LÖSNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 2

Transkript

1 LÖNINGR TILL RLEM I KITEL L. Kftn h stolkn. Dss iktning ltivt koodintln ä också känd och givn v vinkln. Kftns - komponnt ä då sin, mdn - komponntn ä cos. Vi kn skiv kftn på vktofom: + sin cos ll komponntfom (,, 0) sin, cos, 0 Mn ä givn: tn sin 3 5 och cos 3 5 tolkn 800 N ä också givn: F sin N N F cos N 640 N 5 L. 4 3 Kftn h stolkn. Dss iktning ä också känd och givn v vinkln. Kftns -komponnt ä då cos, mdn -komponntn ä sin. Vi kn skiv: + cos sin ll (,, 0) cos, sin, Mn ä givn tolkn 0 kn ä också givn kn kn

2 L.3 Vi vt tt -komponntn v kftn F ä, lltså F F sin 60 F sin F 3 50 mm(0) N I K I 5 TYE -komponntn v kftn F bli F F cos60 F F F 3 L.4 (,, 0) m Vkton mlln och ä (,, 0 ) m - (-3,-, 0 ) m ( 4, 3, 0 ) m Kftns iktning gs v nhtsvkton (-3, -, 0) m ,,,, Kftn i linn h stolkn 50 N. Kftn på spktiv ögl ä 50 ( 4, 3, 0 ) N 0( 4, 3, 0 ) N 5 0 ( 4, 3, 0 ) N

3 L.5 Kftn h smm ngppspunkt. D kn skivs på vktofom F cos 45 sin F 3cos30 + 3sin 30 F3 sin 30 + cos30 Dtt kn också skivs F 3 F F3 + ( ) ll F 3 F 3 + F Kftsummn ä F F F + F + F k ( + + ) ll F Kftsultntn ä dnn kftsumm md ngppspunkt i oigo. Dn kn sätt dt givn kftsstmt. Kftsummn h ingn ngppspunkt!

4 L.6 Tådns längd ä nligt thgos sts + 3 m 3 m Vinkln ä bstämd: m cos 3 3 och sin 3 Kftns komponnt bli då 3 m F F F cos 30 F sin 30 3 N 3 3 N F 30 3 N F 0 3 N

5 L.7 Kll kftsultntns stolk F. Vinkln θ söks. Eftsom α + 05 kn vinkln i figun idntifis. tkt dn gåmkd kfttingln! Kftsultntns stolk fås md cosinusstsn: F cos75 + θ F 5 4cos θ 75 F Vinkln θ kn bstämms md sinusstsn: sin75 sin 45 ( θ) F sin75 sin( 45 θ) F sin75 sin( 45 θ) 5 4cos75 45 θ csin θ 45 csin sin75 5 4cos75 sin75 5 4cos ltntivt kn vinkln θ kn bstämms gnom tt bstämm längdn v sidon ED och E i figun. h längdn 60 θ E D h längdn h längdn θ 60 D tnθ tnθ

6 L.8 ojic nomlkftn N på linjn. Komponntn ä N cosθ. N θ Vinkln ä π. π Vinkln ä π. Vinkln θ kn bstämms md sinusstsn. Mn kn också dikt få cosinus fö vinkln md hjälp v dn und figun cosθ + sin ( + sin ) + ( cos) cosθ + sin 4+ sin + 4sin + cos sin N θ cosθ + sin 5+ 4sin Kftkomponntn bli lltså Ncosθ + sin N 5+ 4sin bsv tt hä ä N dn givn kftn. Dt ä lltså int nhtn nwton som vss.

7 L.9 4 Kftn kn föskjuts längs sin vkningslinj så tt båd ngip i smm punkt, som ä öglns cntum. Kft som h smm ngppspunkt få vktodds till n kftsultnt. 3 Infö tt koodintsstm nligt figun! Kftsultntn ngip i och ä F Fk ( 0,, 0)+ ( 3sin, 3cos, 0) 3sin, + 3cos, 0 Kftsultntns stolk ä F F ( 3sin ) + ( + 3cos) Dnn stolk skll nligt tt v 4 + ( + ) vilkt g kvtionn 3sin 3cos 4 + ( + ) kvd! 3sin 3cos 6 divid md! 9sin cos + cos 6 9( sin + cos )+ cos tigonomtisk ttn 9 + cos cos 3 cos 4 ccos 4 ltntiv lösning: 4 Vi känn t sido i n kft-tingl. Vinkln kn då bstämms md cosinus-stsn: ( 4) ( 3) + ( ) 3 cos π cos π 3 3 cos cos 4

8 L.0 Vkton mlln och ä D 4 m 3 m ( 4,-3,-5) m Dn kn nklst i figun ss som summn F + D + D 5 m F Kftns iktning gs v nhtsvkton 50 ( 4, -3, -5) + ( ) ( 4,-3,-5 ) Kftn ä lltså F F ( 4,-3,-5) N ( 4,-3,-5) N 50 L. 4 m 5 m 5 m F m F 3 m 4 m ( -45 ) m kläpoduktn bli cos kläpoduktn g vinkln mlln två känd vkto. Fö nhtsvkton och fås nämlign cos Vi bstämm föst nhtsvkton. Fö tt s komponntn v vkton kn mn i figun s hu långt mn bhöv gå längs d olik koodintln fö tt komm fån till. (ltntivt bäkns, dvs dg :s koodint fån :s. (-3,, ) m (,, ),, ,,,,,, 4 (-3) ( -45) 3 (-3 + ( -4)+ 5) ccos 3 4

9 L.3 tolkn på vj kft ä känd. Fö tt kunn skiv kftn som vkto böj vi md tt bstämm nhtsvkton i kftns iktning: 9 m 8 m m F 5 m 6 m F 3 F 4 m D (,, ) m ,, (,, ) (,, ) m D (,, ) D m ,, Kftn kn nu skivs som vkto: F F F 340 F ( 9, - 8, - ) N 0( 9, - 8, - ) N 7 40 F (, 3, -6) N 60(, 3, -6) N F D ( - 5, 0, - ) N 30( - 5, 0, - ) N Kftsultntn md självkl ngppspunkt ä då F F + F + F , , N ( 50, 0, 960) N v: Kftsultntn h ngppspunkt och ä F ( 50, 0, 960) N

10 L.4 m Kftns iktning smmnfll md stgt: ( 4, 4, - 7 ) m Enhtsvkton i dnn iktning ä 6 m 4 m 7 m D , 4, , 4, - 7 Kftn kn då skivs 900 ( 4, 4,-7 ) N , 4,-7 N 00 ( 4, 4,-7) N L.5 45 m två kft, som vk på n stl kopp, h vkningslinj som skä vnd i n skäningspunkt, kn d sätts v kftsultntn, som ä kftsummn md ngppspunkt i skäningspunktn. Kftsummn ä F 3 F ( ) ll [ + ( ) ] F N ngppspunktn på dn linj som gå gnom skäningspunktn och h smm iktning som kftsummn F.

11 L.6 ntg tt tådkftns stolk ä. Dn totl kftn i punktn måst v noll. Vi få då fö - och - komponntn: : + sin 0 : cos cos 0 sin Hl sstmt pilbåg+pil påvks v dn tt kftn bkåt i punktn. Vänsthndn måst då g n kft fmåt i punktn. L.7 ntg tt kftn i pn ä och. Kftsummn på ingn ä noll. Vi skiv kftsummns hoisontll och vtikl komponnt: : cos 0 : sin mg 0 D Dn nd kvtionn g mg sin mg Dn föst kvtionn g då mg sin cos mg v: Tådkftn ä sin och mg tn

12 L.8 l α α mg Insättning i kv () g Kftn, som h ngppspunkt i ingn, kn dds till n kftsultnt, som måst v noll. I komponntfom fås : cos cosα 0 () : sin + sinα mg 0 () Ekv () g cos cosα (3) cossinα sin + mg (4) cosα sin cosα + cossinα mg (5) cosα sin + α mgcosα (6) cosα mg sin + α (7) Mn fjädkftn ä nligt Hooks lg k l (8) Fjädns ktull längd bstäms md sinusstsn: l sinα sin π α + [ ] lsinα sin α + (9) sinα Fölängningn ä då l l ( + ) sin α (0) Utnttj nu kv (8), (0) och (7) sinα cosα k l mg sin( α + ) sin( + α) sinα sin α + cosα k l mg sin( α + ) sin( + α) () () mg sinα sin( α + ) kl cosα

13 L.9 Kftns iktning smmnfll md mddigonln som kn skivs som n vkto gnom tt gå omvägn m 4m 3m ll : m (, 4, 3 ) m Enhtsvkton i dnn iktning ä , 4, - 3 9, 4, Kftn kn då skivs 9, 4,-3 N ll N

14 L.0 Dn totl kftn på oskd v tådkftn ä + + Vi bstämm nhtsvkton: 3 4, 0, 0 0, 0, 3 4, 0, Enhtsvkton i dnn iktning ä , 0, , 0, - 3 4, 5, 0 0, 0, 3 4, 5, 3 Enhtsvkton i dnn iktning ä ( 4, 5, - 3 ) ( 4, 5, - 3) Kftn kn då skivs , 5, ( 4, 0, - 3 )+ ( 4, 5, - 3) tolkn v dnn kft ä En nkl ltntiv lösning utnttj figun hä till vänst. Eftsom tådn h smm längd 5 som kntn och måst vinkln mlln tådn v 45. Då fås n nkl gomti fö kfttingln. Kftns stolk bstäms md thgos sts: +( ) 5

15 L. Kftn h smm iktning som kdjn h Vi bstämm föst nhtsvkton: 0, h, 0 cos, sin, b cos, h sin, b b b Mn h och 30 3,, b Enhtsvkton i dnn iktning ä b (- 3,, b) + b (- 3,, b) Kftn kn då skivs + b (- 3,, b)

16 L.3 D 4 D D mg 7 Filägg hlsn! Filäggningsfigun vis tådkftn, nomlkftn N och tngdkftn mg som vk på ingn. Vktosummn v ll dss kft sk v noll. Nomlkftn bhöv int bstämms. Vi välj då tt pojic kftn på stångns iktning. Dtt gö tt nomlkftn ldig komm md i kvtionn. Eftsom tådkftns iktning ä känd u gomtin ä dt b bloppt som sk bstämms. Tådkftn gnom och D skivs som n vkto D DD, dä D ä bloppt v D. stäm föst nhtsvkton D och. 4 4 ( 4, 4, 7) (,, ) D D ( 4, 0, 7) - (,, 7/ ),, 7/ D D D ( 4, 4, 7) 4, 4, å smm sätt fås ( 4, 4, 7) ( 4, 4, 7) , 4, 7 9 ummn v kftns komponnt md vsnd på iktningn skll v noll: I komponntfom: mg 0 D D D D ( mg 9 4, 4, 7 ) ( 4, 4, 7) ( 0, 0, ) ( 4, 4, 7) ( mg ) ) ( ) D mg D mg 7

17 L.4 D D D D D D mg D Filägg ingn D! Filäggningsfigun vis tådkftn som vk på ingn. Vktosummn v ll dss kft sk v noll. Dtt btd t kvtion, n fö vj komponnt, och då kn d t obknt kftns stolk bstämms. Eftsom kftns iktning ä känd u gomtin ä dt b bloppn som sk bstämms. Tådkftn gnom t D och skivs som vkto D DD, dä D ä bloppt v D. stäm föst nhtsvkton i kftns iktning! ( ) ( ) D D 3, 3, 0-0, 0, 4 3, 3, 4 D ( 3, 3, 4) ( 3, 3, 4) D ( ) D ( 3, 3, 4) , 3, 4 å smm sätt fås ( D (,, 4),, ) D D,, D ( 44,, ) D D (, 4, 4) D ,, D ummn v tådkftn D DD, D DD och D DD smt tngdkftn mg skll bli noll: DD + DD + DD mg 0 I komponntfom: 3 D D + D 0 () D D + D 0 ( ) D + D + D mg 0 ( 3) dd () och (): 6 D D Insättning i () g D Insättning i (3) g sulttt D mg 9 6mg ; ; D D D 9mg 7

18 L.6 50 mm(0) N I K I 5 TYE 60 Kftn fån hndn på skiftnckln ä ju i sig n kftsultnt till ll d kft som vk på vj litn dl v kontkttn mlln hnd och nckl. Kftmomntt md vsnd på punktn bäkns nligt M F d Hä ä ( d,, ) 0 0 och F 3,, 0 Insättning g M d 0 0 ( d ) 3 0 0, 0, 3 d M 3 b) Kftmomntt md vsnd på -ln ä Insättning g M M M 3d M 3d Dtt ä komponntn. Dt gå lik b tt sv md vkton: M d 3 Kommnt: Hä utnttj vi d n dfinitionn mst fö tt tän på dm i tt mckt nklt fll. oblmt ä ju så nklt tt mn lik gän äkn md hävm gång kft och sdn ng iktningn motus gnom tt sätt ut nhtsvkton. Hävmn till kftn ä 3 d. Hävmn till -komposntn v kftn ä d. Momntmn till kftn ä vkton.

19 L.7 Kftn h md vsnd på n l gnom n hävm d så tt kftmomntt bli d M d () Dtt momnt skll btkts som n komponnt v n vkto så tt M ( M ) () Vi välj motus som dn positiv iktningn så tt dn övnsstämm md -lns iktning. Minustcknt tl då om tt momntt ä mdus. Motsvnd kftmomnt md vsnd på n l gnom bli M ( d cos ) (3) Hä vld vi tt bstämm hävmn till hl kftn. ltntivt kn mn dl upp kftn i n vtikl och n hoisontll komponnt och dd d kftmomnt som d komponntn g. Vi koll slutlign tt smbndsfomln M M + F gäll. Högldt v smbndsfomln bli [ ] + M + F d sin cos (4) d + cos d cos (5) vilkt nligt ovn övnsstämm md vänstldt M nl (3).

20 L.8 b h α Vi dl föst upp kftn i komposnt, vs hävm ä lätt tt hitt än hävmn till hl kftn ( M ) ( F) ( ) h+ bsin sinα bcos cosα Dtt kn också skivs: [ ] ( + ) M cosα hsinα b coscosα bsin sinα [ ] bcos( α) cosα + hsinα α b α Innnfö klmmn stå lltså hävmn till, dvs vståndt mlln och kftns vkningslinj. Kn du u gomtin s tt hävmn ä dn ätt? D t stäckon i klmmn ä mkd i figun. α h

21 L.9 Kftn dls upp i komposnt. Kftmomntt md vsnd på punktn ä b M F Kftmomntt md vsnd på n l gnom vinklät mot ncklns pln ä ( M ) ( F) sin bcos Vi kn ävn bstämm kftmomntt md n dtminnt: Dt gå också tt sv M F b 0 sin cos 0 bcos + sin motus ftsom då iktningn också fmgå. Momntt ä sin bcos

22 L.30 d Dn vidnd fömågn ä dtsmm som kftmomntt. Dn i figun hoisontll komponntn v kftn h n vkningslinj som gå gnom punktn. Dn dln v kftn bid lltså däfö int till momntt. Dn vtikl kftkomponntn ä cos och h hävmn md vsnd på kugghjults l. Dn g tt kftmomnt cos mdus md vsnd på ln. Dt fågs ft kftmomntt md vsnd på punktn. I dtt fll ä dt dtsmm som momntt md vsnd på ln, lltså M cos Insättning v givn vädn g M Nm M 46. Nm Kommnt: Nä ä kftmomntt md vsnd på n l dtsmm som kftmomntt md vsnd på n punkt på ln? Kftmomntt md vsnd på punktn bäkns nligt M F. m hl dnn vkto ligg längs ln så ä kftmomntt md vsnd på ln dtsmm som kftmomntt md vsnd på punktn på ln. m i dtt poblm kftn hd hft n komposnt i -lns iktning så hd kftmomntt md vsnd på punktn fått n komposnt i dn ngtiv -iktningn. Kftmomntt md vsnd på ln hd dämot int föändts.

23 L.3 vståndt ä. Kftn h lltså n hävm md vsnd på n l gnom. Enligt dfinitionn R fås M F M D Numiskt väd: M 0. 0 Nm 4. 4 Nm Hävmn md vsnd på n l gnom kn bstämms u figuns gomti. vståndt ä dtsmm som vståndt D minus vståndt, dvs hävmn ä Rcos och momntt bli M Rcos Numiskt väd: M Nm Nm Kftmomntt M bli noll fö Rcos 0 Rcos 0 cos R Dtt motsvs v tt kftns vkningslinj gå gnom kontktpunktn. Kommnt: Enligt smbndsfomln skll gäll: M M + Kontoll gän tt dn stämm md d bstämd uttckn på M och M!

24 L.3 d Dn vidnd fömågn ll kftmomntt md vsnd på punktn bäkns nligt M F Infö tt koodintsstm nligt figun! α Hä ä och ( dcos α, dsin α, 0) F sin, cos, 0 Insättning g M dcosα dsinα 0 sin cos 0 ( ) 0, 0, d cosαcos + sinαsin ll md tt känt tigonomtiskt smbnd M d cosαcos + sinαsin M dcos α + I figun kn mn s och idntifi hävmn d cos( α + )till hl kftn. Numiskt väd: M 0. 05cos 60 Nm Nm Kommnt: d Ävn i dtt fll kn vi bstämm kftmomntt gnom tt sök upp ntingn hävmn till dn hoisontll och vtikl kftkomposntn ll också hävmn till hl kftn. α Figun vis hu mn bstämm dtt vstånd mlln och. Dn tvåstukn vinkln ä π. vilkt btd tt hävmn ä d cos( α + )

25 L.36 Tckkftn i stångn ä givn. ntingn bstämm mn hävmn till hl dnn kft, dvs vståndt mlln stång och punktn, ll också dl mn upp kftn i två komposnt och bstämm hävmn till dss. b θ ϕ Dl upp kftn i punktn i två komposnt nligt figu. Dn vtikl komposntn bid j till kftmomntt, ftsom vkningslinjn gå gnom punktn. Då åtstå b tt bstämm hävmn till dn hoisontll komposntn som ä vståndt. Dnn fås md cosinusstsn + b bcos θ ϕ M sinϕ Vinkln ϕ bstäms md sinusstsn: sinϕ sin π θ b sinθ sinϕ b () sin θ cosϕ sin ϕ sin θ b b b () vståndt ä cosθ (3) Då ä b cosϕ cosθ (4) Insättning v () g b sin θ cosθ (5) Kftmomntts stolk ä då hävm gång kft, dvs M b sin sinθ θ cosθ b

26 L.39 m Kftns iktning smmnfll md stgt: ( 4, 4, - 7 ) m Enhtsvkton i dnn iktning ä 6 m 4 m 7 m D , 4, , 4, - 7 Kftn kn då skivs 900 ( 4, 4,-7 ) N , 4,-7 N Kftmomntt md vsnd på oigo bli M dä 0,,7 m M Nm 00-4, 8, - 8 Nm 00 -, 4, - 4 Nm Kftmomntt ä M 00( -, 4, - 4 ) Nm

27 L.40 Kftmomntt md vsnd på punktn bäkns nligt M F () D E Hä ä och, 0, 8 () F (3) Vi måst lltså föst bstämm nhtsvkton. D D 6 3 F Q (4) ( 0, 3, 0), 0, 8 (5), 3, 8 (6) Dnn vkto kn också bstämms gnom tt i figun gå fån till längs koodintln., 3, 8, 3, 8 (7) ( 3,, 8) ( ( ) 3,, 8) 3,, ( ) 74 3,, 8 (8) Kftn på vktofom ä lltså F ( ) (9) Insättning i () g M F , 0, 3 74 M M 4, 0, 3 0, 0,

28 L.44 L F Två kft md smm ngppspunkt kn sätts v kftsummn i smm punkt. Dt ä då kftsultntn mn bstämt, ftsom kftmomntt md vsnd på ngppspunktn int föänds. Dt ä noll fö båd sstmn. D Kftsultntn kn också föskjuts längs sin vkningslinj. Kftsultntns stolk fås md thgos sts: Vinkln md vtikln gs v F L + D tn D L Md d givn numisk vädn fås F N N N F 40 N tn tn

29 L.46 M M d d d Fig. Fig. Fig. 3 Vilkn ä vkn v kftn (blstningn) i punktn? nsätt i punktn två kft md motstt iktning. figu! Idntifi kftpt och sätt dt md tt kftpsmomnt M nligt figu, som vis blstningns vkn i punktn. tolkn v kftpsmomntt ä M d Dt mimlt tillåtn vädt på M ä 300 N. Dt g dn miml blstningn M 300 Nm d m N v: Dn miml blstningn ä 80 kn Kommnt: Figu 3 vill vis tt om mn såg v (filägg) kokn vid, måst mn nsätt tt kftsstm nligt figun fö tt dn vsågd dln fotfnd skll v i jämvikt.

30 L.54 7 Fö tt kunn bstämm kftsultntn, som vi vt ist fö tt pllllkftsstm, bhöv mn vt sultntn i någon punkt t oigo. Fö dt givn kftsstmt ä kftsummn 5 b b b F Fk ( ) 9 () Ingn v kftn kn g något kftmomnt i -iktningn. stäm nu vj kfts kftmomnt, föst md vsnd på -iktningn och sdn md vsnd på -iktningn. ltntivt bäkns vj kftmomnt md n dtminnt. Kftmomntt md vsnd på M F b b 3b k k b + ( + ) () F och M bild tillsmmns sultntn i. Esätt nu dt givn kftsstmt md n kftsultnt. Dnn kftsultnt ä lik md kftsummn F, som dn bstämts. ntg tt dss ngppspunkt ä (,, ). Kftsultntn sk v kvimomnt md dt givn sstmt och då måst dn g lik kftmomnt md vsnd på oigo som dt givn kftsstmt. Ekvtionn bli { F M { (3) n givn (- 38, 9b, 0 ) (4) b b; ; obstämd (5) Kftsultntn ä F 9 md vkningslinjn b; ; obstämd

31 L.6 Dl upp kftn vid i två komposnt n hoisontll och n vtikl. Vi bäkn kftsummn: 3 M F F 3 cos + sin k F cos, sin 3, 0 Vinkln ä givn 30, 3 F, 5, 0 Kftmomntt i oigo bstäms nligt dn llmänn fomln M F + k k l dä dn sist tmn stå fö kftpsmomntn. Hä kn kftns momnt bäkns som hävm gång kft. Riktningn gs v höggln och vi få M sin + cos 3 M 3 30 M M Rsultntn i oigo ä lltså 3 F, 5, 0 ; M 3 M b) Kftsultntn finns ftsom F M. ntg tt kftsultntn h n ngppspunkt som gs v lägvkton (,, ). m dt givn kftsstmt sätts v kftsultntn måst kftmomntt md vsnd på oigo ändå bli dtsmm: F M 3 M , 0, 3 ; 0; obstämd Kftsultntn ä F md n ngppspunkt som ligg på dn ät linjn 3 ; 0; obstämd.

32 L Kftsultntn ä lltid smm vkto som kftsummn. I tt poblm dä kftsultntn ftfågs skll lltså ds ngppspunkt bstämms. Kftsummn bstäms nligt: F F k 3 4 F I vilkn punkt skll dnn kft ngip fö tt kftmomntt i någon punkt t oig sk bli dtsmm som fö dt givn kftsstmt? Kftsultntn bli i så f kvimomnt md dt givn kftsstmt Vi bäkn kftmomntt md vsnd på oigo fö dt givn kftsstmt: M F + k k l dä dn sist tmn stå fö kftpsmomntn. I ställt fö md dtminnt bstäms ksspoduktn som hävm gång kft. Riktningn gs v höggln och vi få + M M 8 ntg tt kftsultntn h n ngppspunkt som gs v lägvkton (,, ). m dt givn kftsstmt sätts v kftsultntn måst kftmomntt md vsnd på oigo v dtsmm: F M ( 0, 0, 8) ( 3 4) 8 ( + ) ; 0 Kftsultntn ä F linjn ( 3+ 8 ) ; 0. 4 md n ngppspunkt som ligg på dn ät

33 L.67 b c Fö dt givn kftsstmt ä kftsummn ll F F F ( 3,, ) k 3 Vid bstämning v kftmomntt md vsnd på kn mn tänk sig tt koodintsstm ' ' 'md oigo i. Kftn g b momnt king '- ln ftsom dn ä pllll md '- ln och vkningslinjn skä ' -ln. Kftn 3 g b momnt king '- ln ftsom dn ä pllll md '- ln och vkningslinjn skä ' -ln. Kftn g b momnt king '- ln ftsom dn ä pllll md '- ln och vkningslinjn skä '-ln. m ngppspunktn ä Q k så bli kftmomntt md vsnd på Rsultntn i punktn ä lltså Kftsultnt ist om M F c + 3 b Q k k F ( 3,, ) M c,, 3b F M 0. kläpoduktn ä hä F M ( 3,, ) c,, 3b F M -3c- + 6b Kftsultntn ist lltså om -3c- + 6b 0.

34 L.68 b c Fö dt givn kftsstmt ä kftsummn F F ll F ( 3,, ) k 3 Vid bstämning v kftmomntt md vsnd på kn nots tt kftn g b momnt king - ln ftsom dn ä pllll md - ln och vkningslinjn skä -ln. Kftmomntt md vsnd på bli. Kftn 3 g ingt md vsnd på vkningslinjn gå gnom. Kftn g ingt momnt md vsnd på -ln ftsom dn ä pllll md -ln. M F b c k k Rsultntn i punktn ä lltså F ( 3,, ) ( ) M b c,, 0 ntg tt kftsummn F ngip i n punkt md lägvkton ( ) Fö tt kftsummn skll kunn sätt ll kft måst dn g smm momnt som d uspunglig kftn. M F,,. b c,, 0 3 ( 3) 0 b c 3

35 L.7 D 4 4 Tådkftn bild tt stålkftsstm, ftsom ll vkningslinj h n skäningspunkt i. Fö tt kunn vktodd kftn måst vi skiv dm som vkto. stäm föst nhtsvkton i vkningslinjns iktning! å smm sätt fås D 4, 8, 4,, 4, 8, 4,, Kftsummn ä ( 0, 8, 6) 0, 8, 6 D D 04,, - 080,, D (,, ) + 4+ ( 0, 4, 3) 0, 4, 3 + F F k 3 D 3 (, 8, 4) D (, 8, 4) D (, 8, 4) (, 8, 4) (,, ) ,, ( ) ,, 5 0, 4, 3 F 9 ( )+ ( )+ 9, 8, ,, 5 0, 4, 3 + ( ) + ( ) (,, ) F, 8, 4 3, 6, 3 0, 8, 6 F Eftsom kftmomntt i ä noll fö stålkftsstmt bstå sultntn i dnn punkt v nbt kftsummn F (,, ). Kftsultntns vkningslinj gå gnom punktn. b) Kftmomntt i punktn fås nklst md smbndsfomln Insättning g M M + F M , 4, 7 Rsultntn i punktn ä F,, ; M 80, 4, 7