Analytisk mekanik för MMT, 5C1121 Tentamen, , kl

Transkript

1 Kung Tekniska Högskoan 4 Institutionen för Mekanik Anaytisk mekanik för MMT, 5C Tentamen, 4, k Räkneproem Uppgift : En pende estår av en sma homogen stav, av ängd och massa m. Den kan svänga kring sin ena ände. Denna ände är upphängd i en fix ed så att staven kan svänga fritt i ett vertikapan med jämviktsäge rakt ned. I stavens nedre ände är en ätt fjäder, med styvhet k, fäst. Dess andra ände är fixerad så att fjädern igger i samma vertikapan som penden kan svänga. Fjädern är horisonte och har sin oeastade ängd, a, när penden hänger rakt ned. Tag fram röreseekvationen med Lagranges metod och eräkna svängningstiden för små svängningar. a S y v x k Uppgift : En sma homogen stav av ängd, och massa m rör sig i ett gatt horisontapan med hastighet parae med staven (x-axen) och eoppet v. Den koiderar eastiskt (evarad energi!) med en fix gatt rak vägg i panet som idar vinken 45 med staven. Beräkna stavens hastighet och vinkehastighet omedeart efter koisionen. Beräkna även storeken, S, på stötimpusen från väggen på staven. Uppgift : En partike av massa m har vid äget (x, y, z) den potentiea energin U(x, y, z) = A(x a) + A(x a)(y )+A(y ) + C(z c). Beräkna partikens rörese i ämpiga generaiserade koordinater. A och C är positiva konstanter (av dimension kraft per ängd). Vänd

2 Idéproem: Uppgift 4: En enke rotation är en rotation en viss vinke kring en av koordinataxarna. Skriv upp rotationsmatriser som svarar mot en enke rotation kring x-axen en vinke θ, och kring z-axen en vinke ψ. Hur kan man få en godtyckig rotationsmatris genom att mutipicera sådana matriser? Uppgift 5: Huvudtröghetsmomenten för ett partikesystem är J x = m ( +c ), J y = m (a +c ), J z = m (a + ). när origo igger i systemets masscentrum. m är totaa massan. Ange ett fyrpartikesystem (massorna m i och ägena r i i Cartesiska koordinater, i =,,, 4) som har denna tröghetstensor. Uppgift 6: Kinetiska energin för ett system med tidsoeroende hoonoma tvång kan skrivas T (q, q) = a= = g a(q) q a q. Häred uttrycket för systemets generaiserade röresemängder p a = T q a. Varje uppgift ger högst poäng. För godkänt fordras minst tre poäng på vardera räkneoch idéproemen. Tiåtna hjäpmede: Mathematics Handook (av Råde & Westergren och/eer av Spiege) och Physics Handook och/eer TEFYMA eer andra taeer med tyngdpunkter och tröghetsmoment. HE 4

3 Lösningar Räkneproem Uppgift : En pende estår av en sma homogen stav, av ängd och massa m. Den kan svänga kring sin ena ände. Denna ände är upphängd i en fix ed så att staven kan svänga fritt i ett vertikapan med jämviktsäge rakt ned. I stavens nedre ände är en ätt fjäder, med styvhet k, fäst. Dess andra ände är fixerad så att fjädern igger i samma vertikapan som penden kan svänga. Fjädern är horisonte och har sin oeastade ängd, a, när penden hänger rakt ned. Tag fram röreseekvationen med Lagranges metod och eräkna svängningstiden för små svängningar. O a A y G ϕ P k B x Lösning : Med koordinater enigt figuren har vi r P = (cos ϕ e x + sin ϕ e y ), r B = e x + a e y. Avståndet mean dessa punkter är fjäderns ängd, (ϕ), fås (ϕ) = r P r B =( cos ϕ ) +( sin ϕ a) = ( cos ϕ) a sin ϕ + a. Fjäderns potentiea energi är då V k (ϕ) = k[(ϕ) a]. Tyngdkraftens potentiea energi är V g (ϕ) = (mg/) cos ϕ. Totaa potentiea energin är då V (ϕ) = ) ( k ( cos ϕ) a sin ϕ + a a mg cos ϕ Kinetiska energin är T ( ϕ) = J O ϕ = m ϕ och såedes är Lagrangefunktionen, T V, Svar :L(ϕ, ϕ) = m ϕ [ ( ] k ( cos ϕ) a sin ϕ + a a) mg cos ϕ Vid små svängningar kan man sätta cos ϕ ϕ +... och sin ϕ ϕ...,ochehåa upp ti kvadratiska termer i V. Detta ger V = mg + ( ) mg + k ϕ +... Lagrangefunktionen kan nu skrivas L = (M ϕ Kϕ ), med M = m och K = mg+k. Vinkefrekvensen för svängningarna är då ω = K/M = g + k m så att svängningstiden, eer perioden, är, Svar: π/ g + k m.

4 Uppgift : En sma homogen stav av ängd, och massa m rör sig i ett gatt horisontapan med hastighet parae med staven (x-axen) och eoppet v. Den koiderar eastiskt (evarad energi!) med en fix gatt rak vägg i panet som idar vinken 45 med staven. Beräkna stavens hastighet och vinkehastighet omedeart efter koisionen. Beräkna även storeken, S, på stötimpusen från väggen på staven. Lösning : Vi använder impus och impusmoment, dvs. ekvationerna där p f = mv G och p i = mv e x,och p f p i = S, L f L i = GP S, där L f = J G ϕ e z och L i =. Här är G stavens mittpunkt och P den ände som är i kontakt med väggen. Geometrin ger att S = S ( e x + e y )så impusekvationen ger de två S y v x komponentekvationerna mẋ mv = S = ẋ = v S m mẏ = S = ẏ = S m för tyngdpunktens hastighet (v G = ẋ e x +ẏ e y ) efter stöten. Då GP = e x ger impusmomentekvationen m ϕ e z = S e z Denna ekvation ger vinkehastigheten genast efter stöten ϕ = 6 S m. För att estämma eoppet, S, av stötimpusen använder vi energins evarande som är uppfyt då stöten antages eastisk. Före stöten har vi T = mv och efter får vi [ ( ) ( ) ] ( T = m(ẋ +ẏ )+ J G ϕ = m v S m + S m + m 6 S. m) Ur ekvationen T T =fås nu 4m S( 5S + mv )=, och, om roten S =förkastas, såedes S = 5 mv. Sätter nuin detta värde på S ovan får vi: Svar: S = 5 mv,ochsåedes ẋ = 5 v, ẏ = 5 v,och ϕ = 5 v.

5 Uppgift : En partike av massa m har vid äget (x, y, z) den potentiea energin U(x, y, z) = A(x a) + A(x a)(y )+A(y ) + C(z c). Beräkna partikens rörese i ämpiga generaiserade koordinater. A och C är positiva konstanter (av dimension kraft per ängd). Lösning : Man inser potentiaen har ett asout minimum i punkten x = a, y =, z = c, så den måste vara ett stait jämviktsäge. Eftersom potentiaen är rent kvadratisk måste röresen vara koppade harmoniska svängningar kring detta äge. Vi inför de generaiserade koordinaterna u = x a, v = y, w = z c, som är no vid jämviktsäget. Vi får nusystemets Lagrangefunktion L = T U = m( u + v +ẇ ) (Au + Auv +Av + Cw ) Vi får då att massmatrisen ir M = m medan styvhetsmatrisen ir K = A A A A C Vi måste atså ösa sekuarekvationen K Mx =,där x = ω.vifår A mx A A A mx C mx =(C mx) [(A mx)(a mx) ] 4 A = Rötterna ir x,, = ω,, = A m, 7 A m, C m.vimåste nuösa de tre ekvationerna (K Mx i )a i =, i=,,. Man ser att A A A A =, C A för i =, och att A A A A C 7 A =, A C A A A C =, för i = respektive i =. Enigt teorin får vi då att Svaret: ges av u(t) v(t) = u(t) = c i a i cos(ω i t + φ i )= w(t) i= = c cos( A m t + φ )+c cos( 7 A m t + φ )+c viket atså är en exakt ösning för den amänna röresen hos systemet. cos( C m t + φ )

6 Uppgift 4: En enke rotation är en rotation en viss vinke kring en av koordinataxarna. Skriv upp rotationsmatriser som svarar mot en enke rotation kring x-axen en vinke θ, och kring z-axen en vinke ψ. Hur kan man få en godtyckig rotationsmatris genom att mutipicera sådana matriser? Lösning 4: Se ämpig teoritext. Uppgift 5: Huvudtröghetsmomenten för ett partikesystem är J x = m ( +c ), J y = m (a +c ), J z = m (a + ). när origo igger i systemets masscentrum. m är totaa massan. Ange ett fyrpartikesystem (massorna m i och ägena r i i Cartesiska koordinater, i =,,, 4) som har denna tröghetstensor. Lösning 5: Om aa partikar har massa m i = m/4 ochägesvektorerna är r = ( a,, c), r = ( a,, c), r = (,, c), r 4 = (,, c). så får man att tröghetstensorn har komponenterna D xy = m i x i y i = m (a a + ) = 4 D xz = m i x i z i = m (a c a c c c) = 4 D yz = m i y i z i = m ( c + c c + c) = 4 J x = m i (yi + zi )= m 4 ( +4c ) J y = m i (x i + z i )= m 4 (a +4c ) J z = m i (x i + y i )= m 4 (a + ). och detta är den efterfrågade tröghetstensorn. Uppgift 6: Kinetiska energin för ett system med tidsoeroende hoonoma tvång kan skrivas T (q, q) = a= = g a(q) q a q. Häred uttrycket för systemets generaiserade röresemängder p a = T q a. Lösning 6: Då q = δ a =(oma =, oma ) q a får vi L = g c (q) (δ a q c + q δ ac )= ( g c (q) δ a q c + ) g c (q) q δ ac. q a c c c Såedes har vi L = ( g ac (q) q c + ) g a (q) q. q a c Då g a (q) =g a (q), fås ti sist Svar: p a = L = ( g a (q) q + ) g a (q) q = g a (q) q. q a Hanno Essén ( 4 )