Klassisk elektrodynamik Växelverkan mellan laddade partiklar och elektromagnetiska fält
|
|
- Anton Henriksson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Institutionn fö miin oh vå Avlningn fö aiofysik Hälsounivsittt Klassisk lktoynamik Växlvkan mllan laa patikla oh lktomagntiska fält Guun Alm Calsson Dpatmnt of Miin an Ca Raio Physis Faulty of Halth Sins
2 Sis: Rpot / Institutionn fö aiologi, Univsittt i Linköping; ISSN: ISRN: LIU-RAD-R- Publishing ya: 975 Th Autho(s)
3 Klassisk lktoynamik. Växlvkan mllan laa patikla oh lktomagntiska fält. Guun Alm Calsson Av fö aiofysik Linköpings högskola REPORT LiH-RAD-R-
4 Guun Alm Calsson Raiologiska institutionn Av fö Raiofysik, Linköpings Högskola, vt 97 Klassisk lktoynamik. Växlvkan mllan laa patikla oh lktomagntiska fält Innhållsfötkning: I: Lonzkaftn oh Maxwlls kvation Si II: Dt lktomagntiska fältt i vakuum king n punktlaning, som utfö n goyklig öls. Rtaationsffktn. Si III: Coulombkaft Lontzkaft Si IV: Emission av fi lktomagntisk stålning Si 5 A. Vågzonn av t lktomagntiska fältt Si 5 B. Dt lktomagntiska fältt på stot avstån fån n punktlaning, som utfö n hamonisk svängningsöls Si 9 C. Poyntings vkto Si D. Elktomagntisk stålning Si E. Kaftn m vilkn n lktomagntiska stålning, som n laning gna, påvka laningn själv. Dn mitta stålningns aktionskaft. Si 4 V: Tväsnittt fö Thomsonspining av lktomagntisk stålning mot n fi lkton Si 8 A. Thomsonspiningstväsnittt fö polaisa stålning Si 8 B Thomsonspiningstväsnittt fö opolaisa stålning Si Rfns Si
5 Klassisk lktoynamik. Växlvkan mllan laa patikla oh lktomagntiska fält I: Lontzkaftn oh Maxwlls kvation Dt lktomagntiska fältt kaaktisas av fältstohtna E oh B, som ä funktion i tin oh ummt. Fältstohtna finias utifån n kaft, F, m vilkn n patikl m laningn, som ö sig i fältt m hastightn v, påvkas. Dn lktomagntiska kaftn, F, på patikln kan skivas F ( E v x B) E kallas lktisk fältstyka B kallas magntisk fältstyka F kallas Lontz-kaftn Mn vaifån komm t lktomagntiska fältt? Elktomagntiska fält gnas av laninga i öls (n laning i vila gna tt lktostatiskt fält). I finitionn av fältstohtna ovan tänks i fösta han att t lktomagntiska fält i vilkt n btakta laningn ö sig hästamma fån alla öviga laningana oh as öls i ymn. (Laningn gna ävn själv tt lktomagntiskt fält, som un vissa omstänight åtvka på ss gn öls. Dnna ffkt iskutas i tt sna avsnitt). Sambant mllan fältstohtna E, B oh laningas öls i ymn gs i Maxwlls kvation: I : ive ρ ε III : ivb II : ot E B t IV : otb j ε E t ä ρ laningstäthtn [oulomb m - ] j n lktiska stömtäthtn [oulomb s - m - ] ε ä n konstant m imnsionn [(oulomb) nwton - m - ] ljusts utbningshastight i vakuum; ε 7 4π Fältstohtna E oh B ä vkto oh finia vktofält. Bgppn ivgnsn (iv) fö tt vktofält oh otationn (ot) fö tt vktofält finias i vktoanalysn. I o kan Maxwlls kvation uttykas:
6 I: II: III: IV: ρ ive : Vktoflöt av E gnom n slutn yta. ε ε (summan av laningana innanfö n slutna ytan). B ote t : Linjintgaln av E unt n slutn kuva -föäningn p tisnht av vktoflöt av B gnom n yta, som omsluts av n slutna kuvan. iv B : Vktoflöt av B gnom n slutn yta. (Dt finns alltså inga "magntiska laninga". Magntiska fält kan baa gnas av lktiska laninga i öls. I pmannta in stömma. I n jänmagnt bstå ssa stömma av lktonnas spin-öls. Nomalt ä spin-ölsna hos lktonna i tt mium goykligt ointa så att ingn nttoffkt upptä, mn i tt fåtal mia som jän kan t fökomma att n sto l av lktonna ha sina spinöls ointa i samma iktning så att tt nttomagntfält uppstå). j E ot B :. (linjintgaln av B unt n slutn kuva. ε t ε (stömmn gnom n yta som omgs av n slutna kuvan) föäningn p tisnht av vktoflöt av E gnom n yta, som omgs av n slutna kuvan. II: Dt lktomagntiska fältt i vakuum king n punktlaning, som utfö n goyklig öls. Rtaationsffktn. Om fältt king n punktlaning, som utfö n goyklig öls, ä känt kan fältt fån goykliga laningsfölninga bäknas som n övlaging av fältn fån vaj punktlaning i fölningn. Dt gäll fån vktoanalysn att: E B ga φ ot A A t φ oh A kallas n skaläa potntialn spktiv vktopotntialn till t lktomagntiska fältt. Lösningn av φ oh A king n punktlaning i goyklig öls ha utabtats av Li'na oh Wiht: φ ( P, t) v 4 ( t' ) πε ( t' ) ( t' ) t' t '
7 A P, ( t) v v 4 ( t' ) πε ( t' ) ( t' ) t' t Innbön av ssa uttyk klagös bäst m hjälp av n figu: ' φ(p,t) oh A (P,t), vs vät av φ oh A, oh äm av E oh B, i punktn P vi t' tin t bo av laningns läg oh hastight vi n tiiga tipunkt t ' t. ( t ') ä n ti t ta fö t lktomagntiska fältt att nå fam till punktn P fån punktn Q'. Vät av fältvktona E oh B i punktn P vi tin t bo alltså av laningns läg vi n tiiga tipunkt, vs av ss "taa" läg. Man tala i tta sammanhang om "taa" potntial oh fält. Fältvktona E oh B kan å φ oh A ä käna bäknas u sambant givt ovan. Dssa äkninga ä int hlt lätta oh nast slutsultatt ovisas hä. E ' ' ( P,t) ( ) B P,t ( ) ( ) ' xe( P, t) 4πε ' ' ' ' ' ' ( t' ) oh ' ( nhtsvkto i iktningn ' ) Anm. I ovanstån fom ha uttykn fö E oh B utabtats av Fynman. ' ( ) III: Coulombkaft - Lontzkaft U ovanstån uttyk fö E oh B s man spillt att om laningn bfinn sig i vila så hålls uttykt fö t lktostatiska fältt king n punktlaning, vs
8 4 E ( P, t) ( t) ( ty E x E ) B P, 4πε ' ' 4πε Coulombs lag g kaftn m vilkn två laa patikla i vila påvka vaana. Coulombkaftn F på laningn i t lktostatiska fältt fån gs av: F E 4πε ( ) ä otsvkton fö laningn otsvkton fö laningn avstånt mllan oh Kaftn F på laningn i fältt fån ä lika sto mn motsatt ikta, F - F Då två punktlaningana oh bfinn sig i öls gäll int läng att Coulombkaftn bskiv patiklanas inbös kaftpåvkan. Dämot gäll allti Lontzkaftn xakt: F ( E v x B) Btakta spillt fallt att patiklana ö sig m iklativistiska hastight v <<. v x B kan fösummas lativt n Man s å spillt att n magntiska kaftn ( ) lktiska kaftn E, ty E B (, t) 4πε ' ' (, t) ' x E (, t) ä (, t) ( ' ) ( ' ) [ ] fån laningn oh ( ) ' ' ( ' ) E ä n lktiska fältstykvkton vi platsn fö laningn vi tin t B, t ä motsvaan magntiska fältstykvkto. Vkton gs av ' ä ä otsvkton fö vi tin t oh ' ä otsvkton fö ' vi tin t ' t Dn magntiska kaftn på bli å:
9 5 v x [ x E (, t) ] ' Absolutvät av nna kaft ä E (, t) v, vs å v << gäll att n, t. E magntiska kaftn ä fösumba gntmot n lktiska kaftn ( ) Via gäll att om ävn v << så ä n stäka föflytta sig fån tin ' t ' t till tin t fösumba så läng int avstånt ' ä alltfö stot. Man kan alltså sätta ' ( t) oh fösumma taationsffktn i t av vi alsta lktomagntiska fältt. Kaftn m vilkn patiklana påvka vaana kan å appoximativt bskivas som n Coulombkaft. IV: Emission av fi lktomagntiska fältt A. Vågzonn av t lktomagntiska fältt Btakta åtign uttykt fö n lktiska fältstykan E i n punkt P vi tin t fån n punktlaning, som utfö n goyklig öls. E t' ' ' ( P, t) ( ) B P, [ ] ( t) x E( P, t) t ' 4πε ' ' ' ' Uttykt fö E ( P, t) bstå av två la, som uppfö sig hlt olika. D två fösta tmna bo av hastightn v ' oh avta m kvaatn på avstånt ': '
10 6 ' ' ' ' ' Btakta ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 4 ' Mn ( ) ( ) ' t' t ' t' t ' ' t t' ( ) ( ) ' v ' ' ' z' z' ' y' y' ' x' x' z' y' x' z' y' x' ' ' ' ' ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' Dt gäll alltså att: ' ' ' ' ' bo av ' v oh avta m kvaatn på avstånt '. Dn sista tmn, ', ä ämot, fö stoa avstån ', popotionll mot alationn ' a oh avta nast m (') - : ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
11 7. ( ) ' ' t' a' ' ' ' ' t' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' Fö stoa vän på ' hålls: ' t' a' ' ' ' '. ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ) b) a) a) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' t' a' ' ' ' t' a' ' ' ' ' ' t' a' ' ' ' ' ' ' ' ' ' t' ' ' ' ' ' ' ' ' fö stoa ' b) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ) ( ) ( ) ' ' '
12 8 Fö stoa vän på ' hålls: ' ' ' ' ' ' ' a' ( ) ' t' ' vs fö stoa ' gäll: ' ' t' a' ' ' ' ' ' ' Fö t' gäll: ( a' ) ( ) t' ' t' ( ) ' ' ' ' ( ) ' ' ' ( ) ' ' ( ) ' ' Mn: ' ' ' ' ' ( ) a' ' Fö stoa ' gäll alltså: ' ' fö stoa ' t' ( ) ' ( a' ) ' oh äm: ' ' ' ' ( ' ) ( ) ( ) ( a' ) ' ( ) ' ' ' ' ( a' ) ' ' ' ' a' ' a' ( a' ) ' ( ) alationns komponnt i ' -iktningn ( ) ' hastightns komponnt i ' -iktningn ' ( ) ( ) ' a' ( a' ) ' ( a' )( ( )) ' ' ' ' '
13 9 Fö stoa vän på ' kan tm innhållan n fakto fösummas gntmot ' tm, som innhåll n fakto '. D tm, som innhåll n fakto ', xista nast om alationn a '. Om a ' gäll att på stoa avstån, ', ä t lktomagntiska fältt tansvsllt, vs båa fältvktona E oh B ä vinkläta mot '. Man kalla nna gion ä E ' B fö vågzonn (wav zon). B. Dt lktomagntiska fältt på stot avstån fån n punktlaning, som utfö n hamonisk svängningsöls Dn osillan laningns öls bskivs av kvationn z z o sin ( ν,t ) Antag, att allti ö sig m n ik-lativistisk hastight, v <<. Btakta fältt i n punkt P såan att >> z, vs så att P bfinn sig i vågzonn. p o Vi n viss tipunkt, t, bo fältstykan E i punktn P på alationns vä a ' vi ' n tiiga tipunktn t ' t oh gs av ( ) { ( ( ) )} ' a' E P, t 4 a' ' ' πε o Eftsom >> p z o kan man sätta ' p oh t' t p. Via gäll att:
14 v ( zz ) zo os( ν t) ν z v a zo ν sin( ν t) νz ν z o sin( ν t) z a' a' a' sinξ vinkln mllan z - axln a' ' ( ) ( ) oh ' ( ) ' p E 4πε p ( P, t) ν z sin ν t sinξ o p o Häav famgå att i punktn P fås tt lktiskt fält, som vaia m samma fkvns, som fkvnsn hos n laning, som g upphov till fältt. Dn lktiska fältstykvkton E ha n iktning, som gs av alationns pojktion i tt plan vinklätt mot obsvationsiktningn p. E -fältt ha n bstäm polaisation i n givn obsvationsiktning ξ. C. Poyntings vkto Då tt objkt utståla ljus föloa t ngi. Dt ä klat att matins ngi int bvaas. Lagn om ngins konstans måst ävn omfatta t lktomagntiska fältts ngi. Sätt: u fältts ngitätht ( ngi p volymsnht). S v ngistömtäthtn i fältt ( ngi, som p tisnht stömma gnom n nhtsyta vinklätt mot S v ). Engilagn g: v v uv S S t V S ( V ) (abtt utföt på patiklana, som finns i volymn V p tisnht).
15 V btakta volym i ymn S(V) slutn yta king V. Kaftn, som vka på n patikl m laningn, gs av: F ( E V x B) F V g t av fältt på laningn utföa abtt p tisnht. Mn F v E v x B v E v v x B v E v, ty v x B ä n vkto v v x B v ( ) [ ( ) ] ( ) Om i volymslmntt V finns N patikla bli t av fältt p tisnht i V utföa abtt på matia N i E v i i E N i i v i v N Mn i i V i utföa abtt på matia kan skivas: E j Vi få å: uv S S E t V S V ( ) j ( stömtäthtn) så att t av fältt p tis- oh volymsnht V jv M hjälp av Gauss sats kan ytintgaln övföas till n volymsintgal så att: uv iv S V E t V V V jv Eftsom nna kvation ä sann fö vaj volym V kan man sätta likhtstkn mllan intganna: u t iv S E j Fån Maxwlls kvation hålls ft ivs vktoomfomninga att t gäll: E j ε o iv ( ) B x E ε o ε o B B E E t
16 Om man finia u ε o B B ε o E E hålls fö S : iv S u t E j ε o iv ( B x E) vs att: S ε o ( E x B) S kallas fö Poyntings vkto. Anm.: Dfinitionn av u ovan ä i viss mån goyklig. Dt finns i själva vkt tt oänligt antal sätt att finia u oh S, mn hitintills ha ingn kunnat ang tt sätt att xpimntllt bstämma vilkn finition som skull vaa n iktiga. Man ha hlt nklt bstämt sig fö att välja n finition, som ligg nämast till hans. D. Elktomagntisk stålning p Ω p sin ξξφ
17 Poyntings vkto i punktn P komm att pka i samma iktning som p ( E oh B ä båa vinkläta mot p ). Gnom ytlmntt p Ω passa n lktomagntisk ngi p tisnht givn av: S ( Ω ) ε E B Ω p p Dt gäll att: p B E vafö ngistömningn gnom p Ω p tisnht vi tin t gs av: ε E p Ω ε 4πε ( ) ν 4 z o ε ( ) 4πε sin ν t p ν 4 z 4 o sin ν t p sin ξω p sin ξ p Ω Intga öv n sfä m ain p oh m ntum i oigo. Dn ngi, som p tisnht stömma ut gnom sfän vi tin t gs av: π π ξ φ ε π ε 4πε 8π ty: π ε ( ) ν 4 z o 4πε ( ) ν 4 z o ( ) ν 4 z o 4πε sin ξξ 4 sin ν t sin ν t sin ν t p p p sin ξ sin ξ π sin ξ ξ a ' 6πε Man s att n ngi, som p tisnht stömma gnom n avlägsn sfä king n osillan laningn ä obon av sfäns ai. Dtta g upphov till mission av fi lktomagntisk stålning gnom ymn. Dt ä alltså n l av t lktomagntiska fältt king n laning i öls, som avta m, som g upphov ' till missionn av fi lktomagntisk stålning. Dnna l bo av alationn så, att nast n laning, som utfö n ala öls, kan g upphov till lktomagntisk stålning. t lktomagntiska stålningsfältt ä tansvsllt, vs fältvktona E oh B bila ät vinkl m fältts utbningsiktning oh m vaana.
18 4 Btakta åtign fältt king n osillan laningn. Engin, som p tisnht stömma gnom n avlägsn sfä king laningn bo av sfäns ai i uttykt sin p ν t. Mn om man bila tismlvät öv svängningstin T fö n osillation fås tt tismlvä av ngistömningn p tisnht, som ä obon av ain p. Timlvät gs av: T 4π T 8π ε 4πε ε 4πε ( ) ν4 z o ( ) ν 4 z o sin ( νt' )' ν 4 z o πε Anm.: I gs-systmt använs i ställt fö ä lktonns laning. Man 4πε s ofta ovanstån uttyk i fomn ν 4 z o, som alltså fa till gs-systmt oh fallt m n lkton i öls. E. Kaftn m vilkn n lktomagntiska stålning, som n laning gna, påvka laningn själv. Dn mitta stålningns aktionskaft En laa patikl, som utfö n ala öls, mitta lktomagntisk stålning, vs ngi. Dnna ngimission måst åtvka på laningns öls på samma sätt som n kämpan kaft. Dt ä alltså int kokt att sätta upp ölskvationn fö n laa patikl utan att ta hänsyn till såväl n ytt kaft, som uspunglign ä osakn till ss öls, som n bomsan kaft, som motsvaa utstålningn av lktomagntisk ngi. Dnna kaft kan bäknas utifån tt ngibalanssonmang. btakta fallt m n ik-lativistisk laa patikl i öls t x n osillan laningn i xmplt ovan. Dn ngi, som p tisnht stömma gnom n avlägsn sfä vi tin t gavs av: a' 6πε ä a' laningns alation vi tin t' t p. Man kan uttyka t så, att nna ngi ä n ngi, som laningn mitta vi n tiiga tipunktn t'. I fösta appoximationn bskivs patiklns öls av m a F o
19 5 ä F o n ytt kaftn vkan på patikln. Till nna kaft aas n kaft F, som ska ta hänsyn till ngifölustn gnom stålningsmission, så att ölskvationn bli: F o F m a Engilagn (si ) g: uv S S t V ( V ) S ( F F) o v Om volymn V väljs som n sfä m ntum i oigo oh m ain p hålls: S S S ( V ) a' 6πε I n fösta appoximation fösummas ämpningsffktn. En patikl, som utfö n pioisk öls komm att bfinna sig i samma ölstillstån vi två tipunkt t oh t. Då komm u att ha samma vä vi tipunktna t oh t vilkt innbä att: t t t V uv Via komm abtt, som utföts av n ytt kaftn F o un tin t till t att vaa lika m noll, vs t t F v o Om tta sultat sätts in i ngijämviktskvationn ovan hålls: t t F' t t a' 6πε Då intgationn utfös öv n hl pio av ölsn bli sultatt tsamma om alationn a vi tin t btaktas i ställt fö a ' vi tin t'. Gnom patialintging hålls: t a v v 6 6 t πε πε t v v 6πε t t t t t v v
20 ty v v t t ftsom ölstillstånt vi tina t oh t föutsatts vaa lika. 6 Då hålls fö aktionskaftn F : t t F v 6πε t t v v Dt måst å gälla att: F 6πε v Raktionskaftn F ä alltså popotionll mot tisivatan av alationn. Hälningn av F ovan ä kokt baa så läng F ä litn jämföt m ana ytt kaftna. Fö n hamonisk osillato gäll tta så läng fkvnsn ν j ä alltfö hög: z z sin νt Utan ämpning ä n ivan kaftn av n hamoniska osillaton givn av: F m a mν z sinνt Fö n ämpan kaftn F gäll: F ν z 6πε F >>F g: osνt mν mν ν << z >> sinνt >> 6πε 6πε m 6πε ν ν z osνt Om n osillan laningn antas vaa n lkton bli ngin hos n foton m 6πε m E h MV.
21 7 Mn hu skall aktionskaftn kunna föklaas? Ovanstån bäkning av aktionskaftn utgö n fnomnologisk bskivning av nsamma mn ingn "föklaing". Hä åka man in i svåight, som ännu int ha kunnat lösas va sig klassiskt ll kvanttotiskt. Fågan gäll lktonns stuktu oh bgppt "punktlaning". Om man tänk sig lktonn som n litn "boll" m n viss laningsfölning kan man visa hu olika lana av nna laningsfölning vka på vaana å lktonn bfinn sig i vila spktiv å n ö sig. Då n bfinn sig i vila balansa kaftna vaana så att ingn nttokaft uppstå. Då lktonn alas komm mllti taationsffkt inom n "boll", som lktonn utgö, att åstakomma n obalans mllan kaftna m vilka olika laningslmntn påvka vaana så att n nttokaft uppstå m vilkn lktonn påvka sig själv oh som ä så ikta att n motvka alationn. Biln ä tagn fån "Th Fynman ltus on physis" Vol II. Aison-Wsly 97. Då spialfallt m öls i nast n imnsion btaktas hålls fö självkaftn: z z α γ 4 4 z F 4... Hä ä α, γ ä lktonns laning 4πε lktonsfäns ai numiska koffiint, som bo av vilkn laningsfölning som antas. Dt intssanta ä att n ana tmn int bo av vilkn laningsfölning, som antas oh att n övnsstämm m n aktionskaft, som hölls u ngibalansbäkningn. Man skull alltså vilja ha nna tm mn int öviga i summan ovan. Låt man lktonsfäns ai o fösvinn n tj oh alla följan tm mn n fösta gå mot oänlightn! Ett annat poblm föbunt m nna lktonmoll ä fågan va som håll ihop lktonn, vs va t ä som gö att n int "flyg i bita".
22 8 V. Tväsnittt fö Thomsonspining av lktomagntisk stålning mot n fi lkton A. Thomsonspiningstväsnittt fö polaisa stålning Låt n plan våg av lktomagntisk stålning m fkvnsn ν oh givn polaisationsiktning infalla mot n lkton i vila. Dn lktiska fältstykvkton gs av: E E sin ν ( t) Dtta fält komm att sätta lktonn i svängning. Antag, att lktonn ävi nast uppnå ik-lativistiska hastight. Då kan n magntiska kaftn på lktonn fösummas liksom ämpningskaftn till följ av att lktonns öls g upphov till mission av lktomagntisk stålning. Rölskvationn fö lktonn kan skivas: m E sin ν ( t) Välj tt kooinatsystm m z-axln paallll m n lktiska fältstykvkton Då kan ölskvationn skivas: z E sin ν m ( t) En lösning till nna kvation gs av: E z m ν sin ( νt) Elktonn utfö n svängningsöls m samma fkvns som fkvnsn hos n infallan plana vågn. Elktonns öls g upphov till mission av n skunä våg okså nna m samma fkvns. (Jf avsnitt IV B). E o.
23 9 Dn lktiska fältstykvkton i punktn Q ligg i plant finiat av E oh Q oh vinklätt mot Q. I n givn punkt Q ha skunästålningn n givn polaisationsiktning lativt polaisationsiktningn hos n infallan stålningn. Gnom ytlmntt S Q sin ξξφ Q Ω stömma vi tin t n lktomagntisk ngi p tisnht givn av (jf IV D): ( ) W t ε 4 Q ν z sin Ω ( ) t ν sin ξ 4πε E ä z m ν Tismlvät av W(t) öv n svängningspio T gs av: T ε 4 W W( t) ν z sin ξω T ( 4πε ) Engistömtäthtn, Sin(t), i n infallan lktomagntiska vågn gs av: S in E ( t) ε ( E x B) ε sin ( νt) ε E sin ( νt) Tismlvät av Sin(t) öv n svängningspio T gs av: S in ε E
24 Thomsonspiningstväsnittt angs som kvotn mllan tismlvät av n gnom ymvinkln Ω passan ngin p tisnht oh tismlvät av n infallan ngin p tis- oh ytnht: σ Th W S 4πε m ( ) ξ, φ sin ξ Ω sin ξω in ä n klassiska lktonain (,8-5 m) Dn totala skunät mitta ngin p tisnht p infallan ngi p tis- oh ytnht gs av: σ Th W π π σ Th S in 8π ( ξ, φ ) ξ sin ξ φ (m / lkton) Lägg mäk till att såväl t iffntilla som t totala Thomsonspiningstväsnittt p lkton ä obon av fkvnsn hos n infallan plana lktomagntiska vågn. B. Thomsonspiningstväsnittt fö opolaisa stålning Opolaisa infallan stålning innbä att n lktiska vkton sväng unt i tt plan vinklätt mot utbningsiktningn. Dn lktiska vktons iktning finia alltså int läng n bstäm iktning som vi fallt m polaisa infallan stålning. Välj tt kooinatsystm nligt nan:
25 Obsvationsiktningn Q bstäms av vinklana θ (polavinkln) oh φ (azimutvinkln). Elktiska vkton hos n infallan stålningn kan tänkas sammansatt av två polaisa komponnt m polaisationsiktningana vinklätt mot vaana oh m samma tismlvä av n infallan ngistömtäthtn hos båa komponntna (nligt suppositionspinipn). Välj att göa upplningn längs x- oh y-axln. x-axln bila vinkln ξ m obsvationsiktningn Q oh y-axln bila vinkln ξ m nna. Thomsonspiningstväsnittt fö n opolaisa stålningn hålls å som tt mlvä av tväsnittn fö polaisa stålning ä lktiska vktona bila vinklana ξ spktiv ξ m obsvationsiktningn Q : σ Th (opolaisa stålning) Ω { sin ξ sin ξ } Dt gäll nu att finna sambant mllan ξ oh vinklana θ oh φ spktiv mllan ξ oh vinklana θ oh φ. D atsiska kooinatna (x,y,z) fö punktn Q kan uttykas m hjälp av vinklana θ,φ,ξ oh ξ : x Q sin θ os φ Q os ξ y Q sin θ os φ Q os ξ z Q os θ Q Q Häu fås: Q Q x y z Q ( sin θ os φ sin θ sin φ os θ ) ( os ξ os ξ os θ ) ( sin ξ sin ξ os θ ) Q sin ξ sin ξ os θ os θ sin θ ( os φ sin φ) sin θ os θ Då gäll: σ Th ( opolaisa stålning) Ω ( os θ ) ( m / lkton) Dtta tväsnitt ä obon av azimutvinkln φ. Dt totala Thomsonspiningstväsnittt fö opolaisa stålning bli: σ Th π π π ( opolaisa stålning) ( os θ ) π sinθθ π sinθ θ π π os θ 8π [ osθ ] π ( m /lkton) π os θ sinθ θ
26 Dt totala Thomsonspiningstväsnittt ä tsamma fö opolaisa stålning som fö polaisa stålning. Dtta sultat ä gntlign tivialt ftsom totala Thomsonspiningstväsnittt fö polaisa stålning givtvis ä obon av polaisationsiktningn. Valt av kooinatsystm ä hlt goykligt oh z-axln kan vi polaisa stålning väljas paallll m n lktiska vkton obon av n absoluta iktningn hos nsamma. Vi intgation öv hla ymn fall bont av tt goykligt valt kooinatsystm bot. Rfns:. R.P. Fynman t oll.: "Th Fynman ltus on physis". Vol. I-II. Aison-Wsly Publishing Company (96,964) 97.. W. Hitl: "Th uantum thoy of aiation"... Oxfo (954) 966.
Tentamensskrivning i Mekanik, Del 2 Dynamik för M, Lösningsförslag
Tntamnsskivning i Mkanik Dl Dynamik fö M 558 Lösningsföslag. Låt v btckna kulans fat fö stöt och v kulans fat ft stöt. Låt btckna impulsn fån golvt på kulan. Enligt impulslagn gäll: ( ) : = mv cos mv cos
Läs merLösningar till Problemtentamen
KTH Mkanik 2005 10 17 Mkanik II, 5C1140, M, T, CL 2005 10 17, kl 14.00-18.00 Lösninga till Pobltntan Uppgift 1: Två cylinda d adina spktiv R sitt ihop so n stl kopp. Dn kan ota fitt king n fix hoisontll
Läs merFlervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar läsvecka 3
laiablanals I Vintn Ösikt föläsninga läscka Dt tj kapitlt i ksn bhanla bbl- och tipplintgal. Dn intgaln i känn till fån naiablanalsn b a f kan j ofta ss som aan n f mllan a och b fnktion a tå aiabl och
Läs merLÖSNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 2
LÖNINGR TILL RLEM I KITEL L. Kftn h stolkn. Dss iktning ltivt koodintln ä också känd och givn v vinkln. Kftns - komponnt ä då sin, mdn - komponntn ä cos. Vi kn skiv kftn på vktofom: + sin cos ll komponntfom
Läs merTENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA APRIL 2018
Institutionn fö tillämpad mkanik, Chalms id och plats: Hjälpmdl: ENAMEN I FINI ELEMENMEOD MHA 6 APRIL 8 4 8 i M hust Odböck, lxikon och typgodkänd äkna. Lösninga Läa: Pt Möll, tl (77 55. Bsök sal 5 samt
Läs merlim lim Bestäm A så att g(x) blir kontinuerlig i punkten 2.
Tntamn i Matmatik HF9 7 januai kl 7 Hjälpmdl: Endast omlblad miniäkna ä int tillåtn Fö godkänt kävs poäng av möjliga poäng Btgsgäns: Fö btg A B C D E kävs 9 6 spktiv poäng Dn som uppnått 9 poäng å btgt
Läs merMatematisk statistik
Tntamn TEN HF -- Matmatisk statistik Kuskod HF Skivtid: 8:-: Läa: Amin Halilovic Hjälpmdl: Bifogat fomlhäft "Foml och tabll i statistik " och miniäkna av vilkn typ som hlst. Skiv namn på vaj blad och använd
Läs merSG Armen OA med längden b roterar med en konstant vinkelhastighet
nstitutionn fö Mani Nicholas paidis tl: 79 748 post: nap@ch.th.s hsida: http://www.ch.th.s/~nap/ S4-74 Tntan i S4 Mani 74 BS! nga hjälpdl. Lyca till! Pobl ) Vagnn i figun bosa d n onstant acclation a längs
Läs merHur tror du att det påverkar de politiska besluten? Hur tror du att det påverkar dig?
E N R A P P O R T F R Å N L S U O K TO B E R 2 0 0 9 a n n A ä N a t i n A v bl F oto: P E TT E R C O H E N llt a s g i Om Sv a politik fä ung L S U S V E R I G E S U N G D O M S O R G A N I S AT I O N
Läs merTentamen i SG1140 Mekanik II, OBS! Inga hjälpmedel. Lycka till! Problem
nsttutonn fö Man Ncholas pads tl: 79 78 post: nap@mch.th.s hmsda: http://www.mch.th.s/~nap/ S-85 ntamn S Man, 85 BS! nga hjälpmdl. Lca tll! Poblm ) En hosontll am ' md längdn l ota md n onstant nlhastght
Läs merTentamensskrivning i Mekanik (FMEA30) Del 1 Statik- och partikeldynamik Lösningsförslag ( ) ( ) ( ) ( )
Utgåva Tntansskivning i Mkanik (FMEA30) Dl tatik- och patikldynaik 305 Lösningsföslag. a) Filägg stång + skylt! Infö spännkaftna = och = i linona, tyngdkaftn g = k ( 00g), angipand i skyltns asscnta G
Läs mer16. Spridning av elektromagnetisk strålning
16. Spidning av elektomagnetisk stålning [Jakson 9.6-] Med spidning avses mest allmänt poessen dä stålning antingen av patikel- elle vågnatu) växelveka med något objekt så att dess fotskidningsiktning
Läs merTotala antalet uppgifter: 7 Datum:
Tntamn i: Optik Kus: MTF Totala antalt uppgift: 7 Datum: 5-3-8 xaminato/tfn: Las Bnckt/38 Skiti: 5 timma Jouhaan läa/tfn: Las Bnckt/38 Rsultatt anslås n: snast 5-3-3 Tillåtna hjälpml: FYSKALA, Physics
Läs merI ett område utan elektriska laddningar satisfierar potentialen Laplace ekvation. 2 V(r) = 0
Föeläsning 3 Motsvaa avsnitten 3. 3.2.4, 3.3.2 3.4 i Giffiths Laplace och Poissons ekvation (Kap. 3.) I ett omåde utan elektiska laddninga satisfiea potentialen Laplace ekvation 2 () = 0 och i ett omåde
Läs merTentamen i SG1140 Mekanik II, Inga hjälpmedel förutom: papper, penna, linjal, passare. Lycka till! Problem
Institutionn fö Mani Nicholas paidis tl: 79 748 post: nap@mch.th.s hmsida: http://www.mch.th.s/~nap/ 4-9 ntamn i 4 Mani II, 9 Inga hjälpmdl föutom: papp, pnna, linjal, passa. Lca till! Poblm ) L a En bhålla
Läs merFöreläsning 1. Elektrisk laddning. Coulombs lag. Motsvarar avsnitten 2.12.3 i Griths.
Föeläsning 1 Motsvaa avsnitten 2.12.3 i Giths. Elektisk laddning Två fundamentala begepp: källo och fält. I elektostatiken ä källan den elektiska laddningen och fältet det elektiska fältet. Två natulaga
Läs merTryckkärl (ej eldberörda) Unfired pressure vessels
SVENSK STANAR SS-EN 3445/C:004 Fastställd 004-07-30 Utgåva Trykkärl ( ldbrörda) Unfird prssur vssls ICS 3.00.30 Språk: svnska ublirad: oktobr 004 Copyright SIS. Rprodution in any form without prmission
Läs merMin cykel. 5 Cykelhjälm Det är viktigt att använda cykelhjälm när man cyklar. Men hur ska cykelhjälmen sitta på huvudet för att ge bäst skydd?
Min cykl Sidan Innhåll 4 På väg hm Ands och Osca ha båttom hm. Osca måst lämna matvaona han vait och handlat innan han och Ands kan cykla till täningn. 5 Cyklhjälm Dt ä viktigt att använda cyklhjälm nä
Läs merUPPGIFT 1. F E. v =100m/s F B. v =100m/s B = 0,10 mt d = 0,10 m. F B = q. v. B F E = q. E
UPPGIFT 1. B 0,10 mt d 0,10 m F B q. v. B F E q. E d e + + + + + + + + + + + + + + + + + + F E F B v 100m/s E U / d - - - - - - - - - - - - - - - - - F B F E q v B q U d Magnetfältsiktning inåt anges med
Läs merHittills på kursen: E = hf. Relativitetsteori. vx 2. Lorentztransformationen. Relativistiskt dopplerskift (Rödförskjutning då källa avlägsnar sig)
Förläsning 4: Hittills å kursn: Rlativittstori Ljusastigtn i vakuum dnsamma för alla obsrvatörr Lorntztransformationn x γx vt y y z z vx t γt där γ v 1 1 v 1 0 0 Alla systm i likformig rörls i förålland
Läs merTotala antalet uppgifter: 7 Datum:
Tntamn i: Optik Ku: MTF0 Totala antalt uppgift: 7 Datum: 05-05-07 xaminato/tfn: La Bnckt/38 Skiti: 5 timma Jouaan läa/tfn: La Bnckt/38 Rultatt anlå n: nat 05-05-3 Tillåtna jälpml: FYSKALA, Pyic Hanbook,
Läs merBMW i. Freude am Fahren. BMW i Wallbox. USB uppdateringsanvisning
BMW i Fud am Fahn BMW i Wallbox USB uppdatingsanvisning 5 SV BMW i Wallbox USB uppdatingsanvisning BMW i Wallbox USB uppdatingsanvisning Innhåll 8 Föbda stömladdningsstation Avtagning av höljt Ta av
Läs mer14. Potentialer och fält
4. Potentiale och fält Vågekvationena fö potentialena educeas nu till [Giffiths,RMC] Fö att beäkna stålningen fån kontinueliga laddningsfödelninga och punktladdninga måste deas el- och magnetfält vaa kända.
Läs merFöreläsning 5. Linjära dielektrikum (Kap. 4.4) Elektrostatisk energi (återbesök) (Kap ) Motsvarar avsnitten 4.4, , 8.1.
1 Föeläsning 5 Motsvaa avsnitten 4.4, 5.1 5., 8.1.1 i Giffiths Linjäa dielektikum (Kap. 4.4) Ett dielektikum ä ett mateial dä polaisationen P induceas av ett elektiskt fält. Om det pålagda fältet inte
Läs merUmeå Universitet 2007-12-06 Institutionen för fysik Daniel Eriksson/Leif Hassmyr. Bestämning av e/m e
Umå Univrsitt 2007-12-06 Institutionn för fysik Danil Eriksson/Lif Hassmyr Bstämning av /m 1 Syft Laborationns syft är att g ökad förståls för hur laddad partiklars rörls påvrkas av yttr lktromagntiska
Läs merTentamen i SG1140 Mekanik II, Inga hjälpmedel förutom: papper, penna, linjal, passare. Lycka till!
Institutionn för Mkanik S4-945 ntamn i S4 Mkanik II 945 Inga hjälpmdl förutom: pappr pnna linjal passar. Lcka till! ) A r l 45 o B Problm Radin A md längdn r på tt svänghjul som rotrar md n konstant vinklhastight
Läs merUpp gifter. c. Finns det fler faktorer som gör att saker inte faller på samma sätt i Nairobi som i Sverige.
Upp gifte 1. Mattias och hans vänne bada vid ett hoppton som ä 10,3 m högt. Hu lång tid ta det innan man slå i vattnet om man hoppa akt ne fån tonet?. En boll täffa ibban på ett handbollsmål och studsa
Läs merTentamen i Mekanik I del 1 Statik och partikeldynamik
Tentamen i Mekanik I del Statik och patikeldynamik TMME8 0-0-, kl 4.00-9.00 Tentamenskod: TEN Tentasal: Examinato: Pete Schmidt Tentajou: Pete Schmidt, Tel. 8 7 43, (Besöke salana ca 5.00 och 7.30) Kusadministatö:
Läs merHäng och sväng Hur gör man en mobil?
30 Enkla maskin 31 Enkla maskin Häng och sväng Hu gö man n mobil? Häng och sväng Ovanligt snygg mobil, om jag få säga dt själv. Du bhöv: någa kmtvättsgalga tunt snö avbitatång sak att hänga i mobiln som
Läs merLEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 8. Vi antar först att den givna bromsande kraften F = kx är den enda kraft som påverkar rörelsen och därmed också O
LEDIGAR TILL ROLEM I KAITEL 8 L 8. Vi anta föst att den givna bomsande kaften F = k ä den enda kaft som påveka öesen och dämed också O intängningsdjupet. Men veka ingen kaft i öeseiktningen? Fastän man
Läs mer7 Elektricitet. Laddning
LÖSNNGSFÖSLAG Fysik: Fysik och Kapitel 7 7 Elekticitet Laddning 7. Om en positiv laddning fös mot en neutal ledae komme de i ledaen lättöliga, negativt laddade, elektonena, att attaheas av den positiva
Läs merLösningsförslag till tentamen i 5B1107 Differential- och integralkalkyl II för F1, (x, y) = (0, 0)
Institutionen fö Matematik, KTH, Olle Stomak. Lösningsföslag till tentamen i 5B117 Diffeential- och integalkalkyl II fö F1, 2 4 1. 1. Funktionen f(x, y) = xy x 2 +y 2 (x, y) (, ), (x, y) = (, ) ä snäll
Läs merFlervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar läsvecka 3
levaiabelanals I Vinten 9 Övesikt föeläsninga läsvecka Det teje kapitlet i kusen behanla ubbel- och tippelintegale. Den integalen vi känne till fån envaiabelanalsen, f ( ) b a, kan ju ofta ses som aean
Läs mer(x y) 2 e x2 y 2 da, D. där D är den triangelskiva som har sina hörn i punkterna (0, 0), (0, 2) och (2, 0). dx + y 3 e y dy,
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akadmin för utbildning, kultur och kommunikation Avdlningn för tillämpad matmatik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA8 Diffrntial- och intgralkalkyl III Datum:
Läs mer1 Två stationära lösningar i cylindergeometri
Föeläsning 6. 1 Två stationäa lösninga i cylindegeometi Exempel 6.1 Stömning utanfö en oteande cylinde En mycket lång (oändligt lång) oteande cylinde ä nedsänkt i vatten. Rotationsaxeln ä vetikal, cylindes
Läs mer1 (3k 2)(3k + 1) k=1. 3k 2 + B 3k(A + B)+A 2B =1. A = B 3A =1. 3 (3k 2) 1. k=1 = 1. k=1. = (3k + 1) (n 1) 2 1
Uppgift Visa att srin (3k 2)(3k + ) konvrgrar och bstäm summan Lösning Vi har att a k = (3k 2)(3k+) Vi kan använda partialbråksuppdlning för att skriva om a k : a k = (3k 2)(3k + ) = A 3k 2 + B 3k(A +
Läs merDen kinetiska energin för bilen ges av massan och sluthastigheten enligt
FYSIKTÄVLINGEN Fnaln - o apl LÖSNINGSFÖSLAG SVENSKA FYSIKESAMFNDET. a Dn kompla ablln s u nlg följan T/s Hasg/(m/s Acclaon (m/s Kaf (N Säcka (m Ab (Nm,7 3,,6 8735 8 583 7, 3,6 6 38 5,, 3, 5657 8 5588 7,
Läs merKontinuerliga fördelningar. b), dvs. b ). Om vi låter a b. 1 av 12
KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLERR Allmänt om kontinurliga sv Dfinition En stokastisk variabl kallas kontinurlig om fördlningsfunktionnn ξ är kontinurlig Egnskar av fördlningsfunktion: Fördlningsfunktionn
Läs merMalmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret.
Miljö Malmö stad, Gatukontot, maj 2003 Tafiksäka skolan ä famtagt av Upab i Malmö på uppdag av och i samabt md Malmö stad, Gatukontot. Txt: Run Andbg Illustation: Las Gylldoff Miljö Sidan Innhåll 4 Miljö
Läs merKONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER ( Allmänt om kontinuerliga s.v.)
Kontinurliga fördlningar KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Allmänt om kontinurliga s.v. Dfinition. En stokastisk variabl ξξ. kallas kontinurlig om fördlningsfunktionn FF ξ är kontinurlig. Egnskar: Fördlningsfunktionn
Läs mer2 S. 1. ˆn E 1 ˆn E 2 = 0 (tangentialkomponenten av den elektriska fältstyrkan är alltid kontinuerlig)
1 Föeläsning 11 9.1-9.2.2 i Giffiths Randvillko (Kap. 7.3.6) (Vi vänta till föeläsning 12 med att ta upp andvillkoen. Dä används de fö att bestämma eflektion och tansmission mot halvymd.) De till Maxwells
Läs merPotentialteori Mats Persson
Föeläsning 3/0 Potentilteoi Mts Pesson Bestämning v elektiskt fält Elektosttikens ekvtione: Det elektisk fältet E bestäms v lddningsfödelningen ρ vi Guss sts E d = ρdv elle uttyckt på diffeentilfom V E
Läs merω = θ rörelse i två dimensioner (repetition) y r dt radianer/tidsenhet kaströrelse: a x = 0 a y = -g oberoende rörelse i x- respektive y-led
y@md 7 6 5 4 3 1 öelse i två dimensione (epetition) kastöelse: a x = 0 a y = -g obeoende öelse i x- espektive y-led 10 0 30 kastpaabel x@md likfomig cikulä öelse d ( t) ω = θ dt adiane/tidsenhet y = konst.
Läs merUmeå Universitet HT 2014 Klinisk farmakologi Maria Sjölander. Statistik. en kort sammanfattning
Umå Univsitt HT 2014 Klinisk famakologi Maia Sjölan Statistik n kot sammanfattning Statistisk infns Vi kliniska unsökninga inom micinsk foskning ä t sällan möjligt ll lämpligt att göa n totalunsökning.
Läs merRäkneövning i Termodynamik och statistisk fysik
Räknövning i rmodynamik och statistisk fysik 004--8 Problm En Isingmodll har två spinn md växlvrkansnrginu s s. Ang alla tillstånd samt dras oltzmann-faktorr. räkna systmts partitionsfunktion. ad är sannolikhtn
Läs merarctan x tan x cot x dx dz dx arcsin x x 1 ln x 1 log DERIVERINGSREGLER och några geometriska tillämpningar
DERIVERINGSREGLER och några gomtriska tillämpningar DERIVERINGSREGLER ( f ( ) + g( )) ) + g ( ) ( af ( )) a ) a konstant ( af ( ) + bg( )) a ) + bg ( ) a b konstantr Produktrgln: ( f ( ) g( )) ) g( ) +
Läs merN = p E. F = (p )E(r)
1 Föreläsning 4 Motsvarar avsnitten 4.1 4.4. Kraftvekan på ipoler (Kap. 4.1.3) 1. Vrimoment N på elektrisk elementaripol p: N = p E p vill "ställa in sig" i E:s riktning. Exempel på elektriska ipoler:
Läs merFö. 3: Ytspänning och Vätning. Kap. 2. Gränsytor mellan: vätska gas fast fas vätska fast fas gas (mer i Fö7) fast fas fast fas (vätska vätska)
Fö. 3: Ytspänning och Vätning Kap. 2. Gänsyto mellan: vätska gas fast fas vätska fast fas gas (me i Fö7) fast fas fast fas (vätska vätska) 1 Gänsytan vätska-gas (elle vätska-vätska) Resulteande kaft inåt
Läs merSG enligt figuren. Helikopterns bakre rotor roterar med en konstant vinkelhastighet 1
nstitutionn fö Mani Nichoas paidis och Ei Lindbog hsida: http://www.ch.th.s/~nap/ S4-53 ) ) 3) 4) L b P Tntan i S4 Mani nga hjäpd. Lca ti! Pob En hiopt säa på onstant höjd ö an. Puntn på hioptn ä i ia
Läs merVi börjar med att dela upp konen i ett antal skivor enligt figuren. Tvärsnittsareorna är då cirklar.
3.6 Rotationsvolme Skivmetoden Eempel Hu kan vi beäkna volmen av en kopp med jälp av en integal? Vi visa ett eempel med en kon dä volmen också kan beäknas med fomeln V = π 3 Vi böja med att dela upp konen
Läs merLINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN
LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN Linjär diffrntialkvation (DE) av första ordningn är n DE som kan skrivas på följand form Q( () Formn kallas standard form llr normalisrad form Om Q (
Läs merFINALTÄVLING. 24 april 1999 LÖSNINGSFÖRSLAG SVENSKA FYSIKERSAMFUNDET
FYSIKTÄVLINGEN FINALTÄVLING 4 pil 1999 LÖSNINGSFÖRSLAG SVENSKA FYSIKERSAMFUNDET 1. Dt om cceletionen ge en sttning v bilens effet. Kinetis enegi vid 1 m/h:, MJ. Denn enegi fås på 1 seunde vilet medfö tt
Läs merREDOVISNINGSUPPGIFT I MEKANIK
Chiste Nbeg REDVISNINSUIFT I MEKANIK En civilingenjö skall kunna idealisea ett givet vekligt sstem, göa en adekvat mekanisk modell och behandla modellen med matematiska och numeiska metode I mekaniken
Läs merFöreläsning 5 och 6 Krafter; stark, elektromagnetisk, svag. Kraftförening
Förläsning 5 och 6 Kraftr; stark, lktromagntisk, svag. Kraftförning Partiklfysik introduktion Antimatria, MP 13-1 Fynman diagram Kraftr och växlvrkan, MP 13-2 S ävn http://particladvntur.org/ 1 2 3 Mot
Läs merMatematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic
Tentamen TEN, HF0, juni 0 Matematisk statistik Kuskod HF0 Skivtid: 8:-: Läae och examinato : Amin Halilovic Hjälpmedel: Bifogat fomelhäfte ("Fomle och tabelle i statistik ") och miniäknae av vilken typ
Läs merTENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 22 dec 2016 Skrivtid 8:00-12:00
TENTAMEN Kurs: HF9 Matmatik, momnt TEN anals atum: dc Skrivtid 8:-: Eaminator: Armin Halilovic Rättand lärar: Erik Mlandr, Elias Said, Jonas Stnholm För godkänt btg krävs av ma poäng Btgsgränsr: För btg
Läs merFYSIKTÄVLINGEN KVALIFICERINGS- OCH LAGTÄVLING LÖSNINGSFÖRSLAG. = fn s = fmgs 2. mv 2. s = v 2. π d är kilogrammets.
FYSIKÄVINGEN KVAIFICERINGS- OCH AGÄVING 5 febuai 1998 ÖSNINGSFÖRSAG SVENSKA FYSIKERSAMFUNDE 1. Den vanliga modellen nä en kopp glide på ett undelag ä att man ha en fiktionskaft som ä popotionell mot nomalkaften
Läs merDel 1 Teoridel utan hjälpmedel
Avlningn för Hållfasthtslära Tntamn Linköpings Univrsitt Davi Lönn 010-06-01, kl. 14-18 Dl 1 Toril utan hjälpml 1. Tor, för tta profssor i Hållfasthtslära, numra profssor mritus, har använt n sträva till
Läs merInstuderingsfrågor och övningsuppgifter i vindkraftteknik
Instudingsfgo oh öningsuppgift i indafttni. Hu myt indaft fanns dt i Sig spti äldn nligt snast sstatisti.. Hu myt ha installats oh poduats i Sig hittills i?. Nämn minst t typ a indaft, oh das anändningsomdn,
Läs merINNEHÅLLSFÖRTECKNING. DELARNAS NAMN Delarnas namn... 3 Standardtillbehör... 4 Förvaringsfack... 5 Förlängningsbord... 5
Instuktionsbok 1 DELARNAS NAMN Dlanas namn... 3 Standadtillbhö... 4 Fövaingsfack... 5 Fölängningsbod... 5 FÖRBEREDELSER Ansluta maskinn till vägguttagt... 6 Funktionsknappa... 7 Rgla syhastightn... 8
Läs merGeometrisk optik reflektion och brytning
Geometisk optik eflektion oh bytning Geometisk optik F7 Reflektion oh bytning F8 Avbildning med linse Plana oh buktiga spegla Optiska system F9 Optiska instument Geometisk optik eflektion oh bytning Repetition:
Läs merMagnetiskt fält kring strömförande ledare Kraften på en av de två ledarna ges av
Magnetism Magnetiskt fält king stömföande ledae. Kaften på en av de två ledana ges av F k l ewtons 3:e lag säge att kaften på den anda ledaen ä lika sto men motiktad. Sva: Falskt. Fältets styka ges av
Läs merU U U. Parallellkretsen ger alltså störst ström och då störst effektutveckling i koppartråden. Lampa
FYSIKTÄVLINGEN KVALIFICEINGS- OCH LAGTÄVLING 6 febuai 1997 SVENSKA FYSIKESAMFNDET LÖSNINGSFÖSLAG 1. Seieketsen ge I s + Paallellketsen ge I p + / + I s I p Paallellketsen ge alltså stöst stöm och å stöst
Läs merTentamen i FEM för ingenjörstillämpningar (SE1025) den 3 juni 2010 kl
Tntamn i FEM för ingnjörstillämpningar (SE) dn juni kl. 8-. Rsultat kommr att finnas tillgängligt snast dn juni. Klagomål på rättningn skall vara framförda snast n månad ftr. OBS! Tntand är skldig att
Läs merKapitel 8. Kap.8, Potentialströmning
Kpitel 8 Kp.8, Voticitet (epetition) Hstighetspotentil Stömfunktionen Supeposition Cikultion -dimensionell kopp Kutt-Joukovskis lftkftsteoem Komple potentil Rottionssmmetisk potentilstömning Rottion v
Läs merDen geocentriska världsbilden
Den geocentiska väldsbilden Planetens Mas osition elativt fixstjänona fån /4 till / 985. Ganska komliceat! Defeent Innan Koenikus gällde va den geocentiska väldsbilden gällande. Fö att föklaa de komliceade
Läs mer0 x 1, 0 y 2, 0 z 4. GAUSS DIVERGENSSATS. r r r r. r r k ut ur kroppen
Ain Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR Guss divegenssts GAUSS IVERGESSATS Låt v ett vektofält definied i ett öppet oåde Ω Låt Ω v ett kopkt oåde ed nden so bestå v en elle fle to lödet v vektofält ut u koppen geno
Läs merspänner upp ett underrum U till R 4. Bestäm alla par av tal (r, s) för vilka vektorn (r 3, 1 r, 3, 22 3r + s) tillhör U. Bestäm även en bas i U.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akadmin för utbildning, kultur och kommunikation Avdlningn för tillämpad matmatik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algbra Datum: augusti 04 Skrivtid:
Läs merFöreläsning 1. Metall: joner + gas av klassiska elektroner =1/ ! E = J U = RI = A L R E = J = I/A. 1 2 mv2 th = 3 2 kt. Likafördelningslagen:
Förläsning 1 Eftr lit information och n snabbgnomgång av hla kursn börjad vi md n väldigt kort rptition av några grundbgrpp inom llära. Vi pratad om Ohms lag, och samband mllan ström, spänning och rsistans
Läs merVad är ljus? Fundamental krafter. James Clerk Maxwell. Kapitel 3, Allmänna vågekvationen. Maxwells ekvationer i vakuum FAF260
FA0 Vad ä ljus? FA0 Lunds Univesitet 016 Fundamental kafte FA0 Lunds Univesitet 016 James Clek Maxwell FA0 Lunds Univesitet 016 Gavitatin Elektmagnetism föenades på 1800 talet Staka känkaften Svaga känkaften
Läs merRobin Ekman och Axel Torshage. Hjälpmedel: Miniräknare
Umå univritt Intitutionn för matmatik oh matmatik tatitik Roin Ekman oh Axl Torhag Tntamn i matmatik Introduktion till dikrt matmatik Löningförlag Hjälpmdl: Miniräknar Löningarna kall prntra på tt ådant
Läs merArbetsbok 1 Jämna steg. o, s, m, a, r, i. Elisabeth Marx. Individuell lästräning för elever i förskoleklass och lågstadiet
Abtbk 1 Jämna tg m a p Elabth Max ö,, m, a,, vdull lätänng fö lv föklkla ch lågtadt nnhålötcknng -ljudt 2 -ljudt 8 m-ljudt 20 a-ljudt 29 -ljudt 40 -ljudt 50 Blaga: Lält (1:1 tll 1:8) 63 mpal fö Fölagdgng:
Läs merρ. Farten fås genom integrering av (2):
LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 6 (4-76) LP 6.45 y t Ifö dt tulig kooditsystmt md koodit s = id tid t = då bil stt, och bskto t och ligt figu. s Bgylsillkot ä O x t = s = s = Accltio gs dt llmä uttyckt
Läs merUpp gifter. 3,90 10 W och avståndet till jorden är 1, m. våglängd (nm)
Upp gifte 1. Stålningen i en mikovågsugn ha fekvensen,5 GHz. Vilken våglängd ha stålningen?. Vilka fekvense ha synligt ljus? 3. Synligt ljus täffa ett gitte. Vilka fäge avböjs mest espektive minst?. Bestäm
Läs merLösningar till övningsuppgifter. Impuls och rörelsemängd
Lösninga till övningsuppgifte Impuls och öelsemängd G1.p m v ge 10,4 10 3 m 13 m 800 kg Sva: 800 kg G. p 4 10 3 100 v v 35 m/s Sva: 35 m/s G3. I F t 84 0,5 Ns 1 Ns Sva: 1 Ns G4. p 900. 0 kgm/s 1,8. 10
Läs merGravitation och planetrörelse: Keplers 3 lagar
Gavitation och planetöelse: Keples 3 laga (YF kap. 13.5) Johannes Keple (1571-1630) utgick fån Copenicus heliocentiska väldsbild (1543) och analyseade (1601-1619) data fån Tycho Bahe, vilket esulteade
Läs merSkineffekten. (strömförträngning) i! Skineffekten. Skineffekten. Skineffekten. Skineffekten!
14 15 Stömma alsta magnetfält." Magnetfältet fån en lång ak stömföande tåd: (stömfötängning i B Fältet bilda cikla unt tåden, oienteade enligt högehandsegeln B = i 2" 16 J 17 Stömfötängningen beo av fekvensen
Läs mer10 Dimensionering av balkar med varierande tvärsnitt och krökta balkar
x ap 0 Dimensioneing av balka med 0 Dimensioneing av balka med vaieande tväsnitt oc kökta balka Tabell 0. Allmänna balkfome. Pulpetbalk l Sadelbalk l ap l Kökt balk 'x 'ap 0 x x 0 l/-c/ l/ c/ γ = c/ =
Läs merKap.7 uppgifter ur äldre upplaga
Ka.7 ugifte u älde ulaga 99: 7. Beäkna aean innanfö s.k. asteoidkuvan jj + jyj Absolutbeloen ha till e ekt att, om unkten (a; b) kuvan, så gälle detsamma (a; b) (segelsymmeti m.a.. -aeln), ( a; b) (segelsymmeti
Läs merTFYA16/TEN2. Tentamen Mekanik. 29 mars :00 19:00. Tentamen består av 6 uppgifter som vardera kan ge upp till 4 poäng.
Institutionen fö fysik, kei och biologi (IM) Macus Ekhol TYA16/TEN2 Tentaen Mekanik 29 as 2016 14:00 19:00 Tentaen bestå av 6 uppgifte so vadea kan ge upp till 4 poäng. Lösninga skall vaa välotiveade sat
Läs merTentamen i El- och vågrörelselära, 2014 08 28
Tentamen i El- och vågöelseläa, 04 08 8. Beäknastolekochiktningpådetelektiskafältetipunkten(x,y) = (4,4)cm som osakas av laddningana q = Q i oigo, q = Q i punkten (x,y) = (0,4) cm och q = Q i (x,y) = (0,
Läs merFormelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01
Formelsamling Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Institutionen för elektro- och informationsteknik Lunds tekniska högskola Juni 014 Innehåll 1 Elstatik 1 Likström 4 3 Magnetostatik
Läs merTentamen TMV210 Inledande Diskret Matematik, D1/DI2
Tntamn TMV20 Inldand Diskrt Matmatik, D/DI2 207-2-20 kl. 08.30 2.30 Examinator: Ptr Hgarty, Matmatiska vtnskapr, Chalmrs Tlfonvakt: Ivar Simonsson (alt. Ptr Hgarty), tlfon: 037725325 (alt. 0705705475)
Läs merRotation kring fix axel, cirkelrörelse. Rotation kring fix axel. Stel kropps rotation kring fix axel: kinetisk energi
05--07 otato x axl otato x axl clöls T z H z Töhtsmomt : m z Stl opps otato x axl Stl opps otato x axl: ts axl : ( ) 0 T m m m v v ω v 0 ω m v v ω ω T v a ( ) m Töhtsmomt : m m 3 4 Stl opps otato x axl:
Läs merUppgift 4. (1p) Beräkna volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna. ) vara två krafter som har samma startpunkt
Kontollskivning 8 sep 7 VRSION A Tid: 8:5- Kus: HF6 Linjä algeba och anals (algebadelen) Läae: ik Melande, Nicklas Hjelm, Amin Halilovic aminato: Amin Halilovic Fö godkänt kävs 5 poäng Godkänd KS ge bonus
Läs merRelationsalgebra. Relationsalgebra består av en mängd operatorer som tar en eller två relationer som input och producerar en ny relation som resultat.
Database: Relationsalgeba 2-11 Relationsalgeba Relationsalgeba bestå av en mängd opeatoe som ta en elle två elatione som input och poducea en ny elation som esultat. De fundamentala opeationena ä unäa
Läs merArkitekturell systemförvaltning
Arkitkturll systmförvaltng Mal Norström, På AB och Lköpgs Univrsitt mal.norstrom@pais.s, Svärvägn 3C 182 33 Danry Prsntrat på Sunsvall vcka 42 2009. Sammanfattng Många organisationr har grupprat sa IT-systm
Läs mer24 poäng. betyget Fx. framgår av. av papperet. varje blad.
Kurs: HF93 Matmatik, Momnt TEN (Analys) Datum: 9 januari 5 Skrivtid 3:5 7:5 Eaminator: Armin Halilovic Undrvisand lärar: Elias Said, Jonas Stnholm, Håkan Strömbrg För godkänt btyg krävs av ma poäng. Btygsgränsr:
Läs merTentamen i SG1140 Mekanik II, Hjälpmedel: Papper, penna, linjal. Lycka till! Problem
Institutionn för Mani Nicholas paidis tl: 79 748 post: nap@mch.th.s hmsida: http://www.mch.th.s/~nap/ 4-845 ntamn i 4 Mani II, 845 Hjälpmdl: Pappr, pnna, linjal. Lca till! Problm ) B l r Ett sänghjul md
Läs merFörra föreläsningen. Reglerteknik AK F6. Repetition frekvensanalys. Exempel: experiment på ögats pupill. Frekvenssvar.
Regleteknik AK F6 Föa föeläsningen Nquistskiteiet (stabilitet) Stabilitetsmaginale Amplitud- och fasmaginal. Stabilitet. Rotot 3. Koefficient-villko (Routh-Huwitz) Läsanvisning: Kapitel 6 Repetition fekvensanals
Läs merSEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER
Sparabla diffrntialkvationr SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER En diffrntialkvation DE av första ordningn sägs vara sparabl om dn kan skrivas på d formn P Q llr kvivalnt d P d Q d Dn allmänna lösningn till
Läs merKurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN2 (Analys) Datum: 21 augusti 2015 Skrivtid 8:15 12:15. Examinator: Armin Halilovic Undervisande lärare: Elias Said
Kurs: HF9 Matmatik, Momnt TEN (Anals) atum: augusti 5 Skrivtid 8:5 :5 Eaminator: Armin Halilovic Undrvisand lärar: Elias Said För godkänt btg krävs av ma 4 poäng. Btgsgränsr: För btg A, B, C,, E krävs,
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Tisdagen den 25 maj 2010 klockan 08.30-12.30 i V. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, Lexikon, typgodkänd miniäknae samt en egenhändigt skiven A4 med valfitt
Läs merUndervisande lärare: Fredrik Bergholm, Elias Said, Jonas Stenholm Examinator: Armin Halilovic
Tntamn i Matmatik, HF9, 8 oktobr, kl 5 75 Undrvisand lärar: Frdrik Brgholm, Elias Said, Jonas Stnholm Eaminator: Armin Halilovic Hjälpmdl: Endast utdlat ormlblad (miniräknar är int tillåtn För godkänt
Läs merTENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN
TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF004 TEN 0-0-7 Hjälpmedel: Fomelsamlig med tabelle i statistik oc äkedosa Fullstädiga lösiga efodas till samtliga uppgifte. Lösigaa skall vaa väl motiveade
Läs mer1. Kraftekvationens projektion i plattans normalriktning ger att
MEKANIK KTH Föslag till lösninga vid tentamen i 5C92 Teknisk stömningsläa fö M den 26 augusti 2004. Kaftekvationens pojektion i plattans nomaliktning ge att : F ṁ (0 cos α) F ρv 2 π 4 d2 cos α Med givna
Läs merREKOMMENDATIONER FÖR DIG SOM ARBETAR MED PR OCH MARKNADSFÖRING I SOCIALA MEDIER
REKOMMENDATI ONFÖRDI GSOM ARBETAR MEDPROCHMARKNADSFÖRI NGI BLOGGAR& SOCI ALAMEDI ER Sv gesannons ö A tmat adennapub kat onäs kyddadavupphovs ät t s agena f o m avkop nge annat upphovs ät t s gtf ö f ogandek
Läs mer===================================================
min Halilovic: EXTR ÖVNINGR 1 av 8 vstånsbeäkning VSTÅNDSBERÄKNING ( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERT KOORDINTSYSTEM ) vstånet mellan två punkte Låt = ( x1, och B = ( x, y, z) vaa två punkte i ummet
Läs merFasta tillståndets fysik.
Förläsning 17 Fasta tillståndts fysik. (Fasta ämnn: kristallr, mtallr, halvldar, supraldar) Atomr kan ävn bindas samman till fasta ämnn, huvudsaklign i kristallform där d är ordnad på tt rglbundt sätt.
Läs mer14. Potentialer och fält
4. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast
Läs mer