Föreläsningar i Mekanik (FMEA30) Del 2: Dynamik. Läsvecka 3
|
|
- Maj Persson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 05 Utgåa 3 Föläsnnga Mkank (FME30) Dl : Dynamk Läscka 3 Momntkatonn (3/0) takta n kopp som påkas a tt systm a ytt kaft och momnt; md kaftsumman n = ( F M P) =... n (.) F = F och momntsumman (m a p punktn ) nödändgt llko fö att koppn skall bfnna sg (statsk) jämkt ä då n M = F + M. Ett P = F = 0 M = 0 (.) M P P F Fgu. Kopp öls. Fö n kopp öls (ll la) gäll kaftkatonn F = a m = G G (.3) dä a G btckna acclatonn hos koppns masscntum G m btckna koppns massa och G dss ölsmängd. Ekaton (.3) ld tll jämktskatonn (.) ftsom dt d jämkt gäll att a = G 0. Fågan ä då om dt fnns någon motsaght tll kaftkatonn då dt gäll jämktskatonn (.). Sat på fågan ä Ja dt fnns och katonn kallas momntkatonn och dn sks
2 05 Utgåa 3 M = H (.4) dä ä n fxpunkt ummt. Vkton H = H () kallas koppns ölsmängdsmomnt och dfnas nlgt t H = dm P P P (.5) P P G P Fgu. Rölsmängdsmomntt fö n kopp. (.4) följ att M = 0 H = 0 H = konstant kto (.6) Dtta kallas ölsmängdsmomntts baand och nnbä att om momntsumman ä lka md nollkton så gäll att H ( t ) = H ( t ) fö alla tdpunkt t t. m anta att n komponnt a momntkton ä noll t. x. Mz = k M = 0 då följ att Hz = konstant. Fö n patkl md massan m lägskton och hastghtn gäll att H = m (.7) Låt jk aa n HN-bas och = x+ jy+ k z = x + jy + k z. Då gäll att j k H = m = x y z = ( y z ) m + j( z x ) m + k ( x y ) m z y x z y x x y z d s
3 05 Utgåa 3 Hx = ( yz zy) m Hy = ( zx xz) m Hz = ( xy yx) m (.8) Fgu.3 Rölsmängdsmomntt fö n patkl. I plan öls ( xy -plant) gäll att z = 0 och z = 0 och dämd ducas (3.6) tll Hx = 0 H = 0 y z= y x H ( x y ) m (.9) Momntkatonn kan då skas Mx = H x = 0 My = H y = 0 d Mz = H z = ( xy yx) m = ( xay yax) m dt dä ax = x och ay = y. Ekatonna (.3) och (.4) ä pmät obond llko. Fö spcalfallt patklöls ä dtta dock nt fallt. V ha nämlgn nlgt (.7) H = m+ m= m+ F = F = M Fö patklöls gäll sålds att momntkatonn ä n konskns a kaftkatonn. Ekatonna (.3) och (.4) ä sålds dtta fall nt obond. Momntkatonn tllfö ngt äsntlgt nytt! Dt hnda dock nt att momntkatonn fö n patkl kan aa anändba d lösnng a ssa poblm. 3
4 05 Utgåa 3 Poblm 3/40 small 0. kg patcl s gn a locty of ms on th hozontal xy -plan and s gudd by th fxd cud al. Fcton s nglgbl. s th patcl cosss th y -axs at ts locty s n th x -dcton and as t cosss th x -axs at ts locty maks a 60 angl wth th x -axs. Th adus of cuatu of th path at s 500mm. Dtmn th tm at of chang of th angula momntum H z of th patcl at both and. Fgu.4 Poblm 3/40. Lösnng: Flägg patkln. Momntkatonn g M = H. I läg gäll att M = N = 0 H = 0 N j N d = 0. 3sn 30 n ρ C : köknngscntum Fgu.5 Poblm 3/40 Lösnng. 4
5 05 Utgåa 3 Rölsmängdsmomntt läg ä H = m dä. = j 0 m m = 0. kg. Sålds 0m. ms H = j 0kg. = k ( 004kgm. s ). = ms och I läg gäll att M = N dä = 0. 3m och N = ( ( cos 30 + ) j ( sn 30 )) N och dämd M = 0. 3 ( ( cos 30 ) + j( sn 30 )) N = k( 0. 3N sn 30 ) H = k( 0. 3N sn 30 ) Nomalkaftn N bäknas gnom att utnyttja kaftkatonn ( natulga koodnat): ( n ld): N = m 0. 08N. ρ = 05. = Dtta g H = k( sn 30 ) = k( 0. kgm s ). Exmpl. Th smpl pndulum of mass m and lngth l s lasd fom st at = 0. Usng only th pncpl of angula mpuls and momntum dtmn th xpsson fo n tms of and th locty of th pndulum at = 90. Compa ths appoach wth a soluton by th wokngy pncpl. Fgu.6 Exmpl.. Lösnng: Flägg pndln. Infoga tyngdkaft och aktonskaft upphängnngspunktn. V j mg H = l Fgu.7 Exmpl. Lösnng. 5
6 05 Utgåa 3 D ytt kaftnas momnt gs a M = mgl cos. Pndln ha ölsmängdsmomntt Hz lm l m = =. Momntkatonn Mz = H z g z d g d g mgl cos = ( l m) = l m = cos = cos dt l d l g g d = cosd = sn l l 0 0 Sålds ( 90 ) = g g och dämd = l = l = l l gl. Lös poblmt md hjälp a ngsatsn! Exmpl. V btakta ölsn hos n satllt kng jodn. ntag att satlltn S ha massan m och att jodn ha massan m. Dn kaft som ka på satlltn gs nlgt Nwton s gatatonslag a ( = S = och =. Punktn ä jodns masscntum) mm mm F = G = ( G ) (.0) 3 3 dä G = m kg s ä dn unslla gatatonskonstantn. F S Fgu.8 Exmpl. Kaftkatonn g: 6
7 05 Utgåa 3 mm F = ( G ) = a m (.) Momntkatonn g mm Μ = F = ( G ) = 0 = H H = konstant kto = kh (.) dä k ä n (tdsobond) nhtskto och H = 0. V anta att H 0. Enlgt (.7) så gäll att m= k H (.3) m dtta följ att k = = 0 d s kton ä nklät mot k lkt btyd att H satlltn ö sg tt plan gnom md nomalkton k. V ha sålds plan öls. m utnyttja cylndkoodnat så gäll att z = 0 och satlltns hastght och acclatonn gs då a = + a = ( ) + ( + ) (.4) dtta följ att m= ( + ) m= k m och dämd nlgt (.3) H m = H = konstant = m (.5) Kaftkatonn (.) g mm ( G ) = ( ( ) + ( )) m + (.6) lkt ä kalnt md ( kan fökota bot satlltns massa m ) m G = 0 = + (.7) bsa att om > 0 så gäll att (.7) ä kalnt md (.5). m kombna katonna (.7) och (.5) så hålls dffntalkatonn m H m H G = + G = 0 (.8) 4 3 m m m H > 0 så gäll nlgt (.5) att > 0 och kan då ska = ( ). m nu nfö 7
8 05 Utgåa 3 aabln u( ) = så kan man sa att (.8) mdfö att u satsfa dffntalkatonn: ( ) Gm m du u d + = H som ha (dn allmänna) lösnngn Gmm u = u( ) = = Ccos( + δ) + ( ) H dä C och δ ä ntgatonskonstant. m älj δ = 0 och p ( ) = = Gmm + cos cos + c H C = så gäll att c dä H p = och Gm m ll hypbl. Dt gäll att ng som ä n ölskonstant. p =. Dtta ä katonn fö n käglsnttskua d s n llps paabl c EH = + dä Gmm 3 mm E = m G ä satlltns mkanska Fgu.9 Exmpl.. 8
9 05 Utgåa 3 m < och md p= a ( ) så gäll att a ( ) ( ) = (.9) + cos lkt motsaa n llps. V ha = 0 ( ) = a ( ) och = ( π ) = a ( + ) s Fgu. oan! P Talt < kallas llpsns xcntctt = 0 g n ckl = g n paabl och > g n hypbl. Dt gäll att och dämd Gmm E = ( ) H 3 Gmm 0 < E < 0 = E = 0 > E > 0 3 H Sammanfattnng (Rölskaton) Fö alla koppa öls gäll: dä ä n fx punkt och F = a m = G G M = H n F = F = n M = F + M P = G = dm = m P P G H = dm P P P I plan patkl-öls: Mx = H x = 0 My = H y = 0 d Mz = H z = ( xy yx) m = ( xay yax) m dt 9
10 05 Utgåa 3 Föläsnng : Stla koppns knmatk allmänt (5/-5/3) gppt stl kopp ä a gundläggand btydls mkankn. En stl kopp kan und nga som hlst omständght dfomas d s föända sn fom. astt lka kaft som ka på koppn så ä koppns fom ntakt. En stl kopp ö sg ummt gnom tanslaton och otaton a koppn som hlht. Dtta nnbä att aståndt mllan tå punkt lka som hlst koppn alltd ä dtsamma d s aståndt ä tdsobond. Vklga matlla koppa t x masknkonstukton ä nt stla stkt mnng. Än tt kugghjul a stål som ngå n tansmsson föända sn fom und blastnng. I ssa fall kan man fösumma dnna fomföändng och btakta kugghjult som stlt. Dtta fönkla allmänht analysn a kugghjults öls högst äsntlgt. V ska dnna kus studa plan öls hos stla koppa. Plan öls nnbä att hastghtsktona fö alla punkt koppn ä paalllla md tt plan ölsplant. Man kan göa n natulg ndlnng a möjlghtna fö plan öls hos stl kopp guppna: Tanslatonsöls (ätlnjg och koklnjg) otaton kng fx axl allmän plan öls. S fgun ndan! Fgu. Stl kopps plana öls Nä n kopp tanslatas så föflyttas aj punkt koppn på samma sätt md n tanslatonskto u nlgt fgun ndan. m dn matlla punktn ha lägskton fö tanslatonn så ha dn lägskton + u ft tanslatonn. m ä n annan punkt koppn så komm då kton tanslatats (paallllföflyttats). att aa dnsamma fö som ft tanslatonn. Dn ha 0
11 05 Utgåa 3 u u Fgu. Tanslaton. Nä n kopp otas kng n axl ( k ) dä k ä n nhtskto nklät mot ölsplant så föflyttas aj punkt på så sätt att punktn lgg stlla och kton ds n nkl ϕ nlgt fgun ndan. ϕ k j 0 ϕ 0 Fgu.3 Rotaton. Låt 0 btckna kton mllan och fö otatonn och låt btckna dnna kto ft otatonn. S fgun oan. I HN-basn ( j k ) gäll då att 0 = cos( 0 ) + j sn( 0 ) = cos + j sn ( ( ( ( x0 y0 x y dä = = och ϕ = 0 +. Sålds 0 = ( cos( ϕ ) + ϕsn( ϕ )) = ( (cosϕcos + snϕsn ) + ϕ (snϕcos cosϕ snϕ cos( 0) cosϕ snϕ x0 cosϕsn 0 )) = ( ϕ) = ( ϕ ) snϕ cosϕ sn( 0) snϕ cosϕ y0
12 05 Utgåa 3 Sålds x cosϕ snϕ x0 = y snϕ cosϕ y0 (.) lkt g sambandt mllan koodnatna fö kton fö och ft otatonn. Matsn cosϕ snϕ R = snϕ cosϕ ä n otogonal mats d s R R T =. V kan då ska x0 x cosϕ snϕ x = R y = 0 y snϕ cosϕ y (.) ntag nu att otatonn ä n funkton a tdn d s cos ϕ() t sn ϕ() t R= Rt () = sn ϕ() t cos ϕ() t dä ϕ = ϕ() t g otatonsnklns tdbond. Vktons tdsbond gs då a cosϕ snϕ x0 = () t = ( ϕ ) sn ϕ cos ϕ y (.3) 0 Tdsdatan a gs a d d cos ϕ ( sn ϕ) d cosϕ snϕ x0 dt dt x0 ( t) = ( ϕ) = ( ϕ) = dt snϕ cosϕ y0 d d y0 snϕ cosϕ dt dt snϕ cosϕ x0 snϕ cosϕ cosϕ snϕ x ( ϕ) ϕ = ( ϕ) ϕ cosϕ snϕ y = 0 cosϕ snϕ snϕ cosϕ y ( ϕ 0 x y ) ϕ = ( ) ϕ = ( ϕy) + ϕx= ϕ = 0 y ϕ x ϕ k ω dä utnyttjat sambandt (.). Vkton ω= k ϕ kallas otatonns nklhastght. Sålds = ω (.4) En allmän stlkoppsföflyttnng gs a n kombnaton a n tanslaton och n otaton nlgt
13 05 Utgåa 3 Fgu.4 ndan. Föst gs koppn n tanslaton md kton u och däft ds koppn kng axln ( k ) n nkl ϕ. bsa att otatonsnkln ϕ ä ntydgt bstämd mn dämot nt tanslatonn. Fö att komma fån tt läg tll tt annat så kan man ställt älja att tanslata koppn md kton u md n påföljand otaton nkln ϕ kng axln ( k ). u ϕ ϕ ϕ u Fgu.4 llmän plan stlkoppsöls Fgu.5 En maskn plan öls. I dnna kus studa huudsaklgn plan öls. V komm mlltd att nlda md att dosa n dl samband och katon som gäll fö allmän tdmnsonll öls. Spcalsngn tll plan öls g då n natulg motng fö d katon som gäll dtta fall. 3
14 05 Utgåa 3 V böja md att pta cklöls fö n patkl. En patkl P ö sg n cklbana md adn R. V nfö cylnd-koodnat ( z) så att bankuan gs a = R z = 0. Dtta nnbä att bankuan lgg xy -plant. Dt gäll att = och dämd Cklölsns nklhastght dfnas a R = = R a = R + ( R ) (.5) ω= (.6) Dt gäll att = cos + j sn och dämd = ( sn ) + j cos =. Dtta g ω= = = k (.7) dtta följ att ω = k R R = =. Patklns hastght kan sålds skas = ω (.8) j a P Fgu.6 Cklöls plant. ntag nu att cklölsn sk tt plan md nomalkton n ( nn =) nlgt ndanstånd fgu. Låt C btckna cklns cntum. ntag att C = n c. Md ω= n ω dä ω = hålls ω = ω ( + ) = nω ( nc + ) = ω = (.9) C CP CP CP ds. sambandt (.8) gäll än dtta fall. Dt följ att patklns fat gs a = = ω = ωsn β = ω R= R 4
15 05 Utgåa 3 ω C CP C β P P Fgu.7 Cklöls ummt. Patklns acclaton kan nu bäknas gnom dkt daton a (.8) a = = ω + ω = ω + ω ( ω ) (.0) dä utnyttjat sambandt (.8) yttlga n gång. Lmma Låt b= b () t aa n tdsbond kto md konstant längd d s d b = 0. Då gäll dt d b d( bb ) 0= = = bb (.) dt dt d s bb = 0 b b. Dt xsta då n nklhastghtskto ω= ω () t sådan att b = ω b (.) Dnna nklhastghtskto ä nt ntydgt bstämd. Tå kto ω and ω som uppfyll (.) ä latad gnom ω = ω+ λb dä λ = λ() t ä n skalääd funkton. s: Fö ntydghtn antag att b = ω b and b = ω b. Då gäll att ( ω ) ω b= 0och b b följaktlgn ω = ω+ λb. Fö xstnsn älj ω =. Då gäll bb ( b b ) bb b bb b ω b= b= = b bb bb dä ha utnyttjat (.). 5
16 05 Utgåa 3 Vaj tdsbond kto b= b () t md konstant längd ha sålds n nklhastghtkto ω= ω () t sådan att b = ω b. ntag nu att ha n tdsbond HN-bas ( ). Vaj 3 kto = () t ha då nlgt oan n nklhastghtskto ω = ω () t sådan att = ω. Dt sa sg då att dt måst gälla att ω = ω = ω3 = ω dä ω kallas basns nklhastght. V ha nämlgn följand Sats (Eul-Possons hastghtsfoml) Låt ( 3) aa n HN-bas dä = () t = 3. Då xsta n ntydgt bstämd nklhastghtskto ω= ω () t sådan att Vnklhastghtskton kan skas = ω = 3 (.3) 3 ω= = ω 3 Fgu.8 HN-bas och dss nklhastght. s: ( ökus kan föbgås) Enlgt lmmat oan xsta ω ω and ω 3 sådana att = ω dä och λ = λ (). ntag att t ω= + λ = 3 dä 3 ω = ω = 3 (.4) k k k= ω k = k ω = k ( + λ) = k + λk = sgn( j k) j k j (.5) om ( j k) ä n jämn pmutaton a ( 3) sgn( j k) = om ( j k) ä n udda pmutaton a ( 3) 6
17 05 Utgåa 3 Dt gäll att = δ ω + ω = 0 ( ω ω ) = sgn( j k)( ω ω ) = j j j j j j j j k sgn( j k)( ωk ωjk ) = 0 j k. Sålds ωk = ωjk j k och kan ska ω = ω + ω + ω = ω + ω + ω + ( ω ω ) = ω+ ( ω ω ) ω = ω + ω + ω = ω + ω + ω + ( ω ω ) = ω+ ( ω ω ) ω = ω + ω + ω = ω + ω + ω + ( ω ω ) = ω+ ( ω ω ) dä nlgt (3.4)-(3.5) ω= ω + ω + ω = ( ) + ( ) + ( ). Dt följ att = ω. Rpsntatonn (3.) gäll ftsom = ( + 3 3) = ( 3 3) = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 = Entydghtn följ a följand agumnt. m = ω and = ω då ha nlg lmmat oan ω ω = µ = µ = µ 3 3 fö någa lläda funkton µ = µ ( t ) µ = µ ( t) µ = µ (). Mn då följ att µ () t = µ () t = µ () t = 0 t och dämd ω ω = t 3 takta n kopp. Låt aa tå godtycklga matlla punkt koppn as öls gs a = () och = (). takta dn lata lägskton t t Koppn sägs aa stl om dt gäll att = () t = () t () t d dt ( ) t = 0 (.6) ds. om aståndt mllan tå godtycklgt alda punkt koppn ä konstant (tdsobond) aj öls fö koppn. Vllkot (.6) ä kalnt md ll d ( () t ()) t = 0 (.7) dt () t () t = 0 (.8) 7
18 05 Utgåa 3 Fgu.9 En stl kopp. Låt nu ( 3) aa n högontad otonomad bas (HN-bas) som ä fx (mdföljand) koppn. V kan då ska () t = () tx+ () tx+ () tx (.9) 3 3 dä x x och x 3 ä konstant (komponntna fö kton basn ( 3) ). ω 3 Fgu.0 Mdföljand HN-bas. V ha dt gomtska sambandt = + och dämd om da m a p tdn så hålls hastghtssambandt = + (.0) dä ä hastghtn hos och ä hastghtn hos. Fö hastghtn hos dn lata lägskton gäll nlgt (.9) 8
19 05 Utgåa 3 = x + x + x = ω x + ω x + ω x = ω ( x + x + x ) = ω (.) dä utnyttjat Eul-Possons hastghtsfoml = ω = 3. V ha alltså dt ktga sambandt (sambandfomln fö hastght hos n stl kopp) = + ω (.) Vkton ω som ä nklhastghtskto fö HN-basn ( 3) kallas koppns nklhastghtskto. En stl kopps hastghtsfält gs då a P = + ω P P (.3) dä ä n (godtycklgt) ald baspunkt koppn. I Läobokn ( Dynamcs ) gs dn anda tmn katonn (.3) oan btcknngn P/ = ω P lkt uttyck punktns P hastght latt. Dtta kan uppfatta som otatonshastghtn fö P latt baspunktn. Koppn ota momntant kng axln ( n ) dä n = ω och md otatonshastghtn ω = ω 0. Dt allmänna ω hastghtsfältt fö n stl kopp bstå a n tanslatonshastght och n otatonshastght = ω. Hastghtfältt ä sålds bstämt a ktona och ω. P/ P ω ω P P P P P P Fgu. Stl kopps hastghtsfält. bsa att tanslatonshastghtn bo på alt a baspunkt. I foml (.3) ä punktn baspunkt. m älj som baspunkt gäll ställt P = + ω P P (.4) bsa också att nklhastghtskton ω ä obond a baspunkt lkt nnbä att dn stla koppn ota kng alla sna punkt md samma nklhastght. 9
20 05 Utgåa 3 m ω() t = 0 sägs koppn ha n n tanslatonshastght d tdpunktn t. Då gäll att P = = = P (.5) P Fgu. Tanslatonshastght. m () t = 0 sägs koppn ha n n otatonshastght kng punktn d tdpunktn t d s = ω (.6) Fgu.3 Rotatonshastght. Md utgångspunkt fån sambandfomln fö hastght (.3) kan hälda motsaand sambandsfoml fö acclaton. V da sambandsfomln fö hastght = + ω a = a + ω + ω = a + ω + ω ( ω ) (.7) dä utnyttjat (.7) d s = ω dä α = ω ä koppns nklacclaton.. V ha då hållt sambandsfomln fö acclaton a = a + α + ω ( ω ) (.8) ω 0
21 05 Utgåa 3 I Läobokn ( Dynamcs ) gs d tå ssta tmna katonn (.8) oan btcknngn a/ = α + ω ( ω ) lkt uttyck punktns acclaton latt. En stl kopps acclatonsfält gs då a ap = a + a/ = a + α P + ω ( ω P ) P (.9) dä ä n (godtycklgt) ald baspunkt koppn. Fgu.4 Stl kopps acclatonsfält. Exmpl. Th ccula dsk otats wth a constant angula locty ω = 40ads about ts axs whch s nclnd n th y-z-plan at th angl = actan 3. Dtmn th cto xpssons fo th 4 locty and acclaton of pont P whos poston cto at th nstant shown s = m + j0. 400m + k ( m) Fgu.5 Exmpl..
22 05 Utgåa Lösnng: Rotatonsaxlns ktnngskto n= j + k och koppns nklhastghtskto 5 5 ω= nω = n40ads = j4ads + k 3ads. Koppns nklacclatonskto α = 0. Välj som baspunkt. Dt gäll att = 0 a = 0 och dämd nlgt (.) och (.7) P = + ω = ω = ( j4 + k3) ( j k ( )) = j k = ( 0ms ) + jms + k ( 9ms ) och j k ap = a + α + ω ( ω ) = ω ( ω ) = ω P = = 0 9 ( 600ms ) + j( 640ms ) + k ( 480ms ) Föläsnng 3: Spcalsng tll plan öls: (5/3-5/4) Dn stla koppn sägs utföa n plan öls om dt xsta n konstant kto k ( k k =) nomalkton tll ölsplant så att k P = 0 P. Dtta g nlgt (.) att 0= k P = k + k ω P = k ω P = k ω P P lkt nnbä att k ω= 0 ω= k ω. Vnklhastghtskton d plan öls ä sålds nklät mot ölsplant d s ölsplant ä paallllt md x-y-plant. Hastghtssambandt d plan öls g: = + ω = + kω = + ω dä =. Vnklacclatonn d plan öls gs a α = ω = k ω. cclatonssambandt kan då skas a ( ) ( ) ( = a + α + ω ω = a + k ω + kω kω = a + ω + ω ) Sålds gäll d plan öls följand sambandsfoml: = + ω a = a + + ( ω ) (3.) ω m anänd basktona höand tll dt natulga koodnatsystmt gäll = + ω a = a + ω + ω t (3.) t n Dä t = och n =. I Läobokn ( Dynamcs ) sks dssa samband
23 05 Utgåa 3 = + a = a + a+ a (3.3) t t t t n n dä t = ω at a = α = ω och a n = ω. j ω = ω / k Fgu 3. Hastghtssambandt d plan öls. Exmpl 3. Th squa plat otats about th fxd pot. t th nstant psntd n th fgu blow ts angula locty s ω = 6ads and ts angula acclaton s a = 4ads n th dcton shown n th fgu. Dtmn th locty and acclaton of (a) pont and (b) pont. Fgu 3. Exmpl 3.. Lösnng: Plattans nklhastghtskto ω= k ω dä ω = 6ads och nklacclatonskto α = k α dä a = 4ads. (a) Välj som baspunkt. Dt gäll att = 0 a = 0 och nlgt (.) = + ω = ω dä = j lkt g = ω = k( 6) j = 0. 7ms 3 Vda gäll nlgt (.7) att a = a + α + ω ( ω ) = α + ω ( ω ) lkt g a = k4 j k( 6) ( k( 6) j0. 045) = ( 0. 8) + k( 6) 0. 7 =
24 05 Utgåa 3 ( 0. 8ms ) + j (. 6ms ) (b) Välj som baspunkt. Då gäll att = ( 0. 03) och nlgt (.) och (.7) hålls = + ω = 0. 7ms + k( 6) ( ) = 0. 7ms + j 0. 8ms a = a + α + ω ( ω ) = ( 0. 8ms ) + j(. 6ms ) + k4 ( ) + k( 6) ( k( 6) ( )) = ms + j (. 74ms ) Poblm 5/6 Th two V-blt pullys fom an ntgal unt and otat about a fxd axs at. t a ctan nstant pont on th blt of th small pully has a locty =. 5ms and a pont on th blt of th lag pully has an acclaton a = 45ms as shown. Fo ths nstant dtmn th magntud of th acclaton a C of pont C and sktch th acclaton-cto n you soluton. Fgu 3.3 Poblm 5/6. Lösnng: S Fgu 3.4 ndan! Låt ωα btckna mskonas nklhastght och 50 nklacclaton spkt. Då gäll = ω =. 5ms dä = mm = m samt. 5ms a = a = 45ms dä = 0. 36m. Dtta g ω = = 0ads och m 45ms a = =. 5ads. Då gäll nlgt (3.3) att 0. 4m a = a + a + a C t t n n dä a = 0... a = a = 5ads 0 36m = 40 5ms och a = ω = ( 0ads ) 0. 36m t C = 44ms och dämd a = a + a = a = 40. 5ms + 44ms. C t t n n C t n n C 4
25 05 Utgåa 3 E D ωα n a C Fgu 3.4 Lösnng 5/6. t Rölsn hos plana mkansm: V komm dtta asntt att studa ölsn hos plana mkansm d s systm a stla koppa som ä sammankopplad md ld (gångjän olut jont ). Uppgftn ä att bstämma ölstllståndt d s nklhastght ω och nklacclatonn α hos d systmt ngånd stla dlana. takta n mkansm nlgt ndanstånd fgu bstånd a tå stla koppa och. Koppana ä föbundna md n ld punktn. Koppn ä föbundn md tt fxt fundamnt a n ld. Punktn kan ndast öa sg y-ld. Koppn ha dt aktulla ögonblckt nklhastghtn ω nlgt fgun. stäm fö dt läg som sas fgun nklhastght ω fö koppn och hastghtn hos punktn C. ω ω C C j k Fgu 3.5 Plan mkansm. V nfö btcknngana a = b = C. Koppanas nklhastght ω = k ω ω = k ω. Sambandsfomln (.) tllämpad på g = + ω = 0+ kω a( cos + j sn ) = ( aωsn ) + j aωcos. Sambandsfomln (.) tllämpad på g C = + ω C = ( aωsn ) + jaωcos + kω b( ( cos ) + j( sn )) = ( aωsn+ bωsn ) + j ( aω cos bω cos ). Nu gäll att 5
26 05 Utgåa 3 och dämd a sn C = 0 aωsn+ bωsn = 0 ω = ω om 0 π bsn sn C = j( aωcos bωcos ) = j (cos ) aω om 0 π tan Exmpl 3. sld mos wth constant spd on th staght gud fo a shot ntal whl sld mos on th ccula gud whos cnt s at. Dtmn th angula locty ω of lnk as a functon of th dsplacmnt s of th sld. Fgu 3.6 Exmpl 3.. Lösnng: Länkamns nklhastght ω= k ω. Dt gäll att = j och = R cos + j Rsn lkt g = = ( R sn ) + jr cos. S Fgu 3.7 ndan! gomtn famgå att ch dämd s s sn = cos = R 4R ( s s = = R ) + jr R 4R s Sambandsfomln (.0) g = + ω dä = Rcos + j( Rsn ) = R + 4R s j ( R ). dtta följ R s s s s ( R ) + jr = j+ kω ( R + j( R )) = R 4R 4R R 6
27 05 Utgåa 3 s s ( ωr ) + j ( + ωr ) R 4R lkt g llkon dtta följ att ω = = ω s R 4R s s R = + ωr 4R 4R. j ω k Fgu 3.7 Lösnng Exmpl 3.. Plan ullnng på n fx plan yta: V studa tt ckulät hjul md adn som ulla på tt plant undlag. Hjults nklhastght ω= k ( ω). Låt D btckna hjults cntum. j D ω D D k C C DC Fgu 3.8 Rulland hjul. Låt C btckna dn punktn hjult som momntant (d s tt sst ögonblck) ä kontakt md undlagt. Då gäll att = + ω = + k( ω) j( ) = + ( ω) (3.4) C D DC D D V anta att hjult ulla kontakt md undlagt d s D = D. Dt ä ktgt att sklja på d matlla punktna som bfnn sg kontakt punktn C d s punktn hjult och punktn 7
28 05 Utgåa 3 undlagt och das öls och dn gomtska kontaktpunktns C öls. Dnna ä ngn matll punkt och ö sg md samma hastght som cntumpunktn D. Dt följ a (.4) att = + ( ω) = ( ω) = dä (3.5) C D D gld dä = ω (3.6) gld D ä dn så kallad gldfatn. V anta hä att undlagt ä la d s ha hastghtn lka md noll. bsa att (3.6) ä D och ω allmänht obond stoht. Dt gäll att > 0 om ω < gld = 0 om ω = D < 0 om ω > D D (3.7) m gld = 0 så ulla hjult utan att glda (ullnng utan gldnng). Då ha tt dkt samband mllan ω och D nämlgn Vlkn acclaton ha punktn C? Sambandsfomln (.6) g ω = D (3.8) a = a + α + ω ( ω ) C D DC D a = a = α = ω = k( ω ). dä D D D D ω = D = D D a C C Fgu 3.9 Rullnng utan gldnng. Dämd a = + k( ω) j( ) + k( ω) ( k( ω) j( )) = ( ω) + jω = C D D 8
29 05 Utgåa 3 m gld = 0 gäll sålds att gld + jω ac = j ω och om dssutom gld = 0 så hålls D ac = j. Hastghtsfältt fö dt ulland hjult kan skas (md D som baspunkt) som d ullnng utan gldnng g dä utnyttjat (3.8). = + ω = + k( ω) = + ( ω ) (3.9) P D DP D DP D DP DP P = ( + ( )) D (3.0) P D ( ω ) DP P D C Fgu 3.0 Hastghtfält d plan ullnng. cclatonsfältt d plan ullnng gs nlgt (3.3) a a = a + ( ω ) + ( ω ) = a + ( ω ) + ( ω ) (3.) P D DP DP x D DP DP dä ad = D. Hastghtsfältt d ullnng utan gldnng längs dn tkala damtn (y - axln) hålls gnom π att sätta = = och DP = y. Då hålls nlgt (3.0) S fgun på nästa sda! y y = ( y) = ( + ( )( )) D = ( + ) ω = yω 9
30 05 Utgåa 3 y E y D ω = ( ) = ω E ( y) = ω y = () = ω D C x Fgu 3. Hastghtfält d plan ullnng. Poblm 5/36 Th whl of adus olls wthout slppng and ts cnt has a constant locty to th ght. Dtmn th locty and acclaton of pont on th m at th nstant shown n th fgu blow. Fgu 3. Poblm 5/35. Lösnng: Hjults nklhastght ω= k ( ω). Hjults cntumhastght =. Sambandsfomln g = + ω = + k( ω) dä = ( cos ) + j ( sn ). Sålds = + k( ω) ( ( cos ) + j( sn )) = ( + ωsn ) + j ωcos Hjult ulla utan att glda och då gäll nlgt (3.8) att ω = och dämd = ( + sn ) + j cos (3.) π m = så hålls nlgt (3.6) = 0. m π = så hålls =. V nota att = x. Fö acclatonn gäll a = a + α + ω ( ω ) = ω ( ω ) = ω. 30
Tentamen i SG1140 Mekanik II, OBS! Inga hjälpmedel. Lycka till! Problem
nsttutonn fö Man Ncholas pads tl: 79 78 post: nap@mch.th.s hmsda: http://www.mch.th.s/~nap/ S-85 ntamn S Man, 85 BS! nga hjälpmdl. Lca tll! Poblm ) En hosontll am ' md längdn l ota md n onstant nlhastght
Läs merTentamensskrivning i Mekanik, Del 2 Dynamik för M, Lösningsförslag
Tntamnsskivning i Mkanik Dl Dynamik fö M 558 Lösningsföslag. Låt v btckna kulans fat fö stöt och v kulans fat ft stöt. Låt btckna impulsn fån golvt på kulan. Enligt impulslagn gäll: ( ) : = mv cos mv cos
Läs merTentamen i SG1140 Mekanik II, Inga hjälpmedel förutom: papper, penna, linjal, passare. Lycka till! Problem
Institutionn fö Mani Nicholas paidis tl: 79 748 post: nap@mch.th.s hmsida: http://www.mch.th.s/~nap/ 4-9 ntamn i 4 Mani II, 9 Inga hjälpmdl föutom: papp, pnna, linjal, passa. Lca till! Poblm ) L a En bhålla
Läs merTentamensskrivning i Mekanik (FMEA30) Del 1 Statik- och partikeldynamik Lösningsförslag ( ) ( ) ( ) ( )
Utgåva Tntansskivning i Mkanik (FMEA30) Dl tatik- och patikldynaik 305 Lösningsföslag. a) Filägg stång + skylt! Infö spännkaftna = och = i linona, tyngdkaftn g = k ( 00g), angipand i skyltns asscnta G
Läs merLösningar till Problemtentamen
KTH Mkanik 2005 10 17 Mkanik II, 5C1140, M, T, CL 2005 10 17, kl 14.00-18.00 Lösninga till Pobltntan Uppgift 1: Två cylinda d adina spktiv R sitt ihop so n stl kopp. Dn kan ota fitt king n fix hoisontll
Läs merKraftekvationen i olika koordinatsystem. Exempel 1.1: Naturliga koordinater. Exempel 2.8. Exempel 2.8. Exempel 1.
Kaaonn ola oodnaym Exmpl.: aulga oodna Exmpl.: En ula ä uppädd på n x ålåd omad om n höguln md al axl nlg Exmpl.8 (Läca 5). D nmaa onal mllan ula och ålåd ä. omula dnalaonn ö ulan öl läng ålådn. Exmpl.8
Läs merFöreläsningar i Mekanik (FMEA30) Del1: Statik och partikeldynamik. Läsvecka 5
Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva Föläsnnga Mkank (FME) Dl: Sak och pakldynamk Läsvcka 5 Föläsnng : aklns knmak (Dynamcs /). V baka n pakl som ö sg umm. En pakl ä n punkfomg kopp som kaaksas av sn
Läs merre (potensform eller exponentialform)
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Kompla tal. Polär form och potnsform KOMPLEXA TAL I POLÄR FORM och KOMPLEXA TAL I POTENSFORM, där, R (rktangulär form r(cos sn (polär form n n r (cosn sn n D Movrs forml r
Läs merMatematisk statistik
Tntamn TEN HF -- Matmatisk statistik Kuskod HF Skivtid: 8:-: Läa: Amin Halilovic Hjälpmdl: Bifogat fomlhäft "Foml och tabll i statistik " och miniäkna av vilkn typ som hlst. Skiv namn på vaj blad och använd
Läs merSG Armen OA med längden b roterar med en konstant vinkelhastighet
nstitutionn fö Mani Nicholas paidis tl: 79 748 post: nap@ch.th.s hsida: http://www.ch.th.s/~nap/ S4-74 Tntan i S4 Mani 74 BS! nga hjälpdl. Lyca till! Pobl ) Vagnn i figun bosa d n onstant acclation a längs
Läs merArbetsbok 1 Jämna steg. o, s, m, a, r, i. Elisabeth Marx. Individuell lästräning för elever i förskoleklass och lågstadiet
Abtbk 1 Jämna tg m a p Elabth Max ö,, m, a,, vdull lätänng fö lv föklkla ch lågtadt nnhålötcknng -ljudt 2 -ljudt 8 m-ljudt 20 a-ljudt 29 -ljudt 40 -ljudt 50 Blaga: Lält (1:1 tll 1:8) 63 mpal fö Fölagdgng:
Läs merlim lim Bestäm A så att g(x) blir kontinuerlig i punkten 2.
Tntamn i Matmatik HF9 7 januai kl 7 Hjälpmdl: Endast omlblad miniäkna ä int tillåtn Fö godkänt kävs poäng av möjliga poäng Btgsgäns: Fö btg A B C D E kävs 9 6 spktiv poäng Dn som uppnått 9 poäng å btgt
Läs merRotation kring fix axel, cirkelrörelse. Rotation kring fix axel. Stel kropps rotation kring fix axel: kinetisk energi
05--07 otato x axl otato x axl clöls T z H z Töhtsmomt : m z Stl opps otato x axl Stl opps otato x axl: ts axl : ( ) 0 T m m m v v ω v 0 ω m v v ω ω T v a ( ) m Töhtsmomt : m m 3 4 Stl opps otato x axl:
Läs merUppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) b) Bestäm volymen av parallellepipeden som spänns upp av vektorerna
TENTAMEN 5-Okt-6, HF6 och HF8 Momnt: TEN (Lnjär algbra), hp, skrftlg tntamn Kursr: Analys och lnjär algbra, HF8, Lnjär algbra och analys HF6 Klassr: TIELA, TIMEL, TIDAA Td:.5-7.5, Plats: Campus Hanng Lärar:
Läs merStela kroppars rörelse i ett plan Ulf Torkelsson
Föreläsnng /10 Stela kroppars rörelse ett plan Ulf Torkelsson 1 Allmän stelkroppsrörelse ett plan Den allmänna stelkroppsrörelsen ett plan kan delas upp den stela kroppens rotaton krng en axel och axelns
Läs merStelkroppsdynamik i tre dimensioner Ulf Torkelsson. 1 Tröghetsmoment, rörelsemängdsmoment och kinetisk energi
Föreläsnng 4/10 Stelkroppsdynamk tre dmensoner Ulf Torkelsson 1 Tröghetsmoment, rörelsemängdsmoment och knetsk energ Låt oss beräkna tröghetsmomentet för en goycklg axel som går genom en fx punkt O en
Läs merFlervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar läsvecka 3
laiablanals I Vintn Ösikt föläsninga läscka Dt tj kapitlt i ksn bhanla bbl- och tipplintgal. Dn intgaln i känn till fån naiablanalsn b a f kan j ofta ss som aan n f mllan a och b fnktion a tå aiabl och
Läs meri) exakt en lösning ii) oändligt många lösningar iii) ingen lösning.
TENTAMEN -Dc-9, HF och HF8 Momnt: TEN (Lnjär algbra, hp, srftlg tntamn Kursr: Analys och lnjär algbra, HF8, Lnjär algbra och analys HF Klassr: TIELA, TIMEL, TIDAA Td: -7, Plats: Campus Flmngsbrg Lärar:
Läs merLÖSNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 2
LÖNINGR TILL RLEM I KITEL L. Kftn h stolkn. Dss iktning ltivt koodintln ä också känd och givn v vinkln. Kftns - komponnt ä då sin, mdn - komponntn ä cos. Vi kn skiv kftn på vktofom: + sin cos ll komponntfom
Läs merTENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA APRIL 2018
Institutionn fö tillämpad mkanik, Chalms id och plats: Hjälpmdl: ENAMEN I FINI ELEMENMEOD MHA 6 APRIL 8 4 8 i M hust Odböck, lxikon och typgodkänd äkna. Lösninga Läa: Pt Möll, tl (77 55. Bsök sal 5 samt
Läs merTENTAMEN Datum: 28 maj 08 TEN1: Differentialekvationer, komplexa tal och Taylors formel
TENTAMEN Datum: 8 maj 08 TEN: Dffrntalkvatonr, kompla tal och Talors forml Kursr: Matmatk och matmatsk statstk, Matmatk TEN: Dffrntalkvatonr, kompla tal och Talors forml Kurskod HF000, HF00, H0, H000,
Läs merTentamen i SG1140 Mekanik II, Hjälpmedel: Papper, penna, linjal. Lycka till! Problem
Institutionn för Mani Nicholas paidis tl: 79 748 post: nap@mch.th.s hmsida: http://www.mch.th.s/~nap/ 4-845 ntamn i 4 Mani II, 845 Hjälpmdl: Pappr, pnna, linjal. Lca till! Problm ) B l r Ett sänghjul md
Läs merρ. Farten fås genom integrering av (2):
LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 6 (4-76) LP 6.45 y t Ifö dt tulig kooditsystmt md koodit s = id tid t = då bil stt, och bskto t och ligt figu. s Bgylsillkot ä O x t = s = s = Accltio gs dt llmä uttyckt
Läs merSG enligt figuren. Helikopterns bakre rotor roterar med en konstant vinkelhastighet 1
nstitutionn fö Mani Nichoas paidis och Ei Lindbog hsida: http://www.ch.th.s/~nap/ S4-53 ) ) 3) 4) L b P Tntan i S4 Mani nga hjäpd. Lca ti! Pob En hiopt säa på onstant höjd ö an. Puntn på hioptn ä i ia
Läs merLösningsförslag till tentamen i 5B1107 Differential- och integralkalkyl II för F1, (x, y) = (0, 0)
Institutionen fö Matematik, KTH, Olle Stomak. Lösningsföslag till tentamen i 5B117 Diffeential- och integalkalkyl II fö F1, 2 4 1. 1. Funktionen f(x, y) = xy x 2 +y 2 (x, y) (, ), (x, y) = (, ) ä snäll
Läs merHur tror du att det påverkar de politiska besluten? Hur tror du att det påverkar dig?
E N R A P P O R T F R Å N L S U O K TO B E R 2 0 0 9 a n n A ä N a t i n A v bl F oto: P E TT E R C O H E N llt a s g i Om Sv a politik fä ung L S U S V E R I G E S U N G D O M S O R G A N I S AT I O N
Läs merspänner upp ett underrum U till R 4. Bestäm alla par av tal (r, s) för vilka vektorn (r 3, 1 r, 3, 22 3r + s) tillhör U. Bestäm även en bas i U.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akadmin för utbildning, kultur och kommunikation Avdlningn för tillämpad matmatik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algbra Datum: augusti 04 Skrivtid:
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
160819 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 160819 Svar och anvsnngar Uppgft 1 a) Svar: A(1 Bt)e Bt v = dx dt = d dt (Ate Bt ) = Ae Bt ABte Bt = A(1 Bt)e Bt b) Då partkeln byter rktnng har v v = 0, dvs (1 t) = 0. Svar:
Läs merDen kinetiska energin för bilen ges av massan och sluthastigheten enligt
FYSIKTÄVLINGEN Fnaln - o apl LÖSNINGSFÖSLAG SVENSKA FYSIKESAMFNDET. a Dn kompla ablln s u nlg följan T/s Hasg/(m/s Acclaon (m/s Kaf (N Säcka (m Ab (Nm,7 3,,6 8735 8 583 7, 3,6 6 38 5,, 3, 5657 8 5588 7,
Läs merMin cykel. 5 Cykelhjälm Det är viktigt att använda cykelhjälm när man cyklar. Men hur ska cykelhjälmen sitta på huvudet för att ge bäst skydd?
Min cykl Sidan Innhåll 4 På väg hm Ands och Osca ha båttom hm. Osca måst lämna matvaona han vait och handlat innan han och Ands kan cykla till täningn. 5 Cyklhjälm Dt ä viktigt att använda cyklhjälm nä
Läs merLinköpings Universitet IFM Kemi Formelsamling för Fysikalisk kemi Termodynamik, Spektroskopi & Kinetik. 2 van der Waals gasekvation
Lnköngs Unvrstt IFM Km 8-1-17 Formlsamlng ör Fyskalsk km rmodynamk, Sktrosko & Kntk Gasr. a n + ( nb) n R van dr Waals gaskvaton Z n R Komrssblttsaktor r nd r rducrad, c krtsk varabl Rducrad varablr c
Läs merA LT B A R Y TO N. enkelt
A LT SOPRAN sahlt nklt B A R Y TO N Innhåll: Amn - låt rns lja råda 2 Du ljuvast n Gud har männs kär Gud ll oss väl 6 Halluja 7 Hlg 8 följr dg Gud 9 Julat Do 10 Kom, öppna dn dörr 11 r 12 Må dn väg gå
Läs merMöt Privata Affärers och Placeringsguidens aktiva läsekrets
2014 Möt Pvt Affäs och Pcngsgudns ktv äskts Und 2013 stod nnonsön på Sto Pcngskvän nskt mot nskt md 1 500 v vå mst pcngsntssd äs. Sto Pcngskvän Bok n hkvä md Pvt Affäs och Pcngsgudns ktv äskts Pvt Affä
Läs merBMW i. Freude am Fahren. BMW i Wallbox. USB uppdateringsanvisning
BMW i Fud am Fahn BMW i Wallbox USB uppdatingsanvisning 5 SV BMW i Wallbox USB uppdatingsanvisning BMW i Wallbox USB uppdatingsanvisning Innhåll 8 Föbda stömladdningsstation Avtagning av höljt Ta av
Läs merTentamen i SG1140 Mekanik II, Inga hjälpmedel förutom: papper, penna, linjal, passare. Lycka till!
Institutionn för Mkanik S4-945 ntamn i S4 Mkanik II 945 Inga hjälpmdl förutom: pappr pnna linjal passar. Lcka till! ) A r l 45 o B Problm Radin A md längdn r på tt svänghjul som rotrar md n konstant vinklhastight
Läs merDynamiken hos stela kroppar
Natulaga cbemen VT 6 Lekton 4 Dnamken hos stela koa Matn Sevn Insttutonen fö fsk Umeå unvestet -Sol boes (lke EATHLINGS) look sll, on t ou thnk, Koas? -Sll? Yes, Kang, but taste. Mmm! Novoe cow le Dagens
Läs merTentamensskrivning i Mekanik, Del 2 Dynamik för M, Lösningsförslag
Tentaensskrining i Mekanik Del Dynaik för M 7 ösningsförslag. a) tötnoralen n i. Rörelseängdens earande i stötnoralled ( ): + + + () 0 där etecknar kulornas hastighetskoponenter efter stöt. tudstalet:
Läs merTransformkodning. Transformkodning. Transformkodning. Transformkodning Grundläggande idé. Linjära transformer. Linjära transformer ( ) ( ) ( )
6 8 6 Grudläggad idé Atag att vi parar ihop lmt i bild i bloc om två Om vi väljr att aat oordiatsystm, t.x rotrar gradr 8 6 6 och plottar dssa par som xy oordiatr i graf 6 ( rad frå Labild) 8 6 8 6 8 så
Läs merRäkneövning i Termodynamik och statistisk fysik
Räknövning i rmodynamik och statistisk fysik 004--8 Problm En Isingmodll har två spinn md växlvrkansnrginu s s. Ang alla tillstånd samt dras oltzmann-faktorr. räkna systmts partitionsfunktion. ad är sannolikhtn
Läs merArvika 2019_243 Stömne Bertil Persson Betongteknik AB DECIBEL - Huvudresultat Beräkning: VKV SWE99TM VKV typ Ljuddata
SVENSKA BESTÄMMELSER FÖR EXTERNT BULLER FRÅN LANDBASERADE VINDKRAFTVERK 2019-03-02 07:25 / 1 Beräkningen är baserad på den av Statens Naturvårdsverk rekommenderad metod "Ljud från landbaserade vindkraftverk",
Läs merMalmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret.
Miljö Malmö stad, Gatukontot, maj 2003 Tafiksäka skolan ä famtagt av Upab i Malmö på uppdag av och i samabt md Malmö stad, Gatukontot. Txt: Run Andbg Illustation: Las Gylldoff Miljö Sidan Innhåll 4 Miljö
Läs merUmeå Universitet 2007-12-06 Institutionen för fysik Daniel Eriksson/Leif Hassmyr. Bestämning av e/m e
Umå Univrsitt 2007-12-06 Institutionn för fysik Danil Eriksson/Lif Hassmyr Bstämning av /m 1 Syft Laborationns syft är att g ökad förståls för hur laddad partiklars rörls påvrkas av yttr lktromagntiska
Läs merKontrollskrivning Introduktionskurs i Matematik HF0009 Datum: 25 aug Uppgift 1. (1p) Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:
Kontrollskrivning Introduktionskurs i Matmatik HF9 Datum: 5 aug 7 Vrsion A Kontrollskrivningn gr maimalt p För godkänd kontrollskrivning krävs p Till samtliga uppgiftr krävs fullständiga lösningar! Inga
Läs mer2. Bestäm en ON-bas i det linjära underrummet [1 + x, 1 x] till P 2 utrustat med skalärprodukten
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akadmin för utbildning, kultur och kommunikation Avdlningn för tillämpad matmatik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algbra Datum: 6 januari 03 Skrivtid:
Läs mer(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z
UPPAA UNIVERITET Matematiska institutionen Abrahamsson, 4715, 7-57 (tyf, 47119, 77-517) Prov i matematik IT, K, X, W, EI, MI, NVP samt fristående kurs. Flerdimensionell analys och Analys MN 5-1-9 krivtid:
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs merAnvänd Maple (eller Mathematica) för att lösa dina uppgifter. INLÄMNINGSUPPGIFT 2 Linjär algebra och analys Del2: ANALYS Kurskod: HF1006
INLÄMNINGSPPGIFT Lnjär algebra och analys Del: ANALYS Kurskod: HF006 armn@sth.kth.se www.sth.kth.se/armn Inlämnngsuppgft består av tre uppgfter. Indvduellt arbete. Du väljer tre av nedanstående uppgfter
Läs merω = θ rörelse i två dimensioner (repetition) y r dt radianer/tidsenhet kaströrelse: a x = 0 a y = -g oberoende rörelse i x- respektive y-led
y@md 7 6 5 4 3 1 öelse i två dimensione (epetition) kastöelse: a x = 0 a y = -g obeoende öelse i x- espektive y-led 10 0 30 kastpaabel x@md likfomig cikulä öelse d ( t) ω = θ dt adiane/tidsenhet y = konst.
Läs merKONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER ( Allmänt om kontinuerliga s.v.)
Kontinurliga fördlningar KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Allmänt om kontinurliga s.v. Dfinition. En stokastisk variabl ξξ. kallas kontinurlig om fördlningsfunktionn FF ξ är kontinurlig. Egnskar: Fördlningsfunktionn
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs merTentamen TMV210 Inledande Diskret Matematik, D1/DI2
Tntamn TMV20 Inldand Diskrt Matmatik, D/DI2 207-2-20 kl. 08.30 2.30 Examinator: Ptr Hgarty, Matmatiska vtnskapr, Chalmrs Tlfonvakt: Ivar Simonsson (alt. Ptr Hgarty), tlfon: 037725325 (alt. 0705705475)
Läs merKlassisk elektrodynamik Växelverkan mellan laddade partiklar och elektromagnetiska fält
Institutionn fö miin oh vå Avlningn fö aiofysik Hälsounivsittt Klassisk lktoynamik Växlvkan mllan laa patikla oh lktomagntiska fält Guun Alm Calsson Dpatmnt of Miin an Ca Raio Physis Faulty of Halth Sins
Läs merFöreläsning 6. Kapitel 4. Fouriertransform av analog signal, FT Fouriertransform av digital signal, DTFT fortsättning
Digital sigalbhadlig ESS4 Förläsig 6 Dfiitio: Fourirtrasform av tidsdiskrt sigal DF, sid 5 Digital sigalbhadlig ESS4 Kapitl 4 Fourirtrasform av aalog sigal, F Fourirtrasform av digital sigal, DF fortsättig
Läs merPartikeldynamik. Fjädervåg. Balansvåg. Dynamik är läran om rörelsers orsak.
Dynamk är läran om rörelsers orsak. Partkeldynamk En partkel är en kropp där utsträcknngen saknar betydelse för dess rörelse. Den kan betraktas som en punktmassa utan rotaton. Massa kan defneras på två
Läs merDen stabila människan
Dn sbl männskn Igå v jg på ylg n kus på Klvgnn, dnn gång om kokv änng och sblsngsänng. Effkv änng fö smä, spännng, nsbl och nds syk. Vd kn v gö fö höfn skll ö sg opml, fö skuldon skll må b och fö knän
Läs merRepetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T
Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet
Läs merPOSTKODVINSTER á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 234 lottnummer 1.000 kronor vardera:
Dragningsresultat vecka 04-2015 Här nedan kan du se om du är en av de lyckliga vinnarna i veckans utlottning i Svenska PostkodLotteriet. När du har vunnit betalar vi automatiskt ut dina vinstpengar till
Läs merTNA004 Analys II Sixten Nilsson. FÖ 1 Kap Inledning
TNA004 Anlys II Sten Nlsson FÖ Kp 7. 7. Inlenng V komme tt eet någ vktg tllämpnng v ntegle. I smtlg ll gö v ett ngenjösesonemng ä en s.k. Remnnsumm övegå en estäm ntegl. Det ä vktgst tt u FÖRSTÅR esonemngen,
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs merFöreläsning 7. Signalbehandling i multimedia - ETI265. Kapitel 5. LTI system Signaler genom linjära system
Sigalbhadlig i multimdia - ETI65 Förläsig 7 Sigalbhadlig i multimdia - ETI65 Kapitl 5 LTI systm Sigalr gom lijära systm LTH 5 dlko Grbic (mtrl. frå Bgt adrsso Dpartmt of Elctrical ad Iformatio Tchology
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
180111 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 180111 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Svar: 89 cm x = 0 t 3 dt = [ t 3 9 ] 0 = 8 m 89 cm 9 b) Om vi betecknar tågets (T) hastighet relativt marken med v T J, så kan vi
Läs merSvar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.
Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2010 Vecka 2 Komplexa fourierserier 1. Fourierkomponenterna ges av dvs vi har fourierserien f(t) = π 2 + 1 π n 0 { π n = 0 c n = 2 ( 1) n
Läs merHittills på kursen: E = hf. Relativitetsteori. vx 2. Lorentztransformationen. Relativistiskt dopplerskift (Rödförskjutning då källa avlägsnar sig)
Förläsning 4: Hittills å kursn: Rlativittstori Ljusastigtn i vakuum dnsamma för alla obsrvatörr Lorntztransformationn x γx vt y y z z vx t γt där γ v 1 1 v 1 0 0 Alla systm i likformig rörls i förålland
Läs merAnmärkning1. L Hospitals regel gäller även för ensidiga gränsvärden och dessutom om
L HOSPITALS REGEL L Hospitals rgl (llr L Hopitals rgl ff( aa gg( ff ( aa gg ( används vid bräkning av obstämda uttryck av typ llr Sats (L Hospitals rgl Låt f och g vara två funktionr md följand gnskapr
Läs merVECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 249 lottnummer 1.000 kronor vardera:
Dragningsresultat vecka 10-2015 Här nedan kan du se om du är en av de lyckliga vinnarna i veckans utlottning i Svenska PostkodLotteriet. När du har vunnit betalar vi automatiskt ut dina vinstpengar till
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merTillämpad biomekanik, 5 poäng Övningsuppgifter
, plan kinematik och kinetik 1. Konstruktionen i figuren används för att överföra rotationsrörelse för stången till en rätlinjig rörelse för hjulet. a) Bestäm stångens vinkelhastighet ϕ& som funktion av
Läs merVeckans teman. Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3
Veckans teman Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3 Ekvationstyper Första ordningen Separabla Högre ordning System Autonoma Linjära med konstanta koefficienter
Läs merTryckkärl (ej eldberörda) Unfired pressure vessels
SVENSK STANAR SS-EN 3445/C:004 Fastställd 004-07-30 Utgåva Trykkärl ( ldbrörda) Unfird prssur vssls ICS 3.00.30 Språk: svnska ublirad: oktobr 004 Copyright SIS. Rprodution in any form without prmission
Läs merFormelsamling. TFYA16 Mekanik TB. r r. B r. Skalär produkt. Vektorprodukt (kryss produkt) r r r. C r B r Φ A r. En vektor: där Φ är vinkeln mellan A r
oelsalg TYA6 ekak TB E eko: a a ˆ + a ˆj + a kˆ z ˆ ˆj kˆ a a a + a + a Skalä poduk ˆ ˆ ˆ ˆj z Vekopoduk (kss poduk) C c ˆ + c ˆj + c kˆ C A B A B cosφ dä Φ ä kel ella A C A B Dä A A, B B och Φ ä kel ella
Läs mer1 (3k 2)(3k + 1) k=1. 3k 2 + B 3k(A + B)+A 2B =1. A = B 3A =1. 3 (3k 2) 1. k=1 = 1. k=1. = (3k + 1) (n 1) 2 1
Uppgift Visa att srin (3k 2)(3k + ) konvrgrar och bstäm summan Lösning Vi har att a k = (3k 2)(3k+) Vi kan använda partialbråksuppdlning för att skriva om a k : a k = (3k 2)(3k + ) = A 3k 2 + B 3k(A +
Läs merÖvningstenta Svar och anvisningar. Uppgift 1. a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt
Övningstenta 015 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt tillsammans med begynnelsevillkoret v(0) = 0. Vi får: v(t) = 0,5t dt = 1 6 t3 + C och vi bestämmer
Läs merKursinformation Mekanik f.k. TMMI39
Kursinformation Mekanik f.k. TMMI39 Uppdaterad 202--26 Linköpings universitet tekniska högskolan IEI/mekanik Joakim Holmberg Omfång 30 h föreläsningar och 24 h lektioner i period HT2, hösten 202. Kursansvarig,
Läs merKontinuerliga fördelningar. b), dvs. b ). Om vi låter a b. 1 av 12
KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLERR Allmänt om kontinurliga sv Dfinition En stokastisk variabl kallas kontinurlig om fördlningsfunktionnn ξ är kontinurlig Egnskar av fördlningsfunktion: Fördlningsfunktionn
Läs merTentamen i mekanik TFYA16
TEKNSKA HÖGSKOLAN LNKÖPNG nsttutonen ör Fysk, Kem och Bolog Gala Pozna Tentamen mekank TFYA6 Tllåtna Hjälpmedel: Physcs Handbook utan egna antecknngar, aprogrammerad räknedosa enlgt F:s regler. Formelsamlngen
Läs merDu lilla Jesusbarn. œ œ œ œ. œ œ œ œ œ œ w. œ œ œ œ œ œ œ. . œ œ œ œ œ œ ? 4. œ œ. j œ œ œ. œ œ. œ œ œ. œ. œ. œ J. œ œ œ. q = 74
2 ulafton Sönd e ul Trettondedag ul Famlegudstänst uds storhet esus som förebld q = /F con ped op Tllt Hopp Fred Barn u llla esusbarn Sälvklart ag sunger från hederlgt köpta noter Musk: Stefan ämtbäck
Läs merMatematik 5 svar. Kapitel Test Blandade uppgifter Kapitel a) dy
Matematik 5 svar Kapitel 3... 1 Test 3... 26 Blandade uppgifter... 29 Kapitel 3 3101. a) y (x) = 2x y(x) = x 2 + C b) y (x) = x 2 x + 1 y(x) = x3 x2 + x + C 3 2 c) y x 2 + 2 = 0 y = x 2 2 y(x) = x3 2x
Läs merFöljande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning. A=kB. A= k (för ett tal k)
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Tllämpnngar av dffrnalkvaonr TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följand uryck används ofa olka problm som ldr ll dffrnalkvaonr: Tx A är proporonll mo B A är omvän proporonll
Läs merHärled utgående från hastighetssambandet för en stel kropp, d.v.s. v B = v A + ω AB
. Härled utgående från hastighetssambandet för en stel kropp, d.v.s. v B v A + ω AB motsvarande samband för accelerationer: a B a A + ω ω AB + a AB. Tolka termerna i uttrycket för specialfallet plan rörelse
Läs merLösningar/svar till tentamen i MTM113 Kontinuumsmekanik Datum:
Lösningar/svar till tentamen i MTM113 Kontinuumsmekanik Datum: 2004-08-21 Observera att lösningarna inte alltid är av tentamenslösningskvalitet. De skulle inte ge full poäng vid tentamen. Motiveringar
Läs merPartikeldynamik. Dynamik är läran om rörelsers orsak.
Partkeldynamk Dynamk är läran om rörelsers orsak. Tung och trög massa Massa kan defneras på två sätt. Den ena baserar sg på att olka massor attraheras olka starkt av jordens gravtaton. Att två massor är
Läs merFaradays lag. ger. Låt oss nu bestämma den magnetiska energin för N st kopplade kretsar. Arbetet som kretsarnas batterier utför är
9. Magnetsk energ Faradays lag [RM] ger E dφ dt (9.5) dw k IdΦ + RI dt (9.6) Batterets arbete går alltså tll att bygga upp ett magnetskt flöde Φ och därmed motverka den bromsande nducerade spännngen, och
Läs merF8: Asynkronmaskinen. Sammanfattning
F8: Aynkonmknn Smmnfnng Allmän om ynkonmknn (I) Lgköld Uglåd Kylflän Kllg Mool Solndnng Fläk Roo Soplåpk Fg 0.. Aynkonmkn Lnd nv / Lnd knk högkol / Indll Elkoknk / PK Allmän om ynkonmknn (II) A ynkonmoon
Läs merMekanik för I, SG1109, Lösningar till problemtentamen,
KTH Mekanik 2010 05 28 Mekanik fö I, SG1109, Lösninga till poblemtentamen, 2010 05 28 Uppgift 1: En lätt glatt stång OA kan otea king en fix glatt led i O. Leden i O sitte på en glatt vetikal vägg. I punkten
Läs merFör studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg
ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB 8 Skrivtid: 9:-4:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas
Läs merStatistisk mekanik (forts) Kanonisk ensemble. E men. p 1. Inledande statistisk mekanik:
Förläsg 4 Förra gåg: Dt totala rörlsmägdsmomtt J = L+S är ocså vatsrat. J j( j där j s, s,..., s, s J z m j där m j j, j,..., j, j Foto som utsäds(absorbras vd övrgågar har sp= gör att j att ädras. Ildad
Läs merPå en landsväg. % Œ. œ œ. j œ # # œ œ j œ. œ J. œ œ œ œ œ. œ œ œ. œ œ# œ œ # œ œ œ œ. œ œ œ œ. œ œ j. œ œ œ j œ Œ ? # # œ œ. œ J. œ œ. œ œ. œ œ.
Sälvklrt g sunger från herlgt köpt noter S ul På lndsväg % 1 På lnds väg n mot kväl l n ly ser ö ver Hpply sngng 1 På lnds väg n mot st n 2 St kväl l 3 Stnn ly ser n kommer ö ver stl t Trd: Puerto Rco
Läs merTNA003 Analys I Lösningsskisser, d.v.s. ej nödvändigtvis fullständiga lösningar, till vissa uppgifter kap P4.
TN00 nals I Lösningsskissr, d.v.s. j nödvändigtvis ullständiga lösningar, till vissa uppgitr kap P. P.5a) Om gränsvärdt istrar så motsvarar dt drivatan av arctan i. Etrsom arctan är drivrbar i d så istrar
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 13 Institutionen för matematik KTH VT 2018 Administrativt 0 Anmäl er till tentan! Vektoranalys 1 Dagens program: Vektorfält Konservativa vektorfält Potentialfunktioner Bokens kapitel 15.1-15.2
Läs merTentamen i Elektronik grundkurs ETA007 för E1,D1 och Media
Tntamn i Elktrnik grundkurs ET7 för E,D ch Mdia 6-- Tntamn mfattar päng. 3 päng pr uppgift. päng gr gdkänd tntamn. Tillått hälpmdl är räkndsa. För full päng krävs på var uppgift fullständiga lösngar utgånd
Läs mer6 2D signalbehandling. Diskret faltning.
D signalbehandling. Diskret faltning. Aktella ekationer: Se formelsamlingen... D Diskret faltning. Beräkna g(x = (h f(x = λ= f(x = - - 0 - - och h(x = -. h(x λf(λ, där Centrm (positionen för x = 0 är markerad
Läs merKapitel 8. Kap.8, Potentialströmning
Kpitel 8 Kp.8, Voticitet (epetition) Hstighetspotentil Stömfunktionen Supeposition Cikultion -dimensionell kopp Kutt-Joukovskis lftkftsteoem Komple potentil Rottionssmmetisk potentilstömning Rottion v
Läs merUndervisande lärare: Fredrik Bergholm, Elias Said, Jonas Stenholm Examinator: Armin Halilovic
Tntamn i Matmatik, HF9, 8 oktobr, kl 5 75 Undrvisand lärar: Frdrik Brgholm, Elias Said, Jonas Stnholm Eaminator: Armin Halilovic Hjälpmdl: Endast utdlat ormlblad (miniräknar är int tillåtn För godkänt
Läs merSchrödingerekvationen i 3 dim: Väteatomen.
Föläsig : Schödigkvtio i di: Vätto. Lösts v Schödig 96. Fökl spktllij få vätt och vis däd tt S. fg!!! Schödig kv i D: Ψ(, t) U( )Ψ(, t) i Ψ(, t) t Solikhtstolkig: Ψ(, t) d Noig: Ψ(, t ) d Sttioä tillståd:
Läs mer1. Låt M, +,,, 0, 1 vara en Boolesk algebra och x,
Matmatik CTH&GU Tntamn i matmatiska mtodr E (TMA04), dl A, 000-0-, kl.45-.45 Tlfon: Andrs Logg, tl. 0740-4590 OBS: Ang linj och inskrivningsår samt namn och prsonnummr på skrivningsomslagt. Ang namn och
Läs merTENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 22 dec 2016 Skrivtid 8:00-12:00
TENTAMEN Kurs: HF9 Matmatik, momnt TEN anals atum: dc Skrivtid 8:-: Eaminator: Armin Halilovic Rättand lärar: Erik Mlandr, Elias Said, Jonas Stnholm För godkänt btg krävs av ma poäng Btgsgränsr: För btg
Läs merFacit till Signal- och bildbehandling TSBB
Facit till Signal- och bildbehandling TSBB3 6-5-3 Maria Magnusson Seger, maria@isy.liu.se Kontinuerlig faltning (9p) a) Faltningsoperationen illustreras i figuren nedan. et gäller att x(t λ) e 4(t λ) u(t
Läs merTentamen Mekanik MI, TMMI39, Ten 1
Linköpings universitet tekniska högskolan IEI/mekanik Tentamen Mekanik MI, TMMI39, Ten Torsdagen den 9 april 205, klockan 4 9 Kursadministratör Anna Wahlund, anna.wahlund@liu.se, 03-2857 Examinator Joakim
Läs merMatematiska uppgifter
Elementa Årgång 67, 984 Årgång 67, 984 Första häftet 3340. a) Vilket av talen A = 984( + + 3 + + 984 ) är störst? b) Vilket av talen B 3 = 3 + 3 + 3 3 + + 984 3 är störst? A / = 984( + + 3 + + 984) B =
Läs mer