UPPSTÄLLDA SAMBAND SKALL MOTIVERAS (gärna med en enkel skiss). Uppgifterna är inte avsiktligt ordnade efter hur svåra de är.

Transkript

1 GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för Fysik och teknisk fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I FYP34 TILLÄMPAD FOURIERANALYS Tid: Lördag 9 apri 8, k Pats: V Ansvarig ärare: Uf Torkesson, te arbete, bostad, mobi Hjäpmede: Miniräknare med tömt minne. Standard Math Tabes, Beta, Physics Handbook, Oe Branders bå formesaming, Arfken & Weber Mathematica Methods for Physicists. Aa formesamingar ska vara fria från egna anteckningar bortsett från korrektioner av tryckfe. En begränsad mängd anteckningar är tiåtna i Arfken & Weber. Lösningarna redovisas på kurshemsidan den apri Resutaten ansås senast fredagen den 9 maj. Tentamensgranskning fredagen den 9 maj k i O78B. Varje uppgift ger maximat 3 poäng. För godkänt krävs minst 7 poäng och för VG 7 poäng. UPPSTÄLLDA SAMBAND SKALL MOTIVERAS gärna med en enke skiss. Uppgifterna är inte avsiktigt ordnade efter hur svåra de är.. Beräkna Fourierserieutveckingen för en periodisk funktion med perioden, och som på intervaet < x < a ges av f x F x a, där a och F är godtyckiga konstanter. Lösning: F { [ a x inπ a F c n a F x a ] a e inπx/a { [ a n π x a e inπx/a ] a a a x inπ a n π a e inπx/a dx a e inπx/a dx a e inπx/a dx } }

2 F { n π e inπ + F n π einπ { 4a n π n + [ a n π in 3 π 3 e inπ e inπ inπa e inπx/a ] a } } F n n π. Vi måste beräkna c separat c a F x a dx F ] a [x x3 3a F a a 3 + a a 3 3 F. Atså kan vi skriva Fourierserien som f x 3 F F + n π n e inπx/a + e inπx/a 3 F + 4F π n. Beräkna Fouriertransformen av funktionen där Ψ, κ och ω är konstanter. Ψ t Ψ e κt sin ω t, cos nπx/a n. 3 n Lösning: Ψ ω Ψ e κt sin ω t e iωt dt Ψ Ψ i Vi inför nu de nya integrationsvariaberna så att av vi kan skriva Fouriertransformen som Ψ ω Ψ i e κt i e κt e iω ωt dt + e iω t e iωt e iωt dt ω ω ω 5 ω ω + ω. 6 e κt e iω t dt + Ψ i e κt e iω t dt e ω /4κ + e ω /4κ κ κ Ψ i κ e ω +ω/4κ e ωω/κ e ωω/κ. 7 e κt e iω+ωt dt. 4

3 3. En oändigt ång stav har temperaturfördeningen fx vid tiden. Bestäm temperaturfördeningen T x, t om vi kan skriva värmeedningsekvationen där κ är en konstant. T t T κ x, Lösning: Med en Fouriertransform i x-riktningen kan vi skriva ösningen som T x, t F k, t e ikx dk, 8 och F k, t Differentiaekvationen bir då som har ösningen Begynnesevikoret ger oss F k, Atså har vi och vi kan skriva T x, t e ikx dx. 9 k F k, t F κ t, F k, t φ k e k κt. T x, e ikx dx φ k F k, t Vi inverterar nu Fouriertransformen T x, t e ikx f x f x e ikx dx. f x e ikx dx, 3 f x e ikx dxe k κt. 4 f x e ikx dx e k κt dk f x e ikx x e k κt dkdx 4πκt e x x /4κt dx. 5 3

4 4. En svängande sträng dämpas av en friktionskraft som är proportione mot strängens hastighet. Den uppfyer dådifferentiaekvationen Ψ t c Ψ x h Ψ t, där Ψx, t är strängens avvikese från jämviktsäget, och c och h är konstanter, och x, och dessutom gäer att h < πc/. För strängen gäer randvikoren Ψ, t Ψ, t, samt begynnesevikoren Ψ x, f x och Bestäm Ψ. Ψ t x,. Lösning: Ansätt så att X d T dt Vi separerar ekvationen d T T dt Ψ x, t X x T t, 6 c T d X dx dt hx dt. 7 + hdt c d X dt X dx λ. 8 För X får vi ekvationen som har ösningen d X dx λ X, 9 c X x A cos λx c Randvikoret X ger oss att A, och + B sin λx c. ger oss att X B sin λ c λ c, mπ. 4

5 Atså har vi ösningarna För T har vi ekvationen d T dt som ger oss det karakteristiska poynomet X x B m sin mπx. 3 + hdt dt + T, 4 γ + hγ +, 5 med rötterna γ h ± h, 6 vika är kompexa. Atså kan vi skriva ösningen som T t C e ht e i m π c h t +C e ht e i m π c h t e C ht m π cos c m h π t + D sin 7 Då har vi att m dt dt he ht C cos h t + D sin h t +e ht h 8 Begynnesevikoret dt x, 9 dt ger oss att m π hc + D c h, 3 där vi kan ösa ut C D h h. 3 Atså kan ösningen skrivas som m π c Ψ x, t B me ht h m π cos c m h h π t + sin c h t sin mπx. m 3 C sin 5

6 Sutigen har vi begynnesevikoret Ψ x, f x m B m h h sin mπx, 33 som är utveckingen av f i en sinusserie. Atså har vi B m h h f x sin mπx dx, 34 så att koefficienterna ges av 5. Lös Lapace-ekvationen B m h m π c h Ψ f x sin mπx dx. 35 på ett cirkuärt membran med radien a. Antag att potentiaen på randen uppfyer randvikoret Ψa, ϕ fϕ. Lösning: I cyinderkoordinater skriver vi Lapaces ekvation som ρ Ψ + Ψ ρ ρ ρ ρ. 36 ϕ Vi ansätter Lapaces ekvation bir då Φ ρ Ψ ρ, ϕ R ρ Φ ϕ. 37 d dρ ρ dr dρ + R d Φ ρ, 38 dϕ som vi kan separera ρ d R dρ ρ dr d Φ dρ Φ dϕ λ. 39 Ekvationen för Φ kan skrivas d Φ dϕ λ Φ, 4 som har ösningen Φ ϕ A cos λϕ + B sin λϕ. 4 6

7 Denna ösning måste uppfya vikoret att Φ Φ, som ger oss att λ är ett godtyckigt heta m. Ekvationen för R kan sedan skrivas ρ d ρ dr m R, 4 dρ dρ som är Euer-ekvationen ρ d R dρ + ρdr dρ m R. 43 Om vi ansätter att R ρ n så får vi den karakteristiska ekvationen som ger oss med ösningen Atså har vi ρ n n ρ n + ρnρ n m ρ n, 44 n m 45 n ±m. 46 R ρ Cρ m + Dρ m. 47 Eftersom ösningen ska vara regujär för ρ så är D. Det innebär att den amänna ösningen är Ψ ρ, ϕ m Vårt randvikor ger oss nu att Ψ a, ϕ f ϕ där koefficienterna ges av A m cos mϕ + B m sin mϕ ρ m + A. 48 m A m cos mϕ + B m sin mϕ a m + A, 49 A m B m πa m πa m f ϕ cos mϕdϕ 5 f ϕ sin mϕdϕ 5 6. En tunn cirkuär skiva med radien a har en addning jämt fördead över sin yta. Beräkna den eektriska potentiaen utanför denna skiva. 7

8 Lösning: För att ösa probemet använder vi Greens funktion för Lapaces ekvation Φ r ρ r 4πɛ V r r d3 r, 5 som vi expanderar i kotytefunktioner Φ r ρ r 4π 4πɛ V m + r< r> + Y m θ, ϕ Y m θ, ϕ d 3 r. 53 Probemet är nu axisymmetriskt och θ π så att cos θ. Lägg nu märke ti att det föjer att P och P, och enigt rekursionsformen för Legendre-funktionerna har vi P n+ P n + P n n + n n + P n. 54 Vi kan nu förenka utveckingen av Greens funktion, så att potentiaen kan skrivas som Φ r ρ r r< 4πɛ V r + P cos θ P d 3 r > a r<!! P cos θ 4πɛ πa r> + r dr!! a r< ɛ a P cos θ r dr. 55 Om vi nu har att r > a så får vi!! Φ r ɛ a P cos θ ɛ a Om istäet r < a ɛ a Φ r ɛ a!! P cos θ ɛ!! {[!! P cos θ [ a r + > r + r + dr r + + r + ] a!! P cos θ a. 56 r+ { r r + P cos θ [ r + + r + 8 ] r r + dr + + a r r r r } dr r ] a } r

9 ɛ a ɛ a {!! r P cos θ + r a + r }!! + + P cos θ + r r a ɛ a!! P cos θ r r a. 57 9