(4x 3 + y)y + x(x 3 + 2y) dy dx = 0

Transkript

1 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA0 Differentialekvationer för lärare Datum: 18 augusti 011 Skrivtid: 5 timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen består av åtta om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 5 poäng. Den maximala poängsumman är således 0. För betyget G krävs minst 0 poäng, och för betyget VG minst 30 poäng. Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i. 1. Lös integralekvationen cos(t) = y(t) + 5 t 0 y(t τ) sin(τ) dτ för t 0.. Vilken av alla lösningar till differentialekvationen x y + 0y = 11x uppfyller begynnelsevillkoren y(1) = 0, y (1) = 3? 3. Vid tidpunkten 0 finns det 100 gram av ämne A. Ämnet sönderfaller varvid två ämnen, B och C, bildas i förhållandet 1:. Reaktionshastigheten antages vara proportionell mot återstoden (i gram räknad) av ämne A upphöjt till 3/, och tiden tills mängden ursprungsämne har blivit 5% av den ursprungliga är lika med 5 minuter. Hur lång tid dröjer det (i minuter räknat) till dess endast 16% av ursprungsämnet finns kvar?. Lös differentialekvationen y = 3y y med y(0) = och y (0) =. 5. Bestäm den lösning till differentialekvationen som satisfierar villkoret y(1) =. (x 3 + y)y + x(x 3 + y) dy dx = 0 6. Bestäm den talföljd {y n } n=0 där y 0 = 5 och som satisfierar differensekvationen y n 3y n 1 = { 0, n 7, 8, n = 7, för n Differentialekvationen y = 10 1 y 10 5 ry, där konstanten r anger det genomsnittliga antalet rävar i området och där t mäts i veckor, beskriver (något förenklat) utvecklingen av en kaninpopulation i ett avskilt ekosystem. Man har observerat att kaninantalet håller sig till ungefär 00 individer över en längre tidsperiod. a) Hur många rävar finns det i ekosystemet? b) Hur många kaniner (i snitt) äts per räv och vecka? c) Hur påverkas kaninpopulationen i det långa loppet om antalet rävar halveras genom jakt, och sedan förblir approximativt konstant en längre tid? 8. Bestäm till differentialekvationen xy 3y = 5x den lösningskurva som i punkten (1, 1) har tangenten 3x + y =.

2

3

4

5

6 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA0 Differentialekvationer för lärare BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Läsår: 010/11 Tentamen POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter 1. y = cos( 3t) 1p: Korrekt (och helt genomförd) Laplacetransf. av VL:et 1p: Korrekt Laplacetransformering av HL:et p: Korrekt förberedelse för inverstagning 1p: Korrekt utförd inverstransformering. y 1 = x 1p: Korrekt funnen DE för ~ y, där ( u) y( ) ( ln( )) sin( ln( ))) 79 x + x x cos( 79 ~ y = x u med x = e p: Korrekt funnen homogen del av den allmänna lösningen 1p: Korrekt funnen partikulär lösning 1p: Korrekt anpassning till begynnelsevärdena 1 3. ( 7 + ) minuter 1p: Korrekt formulerad differentialekvation för x A ( t ) 3p: Korrekt bestämd lösning x A ( t ) 1p: Korrekt beräknad tidåtgång till dess 16 % återstår. y = 1 x 1p: Korrekt genomförd substitution y ( x) = u( y( x)) och korrekt uppdelning i två huvudfall 1p: Korrekt bortresonemang av fallet y ( x) = 0 p: Korrekt gjord första integrering i det relevanta fallet 1p: Korrekt gjord andra integrering i det relevanta fallet 5. xy ( x 3 + y) = 1p: Korrekt konstaterat att DE:en är exakt (på ett ESO) 1p: Korrekt identifierade ekvationer för en hjälpfunktion (potentialfunktion) till den exakta DE:en 1p: Korrekt bestämd hjälpfunktion till den exakta DE:en p: Korrekt funnen (implicit) lösning till BVP:et 6. Talföljden y n { n} n=0 y har elementen 3 n 3 n 7 = 5( ) + ( ) u( n 7 0, n < p där u( n p) = 1, n p 7. (a) 5 stycken rävar (b) 1,6 kaniner äts per räv och vecka (c) Det blir i långa loppet 800 kaniner 1p: Korrekt Z-transformering av differensekvationen 1p: Korrekt uttryck för Z-transformen av { y n} n= p: Korrekt inverstagning av (1 z ) p: Korrekt inverstagning av (1 z ) z 1p: Korrekt identifierat den ekvation som ger det stationära förhållandet 1p: Korrekt angivit antal rävar p: Korrekt beräknat antal uppätna kaniner per räv och vecka 1p: Det nya (stationära) antalet kaniner korrekt beräknat 8. y 5 = x x 1p: Korrekt tolkning av villkoren för begynnelsevärdena p: Korrekt gjord första integrering p: Korrekt gjord andra integrering