Associerade Legendre-funktioner och klotytefunktioner Ulf Torkelsson

Transkript

1 Föreläsning 5/3 Associerae Legenre-funktioner och klotytefunktioner Ulf Torkelsson Laplaces ekvation i sfäriska koorinater I sfäriska koorinater kan vi skriva Laplaces ekvation som r 2 r 2 Ψ r r r 2 sin θ Ψ sin θ θ θ Vi kan separera enna ekvation genom att ansätta Detta ger oss ekvationen Θ θ Φ ϕ r 2 r r 2 R r r 2 sin 2 θ 2 Ψ = 0. ϕ2 Ψ r, θ, ϕ = R r Θ θ Φ ϕ. 2 R r Φ ϕ r 2 sin θ θ sin θ Θ θ Vi multiplicerar enna ekvation me r 2 /RrΘθΦϕ, så att vi får R r r Vi börjar me att sätta r 2 R r Θ θ sin θ R r r så att vi för en vinkelberoene elen får sin θ Θ Θ θ sin θ θ θ sin θ Θ θ θ R r Θ θ r 2 sin 2 θ Φ ϕ sin 2 θ 2 Φ = 0. 3 ϕ2 2 Φ = 0. 4 ϕ2 r 2 R = n n, 5 r Den azimutala elen av en här ekvationen blir som har lösningarna 2 Φ ϕ Φ ϕ sin 2 θ ϕ 2 n n = Φ ϕ Φ ϕ ϕ 2 = m 2, 7 Φ ϕ = e imϕ och e imϕ, 8 är m är ett heltal. Dessa lösningar uppfyller ortogonalitetsvillkoret 2π 0 e imϕ e imϕ2 ϕ = 2πδ m,m 2. 9 Lägg märke till att i skalärproukten har vi Φ m Φ m2. Vi kan nu normera funktionen genom att sätta Φ m = e imϕ. 0 2π Vi har rean tiigare sett att lösningen för en raiella funktionen i etta fall blir R n r = A n r n B n. rn

2 2 Associerae Legenre-funktioner Nu återstår ekvationen i θ-le. Om vi ersätter Θθ me Pn m cos θ så är en en lösning till en associerae Legenre-ekvationen sin θ P m n cos θ n n m2 sin θ θ θ sin 2 Pn m cos θ = 0. 2 θ Om man sätter x = cos θ så kan vi skriva en som 2 P m n x n n m2 x x 2 Pn m x = 0. 3 Lägg märke till att om m 2 = 0 så har vi en vanliga Legenre-ekvation. För att hitta lösningen till en associerae Legenre-ekvationen startar vi me Legenres ekvation 2 P n 2xP n n n P n = 0. 4 Vi eriverar en m gånger, och enligt Leibniz formel får vi 2 u 2x m u n m n m u = 0, 5 är u = m P n x m. 6 För att göra en här ifferentialekvationen självajungera så sätter vi Vi kan lösa ut och erivera v x = 2 m/2 u x = 2 m/2 m P n x m. 7 v x u =, 8 2 m/2 u v = 2 mxv m/2 2 = v mxv 2 m/2, 9 m2/2 2 u = v 2mxv 2 mv 2 m m 2 x2 v 2 m/ Vi sätter sean in essa i ifferentialekvationen och får 2 v 2xv n n m2 2 v = 0, 2 som är en associerae Legenre-ekvationen. Alltså är ess lösningar v = Pn m x = 2 m/2 m x m P n x. 22 Det framgår att m n. En noggrannare analys visar att n m n. En viktig egenskap hos en funktion är ess paritet. Jämna funktioner har positiv paritet och ua funktioner har negativ paritet. De vanliga Legenre-funktionerna har pariteten n. För att beräkna Pn m eriverar vi m gånger så et tillkommer m och vi har P m n x = nm P m n x. 23 De associerae Legenre-funktionerna är ortogonala och vi har Pp m x Pq m x x = 2 q m! 2q q m! δ p,q. 24 Lägg märke till att x = sin θθ. Vi kan nu normalisera en associerae Legenre-funktionen Pn m 2n n m! cos θ = 2 n m! P n m cos θ. 25 2

3 3 Klotytefunktioner Vi kan nu multiplicera ihop e båa funktionerna som beskriver Ψ:s vinkelberoene och skapa klotytefunktionen Yn m θ, ϕ = m 2n n m! n m! P n m cos θ e imϕ. 26 För m = 0 har vi speciellt Y 0 n θ, ϕ = För essa funktioner gäller ortogonalitetskravet 2π π ϕ=0 θ=0 2n P 0 cos θ. 27 Yn m θ, ϕ Yn m2 2 θ, ϕ sin θθϕ = δ n,n 2 δ m,m Klotytefunktionerna är ett fullstänigt set av basfunktioner så vi kan utveckla en funktion fθ, ϕ som är efiniera på en sfär som f θ, ϕ = m,n a mn Y m n θ, ϕ, 29 är är a mn = 2π π ϕ=0 θ=0 n θ, ϕ f θ, ϕ sin θθϕ. 30 För θ = 0 försvinner termerna me m 0, och å kan vi skriva serieutvecklingen som 2l f θ = 0, ϕ = a 0l. 3 l=0 2l a 0l = P l cos θ f θ, ϕ sin θθϕ. 32 Sammanfattningsvis har vi alltså kommit fram till att lösningen till Laplaces ekvation i sfäriska koorinater är Ψ r, θ, ϕ = A mn r n B mn r n Yn m θ, ϕ. 33 Om Ψ är kän på en sfärisk yta, kan man bestämma A mn och B mn. 4 Aitionssatsen för klotytefunktionerna Två vektorer x och x har e sfäriska koorinaterna r, θ, ϕ och r, θ, ϕ, och vinkeln mellan essa vektorer är γ. Enligt aitionssatsen gäller å att P n cos γ = 2n n θ, ϕ Y m n θ, ϕ, 34 är cos γ = cos θ cos θ sin θ sin θ cosϕ ϕ. Betrakta x som fix, så att vi kan se P n cos γ som en funktion av θ och ϕ. Den har å en serieutveckling P n cos γ = n =0 n A m n θ, ϕ Yn m θ, ϕ. 35 3

4 Om x är parallell me z-axeln, så är γ en vanliga polvinkeln, och P n cos γ uppfyller ekvationen 2 P n cos γ n n r 2 P n cos γ = 0, 36 men skillnaen mellan enna riktning och en gotycklig riktning θ, ϕ är enast en rotation som inte påverkar r. Därför måste P n cos γ fortfarane uppfylla enna ekvation, och en är en klotytefunktion av orning n. Därför måste ess utveckling vara P n cos γ = A m θ, ϕ Yn m θ, ϕ, 37 är A m θ, ϕ = n θ, ϕ P n cos θ sin θθϕ. 38 Den här koefficienten kan nu ses som m = 0 koefficienten i utvecklingen av 2n Y n m θ, ϕ 39 i funktionerna Yn m γ, β, är γ och β är sfäriska koorinater kring x -axeln. Då vi bara har ett väre på n så gäller att A m θ, ϕ = 2n n θ γ, β, ϕ γ, β γ=0, 40 men i gränsen att γ 0 så θ θ och ϕ ϕ, och aitionssatsen följer. I e moifierae Legenre-funktionerna kan man skriva satsen som P n cos γ = P n cos θ P n cos θ n m! 2 n m! P n m cos θ Pn m cos θ cos m ϕ ϕ. 4 Om γ 0 så ger oss aitionssatsen att Potentialen m= Y m n θ, ϕ 2 = 2l. 42 x = l=0 men me aitionssatsen kan vi skriva enna som x = l 2l l=0 m= l r< l r> l r< l r> l P l cos θ, 43 Yl m θ, ϕ Yl m θ, ϕ. 44 Exempel: En elektrisk ipol består av en laning q i punkten 0, 0, /2 och en laning q i punkten 0, 0, /2. Uttryck potentialen i klotytefunktioner. Lösning: Vi kan skriva potentialen som q ɛ 0 r 2 ẑ r 2 ẑ. 45 För r > 2 kan vi utveckla potentialen som q n P n cos θ ɛ 0 r q 2n P 2n cos θ = q 2πɛr 2πɛr 4 n P n cos θ n 2n Y2n 0 θ, ϕ. 46 =

5 I et motsatta fallet att r < 2 så får vi istället q πɛ 2n Y2n 0 θ, ϕ. 47 5