Tentamensskrivning i Mekanik, Del 2 Dynamik för M, Lösningsförslag

Transkript

1 Tntamnsskivning i Mkanik Dl Dynamik fö M 558 Lösningsföslag. Låt v btckna kulans fat fö stöt och v kulans fat ft stöt. Låt btckna impulsn fån golvt på kulan. Enligt impulslagn gäll: ( ) : = mv cos mv cos ( ) : = mv sin mvsin v v Studstalt (md fixt golv) dä vi utnyttjat. tan Sva: = tan v sin sin sin tan v cos = = = = vsin v sin cos sin tan Anm: Vi bhöv int utnyttja fö att lösa uppgiftn. Md dnna kvation kan vi mlltid bäkna impulsn fån golvt på kulan.. Låt = k btckna länkamns vinklhastightsvkto och låt AB = k AB. S ndanstånd figu! Dt gäll att v = v + = + k ( icos + jsin ) = i( sin ) + j cos A O

2 AB α n j i Låt P btckna dn punkt på länkamn AB som bfinn sig mitt fö lagingspunktn i hylsan. Då gäll ( A = A ) v = v + = i( sin ) + j cos + k ( icos α + j ( sin α)) = P A AB AP AB A i( sin + sin α) + j ( cos + cos α) AB A AB A Mn nu gäll att nv P = dä n= isinα + j cosα ä vinklät mot länkamn AB s ovanstånd figu. Sålds sin α( sin + sin α) + cos α( cos + cos α) = AB A AB A (cosαcos sinαsin ) + (cos α + sin α) = AB A AB = (cos cos sin sin ) cos ( ) α α = + α A Gomtiskt gäll att (s figun) = ( sin ) + ( cos ) = 5 4cos A sin tana = cos Dtta insatt i g Sva: a) AB = cos( + α ) 5 4cos AB = cos( + α ) 5 4cos A sin a = actan( ) cos 3. a) Systmts ölsmängdsmomnt md avsnd på axln ( O k ):

3 H = H () = ( + m ) () Oz Oz dä = () btckna ciklskivans vinklhastight som funktion av. Dt gäll att HOz ( ) = ( ) = Rölsmängdsmomntts bvaand g kvationn HOz () = HOz () d v s ( + m ) () = () = m + Filägg blockt. nfö ktionskaftn N + k Nz fån ciklskivan på blockt (ingn fiktion) samt tyngdkaftn k ( mg). Kaftkvationn fö blockt (i cylindkoodinat). N + kn + k( mg) = ( ( ) + ( + )) m z O k N Kaftkvationn ä kvivalnt md kvationna: = ( ) m N = ( + ) m () N z mg = Ekvationna () och mdfö d ( ) ( ) d d m = = = d m = + + ( + m ) vilkt g = ( ) m( m ) = + = + m( + m ) m + m = + m Sva: a) () = b) = + m + m 3

4 4. a) Filägg blockt. nfö tyngdkaft mg samt kontaktkaftn fån hönt i fom av nomalkaftn N och fiktionskaftn f. Vi ha villkon Momntkvationn g: N f µ sn A : mgbsin = A () 7 dä A = mb + m( b) = mb. Dtta g diffntialkvationn 3 mgb g = sin sin = 7 b (3) A b b mg N f Om vi multiplica kvation () md så hålls g d g 4 g = sin ( + cos ) = = ( cos ) (4) 7 b dt 7 b 7 b Kaftkvationn g: ( ld) : N mg cos = mb ( ld) : f + mg sin = mb (5) Ekvationna (4) och (5) g 4 g mg N = mg cos mb = mg cos mb ( cos ) = ( 4cos 4) 7 b 7 4

5 g 5 f = mg sin mb = mg sin mb sin = mg sin 7 b 7 a) Blockt böja glida då f > µ sn. gänsn gäll då = 3 5 f mg sin 7 5sin m = s. N = mg = ( 4cos 4) 4cos 4 = 7 mg mg Vi nota att N = ( 4cos 4) ( 4cos 3 4) > fö 3. d v s 7 7 kontaktn mllan block och hön bstå åtminston fam till dt att blockt böja glida. Sva: a) µ s =. 5. a) Filägg koppn stång AB + stång B + hjul. nfö d ytt kaftkomponntna HV vid punktn A och N f i hjults kontaktpunkt md undlagt. Tyngdkaftn bhandlas i fom av dss potntilla ngi. Koppns mkaniska ngi E = T + V dä T = ml + m( x G + y ) G + ml + mx + 3 dä ä hjults vinklhastight. Rullning utan glidning innbä x = = x () B G G H A V x G N f y G x V = mgy = mglsin (3) G 5

6 Dt gäll att x = Lcos x = L 3L sin samt att xg = cos 3L x = G sin L L och yg = sin y cos G =. Dtta tillsammans md () g ft insättning i T = ml ( + ( 5 + )sin ) (4) 3 m Dn mkaniska ngin gs då av E = ml ( + ( 5 + )sin ) + mglsin 3 m y Effktsatsn kan skivas E = P = då d ytt kaftna (föutom tyngdkaftn) ä ffktlösa. Sålds gäll att E = ml ( + ( 5 + )sin ) + mglsin = E 3 m Dä konstantn E bstäms av bgynnlsdata: = 3 = d v s L E = mglsin 3 = mg Sålds L ml ( + ( 5 + )sin ) + mglsin = mg 3 m vilkt mdfö att g ( sin ) = (5) L( + ( 5+ )sin ) 3 m 3g b) Enligt (5) hålls md = =. Dtta sultat få man också gnom n L dikt bäkning av kintiska ngin i lägt =. Då gäll att x = och =. Kintiska ngin i dtta läg gs av T = ml = ml 3 3 Effktsatsn g då L 3g ml = mg = 3 L 6

7 ( sin ) Sva: a) g = b) L( + ( 5+ )sin ) 3 m = 3g L 7