2. Lösning av elektrostatiska problem för ledare
|
|
- Hans Gunnarsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 2. Lösning av elektrostatiska problem för leare [RMC] Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson Poissons ekvation [RMC, Jackson] Från tiigare vet vi att E(r) = ρ(r) ε (2.) E(r) = ϕ(r) (2.2) Detta ger oss genast som kallas Poissons ekvation. 2 ϕ(r) = ρ(r) ε (2.3) Laplace-operatorn är i Cartesiska koorinater (x, y, z), 2 ϕ = 2 x ϕ + 2 y ϕ + 2 z ϕ (2.4) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.2
2 2 ϕ(r) = ρ ρ i cylinriska koorinater (ρ, ψ, z), och ρ ϕ(r) «+ 2 ϕ(r) + 2 ϕ(r) (2.5) ρ ρ 2 ψ 2 z 2 2 ϕ(r) = «r 2 ϕ(r) + r 2 r r r 2 sin θ θ sin θ ϕ(r) «+ θ r 2 sin 2 θ 2 ϕ(r) φ 2 (2.6) i sfäriska koorinater (r, θ, ϕ), Om ρ(r) = i e flesta punkter r,.v.s. vi har leare och bara ett fåtal externa laningsförelningar, så får vi Laplaces ekvation 2 ϕ(r) = (2.7) Tiigare bestäme vi elfältet från en laningsförelning ρ(r) genom att integrera ett ena uttryck. I essa fall var förelningen ρ(r) bestäm på förhan. Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.3 Vi kommer nu att granska allmänna system av laningsförelningar och leare, och hur e ser ut vi statisk jämvikt. Situationen kompliceras nu av att lanigar inuceras på e leane ytorna, och enna laning är inte kän på förhan. Dylika system bekrivs i et allmänna fallet av Poissons ekvation, vars lösning ϕ(r) alltså ger oss systemets elektrostatiska tillstån. För att lösa Laplaces ekvation (eller Poissons ekvation i allmänhet) för ett system av N st leare behöver vi känna till ranvillkoren,.v.s. efinierae vären på en sökta funktionen ϕ eller ess erivator i givna punkter. Om ϕ(r) är kän på learnas ytor,.v.s. vi vet ϕ Ai, i =, 2,..., N, kallas ranvillkoren för Dirichlet-ranvillkor. Om istället ϕ/ n (potentialens normalerivata,.v.s. elfältet) är kän på learnas ytor,.v.s. vi vet ( ϕ/ n) Ai, i =, 2,..., N, kallas ranvillkoren för Neumann-ranvillkor. Me båe ϕ Si och ( ϕ/ n) Ai gotyckligt specificerae kan en lösning inte garanteras existera. Denna kombination av ranvillkor kallas Cauchy-ranvillkor. Om vi har bara en leare och punkt-laningar betecknar man ofta learens ytpotential me ϕ. Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.4
3 Exempel : Två klot brevi varanra. Exempel 2: Två cylinrar brevi varanra. Exempel 3: Två plan brevi varanra. Exempel 4: En punktlaning ovanför ett plan. Exempel 5: En punktlaning ovanför ett klot. Exempel 6: En punktlaning utanför en cyliner. O.s.v.! Vi kommer i e följane sektionerna att lösa Laplace-ekvationen explicit för olika högsymmetri-fall. Vi kommer också att se på en alternativ lättare teknik vi namn billanings-metoen. Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson Laplace-ekvationens egenskaper Superposition Låt ϕ i (r), i =,..., M vara lösningar till Laplaces ekvation. Då gäller att MX ϕ(r) = C i ϕ i (r) (2.8) i= är C i är gotyckliga konstanter också är en lösning. Bevis: Direkt insättning av ϕ(r) i Laplaces ekvation! Unikhet Låt ϕ och ϕ 2 vara två lösningar till Laplaces ekvation, så att e uppfyller samma ranvillkor på alla learnas ytor A, A 2,... i systemet. Då gäller att ϕ och ϕ 2 kan skilja sig me högst en konstant term. Bevis: Definiera Φ = ϕ ϕ 2. Eftersom båa löser Laplaces ekvation så gäller 2 Φ =. Dessutom, antingen gäller Φ = eller bn Φ = på learnas ytor. Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.6
4 Välj nu ytan A i oänligheten, är potentialerna fösvinner: Enligt Gauss teorem har vi å att Expanera integranen: I Abn Φ( Φ) = (2.9) A I V (Φ( Φ)) = (2.) V (Φ( Φ)) = Φ 2 Φ + ( Φ) 2 = + ( Φ) 2 (2.) Vi har å I V V ( Φ) 2 = (2.2) Ena möjligheten är att ( Φ) 2 = överallt inom V. Alltså, ϕ ϕ 2 =, så att vi måste ha ϕ 2 = ϕ + C, är C är en konstant. Om vi alltså har ranvillkoren givna så existerar et enast en unik lösning till Laplaces ekvation. Ifall vi har ett Neumann-problem kan vi aera en gotycklig konstant till lösningen för potentialen, men elfältet är fortfarane unikt. Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson Laplace-ekvationen i en oberoene variabel Låt nu ϕ vara en funktion i enast en variabel. Laplace-ekvationen ger nu för reaktangulära koorinater Detta kan genast integreras till ϕ(x) = ax + b. 2 ϕ x 2 = (2.3) Ett mera verklighetsnära fall är att ϕ är sfäriskt symmetrisk,.v.s. ϕ = ϕ(r). Laplace-ekvationen i sfäriska koorinater ger nu Detta ger efter en integrering «r 2 ϕ = (2.4) r 2 r r r 2 ϕ r = a (2.5) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.8
5 så att ϕ r = a r 2 (2.6) Efter ytterligare en integrering: ϕ(r) = a r + b (2.7) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson Laplace-ekvationen i sfäriska koorinater [RMC, Jackson, Arfken] Azimutal symmetri Vi kommer i et följane att anta azimutal symmetri,.v.s. att en potential som sökes är symmetrisk runt z-axeln. Då gäller att ϕ = ϕ(r, θ). Laplaces ekvation blir «r 2 ϕ + r 2 r r r 2 sin θ θ sin θ ϕ «= (2.8) θ Enklaste lösningsmetoen är att anta att ϕ kan skrivas som en proukt av en-variabels funktioner: ϕ(r, θ) = Z(r)Q(θ). Insättning ger Efter förenkling r 2Q r Z r «r 2 Z + r r 2 sin θ Z sin θ Q «= (2.9) θ θ «r 2 Z + r sin θ Q θ sin θ Q «= (2.2) θ Första termen beror bara på r mean anra beror bara på θ. För att essa termer ska vara lika för Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.
6 alla vären på r och θ måste e vara en konstant. Kalla enna k: sin θ Q θ Z r r 2 Z r sin θ Q θ ««= k (2.2) = k (2.22) Låt oss i enna införa P (x) P (cos θ) = Q(θ). Vi får å att x = sin θθ, och sin 2 θ P «= ( x 2 ) P «= 2x P x x x x x + ( x2 ) 2 P = kp (2.23) x2 Om nu k vore m(m + ) me m ett positivt heltal eller, så skulle etta vara Legenres ekvation. Frobenius-Ansatzen P (x) = x α P n= a nx n = P n= a nx α+n ger 2(α+n)a n x α+n +(α+n)(α+n )a n x α+n 2 (α+n)(α+n )a n x α+n = ka n x α+n (2.24) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2. Efter förenkling: (α + n)(α + n )a n x α+n 2 = (2(α + n) + (α + n)(α + n ) k) a n x n+α (2.25) För att enna ekvation ska stämma för alla tillåtna vären på x måste koefficienterna till x α+n 2 och x α+n försvinna för varje potens n. Om nu n = ger vänstra leet: så att α = eller å a. Om istället n = : α(α )a = (2.26) så att α = eller å a. α(α + )a = (2.27) Vi får viare (α + n + )(α + n + 2)a n+2 x α+n = ((α + n)(α + n + ) k) a n x n+α (2.28) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.2
7 Detta kan förenklas till: a n+2 a n = (α + n)(α + n + ) k (α + n + )(α + n + 2) (2.29) Men serien bör också konvergera! I fallet x = ± kan man me Cauchys kvot-test inte bevisa att serien konvergerar,.v.s att a n+2 /a n < å n. För att försäkra att serien konvergerar måste vi avsluta en vi nån potens n = m! Vi måste å ha att vilket gör att k = k(m) = m 2 + m (2.3) a m+2 a m = (2.3) Om nu m är jämnt, konvergerar serien om en består av jämna potenser. Om a måste vi ha α =. Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.3 Om m är ua, konvergerar serien om en består av ua potenser. Om igen a måste vi ha α =. I båa fallen kan vi välja a = så att a 3, a 5,... faller bort. Vi väljer a för enkelhets skull. Vi får: a n+2 = n(n + ) m2 m a n (n + )(n + 2) a n+2 = (n + )(n + 2) m2 m a n (n + 2)(n + 3), m jämn, (2.32), m ua. (2.33) De änliga serier som fås på etta sätt är käna som Legenre-polynom. (i) P (x) har m = : P (x) = a =. (ii) P (x) = x a har m = : P (x) = x. (iii) P 2 (x) har m = 2: P 2 (x) = a + a 2 (m)x 2. Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.4
8 a = (2.34) a 2 = a = 3 (2.35) P 2 (x) = 3x 2 + (2.36) (iv) P 3 (x) har m = 3: P 3 (x) = x(a + a 2 (m)x 2 ). a = (2.37) a 2 = a = a 6 = 5 3 (2.38) P 3 (x) = 5 3 x3 + x (2.39) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.5 (v) P 4 (x) har m = 4: P 4 (x) = a + a 2 (m)x 2 + a 4 (m)x 4. a = (2.4) 6 4 a 2 = a a 4 = a = a (2.4) = a = 35 3 (2.42) P 4 (x) = 35 3 x4 x 2 + (2.43) Dessa Legenre-polynom och e av högre orning brukar normaliseras så att e har P m (x = ±) =. P 2 () = C( 3 + ) = 2C, så C = /2. P 3 () = C( 5/3 + ) = 2C/3, så C = 3/2. P 4 () = C(35/3 + ) = 8C/3, så C = 3/8. Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.6
9 De fem första Legenre-polynomen är alltså P (x) = (2.44) P (x) = x (2.45) P 2 (x) = 2 (3x2 ) (2.46) P 3 (x) = 2 (5x3 3x) (2.47) P 4 (x) = 8 (35x4 3x 2 + 3) (2.48) är x = cos θ. Man kan visa [Arfken] att Legenre-polynomen ges av uttrycket som kallas Rorigues formel. P m (x) = «m (x 2 ) m, (2.49) 2 m m! x Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.7 Vi har nu Z r Gör Ansatzen Z(r) = r p, är p bör bestämmas. Insättning ger «r 2 Z = m(m + ) (2.5) r m(m + ) = r p r 2 pr p r = pr p r p+ r = p(p + )r p r p = p(p + ) (2.5) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.8
10 Lös etta: p 2 + p + = m 2 + m + (2.52) 4 4 p + 2 = m + 2«2«2 (2.53) p + 2 = ±(m + 2 ) (2.54) p = 2 ± (m + 2 ) (2.55) Vi får förutom triviallösningen p = m möjligheten p = m. Problemets lösning är alltså ϕ m (r, θ) = Ar m P m (cos θ) eller ϕ m (r, θ) = Br (m+) P m (cos θ) (2.56) me m =,, 2,... och A, B konstanter. Dessa funktioner kallas zon-ytfunktioner (zonal harmonics). Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.9 Den mest allmänna lösningen till problemet är ock X X ϕ(r, θ) = A m r m P m (cos θ) + B n r (n+) P n (cos θ), SPH, (r, θ) (2.57) m= n= Exempel : m =. ϕ(r, θ) = A eller ϕ(r, θ) = A r. Den senare lösningen är ju en punktlanings potential. Exempel 2: m =. ϕ(r, θ) = ArP (cos θ) eller ϕ(r, θ) = A r 2 P (cos θ). Den senare lösningen är ju en ipols potential. Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.2
11 Exempel 3: Olaa leane sfär i ett konstant elfält. Låt elfältet vara i z-riktningen och sfärens mittpunkt i origo. Vi har samma potential ϕ(r = a, θ) ϕ i learens inre som på ess yta. Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.2 Lösningen är helt allmänt ϕ(r, θ) = A + B r +A r cos θ + B r 2 cos θ + 2 A 2r 2 (3 cos 2 θ ) + 2 B 2r 3 (3 cos 2 θ ) +... (2.58) I oänligheten återfår vi et urprungliga fältet, E(r = ) = E bz = ϕ/z, så ϕ(r = ) = E z + C, me C en konstant. ϕ(r =, θ) = E z + C = E r cos θ + C A + A r cos θ (2.59) Vi måste å ha att A n =, n 2 och A = E. Då r = a gäller ϕ(r = a, θ) = konstant, så alla B n = för n 2. Vi behåller B för att ha möjlighet att bli av me A -termens θ-beroene. Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.22
12 Vi har nu ϕ(r, θ) = A + B r + A r cos θ + B r 2 cos θ, r > a. (2.6) Men B -termen står för en punktlaning i origo. Dock har vi nu en neutral sfär, så B = : ϕ(r, θ) = A + A r cos θ + B r 2 cos θ, r > a (2.6) Då ϕ(r = a, θ) ϕ : så att B = a 3 A = E a 3. A a cos θ + B a 2 cos θ = (2.62) Slutliga uttrycket är ϕ(r, θ) = ϕ E r cos θ + a 3 E r 2 cos θ (2.63) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.23 Från etta kan vi bestämma elfältet och sfärens ytlaningsförelning: E r = ϕ r = E E θ = r ϕ θ = E! + 2 a3 r 3 cos θ, r > a (2.64)! a3 r 3 sin θ, r > a (2.65) σ = ε E r (r = a) = 3ε E cos θ (2.66) Totala laningen: Q = Z 2π Z π = 3ε E 2π Sσ = Z π Z 2π Z π θ sin θ cos θ φθ sin θσ = 3ε E 2π θ=π 2 sin2 θ θ= =. (2.67) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.24
13 Utan azimutal symmetri [Jackson, Arfken] Laplace-ekvationen är nu: 2 ϕ(r) = «r 2 ϕ(r) + r 2 r r r 2 sin θ θ sin θ ϕ(r) «+ θ r 2 sin 2 θ 2 ϕ(r) φ 2 (2.68) Vi försöker igen me en proukt av en-variabels-funktioner: ϕ = Z(r)Q(θ)U(φ). Vi får efter insättning och multiplikation me sin 2 θ/(zqu):» sin 2 θ Z r «r 2 Z + r Q sin θ θ sin θ Q «+ 2 U θ U φ = (2.69) 2 Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.25 Den sista termen beror enbart på φ, mean e två första beror på r och θ. Inför separationskonstanten m 2 : 2 U = m 2 (2.7) U φ 2» «sin 2 θ r 2 Z + sin θ Q «= m 2 (2.7) Z r r Q sin θ θ θ Första ekvationens lösning är Här måste vi kräva att m är ett heltal. U(φ) = e ±imφ (2.72) Anra ekvationen blir: Z r «r 2 Z + r Q sin θ θ sin θ Q «m 2 θ sin 2 θ = (2.73) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.26
14 Inför nu en ny separationskonstant, k: Q sin θ θ sin θ Q θ Z r ««r 2 Z r m 2 sin 2 θ = k (2.74) = k (2.75) I en anra ekvationen känner vi igen Legenres ekvation, men nu finns et en extra term meplocka. Enligt e tiigare resultaten kan vi genast ientifiera k me l(l + ), är l är ett heltal (tiigare: m): Q sin θ θ sin θ Q θ Z r ««r 2 Z r m 2 sin 2 θ = l(l + ) (2.76) = l(l + ) (2.77) I en första ekvationen kan vi försöka me Z(r) = r p : r p r 2 pr p =... = p(p + ) = l(l + ) (2.78) r Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.27 Lösningarna är Z(r) = r l, eller Z(r) = r l (2.79) Ekvationen i θ är: Q sin θ θ sin θ Q «m 2 θ sin 2 θ Detta är ekvationen för e associerae Legenre-polynomen P m l = l(l + ) (2.8) (cos θ) P m (x). l De associerae Legenre-polynomen är relaterae till e vanliga polynomen P l (x) via ekvationen För inexen m gäller P m l (x) = ( x 2 ) m/2 m x mp l(x) (2.8) m = l,...,,..., l (2.82) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.28
15 Negativa m kan relateras till positiva vären: P m l = ( ) m (l m)! (l + m)! P m l (x) (2.83) Den mest allmänna lösningen till problemet är nu: ϕ(r, θ, φ) = X lx l= m= l A lm r l + B lm r l P m l (x)e imφ, SPH, (r, θ, φ) (2.84) Ofta reucerar man e två sista faktorerna till en ena, och skriver lösningen som ϕ(r, θ, φ) = X lx l= m= l A lm rl + B lm r l Y lm (θ, φ), SPH, (r, θ, φ) (2.85) är Y lm (θ, φ) är klotytfunktionerna (spherical harmonics). Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.29 Klotytfunktionerna är Y lm (θ, φ) = r 2l + 4π s (l m)! (l + m)! P m l (cos θ)e imφ (2.86) Man kan visa att är betyer komplex-konjugering. Några klotytfunktioner: Y l, m (θ, φ) = ( ) m Y lm (θ, φ), (2.87) Y (θ, φ) = 4π (2.88) r 3 Y, (θ, φ) = 8π sin θe iφ (2.89) r 3 Y (θ, φ) = cos θ (2.9) 4π r 3 Y (θ, φ) = 8π sin θeiφ (2.9) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.3
16 2.5. Cylinrisk symmetri Utan z-beroene [Jackson] Ifall vi har cylinrisk symmetri men inget beroene på z, blir Laplace-ekvationen ρ ρ Försök me en separabla Ansatzen ϕ(ρ, ψ) = R(ρ)Ψ(ψ): Vi får ρ R ρ ρ ϕ «+ 2 ϕ ρ ρ 2 ψ = (2.92) 2 ρ R «+ 2Ψ ρ Ψ ψ = (2.93) 2 ρ R ρ ρ R «ρ = ν 2 (2.94) 2 Ψ = ν 2 (2.95) Ψ ψ 2 Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.3 Lösningarna är R(ρ) = aρ ν + bρ ν (2.96) Ψ(ψ) = A sin(νψ) + B cos(νψ) A sin(νψ + B) (2.97) Vi måste nu kräva att ν är ett positivt eller negativt heltal. Om ν = fås lösningarna R(ρ) = a + b ln ρ (2.98) Ψ(ψ) = A + B ψ (2.99) Vi måste ock sätta B = så att Ψ() = Ψ(2π)! Konstanten A kan sean inbakas i uttrycket för R. Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.32
17 Den mest allmänna lösningen är nu X ϕ(ρ, ψ) = a + b ln ρ + a n ρ n sin(nψ + c n ) n= X + b n ρ n sin(nψ + n ), CYL, (ρ, ψ) (2.) n= Exempel : Betrakta e hopfogae leane planen i figuren. Problemet är 2-imensionellt, så låt oss använa polära koorinater ρ, ψ. Detta motsvarar cylinriska koorinater me inget z-beroene. Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.33 Första ranvillkoret för vårt specifika problem: ϕ = ϕ(ρ, ψ = ) = a + X a n ρ n sin c n (2.) För att unvika singulariteter i origo ρ = : b n =, för n. Dessutom måste ϕ vara oberoene av ρ, så vi måste ha c n =. Uppenbarligen gäller a = ϕ. n= Anra ranvillkoret: ϕ = ϕ(ρ, ψ = β) = a + X a n ρ n sin(nβ) (2.2) Igen, etta ska gälla för gotyckligt väre på ρ, så vi måste ha sin(nβ) =. Detta ger nβ = mπ eller n = mπ/β. n= Det korrekta uttrycket för potentialen är alltså X ϕ(ρ, ψ) = ϕ + a m ρ mπ/β sin(mπψ/β), m =, 2, 3,... (2.3) m= Men fortfarane är koefficienterna a m okäna! Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.34
18 Elfältets komponenter är: E ρ = ϕ ρ = X m= E ψ = ϕ ρ ψ = mπ β a m sin(mπψ/β) (2.4) X m= mπ β a mρ mπ/β cos(mπψ/β) (2.5) Ytlaningstätheten är σ = ε E ψ (ρ, ψ = ) = ε π β Om vi kan skära av serien efter första termen fås X a m ρ mπ/β (2.6) m= σ ε π β a ρ π/β (2.7) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.35 β = π/4 : σ ρ 3 β = π/2 : σ ρ β = π : σ β = 3π/2 : σ ρ /3 β = 2π : σ ρ /2 Vinkeln β = π motsvarar alltså en plan yta, β = 3π/2 ett vinkelrätt hörn, och β = 2π kanten av ett oänligt halvplan. Från etta ser vi att ju skarpare hörn (minre vinkel) esto minre laningstäthet i hörnet! För hörn me en öppningsvinkel β > π blir laningstätheten och elfältet ρ f, me f >. Då man låter ρ,.v.s. å man närmar sig hörnet, blir elfältet allt starkare. Det här kan man nyttja till sin förel för att skya sig mot åskneslag: för att skapa goa förutsättningar i en viss punkt för en urlaning mellan åskmoln och mark är et bara att placera it en mycket spetsig leane stång. Kring åsklearens spets kommer även en svag laningsförelning Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.36
19 på marken att ge upphov till ett starkt fält. Kring en här spetsen är et nu lättare för åskmolnen att övervinna luftens gränsväre för elektriskt genomslag/urlaning. Me z-beroene Behanlas inte. Lösningarna för ρ-beroenet blir Bessel-funktioner. Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson Billaningsmetoen I vissa situationer kommer man lättare unan genom att inte utgå från Laplace-ekvationen. Vi behanlar nu en grunläggane meto som hanlar om att bygga upp en lösning me hjälp av enkla laningsförelningar, så kallae bil-laningar. Potentialen utanför ett system av (o)laae leare och enkla laningsförelningar kan skrivas som ϕ(r) = X i ϕ i (r) + 4πε X j Z A j σ j(r j ) r r j (2.8) Termerna i en första summeringen står för enkla laningsförelningar (punkter, linjer,... ). Termerna i en anra summeringen beaktar e inucerae laningsförelningarna på learnas ytor, och måste alltså erhållas som en explicit integrering över essa förelningar. Vi bör komma ihåg att learnas ytor är ekvipotentialytor, så att ϕ i på learnas ytor är käna. Inom billaningsmetoen inför man fiktiva punkt- och linjelaningar placerae så att essa ger uppphov till e käna ytpotentialerna. Detta betyer, att en anra summeringen i ekv. (2.8) ersätts me en summa som liknar en första. Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.38
20 Platserna för e fiktiva laningarna måste vara inom learna, och e är alltså bara ett hjälpmeel för att räkna fram totalpotentialen! Om billaningar förekommer utanför learna, i samma region är potentialen ska bestämmas, löser man ju inte längre Laplaces ekvation utans Poissons ekvation essutom me fel laningsförelning (billaningen är ju inte verklig)! Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson Punktvisa billaningar Exempel : Punktlaning q utanför ett leane oänligt plan som sammanfaller me yz-planet. Låt punktlaningens position vara r = (x, y, z ) = (,, ). Punktlaningen q inucerar en laningsförelning σ(y, z) på learens plan. Totala potentialen utanför learen är å en summa av punktlaningens potential och en från en inucerae laningen. Istället för att försöka räkna fram σ(y, z) tar vi fasta på faktumet att learens yta måste ha samma potential överallt. Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.4
21 Totalpotentialen är ϕ(r) = ϕ (r) + ϕ 2 (r) = = q 4πε r r + ϕ 2(r) q p 4πε (x )2 + y 2 + z + ϕ 2(r) (2.9) 2 På learens yta: ϕ(, y, z) = q 4πε p 2 + y 2 + z 2 + ϕ 2(, y, z) (2.) Ett naturligt val för billaningen är nu Därav metoens namn! ϕ 2 (x, y, z) = q 4πε p (x + )2 + y 2 + z 2 (2.) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.4 Totala potentialen är nu ϕ(x, y, z) = q 4πε p (x )2 + y 2 + z 2 q p 4πε (x + )2 + y 2 + z2, x (2.2) Den inucerae ytlaningsförelningen är ϕ σ(x, y, z) = ε E x (x = ) = ε q = (2.3) x x= 2π( 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 Absolutbeloppet är maximalt å y = z =, å gäller σ = q/(2π 2 ). Kraften på punktlaningen: F q = q ( ϕ 2 ) x=,y=,z= = q2 4πε ((x + ) 2 + y 2 + z 2 ) 3/2(x +, y, z) x=,y=,z= = q2 4πε (2) 3(2,, ) (2.4) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.42
22 Exempel : Punktlaning q utanför en leane sfär me mittpunkten i origo. Låt punktlaningens position vara r = br. Placera nu en billaning q inuti sfären, i punkten r 2 = bbr. Potentialen i en punkt r är nu ϕ(r, θ, φ) = = q 4πε r r + q 4πε r 2 r q 4πε r r cos θ + q 4πε r2 + b 2 2rb cos θ (2.5) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.43 Om vi har sfären vi noll potential: ϕ(r = a, θ, φ) = : a a cos θ = q2 Denna ekvation skall gälla för alla vären på θ. q 2(a2 + b 2 2ab cos θ) (2.6) Om θ = π/2: Om θ = : a = q2 q 2(a2 + b 2 ) (2.7) Okäna är b och q! a a = q2 q 2(a2 + b 2 2ab) (2.8) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.44
23 Subtrahera en senare ekvationen från en förra: Ins. i ekv. (2.7) ger = q2 q 2b (2.9) a 2 + q4 q 4b2 = q2 q 2(a2 + b 2 ) (2.2) q 4 q 4 q2 a2 q 2( + b ) + a2 (2.2) 2 b 2 q 2 q 2 = 2 = + a2 b 2 + a2 b 2 ± s s + 2 a2 b + a4 2 b 4 4a2 A (2.22) b 2 ( a2 b 2 )2 A (2.23) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.45 Lösningarna är q 2 /q 2 = eller q 2 /q 2 = a 2 /b 2. Den senare ger q/q = ±a/b av vilkan vi väljer q/q = a/b. Vi har nu = q2 q 2b (2.24) q = a (2.25) q b Detta ger b = a2 (2.26) q = a q (2.27) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.46
24 Om vi betecknar en verkliga punktlaningens position me r = r = br så blir potentialen utanför sfären ϕ(r, θ, φ) = = = q 4πε r r aq 4πε br r " # q 4πε r r a a2 br r 2 3 q 4 4πε r r a 5 (2.28) r a2 2r a2 Om vi önskar att sfären befinner sig på en potential ϕ måste vi aera ytterligare en billaning q, enna gång i sfärens mitt: ϕ(r, θ, φ) = 4πε «q + q + q r r 2 r (2.29) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.47 Vi har nu att ϕ(r = a, θ, φ) = «+ q = ϕ (2.3) 4πε a från vilket vi får q. Kraften på punktlaningen? Avstånet mellan laningarna är så att h b = a2 = 2 a 2 (2.3) q 2 F q = q q 4πε h 2 = a 2 4πε ( 2 a 2 ) = q2 a (2.32) 2 4πε ( 2 a 2 ) 2 Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.48
25 Sfärens ytlaningstäthet är ϕ σ(θ, φ) = ε (2.33) r r=a Sfärens totala laning ges av Gauss lag tillämpa på sfärens yta: Q = q + q (2.34) Obs: Jora sfär: ϕ(r = a) =, q =. Ickelaa sfär: q = q = aq/. Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson Linjeformae billaningar Exempel : Laa leane cyliner utanför ett leane plan. Låt learen ligga i yz-planet. Låt linjelaningen vara längs me z-axeln, och ha koorinaterna x =, y =. Uppenbarligen har vi inget z-beroene, förutsatt att planet och leningen är oänligt långa inga kant-effekter! Om potentialen på planet är noll, bör vi ha en billaning i platsen x =, y =, orientera längs me z-axeln. Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.5
26 Potentialen i en punkt (x, y) är ϕ(x, y) = λ ln r + λ ln r 2 = λ ln r (2.35) 2πε 2πε 2πε r 2 Potentialen är noll på planet,.v.s. för r = r 2. Helt allmänt: r 2 = (x ) 2 + y 2 (2.36) r 2 2 = (x + ) 2 + y 2 (2.37) Konstant potential, som inte är noll, fås i punkterna (x, y) är r /r 2 är konstant, säg M. M 2 = r2 r 2 2 = x2 2x y 2 x 2 + 2x y 2 (2.38) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.5 Efter förenkling fås x + M! 2 2 «+ + y 2 2M 2 = (2.39) M 2 M 2 som är ekvationen för en cyliner me mittpunkten ( (M 2 + )/(M 2 ), ) och raien 2M R c = M 2 Me M < fås en cylinrisk ekvipotentialyta som innestänger en högra linjelaningen. (2.4) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.52
27 2.9. Greens meto [Jackson, Arfken] Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson Greens I och II teorem Gauss teorem säger ju att Z V I V F = A I A F A Abn F (2.4) Låt nu vektorfältet F vara givet som proukten av en skalärfunktion me graienten av en annan skalärfunktion: Vi har nu F = φ ψ (2.42) F = (φ ψ) = φ 2 ψ + φ ψ (2.43) bn F = φbn ψ φ ψ n (2.44) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.54
28 Insättning i Gauss teorem ger Greens I teorem Z V V I φ 2 ψ + φ ψ = Aφ ψ A n (2.45) Skriver vi istället F = ψ φ (2.46) får vi Z V V I ψ 2 φ + ψ φ = Aψ φ A n (2.47) Subtrahera enna från en tiigare: Z V V I φ 2 ψ ψ 2 φ = A φ ψ «A n ψ φ n (2.48) Detta är Greens II teorem. Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.55 Låt nu φ = ϕ(r) (en elektrostatiska potentialen) och ψ = G(r, r ), är funktionen G uppfyller följane villkor: Me etta villkor kan G skrivas som summan är F satsifierar Laplaces ekvation: 2 G = 4πδ(r r ) (2.49) G(r, r ) = r r + F (r, r ), (2.5) 2 F (r, r ) =. (2.5) Greens II teorem ger nu Z V V ϕ 2 G G 2 ϕ = = Z I V A «V ϕ4πδ(r r ) + G ρ(r ) «A ϕ G n ϕ G n ε (2.52) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.56
29 Detta ger ϕ(r) = Z V ρ(r )G(r, r ) I A ϕ(r ) G(r, r ) G(r, r ) ϕ(r «) 4πε V 4π A n n (2.53) Om vi har ett Dirichlet-problem är ϕ(r ) kän på ranytan, mean ϕ/ n är okän. För att göra oss av me etta uttryck söker vi en Greens funktion G D (r, r ) = å r är på ranytan A! Potentialen ges å genast av uttrycket ϕ(r) = Z V ρ(r )G D (r, r ) I A ϕ(r ) G D (r, r ) (2.54) 4πε V 4π A n Om vi istället har ett Neumann-problem är ϕ(r )/ n kän på ranytan. Vi söker en Greens funktion G N (r, r ) för vilken gäller att G N (r, r )/ n = å r är på ranytan A. Potentialen ges å av uttrycket ϕ(r) = Z V ρ(r )G N (r, r ) + I A G N (r, r ) ϕ(r ) (2.55) 4πε V 4π A n Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.57 Från en första termen i essa uttryck ser vi att Greens funktion kan väljas så att en motsvarar en potential, bara laningsförelningen har ivierats bort! Exempel : En Greens funktion för en punktlaning utanför leane sfär. Antag potentialen på ytan är kän, så att vi har ett Dirichlet-problem. Vi ska å ha G(r, r ) = för r på learens yta. Låt punktlaningen vara i r, och sfärens raie vara a. Vi löste etta problem tiigare, se ekv. (2.28). Vi kan nu försöka välja en erhållna potentialen (me laningsfaktorn bortiviera) som Greens funktion: G(r, r ) = r r a r a2 2r Här gäller att r är platsen för en reella punktlaningen. r r a r r a2 r 2r (2.56) Vi observerar nu att r = a ger G =, som et bör vara för et här Dirichlet-problemet. Me sfäriska korinater fås G(r, r ) = p r2 + r 2 2rr cos γ q r 2 r 2 a 2 + a 2 2rr cos γ (2.57) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.58
30 Normalerivatan på ytan, som separerar en externa volymen (är vi vill veta potentialen!) från learens inre, är G = G n r =a r = r =a r a r cos γ (r 2 + a 2 2ar cos γ) a r cos γ 3/2 (r 2 + a 2 2ar cos γ) 3/2 r 2 a 2 = (2.58) a(r 2 + a 2 2ar cos γ) 3/2 2 Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.59 Exempel : En leare beståene av två hemisfärer isolerae från varanra. Låt potentialen för en övre halvsfären vara +ϕ och ϕ för en unre. Dirichlet-problemets lösning me Greens meto ger oss ekvationen Ingen laning utanför learen! ϕ(r) = Z V I A ϕ(r ) G D (r, r ) (2.59) 4πε V 4π A n Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.6
31 Me Greens funktion val som i föregåene exempel: ϕ(r) = Z 2π 4π + 4π Z 2π φ Z π/2 φ Z π π/2 θ sin θ ϕ a 2 G D (r, r ) n θ sin θ ϕ a 2 G D (r, r ) n (2.6) ϕ(r) = ϕ 4π Z 2π Z π/2 φ θ sin θ + Z 2π φ Z π π/2 θ sin θ! a 2 G D (r, r ) n (2.6) ϕ(r) = ϕ 4π Z 2π Z π/2 φ θ sin θ + Me u = cos θ, u = sin θ : Z 2π φ Z π π/2 θ sin θ! a(a 2 r 2 ) (r 2 + a 2 2ar cos γ) 3/2 (2.62) ϕ(r) = ϕ Z 2π 4π Z φ u Z 2π Z «φ u a(a 2 r 2 ) (2.63) (r 2 + a 2 2ar cos γ) 3/2 Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.6 ϕ(r) = ϕ Z 2π 4π Z φ u Z 2π Z «φ u a(r 2 a 2 ) (2.64) (r 2 + a 2 2ar cos γ) 3/2 Denna integral är inte enkel att utföra, eftersom γ beror på alla vinklar φ, phi, θ, θ. Specialfall: r är på en positiva z-axeln. Då gäller cos γ br br = br bz = cos θ och r = z. ϕ(r) = ϕ Z 2π 4π Slutsvaret ska bli Z φ u ϕ(r) = ϕ 2 Z 2π Z u Z «φ u a(z 2 a 2 ) (2.65) (z 2 + a 2 2az cos θ ) 3/2 Z u «a(z 2 a 2 ) (z 2 + a 2 2azu ) 3/2 (2.66) ϕ(r) = ϕ z2 a 2 z z 2 + a 2! (2.67) Obs: För z = a fås ϕ = ϕ som väntat. Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.62
32 2.. Lösning av Poissons ekvation Poissons ekvation är ju Vi har två möjliga situationer. 2 ϕ(r) = ρ(r) ε (2.68) Situation Laningstätheten ρ(r) ger en fullstäniga förelningen i volymen av intresse,.v.s. givna laningar och inucerae laningar: Lösningen till Poissons ekvation är å ρ(r) = ρ ext (r) + ρ in (r) (2.69) ϕ(r) = Z V ρ(r ) 4πε V r r (2.7) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.63 Exempel : Antag vi har en raiell symmetrisk laningsförelning, ρ = ρ(r). Vi har nu Poissons ekvation i en enkla formen Detta ger «r 2 ϕ = ρ(r) (2.7) r 2 r r ε Situation 2 ϕ(r) = ε Z r r r r 2 Z r r r ρ(r )r 2 (2.72) I et anra faller innehåller ρ(r) inte inucera laning, utan enbart en externa laningen,.v.s. en som vi har kvar efter att alla leare (innehållane inucera laning) har plockats bort: ρ(r) = ρ ext (r) (2.73) Vi söker nu två lösningar. Den första lösningen ϕ (r) ges av Poissons ekvation me laningstätheten ρ ext (r). Vi löser alltså ekvationen 2 ϕ (r) = ρ ext(r) ε (2.74) Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.64
33 eller utför integralen ϕ (r) = Z V ρ ext (r ) 4πε V r r (2.75) Den anra lösningen ϕ (r) får vi me Laplaces ekvation: 2 ϕ (r) = (2.76) Utifrån ϕ (r) kan vi ju bestämma en inucerae laningen på learnas ytor. Den totala lösningen är nu ϕ(r) = ϕ (r) + ϕ (r) (2.77) Obs: Ranvillkoren, t.ex. i ett Dirichlet-problem, är nu givna för ϕ Ai = ϕ A i + ϕ A i, så ranvillkoren för ϕ A i (lösningen från Laplace-ekvationen) måste moifieras ärefter! Elektroynamik, ht 25, Krister Henriksson 2.65
2. Lösning av elektrostatiska problem för ledare
2. Lösning av elektrostatiska problem för leare [RMC] Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2. 2.. Poissons ekvation [RMC, Jackson] Från tiigare vet vi att Er) = ρr) ε 2.) Er) = ϕr) 2.2) Detta ger oss genast
Läs mer2. Lösning av elektrostatiska problem för ledare
[RMC] 2. Lösning av elektrostatiska problem för leare 2 ϕr ρ ρ i cylinriska koorinater ρ, ψ, z, och ρ ϕr 2 ϕr + 2 ϕr 2.5 ρ ρ 2 ψ 2 z 2 2 ϕr r 2 ϕr r 2 r r r 2 sin θ θ sin θ ϕr + θ r 2 sin 2 θ 2 ϕr φ 2
Läs mer2. Lösning av elektrostatiska problem för ledare
2. Lösning av elektrostatiska problem för ledare [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 2.1 2.1. Poissons ekvation [RMC, Jackson] Från tidigare vet vi att Er) = ρr) ε 0 2.1) Er) = ϕr) 2.2) Detta ger
Läs mer2. Lösning av elektrostatiska problem för ledare
2. Lösning av elektrostatiska problem för ledare [RMC] Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.1 2.1. Poissons ekvation [RMC, Jackson] Från tidigare vet vi att E(r) = ρ(r) ε 0 (2.1) E(r) = ϕ(r) (2.2) Detta
Läs merAssocierade Legendre-funktioner och klotytefunktioner Ulf Torkelsson
Föreläsning 5/3 Associerae Legenre-funktioner och klotytefunktioner Ulf Torkelsson Laplaces ekvation i sfäriska koorinater I sfäriska koorinater kan vi skriva Laplaces ekvation som r 2 r 2 Ψ r r r 2 sin
Läs merN = p E. F = (p )E(r)
1 Föreläsning 4 Motsvarar avsnitten 4.1 4.4. Kraftvekan på ipoler (Kap. 4.1.3) 1. Vrimoment N på elektrisk elementaripol p: N = p E p vill "ställa in sig" i E:s riktning. Exempel på elektriska ipoler:
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)
Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055) Ti och plats: 3 augusti, 017, kl. 14.00 19.00, lokal: MA10 A och B. Kursansvarig lärare: Aners Karlsson, tel. 40 89. Tillåtna
Läs merFK Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning, måndag 18 mars 2013, kl 9:00-14:00
FK4010 - Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning, månag 18 mars 2013, kl 9:00-14:00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börjar me uppgifterna som u tror u klarar bäst! Förklara
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 16, 2018 9. Lösningar av Poissons ekvation Vi vet att Poissons
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs mer19.4 Bohrs modell för väteatomen.
Den moerna fysikens gruner - Föreläsning 7 42 9.4 Bohrs moell för väteatomen. Som vi sett är en totala energin för elektronen i väteatomen E = 2 mv2 = e2 8πɛ 0 r. Eftersom L = mvr för cirkulära banor så
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2017, kl. 8:00-12:00
Tentamen i Matematik HF9 8 ec 7 kl 8:-: Eaminator: rmin Halilovic Unervisane lärare: Jonas Stenholm Elias Sai Nils alarsson För gokänt betyg krävs av ma poäng etygsgränser: För betyg E krävs 9 6 respektive
Läs mer= 1 h) y 3 = 4(x 1) i) y = 17 j) x = 5. = 1 en ekvation för linjen genom a) (6, 0) och (0, 5) b) (9, 0) och (0, 5)
Matematikcentrum Matematik NF Räta linjen. Ange riktningskoefficient och skärningspunkter me alarna för följane linjer. a) y = 5 b) = y + 5 c) y = 5 + ) + y + = 0 e) y 4 = 0 f) + y = g) y 5 = h) y = 4
Läs merMATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Tel.:
MATEMATIK Datum: 009-0- Ti: förmiag Chalmers Hjälpmeel: inga A.Heintz Telefonvakt: Tel.: 076-786 Lösningar till tenta TMV06/TMV0 Analys och linjär algebra K/Bt/Kf, el A.. Sats Ange "geometriska" beviset
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs merRepetition kapitel 21
Repetition kapitel 21 Coulombs lag. Grundbulten! Definition av elektriskt fält. Fält från punktladdning När fältet är bestämt erhålls kraften ur : F qe Definition av elektrisk dipol. Moment och energi
Läs mer9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RMC] Elektrodynamik, ht 005, Krister Henriksson 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Läs merTATA44 Lösningar 26/10/2012.
TATA44 Lösningar 6/1/1. 1. Lösning 1: Konen z x + y skär sfären x + y + (z 5 5 då 4z + (z 5 5 och enkla räkningar ger nu z z some ger z(z och vi ser att z eller z. Observera att punkter på sfären med z
Läs merVektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys I Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 2 september 2015 Översikt över de tre föreläsningarna 1. Grundläggande begrepp inom vektoranalysen, nablaoperatorn samt
Läs merAppendix A: Differentialoperatorer i olika koordinatsystem
Appendix A: Differentialoperatorer i olika koordinatsystem [Arfken,BETA,Lahtinen] A. 1. Kurvilineära koordinatsystem Antag att i ett Cartesiskt (x, y, z) koordinatsystem med basvektorerna bx, by, bz existerar
Läs merLösningar/svar till tentamen i MTM113 Kontinuumsmekanik Datum:
Lösningar/svar till tentamen i MTM113 Kontinuumsmekanik Datum: 2004-08-21 Observera att lösningarna inte alltid är av tentamenslösningskvalitet. De skulle inte ge full poäng vid tentamen. Motiveringar
Läs merFÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06
FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för istanskursen Matematik A - analyselen vi Uppsala universitet höstterminen 2006. 1. Derivata I grunläggane analys
Läs mer1 Materiell derivata. i beräkningen och så att säga följa med elementet: φ δy + δz. (1) φ y Den materiella derivatan av φ definierar vi som.
Föreläsning 2. 1 Materiell erivata ätskor och gaser kallas me ett sammanfattane or för fluier. I verkligheten består fluier av partiklar, v s atomer eller molekyler. I strömningsmekaniken bortser vi från
Läs mer14. Potentialer och fält
4. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast
Läs mer15. Ordinära differentialekvationer
153 15. Orinära ifferentialekvationer 15.1. Inlening Differentialekvationer är en gren inom matematiken som beskriver en värl vi lever i bäst. Såana ekvationer kan beskriva matematiska moeller för många
Läs mer14. Potentialer och fält
14. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)
Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π (ETEF01 och F (ETE055 1 Tid och plats: 6 oktober, 016, kl. 14.00 19.00, lokal: Gasquesalen. Kursansvarig lärare: Anders Karlsson, tel. 40 89 och 07-5958.
Läs mer23 Konservativa fält i R 3 och rotation
Nr 23, 7 maj -5, Amelia 2 23 Konservativa fält i R 3 och rotation 23. Potential 23.. Två dimensioner (2D) I två dimensioner definierade vi ett vektorfält som konservativt om kurvintegralen av fältet endast
Läs merVi ska diskutera polarisation i ett dielektriskt material samt kapacitans och plattkondensatorn med ett dielektrikum.
1 Vi ska iskutera polarisation i ett ielektriskt material samt kapacitans och plattkonensatorn me ett ielektrikum. A. Polarisation i ett ielektriskt material För ett material som innehåller ett stort antal
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merTentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller
Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs mer1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70
1 Föreläsning 7 1.1 tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan).
Läs mer1 Potenitallösningen för strömningen kring en cylinder
Föreläsning 9 1 Potenitallösningen för strömningen kring en cylinder I denna föreläsning ska vi kortfattat behandla potentialströmning, som traditionellt varit ett stort område inom aerodynamiken, men
Läs merModul 2 Mål och Sammanfattning
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Moul 2 Mål och Sammanfattning Derivata. 1. MÅL FÖR MODUL 2 Förstå och använa erivatans efinition Förstå och använa erivata
Läs merLösningsförslag till problem 1
Lösningsförslag till problem Lisa Nicklasson november 0 Att beskriva trianglar Vi ska börja med att beskriva hur trianglar kan representeras i x, y)-planet Notera att varje triangel har minst två spetsiga
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)
Läs mer3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika
3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika [RMC] Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 3.1 3.1. Dielektrika Ett perfekt dielektrikum (isolator) är ett material som inte innehåller några
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232) Tid och plats: Lösningsskiss: Tisdagen den 20 december 2016 klockan 0830-1230 i M-huset Christian Forssén Detta är enbart en skiss av den
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merSF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december 211. Lösningsförslag 1. Räkna ut flödesintegral F n ds, där F = (x e y,
Läs merLAPLACES OCH POISSONS EKVATIONER
TH Matematik Olle tormark LAPLACE OCH POION EVATIONE Poissons ekvation φ(x) = (där ρ är en given funktion och φ söks) satisfieras till exempel av den elektrostatiska potentialen i ett område som innehåller
Läs merDubbelintegraler och volymberäkning
ubbelintegraler och volymberäkning Volym och dubbelintegraler över en rektangel Alla funktioner nedan antas vara kontinuerliga. Om f (x) i intervallet [a, b], så är arean av mängden {(x, y) : y f (x),
Läs merVisa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)
Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om
Läs merFormelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01
Formelsamling Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Institutionen för elektro- och informationsteknik Lunds tekniska högskola Juni 014 Innehåll 1 Elstatik 1 Likström 4 3 Magnetostatik
Läs mer9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1
9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Läs merStrålningsfält och fotoner. Våren 2016
Strålningsfält och fotoner Våren 2016 1. Fält i rymden Vi har lärt oss att beräkna elektriska fält utgående från laddningarna som orsakar dem Kan vi härleda nånting åt andra hållet? 2 1.1 Gauss lag Låt
Läs merTATA44 Lösningar 24/8/ ) Låt S vara den del av x 2 + y 2 + z 2 = 2 innanför cylindern x 2 + y 2 = 1. Inför cylinderkoordinater.
TATA Lösningar /8/.. Låt vara den del av x + y + z innanför cylindern x + y. Inför cylinderkoordinater. Parametrisera med ortsvektorn r(ρ, φ (ρ cos φ, ρ sin φ, ρ som man kan skriva som r(ρ, φ ρ ˆρ + ρ
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016
Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merStickprovsvariabeln har en fördelning / sprindning
unktskattning räcker ofta inte Sannolikhet och statistik Intervallskattning HT 2008 Uwe.Menzel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Figur: Mätresultat me stor varians Stickprovsvariabeln har en förelning
Läs merMAA151 Envariabelkalkyl läsåret 2016/17
Lektionsuppgifter A Omgång 1 (5) Funktioner 1. Bestäm inversen till funktionen f efiniera enligt f() = 1/ 1. Specificera speciellt inversens efinitionsmäng och väremäng. Skissa även i ett och samma koorinatsystem
Läs mer1.1 Den komplexa exponentialfunktionen
TATM79: Föreläsning 8 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim augusti 07 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa
Läs merLösningar till seminarieuppgifter
Lösningar till seminarieuppgifter 2018-09-26 Uppgift 1 z ρ P z = 0 ρ Introducera ett koordinatsystem så att det jordade planet sammanfaller med planet z = 0, oc skivans centrum med punkten (0,0,). a) Problemet
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Fredag 9 juni 7 8:-: SF67 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Ma: poäng. poäng Bestäm samtliga horisontella tangentplan till ytan z y y + y +. Lösning: Tangentplanet
Läs merhar ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Läs mer) 2 = 1, där a 1. x + b 2. y + c 2
ap 7 Användningar av multipelintegraler Arean av ett plant område 0 Beräkna arean av det område som begränsas av följande kurvor: A a (x y) 2 + x 2 = a 2 A b xy =, xy = 8, y = x och y = 2x (x > ) A c y
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs mer(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z
UPPAA UNIVERITET Matematiska institutionen Abrahamsson, 4715, 7-57 (tyf, 47119, 77-517) Prov i matematik IT, K, X, W, EI, MI, NVP samt fristående kurs. Flerdimensionell analys och Analys MN 5-1-9 krivtid:
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs meru av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merFöreläsning 13, SF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 13, SF1626 Flervariabelanalys Haakan Hedenmalm (KTH, Stockholm) 28 november 2017 KTH Rekommenderade uppgifter: 15.1: 3, 5, 17. 15.2: 3, 5, 7, 21. Vektorfält DEFINITION Ett skalärfält Φ på ett
Läs merf(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2
TM-Matematik Mikael Forsberg Matematik med datalogi, mfl. Flervariabelanalys mk12b Övningstenta vt213 nr1 Skrivtid: 5 timmar. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,
Läs merLösningar/svar till tentamen i MTM060 Kontinuumsmekanik Datum:
Lösningar/svar till tentamen i MTM060 Kontinuumsmekanik Datum: 004-08- Observera Om tentamensuppgiften är densamma som på den nya kursen MTM3 är uppgiften löst med den metod som är vanligast i denna kurs.
Läs mer9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RM] Elektrodynamik, vt 013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets anod
Läs merKOMIHÅG 2: Kraft är en vektor med angreppspunkt och verkningslinje. Kraftmoment: M P. = r PA
1 KOMIHÅG 2: --------------------------------- Kraft är en vektor me angreppspunkt och verkningslinje. Kraftmoment: M P = r PA ", r P =momentpunkt, r A angreppspunkt, r PA = r A " r P. - Oberoene av om
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-3-7 EL A. Betrakta funktionen f, y y. a Beräkna riktningsderivatan av f i punkten, i den riktning som ges av vektorn 4, 3. p b Finns det någon riktning
Läs merInlämningsuppgift nr 2, lösningar
UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion
Läs merPoissons ekvation och potentialteori Mats Persson
1 ärmeledning Föreläsning 21/9 Poissons ekvation och potentialteori Mats Persson i vet att värme strömmar från varmare till kallare. Det innebär att vi har ett flöde av värmeenergi i en riktning som är
Läs merStrålningsfält och fotoner. Våren 2013
Strålningsfält och fotoner Våren 2013 1. Fält i rymden Vi har lärt oss att beräkna elektriska fält utgående från laddningarna som orsakar dem Kan vi härleda nånting åt andra hållet? 2 1.1 Gauss lag Låt
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs merTATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med
TATA44 ösningar till tentamen 1/1/211. 1. Paraboloiden z 2 x 2 y 2 skär konen z x 2 + y 2 då x 2 + y 2 2 x 2 y 2. Med ρ x 2 + y 2 då är ρ 2 + ρ 2 vilket ger ρ + 2ρ 1. åledes är ρ 1 ty ρ. Vi betecknar den
Läs merÖVN 1 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll.
ÖVN - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelor och innehåll Orinära ifferenitalekvationer (ODEer) y = f(t, y) Lösning y(t) och efinitionsmäng
Läs merLösningar till Matematisk analys 4,
Lösningar till Matematisk analys 4, 05054. a Sätt a k k + k +, b k k e /k Serien k a k är positiv. Vi har att och c k k! 4 k k! för k,,... a k k + k + k k för stora k k och mera precist att / a k k k +
Läs merReferens :: Komplexa tal
Referens :: Komplexa tal Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. Definition av komplexa tal Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen
Läs merLösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007
Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 7. Låt Y (s beteckna Laplacetransformen till funktionen y. Laplacetransformering av den givna ekvationen ger: varav följer att. (a För s > a är Y (s + s Y
Läs merav envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)
Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs merBo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel 15 KOMPLEXVÄRDA FUNKTIONER AV KOMPLEX VARIABEL
Bo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel 5 KOMPLEXVÄRDA FUNKTIONER AV KOMPLEX VARIABEL I etta kapitel efinierar vi en komplexvär funktion av en komplex variabel, ess erivata, begreppet analytiska
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM23 och FFM232) Tid och plats: Måndagen den 29 oktober 208 klockan 00-800, Maskinsalar Lösningsskiss: Christian Forssén Detta är enbart en skiss
Läs merTentan , lösningar
UPPALA UNIVERITET MATEMATIKA INTITUTIONEN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 2008 Tentan 2008-12-16, lösningar 1. Avgör om det finns någon punkt på ytan (x 1) 2 + 2(y 1) 2 + 2z 8 som är
Läs merUppföljning till lektion 5 om pekare. Grundläggande symboler. En struct, en pekartyp och lite variabler
Uppföljning till lektion 5 om pekare Pekare, structar och rekursiva funktioner kan sannerligen vara lite knepigt att förstå. Denna lilla skrift är ett försök att me hjälp av många illustrationer göra et
Läs merk=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Funktionsteori 5 9 kl 4 9 Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och
Läs merr 2 C Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0).
1 Föreläsning 2 Motsvarar avsnitten 2.4 2.5 i Griffiths. Arbete och potentiell energi (Kap. 2.4) r 1 r 2 C Låt W vara det arbete som måste utföras mot ett givet elektriskt fält E, då en laddning Q flyttas
Läs merf(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys mk1b 13 8 Skrivtid: 9:-14:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1. Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x och y =
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (EITF85)
Skriftlig tentmen i Elektromgnetisk fältteori för π3 (ETEF) och F3 (EITF85) Ti och plts: 3 oktober, 8, kl. 4. 9., lokl: MA A H. Kursnsvrig lärre: Aners Krlsson, tel. 4 89 och 733 35958. Tillåtn hjälpmeel:
Läs merVektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys III Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 16 september 215 Översikt 1 Gauss sats divergenssatsen Exempel på användning av Gauss sats 2 tokes sats Exempel på användning
Läs mer(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, W Flervariabelanalys 8 1 1 Skrivtid: 9-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Varje
Läs mer4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Prov i matematik BASKURS DISTANS 011-03-10 Lösningar till tentan 011-03-10 Del A 1. Lös ekvationen 5 + 4x 1 5 x. ( ). Lösning. Högerledet han skrivas
Läs merKap Inversfunktion, arcusfunktioner.
Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.
Läs merforts. Kapitel A: Komplexa tal
forts. Kapitel A: Komplexa tal c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Andragradsekvationer Obs! i är antingen 1 1 + i) eller 1 1 + i), dvs i = 1 1 + i). Obs! Se upp med roten ur negativa tal: regeln ab
Läs merElektrodynamik. Elektrostatik. 4πε. eller. F q. ekv
1 Elektrodynamik I det allmänna fallet finns det tidsberoende källor för fälten, dvs. laddningar i rörelse och tidsberoende strömmar. Fälten blir då i allmänhet tidsberoende. Vi ser då att de elektriska
Läs merAnmärkning: Härledning av ovanstående formel finns i slutet av stencilen.
VSTÅNDSERÄKNING I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERT KOORDINTSYSTEM ) vstånet mellan två punkter Låt = x, och = x, y, z ) vara två punkter i rummet vstånet mellan och är x) + y y) + z ) = = x z ===================================================
Läs mer