Totala rörelsemängdsmomentet. Inledande statistisk fysik

Transkript

1 Förläsnng Totala rörlsmängdsmomntt. Inldand statstsk fysk Förra gångn: Paulprncpn: osonr tt systm md j särskljbara partklar md hltalgt spnn har n symmtrsk vågfunkton m.a.p utbyt av partklarna. ab( r, r ab( r, r Frmonr j särskljbara partklar md halvtalgt spnn har n asymmtrsk vågfunkton m.a.p. partklbyt. ab( r, r ab( r, r Vågfunktonn för två frmonr xakt samma tllstånd: r, r ( r ( r ( r ( r 0 Paulprncpn (th xcluson prncpl ( a a a a Aaa Två j särskljbara frmonr kan nt vara samma ndvdulla kvanttllstånd lktronr atomr kan bskrvas md kvanttal md följand tllåtna värdn: n =,,... l = 0,,... n - m l = -l, -l +,.. 0,..., l -, l m s = -/, / SH009, modrn fysk, VT0, KTH Gnom att utnyttja att lktronr är frmonr och måst uppfylla Paulprncpn (n lktron varj tllstånd kan man förklara dt prodska systmt: huvudkvantal n =, Nomnklatur: xmpl: s s p 5 Antal - för vss n,l-kombnaton tllstånd md olka l angs md bokstav: s=0, p=, d=, f=... Varj kombnaton av n, l och m l kan nlgt Paulprncpn ha lktronr om dssa har olka m s ( rspktv. s-skal (l =0 hara bara m l =0 och därför max - p-skal (l = hara m l =-,0, och därför max 6 - för vsst l fnns l+ olka m l -värdn, vlkt tllåtr (l + lktronr n,l-kombnatonn (När lktronr fylls på p-skal för högr atomtal, är dt oftast (brond på - andra n,l skal nrgmässgt fördlaktgt att fylla på olka m l -värdn md lka rktad spnn (assymtrsk rumsdl, symmtrsk spnndl därför att lktronrna, som har samma laddnng hamnar längr från varandra. (Hunds rgl. SH009, modrn fysk, VT0, KTH

2 Rlatva nrgnvår för olka skal som funkton av atomnummr. Md flr än n lktron atomn, kommr lktronrna att skärma kärnladdnngn för varandra. Systmt kan nt lösas analytskt utan bräknas md hjälp av dator approxmatonr. Notra dock: kärnladdnngn ökar md atomnummr. s skalt är närmast kärnan och har mnst skärmnng. ndnngsnrgn för n jon md bara n lktron är proportonll mot Z. (Z -brondt fås gnom att alla härldnngar för vät rsätta q m Zq (Mosly vsad att spktrallnjr för övrgångar mllan n= och n= skaln ändras proportonllt mot (Z- Jonsatonsnrgn för först frgjorda lktronn som funkton av Z. Ädlgasr är svårast att jonsra. Notra: hlum, 4,6 V för första frgjorda lktronn. Kvar fnns n - bundn tll kärna md Z=. ndnngsnrgn för dnna nda lktron H + är då,6 V = 54, V SH009, modrn fysk, VT0, KTH Totala rörlsmängdsmomntt. Inldand statstsk fysk Totala rörlsmängdsmomntt Rörlsmängdsmomntsvktorr (tll vlka v nu räknar spnn kan nt bara addras rakt up och nr utan lydr vssa kvantsrngsrglr. Låt oss studra dssa rglr gnom att addra spnn S och rörlsmängdsmomnt L. Totala rörlsmängdsmomntt: J =L + S Vktorrnas storlk är L ( och S s( s Ävn dt totala rörlsmängdsmomntt är kvantsrat. (Stämmr xprmntllt J j( j där j s, s,..., s, s Jz mj där mj j, j,..., j, j xmpl: l=, s =/ (totalt (l+(s+ = 0 kombnatonr av j och m j Pga rglrna för storlkn av J, L och S kan L och S aldrg vara hlt paralllla llr motrktad. J max s( s J max ( s s s L S ( ( ( L S ( s( s s V sr att J max < L+S Pss kan vsas att J mn > L-S s s s s s SH009, modrn fysk, VT0, KTH

3 Vlkn av följand förändrngar av j övrgång mllan två nrgnvår där n foton utsänds är möjlg: Δj = +/ Δj = - Δj = + SH009, modrn fysk, VT0, KTH I övrgångar, t.x. från xctrat P / tllstånd, gällr att totala rörlsmängdsmomntt bvaras. ftrsom fotonn som utsänds(absorbras har spnn= kommr j att ändras. m j kan ändras -, 0 llr (P angr att l=, / angr att j=/ SH009, modrn fysk, VT0, KTH

4 Spnn-ban-kopplng lktronns rörlsmängdsmomnt förhålland tll atomkärnan gr ur lktronns synvnkl upphov tll tt magntfält från atomkärnans rörls. Dtta magntfält vrkar på lktronns magntska dpolmomnt från spnnt. U s pga L Notra att magntfält pga rörlsmängdsmomnt krävr att L 0, dvs n >. Om v förnklat antar att strömmn som crkulär rörls md L gr upphov tll ström som skapar q I T q q q mvr r / v m r m r I q 0 0 0q L r 4 m r 4 m r L L För att förstå storlksordnng av ffktn: Vätatom tllstånd md n =, L= ħ gr 0,8T (stort, U 0-4 V (ltt, jmfr xctatonsnrgr: V U g q q 0 0q S L g m mr 4 8 m r s pgal S L SH009, modrn fysk, VT0, KTH Statstsk fysk (Inldnng som gr grundrna för rsonmang nom dnna kurs. Mr dtaljr kursn Trmodymank och statstsk mkank åk för F och MIL. trakta tt makroskopskt systm md tt stort antal partklar, typ N 0 (jmfr Avogadros tal. Partklarna kan vara dntska llr särskljbara. Varj partkl bskrvs av -dmnsonll rörlsmängd och poston. N rörlsmängdskoordnatr och N postonskoordnatr, bskrvr systmts tllstånd. Tllståndt utvcklas md tdn. För att bskrva systmt dtalj skull v bhöva n lösnng för alla partklarna, vlkt är omöjlgt ävn md avancrad datorr. V bskrvr ställt systmt md mdlvärdn från statstska lösnngar basrad på fyskns lagar. Om dssa mdlvärdn är tllräcklgt prcsa talat v om trmodynamska systm. xmpl: Fördla N (särskljbara partklar tt rum som dlas två lka stora dlar. Vad är mdlvärdt av antalt partklar na halvan (N? Totala antalt tllstånd är N. Antal sätt att fördla md N na halvan: N N! N N!N N! (bnomalkoffcntn SH009, modrn fysk, VT0, KTH

5 Smalar fördlnngar krng mdlvärdt N =N/ för ökat N. Vd N 0 :närmar sg dlta-funkton. N /N N /N N =00 N =000 SH009, modrn fysk, VT0, KTH Mkrokanonsk nsmbl. Isolrat, slutt, systm jämvkt. Volym, nrg och antal partklar är konstant. Använd klasssk statstsk sannolkht för varj tllått kvanttllstånd (mkrotllstånd. Varj tllstånd är lka sannolkt!!! Md antal möjlga tllstånd Ω( (W bokn. ( gvt för systmt Tllstånd är här alla kombnatonr av rörlsmängd p och poston q (fasrummt som är möjlga gvt systmts nrg och antalt partklar mm. (Dssa utgör n nsmbl. Sannolkht för tllstånd j P j = /Ω Kopplng tll trmodynamkn va ntropn: S ( k ln ( oltzmanns antagand: S ( =k ln Ω(, k = oltzmanns konstant =,8 0 - J/K Trmodynamkns :a huvudsats: d TdS PdV dn TdS d PdV dn gr: S T N, V N, N, V xmpl: I dal gas är partklarna obrond. Antal tllstånd pr partkl blr proportonllt mot volymn: ( N,, V V N S P T V S T S S konst Nk lnv P T V N, NkT PV NkT V SH009, modrn fysk, VT0, KTH

6 Kanonsk nsmbl. Systm S md nrg kontakt md värmbad R md nrg R. Dt totala systmt är solrat och utgör n kanonsk nsmbl md T = + R. R = T Antal tllstånd hos dt totala systmt md nrg nom T, T +δ är: Ω T ( T =Ω S (Ω R ( T - för vsst Sannolkhtn att S vsst tllstånd är proportonllt mot antal mkrotllstånd av dt totala systmt för vlkt S är mkrotllstånd md nrg, vlkt motsvarar antal mkrotllstånd för värmbadt md R = T P Ω R ( R =Ω R ( T - utvckla Ω R utgånd från ntrop S R k ln (... ( k ln R ( T k ln R ( T R T mn SR ( k ln R ( T T Kombnra ( och ( samt xponntra gr R ( T R ( T n trm räckr pga T R >> dvs p Normalsra: p p k T k T SH009, modrn fysk, VT0, KTH Inför tllståndssumman: Z Om tllstånd dgnrrat tllkommr dgnratonsfaktor g : Z g kt F TS kt lnz ( Kopplng tll trmodynamkn va Hlmholtz fra nrg: I många sammanhang är skllnadn mllan olka nrgnvårna så ltn och d lggr så tätt att d bör btraktas som kontnurlga ställt för dskrta. Summan övrgår då tll n ntgral, där v måst ta hänsyn tll antal tllstånd nom tt ltt nrgntrvall, +δ vlkt gs av tllståndstäthtn ρ( Parttonsfunktonn: Z ( d ( ( Sannolkhtn för att systmt har nrg gs av Maxwll-oltzmann-fördlnngn: P ( ( Z SH009, modrn fysk, VT0, KTH

7 Mdlvärdt av nrgn kan nu bräknas: Z ( d SH009, modrn fysk, VT0, KTH xmpl: Förhållandt mllan antal vätatomr :a xctrad tllståndt och grundstllståndt vd rumstmpratur (Lt artfcllt ftrsom vät normalt är n tvåatomg molkyl vd rumstmpratur. nrg för n vätatom gs huvudsaklgn av huvudkvantalt n. (nlgt tdgar kan spnn-bankopplng dtta fall försummas och v har ngt magntfält. Tllräcklgt få vätatomr för att d skall kunna särskljas M- fördlnng. V skall bräkna där står för antal atomr nrgtllstånd och = är grundtllståndt. n ( = D ( N M ( d Här: dskrta nrgnvår gr / kt n ( D( A D( ( / kt / kt D( A D( n ( 5 0,V /( V 7 0,6,6 8 0,V D( är tllståndstäthtn. I grundtllståndt, dvs då huvudkvantalt =, fnns bara två tllstånd, tt md lktronn spnn upp och tt md spnn nr. I första xctrad tllståndt, dvs då huvudkvantalt =, kan l =0 och l =, där dt snar gr l + = olka tllstånd, vardra md spnntllstånd. Totalt: D ( = 8. SH009, modrn fysk, VT0, KTH