Lösning, Analytisk mekanik, 5C1121, Tentamen,

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Lösning, Analytisk mekanik, 5C1121, Tentamen,"

Britt Fredriksson
för 5 år sedan
Visningar:

1 Kungl Teknisk Högskoln Institutionen för Meknik Lösning, Anlytisk eknik, 5C111, Tenten, Räkneproble Uppgift 1: En etllring hr ss M och rdie R. En punkt på dess periferi är upphängd i en fix punkt O. IO finns ett lger så tt ringen kn sväng i ett vertiklpln ed försubr friktion kring en ot ringens pln vinkelrät och horisontell xel. På ringen kn en pärl glid ed försubr friktion. Pärln hr ssn. Beräkn vinkelfrekvensern för så svängningr kring jäviktsläget för denn dubbelpendel. O y R M R 1 x Lösning 1: Kinetisk energin blir T = 1 ( MR ϕ ) v ) där r = Re ρ (ϕ 1 )+Re ρ (ϕ )så derivering och kvdrering ger v = R ( ϕ 1 + ϕ +cos(ϕ 1 ϕ ) ϕ 1 ϕ ), så lltså är T 1 R [( 1+ M ) ϕ 1 + ϕ + ϕ 1 ϕ ], i den kvdrtisk pproxitionen. Potentiell energin blir V = MgRcos ϕ 1 gr[cos ϕ 1 +cosϕ ] V [( gr 1+ M ) ] ϕ 1 + ϕ. Alltså fås sekulrekvtionen ( ) ( 1+M/ 1 1+M/ 0 R x + gr Dett ger Svr: vinkelfrekvensern blir ω 1 = g R och ω = +M g M R. ) =0

2 Uppgift : Ett cykelhjul, ed ed ss och tröghetsoent J ed vseende på sin syetrixel, är ontert på en lätt horisontell xel OB ed längden l. Hjulet kn betrkts so tunt. Axeln OB roterr kring vertiklen ed vinkelhstigheten Ω och hjulet roterr kring syetrixeln OB ed vinkelhstigheten ω. Påvståndet från en fix kulled i O psserr OB geno en liten välsord hyls A so påverkr xeln OB edenkrft so är vinkelrät ot xeln. Beräkn denn krft till storlek och riktning. O A B Lösning : Dett proble är s so Exple 5.4 sid. 84 i Chpter 5 (Three diensionl otion of rigid bodies). Byt br d ot och ϕ ot ω. Svr: F = gl JΩω uppåt (o positivt, nnrs neråt förståss).

3 Uppgift 3: En kloss ed ssn M kn glid längs ett rkt gltt horisontellt spår. Från klossen hänger en stång, ed ss och längd, isinenände. Denn är ledd i klossen så tt stången kn roter i ett vertiklpln so innehåller spåret. När systeet är i vil slås stången till i sin ittpunkt så tt den får en stötipuls I prllell ed spåret. Beräkn klossens frt och stången vinkelhstighet oedelbrt efter slget. M y I x Lösning 3: Kinetisk energin blir T = 1 (M + )ẏ ϕ + 1 ẏ ϕ cos ϕ. Arbetet för den krft F (t) so tidsintegrerd ger I kn skrivs δw = δw y + δw ϕ = Q y dy + Q ϕ dϕ = Fdy+ Fdϕ såttq y = F och Q ϕ =(/)F. De generliserde stötipulsern blir lltså I y = I och I ϕ =(/)I. Lgrnge stötekvtioner (p L/ q = T/ q ) ger således (vid ϕ =0,t=0) p y (t + τ) p y (t) = I y p ϕ (t + τ) p ϕ (t) = I ϕ (M + )ẏ + 1 ϕ = I 3 ϕ + 1 ẏ = I Ur dess kn n lös ut de önskde storhetern. Svr: ẏ = I +4M och ϕ = 6MI (+4M).

4 Idéproble: Uppgift 4: En for v Lgrnges ekvtioner är d L L =0. dt q q Betrkt fllet ed en prtikel och ntg tt L = T U där rbetsfunktionen U ges v, U = 1 Ω ρ Ωρ ϕ, i cylinderkoordinter (ρ, ϕ, z). Beräkn rörelseekvtionern och tolk dess. Lösning 4: Bild L = T U och få Rörelse ekvtionern blir L = 1 ( ρ + ρ ϕ +ż )+ 1 Ω ρ + Ωρ ϕ. ρ ρ ϕ = ρω +Ωρ ϕ ρ ϕ + ρ ϕ = Ω ρ z = 0 Ihögerleden står här ss gånger ccelertion i cylinderkoordinter, i vänsterleden således generliserde krfter. Tolkningen är tt dett är ekvtionern för en fri prtikel so rör sig reltivt ett syste so roterr kring z-xeln ed vinkelhstigheten Ω. Krftern på prtikeln är således centrifugl och Coriolis krftern. Noter tt n kn skriv o Lgrngefunktionen på följnde for L = 1 [ ρ + ρ (Ω + ϕ) +ż ]. Av denn for frgår tt prtikeln hr en vinkelhstighet Ω även när den är i vil, vilket lltså beror på tt den betrkts från ett roternde koordintsyste. Uppgift 5: Antg tt krftern på ett syste är stor under ycket kort tid, det vill säg, n hr tt gör ed en stöt. En sådn krkterisers v tt läget ändrs försubrt under denn kort tid, en inte hstighetern. Hur kn n npss Lgrnges ekvtioner för systeet så tt de ger svr på hur systeets hstighetstillstånd ändrs vid stöten. Lösning 5: Se Theory of Lgrnges equtions, Avsnitt 9.. vänd

5 Uppgift 6: En hoogen kub ed ss och sid dels i ått lik kuber. En ny kropp bilds geno tt sju v dess lis ihop igen i de ursprunglig snitten. Beräkn den ny kroppens tröghetstensor ed vseende på ett koordintsyste ed origo i den ursprunglig kubens ittpunkt (sscentru) och ed koordintxlrn prllell ed kubens sidor. Lösning 6: För den ursprunglig kuben hr vi tröghetstensorn På grund v dditivitet gäller även I kub = I kub = I kropp + I oktnt där I kropp är den sökt tröghetstensorn för den ny kroppen, och I oktnt är tröghetstensorn för den sknde biten (i en oktnt). Vi hr även tt För en liten (åttondels) kub hr vi I oktnt = I litenkub + Steiner bidrg. I litenkub = 1 ( 6 8 ) Steiner bidrget är s so för en prtikel ed ssn /8 ochläget r =(/4)e x + (/4)e y +(/4)e z, och blir således: Steiner bidrg = 8, 1/8 1/16 1/16 1/16 1/8 1/16 1/16 1/16 1/8. Vi får lltså tt Dett ger Svr: I kropp = I kub (I litenkub + Steiner bidrg) I kropp = 1 6 7/8 3/64 3/64 3/64 7/8 3/64 3/64 3/64 7/8. Hnno Essén

Relevanta dokument

Mekanik för I, SG1109, Lösningar till problemtentamen,

Mekanik för I, SG1109, Lösningar till problemtentamen, KTH Meknik 2008 05 20 Meknik för I, SG09, Lösningr till probletenten, 2008 05 20 Uppgift : En bo ed ssn och längden är i sin en ände onterd i en kulled på en vertikl vägg. I den ndr änden A är fäst två