Digital signalbehandling Föreläsningsanteckningar

Transkript

1 Iiuio ör d- och lroi Digil iglhdlig Förläigcigr --7 Kur gr grudupr om ldr i mmi uryc, vi hir i i på pri implimrigr m ämr ädå dl å i örigåd. Vrör digil iglhdlig? Poiiv grrd oggrh (gräd v l ir) rproducrrh (ig ompoolrr) ig dri pg åldr, mprur c igrrrh, midr orl liili, omprogrmmrr är iglhdlig. Vi digil iglhdlig är omölig llr myc vår log, liär, dpiv uioloc pd ör iglr om rd är digil, CD, DA, hårddilgrig c giv dyr iiilod, A/D, D/A, procor, mi i å lä primr pri, rävr hl ym år i å hög i rv gräd ordlägd och därmd upplöig vårr å grpp övr oli ompor och ompovärd ivr Implimrig Öd iglhdlig rulrr i vio llr vioym om vi må rlir, implimr. Vil vägr hr vi? PC Miroprocor, iygg ym CALMERS LIDOLME Sid Iiuio ör d- och lroi Sv Kuo Bo Göorg Bödr: örlgåg 4 lo: F: E-mil: v@chl.chlmr. W: v

2 Siglprocor årdvr Vd rivr vi iglhdligrui? ögivåprå, o C llr C. Rä lä riv Dålig oll övr vrigid Amlr. Svårr riv Bär oll övr ivrigid m i ol Amlr ör iglprocor. Sor oll övr vrigid VDL. ög oll övr vrigid. Implimrig rävr rrh ypi log/digil ym Smpligloc Alog iigl LPilr LPilr S/ / Digil ym D/Aomv A/Domv Alog uig Mi Fig Är vi r u r lä i log igl i ym, ör ly å ym lu vid d digil ym. På mm ä ym ör md d digil ym om vi grrr igl digil. D vå dlr i i mm ym m väd vid oli illäll, iläig och lgrig vid illäll och uläig vid. Viig grpp il på log, oiurlig mpliud digil, dir mpliud idoiurlig iddir Smplig Vd mr vi md mplig? Smpl d old (S/) r, ll äv rc d old (/) Fig lroi yrd wich Digil iglhdlig örläigcigr Sid

3 Smpligorm mplig > igl,m yquirv, pgligrv Viig (pglig, liig) Aiviigilr Alog/digilomvdlr (A/D) igrrd uppräd ucciv pproimio lhomvdlr ipolär uipolär ol örärigl liri oggrh omvdligid lig im Ordlägd, l ir om omvdlr or md. E digil ym vädr o vid i ir räigr md lr ir ä vd omvdlr hr ör håll oggrh. Fil/lyl Lägg mär ill äv om räigr r md lylrprio å vädr omvdligr il. U m U m Upplöig uryc gällr ör ipolär omvdlr, dl md ör uipolär omvdlr. är l ir Kvirigl ε q U m OBS l örr vid lägr mpliudr Uppgi Q. id 9 Sigl/virigörhålld S SQR 6,, 76 db σ q örl S SQR 6, 6 Digil iglhdlig örläigcigr Sid 3

4 Bilg SQR 5,8 49, ,, 46, Digil/logomvdlr (D/A) A/D Uämigilr, moohig ilr ypi d ör digil ym områd mpligrv ordlägd loi/gsm 8 8 ir CD 44, 6 ir DA 48 6 ir Bär ludor 44,/48 ir Avcrd udio 96 4 ir DAB 48 8 ir Smplig, iddir () [ ] [ ] Kovior: Iiglr c md, uiglr c md y och övröriguior c md h. Små oävr väd ör riv iglr och ym i idpl md or oävr väd i rvpl och i -pl. Vlig prr () väd då vril, id llr rv, är oiurlig md hprr [] väd då vril är iddir. Dirvior Empl, mdlvärdildd ilr Figur.3 id 4 Filrvio i rvrl orm y! [] { [] [ ] [ 99] },5 [ ] I ruriv orm y [ ] y[ ] [ ] [ 99] llr ormr y [] [] [ ] y[ ] EKG-mpl Figur.4 id 6 y 99 [ ] [ ],9 [ ] [ ],853 y[ ],94833 y[ ] Digil iglhdlig örläigcigr Sid 4

5 Lägg mär ill dimiorig r rliv mpligrv. Vi ommr i väd d idigr idoiurlig grpp rv och vilrv i vår lyr och dimiorigr rom lyr och dimiorigr i iddir mmhg gör i ör pcii, vrlig rvr u ll vi gör är rlr ill mpligrv. D är därör mr rlv l om dlr v mpligrv, dv i äll ör rv, vi lr om rliv rv och i äll ör vilrv vädr vi rliv vilrv Bdpmpl Figur.5 id 7 y [] [],5 y[ ],85 y[ ] Grudiglr impul δ [] (id 4) hg u [] (id 4) rmp r [] (id 5) i i iu ( ) poiluio β idid, o ördröd iglr, [ ] Komiio v gruduior. Empl. id 5 Bilg OBS vi r i på uryc om ihållr giv -rmr Sri priodi igl Liär idivri ym (LI) Liär ym äc v d ödr uprpoiio och lig y y y y y y idivri iär d i plr å roll är i id vi gör ämörl Digil iglhdlig örläigcigr Sid 5

6 [] y[] [ ] y[ ] Empl på ic-li-ym y y Grudlm ( ) ddiio [] [] [] [] Fig 3 örärig [] F F [] Fig 4 ördröig [] [-] [] [-] [] Z - [-] Fig 5 ) ) c) Dirvio rvrll (ic-ruriv) ym, Fii Impul Rpo FIR Ruriv ym, Iii Impul Rpo IIR Blocchm ör dirvior i idigr mpl, åd ic-ruriv och ruriv. Sdrdmodll ör ri locchm. Kuli, or och vr, uigl i omm i d hr ommi iigl A ygg upp iglmodllr Bygg upp iglr v impulr och dr grudlm. All iglr riv om öld v impulr δ [ ] md oli ligor [] [] δ [ ] δ [ ] ur udrör vi ymgpr? Impulvr Gr rio på örig Rioll uppällig Digil iglhdlig örläigcigr Sid 6

7 Bilg 3 Sgvr Gr rio på plölig örädrig v iigl Bilg 4 Sili Impulvr går mo oll då id går mo oädligh Sgvr går mo o värd, om vr oll, då id går mo oädligh Flig Grll iiglr y [] [ ] h[] [] h[ ] [] h[] K illurr md rioll uppällig rid v ym och iigl om rir v impulr (gällr ic-ruriv ym) riv i iglvärd i locchm Empl igur.8 id 4 m [] rr vid. Sriopplig v ym vi lig ör ic-ruriv ym E ym uigl lir ä ym iigl Bilg 5 Prllllopplig v ym För ruriv ym må m omm ihåg d vå lär hr oli uiglr y [] rpiv y [] Bilg 6 Övrur Kororrlio [] [] [ ] r vrir ör udrö orrlio vid oli ördröigr mll iglr Auoorrlio [] [] [ ] r Digil iglhdlig örläigcigr Sid 7

8 [] r S igl rgi ormrd ororrlio ξ [] r r[] [] r [] ormrd uoorrlio ξ r r [] [] [] I pri vi i oädlig måg pur u år grä o ill yc mpl, dv Pri ororrlio r [] [] [ ] om ormrd riv ξ [] [] [ ] På mm ä år vi d pri uoorrlio r [] [] [ ] om ormrd riv ξ [] [] [ ] Slu på övrur Sr- och luörlopp E ym r ig i på örvä ä i ll igåd uvrd och ördröd mpl hr å värd, dv d r vi id. Då iigl lur r d vi id i ym hr öm på mpl å uigl liggr vr id Empl igur.3 id 5 Fyrvåg md yc och yc - Mdlvärdildd ilr (movig vrg) Digil iglhdlig örläigcigr Sid 8

9 ) 5 pur ) 5 pur c) 4 pur Orvr r- och luörlopp Empl igur.4 id 53 Bdpärrilr ör EKG-igl, ov Grll dirvio r y M [ ] p [ p] riv orml y r M p [] p [ p] r y[ ] Övrur p r E homog löig r häy ill rörlopp md priulärlöig r på igl om om d llid pågå, dv u rörlopp Empl igur.5 id 55 y 6 6 [] i u[] [] [] y[ ],5 y[ ] Empl.4 Bilg 7 Slu på övrur Fourirri E ourirri r riv priodi igl E priodi igl riv v DC-ompo, grudo om hr mm priodid om igl älv och övror vr rvr är hllmuliplr v grudrv. Grudrv g v priodid idoiurlig ourirri D priodi igl riv v uryc Digil iglhdlig örläigcigr Sid 9

10 Digil iglhdlig örläigcigr Sid ( ) ( ) ( ) i co B A A om då rprrr d idoiurlig ivr ourirri, där ouriroicir g v d idoiurlig ourirrir () () ( ) () ( ) d B d A vär rm d A i co d äm uio B udd uio A Vi lriv riv d ivr idoiurlig ourirri om () där () d Vi ommr uy d orm ho uryc. Vi hr md [ ] [ ] < > B A B A A Smd g v Eulr ormlr ör iu och coiu () () co i () () i co

11 Digil iglhdlig örläigcigr Sid och d örlrr ocå vrör coiu/iu-uryc r ummrr övr poiiv värd på md poiluryc ummrr övr ll värd på ( gr DC-ompo). Eulr ormlr ör iu och coiu ommr vi väd liig i oräig iddir ourirri Priodid, mpligr/priod. Vi mplr d idoiurlig igl (), dv och rom vi mplr priod v igl å gällr () [] om är d iddir ivr ourirri. På movrd ä år vi d iddir ourirri () [ ] [],, d d vi hr llå yc rvompor iluiv DC-ompo och d liggr vid rvr D y märlig vi r ummrr övr ompor, d idoiurlig uryc ihållr u ll rvr. D är ov v mplig gör högrv ompor ommr vi r ill lågrv ompor och ll rvompor ommr h rvr lägr ä. Vi llå r h oli

12 rvompoir md giv mpligrv och giv priodid, dv giv l mpl. Ör vi å å ommr pr upprp. Vi hr llå i där i är hll. D är om g v mplig md d pgligom. Ig hidrr o hllr i vår rivig väd giv och därmd giv rvr om är ori grpp om o är pri väd. I äll ör väd irvll å vädr vi då irvll om är udd om är äm För rll iglr gällr dv rvompor md rvr övr ommr vi r ill rvompor udr, m md omy c på. D ydr vi i pri r hövr rä rvompor. Övrig ompor g u v ovåd uryc u räig. Empl 3. id 7 Bilg 8 Empl ur vio 3.6 id 7 och igur 3.3 id 73 Bilg 9 I pri hr vi i å or y v rä ourirri rom d öruär vi hr mpl prci priod v priodi igl och d är väl ärm omölig v m hr prci priod v igl u rd ä d rvihåll. Smidig är ly v priodi igl o g oir rom d i ihållr pcill myc iormio då ig hädr ä d upprpr ig hl id. Vi ommr ill dr modr, ör ourirrorm om vi ll i hllr är å pri vädr ör iglly och d d vädr vryg DF (Dicr Fourir rorm) om vi ll är pri ompromi mll ourirri och ourirrorm. D gd lå om om ourirrir är miglö m d är pri vrig ör grr, yir priodi iglr, i lroi muiirum. Vid y må vi väd ll rvompor llr d ymmri movrigh m ompor ovör u rä dom. vi u c vr d rll iglr ymmri g Digil iglhdlig örläigcigr Sid

13 Siglr md dioiuir gr upri pr, igur 3.4 id 74. Dioiuir ommr ig v vi r iglpriod ör d ol igl om mdör vi i r md hl l priodr ho d igåd rvompor. Dioiui ydr llå på vi i hr urlig priod v ol igl och ourirri är glig i illämpr. E urlig priod v d ol igl iär om vi i d ivr rorm lår å ll vi omm i på y iglpriod, dv igl ll upprp ig. Vi hr å dioiui gom grr ö l mpl v d ol igl [] och d upprp d öld v mpl u häy ill må vr hllmuliplr v priod v d igåd dliglr ör å hl priod. Dioiui i priodi igl Bilg ödvädig l mpl ör priod om mm igl Bilg Priodi iglr u dioiuir gr r pir, dv r rvompor. Spr ör impul δ [ ] δ [] dv ll rvr i md i mm grd. D är ypi u orr igl är i id u rdr pr hr d (irg oärhorm). Omvä å ommr igl om hr d rvompo g urdd iduio, öruäig ör å d rvompo är iduio är r iuormd igl och d pågår ör ll idr. Lägg mär ill impul är priodi dv lår vi vä i [] å ommr vi å impul vid mpl, vid mpl, vid mpl ov. Spr ör g ördröd impul δ [ ] δ [ ] dv mm lopp om ör d ic-ördröd impul, llå ll rvr i md i mm grd, m här hr vi md rv liär väd (mo giv värd). Liär o ördröig, dv ll rvompor ördrö li låg id och d igl om prr åd ym hållr i orm öruom ym loppurv örädr rvompor orl. E ym u ördröig är pcilll där d o ördröig är oll. E åd ym doc i rlir i rlid. Figur 3.6 id 75 Uppgi Q3.6 id 95 Egpr ho ourirri Digil iglhdlig örläigcigr Sid 3

14 Digil iglhdlig örläigcigr Sid 4 [] [] [] [] B A B A Suprpoiio [] [ ] g Fördröi [] [] [ ] rig Diri [] [] [ ] [ ] ) ( m m m lig priodi Cirulär [] [] [] [] m m m idpl i Mulipliio Uppgi Q3.8 id 95 Övrur Eprum Alog () d P iddir [] P Ergi udr priod

15 Digil iglhdlig örläigcigr Sid 5 P E Slu på övrur Fourirrorm Vi örr md på d idoiurlig vri ör Forurirrorm väd ör priodi, dv ic-priodi iglr. M uryc d å iglr hr oädlig priodid Vi ugår rå idoiurlig ourirri och lår () () [ ] ( ) ( ) d X d d om då är d idoiurlig ourirrorm. Då å ommr gå mo oll på grud v rm och därör övrgår vi ill produ om lir ädlig l Upplöig lir oädlig li, dv vi år d oiurlig pr. För å d idoiurlig ivr ourirrorm å ugår vi rå d idoiurlig ivr ourirri () ( ) ( ) [ ] () ( ) d X d X X,, Som då är d idoiurlig ourirrorm Vi hr rå idigr d iddir ourirri []

16 Vi iör X ( ) [] Då igl övrgår ill vr priodi, dv då, å ommr l mpl dv våd mll rvompor lir oädlig li och vi hr å oiurlig pr. Vi r här ocå vrör vi välr i på i äll ör på. Då å ommr vil gör äv. Produ, mll l om är oll och oädlig l gr doc ädlig rul. I llmäh är vi i hllr irrd v vr ig ourirri, ourirrorm llr DF: olu värd vid oli rvr u vi är irrd v rvurv orm, dv örhålld mll uior värd vid oli rvr. Summiogrär övrgår ill ll idr, dv ± X ( ) [] vil då är d iddir ourirrorm. För å d ivr rorm å ugår vi rå d ivr ourirri [] X ( ) X ( ) X ( ) dv d och umm övrgår ill igrl Smplig gör om vi idigr pr upprpr ig ov ör vi hr llå priodi pr och ocå priodi igl. Iigrioirvll priod movrr. Vi år d iddir ivr ourirrorm [] X ( ) d Digil iglhdlig örläigcigr Sid 6

17 Spr ör impul X ( ) [] δ [] dv ml pul gr pr där ll rvr i md i mm grd, ov om ourirri ör impul. Spr ör g ördröd impul δ [ ] X ( ) [] δ [ ] dv mm lopp om ör δ[] m liär väd (mo giv värd) Spr ör mdlvärdildd ilr 5 Empl 3. ) id 8 Bilg Spr ör ul mdlvärdildd ilr 5 Bilg 3 Egpr ho ourirrorm liri A [] B [] A X ( ) B ( ) X idi [ ] X ( ) lig [] [] X ( ) ( ) X modulio [] [] X ( ) ( ) X Övrur Ergiähprum E P [] X ( ) d Slu på övrur Digil iglhdlig örläigcigr Sid 7

18 Vi hr rå idigr d grll dirvio r y M [ ] p [ p] p och vi år u d grll dirvio pr r Y M ( ) X ( ) p p p Övröriguio, om är impulvr pr lir ( ) ( ) ( ) M p Y p X p Lägg mär ill vi här ugår rå d grll dirvio i d orm ll y- rmr år på vär id v lihc och ll -rmr på högr id. Spr ör vio ur mpl.4 id 57 Bilg 4 Empl 3.3 id 88 (Orvr l) Vår gml ochilr y [ ] [ ],9 [ ] [ ],853 y[ ],94833 y[ ] Suv om vio övrgå ill rvpl, ry u X ( ) och ( ) övröriguio Y och dl rm ( ),9,853,94833,9,853co co( ) co( ) [,9i ( ) i ( ) ] ( ),99833co( ) [,853i ( ) i ( ) ] pr igur 3.3 id 9 Orvr d y-rmr om vi lyr övr yr c. Orvr vi år och ör, dv 6,, Digil iglhdlig örläigcigr Sid 8

19 D uropi ärv 5 gör vi väd mm ilr om vi i äll välr mpligrv. Vill vi håll mpligrv, å må vi dimior om ilr. Vi ämd idigr i hllr ourirrorm är dir pri vädr ör ämm igl rvihåll och d ror på d vädd yggr på vi ummrr övr oädlig måg mpl vil urligvi i pri är omölig gör. Som g idigr å vi omm rm ill löig vi DF, löig våldör ig doc på öruäig vi hr priodi igl. Forirrorm or ydl liggr i äll i vi om vi vi ov väd d ör ämm rvgåg ho iddir ym, riv v dirvio. Uirå räd rvgåg vi d orrigr or i dirvio ör örädr rvgåg. D gr doc ig ymi ä uirå pciiio v öd rvgåg rlir ym om uppyllr pciiio. Vi ommr ill åd modr då vi ommr i på -rorm och r då vi går i på dimiorig v digil ilr och vi ll då ocå ourirrorm rivr d dl v -pl om rprrr rll iglr. Dicr ourir rorm (DF) Vi ll u i på öruäigr mpl och lyr vrlig igl. Vi hr g idigr iddir ourirri i är å lämplig rom d öruär vi hr prci priod v igl och i hllr d iddir ourirrorm är lämplig rom d öruär oädlig måg mpl. Vd vi gör är vi å r vi grä l mpl och rär iddir ourirrorm övr d mpl i äll ör övr d oädlig l mpl om d iddir ourirrorm öruär. Vd ommr d då ld ill? Om vi ämör uryc ör iddir ourirri [] och ör iddir ourirrorm X ( ) [] å r vi g or lihr mll uryc. Silldr är or om r är lor och är vi r irrd v rlio, orlörhålld mll oli rvompor å plr d ig roll ummio övr rpiv oädlig l mpl prlompor vid rpiv oiurlig prum Vi gpr rå åd ri och rorm ör ol vd om hädr då vi r ädlig l mpl v d igl vi ör lyr och lu lir vd vi gör är Digil iglhdlig örläigcigr Sid 9

20 vi r r dl, mpl, v d ol iglöld är vi hdlr d om om d hd vri priodi igl md mm priodid om vår mpligid, dv och vi år i oiurlig pr om vi hr ho ourirrorm u dir pr md yc rvompor om ho ourirri Vi år llå d dir ourirrorm (DF) X ( ) [] X [] [] [] [] Lägg mär ill d myc rli m på d idigr iörd iddir ourirrorm och d u iörd dir ouriryrorm (DF) om örvill. I i ld hr vi iör W W om r är örl rivä ör lipp riv u hl poiluryc, vi gr r vrilr, dv, och. Orvr poiluryc miuc döl i W. Prci om ho d iddir ourirri å år vi u upprpd pr å lår vi vr giv llr å upprpr ig prlompor. D dir prlompor ldr ill ivr dir ourirorm (IDF) [] X ( ) d X [] D ivr rorm gr mm yp v igl om d iddir ourirri gr, dv priodi igl och lår vi å ommr d mpld idörlopp upprp. Som g ov hr vi u hdl igl om d hd vri priodi och d vir ig i d ivr rorm rul om llå lir priodi upprpig v d mpld irvll. D öruär doc om ör ourirri vi hr prci priod v igl, i pri hr vi i d vil gr upphov ill dioiuir vid övrgåg rå priod ill ä om gr hög rvr (övr ) och därmd viigdiorio, d. Vi i prlompor liggr vid om vid ourirri, dv vår rvly gr upplöig, oggrh v r vi md lr mpl å år vi llå oggrr pr. Digil iglhdlig örläigcigr Sid

21 Grudvillor ör rorm är årig mpligvillor, dv > igl, m För rll iglr hr vi äv här pglymmri ru X X [] X [ ] [] X [ ] och liom ör ourirrorm hr vi gpr liri [] B [] A X [] B X [] A idi [ ] X [ ] X [] W lig [] [] X [] X [] modulio [] [] X [] X [] I och md vi hr grä l mpl å hr vi Rgulär ör i pricip gi vår ourirrorm, md oädlig måg mpl, och muliplicr yc v.8 mpl md md övrig mpl hr muliplicr md oll. Vi hr p ör.6 gom vil vi r på igl. D ör r u.4 om rgl (låd) och ll därör. rgulär ör. Mulipliio i idpl lig i rvpl. Vi lr llå igl pr md pr ör d rgulär ör, om lir i ic( ) () Fig 6 -uio. Figur 8.4) id 57, igur 5.3 id 47. Bilg 5 Vi mi impul, dv oädlig ml igl, gv oädlig r pr. Omvä gr oädlig r ör, dv ll mpl, oädlig ml pr om vi äg vör Digil iglhdlig örläigcigr Sid

22 igl md hälp v oädlig ml dpilr vid lig. är hr vi då ör md vi rdd, u ärr mpl u.8 rdr pr, å år vi rddig v pr (umig), dv d lir i å oggr. Vr.6 rvompo ommr ilrr rm v.4 ilr md ic()-ilr orm och crr vid rpiv rvompo, dv. dpilr md ädlig drdd. Figur 5.3, id 47 (orvr db-l) ormrd rv uvudloo rdd är, dv d Fig 7 hlv om liggr vid poiiv rvr hr 4 rdd vil är d mm.8 om idoloor rdd Sidoloor hr mm rdd om hlv huvudloo, dv.6. Orvr rvurv ollgomgågr.4 liggr prci vid d rvr där d övrig. rvompor liggr, igl md mm rv om rvompo ormrd rv ( ) ommr llå i vi ig i Fig 8 rvompor p, p u vr uläc där. Vi r ur ovåd igurr och ur igur 5.3 id 47 d idividull loor hr mm höd orod v l rmr, d ör idoloo hr llid mm höd, d dr idoloo hr llid mm höd c, vi r ocå idoloor är ymmri ru huvudloo. Ovåd romg om uläcig v dr rvompor yggr på vår igl r ihållr rvompor, om vi hr vid ourirri, m här hr vi u mpl llmä igl om ihåll vil rvr om hl (upp ill om vi uppyllr mpligvillor). Rul lir vår igl ihållr rvompor om liggr mll d dir rvompor och d rvompor ommr då vi öruio läc i i lr rvompor, ig vi huvudloo (gällr d vå prlompor om liggr på vr i id v d ull rvompo i igl) llr ocå vi ågo idoloo (gällr övrig rvompor). D mllliggd rvompor läcr llå i r i i d vå rvompor på vr i id om d rv (d läcg r llå vi dr huvudloor) u äv i rvompor lägr irå rv (vi d ompor idoloor). Vi år umig v vår pr och vi ägr vi hr läcg i pr. ormr lopp ormr lopp Digil iglhdlig örläigcigr Sid

23 Vi hr äm ov d är yr ooli vi mplr priod v igl (om u glig i hövr vr priodi) då vi r mpl. D mdör vi i år oiurlig övrgåg rå låd priod ill ä, dv mll lu v d mpld iglpriod och ör v d mpld iglpriod, om u ll lid u om ör på ä priod ör priodi igl, vi år dioiurlig övrgåg om gr upphov ill läcg och duom om lir viigdiorio. Bilg 6 Bilg 7 För mi viigdiorio å iör vi öruior md dr ormr ä d rgulär ör. D är uppyggd å vi gom dämp d ör och d i mpl pr mur övrgåg rå låd priod ill ä, d hr ocå, om vi r ll, ivr på läcg rå iglompor md rvr mll prlompor. D öruior gr llid rdr huvudloo ä vd d rgulär ör gr, m mr dämpd idoloor. D gör då rvompo om liggr mll vå prlompor vi d rddd huvudloo ommr g ö idrg i d vå ärliggd prlompor, md d dämpd idoloor gör övrhörig i övrig prlompor lir midr. Orvr ocå rddig v huvudloo gör ilr ör prlompo i lägr hr uläcig vid övrig prlompor. Vlig öruior är rigulär ör, igur 5.4 id 48 vo (ig) ör, igur 5.5 & 6 id 5-5 mmigör, igur 5.5 & 6 id 5-5 (Jämörl mll pr ör rgulär ör, igör och mmigörr igur 5.6 id 5.) Kirör, igur 5.9 id 54 Adr vlig ör är Blcmör, E Blcmör och Blcm- rriör För ll öruior gällr ö l rmr llid gr mlr huvudloo, m rgulär ör gr llid ml huvudloo. D oli öruior gr li oli rd huvudloor och duom är d oli dlr v idoloor om dämp m v oli ör. M i grll äg ågo öruio är är ä d dr, d rmhävr oli dlr v igl pr och vid rvly d vr lämplig gör ly v mm mplmägd md lr oli ör. Bilg 8 Bilg 9 Kompli ho DF Vid DF-räigr är d i ovlig m vädr g måg mpl vid räig, 5 llr mpl är i ovlig. DF-uryc X [] [] [] W Digil iglhdlig örläigcigr Sid 3

24 Digil iglhdlig örläigcigr Sid 4 och d ivr uryc [] [] X gr åd yc ompl mulipliior och yc ompl ddiior pr prlompo och rom vi hr yc prlompor å lir d ol ompl mulipliior och li måg ompl ddiior. I pri må vi dl upp uryc i rldl och imgiärdl ör u gör ddiio vil gör l oprior v vr yp rr lir. Bräig lir llå idrävd om vi hr or. Uryc ymmri ör rll iglr gör vi hlvr l räigr m d lir orrd or Vi rm ör g mm vil ör l opmiior v och (vull muliplicrd md ) och d ör llå gå hi ä dr r l räigr. Mål md F Fourir rorm (FF) är ådomm d. Orvr FF i är ågo pproimio v DF: u ivr ä rä rm mm rul. F Fourir rorm (FF) Vi dlr upp DF: i udd och äm rmr. Föruäig är vi hr äm l rmr, dv M [] [] [ ] [ ] [ ] r r r r W r W r W X [ ] [ ] r r r r r r r r W W W W W [] [ ] [ ] [] [] W G W r W W r X r r r r Om äv är äm å vi orä och dl upp d vå dluryc i y dluryc

25 Digil iglhdlig örläigcigr Sid 5 [] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] r r W W W W W W r G [] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] r r W W W W W W r Om vi orär dcimr år vi ill lu hr dcimr ill m m, dv vi r å och, dv r ± och vi hr livi v md l ompl mulipliior. Vr dcimrig gr doc ompl vi (widdl cor) ör d udd rmr om må muliplicr i. För mplv [] om 6 mpl år vi dåd igur,,,3,4,5,6,7,8,9,,,,3,4,5,,4,6,8,,,4,3,5,7,9,,3,5 DF DF DF DF DF DF DF DF,8 4,, 6,4 5,3,9 3, 7,5,6,,4,4,8, 3,7,,5,5,9,3 W 6 W 4 W 8 W 4 W 4 W 4 W 8 Figur 9

26 Övrur På vr ivå ommr vi å grudräig lig X X [] [] W [] l M [] l [ ] W [] l M [] W [m] räig rur ll urly och illurr v vidåd igur Figur Ovåd igurr ör ol ym rur ri md hälp v l urlylm. För 8 mpl räig år vi dåd igur - [] Sg Sg Sg 3 X[] [4] W 8 - W 8 X[] [] - X[] [6] W 8 - W 8 - X[3] [] W 8 - X[4] [5] W 8 - W 8 W 8 - X[5] [3] - W 8 - X[6] [7] Figur W 8 W 8 W Digil iglhdlig örläigcigr Sid 6 X[7]

27 Mod ll FF md dcimrig i id (dcimio i im). För räig uv mpl om i d odig om d år i igur. D r gom mod om ll irvrrig. Vi går i i på hur d är uppyggd. M ocå härld mod där m vädr mpl i orml ordig m då i äll år mpl i omuvd ordig. Mod ll FF md dcimrig i rv (dcimio i rqucy) och illurr v öld igur. [] Sg Sg Sg 3 X [] - W 8 X [] - W 8 X [3] - W 8 - W 8 X [4] - W 8 X [5] - W 8 - W 8 X [6] - W 8 - W 8 X [7] - 3 W 8 W W 8 X Figur Slu på övrur För vr prlompo hr vi då log() ompl mulipliior och vi hr ol log() ompl mulipliior. Vi ir ör u dcimr r ill r vå rmr pr ummio å må vi h md, där är hll. Förhålld mll DF och FF vd gällr l ompl mulipliior lir Digil iglhdlig örläigcigr Sid 7

28 DF FF Kvo,67 4 6,4,7 7,4 3 56,9,4 86, D är vär år o FF är ig pproimio v DF u r liigr, och därmd örl, ä uör räig. Orvr doc vi i DF g lä rä u rvompo om d ull vr å vi i är irrd v hl pr. I FF vi i gör d u må gomör hl prräig. DF llå lö ig är ä FF om vi r är irrd v rvompor Vl v l pur i FF: Då vi mplr igl ör gör FF på d å är d i pcill oli u pur ll p ör prci å md d ir igl u vi må p l pur gom mi llr ö l (Figur 8.9, id 67). A mi l pur iär vi ympr igl å d r är pproimio v d vrlig igl, dv vi ppr iormio (Figur 8.9, id 67). Vi ppr därmo ig iormio om vi ör l pur ill ä po ör, vi gör d gom lägg ill ollor (roillig, igur 8.9, id 67) Vi ill och md lägg ill ädå lr ollor ör omm upp ill högr mulipl v och år på å ä ydligr ild äv om vi i hr ö igl prl ihåll (Figur 8.9, id 67). D ydr r vi rär rvpr vid lr rvpur, där ', ör å mr dlrd ' ild v vår igl d ldr doc i ill vi ör upplöigho vår FF-räig. Upplöig är orrd F och vi i ärl rvompor om liggr är ä å. Bilg I vi pcill ll d vid DF lö ig mi l räigpur. D gällr då igl prlompor rår ligg å äig gör d mmllr är md DF: prlompor, d llå lö ig primr md l mpligpur. D gällr i vid FF där l mpligpur är mulipl v vå rom miig v l mpligpur här r ldr ill vi r md örr prlompor m d om liggr vr liggr vid mm rvr om ågr v idigr ompor. Övrur Filrrig vi FF Filrrig iär l iigl md ym impulvr y [] [] h[] Vi hr g lig i idpl movr v mulipliio i rvpl. D ydr vi i äll uör vår ilrrig gom rä iigl och ym rpiv FF-uior och muliplicr ihop d rvompo Digil iglhdlig örläigcigr Sid 8

29 ör rvompo vrr vi gör IFF på rul ör å d ilrrd uigl (igur 8., id 7, igur 8.3, id 73). Iigl [] Impulvr h[] FF FF X[] [] Y[]][]X[] IFF y[]h[]*[] Figur 3 Vi ocå ä o rd rå ör h ilrrivig om rvpr [] och då hövr vi i gör ågo FF-räig v ilr impulvr. Vi örö upp idvi. Ag iigl lägd och impulvr lägd är ugär häl å låg om FF:, lig gr u uigl v lägd. Flig gr rll mulipliior. vå FF: och 4 IFF gr 3 log( ) ompl mulipliior md mulipliio v X[] och [] gr yrligr ompl mulipliior om om dul å måg rll oprior dv [ 3 log( ) ] 8 3 log( ) om gr [ ] 8[ 3 log( ) ] Bräigvi,4,77,8,9 4,3 7,53 3,8 Sgmrig Ovåd ilrrig öruär vi hr illgåg ill hl ri v impl å vi gör hl räig och å d ol uigl i räig llr ocå må vi hi ågo mod iigl i dlr, gmr d och då äv å gmrd uigl. D vå modr om rur väd ör d ll ovrlp-dd och ovrlp-v. Vi går i i på d modr Slu på övrur Digil iglhdlig örläigcigr Sid 9

30 -rorm Vi diirr -rorm X () [] Fuio är uilrl, dv vi rr vid id och ryr o i om idigr iglr. D i ocå ilrl diiio där vi ummrr hl irvll ±. I pri plr d o ig roll vil diiio vi välr rom vi orml hr iglr om är oll ör giv idr, i ll ll ir vi r på igl rå och md id och diirr då igl om om d örd vid d idpu. Sr vi i äll på digil ym å rävr uli impulvr är oll ör giv idr. -rorm v impul δ[] X () δ [] -rorm v ördröd impul δ[ - ] X () δ [ ] dv ördröig g riv om mulipliio md. D gällr llmä och vi hr [] X () [ ] X () r vi llå ym md impulvr h [] δ [],3δ [ ],7δ [ 5] å hr ym -rorm 5 4,3, 7 5 (),3,7 5 om då ll ym övröriguio i -pl. D är li r vi vär o vid riv om uryc å d i ihållr giv por v u r poiv por rom d gör d lär idiir uryc polr och olläll, om vi ommr höv li r. är vi vill övrgå rå uryc i -pl ill uryc i idpl, dv dirvio llr impulvr å är d doc i d l ll lä r h giv por v vrör vi ör u hr åd rivä. Digil iglhdlig örläigcigr Sid 3

31 r vi dirvio ör ym, y [] [],8 [ ],3 [ ] å h d ym övröriguio () Y X (),8,8,3 (), 3 Vi hr ruriv ym på mm ä, y [] [],7 [ ],4 y[ ] om hr övröriguio () Y X (),7,7 (),4, 4 D ör po v om igår i uryc rur ll ilr grdl, om ild g om. D r övröriguior ov hr llå grdl m, vå rpiv ( 5, rpiv ) Bilg Som idigr gällr liri [] B [] A X () B X () A idi [ ] X () lig [] h[] X () () modulio [] [] X () X () A lig i idpl movr v mulipliio i -pl gör vi l mom övrä vår iigl och vår ym (dirvio llr impulvr) ill iigl rpiv övröriguio i -pl, muliplicr ihop d och årör rul ill idpl ör å ym uigl. Empl, ilg Digil iglhdlig örläigcigr Sid 3

32 Om hr värligr -uryc vi väd ivr -rorm ör å u [] [] X () d yigrl vr löig liggr uör mål ör d ur. O vi doc dl upp vår -uryc i l uior och gör omvdlig md hälp v ll 4., id 5. Impulvr vi å vi dir diviio v vår -uryc ör å uryc om vi lä ol om ill movrd impuulvr i idpl. Q4. c) id 7 uvcld,bilg 3 Vi åg idigr hur vi ud å d ol impulvr ör vå rioppld (doppld) ym gom l ihop d vå ym impulvr. Vi u uy gp lig i idpl movr v mulipliio i -pl och övrä d vå impulvr (llr dirvior) ill övröriguior i - pl, muliplicr ihop d ill ol övröriguio och övrä rul ill dirvio i idpl. δ[] h [] h [] h [] h o []h []*h [] () o () () () () () Figur 4 Vi ocå uy md () Y X () () ör vi årgåg ill idpl övrä d ol övrörigu io i -pl ill ol dirvio i idpl. X() () X() () () Y() () () X() Figur 5 D är ågo y om vi i hr lr v md d modr vi rivi idigr. Bilg 4 Vd iär då -rorm och -pl? är ompl l, vil iär -pl är ompl lpl. Vi r på vd om hädr md -rorm om vi hållr o på cirl md rdi ru origo i -pl, dv vi uiurr Digil iglhdlig örläigcigr Sid 3

33 dv Im() X () X ( ) [] Vi r d är d mm om ourirrorm v [] om vi rr md vil om vi g ov o i är ågo gräig, rom vi ör d m hdlr ul iglr. Fourirrorm är llå pcilll v - rorm där irär ig ill i ig på cirl md rdi ru origo i -pl. ur olr vi då d? Jo, vår orml rvl omorm (rormr, mpp) ill hcirl och rom vår iddir gpr upprp då vi hr å rv å gällr vrv movrr, dv - Figur 6 / ~ /4 ~ / - Im() R() R() ~ Figur 7 3 / ~ 3 /4 Polr och olläll i -pl E olläll är pu i -pl där ym övröriguio lir oll md pol är pu i -pl där ym övröriguio lir oädlig, dv pu där d ämr är oll. R grll gällr olläll Im() pol R() X () K K M M m rm m m [ ] [ m ] Figur 8 Där vi llå hr omorm uryc å rivr uryc olläll md m är uryc polr. E olläll är pu i -pl där uryc lir oll md pol är pu där uryc lir oädlig, dv där ämr lir oll. Digil iglhdlig örläigcigr Sid 33

34 Lägg mär ill övröriguio ihåll lor K om i y då vi r r på polr och olläll i pol/ollälldigrm. I pol/ollälldigrmm mrrr vi olläll md rigr och polr md ry. Polr och olläll vr ompl m må då uppräd i omplougrd pr ör g rll oicir i dirvio. omploug pr Im() omploug pr R() Figur 9 rvrll dirvior, dv uryc om r ihållr ördröd vrir v iigl hr orm y [] [] [ ] [ ]! [ ( ) ] och gr i -pl övröriguio () () () Y ( )! X dv ll polr liggr i origo md olläll ligg vr om hl. Ruriv dirvior, md ördröd vrir åd v i- och uigl, g åd polr och olläll ild rå origo. Empl 4.3 id 7 Splr d u ågo roll vr övröriguio polr och olläll liggr? Vi mi rvrll lär llid är il, d plr llå ig roll, ur iliypu, vr olläll liggr. För l ruriv lä mi vi y [] [] α y[ ] gr () α α och vi mi vi må h α < ör ili. D vi grlir ill pååd villor ör ili är ll polr liggr iör hcirl i -pl. Vi mi ocå pcilll ourirrorm ir vi o på hcirl i - pl. Vi llid gör ourirrorm ör rll iglr och ym och vi gord! Digil iglhdlig örläigcigr Sid 34

35 olig rvl rpord (övrörd, mppd) ill hcirl i - pl och vi hr där Pu (;) i -pl movrr då lipäig llr mr grll md pu (-;) movrr ov ur ll vi ol polr och olläll? Bilg 5 Vi hr llå L L p L L p och gör g l (m örld) oligr gom udr rvgåg då går rå ill, dv å rv går rå ill. I loppuryc ydr produ mll rmr, på mm ä om ydr umm v rmr. Splr l polr i örhålld ill l olläll ågo roll? Vi r på vd om hädr om vi hr lr olläll ä polr () Y X () () [ ][ ] [ ] p p ör å r y[]-rm i dirvio å må vi h och l i ämr, vi ryr därör u ur uryc -rmr () [ ] p och år dirvio y [] [ ] ( ) [ ] [ ] p y[ ] och d är i ul. Slu å låg lir då l olläll i år vr örr ä l polr ör å ul ym. Vd hädr då om l polr är örr ä l olläll dv uryc ihållr rm [ ] Digil iglhdlig örläigcigr Sid 35

36 () () [ p][ p ] [ p p ] p p Y () X ör å r y[]-rm i dirvio ryr vi d här gåg u () [ p p ] om gr dirvio y p p [ ] [ p p ] p p [] [ ] [ ] ( p p ) y[ ] p p y[ ] Vi hr llå r pol i origo om gr g ördröig v iigl. D pol ommr i påvr rvgåg loppurv, m därmo urv. För li v md d r, orml, oödig ördröig å örlägr vi md olläll i origo och år () om gr y [ ] [ p ][ p ] [ p p ] p p [] [] [ ] ( p p ) y[ ] p p y[ ] Vi llå här dr lu vi i ör h lr polr ä olläll. D ol lu lir llå vi ör väl li måg olläll och polr. Vi r på ågr l mpl Bilg 6 Bilg 7 Bilg 8 Ur mpl r vi iv lågpilr ör h poiiv pol och giv olläll och vär om ör högpilr om d gällr örgrdym. Är grdl högr å år vi lr rihgrdr och md li mr omplicr. Vi r ocå polr är ivr ä olläll ör yr rvgåg, vrör ruriv ilr är ivr och gör rpr ä rvrlilr v mm grdl. För dämpig ör vi plcr olläll på llr är hcirl vid d vil om movrr d rv om vi vill dämp (glöm i omploug ör ä DC och ). På mm ä gr pol är hcirl örärigopp (glöm i pol må ligg iör hcirl ör ili och äv här hr vi omploug). Vi åg llå ur ilg 7 pol på hcirl gr iili och polr må ligg iör hcirl md olläll ligg vr om hl. Som vi äm pr gågr å må polr och olläll ild rå d rll l (DC och ) vr omplougrd pr ör g rll rmr i dirvio, dv d må h mi vå polr och vå olläll och i vr v grdl. Digil iglhdlig örläigcigr Sid 36

37 Vi r pdörärig i -pluryc llid är örr ä, dv vi år iör dämpig ör å pdörärig. D är viig ä på vr i ym dämpig iör ör vi i ll o ym i ågo dl midig om vi ll uy l ir å iv om mölig. Kom ocå ihåg d o llr vull lor i övröriguio i y i polr och olläll plcrig i pol/ollälldigrmm. Vi gör l ilr gom gör lämplig plcrigr v polr och olläll. Figur 6. id 7 och 6. id 7. D i r vå ypr v r ilr vi orur gom l pol/ollällplcrig och d är ml dp- och ochilr. Sml dpilr Empl 6. id 7, Bilg 9 Md mirv och drdd B å år vi B r B B Figur r r Dul olläll () A r co ( ) r r co( ) r A Där A gr pdörärig. Uläm d or å ommr vi llid å ml dpilr md rig örärig i pd. Vill vi h ml dpilr md uläcig vid DC och om vi år hr mirv och drdd B i äll, Bilg 3 å år vi B B r r r B Figur () A r co ( ) r r co( ) r A Digil iglhdlig örläigcigr Sid 37

38 Sml ochilr md mirv och drdd B Empl 6. id 74 Bilg 3 g v r B B r r B Figur () co A r co ( ) ( ) r A r co co ( ) ( ) r där A årig gr pdörärig. U d or hr vi pdörärig om är myc är. Vi ommr u gå övr ill ly och dimiorig v digil ilr och i d mmhg är grpp liär vridig myc viig vrör vi ör ll på d. Liär vridigiär md mll igl vridig och d rv är liär dv Θ. Erom vridig iär ördröig (om < ) å ommr d ld ill vår iglr ördrö. Är vridig liär å lir ördröig li or ör ll rvompor och d örhålld om gällr ör ym iigl äv ommr gäll ör ym uigl. Orvr vi uirå d d örhålld ll rvompor ördrö li låg id i iär d öru li myc, o öruig i id iär u oli or öruig i vid oli rvr rom oli rvr hr oli priodid. Föruig lir doc liär (ördröig är proporioll mo öruig driv md vd på ). Bilg 3 rvrlilr, Ic-ruriv ilr, FIR-ilr (ii impul rpo, ädlig impulvr) Filr rlir md r uvrd och ördröd vrir v iigl ipulvr är ädlig (r lu å gåg) därv m Fii Impul Rpo (FIR, ädlig impulvr). Filroicir g dir v ilr impulvr. M ör väd d dimiorigmod må vi h illgåg ill impulvr och d är i å är. rvrlilr g v d grll vio Digil iglhdlig örläigcigr Sid 38

39 y [] y[] Vi år vidåd locchm Fourirrorm -rorm - Figur 3 Vi hr r olläll origo, md ll polr liggr i origo, och d gr g iiv ilr rom olläll påvrr rvgåg midr ä polr. Vi hövr därör måg rmr, ypi - yc, vil gör ilr lågm, dv d r låg id i igl hr vdr gom ilr. Filr gr ördröig om är li md hlv ilrlägd. A ll polr liggr i origo ovillorlig il ilr. d vår ilr h ymmri rmr, dv M M å ull vår ilr vridig, y vr pr och ull g rll rmr co( ) i () ( Eulr orml ör coiu). Symmri ull g impulvrrmr då <, dv impulvr i impul ommr llr orlud uryc ull dirvio ihåll rmr [ ] md poiiv, dv vi ull h ic-ul ilr vil i är rlirr i rlid. Symmri rävr ocå vi hr udd l rmr ör å rm vid, vi ll r d är mölig väd äm l rmr m d lir ågo värligr. Vi ördrör u M g å vi år ul ilr, dv vi hr ilrrmr l M M l M Fördröig M g iär Digil iglhdlig örläigcigr Sid 39

40 dv liär vi år liär vridig och ilr hr gåg ill illd mo d ymmri ilr om d vridig, dv ll rvrmr ommr ördrö li låg id äv om ördröig i är oll. D l yp v rvrlilr är d mdlvärdildd ilr om i ul orm riv v dirvio y [] [] dv ll ilroicir är. Filr rvpr riv v vio ( ) co( ) om är udd, och v ( ) co[ (,5) ],5 om är äm. I åd ll år pr mm orm. Vi r vi i åd ll hr liär vridig. I -pl år ilr - polr i origo och li måg olläll på hcirl vid vilr Figurr vir lopp- och pr m pol/ollälldigrm ör mdlvärdildd ilr md 5 rpiv rmr. Blopppr, mdlvärdildd ilr, 5 Blopppr, mdlvärdildd ilr,.8.8 Blopp.6 Blopp ormrd rv (rliv ) ormrd rv (rliv ) Figur 4 Figur 5 Digil iglhdlig örläigcigr Sid 4

41 Blopppr, mdlvärdildd ilr, 5 db-l Blopppr, mdlvärdildd ilr, db-l - - Blopp, db rliv m Blopp, db rliv m ormrd rv (rliv ) Figur ormrd rv (rliv ) Figur 7 Fpr, ul mdlvärdildd ilr, 5 Fpr, ul mdlvärdildd ilr, Fvil rliv pi Fvil rliv pi ormrd rv (rliv ) Figur 8 Figur ormrd rv (rliv ) Fyr polr io polr Figur 3 Figur 3 Figur 5.4 och 5.5 id 35 och 36. Bilg 33 D mdlvärdildd ilr gr orm v lågpilr, m vi hr g dålig oroll övr ilrurv, d d vi gör är gör huvudloo mlr gom ö l rmr. Digil iglhdlig örläigcigr Sid 4

42 Vi ll u ör ör gåg gå i på modr där vi hr är oroll övr ilr rvurv och där vi duom väl rvurv g ri. Vi ll doc r på d yr grudypr lågp-, dp- högp och dpärrilr. Vi ll på rvrlilrdimiorig vi ivr ourirrorm. Lå o ör md diir d gruduior. E idl lågpilr läppr igom ll iglr upp ill vi rv m pärrr ll iglr md högr rvr. På grud v pgliggpr i mpld ym å ommr vi ocå läpp igom rvd ovör och på grud v d mpld ym cyli gpr å vi li gär ri d d vid giv rvr, vil vi ommr gör i oräig. Filr hr grärv g om prrr p- och pärrd och pd hr ågo pdörärig PB, om o är. PB - g g / - g Figur 3 E idl dpilr läppr igom iglr i rvd mll udr grärv u och övr grärv ö och pärrr iglr md dr rvr. PB -( - g ) - / - g g / - g Figur 33 E idl högpilr läppr igom iglr md rvr om är högr ä grärv g (och upp ill örå) och pärrr iglr md lägr rv. PB - / - ö - u ö u / - ö - u Figur 34 E idl dpärrilr läppr igom iglr md rvr lägr ä udr grärv u, pärrr iglr md rvr därövr, upp ill övr grärv ö vrr ilr läppr igom iglr md rvr högr ä d. Digil iglhdlig örläigcigr Sid 4

43 PB - / u ö / - ö - u Figur 35 Vi gör u rivig v d öd ilr rvgpr gom g ilr övröriguio i rvpl ( ) och d rä ilr impulvr vi ivr ourirrorm h [] ( ) d I d l ll r vi övröriguio r vridig, dv ( ) ( ) och vi ör o md pciicr ilr loppurv. D ivr ourirrorm gr ilr impulvr h [] m ör rvrlilr g ilror v impulvr, lig y [] [ ] h[] δ [ ] För d ivr orurirrorm ll u riv övröriguio ullädig å må vi h md ll rmr i impulvr, dv h [] ör, d vi i h i ilrvio u här vi r md grä l rmr, orml,, dv vi r md rmr. D gör vår ilr i år d idl orm m r vi md illräclig måg rmr å ommr vi g är. I igurr r vi lågpilr md grärv rmr., pdörärig och rpiv 4. Symmri iv ourir,lp,g/4, p Symmri iv ourir,db,lp,g/4, p Blopp.6 Blopp (db) ormrd rv (rliv ) Figur ormrd rv (rliv ) Figur 37 Digil iglhdlig örläigcigr Sid 43

44 . Symmri iv ourir,lp,g/4, p Symmri iv ourir,db,lp,g/4, p -.8 Blopp.6 Blopp (db) ormrd rv (rliv ) Figur ormrd rv (rliv ) Figur 39 7Som y år vi, ro hög grdl, g rig rippl (vägig) i pd, pcill är grärv: Orod v grdl å år vi vägig, där d ör opp, om liggr ärm grärv hr höd v c: 9 % v pdörärig. Fom ll Gi om och vi ll r hur vi väd öruior ör omm ill rä md d. Vi r ocå rippl i pärrd om ocå dämp v öruior. Övrgåg mll pd och pärrd lir i oädlig r, om d är ho d idl ilr, rh ör doc md ilr grdl. E ml drdd ho ilr örvårr dimiorig. Vi ov vi r ud md ädlig l v impulvr rmr, yc, ör å öd urv å må vi md ymmri rmr, dv h [] ör M M, där M Gör vi d å år vi rvrlilr y M [] [ ] M dv ic-ul ilr om r vridig. För gör ilr ul å ördrör vi M g å vi år y M [] [ ] Vi år då ilr md liär vridig, M och vi hr i Bilg 3 liär vridig är ull ccpl. Vi hr i ovåd i gi upp d örrigä vi där rivr öruär ilr hr udd l rmr. D går ocå p ilr md äm l rmr (olämplig Digil iglhdlig örläigcigr Sid 44

45 Digil iglhdlig örläigcigr Sid 45 ör högp- och pärrilr), ilgor, m d lir ågo mr omplicr vrör d i rommdr. Vi mmr räig v oli ypr v ilr vi ivr ourirrorm. Smmigr gällr ilr md udd l rmr. För äm l rmr, rrrd ilgor. Lågpilr. [] ( ) ( ) [] g PB g PB g PB g g h M M c h, i i Bilg 34. Empl udd l rmr Bilg 35. Empl äm l rmr Bilg 36. Övrig ypr v ilr p gom rvrporig v lågpilr llr vi dir igrrig v övröriguio. Vi örr md d ör mod. Bdp-, högp- och dpärrilr vi rvrporig Bdpilr [] ( ) ( ) [] g LP p g LP PB u ö g g u ö g BP PB LP PB h M M h,,,,, co i

46 Digil iglhdlig örläigcigr Sid 46 ögpilr [] ( ) ( ) ( )( ) [] g PB g PB g PB LP g g P g LP g h M M h, i co i,,, Bdpärrilr Bilg 37 Empl dpilr Bilg 39 Empl högpilr Bilg 4 Empl dpärrilr Bilg 4 Bdp-, högp- och dpärrilr ocå dimior vi dir igrrig v övröriguio och vi mmr äv d. Smmig gällr år ig ilr md udd l rmr. [] ( ) ( ) ( ) [] ö PB u PB ö PB u PB ö ö u u h M M h, i i

47 Digil iglhdlig örläigcigr Sid 47 Bdpilr [] ( ) ( ) [ ] [] [ ] u ö p u ö p ö ö u u h M M h, i i ögpilr [] ( ) [] [ ] g p u p g g h M M h, i Bdpärrilr [] ( ) ( ) [ ] [] [ ] u ö p ö u PB ö ö u u h M M h, i i

48 Vi åg idigr vår rvrlilr dimiord vi ivr ouriryrorm hr g or rippl i åd p- och pärrd om i lir midr då vi ör grdl. D d om hädr är rippl rypr ärmr övrgåg mll p- och pärrd. För dämp d rippl vi väd mm yp v öruior om vi väd i md md DF- och FF-räigr. Vi mi d öruior vr ymmri på mm ä om vår dimioriguryc ör ivr ourirrorm är ymmri (ör uliördröig). D gör vi vädr mm id då vi rär örompor om då vi räd ilroicir, dv vi rär öruio w [] M M och muliplicrr ihop ilror h [] md öruio w [] or ör or, dv vi r h [] w[] M M och år vår örd ic-ul ilr y w M [] [ ] w[] M om vi ördrör ill d ul ilr y w M [] [ ] w[] Figurr d vir mpl på örd ilruior md oli ilrgrdl och oli öruior. Iv ourir,lp,rigulär,g/4, p Iv ourir,db,lp,rigulär,g/4, p Blopp.6 Blopp (db) ormrd rv (rliv ) Figur ormrd rv (rliv ) Figur 4 Digil iglhdlig örläigcigr Sid 48

49 . Iv ourir,lp,rigulär,g/4, p Iv ourir,db,lp,rigulär,g/4, p -.8 Blopp.6 Blopp (db) ormrd rv (rliv ) Figur ormrd rv (rliv ) Figur 43. Iv ourir,lp,brl,g/4, p Iv ourir,db,lp,brl,g/4, p -.8 Blopp.6 Blopp (db) ormrd rv (rliv ) Figur ormrd rv (rliv ) Figur 45. Iv ourir,lp,ig,g/4, p Iv ourir,db,lp,ig,g/4, p -5.8 Blopp.6 Blopp (db) ormrd rv (rliv ) Figur ormrd rv (rliv ) Figur 47 Digil iglhdlig örläigcigr Sid 49

50 . Iv ourir,lp,mmig,g/4, p Iv ourir,db,lp,mmig,g/4, p Blopp.6.4 Blopp (db) ormrd rv (rliv ) ormrd rv (rliv ) Figur 48 Figur 49. Iv ourir,lp,blcm,g/4, p Iv ourir,db,lp,blcm,g/4, p -5.8 Blopp.6 Blopp (db) ormrd rv (rliv ) Figur ormrd rv (rliv ) Figur 5. Iv ourir,lp,kir,4,g/4, p Iv ourir,db,lp,kir,4,g/4, p Blopp.6.4 Blopp (db) ormrd rv (rliv ) ormrd rv (rliv ) Figur 5 Figur 53 Digil iglhdlig örläigcigr Sid 5

51 . Iv ourir,lp,kir,8,g/4, p Iv ourir,db,lp,kir,8,g/4, p -5.8 Blopp.6 Blopp (db) ormrd rv (rliv ) Figur ormrd rv (rliv ) Figur 55 D röd li i digrmm vir ilr v mm grdl md rgulär ör (u ör). Vi r ör gr g dålig rul då vi hr r rmr. I llmäh ör m väd ör ör vid högr grdl och vi r vid rmr lir rul rä r. Om vi ämör d örd ilruior iörd å gr d li oli uämig i oli dlr v rvpr och ppliio år vgör vil öruio om är lämplig. Jämör vi d örd ilr md ilr u ör å ämr ll ör u urv m d gör midig övrgåg mll pd och pärrd lir midr r (lcr) och grärv lir i riig d öd. Vill vi vi h d örd ilr uämig m å mm rh om d oörd ilr hr å må vi väd högr grdl på d örd ilr. Empl ör lågpilr, udd grdl Bilg 4. Empl ör lågpilr, äm grdl Bilg 43. Empl dpilr md igör, udd grdl Bilg 44. Empl högpilr md mmigör, udd grdl Bilg 45. Empl dpärrilr md Blcmör, udd grdl Bilg 46. Vi åg ov hur rvrlilr dimird vi ivr ourirrorm gv rippl i poch pärrd, rippl vr orl i örädrd v ilr grdl m rippl örö ärmr övrgåg mll p- och pärrd då grdl öd. Vi ull å är ripplördlig om vi ud hi mod ör ördl rippl äm övr pd och äm övr pärrd. D yp v ilr ll quripplilr och d m äd räigmod ll Pr-McClll mod och d yggr i i ur på räiglgorim rmg v Rm. D dimiorigmod yggr på g värlig opimrigmod om rävr m upprpd (iriv) rär y ilror och örör å d uppyll ilrrv. Vi ommr i gå ärmr i på d räig, d i illgå i d l ilrdimiorigprogrm. Vi diirr ilr gom g l öd gpr, ämlig grdl rippl i pd δ p Digil iglhdlig örläigcigr Sid 5

52 rippl i pärrd δ pd grärv p pärrd grärv Figur 5. id 57 Figur 5. id 59 Agr vi ör hård rv å vi urligvi i uppyll d u år mi på ågo rv. Vi r rv ihållr åd pdrv p och pärrdrv och d år i mmll, vi i p ilr md oädlig övrgåg mll d vå d och u rdr d övrgågd (om vi lr om lågpilr) är. Mod gör p midig vi å öd pdrv, vid dimiorig vi ivr ourirrorm md ör ädrd u ör grärv, d r i här om vi i hr ör hård rv på ilr. Kir hr givi ugärlig mod ör rä ödvädig ilrgrdl pärr p log p 4,6 ( δ δ ) 3 E ågo mr oggr räig hr givi v rrm.4. δ -δ Blopp Pr-McClll-pciiio p pärr ormrd rv (rliv ) Figur 56 δ Digil iglhdlig örläigcigr Sid 5

53 log log g ( δ ) ( δ ) ( δ, δ ) [,539,74,476] [,66,594,478] ( δ, δ ),,544( ) ( δ, δ ) g( δ, δ ) ( ) Pr-McClll,5 Pr-McClll,.8.8 Blopp.6 Blopp ormrd rv (rliv ) ormrd rv (rliv ) Figur 57 Figur 58 Pr-McClll,dB,5 Pr-McClll,dB, Blopp (db) -8 - Blopp (db) ormrd rv (rliv ) ormrd rv (rliv ) Figur 59 Figur 6 Digil iglhdlig örläigcigr Sid 53

54 Pr-M cclll,db,5 Pr-M cclll,db, Blopp (db). -. Blopp (db) ormrd rv (rliv ) Figur ormrd rv (rliv ) Figur 6 Bilg 47 Bilg 48 Empl Bilg 49 Övrur Dirior E dirior är d iddir movrigh ill drivrd r och rär highörädrig, dv luig, ho igl. D l vri rär illd mll vå röld mpl, dv y [] [] [ ] vil är l, ör ordig högpilr md pr ( ) co( ) i ( ) om hr lopp ( ) [ co( ) ] i ( ) co( ) [ co( ) ] i Dirior hr rll rmr E idl dirior ll h lopp om är proporioll mo rom vi drivr rm luigoici om d d [ i ( ) ] co( ) Digil iglhdlig örläigcigr Sid 54

55 4 Idl dirior 3.5 Rll diior Blopp Blopp ormrd rv (rliv ) ormrd rv (rliv ) Figur 63 Figur 64 För må å hr vi ( ) i dv d l dirior uppyllr ömål m då lir rul ämr och ( ), igur 5.3 id 6. Vi llid dl upp pr i rl- och imgiärdl ( ) R( ) I( ) där rldl rprrr coiurm i h[], dv d är äm md imgiärdl rprrr iurm i h[], dv d är udd, vil är vd idl dirior ll vr (proporioll mo ), igur 5.3 id 6. Vi ör llå ör öd diriorurv väd dimiorig ( ) I( ) < < Vi år vi ivr ourirrorm impulvr h d [] ( ) d ±, ± 3, ± 5! ±, ± 4, ± 6! Bilg 5 rurig gr rippl i rvpr. Vi mi rippl i rvpr md hälp v öruior, igör Digil iglhdlig örläigcigr Sid 55

56 4 Imgiär dirior,5 4 Imgiär dirior,ig, Blopp Blopp ormrd rv (rliv ) ormrd rv (rliv ) Figur 65 Figur 66 dåd igur mmr d yr diurd ypr v dirior 4 Smmig diriorr,5 3.5 Imgiär 3 Imgiär md ör.5 Blopp Idl.5 Rll ormrd rv (rliv ) Figur 67 Slu på övrur Vi hr i d örgåd udr rvrlilr och dom hr l poiiv gpr, vrv d viig är liär gåg om gör ll iglompor om prr åd ilr ommr h mm ördröig, orod v rv (om d är udr örå) och ördröigr ommr i påvr urvorm ilrurv yr r v ym olläll, ll polr liggr i origo, vil gör ym llid är il Vi hr ocå l cdlr Digil iglhdlig örläigcigr Sid 56

57 ör å öd rvurv å må vi h låg ilr (måg ilror) vil ällr rv på miurymm, åd ör ilror och mpl ilr ommr h ördröig på hlv ilrlägd ( M ör udd l rmr och ör äm l rmr) gågr mpligpriod vil lir rä låg id om ilrlägd är or. Vill vi h ym om rgrr d vr occpl d låg ilrlägd gör vi må hi md måg räigr udr mpligpriod om vi vill oi rlid och rä y uigl i ä mpl ommr. D gör vi ig må h procor llr ocå må vi håll r mpligrv Vi hr idigr polr hr örr ivr på rvgåg ä vd olläll hr, vil gör ruriv ilr är ivr ä rvrlilr. Vi därör p ruriv ilr om grr lid ilrurvor om rvrlilr m md myc ärr ilrrmr, vil gör vi omm ill rä md d ov giv cdlr ho rvrlilr. D är råg om vå ypr v ilr vil gör vi i rä md å mm rvurvor i d vå ll. Md d ruriv ilr iör vi doc äv ågr cdlr ruriv ilr hr oliär gåg ruriv ilr hr polr ild rå origo vil gör vi å iil ym, pcill om ym hr or ordlägd å vrudigl li or D i doc måg mmhg där vi ccpr oliär gåg och vi oggr dimiorig och imulrig vi häy ill vrudigl och udvi iili. Ruriv ilr ll ocå Iii Ipul rpo Filr, IIR rom dom i ormlll hr impulvr om ori ldrig r lu, dv d orär i i oädlig id. Sil ym må doc h impulvr om går mo oll vrör impulvr i pri ommr li oll då vi hr å grä ör ym räigupplöig. D i doc ll där d i irär, om ll limi cycl och ommr i hdl här. E ruriv ym riv v dirvio y [] [] [ ]! [ ( M ) ] r y[ ]! r y[ ( )] M M [ ] rl y[ l] l om ym hr M rvrlor och - ruriv or. Lägg mär ill umm ör rvrlor örr md id md umm ör d ruriv or örr md id. D ror urligvi på d ör umm ihållr mpl [] md y[] -rm i i md i d dr umm rom d rm år på dr id lihc. Vi övrä d vio ill övröriguio Digil iglhdlig örläigcigr Sid 57

58 () r!! r M ( M ) ( ) M l l r l K [ ][ ]! [ M ] [ p ][ p ]! [ p ] M [ ] [ pl ] l Lägg mär ill d ruriv umm hr oli c i dirvio och i övröriguio, vr m välr diir or om poiiv är m. I i vå uryc hr älr och ämr omvdl ill ri olläll rpiv ri polr. Uryc ihållr llå l polr och olläll om ommr idr ill rvurv. Empl i igur 6. id 7 och igur 6. id 7 Bilg 5 Vi hr rd på ågr ypr v ruriv ilr, ämlig ml dpilr i Bilg 9 och 3 och ml dpärrilr (ochilr) i Bilg 3. Erom vi där hd ilr där d or örädrig v rvurv dd iom myc ml rvd å ud vi gör dimiorig gom r r plcrig ho d pol rpiv ho d pol/ollällpr. D är doc myc pcill örhålld och vi må ö dr vägr ör dimior mr grll ruriv ilr. Vi ommr på r oli modr i d ör mod vädr vi å lld iliär rorm ör vild d vär (giv) hlvpl i d log -pl på områd iör hcirl i -pl. I -pl är u ym il om d polr liggr i vär hlvpl md ym är il om polr liggr iör hcirl i -pl i impulivri vildig örör vi i äll rli log ilr impulvr i rvmpld ilr yggr vi upp ilrurv v l dlilr i rvpl Alog-iddir vildigr D o i ldig rli vlig log ilr om Burworh-, yv- (Chyv vig vrirr) och Blilr md hälp v vildigr i d iddir värld. D ilr är u väl prövd och vi är dr gpr väl. Vi hr i d log värld () K ( ) ( )! ( p ) ( p )! Orvr och p här är olläll och polr i -pl och i i -pl, dv d är i mm olläll och polr om vi på idigr. Vi år i -pl rvurv gom lå, dv vi rr d imgiär l i pl, på mm ä om vi i -pl udrr hcirl då vi rr Digil iglhdlig örläigcigr Sid 58

59 vrlig rvr. För övrä rå d log ilr i -pl ill d iddir ilr i -pl må vi llå vild d imgiär l i -pl på hcirl i - pl. Vi omdlr i vildig i li rom vildig v oädlig l på cirl md ädlig lägd är omölig, m d är u ocå vä rom vi v vi i d iddir värld ommr å pglig ovör och cyli örlopp md imgiärl i -pl gr ic-upprpd örlopp. För uppyll vår ömål ör vi vild < i -pl på < i -pl. E mod om örör ådomm d är d iliär rorm Vi rr uio F () på hcirl, dv d rvpr då F i co ( ) Då vrirr i irvll < å vrirr F ( ) i irvll F <. Vi hr llå d riig grär på irvll m vi r ur igur väg därmll är i å liär, pcill i då ärmr ig. 5 g Figur 68 Mod är doc lr vädr och vår rormio går llå u på midig gör vå rormrigr (mppigr) Digil iglhdlig örläigcigr Sid 59

60 D är viig o d vå övrgågr må midig, dv d i gör u d dr. Modi illurr r vi mpl. För u väd rorm å hövr vi rir o uryc ör d vlig log ilrypr. Vi örr md örgrdilr och hr då om ilr hr grärv pdörärig Lågp PB g och LP ( ) PB g -5 Förgrd LP db-l Blopp (db) Frv () Figur 69 ögp P ( ) PB g g Blopp (db) Förgrd P db-l Frv () Figur 7 Filr hr loppurv om lur db/dd, om är livärdig md 6 db/ov i pärrd. För drgrdilr hr vi Digil iglhdlig örläigcigr Sid 6

61 Lågpilr Adrgrd LP db-l LP ( ) PB Q Blopp (db) Q,7 Q,5 Q,5 Q Frv () Figur 7 ögpilr P ( ) PB Q Blopp (db) Adrgrd P db-l Q,5 Q Q,7 Q, Frv () Figur 7 Bdpilr BP ( ) PB Q Q Blopp (db) Adrgrd BP db-l Q,5 Q,7 Q Q, Frv () Figur 73 Digil iglhdlig örläigcigr Sid 6

62 Bdpärrilr BS ( ) PB Q Blopp (db) Adrgrd BS db-l Q,5 Q,7 Q Q, Frv () Figur 74 D ilr riv i v i grärv g u v i grv, vil i d l ll i är d mm. D i doc md mll d vå rvr om ror v d å lld Q-värd (llr godhl). För dp- och dpärrilr gällr grv är li md ilr mirv. För låg- och högpilr hr grv glig ig iörd i rvurv, vi r ur uryc d mr är räigi or, d är u vid d rv om ämr rldl lir oll. För lågpilr gällr grärv är midr ä grv då Q <, d vå rvr mmllr då Q och grv är midr ä grärv då Q >. D omväd gällr ör högpilr. Md öd Q-värd ommr vi ocå å rr ör på övrgåg mll pd och pärrd. Då Q ommr övrgåg li å r om mölig u vi år ågo vägig (rippl) i pd, d ilryp ll Burworhilr. Då Q > omm vi å rippl i pd om ör md Q-värd. D ilryp ll Chyvilr yp I. På lägr våd rå grv ommr hög- och lågpilr loppurvor lu 4 db/dd ( db/ov) md d luig ördlr ig på d vå lr ör dp- och dpärrilr, dv d lur db/dd (6 db/ov). D ilrypr riv, äv ör högr grdl, i Bilg 5. är hdl ocå Blilr, Chyvilr yp II och lipi ilr. Filrdimiorig vi illiär rorm illurr md hälp v Empl i Bilg På id 85 riv rormrig rå lågp ill dpilr och rå lågp- ill högpilr. Vi går i i på d. Digil iglhdlig örläigcigr Sid 6

63 I d örgåd vid vi vi md hälp v iliär rorm ud vild log ym övröriguio () i -pl på d iddir övröriguio () i -pl. Erom åd -pl och -pl rivr ym rvgpr å vr d d gprom vi vildd md hälp v d iliär rorm. Vi ocå ä o gör vildig i idpl där d log ym riv v i impulvr h () och vi ör då d mpld movrigh h []. D hr vi rd gor då vi åg rvrlilr ilror dir movrd värd i ym impulvr. Prolm vr r vr vug grä (rur) l rmr ör å rlirr ym och iör (g or) ördröig ör å ul ym. Vi ll u om vi hi ruriv ilrrivig om är mr omp och därmd gr midr ördröig och midig ihållr åropplig om gör vi udvi rurig. Vi ommr då i på impulivri vildig och impulivri ilr. Ord ivri (oörädrd, lid) iär impulvr ll vr oörädr (or rå mplig) då vi går rå d log ill d iddir ym. Övrur Vi r llå d log ym impulvr h () och mplr d ör å h []. () h[ ] h[ ] h D mpld ilr pr ommr då vr vildig v d log ilr pr md d illd d digil ilr pr är cyli, md pglig i och upprpig ovör. Viigdiorio ommr då li mr om vi välr ör låg mpligv i örhålld ill impulvr rvihåll, dv om pr ydlig går i i områd övr, igur 6. id 87. D gör mod i ugrr ör ilr om läppr igom hög rvr, i örhålld ill mpligrv. Mod är llå i vädr ör högpilr och dr rvorriourvor om i hr illräclig dämpig övr. E vlig rimär är ( ) <, då dv då vi är övr m. ur hir vi u d log ilr impulvr? I d l ll hr vi i dir illgåg ill d u ör vi löig i divr ilrdimiorighdöcr å hir vi i ym impulvr h () u ym övröriguio, () llr ( ) och vi må ugå rå d ör hi impulvr. I -pl d log ilr riv om () l l l l!! K ( ) ( ) ( p ) ( p )!! K p K p! Digil iglhdlig örläigcigr Sid 63