TI-Nspire CAS. Exempel på flera moment för Ma 4 och Ma 5. Your Expertise. Our technology. Student Success.

Transkript

1 TI-Nspire CAS Exempel på flera moment för Ma 4 och Ma 5 Your Expertise. Our technology. Student Success.

2 TI Nspire CAS Exempel på flera moment för Ma 4 och Ma 5 Här är ett material som visar hur man kan använda TI Nspire CAS programvara i några av momenten av kursen Ma 4. På nästa sida har vi gjort utdrag ut ämnesplanen och markerat med kursiv stil de områden som vi tar upp i detta material. Vill ni pröva på hur klassen kan testa och använda programmet kan eleverna ladda ner programmet från vår hemsida och använda det i 30 dagar. Klicka här: TI Nspire CAS för elever Vill läraren ladda ner programmet lite i förväg finns det en lärarversion, som man kan använda i 90 dagar utan kostnad. Klicka här: TI Nspire CAS för lärare Materialet är hämtad ur häftet Kreativt Tänkande med TI89. Författare Lars Jakobsson och Bengt Åhlander. Vill du veta mer om TI Nspire CAS gå till vår hemsida. Detta är ett matematikprogram som klarar all matematik på gymnasiet och mycket mer. I detta häfte ser man hur man löser differentialekvationer med CAS versionen. Till detta program finns ytterligare en version som heter TI Nspire CAS Navigator NC. Med det programmet i sin dator kan läraren genom skolans nätverk kommunicera med elevernas datorer. Lärare kan se deras skärmar, skicka ut snabbfrågor, skicka ut självrättande tester och fungerar bra som övervakning av elever vid provsituationer med datorer. Texas Instruments Sverige: Texas Instruments Kista Science Tower Kista Fax: E-post: sweden-ti@ti.com Kundtjänst/support: Tel: alt (Fri samtalkostnad) Fax: E-post: ti-cares@ti.com education.ti.com/sverige Carina Kroninger Marknadschef Norden ET Education Technology Dir. tel: Bengt Åhlander Skolkonsult Dir. tel: E-post: sweden-ti@ti.com Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 1

3 Matematik 4 Ur ämnesplanen i matematik Algebraiska och grafiska metoder för att lösa trigonometriska ekvationer. Olika bevismetoder inom matematiken med exempel från områdena aritmetik, algebra eller geometri. Undervisningen ska innehålla varierade arbetsformer och arbetssätt, där undersökande aktiviteter utgör en del. När så är lämpligt ska undervisningen ske i relevant praxisnära miljö. Undervisningen ska ge eleverna möjlighet att kommunicera med olika uttrycksformer. Vidare ska den ge eleverna utmaningar samt erfarenhet av matematikens logik, generaliserbarhet, kreativa kvaliteter och mångfacetterade karaktär. Undervisningen ska stärka elevernas tilltro till sin förmåga att använda matematik i olika sammanhang samt ge utrymme åt problemlösning som både mål och medel. I undervisningen ska eleverna dessutom ges möjlighet att utveckla sin förmåga att använda digital teknik, digitala medier och även andra verktyg som kan förekomma inom karaktärsämnena. Aritmetik, algebra och geometri Metoder för beräkningar med komplexa tal skrivna på olika former inklusive rektangulär och polär form. Komplexa talplanet, representation av komplext tal som punkt och vektor. Konjugat och absolutbelopp av ett komplext tal. Användning och bevis av de Moivres formel. Algebraiska och grafiska metoder för att lösa enkla polynomekvationer med komplexa rötter och reella polynomekvationer av högre grad, även med hjälp av faktorsatsen. Hantering av trigonometriska uttryck samt bevis och användning av trigonometriska formler inklusive trigonometriska ettan och additionsformler. Samband och förändring Egenskaper hos trigonometriska funktioner, logaritmfunktioner, sammansatta funktioner och absolutbeloppet som funktion. Skissning av grafer och tillhörande asymptoter. Härledning och användning av deriveringsregler för trigonometriska, logaritm, exponential och sammansatta funktioner samt produkt och kvot av funktioner. Algebraiska och grafiska metoder för bestämning av integraler med och utan digitala verktyg, inklusive beräkningar av storheter och sannolikhetsfördelning. Begreppet differentialekvation och dess egenskaper i enkla tillämpningar som är relevanta för karaktärsämnena Problemlösning Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg. Matematiska problem av betydelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen. Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria. Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3.

4 Faktorsatsen Faktoruppdela x x. Vi ser att x är en delare till x x, eller en faktor till x. x Vi ser också att x = 0 är ett nollställe till polynomet x x eller om vi föredrar formuleringen att x=0 är en lösning till ekvationen x x 0. Dessutom är Pröva 1 Faktoruppdela ( x ) en delare till polynomet och x = ett nollställe till det. a) x x 3 b) x x c) x x Lös ekvationen a) x x 30 b) x x 0 c) x x 0 I uppgift 1c lyckades du inte faktoruppdela polynomet. Uppgift c visar också att motsvarande ekvation saknar lösningar. Givetvis ligger det nära till hands att knyta ihop kunskapen genom att också studera funktionens graf. Se bilden här bredvid. Vi finner, inte oväntat, att funktionens graf inte skär x axeln. Pröva 3 Rita graferna för de båda andra funktionerna som vi studerade i uppgift 1. 4 Använd cfactor på funktionen x x. Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 3

5 Låt oss studera en polynomfunktion av tredje graden och upprepa ovanstående men med ett något annorlunda angreppssätt, som kanske 3 är mera logiskt. Vi ritar funktionen fx () x 5x 1. Det verkar som om x = 3 är ett nollställe till funktionen som vi undersöker. Enligt grafen har funktionen endast ett nollställe, nämligen x = 3. Alltså ska andragradspolynomet x 3x 4 inte kunna faktoruppdelas (i den reella talmängden).vi bekräftar detta ytterligare genom att faktoruppdela. Vi har nu arbetat på ett konventionellt sätt ur logisk synvinkel. Vi har genom grafen upptäckt att det tycks som om x = 3 är ett nollställe. Vi har verifierat att det är så genom att beräkna funktionsvärdet för x = 3. Sedan har vi utfört polynomdivision med (x 3) och funnit att kvoten är ett andragradspolynom som inte kan faktoruppdelas. Det nya i arbetssättet är att vi använt räknarstöd för de algebraiska manipulationerna. Pröva 5 Visa att funktionen x 3x 4 saknar nollställen genom att rita den. Använd också solve för att visa att motsvarande andragradsekvation saknar lösningar. 6 Använd csolve för att lösa ekvationen x 3x 40 i den komplexa talmängden. 5x 1 7 Rita funktionen x. Undersök dess nollställen. 6 6 Jämför sedan resultatet med det du får, om du faktoruppdelar polynomet eller om du löser ekvationen 5x 1 x Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 4

6 8 Använd den ovan beskrivna tekniken att rita grafen, för att bestämma ett nollställe och sedan utföra polynomdivision, för att bestämma samtliga nollställen till funktionen 4x 3 4x 11x 6. Kontrollera sedan genom att använda solve och även factor. Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 5

7 Lösningar Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 6

8 Differentialekvationer Med hjälp av TI Nspire CAS kan eleverna lösa alla de differentialekvationer av första och andra ordningen. Att använda det karftfulla verktyg som finns frigör tid för eleverna att formulera differentialekvationer. Det är ju skapandet av differentialekvationer som är den besvärliga biten och idag har vi inte tid över till att låta eleverna träna på detta ordentligt. Genom att använda TI Nspire CAS kan vi göra tidsvinster som kan utnyttjas till mer övning på hur man i problemlösningar skapar differentialekvationer. Algebraisk lösning Vi startar med differentialekvationen y 3y. Först öppnar vi applikationen Notes. För att skriva in matematiska uttryck klickar du först på Ctrl M (Math Box) eller markerar det du skrivit och trycker på Ctrl M. För att finna den allmänna lösningen till denna diff.ekvation behöver vi en ekvationslösare som löser diff ekvationer. Den heter DeSolve och du hittar den genom att klicka på Tool, Calculations, Calculus, Differantial Equations Solver. Börja med att skriva y. För att finna prim tecknet för derivatan kan du enklast använda primtecknet till höger om tangenten Ä på tangentbordet (upprepa två gånger för andra derivatan). Alternativt kan du klicka på boken (Utilities =Verktyg) och väljer Symbols. Du matar nu in resten av diff.ekvationen och anger slutligen oberoende variabel följt av beroende variabel. Se skärmbilden. Ekvationen löses och redovisas med en godtycklig konstant, som programmet döper till C1. Om vi vill ha ett startvillkor lägger vi till det med hjälp av and kommandot som du hittar under Catalog eller så skriver du själv and med mellanslag före och efter. Om vi söker den lösningskurva som går genom punkten (0, ) anger 3x vi startvillkoret y(0)= och får då lösningen ye. Se skärmbilden. Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 7

9 Om vi förändrar differentialekvation så att den blir inhomogen, y 3y x, och söker den allmänna lösningen, får vi den lösning, som framgår av skärmbilden till höger. Vi ser att lösningen är en summa av föregående lösning och en s.k. partikulärlösning, som i detta fall utgöres av en linjär funktion. Pröva 1 Undersök om du finner något mönster i lösningens utseende för följande diff.ekvationer. a) y y 0 b) 5 y y 0 c) 3 y y 0 Lös diff.ekvationen y ay 0 för en godtycklig konstant a. 3 Undersök om du finner något mönster i lösningens utseende för följande diff.ekvationer. a) y y3x 1 b) 5 y y5x c) 3 y y1x Genom lösandet av uppgiften 1 och 3 finner vi att den inhomogena differentialekvationen har en lösning som utgöres av motsvarande homogena ekvations lösning och en partikulärlösning. Om högerledet är en linjär ekvation tycks partikulärlösningen också vara en linjär funktion. Låt oss studera den homogena diff.ekvationen av första ordningen om koefficienterna inte längre är konstanter. Vi tittar på y 3 x y 0. Lösningen ser du i skärmbilden till höger. Vi gör en smärre ändring och studerar diff.ekvationen y x y 0. Den allmänna lösningen till denna framgår av bild 4. Det tycks som om exponenten i exponentialfunktionen är en primitiv funktion till koefficienten för y. Låt oss pröva om så är fallet genom ekvationen y f( x) y 0. Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 8

10 Dags för nya undersökningar på första ordningens differentialekvationer: Pröva 4 Lös följande differentialekvationer och försök formulera någon slutsats utifrån det funna resultatet. a) y yx 3x b) 5 y y5x 1 c) 3 y y1xx 5 Lös följande differentialekvationer och försök formulera någon slutsats utifrån det funna resultatet. a) y ysinx b) 5 y ysin xcosx c) 3 y ysinxcos x 6 Definiera yp() x ax b och använd sedan Scuffoldmetoden att finna partikulärlösningen till diff.ekvationen y 4y5x 1. Kontrollera sedan resultatet genom att använda desolve. Utan större svårigheter kan vi också klara av differentialekvationer av andra ordningen genom att använda desolve. För att mata in andraderivatans biss trycker du på prim, två gånger i följd. Vi löser y y 3y 0. Här kan vi också lägga in villkor. Vi kan formulera villkoret så att lösningskurvan ska ha en horisontell tangent i punkten (0, ).Översatt till matematiskt språk är då y(0)= och y (0)=0. Vad händer egentligen om vi ändrar koefficienterna i differentialekvationen? Pröva 7 Lös differentialekvationen y y ay 0 för följande värden på a: a = 3, a =, a = 1, a = 0 och a = 1. Vilka olika typer av lösningar finner du? Lös andragradsekvationen r ra 0 för samma värden på a. Ser du något samband? 8 Förutsäg utseendet av lösningen till y 4 y ay 0 för a = 5. Lös sedan differentialekvationen för kontroll.ange intervall för konstanten a för olika lösningstyper. Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 9

11 Grafisk lösning Första ordningens diff.ekvationer Låt oss studera diff.ekvationen y 4y 0 med startvillkoret y(0)=. För att kunna studera differentialekvationer med grafisk lösningsmetod måste du välja Graph och sedan verktyg/graph Entry line/diff Eq. Där kan man skriva in differentialekvationen y + 4y = 0 och villkoret y(0)= för att kunna se lösningen. För att kunna studera differentialekvationen bättre kan man dra i skalstrecken och ändra på fönstret. Man kan även ta tag i bakgrunden och flytta omkring fönstret. Vill man enbart ändra på skalan på en axel håller man Shift knappen intryckt när man drar i skalstrecket. Man kan även högerklicka på lösningen och välja Attribut och med pil ner en gånger och pil höger en gång välja linjer mellan punkterna. Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 10

12 Man kan även lägga in fyra olika villkorspunkter genom att klicka på symbolen med ett plustecken. Se nedan. Då får man fyra lösningskurvor. Låt oss nu studera lösningen till y 3y x. Du ser i bilden bredvid hur man skriver in ekvationen. Här har vi högerklickat på kurvan och valt linje mellan punkterna. Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 11

13 Genom att lösa ekvationen symboliskt först kan man skriva in svaret som en funktion i ett vanligt graffönster. Se bilden här bredvid. Andra ordningens differentialekvationer Som du ser i Graph Entry Line finns det inget utrymme här för att direkt behandla andra ordningens differentialekvaioner, Om vi ska lösa en andra ordningens differentialekvation så måste vi översätta den till ett system av ekvationer av första ordningen. x Vi undersöker följande differential ekvation y y y e. x Den skriver vi om: y e y y Tänk dig att vi sätter y = z. I så fall blir y = z. Om vi låter y1 = y och y = y så kan vi göra följande symboliska översättningar t I vårt exempel får vi slutligen: y e y y1 med villkoren y1(0) = 1 och y(0) =. För att första villkoret ska uppfyllas måste vi skriva att y1 =y och y1(0)= 1 Därefter kan vi skriva in det andra villkoret y(0)=. Genom, att klicka på symbolen med punkter ner till höger i Graph Entry Line kan man ställa in olika saker för lösningen. Här har vi valt Runge Kutta metod. Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 1

14 Fasdiagram Genom att klicka på symbolen med punkter kan man ställa om lösningen så att den visar fasdiagram istället. Under Field väljer man Direction. Då blir det automatiskt så att y axeln visar y (funktionsvärden) och x axeln visar y ( hastigheten förändringen på funktionsvärdena). Se bild till höger. Lösningen visar att hastigheten (förändringen) är minst då funktionsvärdet är strax under 0. Låt oss studera ett exempel från verkligheten. Vi betraktar en fjäder i vars ändpunkt hänger en vikt. Vi drar ner vikten en viss sträcka och släpper den så att systemet börjar svänga.här vet vi att kraften, dvs accelerationen är proportionell mot den sträcka vi drar ut. Vi tänker oss ett utdrag på cm. Med den massa och den fjäderkonstant vi har får vi en differentialekvation med utseendet y = 5y. Vi försöker att lösa denna ekvation med villkoren att y(0)= och y (0)=0, vilket betyder att man drar ner fjädern cm och sedan släpper den utan begynnelsefart. Översätter vi detta får vi att y1 = y och y = 5y1. Se grafen till höger. Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 13

15 Om man vill kan man klicka in bägge kurvorna både y1 och y. Se bilden bredvid. Här har man även klickat på R K och None under Field efter att man klickat på knappen med punkterna. Här kan man se att lägeskurvan i rött visar att när fjädern passerar jämviktsläget så har fjäderänden sin största hastighet. Detta kan även ses med ett Fasdiagram. Man gör ändringen på kurvans inställningar. Ändra Fields till Direction. Då blir x axeln y, dvs hastigheten, och y axeln blir y, dvs läget på fjädern. Se nästa sida. Även här kan man läsa av grafen så att hastigheten är 0 vid ändlägena. Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 14

16 Pröva: 9 Lös följande differentialekvationer algebraiskt och grafiskt a) Med villkoret att y(0)=1 5y y 5x b) y+y= sin( x) Med villkoren att y(0)=0 c) y 3y 0 Med villkoren att y(0)= och y (0)=0 10 Inom ett företag med 100 anställda har spridits en smittosam influensa. Antalet som insjuknar en viss dag är proportionellt dels mot antalet redan smittade dels mot antalet friska enligt differentialekvationen y 0,008 y(100 y). Väl smittad tar det ca 14 dagar innan man blir frisk igen. Hur ser sjukdomsförloppet ut de närmaste dagarna om antalet sjuka första dagen (dag 0) är 8 stycken? a) Hur många är sjuka dag 3? b) Hur många insjuknar dag 3? c) Hur förändras bilden om antalet sjuka dag 1 är bara två? (Det är så att ledningen misstänker att sex av de sjuka är inbillat sjuka ). Vilken dag kommer det att bli flest sjukanmälningar? Lös uppgiften såväl grafiskt som algebraiskt. Vid den grafiska lösningen kan det vara bra att veta att man kan dra i startpunkten och även ha Trace på. (Högerklicka när du markerat kurvan och välj Atribut pil ner och pil vänster). 11 I en RLC krets kan man hitta en andra ordningens differentialekvation och man kan manipulera konstanterna R, L och C och se vad som händer med den grafiska lösningen. R 1 i i i0 Här är villkoren i(0)=0 och i (0)=U/L. L LC I vårt exempel är U=30 Volt, R= 5 Ohm, L=0,089 H samt C= µf. Lös ekvationen ovan både algebraiskt och grafiskt. Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 15

17 Lösningar: Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 16

18 Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 17

19 Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 18