TI-Nspire CAS. Exempel på flera moment för Ma 4 och Ma 5. Your Expertise. Our technology. Student Success.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "TI-Nspire CAS. Exempel på flera moment för Ma 4 och Ma 5. Your Expertise. Our technology. Student Success."

Transkript

1 TI-Nspire CAS Exempel på flera moment för Ma 4 och Ma 5 Your Expertise. Our technology. Student Success.

2 TI Nspire CAS Exempel på flera moment för Ma 4 och Ma 5 Här är ett material som visar hur man kan använda TI Nspire CAS programvara i några av momenten av kursen Ma 4. På nästa sida har vi gjort utdrag ut ämnesplanen och markerat med kursiv stil de områden som vi tar upp i detta material. Vill ni pröva på hur klassen kan testa och använda programmet kan eleverna ladda ner programmet från vår hemsida och använda det i 30 dagar. Klicka här: TI Nspire CAS för elever Vill läraren ladda ner programmet lite i förväg finns det en lärarversion, som man kan använda i 90 dagar utan kostnad. Klicka här: TI Nspire CAS för lärare Materialet är hämtad ur häftet Kreativt Tänkande med TI89. Författare Lars Jakobsson och Bengt Åhlander. Vill du veta mer om TI Nspire CAS gå till vår hemsida. Detta är ett matematikprogram som klarar all matematik på gymnasiet och mycket mer. I detta häfte ser man hur man löser differentialekvationer med CAS versionen. Till detta program finns ytterligare en version som heter TI Nspire CAS Navigator NC. Med det programmet i sin dator kan läraren genom skolans nätverk kommunicera med elevernas datorer. Lärare kan se deras skärmar, skicka ut snabbfrågor, skicka ut självrättande tester och fungerar bra som övervakning av elever vid provsituationer med datorer. Texas Instruments Sverige: Texas Instruments Kista Science Tower Kista Fax: E-post: Kundtjänst/support: Tel: alt (Fri samtalkostnad) Fax: E-post: education.ti.com/sverige Carina Kroninger Marknadschef Norden ET Education Technology Dir. tel: Bengt Åhlander Skolkonsult Dir. tel: E-post: Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 1

3 Matematik 4 Ur ämnesplanen i matematik Algebraiska och grafiska metoder för att lösa trigonometriska ekvationer. Olika bevismetoder inom matematiken med exempel från områdena aritmetik, algebra eller geometri. Undervisningen ska innehålla varierade arbetsformer och arbetssätt, där undersökande aktiviteter utgör en del. När så är lämpligt ska undervisningen ske i relevant praxisnära miljö. Undervisningen ska ge eleverna möjlighet att kommunicera med olika uttrycksformer. Vidare ska den ge eleverna utmaningar samt erfarenhet av matematikens logik, generaliserbarhet, kreativa kvaliteter och mångfacetterade karaktär. Undervisningen ska stärka elevernas tilltro till sin förmåga att använda matematik i olika sammanhang samt ge utrymme åt problemlösning som både mål och medel. I undervisningen ska eleverna dessutom ges möjlighet att utveckla sin förmåga att använda digital teknik, digitala medier och även andra verktyg som kan förekomma inom karaktärsämnena. Aritmetik, algebra och geometri Metoder för beräkningar med komplexa tal skrivna på olika former inklusive rektangulär och polär form. Komplexa talplanet, representation av komplext tal som punkt och vektor. Konjugat och absolutbelopp av ett komplext tal. Användning och bevis av de Moivres formel. Algebraiska och grafiska metoder för att lösa enkla polynomekvationer med komplexa rötter och reella polynomekvationer av högre grad, även med hjälp av faktorsatsen. Hantering av trigonometriska uttryck samt bevis och användning av trigonometriska formler inklusive trigonometriska ettan och additionsformler. Samband och förändring Egenskaper hos trigonometriska funktioner, logaritmfunktioner, sammansatta funktioner och absolutbeloppet som funktion. Skissning av grafer och tillhörande asymptoter. Härledning och användning av deriveringsregler för trigonometriska, logaritm, exponential och sammansatta funktioner samt produkt och kvot av funktioner. Algebraiska och grafiska metoder för bestämning av integraler med och utan digitala verktyg, inklusive beräkningar av storheter och sannolikhetsfördelning. Begreppet differentialekvation och dess egenskaper i enkla tillämpningar som är relevanta för karaktärsämnena Problemlösning Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg. Matematiska problem av betydelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen. Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria. Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3.

4 Faktorsatsen Faktoruppdela x x. Vi ser att x är en delare till x x, eller en faktor till x. x Vi ser också att x = 0 är ett nollställe till polynomet x x eller om vi föredrar formuleringen att x=0 är en lösning till ekvationen x x 0. Dessutom är Pröva 1 Faktoruppdela ( x ) en delare till polynomet och x = ett nollställe till det. a) x x 3 b) x x c) x x Lös ekvationen a) x x 30 b) x x 0 c) x x 0 I uppgift 1c lyckades du inte faktoruppdela polynomet. Uppgift c visar också att motsvarande ekvation saknar lösningar. Givetvis ligger det nära till hands att knyta ihop kunskapen genom att också studera funktionens graf. Se bilden här bredvid. Vi finner, inte oväntat, att funktionens graf inte skär x axeln. Pröva 3 Rita graferna för de båda andra funktionerna som vi studerade i uppgift 1. 4 Använd cfactor på funktionen x x. Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 3

5 Låt oss studera en polynomfunktion av tredje graden och upprepa ovanstående men med ett något annorlunda angreppssätt, som kanske 3 är mera logiskt. Vi ritar funktionen fx () x 5x 1. Det verkar som om x = 3 är ett nollställe till funktionen som vi undersöker. Enligt grafen har funktionen endast ett nollställe, nämligen x = 3. Alltså ska andragradspolynomet x 3x 4 inte kunna faktoruppdelas (i den reella talmängden).vi bekräftar detta ytterligare genom att faktoruppdela. Vi har nu arbetat på ett konventionellt sätt ur logisk synvinkel. Vi har genom grafen upptäckt att det tycks som om x = 3 är ett nollställe. Vi har verifierat att det är så genom att beräkna funktionsvärdet för x = 3. Sedan har vi utfört polynomdivision med (x 3) och funnit att kvoten är ett andragradspolynom som inte kan faktoruppdelas. Det nya i arbetssättet är att vi använt räknarstöd för de algebraiska manipulationerna. Pröva 5 Visa att funktionen x 3x 4 saknar nollställen genom att rita den. Använd också solve för att visa att motsvarande andragradsekvation saknar lösningar. 6 Använd csolve för att lösa ekvationen x 3x 40 i den komplexa talmängden. 5x 1 7 Rita funktionen x. Undersök dess nollställen. 6 6 Jämför sedan resultatet med det du får, om du faktoruppdelar polynomet eller om du löser ekvationen 5x 1 x Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 4

6 8 Använd den ovan beskrivna tekniken att rita grafen, för att bestämma ett nollställe och sedan utföra polynomdivision, för att bestämma samtliga nollställen till funktionen 4x 3 4x 11x 6. Kontrollera sedan genom att använda solve och även factor. Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 5

7 Lösningar Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 6

8 Differentialekvationer Med hjälp av TI Nspire CAS kan eleverna lösa alla de differentialekvationer av första och andra ordningen. Att använda det karftfulla verktyg som finns frigör tid för eleverna att formulera differentialekvationer. Det är ju skapandet av differentialekvationer som är den besvärliga biten och idag har vi inte tid över till att låta eleverna träna på detta ordentligt. Genom att använda TI Nspire CAS kan vi göra tidsvinster som kan utnyttjas till mer övning på hur man i problemlösningar skapar differentialekvationer. Algebraisk lösning Vi startar med differentialekvationen y 3y. Först öppnar vi applikationen Notes. För att skriva in matematiska uttryck klickar du först på Ctrl M (Math Box) eller markerar det du skrivit och trycker på Ctrl M. För att finna den allmänna lösningen till denna diff.ekvation behöver vi en ekvationslösare som löser diff ekvationer. Den heter DeSolve och du hittar den genom att klicka på Tool, Calculations, Calculus, Differantial Equations Solver. Börja med att skriva y. För att finna prim tecknet för derivatan kan du enklast använda primtecknet till höger om tangenten Ä på tangentbordet (upprepa två gånger för andra derivatan). Alternativt kan du klicka på boken (Utilities =Verktyg) och väljer Symbols. Du matar nu in resten av diff.ekvationen och anger slutligen oberoende variabel följt av beroende variabel. Se skärmbilden. Ekvationen löses och redovisas med en godtycklig konstant, som programmet döper till C1. Om vi vill ha ett startvillkor lägger vi till det med hjälp av and kommandot som du hittar under Catalog eller så skriver du själv and med mellanslag före och efter. Om vi söker den lösningskurva som går genom punkten (0, ) anger 3x vi startvillkoret y(0)= och får då lösningen ye. Se skärmbilden. Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 7

9 Om vi förändrar differentialekvation så att den blir inhomogen, y 3y x, och söker den allmänna lösningen, får vi den lösning, som framgår av skärmbilden till höger. Vi ser att lösningen är en summa av föregående lösning och en s.k. partikulärlösning, som i detta fall utgöres av en linjär funktion. Pröva 1 Undersök om du finner något mönster i lösningens utseende för följande diff.ekvationer. a) y y 0 b) 5 y y 0 c) 3 y y 0 Lös diff.ekvationen y ay 0 för en godtycklig konstant a. 3 Undersök om du finner något mönster i lösningens utseende för följande diff.ekvationer. a) y y3x 1 b) 5 y y5x c) 3 y y1x Genom lösandet av uppgiften 1 och 3 finner vi att den inhomogena differentialekvationen har en lösning som utgöres av motsvarande homogena ekvations lösning och en partikulärlösning. Om högerledet är en linjär ekvation tycks partikulärlösningen också vara en linjär funktion. Låt oss studera den homogena diff.ekvationen av första ordningen om koefficienterna inte längre är konstanter. Vi tittar på y 3 x y 0. Lösningen ser du i skärmbilden till höger. Vi gör en smärre ändring och studerar diff.ekvationen y x y 0. Den allmänna lösningen till denna framgår av bild 4. Det tycks som om exponenten i exponentialfunktionen är en primitiv funktion till koefficienten för y. Låt oss pröva om så är fallet genom ekvationen y f( x) y 0. Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 8

10 Dags för nya undersökningar på första ordningens differentialekvationer: Pröva 4 Lös följande differentialekvationer och försök formulera någon slutsats utifrån det funna resultatet. a) y yx 3x b) 5 y y5x 1 c) 3 y y1xx 5 Lös följande differentialekvationer och försök formulera någon slutsats utifrån det funna resultatet. a) y ysinx b) 5 y ysin xcosx c) 3 y ysinxcos x 6 Definiera yp() x ax b och använd sedan Scuffoldmetoden att finna partikulärlösningen till diff.ekvationen y 4y5x 1. Kontrollera sedan resultatet genom att använda desolve. Utan större svårigheter kan vi också klara av differentialekvationer av andra ordningen genom att använda desolve. För att mata in andraderivatans biss trycker du på prim, två gånger i följd. Vi löser y y 3y 0. Här kan vi också lägga in villkor. Vi kan formulera villkoret så att lösningskurvan ska ha en horisontell tangent i punkten (0, ).Översatt till matematiskt språk är då y(0)= och y (0)=0. Vad händer egentligen om vi ändrar koefficienterna i differentialekvationen? Pröva 7 Lös differentialekvationen y y ay 0 för följande värden på a: a = 3, a =, a = 1, a = 0 och a = 1. Vilka olika typer av lösningar finner du? Lös andragradsekvationen r ra 0 för samma värden på a. Ser du något samband? 8 Förutsäg utseendet av lösningen till y 4 y ay 0 för a = 5. Lös sedan differentialekvationen för kontroll.ange intervall för konstanten a för olika lösningstyper. Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 9

11 Grafisk lösning Första ordningens diff.ekvationer Låt oss studera diff.ekvationen y 4y 0 med startvillkoret y(0)=. För att kunna studera differentialekvationer med grafisk lösningsmetod måste du välja Graph och sedan verktyg/graph Entry line/diff Eq. Där kan man skriva in differentialekvationen y + 4y = 0 och villkoret y(0)= för att kunna se lösningen. För att kunna studera differentialekvationen bättre kan man dra i skalstrecken och ändra på fönstret. Man kan även ta tag i bakgrunden och flytta omkring fönstret. Vill man enbart ändra på skalan på en axel håller man Shift knappen intryckt när man drar i skalstrecket. Man kan även högerklicka på lösningen och välja Attribut och med pil ner en gånger och pil höger en gång välja linjer mellan punkterna. Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 10

12 Man kan även lägga in fyra olika villkorspunkter genom att klicka på symbolen med ett plustecken. Se nedan. Då får man fyra lösningskurvor. Låt oss nu studera lösningen till y 3y x. Du ser i bilden bredvid hur man skriver in ekvationen. Här har vi högerklickat på kurvan och valt linje mellan punkterna. Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 11

13 Genom att lösa ekvationen symboliskt först kan man skriva in svaret som en funktion i ett vanligt graffönster. Se bilden här bredvid. Andra ordningens differentialekvationer Som du ser i Graph Entry Line finns det inget utrymme här för att direkt behandla andra ordningens differentialekvaioner, Om vi ska lösa en andra ordningens differentialekvation så måste vi översätta den till ett system av ekvationer av första ordningen. x Vi undersöker följande differential ekvation y y y e. x Den skriver vi om: y e y y Tänk dig att vi sätter y = z. I så fall blir y = z. Om vi låter y1 = y och y = y så kan vi göra följande symboliska översättningar t I vårt exempel får vi slutligen: y e y y1 med villkoren y1(0) = 1 och y(0) =. För att första villkoret ska uppfyllas måste vi skriva att y1 =y och y1(0)= 1 Därefter kan vi skriva in det andra villkoret y(0)=. Genom, att klicka på symbolen med punkter ner till höger i Graph Entry Line kan man ställa in olika saker för lösningen. Här har vi valt Runge Kutta metod. Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 1

14 Fasdiagram Genom att klicka på symbolen med punkter kan man ställa om lösningen så att den visar fasdiagram istället. Under Field väljer man Direction. Då blir det automatiskt så att y axeln visar y (funktionsvärden) och x axeln visar y ( hastigheten förändringen på funktionsvärdena). Se bild till höger. Lösningen visar att hastigheten (förändringen) är minst då funktionsvärdet är strax under 0. Låt oss studera ett exempel från verkligheten. Vi betraktar en fjäder i vars ändpunkt hänger en vikt. Vi drar ner vikten en viss sträcka och släpper den så att systemet börjar svänga.här vet vi att kraften, dvs accelerationen är proportionell mot den sträcka vi drar ut. Vi tänker oss ett utdrag på cm. Med den massa och den fjäderkonstant vi har får vi en differentialekvation med utseendet y = 5y. Vi försöker att lösa denna ekvation med villkoren att y(0)= och y (0)=0, vilket betyder att man drar ner fjädern cm och sedan släpper den utan begynnelsefart. Översätter vi detta får vi att y1 = y och y = 5y1. Se grafen till höger. Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 13

15 Om man vill kan man klicka in bägge kurvorna både y1 och y. Se bilden bredvid. Här har man även klickat på R K och None under Field efter att man klickat på knappen med punkterna. Här kan man se att lägeskurvan i rött visar att när fjädern passerar jämviktsläget så har fjäderänden sin största hastighet. Detta kan även ses med ett Fasdiagram. Man gör ändringen på kurvans inställningar. Ändra Fields till Direction. Då blir x axeln y, dvs hastigheten, och y axeln blir y, dvs läget på fjädern. Se nästa sida. Även här kan man läsa av grafen så att hastigheten är 0 vid ändlägena. Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 14

16 Pröva: 9 Lös följande differentialekvationer algebraiskt och grafiskt a) Med villkoret att y(0)=1 5y y 5x b) y+y= sin( x) Med villkoren att y(0)=0 c) y 3y 0 Med villkoren att y(0)= och y (0)=0 10 Inom ett företag med 100 anställda har spridits en smittosam influensa. Antalet som insjuknar en viss dag är proportionellt dels mot antalet redan smittade dels mot antalet friska enligt differentialekvationen y 0,008 y(100 y). Väl smittad tar det ca 14 dagar innan man blir frisk igen. Hur ser sjukdomsförloppet ut de närmaste dagarna om antalet sjuka första dagen (dag 0) är 8 stycken? a) Hur många är sjuka dag 3? b) Hur många insjuknar dag 3? c) Hur förändras bilden om antalet sjuka dag 1 är bara två? (Det är så att ledningen misstänker att sex av de sjuka är inbillat sjuka ). Vilken dag kommer det att bli flest sjukanmälningar? Lös uppgiften såväl grafiskt som algebraiskt. Vid den grafiska lösningen kan det vara bra att veta att man kan dra i startpunkten och även ha Trace på. (Högerklicka när du markerat kurvan och välj Atribut pil ner och pil vänster). 11 I en RLC krets kan man hitta en andra ordningens differentialekvation och man kan manipulera konstanterna R, L och C och se vad som händer med den grafiska lösningen. R 1 i i i0 Här är villkoren i(0)=0 och i (0)=U/L. L LC I vårt exempel är U=30 Volt, R= 5 Ohm, L=0,089 H samt C= µf. Lös ekvationen ovan både algebraiskt och grafiskt. Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 15

17 Lösningar: Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 16

18 Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 17

19 Bengt Åhlander, Texas Instruments 013 TI Nspire CAS v 3. 18

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik 4 PRÖVNINGSANVISNINGAR Kurskod MATMAT04 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik 4 Skriftligt prov (4h) Muntligt prov Bifogas Provet består av två delar.

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas, såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Matematik 2 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 2 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 2 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 2 digitala övningar med TI 82 Stat, TI 84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel

Läs mer

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra Matematik 1a Centralt innehåll Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier

Läs mer

Matematik 1 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 1 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 1 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 1 digitala övningar med TI-82 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel

Läs mer

Individuellt val Läsåret 2015-2016 ÅR 3

Individuellt val Läsåret 2015-2016 ÅR 3 INDIVIDUELLA VAL 2015/2016 Individuellt val Läsåret 2015-2016 ÅR 3 1 INDIVIDUELLA VAL 2015/2016 Du som nu går år 2 ska välja Individuellt val till år 3 uppdat 150110 Att tänka på om du vill plugga vidare..

Läs mer

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är

Läs mer

Inriktnings- och fördjupningskurser Produktionsteknik

Inriktnings- och fördjupningskurser Produktionsteknik Inriktnings- och fördjupningskurser Produktionsteknik TE - Berzeliusskolan Centralt innehåll för inriktnings- och fördjupningskurser för Produktionsteknik på Berzeliusskolan Mer utförlig information -

Läs mer

Kommentarer till uppbyggnad av och struktur för ämnet matematik

Kommentarer till uppbyggnad av och struktur för ämnet matematik 2011-06-10 Kommentarer till uppbyggnad av och struktur för ämnet matematik Likheter och skillnader jämfört med den gamla kursplanen Ämnesplanen i gymnasieskola 2011 (Gy 2011) har en ny struktur jämfört

Läs mer

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow Matematik i Gy11 110912 Susanne Gennow Var finns matematik? Bakgrund Nationella utredning 2003 PISA 2009 TIMSS Advanced 2008 Skolinspektionens rapporter Samband och förändring åk 1 3 Olika proportionella

Läs mer

INDIVIDUELLA VAL 2016/2017. Individuellt val

INDIVIDUELLA VAL 2016/2017. Individuellt val INDIVIDUELLA VAL 2016/2017 Individuellt val Läsåret 2016-2017 1 INDIVIDUELLA VAL 2016/2017 Du som nu går år 1 ska välja Individuellt val till år 2 uppdat 160105 Du som nu går år 2 ska välja Individuellt

Läs mer

Inriktnings- och fördjupningskurser Design och produktutveckling

Inriktnings- och fördjupningskurser Design och produktutveckling Inriktnings- och fördjupningskurser Design och produktutveckling TE - Berzeliusskolan Centralt innehåll för inriktnings- och fördjupningskurser för Design och produktutveckling på Berzeliusskolan Mer utförlig

Läs mer

Ämnesplaner för matematik grundskolan enligt Lgr11 och gymnasieskolan enligt Gy11

Ämnesplaner för matematik grundskolan enligt Lgr11 och gymnasieskolan enligt Gy11 Ämnesplaner för matematik grundskolan enligt Lgr11 och gymnasieskolan enligt Gy11 I ämnesplanen för grundskolans matematik har tidigare ering markerats om det är Matematik eller en högre kurs eller momentet

Läs mer

Ämne Matematik (före 2011) Ämnets syfte Gymnasieskolans utbildning i matematik bygger vidare på kunskaper motsvarande de eleverna uppnår i

Ämne Matematik (före 2011) Ämnets syfte Gymnasieskolans utbildning i matematik bygger vidare på kunskaper motsvarande de eleverna uppnår i Ämne Matematik (före 2011) Ämnets syfte Gymnasieskolans utbildning i matematik bygger vidare på kunskaper motsvarande de eleverna uppnår i grundskolan och innebär breddning och fördjupning av ämnet. Utbildningen

Läs mer

Inriktnings- och fördjupningskurser Samhällsbyggnad och miljö

Inriktnings- och fördjupningskurser Samhällsbyggnad och miljö Inriktnings- och fördjupningskurser Samhällsbyggnad och miljö TE - Berzeliusskolan Centralt innehåll för inriktnings- och fördjupningskurser för Samhällsbyggnad och miljö på Berzeliusskolan Mer utförlig

Läs mer

HEM KURSER SKRIV UT HEM ÄMNE SKRIV UT

HEM KURSER SKRIV UT HEM ÄMNE SKRIV UT Matematik HEM KURSER SKRIV UT MA200 - Matematik A 110 poäng inrättad 1994-07 SKOLFS: 1994:9 et för kursen är att ge de matematiska kunskaper som krävs för att ta ställning i vardagliga situationer i privatliv

Läs mer

Inriktnings- och fördjupningskurser Teknikvetenskap

Inriktnings- och fördjupningskurser Teknikvetenskap Inriktnings- och fördjupningskurser Teknikvetenskap TE - Berzeliusskolan Centralt innehåll för inriktnings- och fördjupningskurser för Teknikvetenskap på Berzeliusskolan Mer utförlig information - ämnets

Läs mer

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan

Läs mer

TATM79 Matematisk grundkurs, 6hp Kurs-PM ht 2015

TATM79 Matematisk grundkurs, 6hp Kurs-PM ht 2015 TATM79 Matematisk grundkurs, 6hp Kurs-PM ht 2015 Fredrik Andersson Mikael Langer Johan Thim All kursinformation finns också på courses.mai.liu.se/gu/tatm79 Innehåll 1 Kursinnehåll 2 1.1 Reella och komplexa

Läs mer

Matematik: Det centrala innehållet i kurserna i Gy 2011 i relation till kurserna i Gy 2000

Matematik: Det centrala innehållet i kurserna i Gy 2011 i relation till kurserna i Gy 2000 2011-12-21 Matematik: Det centrala innehållet i kurserna i Gy 2011 i relation till kurserna i Gy 2000 Kurs 1a och 2a i Gy 2011 jämfört med kurs A och B i Gy 2000 Poängomfattningen har ökat från 150 poäng

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

matematik Syfte Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 1. KuRSplanER FöR KoMMunal VuxEnutBildninG på GRundläGGandE nivå 55

matematik Syfte Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 1. KuRSplanER FöR KoMMunal VuxEnutBildninG på GRundläGGandE nivå 55 Matematik Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Laboration: Att inhägna ett rektangulärt område

Laboration: Att inhägna ett rektangulärt område Laboration: Att inhägna ett rektangulärt område Du har tillgång till ett hoprullat staket som är 30 m långt. Med detta vill du inhägna ett område och använda allt staket. Du vill göra inhägnaden rektangelformad.

Läs mer

Matematik 4 för basår, 8 högskolepoäng Föreläsnings- och lektionsplanering

Matematik 4 för basår, 8 högskolepoäng Föreläsnings- och lektionsplanering Matematik 4 för basår, 8 högskolepoäng Föreläsnings- och lektionsplanering Kursboken innehåller uppgifter på tre nivåer, a,b och c, i stigande svårighetsgrad. Efter varje kapitel finns en bra sammanfattning,

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 5.1 Introduktion Introduktion Exponentialfunktionen e x och logaritmfunktionen ln x är bland de viktigaste och vanligast förekommande

Läs mer

Inledning...3. Kravgränser...21. Provsammanställning...22

Inledning...3. Kravgränser...21. Provsammanställning...22 Innehåll Inledning...3 Bedömningsanvisningar...3 Allmänna bedömningsanvisningar...3 Bedömningsanvisningar Del I...4 Bedömningsanvisningar Del II...5 Bedömningsanvisningar uppgift 11 (Max 5/6)...12 Kravgränser...21

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

9-1 Koordinatsystem och funktioner. Namn:

9-1 Koordinatsystem och funktioner. Namn: 9- Koordinatsystem och funktioner. Namn: Inledning I det här kapitlet skall du lära dig vad ett koordinatsystem är och vilka egenskaper det har. I ett koordinatsystem kan man representera matematiska funktioner

Läs mer

Individuella val Årskurs 3. Läsåret 2016/2017

Individuella val Årskurs 3. Läsåret 2016/2017 Individuella val Årskurs 3 Läsåret 2016/2017 1 Innehållsförteckning Anvisningar... 2 Engelska 6: 100 poäng... 4 Engelska 7: 100 poäng... 4 Ensemble 2: 100 poäng... 4 Entrepenörskap: 100 poäng... 4 Fotografisk

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

Matematik. Programgruppens förslag till kursplan för Matematik (10) Dnr 2004:3064

Matematik. Programgruppens förslag till kursplan för Matematik (10) Dnr 2004:3064 Styrmedel/Styrdokument Programgruppen NV 2005-12-20 1 (10) Matematik Utbildningen i ämnet Matematik bygger vidare på kunskaper motsvarande grundskolans och innebär såväl breddning som fördjupning av ämnet.

Läs mer

NpMaD ht 2000. Anvisningar. Grafritande räknare och Formler till nationellt prov i matematik kurs C, D och E.

NpMaD ht 2000. Anvisningar. Grafritande räknare och Formler till nationellt prov i matematik kurs C, D och E. NpMaD ht 000 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till utgången av december 010. Anvisningar

Läs mer

Tekniskt basår Pre-University Course in Technical Sciences

Tekniskt basår Pre-University Course in Technical Sciences Kursplan för Tekniskt basår Pre-University Course in Technical Sciences TBAA01, 60 högskolepoäng, G1 (Grundnivå) Gäller för: Läsåret 2016/17 Beslutad av: Utbildningsnämnd D Beslutsdatum: 2016-04-08 Allmänna

Läs mer

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Inledning I kap 4 Differentialekvationer behövs derivator (och integraler) och i kap 5 Omfångsrika problemsituationer finns intressanta problem med användning

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

BEDÖMNINGSSTÖD. till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6

BEDÖMNINGSSTÖD. till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6 BEDÖMNINGSSTÖD till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6 Det här är ett BEDÖMNINGSSTÖD som hjälper dig att göra en säkrare bedömning av elevernas kunskaper inför betygssättningen i årskurs

Läs mer

Studiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03

Studiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03 Studiehandledning till MMA Matematisk grundkurs läsåret 0/ Version 0-09-0 Kursinformation för MMA Mål Avsikten med kursen MMA Matematisk grundkurs är att ge grundläggande kunskaper i matematik, av betydelse

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet

MATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Faktiska förkunskapskrav för vissa behörigheter

Faktiska förkunskapskrav för vissa behörigheter Malmö högskola / Gemensamt verksamhetsstöd Studentcentrum 1(5) Mars 2016 Faktiska förkunskapskrav för vissa behörigheter Ersättning för behörighetskursen Engelska B En del utbildningar anger Engelska B

Läs mer

2014-09-26. Dagens innehåll. Syftet med materialet är att. Bedömning för lärande i matematik. Katarina Kjellström

2014-09-26. Dagens innehåll. Syftet med materialet är att. Bedömning för lärande i matematik. Katarina Kjellström Bedömning för lärande i matematik Växjö 18 september 2014 Katarina Kjellström PRIM-gruppen Dagens innehåll Vad är syftet med detta bedömningsstöd Vilka har arbeta med materialet Varför ser det ut som det

Läs mer

Undervisningsplanering i Matematik Kurs E (Poäng 50)

Undervisningsplanering i Matematik Kurs E (Poäng 50) Undervisningsplanering i Matematik Kurs E (Poäng 50) Kurskod: MA1205 Styrdokument: Kursplan i matematik med betygskriterier. Läromedel: Matematik 3000 N&K. Lån för studerande upp till 20 år De studerande

Läs mer

Lösa ekvationer på olika sätt

Lösa ekvationer på olika sätt Lösa ekvationer på olika sätt I denna aktivitet ska titta närmare på hur man kan lösa ekvationer på olika sätt. I kurserna lär du dig att lösa första- och andragradsekvationer exakt med algebraiska metoder.

Läs mer

TI-89 / TI-92 Plus. en ny teknologi med

TI-89 / TI-92 Plus. en ny teknologi med TI-89 / TI-92 Plus en ny teknologi med När nya verktyg för matematik och naturvetenskapliga applikationer kommer på räknare behöver du nu inte köpa en ny. Om du har en Plus modul installerad i din TI-92

Läs mer

RödGrön-spelet Av: Jonas Hall. Högstadiet. Tid: 40-120 minuter beroende på variant Material: TI-82/83/84 samt tärningar

RödGrön-spelet Av: Jonas Hall. Högstadiet. Tid: 40-120 minuter beroende på variant Material: TI-82/83/84 samt tärningar Aktivitetsbeskrivning Denna aktivitet är utformat som ett spel som spelas av en grupp elever. En elev i taget agerar Gömmare och de andra är Gissare. Den som är gömmare lagrar (gömmer) tal i några av räknarens

Läs mer

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Studiehandledning. kurs Matematik 1b

Studiehandledning. kurs Matematik 1b Studiehandledning kurs Matematik 1b Innehållsförteckning Inledning och Syfte... 1 Ämnesplan för ämnet matematik... 1 Ämnets syfte... 1 Centralt innehåll... 2 Problemlösning... 2 Taluppfattning, aritmetik

Läs mer

Matematik och modeller Övningsuppgifter

Matematik och modeller Övningsuppgifter Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) (

Läs mer

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har

Läs mer

Matematik. Ämnets syfte

Matematik. Ämnets syfte Matematik MAT Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som

Läs mer

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

MATEMATIK 3.5 MATEMATIK

MATEMATIK 3.5 MATEMATIK TETIK 3.5 TETIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan.

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande

Läs mer

Förord. Stockholm i juni Luciano Triguero

Förord. Stockholm i juni Luciano Triguero Förord Behovet av ett praktiskt inriktat läromedel i matematik med möjlighet att använda datorbaserad beräkningsteknik har varit ledstjärnan vid tillkomsten av denna bok. Boken kombinerar matematikens

Läs mer

DOPmatematik. Ett dataprogram för lärare. som undervisar i matematik. (Lågstadiet) Mellanstadiet. Högstadiet. Gymnasiet. Vuxenutbildning.

DOPmatematik. Ett dataprogram för lärare. som undervisar i matematik. (Lågstadiet) Mellanstadiet. Högstadiet. Gymnasiet. Vuxenutbildning. DOPmatematik Ett dataprogram för lärare som undervisar i matematik (Lågstadiet) Mellanstadiet Högstadiet Gymnasiet Vuxenutbildning Folkhögskola m.fl. 1 Koefficienterna beräknade av DOP-programmet Graferna

Läs mer

Skolverkets förslag till kursplan i matematik i grundskolan. Matematik

Skolverkets förslag till kursplan i matematik i grundskolan. Matematik Matematik Matematiken har en mångtusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den har utvecklats ur människans praktiska behov och hennes naturliga nyfikenhet och lust att utforska. Matematisk verksamhet

Läs mer

Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}

Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R} Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att

Läs mer

Problemlösning som metod

Problemlösning som metod Problemlösning som metod - för att lära matematik Fuengirola november 2014 eva.taflin@gu.se evat@du.se Problemlösningsmodulens övergripande syfte Att initiera utveckling av lärares egen undervisning utifrån

Läs mer

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Del B Del C Provtid Hjälpmedel

Del B Del C Provtid Hjälpmedel Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare Karlstads universitet 19-0 april Exempel på elevaktiviteter framtagna i skolutvecklingsprojektet IKT och lärande i matematik 1

Läs mer

Hands-On Math. Matematikverkstad. Förskolans nya läroplan 1 juli 2011. Matematik är en abstrakt och generell vetenskap

Hands-On Math. Matematikverkstad. Förskolans nya läroplan 1 juli 2011. Matematik är en abstrakt och generell vetenskap Hands-On Math Matematikverkstad 09.00 10.30 & 10.45 12.00 Elisabeth.Rystedt@ncm.gu.se Lena.Trygg@ncm.gu.se eller ett laborativt arbetssätt i matematik Laborativ matematikundervisning vad vet vi? Matematik

Läs mer

MATMAT01b (Matematik 1b)

MATMAT01b (Matematik 1b) Sida 1 av 6 MATMAT01b (Matematik 1b) ATT KUNNA TILL PROV MATMAT01b1 - Öka, respektive minska temperaturer - Skriva tal skrivna med text med siffror, Ex två tiondelar = 0,2 - Hitta på två bråk som ger en

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002 RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions

Läs mer

Luleå universitet 16 mars 2012 PRIM-gruppen Astrid Pettersson

Luleå universitet 16 mars 2012 PRIM-gruppen Astrid Pettersson Kunskapskrav och nationella prov i matematik Luleå universitet 16 mars 2012 PRIM-gruppen Astrid Pettersson Disposition PRIM-gruppens uppdrag Bedömning Lgr 11 och matematik Det nationella provsystemet PRIM-gruppens

Läs mer

Ä mne Matematik. Ämnets syfte. 2016-04-20 Remissversion

Ä mne Matematik. Ämnets syfte. 2016-04-20 Remissversion Ä mne Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan.

Läs mer

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1. PASS 9. OLIKHETER 9. Grundbegrepp om olikheter Vi får olikheter av ekvationer om vi byter ut likhetstecknet mot något av tecknen > (större än), (större än eller lika med), < (mindre än) eller (mindre än

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik 5 PRÖVNINGSANVISNINGAR Kurskod MATMAT05 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik 5 Skriftligt prov, 4h Teoretiskt prov Bifogas Provet består av två delar.

Läs mer

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E HÖSTEN 1996

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E HÖSTEN 1996 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av mars 1997. NATIONELLT PROV

Läs mer

Matematik C (MA1203)

Matematik C (MA1203) Matematik C (MA103) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma C (MA103) Matematik 03-08- Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2011

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2011 Prov som ska återanvändas omfattas av sekretess enligt 17 kap. 4 offentlighets- och sekretesslagen (2009:400). Avsikten är att detta prov ska kunna återanvändas t.o.m. 2017-06-30. Vid sekretessbedömning

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll 5 komplexa tal 150 5.1 Inledning................................ 150 5. Geometrisk definition av de komplexa talen..............

Läs mer

Fria matteboken: Matematik 2b och 2c

Fria matteboken: Matematik 2b och 2c Fria matteboken: Matematik 2b och 2c Det här dokumentet innehåller sammanfattning av teorin i matematik 2b och 2c, för gymnasiet. Dokumentet är fritt att använda, modifiera och sprida enligt Creative Commons

Läs mer

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2. KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan

Läs mer

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ Matematik, 600 verksamhetspoäng Ämnet handlar bland annat om mängder, tal och geometriska figurer. Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

Metoder för beräkningar med potenser med rationella exponenter.

Metoder för beräkningar med potenser med rationella exponenter. Kurskod: MATMAT02a Kursen matematik 2a omfattar punkterna 1 7 under rubriken Ämnets syfte. Centralt innehåll Kommentar Begrepp i kursen matematik 2a Metoder för beräkningar vid budgetering. Budgetering

Läs mer

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet

Läs mer

Kort introduktion till Casio fx-9750 GII. Knappsats

Kort introduktion till Casio fx-9750 GII. Knappsats Kort introduktion till Casio fx-9750 GII Knappsats För ytterligare information kontakta Viweka Palm Viweka.palm@casio.se Tel 08-442 70 25 1 De vanligaste programmen: RUN- MAT Vanliga beräkningar och matrisberäkning

Läs mer

Lathund algebra och funktioner åk 9

Lathund algebra och funktioner åk 9 Lathund algebra och funktioner åk 9 För att bli en rackare på att lösa ekvationer är det viktigt att man kan sina förutsättningar, dvs vilka matematiska regler som gäller. Prioriteringsreglerna (vilken

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal

Övningshäfte 2: Komplexa tal LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet

Läs mer

Katalog över individuella val Läsåret 07/08 Till dig som går NV 2 och skall välja till åk 3

Katalog över individuella val Läsåret 07/08 Till dig som går NV 2 och skall välja till åk 3 Katalog över individuella val Läsåret 07/08 Till dig som går NV 2 och skall välja till åk 3 Du ska totalt ha 300 poäng individuellt val. Till år 2 väljer du 100 poäng och under år 3 läser du de återstående

Läs mer

3.3. Symboliska matematikprogram

3.3. Symboliska matematikprogram 3.3. Symboliska matematikprogram Vi skall nu övergå till att behandla de vanligaste matematikprogrammen, och börja med de symboliska. Av dessa kan både Mathematica och Maple användas på flere UNIX-datorer.

Läs mer

Planering Matematik II Period 3 VT Räkna själv! Gör detta före räkneövningen P1. 7, 17, 21, 37 P3. 29, 35, 39 P4. 1, 3, 7 P5.

Planering Matematik II Period 3 VT Räkna själv! Gör detta före räkneövningen P1. 7, 17, 21, 37 P3. 29, 35, 39 P4. 1, 3, 7 P5. Avsnitt 1, Inledning ( Adams P1,P3,P4, P5) Genomgång och repetition av grundläggande begrepp. Funktion, definitionsmängd, värdemängd. Intervall. Olikheter. Absolutbelopp. Styckvis definierade funktioner.

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal) LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa

Läs mer

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

Välkommen som studerande till oss

Välkommen som studerande till oss Välkommen som studerande till oss Kommunal vuxenutbildning För att studera på vuxenutbildningen ska du vara minst 20 år, dvs från och med andra kalenderhalvåret du fyller 20, eller ha slutförd gymnasieutbildning.

Läs mer