Kända och okända funktioner

Transkript

1 Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning Kända och okända funktioner Pelle Matematikcentrum Lunds universitet 1 april 2019

2 Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning lösn av diffekv frågor lösningar till diffekv Vilka egenskaper för en lösning till en ordinär diffekvation kan man läsa av från ekvationen?

3 Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning lösn av diffekv frågor Ordinär diffekv y + y = 0, y + x y = 0, y + x 2 y = 0,... Finns lösningar? Hur många? Var (för vilka x) finns de? Hur reguljära? Kan man beräkna lösningarna? Vad menas med att beräkna en lösning?

4 Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning existens regularitet linjäritet taylor värden derivata Existenssats Sats För varje par av reella tal (a,b) R så med y(0) = a och y (0) = b så finns det precis en lösning y(x) C 2 (R) till varje differentialekvation. Det finns alltså oändligt många lösningar. Varje lösning är minst två gånger deriverbar för att funktionen ska gå att stoppa in i ekvationen. Lösningarna finns för alla x.

5 Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning existens regularitet linjäritet taylor värden derivata Hårlyftningsargument (Boot-strap argument) Sats Varje lösning är oändligt många gånger deriverbar ( C (R)). Bevis. y = y, y = x y, y = x 2 y,... HL går att derivera två gånger. VL som är y går att derivera två gånger. y går att derivera 4 gånger. HL går att derivera 4 gånger. Osv.

6 Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning existens regularitet linjäritet taylor värden derivata Linjära diff ekv Differentialekvationerna är linjära, dvs om y 1 och y 2 är lösningar så är även y 1 + y 2 och ky 1 lösningar. Kontroll: { y 1 + x y 1 = 0, y 2 + x y 2 = 0 ger (y 1 + y 2 ) = x y 1 x y 2 = x(y 1 + y 2 ) och (ky 1 ) = ky 1 = kx y 1 = x(ky 1 ). Slutsats Lösningarna bildar linjärt rum.

7 Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning existens regularitet linjäritet taylor värden derivata Linjära rum, bas Kan välja bas för lösningarna. u(x) är den lösning som uppfyller u(0) = 1, u (0) = 0. v(x) är den lösning som uppfyller v(0) = 0, v (0) = 1. Om y(x) är en lösning med y(0) = a, y (0) = b så gäller y(x) = au(x) + b v(x). Kontroll: HL(0) = au(0) + b v(0) = a, HL (0) = au (0) + b v (0) = b, och entydighet. Slutsats Av alla oändligt många lösningar räcker det att studera u och v.

8 Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning existens regularitet linjäritet taylor värden derivata Taylorutvecklingar f (x) = N k=0 f (k) (0) x k + f (N+1) (ξ ) k! (N + 1)! x N+1 Kan beräkna taylorutvecklingar av u och v. Enklast för y + y = 0. Derivera ekvationen, får y + y = 0, y (4) + y = 0, y (5) + y = 0,... u(0) = 1 och u (0) = 0 ger u (0) = u(0) = 1, u (0) = u (0) = 0, u (4) (0) = 1 osv

9 Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning existens regularitet linjäritet taylor värden derivata Värden Sats u(x) = k=0 ( 1) k (2k)! x 2k Serien har oändlig konvergensradie så den gäller för alla x. Kan beräkna värden u(1) = k=0 ( 1) k (2k)! = 1 0! 1 2! + 1 4! 1 6! + 1 8! 1 10! +... = = 0,

10 Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning existens regularitet linjäritet taylor värden derivata Derivata och primitiv Om y löser y + y = 0 så gäller y + y = (y ) + y = 0 dvs y löser också diffekvationen. Speciellt är u en lösning med u (0) = 0 och u (0) = 1. Då måste u (x) = 0 u(x) + ( 1) v(x) = v(x). Pss är v en lösning med v (0) = 1 och v (0) = 0 alltså v (x) = u(x). Slutsats u har derivata v och primitiv v + C.

11 Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning additionsformler fasdiagram periodicitet geometri Additionsformler u(x + z) =? Sätt y(x) = u(x + z). Då blir y (x) = u (x + z) och y (x) = u (x + z) = u(x + z) = y(x), dvs y löser diff ekv och kan därmed skrivas u(x + z) = au(x) + b v(x) där a = y(0) = u(z), b = y (0) = u (z) = v(z). Slutsats u(x + z) = u(x)u(z) v(x)v(z)

12 Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning additionsformler fasdiagram periodicitet geometri Graf Lättare om första ordningens diff ekv. Knep! Sätt Då är m = u, n = u. m = u = n, n = u = u = m, och alltså { m = n, m(0) = 1, eller på matrisform ( ) m = n ( n = m, n(0) = 0, )( m n ), ( ) m(0) = n(0) ( ) 1. 0

13 Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning additionsformler fasdiagram periodicitet geometri Fasdiagram

14 Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning additionsformler fasdiagram periodicitet geometri Storlek av (m,n) (Vi ser x som en slags tid i fasdiagrammet!) Studera S = (m,n) 2 = m 2 + n 2 = u 2 + v 2. Hur varierar S med x? S = (u 2 + v 2 ) = 2uu + 2vv = 2u( v) + 2vu = 0. S varierar inte. S(x) = S(0) = u(0) 2 + v(0) 2 = = 1.

15 Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning additionsformler fasdiagram periodicitet geometri Diagram Följer att 1 m(x) 1 och 1 n(x) 1.

16 Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning additionsformler fasdiagram periodicitet geometri Hastighet (m,n ) Studera fart 2 = (m,n ) 2 = n 2 + m 2 = v 2 + u 2 = S = S(0) = 1. Samma fart 1 hela tiden. Nu beskriver x både var vi är på kurvan och hur lång kurvan är. 1 x u(x) 1 u är periodisk u(x + P) = u(x) där P är omkretsen av enhetscirkeln.

17 Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning additionsformler fasdiagram periodicitet geometri TIllämpning i geometri Likformiga trianglar ger c a 1 x 1 x u(x) u(x) c u(x) = b Alltså u(x) = b c där sättet att ange vilket x kallas att mäta vinkeln i radianer.

18 Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning Sammanfattning Diffekvationen bestämmer helt lösningens egenskaper. Vad som är en känd funktion beror på sammanhanget Genom att studera t ex y x y = 0 får man nya lösningar som man kan beräkna primitiv och derivata av, osv. Dessa lösningar kallas Airyfunktioner. Lösningarna till y 1 x y + (1 n2 x 2 )y = 0 kallas Besselfunktioner.