NŠr man kšnnr P(r) kan man brškna sannolikhtn att lktronn finns vid n viss radi, p(r): π π ( ) P r dr p( r) = dr Y( θ, ϕ) r sinθdθdϕ p r P r r ( ) ( ) Att illustrra sannolikhtsfšrdlningn fšr lktronn i hla rymdn Šr svœrt ftrsom dt skull kršvas n fyrdimnsionll bild. Gnom att klicka pœ ÒShow 3D orbitalsó kan du fœ s fšrsšk till n illustration. I figurrna till hšgr kan man fœ s d vanligt fšrkommand polšra bildrna. D Šr hlt nklt n polšr bild švr Y(θ,ϕ). I dn kan man t.x. s att p-orbitalr Šr riktad lšngs n axl. Figurrna har dock vissa nackdlar. T.x. kommr p och 3p att s likadana ut fast d int Šr dt. Som tt komplimnt finns figurn upptill. I dn har orbitaln skurits mitt itu lšngs xy-plant och man s sannolikhtn att hitta lktronn i punktn (x,y,). Rita P(r) och jšmfšr md d analytiska lšsningarna. Finns dt dgnrrad tillstœnd i vštatomn? Hur stšmmr P(r) md Bohrs atommodll? Fšr orbitaln s Šr Ψ s (r = ) =. Hur fšrklarar du att lktronn ŠndŒ kan ta sig frœn r < till r >? 1

11 Stabilitt i Na 4 Ett mtallklustr Šr tt antal mtallatomr som har klumpat ihop sig m.h.a. mtallbindningar. Na 4 har 4 kšrnor, 4 inr lktronr och 4 valnslktronr. Om man skull lšsa SE fšr Na 4 blir dt n diffrntialkvation md 144 koordinatr. Fšr att kunna brškna hur stabila dssa klustr Šr brond pœ hur mœnga atomr som ingœr fšrnklar man ibland situationn m.h.a. jlliummodlln. Ett Na 4 -klustr kan dlas upp i positiva jonr och valnslktronr nligt Na 4 = 4 Na Ð. D 4 positiva jonrna, som bstœr av 11 protonr och 1 lktronr vardra, smtas ut i n sfšr som i diamtr skall motsvara klustrt. Dt blir alltsœ n sfšr md +4 lmntarladdningar jšmnt fšrdlad švr hla volymn. Vi kan sdan brškna n potntial som n valnslktron skull upplva om dn bfann sig inn i klustrt och všxlvrkad md dn utsmtad plusladdningn och d švriga 39 valnslktronrna. Dnna potntial Šr ritad i figurn ndan (r uttryckt i atomšra lšngdnhtr och v r (r) i hartr) och dn anvšndr vi i SE. Vi fœr pœ sœ sštt fram n uppsšttning orbitalr md motsvarand nrgir som rsultat Schršdingrkvationn fšr n valnslktron Šr h h m P r v r r m ( ) + ( ) + l( l 1) P r r ( ) = EP ( r ) dšr v r (r) Šr dn funktion som Šr ritad i figurn. I dnna uppgift finns int potntialn som funktionsuttryck utan i form av tt antal datapunktr som programmt lšsr in. Problmt Šr nu všldigt likt dt fšr vštatomn. T.x. fœr man som fšr vštatomn flra orbitalr md l = 1 och i varj orbital fœr dt plats tvœ valnslktronr. Dtta skall vara md i uppsatsn: Rita tt nrginivœdiagram fšr d 4 valnslktronrna. Om antalt valnslktronr prcis fyllr n nrginivœ sœ blir dt klustrt xtra stabilt. Hur mœnga lktronr bhšvs fšr att fylla dn lšgsta nrginivœn, dn lšgsta plus dn nšsta lšgsta, osv.? Dssa tal brukar kallas magiska tal. r 4 tt magiskt tal fšr natriumklustr? 11

12 Appndix: Sannolikhtsfšrdlningar i klassisk- och kvantmkanik Vi har stt Ψ som sannolikhtsfšrdlningn fšr n partikl och int brytt oss om hur n partikl gntlign ršr sig. I klassisk mkanik kan vi ocksœ studra sannolikhtsfšrdlningar fšr partiklar. Dssa skull vi kunna anvšnda fšr att s skillnadr mn ocksœ likhtr mllan klassiska och kvantmkaniska brškningar. Fšr n klassisk partikl Šr dt naturligt att tšnka sig att sannolikhtn fšr n partikl att vara vid n position x Šr litn om dss hastight i x Šr hšg. DŒ fšrsvinnr dn ju snabbt dšrifrœn. Ingn friktion x x En ndimnsionll, klassisk brg-och-dalbana Fšr att studra dnna brg-och-dalbana bhšvr man vta hur banan sr ut och vilkn massa dt Šr pœ vagnn. 1) Enrgikonsrvring Formln fšr nrgikonsrvring Šr T( x) + V( x) = E tot Om vi vt llr bstšmmr E tot kan vi brškna fartn v x E V x / m ( tot ) ( ) = ( ) Sannolikhtn att hitta vagnn vid x Šr P x 1/ v x ( ) ( ) En kvantmkanisk partikl i n ndimnsionll potntial Fšr att studra dnna partikl bhšvr man vta hur potntialn sr ut och vilkn massa dt Šr pœ partikln. 1) Enrgikonsrvring Formln fšr nrgikonsrvring Šr SE h d Ψ x V x Ψ x E x totψ m dx ( ) + ( ) ( ) = ( ) Skillnad 1: Partikln kan int ha vilkn E tot som hlst. D všrdn som Šr tillœtna fœr vi ur SE. Skillnad : Sannolikhtn att hitta partikln vid x kan int bršknas ur fartn. IstŠllt fœs P(x) ur SE nligt P x Ψ x ( ) ( ) Mn ju stšrr E tot dsto mr nšrmar sig P(x) dn klassiska funktionn av fartn. PŒ stšlln dšr E tot < V(x) kan int vagnn finnas. Dssa stšlln kallas "klassiskt fšrbjudna" omrœdn. ) Tidsbrond Nu kan vi fortsštta och studra vad som hšndr nšr tidn gœr. Om vi sšgr att vid t = t Šr x(t ) = x och v(t ) = v sœ kan vi md Nwtons kvation brškna x(t) och v(t) fšr alla t. Skillnad 3: PŒ stšlln dšr E tot < V(x) kan partikln trots allt finnas. Mn om V(x) = kan dn int finnas dšr. ) Tidsbrond HŠr gr oss dn tidsobrond SE oss ingn information. 1