Tentamensskrivning i Mekanik (FMEA30) Del 1 Statik- och partikeldynamik Lösningsförslag

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Tentamensskrivning i Mekanik (FMEA30) Del 1 Statik- och partikeldynamik Lösningsförslag"

Jakob Lindström
för 5 år sedan
Visningar:

1 entmensskrivnin i Meknik (FME3) Del 1 ttik- och prtikeldynmik 1518 Lösninsförsl 1. ) Frilä rmverket! Inför spännkrftern G och i linorn, rektionskrften R från väen på stånen i punkten och tyndkrften m = k ( 5) smt det nrinde krftpret ( F, ), ( F, I) med F = i 4N enlit nednstående fiur. R G c F 3m D I F m Det äller (i sen ( i jk ) ): rg ( 1,, ) (,, ) ( 1,, ) = e = = = = r (,, ) (,,) G 1 ( 1) + ( ) + G G G G G G med krvet G. 1 (,, ) G (1) r ( 3,, ) ( 1,, ) (,, ) 1 1 = e = = = = (,, ) r (,, ) (,, ) ( ) med krvet. Krftekvtionen er vid jämvikt: 1

2 Det äller tt (i sen ( i jk ) ) + + R+ m R= ( + + m ) (3) G G R= ( G + + m ) = ((,, ) G + (,, ) + (,, 5) ) = ( G, G, G 5) (4) Momentekvtionen (med momentpunkt ) er vid jämvikt: r G + r + ri F + rc m (5) där r = j, r = i1+ j, ri = j ( 3) och rc = j4m+ k ( ) Ekvtion (5) kn skrivs i j k i j k i j k i j k G = G 3 ( i+ k) k + k1 i (6) 3 Dett är ekvivlent med komponentekvtionern: 4G G = kN 3 G = ( 1 + 1) 5. kn 3 3 (7) Ekvtion (3) och (4) er nu 1 R = ( G, G, G 5) = ( 15 + ( 1 + 1), 15 ( 1 + 1), 15 5) = ( + 4, 4, 5) (., 1 13., 5 4.) 9 kn (8) 3 3 vr: = 14. 7kN, = 5. kn, R= i1. + j k ( 49. ), kn. G

3 . Frilä lkrn enlit nednstående fiur! Inför kontktkrftern,, smt den yttre krften F., och, F Jämvikt för den rk lken er: Jämvikt för den krökt lken er: Ekvtionern och (3) Ekvtion (5) och (6) er ( ): +, ( ): + F : F ( + ) (3) ( ): +, ( ): + (4) : + (5) + ( + ) = F, = F = F F = F (6) + = = F = + + v (4) följer nu tt = = F och = = F + + vr: = = = F, = = F, = F 3

4 3. Inför ett koordintsystem enlit nednstående fiur. Då äller tt kelns form es v ekvtionen y w = (1) x där m wx w =. pännkrften i keln es v = ( x) = ( ) 1+ vilket inneär tt den mximl spännkrften i keln erhålles för x = : w m = mx ( ) = 1 + ( ) 1 ( ) = + y h x Återstår tt estämm prmetern. pännkrften i keln för x: ( ) =. Frilä kel och lk enlit nednstående fiur. Inför spännkrftern ( ) = och ( ) smt tyndkrften m ( ) h m Momentekvtionen er: : m h = (3) vilket er 4

5 = m (4) h och därmed, enlit och (4) vr: mx = m 1+ ( ). h h mx = m 1+ ( ) = m 1+ ( ) h h 4. Frilä den kropp som estår v fjäder + vn + lin+ triss. Inför yttre krfter enlit nednstående fiur, d v s rektionskrften R på fjädern i O smt normlkrften N melln vn och rör, rektionskrftern, på trissns xel smt krften F på linn. Inför läeskoordinten x för vnen. Låt d eteckn vnens hlv länd (kn eventuellt försumms då vnen nts vr liten) F α R z O x N e l + d + Kroppens meknisk eneri es v mv 1 E = + + e = + mz + k( l l) där v är hylsns hstihet, z = xsinθ är vnens msscentrums koordint i höjdled och l är y fjäderns ktuell länd. Enlit effektsttsen äller tt E = P = Fu, där u är linns frt i den punkt där krften F nriper. Det äller tt 5

6 e ee u = x cos α = x = e + e + där e= l + d + x. Oserver tt krftern R, N smt, är effektlös! v dett följer då krften F är konstnt ( t är den tidpunkt då vnen når läe ) t t t ee E E = Fudt F dt F e = = + = F( + ) + + )) = e + F( + ) Men E = m( l + d)sinθ, E = mv + m( l + d + )sinθ + 1 k åledes mv + m( l + d + )sin θ + 1 k = m( l + d)sin θ + F( + ) vilket er 1 v = ( F( + ) m sin θ k ) m om svr på deluppift ) konstterr mn tt det krävs tt 1 m sinθ + k F + 1 vr: ) v = ( F( + ) m sin θ k ), ) m 1 m sinθ + k F + 5. ) Frilä prtikeln. Inför normlkrften N = eθnθ + k Nz och tyndkrften m. e fiuren nedn! Krftekvtionen er N + m= m (1) där hylsns ccelertion es v ( z, θ = ω, θ ) 6

7 = e ( r r θ ) + e ( r θ + r θ) = e ( r rω ) + e r ω r θ r θ O e r θ e θ r N m Ekvtionern (1) och er e m sin θ + e ( N + m cos θ) + kn = ( e ( r rω ) + e r ω ) m r θ θ z r θ vilket är ekvivlent med komponentekvtionern m sin θ = ( r rω ) m, Nθ + m cosθ = r ωm, Nz (3) v (3) 1 följer tt r rω = sinθ (4) dθ ) Genom tt utnyttj smnden r = r( θ ), θ() t = ωt, r = = ω, dθ dt dθ erhålles r = ω dθ ω rω = sinθ r = sinθ (5) dθ dθ ω med eynnelsedt: r ( ), ( ) och lösninen dθ r( θ) = (sinhθ sin θ) (6) ω vr: ) Rörelseekvtionen: r rω = sinθ ) Rörelsen r( θ) = (sinhθ sin θ). ω nm: Enlit mtemtikkursen Endim äller tt den homoen differentilekvtionen r dθ = hr den llmänn lösninen r( θ) = sinhθ + coshθ. Den inhomoen ekvtionen (5) hr en prtikulärlösnin r( θ) = sinθ. Den llmänn lösninen till (5) es då v ω r( θ) = sinhθ + coshθ sinθ. Med eynnelsedt r ( ), r ( ), enlit ovn, så ω erhålles lösninen (6). 7

Relevanta dokument

Mekanik för I, SG1109, Lösningar till problemtentamen,

Mekanik för I, SG1109, Lösningar till problemtentamen, KTH Meknik 2008 05 20 Meknik för I, SG09, Lösningr till probletenten, 2008 05 20 Uppgift : En bo ed ssn och längden är i sin en ände onterd i en kulled på en vertikl vägg. I den ndr änden A är fäst två