7.2 Vägg med isolering

Transkript

1 9 3 rshn@kth.s Värmtranport Vägg md isoring En vägg bfinnr sig i stady stat n vintrdag. Väggn bstår av cm yttrmatria och cm isoring. Givt: k. W cm k.6 W cm h. W cm Sökt: mpraturprofi gnom väggn och värmförustn när systmt är i stady stat. ösning: EM kvationn för värmtransport bir. I dt här fat (D) gär: hir A i B ki ABdx N hik PNdx h ir A v k r r r, r tas md för rspktiv randnod om värmt förs bort via konvktion istät för konduktion. Notra att dt myckt vä kan vara, och oftast faktiskt är, oika h vid oika rändr ftrsom h bror på tmpratur, fuidns viskositt, gomtri, tc. N N h A ir qadx hikp dx r r h ira värmgnration konvktionsbidrag r r b r sätts md sunt förnuft. Sätt hirj A om värmt transportras övr randn via konvktion, i om via konduktion, dt är antingn r. Notra tcknna för randvikort för värmdning! uriosa: Värmtransportn via stråning har försummats, vikt är ht ok i d fsta appikationr. Värmstråningn är därmot myckt viktig vid höga tmpraturr. ysr dt rött ska stråningsbidragt dfinitivt tas md! x kys gödtrådn i gödampor nästan utsutand gnom stråning. uriosa: ör d fsta fuidr är värmtransportn via värmdning försumbar i jämförs md konvktionsbidragt. Dt finns förstås undantag där värmdningn gnom fuidn får btyds, antingn för att fuidn har n hög värmdningsförmåga (t x mtasmätor), r där strömning är förhindrad (t x uft i n dunjacka). Matmatiskt stt är dt ingn skinad. Man mätr bara värmövrgångstat, h, och dunkar in dt i bräkningarna som vanigt. () ()

2 9 3 rshn@kth.s Värmtranport Strukturn modras md två mnt: Emnt : N N N N B B B B x x N dn dx dn B dx ka v ka dxka dx ormbad B B B B A är aran av dn bit av väggn vi modrar. Vi modrar n d av n stor vägg, så i sidd (y r z d), finns bara mr vägg. Dt finns atså ingn konvktiv kyning åt sidan. k Nod står i kontakt md dn kaa vintruftn konvktion på rand. Ingn konvktion på nod. ha r, r k h ka ha () A k v k r r k k Väggn är (förhoppningsvis) int radioaktiv, så ingn värm gnrras i matriat. q N qadx I annan ittratur kan värmgnrationn kaas q, och q A. (3) idigar konstatrad vi att vi int vi int har konvktiv kyning i y r z d. N h P dx dssa två hör atid ihop () k k Notra att h k, int är dtsamma som h! Varj yta har tt gt h, som bror på många paramtrar. (3) () b rån randvikorn vt vi att nod kys via konvktion, och nod dr bort värm. ha ha () r r

3 9 3 rshn@kth.s Värmtranport Emnt : Myckt är ikt i mnt och. v ka k Ingn konvktion på varkn nod r. Nod hås på konstant tmpratur, vikt tokas som att man dr in prcis så myckt värm som nodn kys, dvs tt raktionsföd. Jämför åst R D åst. r r R k ka () A k v k r r R b r R Assmbra: k k k k h k k k k A k k h ha d ka A dx x R R A C 3

4 9 3 rshn@kth.s Värmtranport k k h h k k k k C k k R A A A () Obs! Notra att C 3, man får int stryka radr och koonnr som vi tidigar gjort. Dtta åtgärdas dock ätt md n snabb omskrivning. Dt här sku motsvara n förskrivn förskjutning i håf. EM. k k k 3 3 k k k3 k 3 3 k k k33 k k k3 k k3 k3 k333 3 k3 k3 k33 3 k333 k3 k 3 3 k 3 33 k k h h k k k k k C k k R k A (6) Nu kan man ta fram sitt rducrad kvationssystm prcis som vanigt. k k h h.8 k rd rd C k k k C.6 rd rd.8.6 C rd (7) (8) mpratur varirar injärt man nodrna, och så sku dt faktiskt också s ut i vrkightn. k k k.w cm A A (9) R R () 3 3 Värmförustn är dt raktionsvärm som måst pumpas in i väggn för att håa C. Dt ngativa tcknt btydr att värmfödt är i ngativ x riktning.

5 9 3 rshn@kth.s Värmtranport Såhär kan tmpraturprofir s ut i vrkightn vid stady stat. I soidr varirar tmpraturn (approximativt) injärt, r styckvis injärt om dt är fra agr, som i dn här uppgiftn. Bidrna är snodda från Ragnhid Auns föräsningsantckningar i kursn ransportfnomn.

6 9 3 rshn@kth.s Värmtranport Värm + Easticitt Givt: C, C, 3 C P kn h. W cm k 3.9 W cm.8 E GPa cm b cm Sökt: a) mpraturprofi vid stady stat. b) örskjutningar och spänningar. ösning: a) mpraturprofi Vi börjar md vänstrdn, mnt och. Båda mntn har samma gomtri och matria. ka kb v, v, () 6

7 9 3 rshn@kth.s Värmtranport Båda kys md konvktion från sidan md samma värmövrgångsta. hb hb k, k, N hp N dx hb dx N N 3 3 P ormbad b, b, hpdx hb d hb hb b hb N N (3) Randnodrna dr bort sitt värm. Nodr och 3 har åst tmpratur raktionsföd. () R R r,, r, r R3 R3 Dags att sänga ihop dbidragn ti mntmatrisr och assmbra: kb hb kb hb W Man bör ta md åtminston värdsiffror ftrsom rsutatt ska användas i b), och avrundningsft ffortpantas, mn jag tar bara md så att vi sippr skriva så myckt. R R b r hb W C 3 C R3 R3.8.7 () R R3 Atrnativ Vi man göra dt amänt kan man skriva om som i förra uppgiftn och får då.8.7 R.8 () ,.7.8 R3.8 och härifrån kan man rducra sitt kvationssystm. 7

8 9 3 rshn@kth.s Värmtranport Atrnativ Man koar på rad dirkt: () C Utan avrundningn i styvhtsmatrisn had dt bivit.76 C, så vi användr dt i framtida bräkningar som invovrar på..76 C () ör högrdn är mntmatrisrna i princip idntiska som d vi just räknad ut, mn nu. kb hb kb hb W Nod är isorad R. Dt här kan jämföras md fri nod i strukturanays, D fri R. R R3 b r hb 8 W 3 C R3 Rducra systmt från utan avrundning C (6) mp [ o C] x [cm] 8

9 9 3 rshn@kth.s Värmtranport b) örskjutningar och Spänningar Randvikorn gr oss: R D 3 R, nodast D R D D P N (7) Bräkna styvhtsmatrisn: Eb Eb, 3 Eb Eb 3 rd 3 (8) ägg på trmisk ast (antag att stångn var C när dn spänds fast, C EA dx Eb d i, B x ): Eb d Eb Eb i, Eb Eb Eb N (9) 9

10 9 3 rshn@kth.s Värmtranport R rd () R 9. (7) (9) 3. N 3. N ös dt rducrad systmt: 3 Eb D D 9..7 D m () 3 örskjutning [m] 3 x [cm] Notra hur matriat nära nod 3 xpandrar av värmn. Rsutatt bir att nod och nod fyttar sig bort från nod 3. Bräkna spänningar Här får man håa ko på att förskjutningn bstår av båd astisk och trmisk töjning. Spänningn bror på astisk töjning, så dn trmiska bitn måst dras bort. D D i E i, i EBd, i i E i, där i är mntts gnomsnittiga tmpraturökning. D E D i () Sätt in nodförskjutningar och nodtmpraturr för rspktiv mnt. oa nhtrna när ni sättr in ängdrna, ätt att råka sätta in sakr i cm. 3 7,9 MPa 9,9 MPa Dt här var mina sista övningsantckningar. Hoppas ni haft hjäp av dm, och ycka ti på tntan. //Rickard Shn

11 9 3 rshn@kth.s Värmtranport Biaga ormr i värmtransport D N N N dn B dx B B N Styvhtsmatris i v k r r v B i B k N ik N r r ka dx hp dx hira om konvktion vid randnod om konvktion vid randnod hir A astvktor b r r om dt gnrras värm i matriat: N qadx b konvktion ut från sidan: N hpdx ik ir r r h A r r hir A