Förra föreläsningen. Reglerteknik AK F6. Repetition frekvensanalys. Exempel: experiment på ögats pupill. Frekvenssvar.

Transkript

1 Regleteknik AK F6 Föa föeläsningen Nquistskiteiet (stabilitet) Stabilitetsmaginale Amplitud- och fasmaginal. Stabilitet. Rotot 3. Koefficient-villko (Routh-Huwitz) Läsanvisning: Kapitel 6 Repetition fekvensanals Exempel: expeiment på ögats pupill Studea hu sstem eagea på signale i olika fekvensomåden Exempel: Laststöninga mest låga fekvense Mätbus höga fekvense Om sstemet ä linjät så kan man studea svaet fö vaje fekvens sepaat Sinus in sinus ut Kan t.ex. användas fö att ta fam öveföingsfunktione expeimentellt (sstemidentifieing) [L. Stak, 959] Uppepade expeiment fö olika fekvense: Fekvenssva Gain Phase. Expeimental data. Linea model G(s) = sinωt = A sin(ω t+ φ) A = G(iω) φ = ag G(iω) 4 5 Fequenc Linjä modell G(s) =.7 (+.8s) 3 e.s anpassad till data ω: fekvens [ad/s] G(iω): fekvensfunktion G(iω) : amplitud(funktion), föstäkning, magnitud ag G(iω): fas(funktion), fasföskjutning ω = ad/s: u 5 5 t G(iω) = iω + G(iω) = ω + ω = ad/s: u ag G(iω) = actanω ω = 3 ad/s: 5 5 t u 5 5 t ω G(iω) ag G(iω) 45 9

2 Bodediagam Bode Diagam Rita G(iω) och ag G(iω) som funktione av ω Amplitudkuvan G(iω) itas i log-log-skala Faskuvan ag G(iω) itas i log-lin-skala (MATLAB-kommando: bode) Phase (deg) Magnitude (abs) Fequenc (ad/sec) Att skissa/tolka Bodediagam Tpsstem i fomelsamlingen Antag G(s) = G (s)g (s)g 3 (s)... Då log G(iω) = log G (iω) +log G (iω) +log G 3 (iω) +... ag G(iω) = ag G (iω)+ag G (iω)+ag G 3 (iω)+..., +st +st eell pol, eellt nollställe e sl dödtid Bidagen fån G, G, G 3,... addeas i både amplitud- och fasdiagammet ω s + ζω s+ ω komplext polpa Bodediagam fö eell pol elle eellt nollställe Bodediagam fö dödtid G G G(s)=(+sT), +st T= 9 Föstäkning Radiane/s Fas 3 L = 5 L =.7 L = Fekvens [ad/s] En pol i s = böje ne amplitudkuvan och sänke faskuvan T med 9 king ω = ; omvänt fö ett nollställe T Figue: Bodediagam fö G o (s) = e Ls fö L = 5,.7 och. sekunde. ag{g(iω)} = ag{e iω L } = ω L: En dödtid sänke faskuvan men påveka inte amplitudkuvan (OBS! Log-skala på fekvens-axel) Bodediagam fö komplexa pole Nquistdiagam Rita kuvan G(iω) i komplexa talplanet då ω gå fån till. Dela upp öveföingsfunktion i eell och imaginä del! Pincip-figu:.5 Im G(iω) ag G(iω) G(iω) Komplexa pole med liten dämpning ζ ha en sto esonanstopp vid egenfekvensen ω i amplitudkuvan Exempel:.5.5 Re G(iω) G(s) = +s, G(iω) = +iω = + ω i ω + ω Vafö ä detta inte öveföingsfunktionen i figuen ovan?

3 F6.5 Nquist Diagam Imagina Axis.5 Nquistskiteiet (stabilitet) Stabilitetsmaginale Amplitud- och fasmaginal Real Axis Stabilitet fö åtekopplade sstem Stabilitet/instabilitet fö åtekopplade sstem z(t) G (s) Om = z(t) uppstå en självsvängning i ketsen nä btaen slås om. Detta hände om det finns en fekvens ω så att Antag att öppna sstemet G (s) = G R (s)g p (s) ä stabilt = sinωt = G (iω) sin ( ω t+ag G (iω) ) z(t) = G (iω) sin ( ω t+ag G (iω) ) = G (iω) sin ( ω t+ag G (iω)+8 ) G (iω) = och ag G (iω) = 8 Nquistkuvan fö G (s) gå genom punkten +i Nquists stabilitetssats Bode- och Nquistdiagam eplacements G (s) G o (s) OBS! Genom att analsea öppna sstemets öveföingsfunktion L = G o = G R G p Antag att öppna sstemet G (s) sakna pole i höge halvplan. Det slutna sstemet ä asmpotiskt stabilt om punkten ligge till vänste om Nquistkuvan nä den taveseas fån ω = till ω =. Exempel da vi slutsatse om slutna sstemets stabilitet. G cl = L + L = G o +G o Vi ita alltså nästan alltid Bode- och Nquist-diagam fö G o (s) Exempel (fots.) 3e odningens sstem K s()(s+) Stabilitet fö slutna sstemet. i..4 G (iω) = K iω(+iω)(+iω) = Ki( iω)( iω) ω(+ ω )(4+ ω ) = lim G (Re iφ ) = R = Ki( ω 3iω) ω(+ ω )(4+ ω ) 3K (+ ω )(4+ ω ) + i K(ω ) ω(+ ω )(4+ ω ) lim G (e iφ ) = K e iφ G (iω) G (i ) = 3K 3 6 = K 6 Asmptotiskt stabilt om K < 6, instabilt slutet sstem om K > 6. (Med agumentvaiationspincipen kan man konstatea att det bli två pole i höga halvplanet om K > 6.) 3

4 Mini Quiz Antag att G = G inte ha någa pole i höge halvplan. G o I vilka fall ä det enkelt åtekopplade sstemet asmptotiskt stabilit? +G o a) Im G b) Im G Re G Re G Född i Nilsb, Vämland Kaiä i USA Univ. of Noth Dakota Yale Univesit AT&T Bell Laboatoies Te viktiga esultat: Nquists stabilitetssats Johnson Nquist-buset Nquists samplingssats Ha Nquist ( ) c) Im G d) Im G Re G Re G Amplitudmaginal Amplitudmaginalen ange hu mcket föstäkningen kan öka utan att slutna sstemet bli instabilt: Låt ω vaa den minsta fekvens dä ag G (iω ) = 8 Amplitudmaginalen ges av Am = / G (iω ) Öveföingsfunktion fö pocess Nquistkuva: G P (s) = Exempel (s+3.73)()(s+.679) G (ω o) A m Imagina Axis Real Axis Avläsning av amplitudmaginal: Exempel A m =.4 A m = 4 Fasmaginal Fasmaginalen ange hu mcket fasen kan minska utan att slutna sstemet bli instabilt: Låt ω c vaa den minsta fekvens dä G (iω c ) = Fasmaginalen ges av φ m = 8 + ag G (iω c ) Tolkning: Om man eglea sstemet G P med en P-egulato (G R = K) kan föstäkningen vaa max 4 utan att slutna sstemet bli instabilt..8.6 K G P (s).4. φ m G (ω c) Dödtidsmaginal/födöjningsmaginal Dödtidsmaginalen tala om hu lång dödtid L som kan addeas till egleketsen utan att den bli instabil. Antag atteplacements vi ha en ketsöveföingsfunktion G (s) och att vi komplettea denna med öveföingsfunktionen fö en dödtid, e sl. G G n e sl Dödtidsmaginal/födöjningsmaginal Den na ketsöveföingsfunktionen bli då G n (s) = e sl G (s) dä L ä dödtiden. Föstäkningen och fasvidningen fö den na ketsöveföingsfunktionen ges av G n (iω) = G (iω) ag G n (iω) = ag G (iω) ω L Föstäkningen påvekas alltså inte av dödtiden, medan fasvidningen minska. Antag att den uspungliga ketsöveföingsfunktionen G ha skäfekvensen ω c, det vill säga G (iω c ) =, med motsvaande fasmaginal φ m. Eftesom G n ha samma föstäkning som G komme G n också att ha skäfekvensen ω c. Fasmaginalen komme däemot att minska eftesom fasvidningen ha minskat. Den na fasmaginalen bli φ n m = φ m ω c L Om dödtiden ä alltfö lång fösvinne fasmaginalen och det slutna sstemet bli instabilt. 4

5 Amplitud- och fasmaginal i Bodediagammet Robusthet Föstäkning / A m ω c Fö att få ett obust slutet sstem vill man tpiskt ha Fas 5 5 φ m A m [, 6] φ m [45, 6 ] Ju stöe maginale, desto minde känslighet fö modellfel och paametevaiatione ω o 5 Fekvens [ad/s] Agumentvaiationspincipen (Regleteoi-kus) Stabilitet vid åtekoppling Hu många nollställen ha en ationell funktion f(s) ett omåde (t ex höga halvplanet)? π s C ag f(s) = P N Fö att bestämma antalet ötte i höga halvplanet välje vi den slutna kuvan C på följande sätt och titta på funktionens avbildning av kuvan. + G O kuvsegment fö C: C (i) s = iω, ω (, ) Nquistkuvan!! (ii) s = Re iθ, R,θ : π/ π/ (iii) s = iω, ω (, ) (iv) s = e iθ,,θ : π/ π/ Halvcikeln unt oigo undvike singulaitet på anden (t ex om pocess elle egulato ha integatopol: s ). Slutna sstemet G cl = G o +G o ä asmptotiskt stabilt om och endast om alla nollställen till +G o (s) ligge i vänsta halvplanet Agumentvaiationspincipen vid åtekoppling Nquistkiteiet C G (iω) N = Antalet nollställen hos +G (s) innanfö kuvan C P = Antalet pole hos +G (s) innanfö kuvan C = Antalet pole hos G (s) innanfö kuvan C Om G (s) ä stabil (P = ) så ä slutna sstemet[+g (s)] stabilt (N = ) om och endast om Nquistkuvan G(iω) inte omcikla. Skillnaden mellan antalet instabila pole i G (s) och antalet instabila pole i [+G (s)] ä lika med antalet vav som Nquistkuvan gå unt. Agumentvaiationspincipen ge P N = Antalet vav unt oigo hos +G (s), s C = Antalet vav unt hos G (iω), ω R Lab. Modellbgge och design Sammanfattning Hemuppgifte:.,.,.3,.4 På övning: 3., 3.5 Modellbgge (se övning.4) dh = f(h, q) H (s) = b Q(s) dt +st dh b = f(h, h, q) H (s) = dt (+st )(+st ) Q(s) Designbeäkning PI-egleing av öve tanken: Placea pole (övn. 3.) PI-egleing av unde tanken: Placea 3 pole (övn. 3.5) Nquistskiteiet (stabilitet) Stabilitetsmaginale Amplitud- och fasmaginal Nästa föeläsningen - F7. Känslighetsfunktione. Stationäa fel Kunskapskontoll 5

6 Nä intuitionen fallea ä matematiken äddningen I mini quiz om Nquistkiteiet fågades om vilka sstem som blev asmptotiskt stabila unde enkel åtekoppling. Nquist-kuvan till vänste i figuen omcikla ej punkten + i men kosa eella axeln med G o (iω) > så vafö ä det fotfaande stabilt då vi slute loopen? Betakta öppna sstemet (aka slingföstäkning ) G o (s) = 3 s () (s+6) = 3 36 s () (s/6+) Slutna sstemet G cl = G o(s) +G o (s) = 3 s () (s+6) +3 = s () (s+6) s + s+36 s 3 + 3s + 3s+36 Alt: Stabilitet kan undesökas med t ex Routh-Huwitz kiteiet (se Fomelsamling) (i) a = 3 > a = 3 > a 3 = 36 > (ii) a a > a 3 (3 3 = 39 > 36) och slutna sstemet ä däfö asmptotiskt stabilt. Kosningana med negativa eella axeln: G o (iω) = fö ω = och G o (iω) = 4.5 fö ω = 3. Alt: Beäkna pole i matlab» oots([ ]) ans = i i -.83 Alla pole i vänste halvplan 6